空间向量的坐标表示

向量的坐标表示在数学中，向量是一个具有大小和方向的量。

为了方便计算和分析，我们常常使用向量的坐标表示方法。

向量的坐标表示可以帮助我们更直观地理解和操作向量。

一、二维对于二维空间中的向量，我们可以使用横纵坐标来表示。

假设有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，那么向量v的坐标表示就是(x,y)。

例如，有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点，终点为点P(3,4)。

那么向量v的坐标表示为(3,4)。

二、三维对于三维空间中的向量，我们可以使用三个坐标轴来表示。

假设有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点(0,0,0)，终点为点Q(x,y,z)，那么向量u的坐标表示就是(x,y,z)。

例如，有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点，终点为点Q(1,2,3)。

那么向量u的坐标表示为(1,2,3)。

三、向量表示方法的应用向量的坐标表示方法在各个领域都有广泛应用。

以下是一些常见应用：1. 几何学：在几何学中，向量的坐标表示方法被用于描述线段、向量的长度和方向等概念。

通过向量的坐标表示，我们可以更方便地计算几何图形的属性。

2. 物理学：在物理学中，向量的坐标表示方法被用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。

通过向量的坐标表示，我们可以更精确地描述物体在空间中的运动状态。

3. 计算机图形学：在计算机图形学中，向量的坐标表示方法被广泛用于表示图像的位置、方向、形状等信息。

通过向量的坐标表示，我们可以实现计算机生成的三维图形和特效效果。

4. 统计学：在统计学中，向量的坐标表示方法被用于表示多维数据和样本。

通过向量的坐标表示，我们可以进行数据分析、模式识别等统计学方法。

总结：通过向量的坐标表示方法，我们可以更直观地理解和操作向量。

无论是二维向量还是三维向量，坐标表示都为我们提供了便利的计算和分析工具。

向量的坐标表示方法在几何学、物理学、计算机图形学和统计学等领域都有重要的应用。

掌握向量的坐标表示方法对于理解和应用相关概念都非常重要。

向量的三种表示方法
1.笛卡尔坐标表示法：在二维平面直角坐标系或三维空间直角坐标系中，向量可以用坐标表示。

例如，二维平面中的向量 a 可以表示为 (a1,a2)，三维空间中的向量 b 可以表示为 (b1,b2,b3)。

2. 极坐标表示法：在平面直角坐标系中，向量可以用极坐标表示。

向量的极角是与 x 轴正半轴的夹角，向量的长度是向量的模。

例如，向量 c 的极角为θ，长度为 r，可以表示为 (r,θ)。

3. 分量表示法：向量在某个方向上的投影可以表示为向量在该方向上的分量。

例如，向量 d 在 x 方向上的分量可以表示为 dx，y 方向上的分量可以表示为 dy，向量可以表示为 (dx,dy)。

- 1 -。

空间矢量的坐标表示法一、中点公式坐标空间中，P （x 1 , y 1 , z 1），Q （x 2 , y 2 , z 2）两点连线段的中点M 的坐标为121212,,222x x y y z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋。

二、距离公式坐标空间中，P （x 1 , y 1 , z 1），Q （x 2 , y 2 , z 2）两点的距离为PQ三、空间矢量的坐标表示法 1. 对于坐标空间中的任意一个矢量v v ，将始点放在原点，若其终点坐标为（a , b , c ），则 v v ＝（a , b , c ），称为v v 的坐标表示。

其中a 、b 、c 分别称为矢量v v 的x 分量、y 分量、z 分量。

2. 若A 、B 两点的坐标分别为A （x 1 , y 1 , z 1），B （x 2 , y 2 , z 2），则： AB uu u v ＝（x 2－x 1 , y 2－y 1 , z 2－z 1）。

四、空间矢量的加、减法与系数乘法 设a v ＝（x 1 , y 1 , z 1），b v ＝（x 2 , y 2 , z 2）为坐标空间中的两矢量，则： 1. a v ＋b v ＝（x 1＋x 2 , y 1＋y 2 , z 1＋z 2）。

2. a v －b v ＝（x 1－x 2 , y 1－y 2 , z 1－z 2）。

3. r a v ＝（rx 1 , ry 1 , rz 1），其中r 为实数。

五、分点公式设A （x 1 , y 1 , z 1），B （x 2 , y 2 , z 2）是坐标空间中的相异两点，若P 点在线段AB 上，且PA ：PB ＝m ：n ，则P 点坐标为121212,,nx mx ny my nz mz m nm n m n ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＋＋＋＋＋。

六、线性组合 1. 当O ，A ，B 三点不共线时，则对同平面上的任一点P ，OP uuv 都可写成OA uu v 和OB uuv 的线性 组合，而且表示法是唯一的，即存在唯一一组实数x ，y 使得OP uuv ＝x OA uu v ＋y OB uuv 。

2－3 空間向量的坐標表示法空間向量的坐標表示法要點整理要點整理甲、空間向量的坐標表示法1. 空間向量的表示法：設P (x 1 , y 1 , z 1) , Q (x 2 , y 2 , z 2)– y 1 , z 2 – z 1)，||。

2. 方向角：= (a , b , c )為一向量，若從x 軸、y 軸、z 的有向角分別為α、β、γ（0 ≤ α , β , γ ≤ π），則α , β , γ3. 方向餘弦：若α , β , γ= (a , b , c )的方向角，則稱cos α =222c b a a ++，cos β =222c b a b ++，cos γ的方向餘弦。

【註】 (1)任意非零向量的方向餘弦必滿足cos 2α + cos 2β + cos 2γ = 1，且sin 2α + sin β + sin γ = 2α| cos β| cos γ)。

4. 分點公式：設P (a 1 , b 1 , c 1)，Q (a 2 , b 2 , c 2)，R 為直線PQ 上一點，滿足RQ PR := m : n 。

(1)若P −R −Q (R 為PQ 的內分點)，則R 的坐標為),,(212121nm mc nc n m mb nb n m ma ma ++++++= 。

(2)若P −Q −R (R 為PQ 的外分點)，則R 的坐標為,,(212121nm mc nc n m mb nb n m ma na −+−−+−−+−。

乙、空間向量的內積1. 內積：= (a 1 , a 2 , a 3)= (b 1 , b 2 , b 3)，= || cos θ = a 1b 1 + a 2b 2 + a 3b 3。

2. 內積性質：(1)⋅ (2) ⋅+) =+⋅。

(3)⋅= || || cos0° = |2。

(4)⇔。

3. 向量的夾角： 若均非零向量，且其夾角為θ（0 ≤ θ < π），則cos θ= =232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++⋅++++。

空间向量的坐标表示本次课课堂教学内容要点一、空间向量的基本定理1.空间向量的基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x、y、z，使p=x a+y b+z c．2.基底、基向量概念：由空间向量的基本定理知，若三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=x a+y b+z c，x、y、z∈R}，这个集合可看做是由向量a、b、c生成的，所以我们把{a、b、c}称为空间的一个基底．a、b、c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．要点诠释:1.空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；2.由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0；3.一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．要点二、空间向量的坐标表示1.单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，常用{,,}i j k 表示；2.空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量。

通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；3.空间直角坐标系中的坐标给定一个空间直角坐标系和向量a ，其坐标向量为i ，j ，k ，若a =a 1i+a 2j+a 3k ，则有序数组（a 1，a 2，a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，上式可简记作a =（a 1，a 2，a 3）．在空间直角坐标系Oxyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若OA xi yj zk =++ ，则有序数组（x ，y ，z ）叫点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A （x ，y ，z ），其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫点A 的纵坐标，z 叫点A 的竖坐标．写点的坐标时，三个坐标之间的顺序不可颠倒．要点诠释：1.空间任一点P 的坐标的确定．过P 作面xOy 的垂线，垂足为P ＇，在面xOy 中，过P ＇分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为A 、C ，则x=|P ＇C|，y=|AP ＇|，z=|PP ＇|．如图．2.空间相等向量的坐标是唯一的；另外，零向量记作0(0,0,0)= 。