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空间向量的坐标表示

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高二数学空间向量运算的坐标表示

高二数学空间向量运算的坐标表示
3.1.5空间向量运算的坐标表示
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ),b (b1 , b2 , b3 )则
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a b (a 1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ;
a (a1 , a2 , a3 ),( R) ;
F A1 B1 E D1 C1
D
C
A
B
练习三：
如图：直三棱柱ABC A1 B1C1 , 底面ABC 中， CA＝CB＝1，BCA＝90o，棱AA1＝2，M、 N分别为A1B1、AA1的中点， 1)求BN的长； 2)求 cos BA1 , CB1 的值； 3)求证：A1B C1M。
（3）当cos a , b 0 时，a b 。 思考：当 0 cos a , b 1 及 1 cos a , b 0时， 的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ;
解：设正方体的棱长为1，如图建
C1
z
D1 A1
F1 E1 B1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
3 B(1,1, 0) , E1 1, ,1 , 4
C
D
O
B
y
1 D(0 , 0 , 0) , F1 0 , ，1 . 4
A
x
1 3 BE1 1, ,1 (1,1, 0) 0 , ,1 , 4 4
（1）线段 AB 的中点坐标和长度； 解：设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点，则

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
a,b, c都叫做基向量
空间任何三个不共面的向量 都可构成空间的一个基底
c 共面
推论：设点O、A、B、C是不共面的四点，则对 空间任一点P，都存在唯一的有序实数组 x、y、 z ，使
OP xOA yOB zOC
O
PC APBFra bibliotekP红对勾 5．若向量M→A，M→B，M→C的起点与终点互不重合且无三 点共线，则下列关系(O 是空间任一点)中，能使向量M→A，M→B，M→C 成为空间的一个基底的是( C )
[分析] 若向量 a 可以用基向量 e1、 e2、e3 表示为 a＝xe1＋ye2＋ze3，则(x，y， z)就是 a 在基底{e1，e2，e3}下的坐标．
[＝ AA＝解＝AA＝→→→→[＝AA＝解→→解GFGFGFA(：A(→→＝A(＝析＝ 12＝1→＝析＝12DD，D，，AA]＋ A＋A→A→]＋A→→A1→1ABB(→A1B12,112,′′＋12,1＋1(′＋1A)A(1A))A1)→．＋A→．→＋)ABB．＋A→→)→BAE→→′A′G→G′G＝EAAAE＝＝＝ ′＝＝′＝＝′＝A→→→→AA→AD→D((DA→→AD(0→0BB0DB′＋′,D,′＋,1＋1＋1＋＋，，D＋＋，→＋121212DE→AD12A12D→→→DA12D→E＝))DDE)→D，→′，′→，＝′＝＝＝A＝→FFAFD→(A(＝→＝(1D1＝＋1D，，，＋AA＋12A12A→A→12，DA→1212，12′′，D′→DD0D→ 0＋)′＋D→0＋，)′)，′A，A→→A→DDD＋＋＋12112AAA→→A→BBBB, AD, AA
∴∴∴ zxxxxz＝ ＋ － xxz＝ ＋ －＝＋ －3yy3yy3.＝ ＝ yy.＝ ＝.＝ ＝121212， ，， ，， ，

课件1：1.3.2　空间向量运算的坐标表示

课件1：1.3.2　空间向量运算的坐标表示
[探究问题] 1．已知 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段 AB 的中点 P 的坐标是多少？ [提示] Px1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2.
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，

3.1.4 空间向量的坐标表示

3.1.4 空间向量的坐标表示
r rxr
与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i， rj， k
作为基向量，对于空间任意一个向量 a ，
根据空间向量基本定理，存在惟一的有序实数组
rrr r
（x,y,z ），使 a＝ xi＋ yj＋ zk. r 有序实数组（x,y,z ）叫做向量 r a 在空间直角
坐标系O-xyz中的坐标，记 作 ： a ＝ (x ， y ， z) u u u r u u u r
对于空间任意一点A（x，y，z ），向 量 O A 坐 标 为 O A ＝ ( x ， y ， z ) ．
3．空间向量的坐标运算法则．
r
r
（1r ）若ra ＝ ( a 1 ， a 2 ， a 3 ) ， b ＝ ( b 1 ， b 2 ， b 3 ) ，
则 a ＋ b ＝ ( a 1 ＋ b 1 ， a 2 ＋ b 2 ， a 3 ＋ b 3 ) ，
rr 解： a＋b＝(4， 7， 4) ，
rr a－b＝(－2， －13， 12) ，
r 3a＝(3， －9， 24)
例2 已知空间四点A(－2，3，1)，B(2，－5，3)，C(10，0， 10)和D(8，4，9)，求证：四边形ABCD是梯形．
uuur uuur uuur
解： AB＝OB－ OA＝(4， －8， 2) ，
rr a － b ＝ ( a 1 － b 1 ， a 2 － b 2 ， a 3 － b 3 ) ，
r a ＝ (a 1 ， a 2 ， a 3 ) (∈ R ) ，
r r
a b a 1 ＝ b 1 ， a 2 ＝ b 2 ， a 3 ＝ b 3 ( ∈ R ) ，
数学应用
已知 a r ＝ ( 1 ， － 3 ， 8 ) ， b r ＝ ( 3 ， 1 0 ， － 4 ) ， 求 a r＋ b r， a r＋ b r， 3 a r．

空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示

D1 A1
[思 考2]
若E、F均 为 各 自 棱 上 的 动 点 ，
( x2 , y2 , z2 ) ( x1 , y1 , z1 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
P 一个向量在直角坐标系中的坐
y
标等于表示这个向量的有向线 段的终点坐标减去起点的坐标 .
3、空间两点间的距离和夹角
1.两点之间的距离
设M1 ( x1 , y1 , z1 )、M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点
zR
M1•
P o
d M1M2 ?
• M2
Q N
在直角M1 NM 2 及 直 角 M1 PN
中，使用勾股定
y 理知
x
d 2 M1P 2 PN 2 NM 2 2 ,
M1P x2 x1 , PN y2 y1 , NM 2 z2 z1 ,
zR
M1•
P
o x
d M1P 2 PN 2 NM2 2
(b1b2b3 0)
空间向量的坐标表示
A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
AB
( x2 x1 , y2 y1 )
A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 )
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
z
A
O
x
a
B AB OB OA
;
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意：
rr
rr
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向；
rr
rr
（2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；

空间向量的坐标表示

空间向量的坐标表示
p
e3 Oe 2
分别为x,y,z轴正方向上的单位向量，由空间向量 ( x, y, z) 基本定理，存在唯一的有序实数组
给定一个空间直角坐标系和向量 p 且设 ，
i、 k j、
A(x,y,z) y
e1
(1)设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )
即对应坐标成比例.
4.判断下列各组中的两个向量是否共线.
9 (1)a (2,3, 4, ), b (3, , 6) 2 (2)a (2,0, 4,), b (4,1, 8) (3)a (2,0, 4,), b (4,0, 8)
5.已知m (8,3, a), n (2b, 6,5) ,若m n 则a=_____,b=______.
则:
2、空间向量的直角坐标运算律：
a (a1 , a2 , a3 )
(2)若A(a1 , b1 , c1 ), B(a2 , b2 , c2 )则 AB (a2 a1 , b2 b1 , c2 c1 )
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )
a b
a (a1, a2 )( R),
(a1 b1 , a2 b2 ),
(2)若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
则AB ( x2 x1 , y2 y1 )
1、空间向量的坐标表示：
使得 p xi y j zk 则有序实数组 ( x, y, z ) 叫做 p 在空间直角坐标系 O-xyz中的坐标，上式可简记作 p ( x, y, z) z

空间向量的坐标表示



o x

y
AB OB OA ( x2 i y2 j z2 k ) ( x1 i y1 j z1 k )
( x2 x1 )k


AB的坐标是（x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
一、新知探究
在空间直角坐标系中， i , j , k 分别是x轴,y轴,z轴正方 向上的单位向量， a 是空间任意向量，作 OP = a


a
过点P作坐标平面yoz,xoz,xoy的平行平面，分别
z 交x轴,y轴,z轴于A,B,C三点．
则ＯP = OA + OB + OC




应用举例
例1、如图，在直角坐标系中有长方体ABCD-A1 B1 C1 D1 , 且AB=3,BC=5,AA1 =7.

（ 1）写出点C1的坐标，给出 AC1 关于 i , j ,k 的分解式;

(2)求 BD1 的坐标
D1
Z A1
C1
B1
A D X
B
O
Y
C
新知探究
设 a x i y j z k , 求 a i , a j , a k








我们把 a =x i y j z k 叫作 a 的标准正交分解， 把 i , j , k 叫作标准正交基.
( x, y, z )叫作空间向量 a 的坐标，记作 a ( x, y , z )

在空间直角坐标系中，点P的坐标为（x,y,z), 则向量 OP的坐标也是（x,y,z)

例2、在棱长为2的正方体中，求：

向量的坐标表示

向量的坐标表示在数学中，向量是一个具有大小和方向的量。

为了方便计算和分析，我们常常使用向量的坐标表示方法。

向量的坐标表示可以帮助我们更直观地理解和操作向量。

一、二维对于二维空间中的向量，我们可以使用横纵坐标来表示。

假设有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点(0,0)，终点为点P(x,y)，那么向量v的坐标表示就是(x,y)。

例如，有一个向量v，它在二维平面上的起点为原点，终点为点P(3,4)。

那么向量v的坐标表示为(3,4)。

二、三维对于三维空间中的向量，我们可以使用三个坐标轴来表示。

假设有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点(0,0,0)，终点为点Q(x,y,z)，那么向量u的坐标表示就是(x,y,z)。

例如，有一个向量u，它在三维空间中的起点为原点，终点为点Q(1,2,3)。

那么向量u的坐标表示为(1,2,3)。

三、向量表示方法的应用向量的坐标表示方法在各个领域都有广泛应用。

以下是一些常见应用：1. 几何学：在几何学中，向量的坐标表示方法被用于描述线段、向量的长度和方向等概念。

通过向量的坐标表示，我们可以更方便地计算几何图形的属性。

2. 物理学：在物理学中，向量的坐标表示方法被用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。

通过向量的坐标表示，我们可以更精确地描述物体在空间中的运动状态。

3. 计算机图形学：在计算机图形学中，向量的坐标表示方法被广泛用于表示图像的位置、方向、形状等信息。

通过向量的坐标表示，我们可以实现计算机生成的三维图形和特效效果。

4. 统计学：在统计学中，向量的坐标表示方法被用于表示多维数据和样本。

通过向量的坐标表示，我们可以进行数据分析、模式识别等统计学方法。

总结：通过向量的坐标表示方法，我们可以更直观地理解和操作向量。

无论是二维向量还是三维向量，坐标表示都为我们提供了便利的计算和分析工具。

向量的坐标表示方法在几何学、物理学、计算机图形学和统计学等领域都有重要的应用。

掌握向量的坐标表示方法对于理解和应用相关概念都非常重要。

1.3.2 空间向量运算的坐标表示

【答案】
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－ ，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝ ，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，

空间向量运算的坐标表示

E，F分别是BB1，D1B1的中点， 求证: EF⊥DA1 略解：
1 1 1 E 1,1, , F , ,1 2 2 2 1 1 1 EF - , - , , DA1 1, 0,1 2 2 2
A1 z D1
F
C1
B1 E y
1 1 EF DA1 - 0 0 EF⊥DA1 2 2
x
x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 G , , 3 3 3
二、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式
若 a (a1，a2，a3)，b (b1，b2，b3)，则
(1) a b ＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 ；
2 2 2 a ＋ a ＋ a (2)| a |＝ a a ＝ 1 2 3 ； a1b1 a2 b2 a3 b3 ab (3)cos< a, b >＝ ＝ 2 2 2 2 2 2 a a a b b b | a || b | 1 2 3 1 2 3
答案 a (1,1,0) , b (-1,0, 2)
ka b (k - 1, k , 2)
5 k- 或 k2 2
ka - 2b (k 2, k , -4)
例3.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
点E1，F1分别是A1B1，C1D1的一个四等分
点，求BE1与DF1所成角的余弦值
空间向量运算的坐标表示
知识回顾： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a, b, c 不共线，则对于空间任
一向量 p ，存在唯一有序实数组 { x, y, z },
使得 p xa yb zc 空间向量的坐标表示： 当以x 轴，y 轴，z 轴的正向单位向量 e1 , e2 , e3 为基向量时，若 p xe1 ye2 ze3 则向量 p
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rr r r r r r r 所以 agb (a1i a2 j a3k)g(b1i b2 j b3k)
利用向量数量积的分配律及
rr r r r r r r r r r r
igi jgj kgk 1,igj jgk kgi o
得到：ar
r b
a1b1
a2b2
a3b3
r rr | a | a a a12 a22 a32
则:
rr a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
rr a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
r
a (a1, a2 , a3 )
rr a b a1b1 a2b2 a3b3
数量积运算的证明：
rr r 设i, j, k为单位正交基底，则
r r r rr r r r a a1i a2 j a3k,b b1i b2 j b3k
gF1
(0, 1 4
E1
,1) (1,
3 4
C
,1)
'
g B'
D(0,0,0) C o
A
Bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
(1,1,0)
x
1、重点： （1）、熟练掌握空间向量坐标表示的各种运算律；
（2）、空间向量中的公式的形式与平面向量中相 关内容一致，因此可类比记忆；
2、难点：
确定空间几何体中顶点和向量的坐标；
作业：课本 P107第7题 预习课本 P104 例题5、例题6
ur r r r p xa yb zc
2、空间向量的坐标表示：
给定一个空间直角坐标系和向量
ur p，且设
ur uur ur e1、e2、e3
为单位坐标向量，由空间向量基ur本定理ur ，存u在ur 唯一ur
的有序实数组 (x, y, z) ，使u得rp xe1 ye2 ze3
则有序实数组(x, y, z) 叫做 p在ur 空间直角坐标系O-
uuur uuuur
ABgDC' 00 11 01 1 A '
C '(0,1,1) B ' (1,1,1)
A D o(0,0,0) (1,0,0) B
C (1,1,0)
y
x
若E1，F1分别是A'B'u和uuurC'uDuu'r
的一个四等分点，那么 又是多少呢？
DF1
gBE1
答案： 15 16
z D' A'
rar (a1, a2 )( R), ar b a1b1 a2b2 ,
| a | a12 a22
(2)若A(
uuur
x1
,
y1 ),
B( x2
,
y2
)
则AB (x2 x1, y2 y1)
uuur 2
AB (x2 x1)2 y2 y1 2
1、空r间向量的直角坐标r运算律：
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)
若A(a1, b1, c1), B(a2 , b2 , c2 )则
uuur AB (a2 a1,b2 b1, c2 c1)
uuur 2
AB (a2 a1)2 b2 b1 2 (c2 c1)2
r
r
例1、已知a (2, 3, 5), b (3,1, 4)
r rr r r rr r
求
uuur uuuur ABgDC '
.
解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐
标系O-xyz，则
所以 A(1, 0, 0), B(1,1, 0), D(0,0,0), C' (0,1,1)
uuur
AB (1,1,0) (1,0,0) (0,1, 0) z
uuuur
DC' (0,1,1) (0,0,0) (0,1,1) D '
xyz中的坐标，上式可简记作 p (x, y, z)
z
ur p
ur
e3
ur e1
Oeuur2
A(x,y,z) y
3、平面向量r的坐标表示及r运算律： (1)若ar r(a1, a2 ),b (b1,b2 )
则 ra br (a1 b1, a2 b2 ), a r b (a1 b1, a2 b2 ),
空间向量的坐标表示
2006-1-21
1、空间向量基本定理：
u如向r 果量三uprr个，向存量在rar唯、b一r、r的cr 不有共序面实，数那组么{x对,y空,z间}，任使一得
p xa yb zc
rr ra c
ur p
b
ur P
rC p
Aarco
r bB
B'
A'
P’
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur OP OA' OB' P'P xOA yOB zOC
求a b, a b,| a |,8a, a b
解:
rr
ra rb (2, 3,5) (3,1, 4) (1,2,1)
a b (2, 3,5) (3,1, 4) (5, 4,9)
r
| ar|
22 (3)2 52
38
8a 8(2, 3,5) (16, 24, 40)
rr
a b (2, 3,5) (3,1, 4)
2 (3) (3)1 5(4) 29
r
r
1、已知a (3, 2,5), b (1,5, 1)
rr 求(1)a b;
答案：（-2，7，4）
rr (2)3a b;
（-10，1，16）
r (3)6a;
（-18，12，30）
rr
(4)agb;
2
例2：如图，是棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D' ，