随机变量及其概率分布全概率共36页

(1) 离散型随机变量; (2) 非离散型随机变量.10 连续型随机变量
20 非连续型随机变量
二、随机变量的分布函数
很多时候，我们需要考虑r. v. 的取值落入一个 区间的概率, 如
P{ x1<X≤x2 }, P{ X≤x }等,
为此引入随机变量的分布函数. 1. 定义：设r.v. X, x为任意实数, 则 F(x)=P{ X≤x } 称为X的分布函数.
S
e1
有了随机变量X, 以前的各种随机事件均可用X的 变化范围来表示:如例1中:
A=“正面朝上”用{X=1}表示 B=“反面朝上”用{X=0}表示
反过来, X的一个变化范围表示一个随机事件.
{0<X<2} =“正面朝上”.
{X<0} =,
注: (1) 可用随机变量X描述事件.
例掷一颗骰子, 设出现的点数记为X, 事件A为“掷 出的点 数大于 3”, 则A可表示为“X>3”.
§3 连续型随机变量
引例. 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一 同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比, 并 设射击都能击中靶, 以X表示弹着点与圆心的距离. 试求X的分布函数.
解 当 x 0, 则 F(x) P{X x} 0
当 0 x 2,
F(x) P{X x} P{X 0} P{0 X x} kx2
例2.某种电子元件的使用寿命超过1500小时为 一级品, 已知一大批该产品的一级品率为0.2, 从中随机抽查20只, 求这20只元件中一级品的 只数X的分布律.
解: X~b(20, 0.2).
则P{X k} (k20 )(0.2)k (0.8)20k , k 0, 1, 2, ... , 20.
(3) F(x)至多有可列个间断点, 而在其间断点 上也是右连续的,F(x+0)=F(x).

解 : X U(0,1), Y 2ln X 0
y 0, FY ( y) 0 fY ( y) 0
FY ( y) P{Y y} P{2ln X y} P{ X e y/ 2 }
1 P{ X e y / 2 } 1 FX (e y / 2 )
fY ( y) FY( y) f X (e y/ 2 )(e y/ 2 ) 1 e y / 2
W X Y 0 -2 -3 3 1 0 M max( X ,Y ) 1 1 2 2 2 2 N min( X ,Y ) 1 -1 -1 -1 1 2
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合并后可得各变量的分布律如下：
Z=X+Y P
-2 0
134
5/20 2/20 9/20 3/20 1/20
W=X-Y P
- 3 -2 0 1 3 6/20 2/20 6/20 3/20 3/20
X\Y
-1 2
解: 将(X,Y)及各函数值列表如下：
-1 5/20 3/20
12 2/20 6/20 3/20 1/20
（X，Y）
(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2)
P
5/20 2/20 6/20 3/20 3/20 1/20
Z X Y 2 0 1 1 3 4
FM(z) =P(M≤z)=P(max(X,Y) ≤z) =P(X≤z,Y≤z) =P(X≤z)P(Y≤z) = FX(z)FY(z)
即 FM(z)= FX(z)FY(z)
FN(z) =P(N≤z)=P(min(X,Y) ≤z) =1-P(min(X,Y) >z) =1-P(X>z,Y>z) =1- P(X>z)P(Y>z)

随机变量及其分布
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§2.2 离散型随机变量及其分布律
定义 设离散型随机变量 X 所有可能取的值为xk , k = 1, 2,
X 取各个可能值的概率,即事件{ X xk } 的概率，为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
称此为离散型随机变量 X 的分布律.
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定义2.1 设随机试验E, 其样本空间S, 若对样本
空间每一个样本点e, 都有唯一一个实数X(e)与之对
应，那么就把这个定义域为S的单值实值函数X=X(e),
称为随机变量。
随机变量通常用大写字母X,Y,Z 或希腊字母 ξ,η等表示.
而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等.
量方面，如，投掷一枚均匀骰子，我们观察出现的点
数。
记X=“出现的点数”
则X的可能取1, 2, …, 6中任一个数，可见X是变量；
又X取那个值不能事先确定，故此X的取值又带有随机
性.
有了随机变量，有关事件的表示也方便了，如
{X=2}, {X≤2}, ……
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这样的例子还有很多. 又如，研究手机的使用寿命
或写成
随机变量及其分布
5
P( X k )
6
k 1
1
, k 1, 2,
6
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常见离散型随机变量
（一）“0-1”分布
设随机变量 X 只可能取 0 和1 两个值，它的分布律
为
k
P X k p（
1 p)1k k 0,1
(0 p 1)

解：X的可能取值为 0，1，2
P{X=0}
C
2 17
C
2 20
136 190
=P(抽得的两件全为正品)
P{X=1}
C
31C
1 17
C
2 20
51 190
=P(只有一件为次品)
P{X=2}
C
2 3
C
2 20
3 190
=P(抽得的两件全为次品)
故X的分布律为
X0 1 2
pk
136 190
51
3
190
3.什么是概率分布表？
X
x1
x2
…
xn
P
P1
p2
…
pn
4.pi的性质:
（1）pi≥0(i=1,2,…,n); （2）p1+p2+ …+pn=1. 5．求随机变量X的分布列的步骤：
(1 ) 确 定 变 量 X 可 能 的 取 值 x i( i 1 ,2 , … ) ；
（2）求出相应的概率 P(Xxi)pi； （3）列成表格的形式.
如果用X表示取得的红球数，则X的取值可为0，1，2。 一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量．
“两只白球”记为 {X=0} 当取到1白1黑时，随机变量X＝1； （2）p1+p2+ …+pn=1.
此时， “两只红球”= “X取到值2”,记为 {X=2} 而“至少抽得一件次品”={X≥1}
解：从箱中取出两个球的情形有以下六种： {2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．
当取到2白时，结果输2元，随机变量X＝－2；
当取到1白1黄时，输1元，随机变量X＝－1； 当取到1白1黑时，随机变量X＝1；当取到2黄时，X＝0； 当取到1黑1黄时，X＝2；当取到2黑时，X＝4．

当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3

π 3π ⎞ ⎛ π 0 ⎟ 22.设随机变量 X 的分布律为 ⎜ 2 2 ⎟ ，求 Y 的分布律： ⎜ ⎝ 0.3 0.2 0.4 0.1 ⎠
（1） Y = ( 2 X − π ) ;
2
（2） Y = cos( 2 X − π ). ⎧2 x , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0 , 其它
它意味着第 i 次（ i ≥ k ）成功，且 i − 1 次试验中成功 k − 1 次，设这两个事件分别为A1 ，A2，
则A = A 1 A 2 , 且P(A) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 )(A 1与A 2 独立 ), 而 P(A 1 ) = p,
1 k −1 1 k −1 i − k P( A2 ) = Cik−− ⋅ q i −1−( k −1) = Cik−− q . 1 p 1 ⋅ p
, ( 2,6),
, (6,1),
例如(6,1) , (6,6)} .这里，
8
5 36
9
4 36
10
3 36
11
2 36
12
1 36
PK
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
概率 P{X = k }, k = 0,1,2,3.
2、分析： 显然 X 服从离散型概率分布，而且 X 的可能取值为 0，1，2，3.问题归结为求
∴ X 的分布律为：
P{X = 0} = P ( A1 ) = 1 / 2; P{X = 1} = P ( A1 A2 ) = 1 / 2 2 ; P{X = 2} = P ( A1 A2 A3 ) = 1 / 2 3 ;
X Pi

X 345 136
P
10 10 10
例2-4 已知一批零件共１０个，其中３个不合格，现 任取一件使用，若取到不合格零件，则丢弃，再重新 抽取一件，如此下去，试求取到合格零件之前取出的 不合格零件个数Ｘ的分布率.
解 Ｘ的可能取值为０，１，２，３
设Ai (i = ０,１,２,３)表示“第i次取出的零件不合格”
则称{pk}为离散型随机变量X的分布律。
说明 (1) pk ? 0, k
¥
(2) å pk = 1.
k=1
1, 2,L ;
离散型随机变量的分布律也可表示为
X ~ 骣 ççç桫px11
x2 L p2 L
xn pn
L L
÷÷÷÷
X x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
例2-2 掷一枚质地均匀的骰子，记X为出 现的点数，求X的分布律。
0, 1, 2.
实例2 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次, 则
X (e) 射中目标的次数, 是一个随机变量. 且 X(e) 的所有可能取值为:
0, 1, 2, 3, , 30.
实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止,则
将 E 独立地重复地进行n 次,则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验. 实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬
币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就
是 n重伯努利试验.
(3) 二项分布
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为 0, 1, 2, , n. 当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.

P(X 3) 1 P(X 0) P(X 1) P(X 2)
0.8760;
利用泊松分布进行近似计算，取 5,
P( X 3) 1 e5 5e5 52 e5 0.8753. 0! 1! 2!
泊松分佈使用Excel表單： 在Excel的任一單元格輸入 “=POISSON.DIST(2,5,1)”，回車， 就在單元格中出現“0.124652019”.
1 e 4.8 (1 4.8 4.82 ) 0.8580 2!
2 设5个单位时间内有Y个单位时间是
“至少有3人候车”， 则Y ~ B(5, p), 其中p P(X 3) 0.8580， 于是 P(Y 4) C54 p4(1 p) 0.7696.
1
泊松定理： 二項分佈與泊松分佈有下麵的近似結果
1
定 义 ： 设 随 机 试 验 的 样 本 空 间 为 S e , 若
X X (e) 为定义在样本空间 S 上的实值单值函数， 则称 X X (e) 为随机变量。
一般采用大写英文字母 X ,Y, Z 来表示随机变量
引入随机变量的目的是用来描述随机现象
1
一般地，若I 是一個實數集合，則
(5)V服從巴斯卡分佈，
P(V
k)
C2 k 1
2k 3 3k
,k
3, 4,5,...
1
2.3 隨機變數的分佈函數
定義：隨機變數X，若對任意實數x，函數
F(x) P(X x)
稱為X 的分佈函數.
F(x)的几何意义：
X
任何隨機變 數都有相應 的分佈函數
] x
分佈函數的性質： 1) 0 F(x) 1；
P(X 3) 1 P(X 的概率分佈律為
P( X
k)
Cak

(2)P{0 X 2}, P{0 X 2}.
解 (1)X的分布函数为
0,
x 1
F
(
x)
1313,
1 2
5 6
,
1 x 1 1 x 2
1
1
1
1,
2 x
3 2 6
解 (2)P{0 X 2} F (2) F (0) 1 1 2 ,
33 P{0 X 2} P{0 X 2} P{X 2} 21 1.
a－b ab
2
0 1
x
2
解得：a=1/2 b=1/
X的密度为: f(x) = F(x) =
1 (1+ x2 )
(-<x<)
P{X2>1}=1－P{－1X 1}
＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/ 2
例6. 设随机变量X的密度函数为：
ke－3x x>0
事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}
4. 随机变量的分类 通常分为两类：
所有取值可以逐 个一一列举
离散型随机变量
随 机 变 量
全部可能取值不仅
如“取到次品的个数”，无穷多，而且还不能
一一列举，而是充满
“收到的呼叫数”等. 满一个或几个区间.
连续型随机变量 非离散型随机变量
非离散型非连续型
§4. 连续型随机变量的概率密度 1. 定义：对于随机变量X的分布函数F(x)， 如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：
F( x) x f (t)dt
则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率 密度函数。简称概率密度。
概率密度的性质：
(1). f(x)0;
(2).
f
(
x)dx

2) F(x)单调不减，且F() 0，F() 1
0 P(x1 X x2 ) F (x2 ) F (x1) 3) F(x)右连续,即F(x 0) F(x).
4) F(x) F(x 0) P(X x)
44
例：
X p
0 q
1 p
p>0,q>0,q+p=1.
求X的概率分布函数F x。
解：设A={接受该批产品}。 设X为第一次抽得 的次品数，Y为第2次抽得的次品数.
则X～B(10,p)，Y～B(5,p)，且{X=i}与{Y=j}独立。
P( A) P(X 0) P(1 X 2且Y＝0)
P(X 0) P(1 X 2) P(Y 0)
P(X 0) (P(X 1) P(X 2)) P(Y 0)
42
§3 随机变量的分布函数
随机变量X , 对实变量x, P(X x) 应为x的函数
定义：随机变量X ,对任意实数x,称函数 F(x) P(X x) 为 X 的概率分布函数，简称分布函数。
F(x)的几何意义： X
x
任何随机变量 都有相应的分
布函数
F ( x)的性质：
1) 0 F(x) 1
17
一个随机试验,设A是一随机事件,且
P(A)=p,(0<p<1).若仅考虑事件A发生与否,
定义一个服从参数为p的0-1分布的随机变
量:
X
1,
0,
若A发生, 若 A 不 发 生 (即A发 生 ).
来描述这个随机试验的结果。只有两个
可能结果的试验，称为Bernoulli试验。
二、二项分布
n重贝努利试验：设试验E只有两个可能的 结果：A与A ,p(A)=p,0<p<1,将E独立地重 复进行n次，则称这一串重复的独立试验为 n重贝努利试验。