下载文档原格式
空间向量运算的坐标表示(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.已知向量a=(2,-3,5)与向量b=平行,则λ等于( )A. B. C.- D.-【解析】选C.因为a∥b,所以=,所以λ=-.2.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于( )A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)【解析】选B.b=(a+b)-a=(-1,2,-1)-(1,-2,1)=(-2,4,-2).【变式训练】已知A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令a=,b=,则a+b等于( )A.(5,-9,2)B.(-5,9,-2)C.(5,9,-2)D.(5,-9,-2)【解析】选B.=(-1,0,-2)=a,=(-4,9,0)=b,所以a+b=(-5,9,-2).3.(2014·临沂高二检测)已知A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,2,-1),下列四个点中在平面ABC内的点是( )A.(2,3,1)B.(1,-1,2)C.(1,2,1)D.(1,0,3)【解析】选D.=x+y=(x+y,x+2y,x-y),对四个选项逐个检验,只有当(x+y,x+2y,x-y)=(1,0,3)时有解4.(2014·杭州高二检测)已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则( ) A.x=,y=1 B.x=,y=-4C.x=2,y=-D.x=1,y=-1【解析】选B.a+2b=(2x+1,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),因为(a+2b)∥(2a-b),所以所以5.(2014·南宁高二检测)已知向量=(2,-2,3),向量=(x,1-y,4z),且平行四边形OACB对角线的中点坐标为,则(x,y,z)=( )A.(-2,-4,-1)B.(-2,-4,1)C.(-2,4,-1)D.(2,-4,-1)【解析】选A.由条件(2,-2,3)+(x,1-y,4z)=2,所以(x+2,-1-y,3+4z)=(0,3,-1),所以【变式训练】以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为( )A. B.C. D.【解析】选B.连接AB1和A1B交于点O.据题意知AB1与A1B的交点即为AB1的中点.由题意得A(0,0,0),B1(1,0,1),所以AB1的中点坐标为.6.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=m a+n b+(4,-4,1).若c与a及b都垂直,则m,n的值分别为( )A.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2【解析】选A.由c=m a+n b+(4,-4,1),得c=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)= (m+4,m+2n-4,m-n+1).因为c与a及b都垂直,所以得c·a= m+4+m+2n-4+m-n+1= 3m+n+1=0,c·b=2(m+2n-4)-(m-n+1)=m+5n-9=0,即m=-1,n=2.【变式训练】若a=(0,1,-1),b=(1,1,0),且(a+λb)⊥a,则实数λ的值为( )A.-1B.0C.1D.-2【解析】选D.a+λb=(λ,1+λ,-1).由(a+λb)⊥a,知(a+λb)·a=0,所以1+λ+1=0,解得λ=-2.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014·启东高二检测)与a=(2,-1,2)共线且满足a·x=-18的向量x= .【解析】设x=(x,y,z),由题意得解得x=-4,y=2,z=-4.所以x=(-4,2,-4).答案:(-4,2,-4)8.已知A(0,2,4),B(5,1,3),在x轴上有一点P,使||=||,则P点坐标为.【解析】设P(x,0,0),则||==,||==,所以x2+20=x2-10x+35,解得x=.所以点P坐标为.答案:【举一反三】本题条件“在x轴上有一点P”改为“在y轴上有一点P”,结果如何?【解析】设P(0,y,0),则||==,||==,所以y2-4y+20=y2-2y+35,解得y=-.所以点P坐标为.9.(2014·长春高二检测)已知a=(1-t,2t-1,0),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为.【解析】b-a=(1+t,1-t,t),|b-a|==≥.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2,建立适当的空间直角坐标系,求,的坐标.【解析】建立空间直角坐标系,其中O为底面正方形的中心,P1P2⊥y轴,P1P4⊥x轴,SO在z轴上.因为|P1P2|=2,而P1,P2,P3,P4均在xOy平面上,所以P1(1,1,0),P2(-1,1,0).在xOy平面内,P3与P1关于原点O对称,P4与P2关于原点O对称,所以P3(-1,-1,0),P4(1,-1,0).又|SP1|=2,|OP1|=,所以在Rt△SOP1中,|SO|=,所以S(0,0,).所以=(1,1,-),=(0,-2,0).11.(2014·福州高二检测)如图,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O是BC的中点,点A的坐标是,点D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求向量的坐标.(2)设向量和的夹角为θ,求cosθ的值.【解题指南】利用三角形的知识先求出点D的坐标,然后再利用向量夹角公式求解向量和的夹角的余弦值.【解析】(1)如图所示,过D作DE⊥BC,垂足为E,在Rt△BDC中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=.所以DE=CD·sin30°=.OE=OB-BD·cos60°=1-=,所以D点坐标为,即向量的坐标为.(2)依题意:=,=(0,-1,0),=(0,1,0).所以=-=,=-=(0,2,0).由于向量和的夹角为θ,则cosθ====-.所以cosθ=-.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.(2014·黄山高二检测)已知空间三点A(1,1,1),B(-1,0,4),C(2,-2,3),则与的夹角θ的大小是( )A.60°B.120°C.30°D.150°【解析】选B.因为=(-2,-1,3),=(-1,3,-2),所以cos<,>====-,又0°≤<,>≤180°,所以θ=<,>=120°.2.(2014·泰安高二检测)设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的中点M到C的距离|CM|的值为( )A. B. C. D.【解析】选C.由向量加减运算法则得=(+)=(3,2,1)+(1,-1,5) =,故|CM|==.3.空间三点A(1,1,0),B(0,1,0),C,下列向量中,与平面ABC垂直的向量是( )A.(1,0,1)B.(0,1,1)C.(1,0,-1)D.(1,1,0)【解题指南】将四个选项分别与平面上的向量求数量积,看是否为零,从而选出正确结果.【解析】选B.=(-1,0,0),=,=,与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零,选项A中的向量(1,0,1)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意;选项B中的向量(0,1,1)与上述向量的数量积为零,合题意;选项C中的向量(1,0,-1)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意;选项D中的向量(1,1,0)·(-1,0,0)=-1≠0,不合题意,故选B.4.(2014·长沙高二检测)若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a与b的夹角的余弦值为,则λ等于( )A.2B.-2C.-2或D.2或-【解析】选C.由cos<a,b>=a ba b===,得54-9λ=24,即为55λ2+108λ-4=0,λ=-2或λ=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知点A(-1,3,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则||的值是.【解析】设点P(x,y,z),则由=2,得(x+1,y-3,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),则解得即P(-1,3,3),则||===2.答案:26.已知点A(λ+1,μ-1,3),B(2λ,μ,λ-2μ),C(λ+3,μ-3,9)三点共线,则实数λ+μ= .【解题指南】首先利用三点共线转化为向量共线,再利用向量共线的坐标关系建立λ,μ的等量关系.【解析】因为=(λ-1,1,λ-2μ-3),=(2,-2,6),若A,B,C三点共线,则∥,即=-=,解得λ=0,μ=0,所以λ+μ=0.答案:0三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,2,3),B(2,-1,5),C(3,2,-5).(1)求△ABC的面积.(2)求△ABC中AB边上的高.【解析】(1)由已知得=(1,-3,2),=(2,0,-8),所以||==,||==2,·=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14,cos<,>===,sin<,>==.所以S△ABC=||·||·sin<,>=××2×=3.(2)设AB边上的高为CD,则||==3.8.(2014·银川高二检测)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若∥,∥,求点D的坐标.(2)问是否存在实数α,β,使得=α+β成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)先设出点D的坐标,再利用向量共线的关系式,列出与点D坐标有关的等式.(2)探索型的问题的解决思路是先假设存在,再利用题目中的条件进行推导,若求出则存在,否则不存在.【解析】(1)设D(x,y,z),则=(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z), =(-1,1,0).因为∥,∥,所以解得即D(-1,1,2).(2)依题意=(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在实数α,β,使得=α+β成立,则有(-1,0,2)=α(-1,1,0)+ β(0,-1,2)=(-α,α-β,2β),所以故存在α=β=1,使得=α+β成立.。
3. 1.5空間向量運算的座標表示教學目標1．能用座標表示空間向量，掌握空間向量的座標運算。
2．會根據向量的座標判斷兩個空間向量平行。
重、難點1．空間向量的座標表示及座標運算法則。
2．座標判斷兩個空間向量平行。
教學過程：（一）複習上一節內容（二）新課講解：設a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b(1) a ±b ＝ 。
(2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ．（5）模長公式：若123(,,)a a a a =， 則222123||a a a a a a =⋅=++ （6）夾角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++． （7）兩點間的距離公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，則2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-(8) 設),,(),,,(222111z y x B z y x A ==則AB ＝ ，=AB ．AB 的中點M 的座標為 ．例題分析：例1、（1）已知兩個非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它們平行的充要條件是（ ）A. a ：|a |=b ：|b |B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零實數k ，使a =k b（2）已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，則x+y 的值是（ ）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各組向量共面的是（ ） A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)解析：（1）D ；點撥：由共線向量定線易知；（2）A 點撥：由題知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x ；（3）A 點撥：由共面向量基本定理可得。
3．1.5 空间向量运算的坐标表示一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到从三个方向拉巨石．这三个力为F 1，F 2，F 3，它们两两垂直，且|F 1|＝3 000 N ，|F 2|＝2 000 N ，|F 3|＝2 000 3 N.问题1：若以F 1，F 2，F 3的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？提示：F ＝(3 000,2 000,2 0003)． 问题2：巨石受到的合力有多大？ 提示：|F |＝5 000 N.1．空间向量的加减和数乘的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R)；(4)若b ≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb (λ∈R)⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3. 2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式 若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则 (1)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(2)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(3)cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23； (4)a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.3．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)． (1) AB＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB |＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.1．空间向量与平面向量的坐标运算的联系类比平面向量的坐标运算，空间向量的坐标运算是平面向量坐标运算的推广，两者实质是一样的，只是表达形式不同而已，空间向量多了个竖坐标．2．长度公式、两点间距离公式、夹角公式都与坐标原点的选取无关．[例1] ，(0，－1,4)，(2，－1，－2)，设p ＝AB ，q ＝CD.求：(1)p ＋2q ；(2)3p －q ；(3)(p －q )·(p ＋q )； (4)cos 〈p ，q 〉．[思路点拨] 先由点的坐标计算得到向量p ，q 的坐标，然后进行各种运算．[精解详析] 因为A (－1,2,1)，B (1,3,4)，C (0，－1,4)，D (2，－1，－2)，所以p ＝AB＝(2,1,3)，q ＝CD＝(2,0，－6)．(1)p ＋2q ＝(2,1,3)＋2(2,0，－6)＝(2,1,3)＋(4,0，－12)＝(6,1，－9)； (2)3p －q ＝3(2,1,3)－(2,0，－6)＝(6,3,9)－(2,0，－6)＝(4,3,15)； (3)(p －q )·(p ＋q )＝p 2－q 2＝|p |2－|q |2＝(22＋12＋32)－(22＋02＋62)＝－26； (4)cos 〈p ，q 〉＝p ·q |p ||q |＝(2，1，3)·(2，0，－6)22＋12＋32·22＋02＋(－6)2＝－1414·210＝－3510. [一点通](1)一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(2)空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算，再进行加法或减法运算，最后进行数量积运算；先算括号里，后算括号外．(3)空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样，应注意一些计算公式的应用．1．已知a ＝(1，－2,4)，b ＝(1,0,3)，c ＝(0,0,2)．求： (1)a ·(b ＋c )； (2)4a －b ＋2c .解：(1)∵b ＋c ＝(1,0,5)，∴a ·(b ＋c )＝1×1＋(－2)×0＋4×5＝21；(2)4a －b ＋2c ＝(4，－8,16)－(1,0,3)＋(0,0,4)＝(3，－8，17)．2．已知O 为坐标原点，A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)．求点P 的坐标，使：(1) OP＝12(AB－AC )；(2) AP ＝12(AB －AC )．解：AB ＝(2,6，－3)，AC＝(－4,3,1)． (1) OP＝12(6,3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32，－2)．(2)设P 为(x ，y ，z )，则AP＝(x －2，y ＋1，z －2)．∵12(AB －AC )＝AP ＝(3，32，－2)， ∴x ＝5，y ＝12，z ＝0，则点P 坐标为(5，12，0).[例2] 设(1)若(ka ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(ka ＋b )⊥(a －3b )，求k .[思路点拨] 先求ka ＋b ，a －3b 的坐标，再根据向量平行与垂直的充要条件列方程求解；也可由两向量平行或垂直的充要条件进行整体运算，再代入坐标求解．[精解详析] 法一：ka ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)． a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)因为(ka ＋b )∥(a －3b )，所以k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13.(2)因为(ka ＋b )⊥(a －3b )，所以(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0，解得k ＝1063.法二：(1)因为(ka ＋b )∥(a －3b )，所以(ka ＋b )＝λ(a －3b )，即ka ＋b ＝λa －3λb .因为a 与b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，1＝－3λ，解得k ＝－13.(2)因为(ka ＋b )⊥(a －3b )， 所以(ka ＋b )·(a －3b )＝0， 即k |a |2－(3k －1)a ·b －3|b |2＝0.而|a |2＝27，|b |2＝38，a ·b ＝8， 所以27k －8(3k －1)－114＝0， 解得k ＝1063.[一点通](1)要熟练掌握两个向量平行和垂直的充要条件，借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算．(2)在应用坐标形式下的平行条件时，一定要注意结论成立的前提条件．在条件不明确时，要分类讨论．3．已知a ＝(λ＋1,0,2λ)，b ＝(6,2μ－1,2)，a ∥b ，则λ与μ的值分别为( ) A.15，12 B ．5,2 C ．－25，－12D ．－5，－2解析：∵a ∥b ，∴a ＝kb ， 即λ＋1＝6k,0＝k (2μ－1)，2λ＝2k . 解得λ＝15，k ＝15，μ＝12.答案：A4．已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB ，b ＝AC.若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．解：a ＝(－1＋2,1－0,2－2)＝(1,1,0)， b ＝(－3＋2,0－0,4－2)＝(－1,0,2)， ∴ka ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， ka －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(ka ＋b )⊥(ka －2b )， ∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0， 即2k 2＋k －10＝0， ∴k ＝－52或k ＝2.[例3] 如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 为A 1A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求A 1B 与B 1C 所成角的余弦值．[思路点拨] 先建立空间直角坐标系，写出各向量的坐标，再利用向量方法进行求解．[精解详析] 如图，以CA ，CB，1CC为单位正交基底建立空间直角坐标系Cxyz .(1)依题意得B (0,1,0)， N (1,0,1)， ∴|BN|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝3， ∴线段BN 的长为 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)， ∴1BA ＝(1，－1,2)，1CB＝(0,1,2)，∴1BA ·1CB ＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3. 又|1BA|＝6，|1CB|＝5，∴cos 〈1BA ，1CB〉＝1BA ·1CB|1BA ||1CB |＝3010. 故A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为3010. [一点通] 在特殊的几何体中建立空间直角坐标系时要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求．利用向量解决几何问题，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单．5．若A (3cos α，3sin α，1)，B (2cos θ，2sin θ，1)，则|AB ―→|的取值范围是( ) A ．[0,5] B ．[1,5] C ．(1,5)D ．[1,25]解析：AB＝(2cos θ－3cos α，2sin θ－3sin α，0)， ∴|AB|2＝(2cos θ－3cos α)2＋(2sin θ－3sin α)2 ＝4＋9－12(cos θcos α＋sin θsin α) ＝13－12cos(θ－α)．∵－1≤cos(θ－α)≤1，∴1≤|AB ―→|2≤25. ∴1≤|AB ―→|≤5.答案：B6．已知a ＝(5,3,1)，b ＝(－2，t ，－25)，若a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由已知a ·b ＝5×(－2)＋3t ＋1×(－25)＝3t －525.∵a 与b 的夹角为钝角， ∴a ·b <0，即3t －525<0，∴t <5215.若a 与b 的夹角为180°， 则存在λ<0，使a ＝λb (λ<0)， 即(5,3,1)＝λ(－2，t ，－25)，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝λ·(－2)，3＝λt ，1＝λ·(－25)，∴t ＝－65，故t 的范围是(－∞，－65)∪(－65，5215)．1．在解决已知向量夹角为锐角或钝角求参数的范围时，一定要注意两向量共线的情况． 2．运用向量坐标运算解决几何问题的方法：3．若〈AB ，CD〉＝α，两条异面直线AB ，CD 所成角为θ，则cos θ＝|cos α|.1．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p·q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0D ．－2解析：∵p ＝a －b ＝(1,0，－1)， q ＝a ＋2b －c ＝(0,3,1)，∴p·q ＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1. 答案：A2．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：AB ＝(3,4，－8)，AC＝(5,1，－7)，BC＝(2，－3,1)，∴|AB|＝32＋42＋82＝89， |AC|＝52＋12＋72＝75， |BC|＝22＋32＋1＝14，∴|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89＝|AB ―→|2. ∴△ABC 为直角三角形． 答案：C3．已知a ＝(2,0,3)，b ＝(4，－2,1)，c ＝(－2，x,2)，若(a －b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4 B ．－4 C ．2D ．－2解析：∵a －b ＝(－2,2,2)，又(a －b )⊥c ， (a －b )·c ＝0，即4＋2x ＋4＝0，∴x ＝－4. 答案：B4．已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，O (0,0,0)，OA ＋λOB 与OB的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B.66C ．－66D ．±6解析：∵OA ＝(1,0,0)，OB＝(0，－1,1)， ∴OA ＋OB＝(1，－λ，λ)，∴(OA ＋λOB )OB＝λ＋λ＝2λ， |OA ＋λOB|＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2， |OB|＝ 2. ∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16. 又2λ2·1＋2λ2<0，∴λ＝－66. 答案：C5．已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29，且λ>0，则λ＝________. 解析：a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)， ∴λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)．∵|λa ＋b |＝29，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29. ∴λ2－λ－6＝0.∴λ＝3或λ＝－2. ∵λ>0，∴λ＝3. 答案：36．已知3a －2b ＝(－2,0,4)，c ＝(－2,1,2)，a ·c ＝2，|b |＝4，则cos 〈b ，c 〉＝________. 解析：(3a －2b )·c ＝(－2,0,4)·(－2,1,2)＝12， 即3a ·c －2b ·c ＝12. 由a ·c ＝2，得b ·c ＝－3. 又∵|c |＝3，|b |＝4， ∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－14.答案：－147．已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求： (1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4.这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)．又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值cos θ＝5－12＋338·38＝－219.8．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为坐标原点)．当QA ·QB取最小值时，求点Q 的坐标．解：OP ＝(1,1,2)，因为点Q 在直线OP 上，所以OQ 与OP共线， 故可设OQ ＝λOP＝(λ，λ，2λ)，其中λ为实数， 则Q (λ，λ，2λ)，所以QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA ·QB＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)·(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－43)2－23. 所以当λ＝43时，QA ·QB 取最小值． 此时Q 点坐标为(43，43，83)．。
