空间向量运算的坐标表示

向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。

2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。

向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。

2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。

- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。

3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。

- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。

4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。

- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。

5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。

- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。

以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。

《空间向量运算的坐标表示》知识解读1、空间向量的坐标在空间直角坐标系O xyz -中,分别沿x 轴、y 轴、z 轴正方向作单位向量,,i j k ,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{,,}i j k ,这组基叫作标准正交基.根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p ,都存在唯一的三元有序实数组(,,)x y z ,使得p xi yj zk =++反之,任意给出一个三元有序实数组(,,)x y z ,,也可找到唯一的一个向量x y z =++p i j k 与之对应.这样,就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系,把三元有序实数组(,,)x y z 叫作向量p 在标准正交基{,,}i j k 下的坐标,记作(,,)x y z =p单位向量,,i j k 都叫作坐标向量.,,x y z i j k 实际上分别是向量p 在,,i j k 方向上所作的投影向量,,,x y z 分别是向量p 在,,i j k ,方向上所作投影向量的数量. 在空间直角坐标系O xyz -中,对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量OP =p ,.若点p 的坐标为(,,)x y z ,由空间向量的加法不难得出OP =x y z ++i j k (如图),于是向量OP 的坐标也是(,x y ,)z(1)标准正交基是两两互相垂直且长度为1的向量,即i i ⋅=1,0.⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=j j k k i j j k i k(2)只有在标准正交基下的分解才是空间向量的坐标,其他基下的分解不是向量的坐标.空间中任一向量的坐标是唯一的. (2)空间向量的坐标表示 设()()111222,,,,,x y z x y z ==a b ,则()121212,,.x x y y z z +=+++a b ()121212,,.x x y y z z -=---a b()111,,().x y z λλλλλ=∈R a 121212x x y y z z ⋅=++a b3空间向量平行和垂直的条件 设()()111222,,,,,x y z x y z ==a b . (1)向量平行的坐标表示212121,//(),,x x y y z z λλλλ=⎧⎪≠⇔=⇔=⎨⎪=⎩a b a 0b a当a 与三个坐标平面都不平行时,222111//x y z x y z ⇔==a b . (2)向量垂直的坐标表示12121200x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=a b a b .4空间向量长度公式的坐标表示若()111,,x y z =a ,则||===a即||=a .空间向量长度公式表示的是向量的长度,其形式与平面向量长度公式一致,它的几何意义是相应长方体的体对角线的长度. 5空间向量夹角公式的坐标表示 若()()111222,,,,,x y z x y z ==a b 则cos ,||||⋅〈〉==a ba b a b空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广(只是在平面向量坐标的基础上增加了一个的坐标),与平面向量的坐标运算相比,空间向量的坐标运算适用范围更广,它可以解决立体几何中的相关问题.。

空间向量坐标运算空间向量是指具有大小和方向的直线段，在三维空间中通常用坐标表示。

空间向量的坐标运算包括向量的加法、减法、数量乘法、点乘和叉乘等。

下面将详细介绍这些运算。

1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 加法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的和的坐标为(u1+v1, u2+v2, u3+v3)；- 减法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的差的坐标为(u1-v1, u2-v2, u3-v3)。

2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量乘以一个实数得到一个新的向量，其坐标运算规律如下：- 数量乘法：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，实数k，则向量u 乘以k的坐标为(k*u1, k*u2, k*u3)。

3. 向量的点乘向量的点乘又称为内积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个标量（实数），其计算公式如下：- 点乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的点乘的结果为u1*v1 + u2*v2 + u3*v3。

4. 向量的叉乘向量的叉乘又称为外积，是指将两个向量进行乘法运算得到一个新的向量，其计算公式如下：- 叉乘：若向量u的坐标为(u1, u2, u3)，向量v的坐标为(v1, v2, v3)，则向量u和v的叉乘的坐标为((u2*v3 - u3*v2), (u3*v1 -u1*v3), (u1*v2 - u2*v1))。

通过以上的描述可以看出，向量的加法、减法、数量乘法都是按照对应位置进行运算，只要对应坐标进行相加、相减或乘以相同的实数即可。

点乘和叉乘则需要对应坐标进行特定的运算。

需要注意的是，向量的坐标运算不关心向量的起点和终点，只关心向量的大小和方向。

空间向量运算的坐标公式首先，我们需要明确什么是空间向量。

空间向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

在空间中，我们通常使用坐标系来描述向量的位置和方向。

坐标系分为直角坐标系和斜坐标系两种。

直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴构成，分别为X轴、Y轴和Z轴，构成一个三维空间。

而斜坐标系是以线段手段两个切平面之间的夹角小于90度的坐标系。

根据空间向量的定义，我们可以将向量表示为一个三元组(a,b,c)，其中a、b、c分别表示向量在X轴、Y轴和Z轴上的投影长度。

例如，向量A可以表示为(Ax,Ay,Az)，向量B可以表示为(Bx,By,Bz)。

根据向量的定义，我们可以得到以下关于向量的基本性质：1.向量相等：当且仅当两个向量的对应分量相等时，它们相等。

即，向量A=向量B当且仅当Ax=Bx,Ay=By,Az=Bz。

2.向量的数量乘法：向量与一个实数相乘，其结果仍然是一个向量。

公式为：k*向量A=(k*Ax，k*Ay，k*Az)。

3.向量的加法：两个向量相加的结果是一个新的向量，其坐标分别为对应坐标的和。

公式为：向量A+向量B=(Ax+Bx，Ay+By，Az+Bz)。

4.向量的减法：两个向量相减的结果是一个新的向量，其坐标分别为对应坐标的差。

公式为：向量A-向量B=(Ax-Bx，Ay-By，Az-Bz)。

5. 向量的线性组合：对于n个向量A1, A2, ... An和n个实数k1, k2, ... kn，他们的线性组合记作k1 * A1 + k2 * A2 + ... + kn * An，其中k1, k2,..., kn为各自的系数。

线性组合的结果仍然是一个向量。

以上是关于向量的基本性质和运算规则。

在实际运算中，我们可以根据这些规则进行计算，将向量的坐标代入公式，求出运算结果的坐标。

除了基本运算外，我们还可以进行向量的点积和叉积运算。

1.向量的点积也称为内积或数量积，其结果是一个实数。

两个向量A 和B的点积公式为：A·B=Ax*Bx+Ay*By+Az*Bz。

第3讲 空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。

②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。

知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则： (1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)； (2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； (3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )； (4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； (6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0； (7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. 2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则： (1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB→|＝ (a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2 .名师导学【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是( ) A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【分析】点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点，即x ，z 不变，y 变为相反数． 【解答】解：点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点，即x ，z 不变，y 变为相反数，∴点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是(1，2-，3)．故选：B ．【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为( ) A ．(1-，2-，4)- B ．(1-，2-，4)C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)【分析】空间直角坐标系中，点关于y 轴对称，则y 值不变，x 和z 的值改变符号．【解答】解：空间直角坐标系Oxyz 中，点(1P ，2-，4)关于y 轴对称的点为(1P '-，2-，4)-． 故选：A ．【例2-1】（钦州期末）已知(1a =，2，1)，(2b =，4-，1)，则2a b +等于( ) A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【分析】利用向量坐标运算性质即可得出．【解答】解：22(1a b +=，2，1)(2+，4-，1)(4=，0，3)， 故选：B ．【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值； (3)设|c |＝3，c ∥BC→，求c .【分析】对于(1)直接套两向量的夹角公式即可；对于(2)将向量垂直，转化为数量积为0求解；对于(3)利用共线向量求解．【解答】 (1)∵a ＝AB →＝(1,1,0)，b ＝AC →＝(－1,0,2)，∴a ·b ＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1，|a |＝2，|b |＝5，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－1010. (2)k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)， k a －2b ＝k (1,1,0)－2(－1,0,2)＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0，即2k 2＋k －10＝0，得k ＝2或k ＝－52.(3)∵c ∥BC→，又BC →＝(－2，－1,2)，∴设c ＝(－2λ，－λ，2λ)，又|c |＝3， ∴(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝9，得λ＝±1. ∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)．【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ； (2)2a －3b ； (3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【分析】利用空间向量坐标运算公式计算即可. 【解答】(1)∵a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．∴a ＋b ＝(2＋0，－1－1,3＋2)＝(2，－2,5)．(2)2a －3b ＝2(2，－1,3)－3(0，－1,2)＝(4，－2,6)＋(0,3，－6)＝(4,1,0)． (3)a ·b ＝(2，－1,3)·(0，－1,2)＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7. (4)∵|a |＝22＋(－1)2＋32＝14， |b |＝02＋(－1)2＋22＝5， ∴(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝14－5＝9.【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为( )A.66 B ．－66C ．±66D ．±6【分析】利用向量数量积的计算公式变形和已知条件，将坐标带代入计算即可. 【解答】∵OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)，OB →＝(0，－1,1)，∴cos 120°＝(OA →＋λOB →)·OB →|OA →＋λOB →||OB →|＝2λ2λ2＋1×2＝－12，可得λ<0，解得λ＝－66. 【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【分析】先求出BC 中点D 的坐标，再代入两点间距离公式即可计算. 【解答】∵B (4，－3,7)，C (0,5,1)，∴BC 边上的中点D (2,1,4)．又A (3,3,2)， ∴|AD |＝(2－3)2＋(1－3)2＋(4－2)2＝3.【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为 ，||OM = ．【分析】点(a ，b ，)c 关于x 轴对称的点的坐标为(a ，b -，)c -，利用两点间距离公式能求出||OM ． 【解答】解：点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点， 点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1-，2-，3)-，||(OM =-．故答案为：(1-，2-，3)-名师导练A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(( ) A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)【分析】利用对称的性质和中点坐标公式直接求解．【解答】解：设空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(a ，b ，)c ， 则212122332abc +⎧=-⎪⎪-+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得4a =-，5b =，3c =， Q ∴点坐标为(4-，5，3)．故选：B ．2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为( ) A ．(3-，2-，1)- B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-【分析】根据点(A a ，b ，)c 关于xOy 平面的对称点为(A a '，b ，)c -，写出即可． 【解答】解：点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为(3A '，2，1)-．3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为( ) A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-【分析】点(a ，b ，)c 关于原点对称的点的坐标为(a -，b -，)c -． 【解答】解：点(1A ，2-，3)，∴点A 关于原点的对称点坐标为(1-，2，3)-．故选：B ．4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =--及(4,2,0)b =-则a b +等于( ) A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)【分析】根据空间向量的坐标运算，求和即可． 【解答】解：由向量(1,1,2)a =--，(4,2,0)b =-， 所以(3a b +=-，1，2)-． 故选：A ．5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a x b y c z a b c xyz =-==+=则的值为 ) A ．2±B ．2-C ．2D ．0【分析】利用空间向量运算法则、向量相等的性质直接求解．【解答】解：空间向量(1a =-，x ，1)，(3b =，1，)y ，(c z =，0，0)，a b c +=， (2∴，1x +，1)(y z +=，0，0)，∴21010z x y =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得1x =-，1y =-，2z =， (1)(1)22xyz ∴=-⨯-⨯=．故选：C ．6．（丰台区期末）已知(2AB =，3，1)，(4AC =，5，3)，那么向量(BC = ) A ．(2-，2-，2)- B ．(2，2，2) C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)【分析】利用向量BC AC AB =-即可得出．【解答】解：向量(4BC AC AB =-=，5，3)(2-，3，1)(2=，2，2)，7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则( )A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)- C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3) D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0) 【分析】利用空间点的对称性即可得出．【解答】解：由图形及其已知可得：点1B 的坐标为(4，5，3)，点1(0C ，5，3)关于点B 对称的点为(4-，5，3)-，点A 关于直线1BD 对称的点为1(0C ，5，3)，点(0C ，5，0)关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)． 因此ACD 正确． 故选：ACD ．8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b += ．【分析】根据空间直角坐标系坐标的对称的结论：点(x ，y ，)z 关于平面xoy 对称的点坐标为(x ，y ，)z -，可知答案．【解答】解：在空间直角坐标系中，两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，1b ∴=，4a =-， 413a b ∴+=-+=-． 故答案为：3-．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为 ，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''= ．【分析】在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原不的相反数，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，横、纵坐标均不变，竖坐标变为原不的相反数，再由两点间距离公式能求出||B C ''．【解答】解：在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为(1-，2-，3)-， 若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '， 则(1C '，1-，2)-，||B C ''∴故答案为：(1-，2-，3)-．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是 ；||OM = ．【分析】根据空间直角坐标系中，点(M x ，y ，)z 关于x 轴的对称点坐标是(M x '，y -，)z -； 以及两点间的距离公式，计算即可．【解答】解：空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是(1M '，1，1)-；||OM ．故答案为：(1，1，1)-11．（兴庆区校级期末）已知(2a =，3-，1)，(2b =，0，3)，(1c =，0，2)，则68a b c +-= ． 【分析】进行向量坐标的加法和数乘运算即可．【解答】解：68(2,3,1)6(2,0,3)8(1a b c +-=-+-，0，2)(6=，3-，3)． 故答案为：(6，3-，3)．12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，则a b += ． 【分析】利用空间向量坐标运算法则直接求解． 【解答】解：(2,3,1)a =-，(1,2,4)b =-，∴(1a b +=-，1，5)．故答案为：(1-，1，5)．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，若2AB a =，则点B 的坐标是 ． 【分析】设(B x ，y ，)z ，由向量坐标运算法则和向量相等的定义得(1x -，2y -，)(6z =，8，24)-，由此能求出B 点坐标．【解答】解：点(1A ，2，0)和向量(3a =，4，12)-，2AB a =， 设(B x ，y ，)z ，则(1x -，2y -，)(6z =，8，24)-， 解得7x =，10y =，24z =-，∴点B 的坐标(7，10，24)-．故答案为：(7，10，24)-．14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，则||a b += 【分析】先利用向量坐标运算法则求出a b +，由此能求出||a b +． 【解答】解：向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=-，∴(4a b +=，3，12)， ∴||16913a b +=+．故答案为：13．15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''=，1，5)，求点B 的坐标．【分析】由题意可知AB B A A B ''''==-，且P 是线段AA '和BB '的中点，根据向量坐标运算性质即可得出． 【解答】解：由题意可知AB B A A B ''''==-，且P 是线段AA '和BB '的中点， 设(B x ，y ，)z ，则(1,3,3)(3,1,5)(3,1,5)AB x y z =+-+=-=--- 所以133135x y z +=-⎧⎪-=-⎨⎪+=-⎩，解得428x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩．∴点B 的坐标为(4-，2，8)-．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2) （1）求向量AB AC 与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．【分析】（1）(1AB =，1-，3)-，(2AC =-，2-，1)，计算可得cos ,||||AB ACAB AC AB AC <>=．（2）向量3AB AC AB k AC-+与向量垂直，可得22(3)()3(31)0AB AC AB k AC AB k AB AC k AC -+=+--=，即可得出．【解答】解：（1）(1AB =，1-，3)-，(2AC =-，2-，1)，2||1AB ==||3AC =．2233AB AC =-+-=-．∴cos ,||||3AB AC AB AC AB AC -<>===．（2）向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，∴22(3)()3(31)0AB AC AB k AC AB k AB AC k AC -+=+--=，311(31)(3)90k k ⨯+-⨯--=，解得2k =．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，求：()a b c -+、68a b c +-． （Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a 同向，且||214AB =． 【分析】（Ⅰ）利用空间向量运算法则能求出()a b c -+、68a b c +-．（Ⅱ）点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)，设点(B x ，y ，)z ，由向量AB 与a 同向，且||214AB =列出方程组能求出点B 坐标．【解答】解：（Ⅰ）向量(3a =，5，4)-，(2b =，0，3)，(0c =，0，2)，∴()(3a b c -+=，5，4)(2--，0，5)(1=，5，9)-．68(3a b c +-=，5，4)(12-+，0，18)(0-，0，16)(15=，5，2)-．（Ⅱ）点(1A ，2-，0)和向量(1a =-，2，3)，设点(B x ，y ，)z ， 向量AB 与a 同向，且||214AB =，∴120123x y z -+⎧==>⎪-=， 解得1x =-，2y =，6z =，∴点B 坐标为(1-，2，6)．B 组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量a ，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b +，a b -，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a ，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b +，a b -，c 下的坐标为( ) A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,)22D ．51(,,1)22【分析】可设向量(1a =，0，0)，(0b =，1，0)，(0c =，0，1)；由此求出向量a b +、a b -，再设()()p x a b y a b zc =++-+，列方程组求出x 、y 和z 即可．【解答】解：设向量(1a =，0，0)，(0b =，1，0)，(0c =，0，1)； 则向量(1a b +=，1，0)，(1a b -=，1-，0)， 又向量(3p =，2，1)，不妨设()()p x a b y a b zc =++-+， 则(3，2，1)(x y =+，x y -，)z ， 即321x y x y z +=⎧⎪-=⎨⎪=⎩， 解得52121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以向量p 在a b +，a b -，c 下的坐标为5(2，12，1)．故选：D ．2. （安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标；11 / 11 (2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．【解析】(1)∵AP →∥BC →，∴设AP →＝λBC →，又BC →＝(3，－2，－1)，∴AP →＝(3λ，－2λ，－λ)，又|AP →|＝ 9λ2＋4λ2＋λ2＝214，得λ＝±2， ∴AP →＝(6，－4，－2)或AP →＝(－6,4,2)． 又A (0,2,3)，设P (x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －0＝6，y －2＝－4，z －3＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧ x －0＝－6，y －2＝4，z －3＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝－2，z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝6，z ＝5.∴P (6，－2,1)或(－6,6,5)．(2)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)， cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝－2＋3＋614×14＝12，∴∠BAC ＝60°.∴以AB →，AC →为邻边的平行四边行的面积 S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝14×32＝7 3.。