[推荐]河南省天一大联考高三上学期期末考试数学(文)试题(有答案)

2020届河南省天一大联考高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}1,1,3,5A =-，{}0,1,3,4,6B =，则A B =U （ ） A ．{}1,3B ．{}1C ．{}1,0,1,1,3,4,5,6-D ．{}1,0,1,3,4,5,6-【答案】D【解析】根据并集的定义可求出集合A B U . 【详解】依题意，{}{}{}1,1,3,50,1,3,4,61,0,1,3,4,5,6A B =-=-U U . 故选：D. 【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题. 2．设复数()()312iz i i i-=+-+，则z =（ ） A ．22B 5C ．2D 2【答案】A【解析】利用复数的四则运算法则将复数z 表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z . 【详解】依题意()()33112221221i i z i i i i i i -+=+-+=-+++=--， 故()222222z =+-=故选：A. 【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的四则运算，考查计算能力，属于基础题. 3．已知向量()3,0m =v ，()3,0n =-v ，()()q m q n -⊥-v v v v ，则q v为（ ） A ．7B ．5C ．3D ．1【答案】C【解析】由题意可知n m =-r u r，由()()q m q n -⊥-r u r r r 得出()()q m q m -⊥+r u r r u r ，可得出()()0q m q m -⋅+=r u r r u r ，由此可得出q m =r u r，进而得解.【详解】由题意可知n m =-r u r，由()()q m q n -⊥-r u r r r 得出()()q m q m -⊥+r u r r u r ，()()0q m q m ∴-⋅+=r u r r u r ，即22q m =r u r ，因此，22303q m ==+=r u r .故选：C. 【点睛】本题考查向量模长的计算，同时也考查了向量垂直的等价条件的应用，解题的关键就是得出n m =-r u r，考查计算能力，属于基础题.4．近年来，随着4G 网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计不足10%的大学生使用app 主要玩游戏； ③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论. 【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.故选：C. 【点睛】本题考查统计中相关命题真假的判断，计算出相应的频数与频率是关键，考查数据处理能力，属于基础题. 5．记正项等比数列{}n a 满足234253a a a -=，则公比q =( ) A ．13B ．13或2- C ．2 D ．19【答案】A【解析】根据等比数列通项公式以及条件列方程解得公比. 【详解】依题意，2222253a a q a q -=，即23520q q +-=，故()()3120q q -+=，解得13q =或2q =-，而0n a >，故13q =. 故选：A 【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．已知ABC ∆中，23AB =22sin A ，5tan C =，则BC =( ) A ．83B ．8C ．3D ．4【答案】B【解析】先根据同角三角函数关系得6sin C =，再根据正弦定理求结果. 【详解】 因为5tan 5C =，所以6sin 6C =. 在ABC ∆中，由正弦定理，可得sin sin AB BCC A=2362263=，解得8BC =. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数关系以及正弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．下列函数中，既是偶函数又在()2,+∞上单调递减的是（ ）A ．()11x x e f x e -=+B ．()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭C ．()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩D ．()()2ln 11f x x =+-【答案】B【解析】分析每个选项中函数的奇偶性及各函数在区间()2,+∞上的单调性，由此可得出正确选项. 【详解】对于A 选项，函数()11xx e f x e -=+的定义域为R ，()()()()111111x x x x x xx x e e e e f x f x e e e e --------====-+++，该函数为奇函数， 又()()122111xx x e f x e e +-==-++，该函数在区间()2,+∞上单调递增；对于B 选项，解不等式101x x +>-，得1x <-或1x >，该函数的定义域为()(),11,-∞-+∞U ，关于原点对称，()()1111lg lg lg lg 1111x x x x f x f x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，该函数为偶函数，当2x >时，()121211111x x u x x x -++===+>---，则()1lg1x f x x +=-， 内层函数11x u x +=-在区间()2,+∞上为减函数，外层函数lg y u =为增函数， 所以，函数()1lg 1x f x x +⎛⎫=⎪-⎝⎭在()2,+∞上单调递减； 对于C 选项，作出函数()224,04,0x x x f x x x x ⎧-≥=⎨+<⎩的图象如下图所示：由图象可知，该函数为偶函数，且在()2,+∞上单调递增； 对于D 选项，函数()(2ln 11f x x =-的定义域为(][),11,-∞-+∞U ，()()((()22ln 11ln 11f x x x f x -=--=+-=，该函数为偶函数.内层函数211u x =-在()2,+∞上单调递增，外层函数ln y u =也为增函数， 所以，函数()(2ln 11f x x =-()2,+∞上单调递增.故选：B. 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义以及单调性的一些判断方法是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.8．记双曲线1C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）与双曲线2C ：221162y x -=无交点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．32⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．32⎛ ⎝⎦C ．[)3,+∞D ．(]1,3【答案】D【解析】先求双曲线2C 渐近线方程，再结合图象确定双曲线1C 确定渐近线渐近线斜率范围，解得结果. 【详解】双曲线2C ：221162y x -=的渐近线方程为2y x =±，由题意可知22b a ≤(]2211,3c be a a==+. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线渐近线与离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.9．已知长方体1111ABCD A B C D -的表面积为208，118AB BC AA ++=，则该长方体的外接球的表面积为（ ） A ．116π B ．106πC ．56πD ．53π【答案】A【解析】由题意得出11118104AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=⎧⎨⋅+⋅+⋅=⎩，由这两个等式计算出2221AB BC AA ++，可求出长方体外接球的半径，再利用球体表面积公式可计算出结果.【详解】依题意，118AB BC AA ++=，11104AB BC BC AA AB AA ⋅+⋅+⋅=，所以，()()222211112116AB BC AA AB BC AA AB BC BC AA AB AA ++=++-⋅+⋅+⋅=，故外接球半径222129AB BC AA r ++==，因此，所求长方体的外接球表面积24116S r ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是利用长方体的棱长来表示外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.10．已知函数()2,4,x x mf x x x x m<⎧=⎨+≥⎩，且p m ∀<，q m ∃≥，使得()()0f p f q +=，则m 的取值范围为( ) A ．(],2-∞- B ．(),2-∞-C ．(],0-∞D ．(),0-∞【答案】C【解析】先将条件转化为对应函数值域包含关系，再根据分段函数求对应区间值域，最后根据集合包含关系列不等式，解得结果. 【详解】依题意，()()f q f p =-，即函数()y f x =-在(),m -∞上的值域是函数()y f x =在[),m +∞上的值域的子集.因为()y f x =在[),m +∞上的值域为[)4,-+∞（2m ≤-）或2[4,)m m ++∞（2m >-），()y f x =-在(),m -∞上的值域为(),m -+∞，故24m m ≤-⎧⎨-≥-⎩或22,4,m m m m >-⎧⎨-≥+⎩，解得0m ≤. 故选：C 【点睛】本题考查分段函数性质以及函数值域，考查等价转化思想方法以及分析求解能力，属中档题. 11．已知函数()()22sin cos cos 2cos1sin f x x x x ωωϕωϕ=+-，0ω≠，0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.若()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()02f f ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ϕ=（ ）A ．512π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】D【解析】利用三角恒等变换思想化简函数()y f x =的解析式为()()sin 2f x x ωϕ=+，由()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭可知函数()y f x =的一条对称轴方程为6x π=，可得出ϕ的表达式，再结合条件()02f f ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭可求出ϕ的值. 【详解】依题意()()sin 2cos cos2sin sin 2f x x x x ωϕωϕωϕ=+=+. 因为()3f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以6x π=为函数()y f x =图象的一条对称轴，即32k πωπϕπ+=+，k ∈Z ，所以2366k πωππϕ=+-，①.因为()02f f ππω⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以()sin sin 2ϕπωϕ=+，②，结合①②可得sin sin 5ϕϕ=，又02πϕ<<，故5052πϕ<<，得5ϕϕπ+=或52ϕϕπ=+，解得6π=ϕ或2π（舍去）.故选：D. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，考查计算能力，属于中等题.12．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦点F ，直线l ：0bx ay -=与椭圆C 交于M 、N 两点，若tan 22MFN ∠=则椭圆C 的离心率为( ) A 5B 25C ．125D ．2225【答案】B【解析】先解得M,N 坐标，利用两点间距离公式得MNF ∆三边长，再根据余弦定理列方程，解得离心率. 【详解】不妨设M ，N 分别在第一、三象限，焦点(),0F c ，联立22220,1,bx ay x y ab -=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得22,22a b M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22a b N ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.故2222222222a b c MF c a ac ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222222a b c NF c a ac ⎛⎫⎛⎫=--+-=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 22222222422222a a b b MN a c ⎛⎫⎛⎫=--+--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在MNF ∆中，由余弦定理可得2222cos MNMF NF MF NF MFN =+-⋅⋅∠，而tan 22MFN ∠=21cos 3MF N ∠=，代入化简得4224101340c a c a -+=，其中2232c a >，解得2254c a =或222c a =（舍去），故25c e a ==. 故选：B 【点睛】本题考查余弦定理、椭圆离心率以及直线与椭圆交点，考查综合分析求解能力，属中档题.二、填空题 13．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 【答案】1613【解析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++-故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．设实数x 、y 满足21323340y x x y x y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值为______.【答案】173【解析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y=+，观察直线在y轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算可得出结果.【详解】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示.观察可知，当直线2z x y=+过点C时，直线2z x y=+在y轴上的截距最大，此时，z取得最大值，联立21323y xx y=-⎧⎨+=⎩，解得5373xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故z的最大值为max57172333z=⨯+=.故答案为：173.【点睛】本题考查线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线法找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.15．已知长方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，点E是线段11A B的中点，则1CD E∆在平面11BDD B上的正投影的面积为______.【答案】322【解析】根据条件作出1CD E∆在平面11BDD B上的正投影，确定正投影位置与形状，最后根据三角形面积公式求解. 【详解】作出图形如图所示，可知1CD E∆在平面11BDD B上的正投影仍然为一个三角形，点C在平面11BDD B上的正投影为线段BD的中点C'，点E在平面11BDD B上的正投影为线段11B D的靠近1B的四等分点E'，正投影的面积11332222242C E D S ''∆⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.32【点睛】本题考查正投影及其相关计算，考查空间想象与分析求解能力，属基础题.16．已知函数()f x 的定义域为R ，导函数为()f x '，若()()cos f x x f x =--，且()sin 02xf x '+<，则满足()()0f x f x π++≤的x 的取值范围为______.【答案】,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】构造函数()()cos 2xg x f x =-，再根据条件确定()g x 为奇函数且在R 上单调递减，最后利用单调性以及奇偶性化简不等式，解得结果. 【详解】 依题意，()()()cos cos 22x xf x f x --=--+， 令()()cos 2xg x f x =-，则()()g x g x =--，故函数()g x 为奇函数 ()()()cos sin 022x x g x f x f x '⎡⎤''=-=+<⎢⎥⎣⎦，故函数()g x 在R 上单调递减， 则()()()()()cos cos 0022x xf x f x f x f x πππ+++≤⇒+-+-≤ ()()()()()0g x g x g x g x g x ππ⇔++≤⇔+≤-=-，即x x π+≥-，故2x π≥-，则x 的取值范围为,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.故答案为：,2π⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=L . (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}12n n a a ++的前n 项和为n S . 【答案】(1)432n a n =-；(2)434n nS n =+. 【解析】(1)利用作差相减法求数列{}n a 的通项公式，注意验证1n =的情况是否满足； (2)直接利用裂项相消法求和. 【详解】(1)当1n =时，14a =.当2n ≥时，()12347324n a a a n a n ++++-=L ，()()1231473541n a a a n a n -++++-=-L ，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-.因为14a =也适合上式， 所以432n a n =-.(2)依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233412n n n S a a a a a a ++=+++L16111111113477101013313+4n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭L 16114343434nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查求数列通项以及裂项相消法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.18．某品牌奶茶公司计划在A 地开设若干个连锁加盟店，经调查研究，加盟店的个数x 与平均每个店的月营业额y (万元)具有如下表所示的数据关系： x 2 4 6 8 10 y 20.920.21917.817.1(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据(1)中的结果分析，为了保证平均每个加盟店的月营业额不少于14.6万元，则A 地开设加盟店的个数不能超过几个?参考公式:线性回归方程y bx a =+$$$中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑$，a y bx =-$$【答案】(1)$0.522y x =-+；(2)14个.【解析】(1)先求均值，再代入公式求b a ，$$，即得结果；(2)根据线性回归方程列不等式，解得结果. 【详解】 (1)依题意，24681065x ++++==，20.920.21917.817.1195y ++++==.()()()()()()514 1.92 1.22 1.24 1.97.6 2.4 2.47.620iii x x y y =--=-⨯+-⨯+⨯-+⨯-=----=-∑，()52116441640i i x x=-=+++=∑，所以()()()515210.5iii ii x x y y bx x ==--==--∑∑$，所以$190.5622ay bx =-=+⨯=$， 故所求的线性回归方程为$0.522y x =-+. (2)依题意，令0.52214.6x -+≥，解得14.8x ≤. 因为x *∈N ，所以A 地开设加盟店的个数不能超过14个.【点睛】本题考查线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．如图，在四棱锥S ABCD -中，122AB AD SD SB SC =====，90DSC BSC DAB ∠=∠=∠=︒.(1)若点F 在棱SC 上且13SF FC =，证明：//SA 平面BDF ； (2)求三棱锥A SBC -的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)169. 【解析】(1) 设AC 与BD 的交点为O ，根据计算以及平几知识得SA OF ∥，再根据线面平行判定定理得结果； (2)先利用线面垂直判定定理证明SC ⊥平面SBD ，再证明BD ⊥平面SAC ，最后根据锥体体积公式求结果. 【详解】(1)如图，连接AC ，记AC 与BD 的交点为O ，连接OF . 由题易知22BD =，25BC CD ==.所以可得ADC ABC ∆∆≌，所以ADO ABO ∆∆≌，所以2AO BO ==.而()()225232CO =-=，易知13AO OC =，故13AO SF OC FC ==，故SA OF ∥. 因为SA ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以//SA 平面BDF .(2)因为SC SB ⊥，SC SD ⊥，又SB SD S =I ，故SC ⊥平面SBD .所以SC BD ⊥ 如图，连接SO ，则SC SO ⊥，可知OSC ∆为直角三角形，222OS OC SC -= 易知点S 到直线AC 的距离为43，故148422233SAC S ∆=⨯=由(1)易知AC BD ⊥，又因为SC BD ⊥，AC SC C =I ，故BD ⊥平面SAC . 故11821623339A SBCB SAC SAC V V S OB --∆==⋅⋅=⨯=. 【点睛】本题考查线面平行判定定理、线面垂直判定定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 20．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 到准线l 的距离为2，直线1l 过点F 且与抛物线交于M 、N 两点，直线2l 过坐标原点O 及点M 且与l 交于点P ，点Q 在线段MN 上. (1)求直线NP 的斜率； (2)若21FM，21FQ，21FN成等差数列，求点Q 的轨迹方程.【答案】(1)0；(2)()22214x y -+=（0y ≠）.【解析】(1)先求抛物线方程，再设直线1l 方程以及M,N 坐标，解得P 点坐标，根据斜率公式化简直线NP 的斜率，最后联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入化简即得结果； (2) 设()00,Q x y ，根据等差中项性质以及弦长公式化简条件得222012211y y y =+，再根据（1）中韦达定理化简右边式子，最后根据001x m y -=代入化简得点Q 的轨迹方程. 【详解】(1)依题意，可得2p =，所以抛物线C ：24y x =.设直线1l ：1x my =+，联立21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩，得2440y my --=.设()11,M x y ，()22,N x y ，易知10x ≠，21x ≠-，则124y y m +=，124y y =-， 直线2l ：11y y x x =. 因为准线l ：1x =-，故111,y P x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故直线NP 的斜率为()()()121211121221212124401111y y x y x y my y y y m m x x x x x x x ++++-+====++++.(2)设()00,Q x y （00y ≠）.由(1)可得()22201FQ m y =+，()22211FMm y =+，()22221FN m y =+.由题可知222211FQFMFN=+，得222012211y y y =+. ()2212122222212122111681162y y y y m m y y y y +-++===+Q 因为001x m y -=，所以()2022001212x y y -=+化简可得()2200214x y -+=（00y ≠）.故点Q 的轨迹方程为()22214x y -+=（0y ≠）. 【点睛】本题考查抛物线方程、直线与抛物线位置关系以及动点轨迹方程，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数()22ln f x m x x =-.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若()y f x =的图象与直线y mx =交于(),M M M x y ，(),N N N x y 两点，且1M N x x >>，求实数m 的取值范围.【答案】(1)当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x 在20,2m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x 在20,2m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；(2)341,02e ⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭.【解析】(1)先求导数，根据0m =，0m >以及0m <三种情况讨论导函数符号，进而确定对应单调性；(2)先构造函数()22ln F x m x x mx =--，再求导数，根据0m >以及0m <两种情况讨论函数单调性，结合单调性确定满足条件的不等式，解得m 的取值范围，最后利用零点存在定理证明所求范围恰好保证函数有两个零点. 【详解】(1)依题意，()0,x ∈+∞，())22221211212mx mx m x f x m x x xx-+-'=-==.①若0m =，则()10f x x'=-<，故()f x 在()0,∞+上单调递减②若0m ≠，令()0f x '=，解得2x =或2x =. （i ）若0m >，则202m -<，202m >，则当20,2x m ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当22x m ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增；（ii ）若0m <，则202m ->，202m <，则当20,2x m ⎛∈- ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当2,2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增.综上所述，当0m =时，()f x 在()0,∞+上单调递减；当0m >时，()f x 在20,2m ⎛ ⎝⎭上单调递减，在22m ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当0m <时，()f x 在20,2m ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2m ⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. (2)令22ln m x x mx -=，则由题意可知22ln 0m x x mx --=有两个大于1的实数根，显然0m ≠. 令()22ln F x m x x mx =--，则()()()221112mx mx F x m x m x x+-'=--=. 若0m >，则当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()210,11ln 0,11,F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫=-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩此时无解； 若0m <，则当10,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0F x '<，当1,2x m ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0F x '>，要满足已知条件，必有()()210,13ln 20,2411,2F m m F m m m⎧⎪=->⎪⎪⎛⎫-=+-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪->⎪⎩解得34102e m -<<. 当34102em -<<时，()F x 在11,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()1102F F m ⎛⎫⋅-< ⎪⎝⎭，故函数()F x 在11,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有一个零点.易知2112m m >-，且22222111111ln ln F m m m m m m ⎛⎫=-->- ⎪⎝⎭，下证：ln 0x x ->.令()ln g x x x =-，则()11g x x'=-，当01x <<时，()0g x '<， 当1x >时，()0g x '>，故()()11ln10g x g ≥=->，即ln 0x x ->， 故222111ln 0F m m m ⎛⎫>->⎪⎝⎭，故21102F F m m ⎛⎫⎛⎫-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()F x 在1,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有一个零点.综上所述，实数m 的取值范围为341,02e ⎛⎫⎪- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查分类讨论思想方法以及综合分析求解能力，属难题.22．已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为314x a ty t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为424πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点. （1）求实数a 的取值范围； （2）若2a =，点()2,1A ，求11AP AQ+的值. 【答案】（1）1110211102-+⎝⎭；（22191. 【解析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为普通方程，将直线l 的参数方程化为普通方程，可知曲线C 为圆，利用圆心到直线l 的距离小于半径，列出关于实数a 的不等式，解出即可；（2）将直线l 的参数方程化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），将该参数方程与曲线C 的普通方程联立，列出韦达定理，并利用t 的几何意义可计算出11AP AQ+的值. 【详解】（1）曲线():4sin cos C ρθθ=+，故()24sin cos ρρθρθ=+，则2244x y x y +=+，即()()22228x y -+-=，直线:43340l x y a +--=， 故圆心()2,2到直线l 的距离114225a d -=<，解得1121110244a -+<<， 即实数a 的取值范围为111021110244⎛-+ ⎝⎭； （2）直线l 的参数方程可化为325415x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），代入()()22228x y -+-=中，得28705t t +-=.记P 、Q 对应的参数分别为1t 、2t ，则1285t t +=-，127t t =-. 故12121212121111219135t t t t AP AQ t t t t t t +-+=+===. 【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，同时也考查了直线参数方程t 的几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.23．已知函数()2134f x x x =++-. （1）求不等式()22f x x >+的解集； （2）若()1f x k x ≥-在R 上恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）分21x <-、1423x -≤≤、43x >三种情况解不等式()22f x x >+，综合可得出该不等式的解集；（2）分0k ≤和0k >两种情况讨论，0k ≤时，()1f x k x ≥-在R 上恒成立；0k >时，作出函数()y f x =，1y k x =-的图象，利用数形结合思想找出临界位置，可得出关于k 的不等式，解出k 的范围，综合可得出结论.【详解】（1）依题意213422x x x ++->+.若21x <-，原式化为213422x x x ---+>+，解得17x <，故21x <-； 若1423x -≤≤，原式化为213422x x x +-+>+，解得1x <，故112x -≤<；若43x >，原式化为213422x x x ++->+，解得53x >，故53x >.综上所述，不等式()22f x x >+的解集为()5,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U ；（2）依题意21341x x k x ++-≥-， 显然0k ≤时该式成立.当0k >时，在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y k x =-的图象，如图所示. 观察可知，临界状态为曲线1y k x =-过点111,22A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时113k =，故1103k <≤. 综上所述，实数k 的取值范围为11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查数形结合思想与分类讨论思想的应用，属于中等题.。

河南天一大联考高三上学期1月期末联考文科数学试题学科：数学总分：150分第一部分：选择题（共30分）请将正确答案的字母标号填在答卷相应位置上。

1. 已知函数f(x) = 2x - 5，则f(3)的值为：A. -1B. 0C. 1D. 22. 设直角三角形ABC中，∠A = 90度，AB = 3cm，AC = 4cm，则三角形ABC的面积为：A. 3cm²B. 5cm²C. 6cm²D. 12cm²3. 已知函数y = ax^2 + bx + c，其中a > 0，当x = 2时，y = 10；当x = -1时，y = 6。

则a、b、c的值分别为：A. 1, -2, 5B. 1, 5, -2C. 5, -2, 1D. -2, 1, 5（以下省略题目4-27）28. 中加粗部分的方程(x^2 + y^2 - 6x + 8y - 8 = 0)的解集是：A. ∅B. x = 2, y = -2C. x = 2, y = 2D. x = -2, y = -229. 设事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.3，事件A与事件B 的交集的概率为0.1，则事件A与事件B的并集的概率为：A. 0.1B. 0.2C. 0.6D. 0.730. 成中学校汽车站的工班表如下图所示：从图中可以得出哪项信息：A. 全天都有车次发车B. 7:00前有车次发车C. 8:00~10:00有车次发车 D. 有任意两个整点间有车次发车第二部分：解答题（共120分）请将解答所得的结果填在答卷相应位置上。

31. 已知集合A = {x | x - 3 > 0}，集合B = {x | x ≥ 2}，求A ∩ B。

32. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(-1)的值，并判断x + 1是否为f(x)的一个因式。

33. 解不等式5 - 2x ≤ 6和3x + 2 > 5。

2021届河南省（天一）大联考高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}250,A xx x B =-<=Z ∣，则A B 中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】化简集合A ，根据交集运算即可求解. 【详解】{}250(0,5),Z A x x x B =-<==∣，{1,2,3,4}A B ∴=∴A B 中元素的个数为4个，故选：B2．若23z z i +=-，则||z =（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，代入已知等式求得,a b 后再由得数的模的定义计算． 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，则22()33z z a bi a bi a bi i +=++-=-=-，∴以331a b =⎧⎨-=-⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩，∴==z ．故选：B ．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为15，则袋中球的总个数为（ ） A ．5 B ．8C ．10D ．12【答案】C【分析】设袋中球的总个数为n ，根据已知条件可得出关于n 的等式，由此可求得n 的值.【详解】设袋中球的总个数为n ，由题意可得215n =，解得10n =. 故选：C.4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45︒，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．3B．2C．3D．3【答案】D【分析】由正四棱锥侧棱，高，侧棱在底面上的射影构成的直角三角形求出侧棱与底面边长的关系，从而得面积比值．【详解】塔顶是正四棱锥P ABCD-，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为21S a=，22AO a=，45PAO∠=︒，∴222PA a a=⨯=，PAB△是正三角形，面积为223S a=，所以213SS=．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A ．15B ．29C ．72D ．185【答案】C【分析】根据程序框图依次执行循环即可.【详解】第一次执行循环，2113,3112a b =⨯==⨯-=+，不满足3i ≥，则011i =+=，第二次执行循环，2317,3215a b =⨯==⨯-=+，不满足3i ≥，则112i =+=， 第三次执行循环，27115,35114a b =⨯==⨯-=+，不满足3i ≥，则213i =+=， 第四次执行循环，215131,314141a b =⨯==⨯-=+，满足3i ≥，输出314172a b +=+=.故选：C.6．已知110a b >>，则下列不等式①1b a >；②a b >；③33a b >；④1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．其中正确的是（ ） A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④【答案】D【分析】由已知条件可得出0b a >>，利用不等式的基本性质可判断①②的正误，利用函数的单调性可判断③④的正误.【详解】110a b >>，则0a >，0b >，0ab ab a b∴>>，即0b a >>. 对于①，由不等式的性质可得1b aa a>=，①正确；对于②，0b a >>，则b a >，②错误；对于③，由于函数3y x =在R 上为增函数，所以，33b a >，③错误；对于④，由于函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上为减函数，所以，1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，④正确. 故选：D.7．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，点,A B 是曲线()y f x =相邻的两个对称中心，点C 是()f x 的一个最值点，若ABC 的面积为1，则ω=（ ） A ．1 B ．2πC ．2D ．π【答案】D【分析】利用正弦函数性质及ABC 的面积，可得周期，然后求得ω． 【详解】由题意112122ABC C S AB y AB AB =⨯=⨯==△，所以12T=，即周期为2T =，所以22πωπ==． 故选：D ．8．已知函数2()-=+-x x f x e e x ，则不等式(2)(2)f m f m >-的解集为（ ） A ．2(,2),3⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭B ．2,(2,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2,23⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后结合奇偶性和单调性解不等式． 【详解】2()xx f x ee x --=+-()f x =，()f x 是偶函数，()2-=--'x x f x e e x ，设()2x x g x e e x -=--，则()220x x g x e e -'=+-≥=，所以()g x 是增函数，0x ≥时，()(0)0g x g ≥=，即0x ≥时，()0f x '≥， 所以在[0,)+∞上，()f x 是增函数．又()f x 是偶函数，所以不等式(2)(2)f m f m >-化为(2)(2)f m f m >-，所以22m m >-，解得2m <-或23m >．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数的奇偶性与单调性解不等式．在确定单调性需利用导数的知识，为了确定()'f x 的正负，还需进行二次求导．9．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,A B C 的大小成等差数列，且7,13b a c =+=，则ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由等差数列得3B π=，再由余弦定理结合已知求得ac ，从而可得三角形面积．【详解】∵,,A B C 等差数列，又A B C π++=，∴3B π=，所以2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-，即227133ac =-，40ac =，∴11sin 40sin 223ABC S ac B π==⨯⨯=△ 故选：C ．10．已知球O 的半径为5，球面上有,,A B C 三点，满足AB AC BC ===，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，则可求出三棱锥的高，进而求出三棱锥体积.【详解】设ABC 的外接圆的圆心为D ，半径为r ，在ABC 中，cos4ABC ∠==，sin 4ABC ∴∠=，由正弦定理可得28sin ACr ABC==∠，即4r =，则22543OD =-=，1111421427377332O ABC ABCV SOD -∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查球内三棱锥的相关计算，解题的关键是利用正弦定理求出ABC 的外接圆半径，利用勾股关系求出高.11．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=+，当01x <<时，()2-=x f x ，则21log 257f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．8-B ．1256-C ．256257D ．256257-【答案】D【分析】由周期性和奇偶性进行计算．【详解】∵(3)(1)f x f x +=+，∴()f x 是周期函数，周期为2T =， 又()f x 是奇函数，221log log 257(9,8)257=-∈--， ∴2257log 2562222211256256257256log log 8log log log 2257257257257256257f f f ff-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==--=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．12．已知点A 在直线360x y +-=上运动，点B 在直线380x y -+=上运动，以线段AB 为直径的圆C 与x 轴相切，则圆C 面积的最小值为（ ）A ．4π B ．32π C ．94π D ．52π【答案】C【分析】已知两直线垂直，设其交点为M ，则M 在以AB 为直径的圆上，过M 作x 轴垂线MD ，D 为垂足，D 为切点时圆心半径最小，此时MD 即为圆直径．由此易得面积最小值．【详解】设已知两直线交点为M ，由于两直线的斜率分别为3-和13，因此它们垂直，则以AB 为直径的圆过点M ，由360380x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得13x y =⎧⎨=⎩，即(1,3)M ， 过M 作x 轴垂线MD ，D 为垂足，D 为圆与x 轴切点时圆半径最小，此时MD 即为圆直径．所以圆半径为322MD r ==，面积为23924S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭． 故选：C ．二、填空题13．平面向量(2,2),(1,3)a b ==-，若()()a b a b λ-⊥+，则λ=_____________．【答案】32【分析】首先分别求向量a b -和a b λ+的坐标，再利用向量数量积的坐标表示求参数λ的值.【详解】()2,2a =，()1,3b =-，()3,1a b ∴-=-，()21,23a b λλλ+=-+，()()a b a b λ-⊥+，()()321230λλ∴⨯--+=，解得：32λ=. 故答案为：3214．若实数x 、y 满足约束条件23023030x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则x y -的取值范围是_____________．【答案】[]1,1-【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y =-，找到使得直线z x y =-在x 轴上的截距最大和最小时对应的最优解，求出目标函数z x y =-的最大值和最小值，由此可得出结果.【详解】令z x y =-，作出不等式组23023030x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立23030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，即点()1,2A ；联立23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，即点()2,1C .平移直线z x y =-，当直线z x y =-经过可行域的顶点A 时，该直线在x 轴上的截距最大，此时z 取最小值，即min 121z =-=-；当直线z x y =-经过可行域的顶点C 时，该直线在x 轴上的截距最小，此时z 取最大值，即max 211z =-=.综上所述，x y -的取值范围是[]1,1-. 故答案为：[]1,1-.【点睛】思路点睛：本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的值域，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．若函数()1xf x e a =--有两个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】(1,)+∞【分析】由题可得10xe a --=有两个解，即1x e a =+或1x e a =-都有解，即可求出. 【详解】函数()1xf x e a =--有两个零点，10x e a -∴-=有两个解，则1x e a =+或1x e a =-都有解，1010a a +>⎧∴⎨->⎩，解得1a >，故a 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞.【点睛】本题考查根据函数零点求参数范围，解题的关键是得出1x e a =+或1x e a =-都有解.16．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点是F ，左、右顶点分别是,A B ，过F 且与x 轴垂直的直线与双曲线交于,P Q 两点，若AP BQ ⊥，则双曲线的离心率为______________．【分析】求出,P Q 坐标，由AP BQ ⊥可得1AP BQ k k ⋅=-，可得4224320c a c a -+=，即42320e e -+=，即可求出.【详解】PQ x ⊥轴，将x c =-代入双曲线可得2by a=±，不妨令22,,b b P c Q c a a ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,，()(),0,,0A a B a -AP BQ ⊥，1AP BQk k ∴⋅=-，即221b b a a c a c a-⋅=--+--， 即4224b a c a =-，即4224320c a c a -+=，42320e e ∴-+=，解得21e =（舍去）或22e =，e ∴=..三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n nS a 和2n a 的等差中项为1． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设41log n n b a +=，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 【答案】（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）22n nT n =+． 【分析】（Ⅰ）利用等差中项的定义得出n S 与n a 的关系，然后由1(2)n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的递推关系，求出1a 其为等比数列，从而得通项公式； （Ⅱ）用裂项相消法求和n T ． 【详解】解：（Ⅰ）因为n nS a 和2n a 的等差中项为1， 所以22n n nS a a +=，即22n n S a =-，当2n 时，1122n n S a --=-．两式相减得1122n n n n S S a a ---=-，整理得12n n a a -=． 在22n n S a =-中，令1n =得12a =，所以，数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，因此1222n nn a -=⨯=．（Ⅱ）411log 2n n n b a ++==． 则114114(1)(2)12+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭n n b b n n n n ． 所以11111111244233412222n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯-=⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭． 【点睛】方法点睛：本题考查求等比数列的通项公式，裂项相消法求和．数列求和的常用方法：设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1{}n n ka a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa qb +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和． 18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试他们的笔试成绩都在[40,100]内，按照[40,50),[50,60),,[90,100]分组，得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a 的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．【答案】（Ⅰ）0.020a =；（Ⅱ）74.5；（Ⅲ）65分．【分析】（1）根据频率和为1，即小矩形面积和为1，求a ；（Ⅱ）利用每组数据中点值乘以本组的频率和，计算平均数；（Ⅲ）首先计算录取比例，根据录取比例求分数线. 【详解】（Ⅰ）由题意(0.0050.0100.0300.015)101a a +++++⨯=， 解得0.020a =．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为450.05550.1650.2750.3850.2950.1574.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x ，根据频率分布直方图可知[60,70)x ∈， 且(70)0.020.30.20.150.75x -⨯+++=， 解得65x =．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为平行四边形，133,5,cos ,,5AD AB BAD BD DD E ==∠==是1CC 的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE ⊥平面1ADD ； （Ⅱ）求点1C 到平面BDE 的距离． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）1313． 【分析】（Ⅰ）由余弦定理求出BD ，可得AD BD ⊥，再由1DD BD ⊥可得BD ⊥平面1ADD ，即得证；（Ⅱ）在平面1BCC 内作1C F BE ⊥，可得1C F ⊥平面BDE ，则1C F 的长就是点1C 到平面BDE 的距离，求出即可.【详解】解析：（Ⅰ）由题意可得2222cos 16BD AD AB AB AD BAD =+-⨯∠=， 所以222AD BD AB +=，因此AD BD ⊥，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD BD ⊥， 又因为1ADDD D =，所以BD ⊥平面1ADD ，因为BD ⊂平面DBE ，所以平面DBE ⊥平面1ADD ．（Ⅱ）如图，在平面1BCC 内作1C F BE ⊥，垂足为F ． 由（Ⅰ）知BD ⊥平面1ADD ，因为平面1//ADD 平面1BCC ， 所以BD ⊥平面1BCC ，所以1BD C F ⊥， 又因为BD BE B ⋂=，所以1C F ⊥平面BDE ．所以线段1C F 的长就是点1C 到平面BDE 的距离．因为114,3CC DD BD BC ====，所以12,13CE C E BE ==．在平面1BCC 内，可知1BCE C FE ∽， 所以1113C FBC C E BE ==，得161313C F =， 所以点1C 到平面BDE 的距离为61313．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查点面距离的求解，解题的关键是在平面1BCC 内作1C F BE ⊥，判断出线段1C F 的长就是点1C 到平面BDE 的距离. 20．已知椭圆1C 6，一个焦点坐标为(0,2)，曲线2C 上任一点到点9,04⎛⎫⎪⎝⎭和到直线94x =-的距离相等．（Ⅰ）求椭圆1C 和曲线2C 的标准方程；（Ⅱ）点P 为1C 和2C 的一个交点，过P 作直线l 交2C 于点Q ，交1C 于点R ，且,,Q R P 互不重合，若PQ RP =，求直线l 与x 轴的交点坐标．【答案】（Ⅰ）221412x y +=；29y x =；（Ⅱ）(2,0)-． 【分析】（Ⅰ）根据离心率和焦点求出,a b 可得椭圆方程，可判断曲线2C 为抛物线，即可得出方程；（Ⅱ）联立椭圆与抛物线求出点P 坐标，可得直线l 斜率存在，设:(1)3l y k x =-+，联立直线与抛物线可得93Q k y k -=，联立直线与椭圆可得229363R k k y k--=+，由PQ RP =可得32Q Ry y +=，即可解出k ，得出所求.【详解】（Ⅰ）设22122:1(0)x y C a b b a+=>>，==2212,4a b ==， 所以1C 的标准方程为221412x y +=，曲线2C 是以9,04⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，94x =-为准线的抛物线，故2C 的标准方程为29y x =．（Ⅱ）联立2223129x y y x⎧+=⎨=⎩，解得13x y =⎧⎨=±⎩，不妨取(1,3)P ，若直线l 的斜率不存在，Q 和R 重合，不符合条件． 故可设直线:(1)3l y k x =-+，由题意可知0k ≠．联立239y kx k y x =+-⎧⎨=⎩，可得93Q ky k -=．联立223312y kx k x y =+-⎧⎨+=⎩，可得229363R k k y k --=+． 因为PQ RP =，所以P 是QR 的中点，所以32Q Ry y +=，即229393663k k kk k ---+=+．解得1k =．所以直线l 的方程为2y x =+，其与x 轴的交点坐标为(2,0)-．【点睛】本题考查椭圆和抛物线中的直线方程的求解，解题的关键是联立直线与曲线求出,Q R 坐标，利用P 是QR 的中点求解. 21．已知函数()ln 1ln f x x x x x =+--．（Ⅰ）设函数()y f x =在1x =和x e =处的切线交直线1y =于,M N 两点，求||MN ； （Ⅱ）设()0f x 为函数()y f x =的最小值，求证：()0102f x -<<．【答案】（Ⅰ）2||1e MN e =-；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）求出导函数，得切线方程，然后求得交点,M N 坐标后可得线段长MN ；（Ⅱ）由零点存在定理得()'f x 存在一个零点0(1,2)x ∈，并求出最小值0()f x ，利用0()0f x '=化简0()f x 后根据0(1,2)x ∈可证上得结论．【详解】解：（Ⅰ）函数()f x 的导函数为11()1ln 1ln f x x x x x'=+--=-． 所以1(1)1,()1f f e e''=-=-．又因为(1)0,()0f f e ==， 因此()y f x =在1x =和x e =处的切线方程分别为1y x =-+和1()e y x e e-=-． 令1y =，可得M 和N 的坐标分别为(0,1)和2,11e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故2||1e MN e =-．（Ⅱ）因为1()ln f x x x '=-在(0,)+∞上单调递增，而1(1)10,(2)ln 202f f ''=-<=->，所以必然存在0(1,2)x ∈，满足()00f x '=，且当()00,x x ∈）时()0f x '<，当()0,x x ∈+∞时()0f x '>． 即()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，当0x x =时，()f x 取得最小值()00000ln 1ln f x x x x x =+--． 由()00f x '=可得001ln x x =，所以()00012f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 当0(1,2)x ∈时，00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()0102f x -<<． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，考查用导数求函数的最值．求最值时在极值点0x 不能直接求出时，对极值点（最值点）0x 进行定性分析：确定其取值范围，利用注意0()0f x '=得出0x 满足的性质，代入0()f x 化简表达式后再求解．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为435335x t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为33x y s ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（s 为参数）．（1）设1l 与2l 的夹角为α，求tan α；（2）设1l 与x 轴的交点为A ，2l 与x 轴的交点为B ，以A 为圆心，AB 为半径作圆，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A 的极坐标方程． 【答案】（1）913；（2）22cos 8ρρθ-=． 【分析】（1）设直线1l 和2l 的倾斜角分别为β和γ，求出tan β、tan γ的值，利用两角差的正切公式可求得tan α的值；（2）求出点A 、B 的坐标，可求得AB ，进而可求得圆A 的方程，再利用直角坐标方程与极坐标方程之间的转换关系可求得圆A 的极坐标方程. 【详解】（1）设直线1l 和2l 的倾斜角分别为β和γ， 由参数方程知3tan 4β=-，tan 3γ=-，所以，β和γ均为钝角，且βγ>， 则()tan tan 9tan tan 1tan tan 13βγαβγβγ-=-==+；（2）令3305t +=，解得5t =-，所以，4315t --=，所以1,0A ，令3010s +=，解得s =，所以，3210s --=-，所以()2,0B -，123AB ∴=+=，所以圆A 的直角坐标方程为()2219x y -+=，即2228x y x +-=，所以圆A 的极坐标方程为22cos 8ρρθ-=． 23．已知函数()|1||1|f x x ax =-++． （Ⅰ）当2a =时，解不等式()5f x ；（Ⅱ）当1a =时，若存在实数x ，使得21()m f x ->成立，求实数m 的取值范围．【答案】（Ⅰ）5533xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣；（Ⅱ）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【分析】（Ⅰ）由绝对值定义去掉绝对值符号化为分段函数形式3,1,1()2,1213,,2x x f x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，然后再分段求解即可.（Ⅱ）若存在x 使不等式21()m f x ->恒成立，即21m -大于等于()f x 的最小值，由绝对值的三角形不等式可得()f x 的最小值为2，从而可得答案.【详解】解：（Ⅰ）当2a =时，3,1,1()1212,1,213,,2x x f x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩当1≥x 时，由35x ≤得513x ≤≤； 当112x -<<时，由25x +≤得112x -<<；当12x ≤-时，由35x -≤得5132x -≤≤-．综上所述，不等式()5f x ≤的解集为5533xx ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭∣． （Ⅱ）当1a =时，()|1||1||11|2f x x x x x =-++≥++-=， 当且仅当11x -≤≤时，等号成立，即()f x 的最小值为2． 因为存在实数x ，使得21()m f x ->成立，所以212m ->． 解得32m >，因此m 的取值范围是3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点睛：本题考查解绝对值不等式和含绝对值不等式有解问题，解答本题的关键是根据题意将问题转化为21m -大于等于()f x 的最小值，由()|1||1||11|2f x x x x x =-++≥++-=得出最小值，属于中档题.。

2020-2021学年河南省天一大联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．62．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．23．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．124．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．1856．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．平面向量，若，则λ＝．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣5x＜0}，B＝Z，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6解：∵A＝{x|0＜x＜5}，B＝Z，∴A∩B＝{1，2，3，4}，∴A∩B中元素的个数为：4．故选：B．2．若z+2＝3﹣i，则|z|＝（）A．1B．C．D．2解：设z＝a+bi，则，因为z+2＝3﹣i，所以a+bi+2（a﹣bi）＝3﹣i，所以3a﹣bi＝3﹣i，所以3a＝3，﹣b＝﹣1，所以a＝1，b＝1，所以z＝1+i，故|z|＝．故选：B．3．在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，若袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，则袋中球的总个数为（）A．5B．8C．10D．12解：在一个不透明的袋子中，装有若干个大小相同颜色不同的小球，设袋中球的总数为n，∵袋中有2个红球，且从袋中任取一球，取到红球的概率为，∴，解得n＝10．则袋中球的总个数为10．故选：C．4．如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）A．B．C．D．解：塔顶是正四棱锥P﹣ABCD，如图，PO是正四棱锥的高，设底面边长为a，底面积为，因为，所以，所以△PAB是正三角形，面积为，所以．故选：D．5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．15B．29C．72D．185解：i＝0，a＝1，b＝1；第一次执行循环体后，a＝3，b＝2，不满足退出循环的条件，i＝1；第二次执行循环体后，a＝7，b＝5，不满足退出循环的条件，i＝2；第三次执行循环体后，a＝15，b＝14，不满足退出循环的条件，i＝3；第四次执行循环体后，a＝31，b＝41，满足退出循环的条件；故输出a+b值为72，故选：C．6．已知，则下列不等式：①；②|a|＞|b|；③a3＞b3；④．其中正确的是（）A．①②B．③④C．②③D．①④解：因为，所以b＞a＞0，所以，故①正确；|b|＞|a|，故②错误；b3＞a3，故③错误；由指数函数f（x）＝为减函数，又b＞a，所以f（a）＞f（b），即，故④正确，故正确的是①④．故选：D．7．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0），点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，点C是f（x）的一个最值点，若△ABC的面积为1，则ω＝（）A．1B．C．2D．π解：∵点A，B是曲线y＝f（x）相邻的两个对称中心，∴AB＝，点C是f（x）的一个最值点，则△ABC的高为2，∴三角形的面积S＝＝1，∴T＝2，∴＝2，∴ω＝π，故选：D．8．已知函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）的解集为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝e x+e﹣x﹣x2，所以f（﹣x）＝e﹣x+e x﹣（﹣x）2＝e x+e﹣x﹣x2＝f（x），所以函数为偶函数，又f′（x）＝e x﹣e﹣x﹣2x，故f″（x）＝e x+e﹣x﹣2≥0，所以f′（x）在R上单调递增，又f'（0）＝0，所以f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（2m）＞f（m﹣2）等价于|2m|＞|m﹣2|，解得或m＜﹣2．故选：A．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C的大小成等差数列，且b＝7，a+c＝13，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．解：△ABC中，因为A，B，C成等差数列，所以2B＝A+C，又A+B+C＝π，所以B＝．有余弦定理，可得b2＝a2+c2﹣2ac cos60°＝（a+c）2﹣3ac，即72＝132﹣3ac，所以ac＝40．所以△ABC的面积S＝ac sin B＝10．故选：C．10．已知球O的半径为5，球面上有A，B，C三点，满足AB＝AC＝2，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．解：由AB＝AC＝2，得cos∠BAC＝＝，则sin∠BAC＝，设OABC的外接圆半径为r，则2r＝＝＝8，所以r＝4，则球心O到平面ABC的距离等于＝3，则△ABC的面积S＝2×＝7，故三棱锥O﹣ABC的体积为＝7．故选：A．11．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝（）A．﹣8B．C．D．解：根据题意，函数f（x）满足f（x+3）＝f（x+1），则f（x+2）＝f（x），即f（x）是周期为2的周期函数，又由f（x）为奇函数，则＝f（﹣log2257）＝f（8﹣log2257）＝﹣f（log2257﹣8），而8＝log2256＜log2257＜log2512＝9，则0＜log2257﹣8＝log2＜1，且当0＜x＜1时，f（x）＝2﹣x，则＝﹣f（log2）＝﹣（）＝﹣，故选：D．12．已知点A在直线3x+y﹣6＝0上运动，点B在直线x﹣3y+8＝0上运动，以线段AB为直径的圆C与x轴相切，则圆C面积的最小值为（）A．B．C．D．解：∵直线3x+y﹣6＝0与直线x﹣3y+8＝0垂直，且交点为（1，3），∴以AB为直径的圆过点（1，3），又圆C与x轴相切，∴圆C的面积最小时，其直径恰好为点（1，3）到x轴的距离，此时圆的直径为3，则圆C面积的最小值为．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量，若，则λ＝．解：∵向量，∴﹣＝（3，﹣1），λ+＝（2λ﹣1，2λ+3）．∵，∴3（2λ﹣1）﹣1×（2λ+3）＝0，解得λ＝，故答案为：．14．若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），联立，解得B（1，2），令z＝x﹣y，化为y＝x﹣z，作出直线x﹣y＝0，把直线平移，由图可知，当直线经过A时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最小，z有最大值1，当直线经过B时，直线y＝x﹣z在y轴上的截距最大，z有最小值﹣1，∴x﹣y的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．15．若函数f（x）＝|e x﹣a|﹣1有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+∞）．解：f（x）的零点个数等价于曲线y＝|e x﹣a|与直线y＝1的交点个数，作出函数图象如图所示，由题意可知a＞1．故答案为：（1，+∞）．16．设双曲线的左焦点是F，左、右顶点分别是A，B，过F且与x轴垂直的直线与双曲线交于P，Q两点，若AP⊥BQ，则双曲线的离心率为．解：由题意知，A（﹣a，0），B（a，0），F（﹣c，0），把x＝﹣c代入双曲线方程中，有，∴y＝±，∴P（﹣c，），Q（﹣c，﹣），∵AP⊥BQ，∴＝（﹣c+a，）•（﹣c﹣a，﹣）＝c2﹣a2﹣＝0，化简得，a2＝b2，即a＝b，∴双曲线的离心率e＝＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且和的等差中项为1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log4a n+1，求数列的前n项和T n．解：（Ⅰ）由题意，可得，整理，得S n＝2a n﹣2，当n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，解得a1＝2，当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，可得S n﹣1＝2a n﹣1﹣2．两式相减，可得a n＝2a n﹣2a n﹣1，化简整理，得a n＝2a n﹣1，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，n∈N*，（Ⅱ）由（Ⅰ），可得b n＝log4a n+1＝log42n+1＝，则，∴T n＝++…+＝4×（﹣）+4×（﹣）+…+4×（﹣）＝＝＝．18．某企业招聘，一共有200名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[40，100]内，按照[40，50），[50，60），…，[90，100]分组，得到如图频率分布直方图：（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）求全体应聘者笔试成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）（Ⅲ）该企业根据笔试成绩从高到低进行录取，若计划录取150人，估计应该把录取的分数线定为多少．解：（Ⅰ）由题意（0.005+0.010+a+0.030+a+0.015）×10＝1，解得a＝0.020．（Ⅱ）这些应聘者笔试成绩的平均数为：45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.15＝74.5．（Ⅲ）根据题意，录取的比例为0.75，设分数线定为x，根据频率分布直方图可知x∈[60，70），且（70﹣x）×0.02+0.3+0.2+0.15＝0.75，解得x＝65．故估计应该把录取的分数线定为65分．19．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为平行四边形，AD＝3，AB＝5，cos ∠BAD＝，E是CC1的中点．（Ⅰ）求证：平面DBE⊥平面ADD1；（Ⅱ）求点C1到平面BDE的距离．【解答】（Ⅰ）证明：由题意可得BD2＝AD2+AB2﹣2AB×AD cos∠BAD＝16，所以AD2+BD2＝AB2，因此AD⊥BD．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，所以DD1⊥BD．又因为AD∩DD1＝D，AD⊂平面ADD1，DD1⊂平面ADD1，所以BD⊥平面ADD1，因为BD⊂平面DBE，所以平面DBE⊥平面ADD1．（Ⅱ）解：如图，在平面BCC1内作C1F⊥BE，垂足为F．由（Ⅰ）知BD⊥平面ADD1，因为平面ADD1∥平面BCC1，所以BD⊥平面BCC1，所以BD⊥C1F，又因为BD∩BE＝B，所以C1F⊥平面BDE．所以线段C1F的长就是点C1到平面BDE的距离．因为CC1＝DD1＝BD＝4，BC＝3，所以．在平面BCC1内，可知△BCE∽△C1FE，所以，得，所以点C1到平面BDE的距离为．20．已知椭圆C1的离心率为，一个焦点坐标为，曲线C2上任一点到点和到直线的距离相等．（Ⅰ）求椭圆C1和曲线C2的标准方程；（Ⅱ）点P为C1和C2的一个交点，过P作直线l交C2于点Q，交C1于点R，且Q，R，P互不重合，若，求直线l与x轴的交点坐标．解：（Ⅰ）设椭圆，根据条件可知，且，解得a2＝12，b2＝4，所以椭圆C1的标准方程为，曲线C2是以为焦点，为准线的抛物线，故C2的标准方程为y2＝9x；（Ⅱ）联立，解得x＝1，y＝±3，不妨取P（1，3），若直线l的斜率不存在，Q和R重合，不符合条件；故可设直线l：y＝k（x﹣1）+3，由题意可知k≠0，联立，解得，联立，解得，因为，所以P是QR的中点，所以，即，解得k＝1，所以直线l的方程为y＝x+2，其与x轴的交点坐标为（﹣2，0）．21．已知函数f（x）＝xlnx+1﹣x﹣lnx．（Ⅰ）设函数y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线交直线y＝1于M，N两点，求|MN|；（Ⅱ）设f（x0）为函数y＝f（x）的最小值，求证：﹣．解：（Ⅰ）函数f（x）的导函数为．（1分）所以．又因为f（1）＝0，f（e）＝0，因此y＝f（x）在x＝1和x＝e处的切线方程分别为y＝﹣x+1和．令y＝1，可得M和N的坐标分别为（0，1）和，故．（Ⅱ）因为在（0，+∞）上单调递增，而，所以必然存在x0∈（1，2），满足f′（x0）＝0，且当x∈（0，x0））时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．即f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，当x＝x0时，f（x）取得最小值f（x0）＝x0lnx0+1﹣x0﹣lnx0．由f′（x0）＝0，可得，所以．当x0∈（1，2）时，，所以．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（s为参数）．（Ⅰ）设l1与l2的夹角为α，求tanα；（Ⅱ）设l1与x轴的交点为A，l2与x轴的交点为B，以A为圆心，|AB|为半径作圆，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆A的极坐标方程．解：（Ⅰ）设直线l1和l2的倾斜角分别为β和γ，由参数方程知，则．（Ⅱ）令，得，所以A（1，0），令，得，所以B（﹣2，0），所以圆A的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝9，即x2+y2﹣2x＝8，所以圆A的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝8．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|ax+1|．（Ⅰ）当a＝2时，解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）当a＝1时，若存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|＝；当x≥1时，不等式f（x）≤5化为3x≤5，解得；当时，不等式f（x）≤5化为x+2≤5，解得；当时，不等式化为﹣3x≤5，解得．综上所述，不等式f（x）≤5的解集为．（Ⅱ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|≥|x+1+1﹣x|＝2，当且仅当﹣1≤x≤1时，等号成立，即f（x）的最小值为2．因为存在实数x，使得2m﹣1＞f（x）成立，所以2m﹣1＞2．解得，所以m的取值范围是．。

天一大联考高三年级上学期期末考试数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}0,2,4,6,|233n A B x N ==∈<，则集合A B 的子集个数为 A.8 B. 7 C. 6 D. 42.设i 为虚数单位，复数21a i i++为纯虚数，则实数a 的值为 A. -1 B. 1 C. -2 D. 23.“22a b >”是“ln ln a b >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了股股定理的绝妙证明。

下面是赵爽的弦图和注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实。

图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2⨯勾股+（股-勾）2=4朱实+黄实=弦实，化简得：+=222勾股弦.设勾股形中勾股比为1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为A. 866B. 500C. 300D. 1345.已知圆()22314x y -+=的一条切线y kx =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是A. (B. ()1,2C. )+∞ D.()2,+∞ 6.函数()cos 21x f x x x π=+的图象大致是7.已知0a >且1a ≠，如图所示的程序框图的输出值[)4,y ∈+∞，则实数a 的取值范围是A. (]1,2B. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()1,2D. [)2,+∞ 8. 已知点M 的坐标(),x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，N 为直线22y x =-+上任一点，则MN 的最小值是9.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为6，1C BC ∠的正切值为，当1AB AD AA ++的值最小时，长方体1111ABCD A B C D -外接球的表面积为A. 10πB. 12πC. 14πD. 16π10.已知函数()()1sin 20,022f x A x A πϕϕ⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线12x π=对称，若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()23m m f x -≤，则实数m 的取值范围是 A. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. []1,2 C. 3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. ⎣⎦11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8B. 10C. 12D. 1412.已知()f x '是定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数，若方程()0f x '=无解，且()()20160,,log 2017x f f x x ∀∈+∞-=⎡⎤⎣⎦，设()()()0.542,log 3,log 3a f b f c f π===，则,,a b c 的大小关系是A. b c a >>B. a c b >>C. c b a >>D. a b c >>第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知平面向量()()1,2,2,a b m ==-，且a b a b +=-，则2a b += .14.已知()0,απ∈，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 15.已知抛物线()21:0C y ax a =>的焦点F 也是椭圆()2222:104y x C b b +=>的一个焦点，点3,,12M P ⎛⎫ ⎪⎝⎭分别为曲线12,C C 上的点，则MP MF +的最小值为 . 16. 如图，在圆内接四边形ABCD 中，2,1,cos sin ,AB AD CD αβ===+则四边形ABCD周长的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知正项等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，334,7b S ==，数列{}n a 满足()11n n a a n n N *+-=+∈，且11a b =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18.（本题满分12分）如图，已知四边形ABCD 和ABEG 均为平行四边形，点E 在平面ABCD 内的射影恰好为点A ，以BD 为直径的圆经过点,,A C AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且.AD AB AE ==（1）求证：平面EFP ⊥平面BCE ；（2）求几何体ADG BCE -P EF B --的体积.19.（本题满分12分）2016年是红军长征胜利80周年，某市电视台举办纪念红军长征胜利80周年知识问答，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动.然后再各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品.（1）求此活动中各公园幸运之星的人数；（2）若乙公园中每位幸运之星中任选两人接受电视台记者的采访，求这两人均自乙公园的概率；（3）电视台记者对乙公园的签名人进行了是否有兴趣研究“红军长征”历史的问卷调查，统计结果如下（单位：人）：据此判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为有兴趣研究“红军长征”历史与性别有关.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于M,N 两点，2MNF ∆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于A,B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.21.（本题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+与()3b g x x=-的图象在点()1,1处有相同的切线. （1）若函数()2y x m =+与()y f x =的图象有两个交点，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()()3222m m F x x g x f x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭有两个极值点12,x x ，且12x x <， 求证：()22 1.F x x <-.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。