2020届河南省天一大联考高三阶段性测试(四) 数学

2019-2020 学年高中毕业班阶段性测试（四）理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{})2ln(,0)4()1(x y x N x x x M -==≥--=，则N M I =（ ）A.)2,1( B.]2,1[ C.]1-，（∞ D.]4,2(2.复数z 满足i z i 2121-=+，则z 的共轭复数z =（） A.i 43+- B.i 43-- C.i 5453+- D.i 54533.已知两个平面βα，，直线R l ⊂，则“β∥l ”是“βα∥”的（） A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.4)21(-+x x 展开式中的常数项为（） A.11 B.11 C.70 D.705.已知正实数c b a ,,满足2log ,log )41(,log )21(333===c b a b n ，则（ ） A.c b a << B.a b c << C.a c b << D.ba c <<6.已知向量b a ,的夹角为135322==，且b a λ+与b a垂直，则λ=（ ） A.1514 B.65 C.32 D.617.设不等式组⎩⎨⎧+-+x x x ，表示的平面区域为D ，命题p ：点（2,1）在区域D 内，命题q ：点（1,1）在区域D 内.则下列命题中，真命题是（ ）A.q p ∨⌝)(B.)(q p ⌝∨ C.)()(q p ⌝∧⌝ D.q p ∧8.函数x x x x f -+-=333)(的图象大致是（ ） A B C D9.已知21F F ，为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x E ：的左、右焦点，点M 为E 右支上一点.若1MF 恰好被y 轴平分，且ο3021=∠F MF ，则E 的渐近线方程为（） A.x y 22±= B.x y 2±= C.x y 3±= D.xy 2±=10.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)()1(4*2N n a S n n ∈+=，则8765a a a a +++=（ ）A.24B.48C.64D.7211.已知斜率为k （k>0）的直线l 过抛物线x y 42=的焦点，且与圆2)1()2(22=+++y x 相切.若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则AB =（） A.24 B.34 C.8 D.1212.定义在R 上的函数)(x f 的导函数为)(x f '，若)(2)(x f x f <'，则不等式)23()(84+>--x f e x f e x 的解集是（） A.),21(+∞- B.)21,(-∞ C.)1,21(- D.)21,1(-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某校高三年级一次模拟考试的数学测试成绩满足正态分布X ～),100(2σN ，若已知47.0)10070(=≤<X P ，则从该校高三年级任选一名学生，其数学测试成绩大于130分的概率为. 14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)3(32,1122≥=+=--n S S S a n n n ，则5a =. 15.已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，下列说法正确的有 .（写出所有正确说法的序号）①)(x f 的图象关于点)0,6(π-对称；②)(x f 的图象关于直线125π-=x 对称； ③)(x f 的图象可由x x y 2cos 2sin 3-=的图象向左平移2π个单位长度得到； ④方程03)(=+x f 在]0,2[π-上有两个不相等的实数根.16.已知正三棱锥P-ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积最大时，底面边长AB= .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中C C C c ,32sin 322sin ,342=+=为锐角.（1）若4=a ，求角B ；（2）若A B sin 2sin =，求△ABC 的面积.18.（12分）某班级有60名学生，学号分别为1～60，其中男生35人，女生25人.为了了解学生的体质情况，甲、乙两人对全班最近一次体育测试的成绩分别进行了随机抽样.其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样，他们得到各12人的样本数据如下所示，并规定体育成绩大于或等于80人为优秀.甲抽取的样本数据：女抽取的样本数据：（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关； （Ⅲ）判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由. 附:))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19.（12分） 已知直三棱柱111C B A ABC -中，E AA BC AC AB ,322,21====是BC 中点，F 是E A 1上一点，EF E A 41=. （Ⅰ）证明：⊥AF 平面BC A 1；（Ⅱ）求二面角11B E A C 的余弦值.20.（12分）已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x E ：的四个顶点依次连接可得到一个边长为32，面积为36的菱形.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线m kx y l +=：与圆32222b y x O =+：相切，且交椭圆E 于两点M ，N ，当MN 取得最大值时，求22k m +的值.21.（12分）已知函数x e x x f )1()(2-=.（Ⅰ）设曲线)(x f y =与x 轴正半轴交于点)0,(0x ，求曲线在该点处的切线方程；（Ⅱ）设方程)0()(>=m m x f 有两个实数根21,x x ，求证：)211(221em x x +-<-（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 224112（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2)3cos(=-πθρ（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求△OMN 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数14)(,1)(+-=-+-=x x g x a x x f（Ⅰ）当2=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式)()(x g x f ≤的解集包含]1,0[，求a 的取值范围.。

2020-2021学年河南省天一大联考高三（下）阶段性数学试卷（文科）（四）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.复数的共轭复数对应的点在复平面内的A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.如图所示的圆盘的三条直径把圆分成六部分，往圆盘内任投一飞镖大小忽略不计，则飞镖落到阴影部分内的概率为A.B.C.D.4.已知命题p：，使得；命题q：若x，，且，则，下列命题为真命题的是A. B. C. D.5.已知非零向量，的夹角为，且满足，，则A. B. C. D.6.已知，且，则A. B. C. D.7.若函数的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点M最近的零点，则在A. B. C. D.8.一个多面体的正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，如图所示，E、F是所在边的中点，则该多面体的表面积为A.B.C.D.9.已知双曲线的右焦点为F，直线l过F点与一条渐近线垂直，原点到l的距离等于虚轴的长，则双曲线的离心率为A. B. C. D.10.拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点c，使得为的导函数，则函数在上这样的c点的个数为A. 1B. 2C. 3D. 411.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为A. B. C. D.12.已知抛物没C：的焦点为F，准线为l，M，N为抛物线上的两点与坐标原点不重合，于A，于B，已知MN的中点D的坐标为，与的面积比为2：1，则p的值为A. 4B. 3C. 1D. 1或14.执行如图所示的程序框图，输出的______ .15.若x，y满足约束条件，则的取值范围为______ .16.在平面四边形PACB中，已知，，，沿对角线AB折起得到四面体，当PA与平面ABC所成的角最大时，该四面体的外接球的半径为______ .17.已知公差不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列.求数列的通项公式；设的前n项和为，令，设数列的前n项和为，证明：18.为提高空气质量，缓解交通压力，某市政府推行汽车尾号单双号限行.交通管理部门推出两个时间限行方案，方案A：早晨六点到夜晚八点半限号；方案B：早晨七点到夜晚九点限号.现利用手机问卷对600名有车族进行民意考察，考察其对A，B 方案的认可度，并按年龄段统计，岁为青年人，岁为中年人，人数分布表如下：年龄段人数180********现利用分层抽样从上述抽取的600人中再抽取30人，进行深入调查.若抽取的青年人与中年人中分别有12人和5人同意执行B方案；其余人同意执行A方案，完成下列列联表；并判断能否有的把握认为年龄层与是否同意执行方案A有关；同意执行A方案同意执行B方案总计青年12中年5总计30若从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人进行访谈，求抽取的3人中青、中年都有的概率.参考公式：，其中参考数据：19.如图，在直三棱柱中，，，，E为棱的中点，O为BE上一点，证明：；求C到平面的距离.20.已知椭圆C：的离心率为，椭圆的右焦点与右顶点及上顶点构成的三角形面积为求椭圆C的标准方程.已知直线与椭圆C交于A，B两点，若点Q的坐标为，向：是否存在k，使得？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由.21.已知函数若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围；当时，证明：对任意，恒成立.22.在直角坐标系中，直线l的参数方程为其中t为参数，为常数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，射线的极坐标方程为，射线与曲线C交于O，M两点.写出当时l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；在的条件下，若射线与直线l交于点N，求的取值范围.23.已知函数在的条件下，对任意a，，若，求的最小值.答案和解析【答案】1. D2. A3. B4. B5. D6. D7. C8. B9. B10. A11. C12. C13.14. 2515.16.17. 解：公差d不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列．，，成等比数列，，10，成等差数列．，，，，解得：，证明：，数列的前n项和为……，18. 解：因为参与调查的600人中，青年人所占的概率为，中年人所占的概率为，所以抽取的30人中，青年人有人，中年人有人，补充完整的列联表如下，同意执行A方案同意执行B方案总计青年61218中年7512总计131730所以，从同意执行B方案的4个青年人和2个中年人中，随机抽取3人，共有种可能结果，抽取的3人中青中年都有，包含2种情况：①1个青年，2个中年，有种；②2个青年，1个中年，有种，记C为事件“抽取的3人中青中年都有“，则19. 证明：，，，，则，在直三棱柱中，平面平面，平面平面，，平面ABC，则平面，可得，为的中点，且，可得，而，，得，又，平面BEC，而平面BEC，可得；解：由，同可证得平面，又平面，到平面的距离等于A到平面的距离等于1，，，，，可得，则，设C到平面的距离为h，由，得，解得：到平面的距离为20. 解：设椭圆C 的半焦距为由题意可知，即，代人，得所以又，所以，，故椭圆C的标准方程为直线与椭圆方程联立方程组得消去y 得，设，，则，是方程的两根，，所以故不存在k，使得21. 解：，若函数在上存在单调递减区间，则存在使得任意，，即，所以所以a的取值范围证明：因为，所以在上单调递增，在上单调递减，因为，所以，所以，即，所以，即22. 解：当时l的参数方程为：，普通方程为，所以l的极坐标方程为；C的极坐标方程为，，所以曲线C的参数方程为：因为，所以，，，，所以的取值范围为23. 解：当时，原不等式可转化为，即，解得舍；当时，原不等式可转化为，即，解得，所以；当时，原不等式可转化为，即，，所以综上所述，不等式的解集为所以不等式的最小整数解由得a，，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为【解析】1. 解：，，故选：可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法和区间的定义，二次函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．2. 解：复数的共轭复数对应的点在复平面内的第一象限，故选：利用复数的运算法则、共轭复数复数的定义、复数的几何性质即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数复数的定义、复数的几何性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3. 解：因为圆盘的三条直径把圆分成六部分，其中阴影部分与空白部分的面积相等，故飞镖落到阴影部分内的概率为故选：根据几何概型的公式，即求解阴影部分面积占圆盘面积的比例，求解即可，本题考查了几何概型的求解，解题的几何概型问题一般会转化为求解长度之比、面积之比、体积之比，属于基础题．4. 解：根据题意，对于命题p，，都有，则恒成立，而，故不存在x，使得成立，p是假命题，对于q，若x，，且，则，必有，q是真命题，则、、都是假命题，是真命题，故选：根据题意，分析命题p和q的真假，由复合命题真假的判断方法分析可得答案．本题考查命题真假的判断，涉及全称命题、特称命题真假的判断，属于基础题．5. 解：因为，，所以，所以，所以，解得，，则故选：由已知结合向量垂直的条件可求，然后结合向量数量积的定义可求．本题主要考查了向量数量积的定义及性质的应用，属于基础题．6. 解：因为，可得，即，解得，或舍去，又因为，所以故选：利用二倍角公式化简已知等式可得，解方程可得的值，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式即可求解的值．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．7. 解：函数的图象过点，直线向右平移个单位长度后恰好经过上与点M最近的零点，，结合五点法作图可得，求得，令，求得，可得函数的增区间为，则在上的单调递增区间为，故选：由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出的解析式，进而求出它在上的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8. 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体是由一个正方体切去一个三棱锥体构成；如图所示：故，，所以，所以故选：首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9. 解：双曲线的渐近线方程为：，右焦点坐标，则焦点到直线的距离为：，原点到l的距离等于虚轴的长，可得，可得，即，解得故选：利用已知条件推出c，b关系，然后转化求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．10. 解：函数，则，由题意可知，存在点，使得，即，所以，，作出函数和的图象，如图所示，由图象可知，函数和的图象只有一个交点，所以，只有一个解，即函数在上c点的个数为1个．故选：利用已知定义得到存在点，使得，转化为研究函数数和图象的交点个数，作出函数图象即可得到答案．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，属于中档题．11. 【分析】本题主要考查解三角形的应用，运用了角化边的思想，熟练掌握正弦定理、正弦面积公式、余弦定理和二倍角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．根据二倍角公式和正弦定理可得，再结合余弦定理可求得b的值，从而得，最后由，得解．【解答】解：，，由正弦定理知，，，即由余弦定理知，，解得，，，，的面积故选：12. 解：设MN交x轴于点R，l交x轴于点S，由与的面积比为2：1，则，由于M，N不是原点，则，又MN的中点D的坐标为，则直线MN的斜率存在，设MN方程为，，，联立，即，，，又，，代入得，故选：由题意可将与的面积表示出来，再用等量关系即可解出p的值．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线相交，属于基础题．13. 解：函数，则当时，根据，可得它的最大值当时，根据，综上，可得的最大值为，故答案为：由题意利用分段函数的单调性，求出它的最大值．本题主要考查分段函数的应用，函数的单调性和最值，属于中档题．第一次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，，满足退出循环的条件；故输出S值为25，故答案为：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．15. 解：画出约束条件表示的平面区域，如图阴影所示：把目标函数变形为，则直线经过点A时z取得最小值，经过点B 时z取得最大值，由，解得，由，解得，所以，所以的取值范围是故答案为：画出不等式组表示的可行域，把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求出取值范围．本题考查利用线性规划求函数的最值问题，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题．，作，垂足为E，所以，，因为，，所以，即，设P到平面ABC的距离为h，AP与平面ABC的夹角为，则，当h最大时，取得最大值，设O为外接球球心，O到平面ABC的距离d，，所以O在过外心且垂足于面ABC的直线上，外心为AC的中点，，解得，，故答案为：由题意先确定外接球的球心位置，然后结合球的性质求出满足题意的外接球半径，即可求解．本题主要考查了四面体的外接球的半径求解，解题的关键是确定外接球的球心及半径，属于中档题．17. 公差d不为0的等差数列满足，，成等比数列，，10，成等差数列．可得，，利用通项公式可得：，，解得，d，即可得出由可得可得，利用裂项求和方法即可得出数列的前n项和为，进而证明结论．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18. 先补充完整列联表，再计算K的观测值，并与附表对照，即可得出结论；抽取的3人中青中年都有，包含2种情况：①1个青年，2个中年；②2个青年，1个中年，再结合组合数与古典概型，即可得解．本题考查了独立性检验、古典概型和组合数的应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．19. 由已知求解三角形证明，进一步得到，求解三角形证明，可得平面BEC，可得；证明E到平面的距离等于A到平面的距离等于1，求出三角形的面积，然后利用等体积法求C到平面的距离．本题考查直线与平面垂直的判定及性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求得到平面的距离，是中档题．20. 根据题意建立两个关于a，b，c的方程，进而解出a，b，c即可求椭圆C的标准方程；联立直线与椭圆C，结合韦达定理求出即可得答案．本题主要考查椭圆的方程与性质，直线与椭圆的位置关系．属于中档题．21. 对求导得，若函数在上存在单调递减区间，则存在使得任意，，即，即可解得a的取值范围．先分析的单调性，由，推出，得，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，不等式的证明，属于中档题．22. 根据参数方程和极坐标方程基本概念求解；首先用表示和，再用三角函数值域确定取值范围．本题考查了参数方程化极坐标方程，考查了极坐标方程化参数方程，属于中档题．23. 零点分段求解不等式，即可得m的值；由，，利用乘“1”法及基本不等式即可求得W的最小值．本题主要考查绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．。

河南省天一大联考2020届上学期阶段性测试（12月）高三数学（文）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2|230,|03A x x x B x x =+-<=<<，则AB = A. ()0,1 B. ()0,3 C. ()1,1- D. ()1,3-2.定义()0ab dc ad bc bc =≠.已知复数1017100032i i i i -，则在复平面内，复数z 所对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 在长方形ABCD 中，E,F 分别是AB 边上靠近A,B 的四等分点，G 是CD 的中点，若4,AB AD ==，2AB =,则EG FG ⋅=A.-B. 2- D.24.已知()3sin 5f x ax b x =++，若()39f =，则()3f -= A. 0 B. 1 C. 9 D. -95.已知正六边形中，P,Q,R 分别是边AB,EF,CD 的中点，则向正六边形ABCDEF 内投掷一点，该点落在PQR ∆内的概率为A. 13B. 38C.23D.46.已知,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 3β=-，则tan 2β=2 D.7.割圆术是公元三世纪我国古代数学家刘徽创造的一种求圆的周长和面积的方法：随着圆内正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆的周长和面积.“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是大胆地应用了直代曲，无限趋近的思想方法求出了圆周率.某同学利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个计算圆周率的近似值的程序图如图所示，则输出的S 的值为（参考数据：sin150.2588,sin 7.50.1305==）A.2.598B. 3.1063C. 3.132D.3.1428.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. ()196π+B.()296π+C. )296π+53 D. )196π+9. 已知函数()()sin 0,0,2f x M x M πωϕϕϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，其中13,4,,0312A C ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，点A 是最高点，则下列说法错误的是 A.6πϕ=-B.若点B 的横坐标为23π，则其纵坐标为 2-C.函数()f x 在1023,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D.将函数()f x 的图象向左平移12π个单位得到函数4sin 2y x =的图象.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 是12,n n S S ++的等差中项，且143,3a S ==-，则8S 的值为A.129B.129-C.83D.83-11.已知函数()22x x f x -=-，函数()g x 为偶函数，且0x ≤时，()()g x f x =-.现有如下命题：①()()(),,,m n R m n f m f n ∃∈≠=；②()()(),,,m n R m n f m g n ∃∈<->()()f n g n --.则上述两个命题：A. ①真②假B. ①假②真C. ①②都假D. ①②都真12.已知函数()()()323211169,1323af x x x xg x x x a +=-+=-->，若对任意的[]10,4x ∈，总存在[]20,4x ∈，使得()()12f x g x =，则实数a 的取值范围为 A.91,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ B. [)9,+∞ C. [)91,9,4⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ D. [)39,9,24⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知实数,x y 满足250,0,26,x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则3z x y =+的取值范围为 .14.已知抛物线()220y px p =>上的第四象限的点()02,M y 到焦点F 的距离为0y ，则点M 到直线10x y --=的距离为 .15. 已知圆C （圆心C 在第一象限内）过点（1,0），（7,0），直线1y x =-截圆C的弦长为C 的标准方程为 .16. 如图，在四面体P ABC -中，4PA PB PC ===点O 是点P 在平面ABC上的投影，且tan 2APO ∠=P ABC -的外接球的体积为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分10分）已知等差数列{}n a 的公差为d ，若11a =，且1342,1,1a a a -+成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若0d >，数列{}n b 的通项公式为()22nn n b a n =++⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.（本题满分12分）如图所示，在ADE ∆中，B,C 分别为AD,AE 上的点，若,4,16.3A AB AC π===， （1）求sin ABC ∠的值；（2）记ABC ∆的面积为1S ，四边形BCED 的面积为2S ，若121633S S =，求BD CE ⋅的最大值.19.（本题满分12分）为了了解“喝茶”对“患癌症”是否有影响，现对300名不同地区的居民进行身体状况的调查，得到如图所示的列联表：（1） 完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“喝茶”对“患癌症”有影响；（2） 在上述患癌症的人群中按照喝茶情况进行分层抽样，抽取8名进行基本情况登记，再从中随机选取2人进行调查，求至少有1人每日喝茶超过60ml 的概率.20. （本题满分12分）已知三棱柱111ABC A B C -中，底面三角形ABC 时直角三角形，四边形11ACC A 和四边形11ABB A 均为正方形，,,D E F 分别是111,,A B C C BC 的中点， 1.AB =（1）证明:DF ⊥平面ABE ；（2）求三棱锥1A ABE -的体积.21.（本题满分12分）如图，O 为坐标原点，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，以椭圆C 的长轴长、短轴长分别为邻边的矩形的面积为8.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若,P Q 是椭圆上的两个动点，且14OP OQ k k ⋅=-，试问：OPQ S ∆是否是定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.22.（本题满分12分）已知函数()2ln 2.f x x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；（2）若关于x 的方程()()2f x k x =+在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不同的实数根，求k 的取值范围.河南省天一大联考2020届上学期阶段性测试（12月）高三数学（文）试卷参考答案。

绝密★启用前2020届天一大联考高三毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合()(){}140M x x x =--≥，(){}ln 2N x y x ==-，则M N =（）A ．()1,2B ．[]1,2C ．(],1-∞D ．(]2,4答案：C首先求出集合M 、N ，再根据交集的定义计算可得； 解： 解：由题意，集合()(){}{}14041M x x x x x x =--≥=≥≤或，(){}{}ln 22N x y x x x ==-=<，所以{}(]1,1M N x x ⋂=≤=-∞．故选：C 点评：本题主要考查了集合的运算、不等式的解法和函数的定义域，考查了推理与运算能力，属于基础题． 2．复数z 满足1212ii z+=-，则z 的共轭复数z =（） A ．34i -+ B ．34i --C ．3455i -+ D ．3455i -- 答案：D根据复数代数形式的除法运算求出复数z ，从而求出z 的共轭复数； 解：解：由1212ii z+=-，得()()()()1212123412121255i i i z i i i i +++===-+--+，所以3455z i =--． 故选：D 点评：本题主要考查了复数的共轭复数的概念、复数的运算法则，考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“//l β”是“//αβ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：B利用定义法直接判断即可. 解：若l α⊂，//l β不能推出//αβ，因为α与β可能相交；反过来，若l α⊂，//αβ，则l 与β无公共点，根据线面平行的定义，知//l β. 所以“//l β”是“//αβ”的必要不充分条件. 故选：B. 点评：本题考查充分条件、必要条件的应用，在判断充分条件、必要条件时，有如下三种方法：1.定义法，2.等价法，3.集合间的包含关系法.4．412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（） A ．11- B ．11C ．70D ．70-答案：C将412x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭变形为()841x x-，写出()81x -展开式的通项()8181r r r r T C x -+=-，令840r --=求出r ，从而求出二项式展开式的通项. 解：解：()844112x x x x -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，又()81x -展开式的通项()8181r r rr T C x -+=-，取840r --=，得4r =，常数项为()448C 170⨯-=．故选：C 点评：本题考查了二项式定理，考查转化思想，属于中档题.5．已知正实数a ，b ，c 满足31log 2a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 4bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log 2c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<答案：B在同一坐标系里画出12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =的图象，即可得到1a b >>，再根据对数的性质可得1c <，从而得解； 解：解：在平面直角坐标系里画出12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =的图象，可得1a b >>．而3log 21c =<，故c b a <<．故选：B点评：本题考查通过指数函数与对数函数的图象的交点判断数值的大小，考查数形结合思想，属于中档题． 6．已知向量a ，b 的夹角为135°，22a =，3b =，且a λb +与a b -垂直，则λ=（） A ．1415B ．56C ．23D ．16答案：A首先求出a b ⋅，再根据a λb +与a b -垂直，得到()()0a b a b λ+⋅-=，即可得到方程，从而求出参数的值； 解： 解：由22a =，3b =，a，b的夹角为135°，得cos ,223cos1206a b a b a b ︒⋅=⋅=⨯⨯=-．由a λb +与a b -垂直，得()()()()22186190a b a b a a b b λλλλλ+⋅-=+-⋅-=---=，解得1415λ=． 故选：A 点评：本题考查了向量的数量积运算．向量垂直的充要条件．考查学生的数学运算能力，属于基础题.7．设不等式组21022020x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域为D ，命题p ：点()2,1在区域D 内，命题q ：点()1,1在区域D 内．则下列命题中，真命题是（） A ．()p q ⌝∨ B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∧答案：A首先作出不等式组表示的平面区域，从而判断命题p 、q 的真假，再根据复合命题的真值表判断可得； 解：解：作出不等式组表示的平面区域D 如下所示，可知点()2,1不在区域D 内，所以命题p 为假命题，p ⌝为真命题，点()1,1在区域D 内，所以命题q 为真命题，命题()p q ⌝∨为真命题.故选：A 点评：本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域，以及复合命题的真假判定，考查学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 8．函数()333x xxf x --=+的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．答案：D首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性，最后根据0x >时函数值的正负情况确定函数图象； 解： 解：()333x x x f x --=+的定义域为R ．又因为()()()333x xx f x f x ----==-+，且()00f =，所以()f x 为R 上的奇函数，即函数图象关于原点对称，故A ，B 排除．当0x >时()f x 的分子为负数，分母为正数，故()0f x <．排除C 项． 故选：D ． 点评：本题考查函数的图象与性质，考查识别图象的方法——排除法，属于基础题．9．已知1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点．若1MF 恰好被y 轴平分，且1230MF F ∠=，则E 的渐近线方程为（） A ．2y x = B ．2y x = C ．3y x =D ．2y x =±答案：B依题意可得2MF 垂直于x 轴，在12Rt MF F 中，由1230MF F ∠=︒，且122MF MF a -=，即可求出22MF a =，1232F F a =，再根据222b c a =-，从而求出双曲线的渐近线方程；解：解：由1MF 恰好被y 轴平分，得2MF 垂直于x 轴， 在12Rt MF F 中，1230MF F ∠=︒，122MF MF =， 又122MF MF a -=，得到22MF a =，12222F F c a ===，即c =，得b ==，故渐近线方程为y =． 故选：B. 点评：本题考查了双曲线的方程和性质、渐近线方程，考查数学运算能力，属于中档题． 10．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()()2*41n n S a n N =+∈，则5678aa a a +++=（）A ．24B ．48C ．64D ．72答案：B由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，得到2211220n n n n a a a a -----=，从而得到{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，求出数列的通项公式，再根据等差数列的下标和性质计算可得； 解：解：因为()()2*41n n S a n N =+∈所以当1n =时，由()211114a S a +==，得11a =，当2n ≥时，()()221141,41,n n n n S a S a --⎧=+⎪⎨=+⎪⎩得()()221411n n n a a a -=+--， ∴2211220n n n n a a a a -----=，()()1120n n n n a a a a --+--=．∵0n a >，∴12n n a a --=．∴{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-，则()567867248a a a a a a +++=+=． 故选：B 点评：本题考查数列递推公式，等差数列的通项公式等知识，考查数学运算能力，属于中档题.11．已知斜率为()0k k >的直线l 过抛物线24y x =的焦点，且与圆()()22212x y +++=相切．若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则AB =（） A． B．C ．8 D ．12答案：C依题意可得直线l 的方程为()()10y k x k =->，由于直线l 与圆()()22212x y +++=相切，则圆心到直线的距离等于半径得到方程求出参数k ，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，最后根据弦长公式计算可得； 解：解：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，直线l 的方程为()()10y k x k =->，即kx y k 0--=． 由于直线l 与圆()()22212x y +++=相切，所以d ==1k =，所以l 的方程为1y x =-，与抛物线24y x =联立，得2610x x -+=，所以126x x +=，121=x x ，所以8AB ===．故选：C 点评：本题考查直线与圆、抛物线位置关系的综合应用，考查数学运算能力，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()()2f x f x '<，则不等式()()4832x e f x e f x -->+的解集是（）A ．1(,)2-+∞ B ．1(,)2-∞C ．1(,1)2-D ．1(1,)2-答案：A 令()()2xf xg x e=，利用导数说明()g x 的单调性，将()()4832xe f x e f x -->+的解集等价于()()32g x g x ->+的解集，最后根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，从而解得； 解：解：因为()()2f x f x '<，所以()()2220xxe f x e f x '-<．令()()2xf xg x e=．则()()()()222220x x x e f x e f x g x e '-'=<，所以()g x 在R 上单调递减，又()()2xf xg x e ---=，()()643231x f x g x e+++=，所以()()4832xe f x e f x -->+的解集等价于()()32g x g x ->+的解集，所以有32x x -<+．即12x >-． 故选：A 点评：本题考查导数的应用，考查构造函数分析解决不等式问题的能力，属于中档题． 二、填空题13．某校高三年级一次模拟考试的数学测试成绩满足正态分布2(100,)XN σ，若已知()701000.47P X <≤=，则从该校高三年级任选一名学生，其数学测试成绩大于130分的概率为______． 答案：0.03根据正态分布的性质计算可得； 解： 解：因为()2100,XN σ，()701000.47P X <≤=．所以()()()170130127010010.941300.03222P X P X P X -<≤-<≤->====．故答案为：0.03 点评：本题主要考查正态分布中求指定区间的概率问题，考查正态分布的特征，属于基础题．14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21a =，()21233n n n S S S n --+=≥，则5a =______． 答案：8由2123n n n S S S --+=，1n n n a S S -=-，得()1122n n n n S S S S ----=-，即12n n a a -=，再根据3522a a =⨯计算可得；解：解：由2123n n n S S S --+=，得()1122n n n n S S S S ----=-．所以12n n a a -=，即()123nn a na -=≥，所以33522128a a =⨯=⨯=． 故答案为：8 点评：本题考查数列的递推公式的应用，属于基础题．15．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的有______．（写出所有正确说法的序号） ①()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称； ②()f x 的图象关于直线512x π=-对称； ③()f x 的图象可由3sin 2cos 2y x x =-的图象向左平移2π个单位长度得到； ④方程()30f x +=在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根．答案：①②④根据函数图象求出函数的解析式，再根据三角形函数的性质一一验证即可； 解：解：由函数的图象可得2A =，124312πππω⋅=-，求得2ω=， 由五点作图法可得23πϕπ⨯+=，求得3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心，故①正确；1252f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，所以直线512x π=-是()f x 图象的对称轴，故②正确；将函数2cos 22sin 26y x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数52sin 22sin 2266y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，故③不正确； 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 根据sin y x =在区间2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象可知，方程()0f x =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根．故④正确． 故答案为：①②④ 点评：本题主要考查了三角函数的图象与性质及由三角函数的部分图象求解函数的解析式，属于中档题． 三、解答题16．已知正三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积最大时，底面边长AB =______．答案：设AB AC BC n ===，则2ABC S =△，ABC 外接圆的半径为，则三棱锥的高为3，表示出三棱锥P ABC -的体积，设23n t =，则())3f t =，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最值，从而得解； 解：解：如图所示，设AB AC BC n ===，则24ABC S n =△，ABC 外接圆的半径为3，则三棱锥的高为3，三棱锥P ABC-的体积为2213333n ⎫⎫=⎪⎪⎪⎪⎭⎭，设23n t =，则()()393f t tt =-+．所以()393429f t t t ⎛⎫'=--+ ⎪-⎝⎭．令()0f t '=，解得8t =，()f t 在()0,8上单调递增，在[]8,9上单调递减，∴()()max 883f t f ==，所以三棱锥P ABC -的体积最大时底面边长32426n t ===．故答案为：26点评：本题考查球体的内接三棱锥最大体积的求法，综合性强，考查了换元法、函数求导方法，考查学生的转化能力、运算能力，属于难题． 17．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中43c =，2sin 223sin 23C C +=，C 为锐角．（1）若4a =，求角B ；（2）若sin 2sin B A =，求ABC 的面积． 答案：（1）2π（2）83（1）根据同角三角函数的基本关系得到C ，再根据正弦定理求出角A ，即可得出角B ； （2）利用正弦定理将角化边，再结合余弦定理求出a ，b ，最后根据面积公式计算可得； 解：解：（1）2sin 223sin 23C C +=，即)2sin 2231sin C C =-，得22sin cos 23C C C =． 由0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0C ≠，所以tan 3C =3C π=．由正弦定理可得4sin sin 3A π=，解得1sin 2A =．又因为a c <，所以6A π=，故362B ππππ=--=．（2）因为sin 2sin B A =，由正弦定理得2b a =．在ABC 中由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，得2248a b ab =+-，解得4a =，8b =，所以11sin 48222ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△ 点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档题．18．某班级有60名学生，学号分别为1～60，其中男生35人，女生25人．为了了解学生的体质情况，甲、乙两人对全班最近一次体育测试的成绩分别进行了随机抽样．其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样，他们得到各12人的样本数据如下所示，并规定体育成绩大于或等于80人为优秀．甲抽取的样本数据：女抽取的样本数据：（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关；（Ⅲ）判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++答案：（Ⅰ）见解析，3（Ⅱ）有；（Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．（Ⅰ）依题意可知随机变量X 服从超几何分布，列出分布列，求出期望； （Ⅱ）列出列联表，计算出卡方，即可判断； （Ⅲ）根据数据特征，选择合适的抽样方法； 解：解：（Ⅰ）在乙抽取的样本中，体育成绩优秀的学生人数为7．X 的可能取值为0，1，2，3，4．()475412C C C k kP X k -==，0,1,2,3,4k =，分布列为1141435770123499993399993EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）由乙抽取的样本数据，得22⨯列联表如下：()22126411 5.182 3.8417557k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为体育成绩是否为优秀与性别有关． （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．由（Ⅱ）的结论知，体育成绩是否为优秀与性别有关，并且从样本数据能看出体育成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． 点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，独立性检验思想的应用，抽样方法，考查学生的数学运算和分析问题的能力，属于中档题.19．已知直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，1223BC AA ==，E 是BC 中点，F 是1A E 上一点，14A E EF =．（Ⅰ）证明：AF ⊥平面1A BC ； （Ⅱ）求二面角11C A E B --的余弦值． 答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）25． （Ⅰ）通过证明BC AF ⊥，1A E AF ⊥即可得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值； 解：解：（Ⅰ）因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ABC ⊥平面，所以1AA BC ⊥． 因为AB AC =，E 是BC 的中点．所以AE BC ⊥． 又因为1AEAA A =，所以1BC A AE ⊥平面，所以BC AF ⊥．在ABC 中，易得23BAC π∠=，1AE =．在1Rt A AE △中，可得12A E =．所以12EF =． 又因1A EAE EF AE =，所以1AEF A EA △∽△，所以12AFE A AE π∠=∠=，即1A E AF ⊥． 又因为1A EBC E =，1,A E BC ⊂平面1A BC ，所以AF ⊥平面1A BC ．（Ⅱ）如图所示，以点E 为坐标原点建立空间直角坐标系则()0,0,0E ，(10,3,3B -，(13A -，()1,0,0A -，1344F ⎛- ⎝⎭．所以(10,3,3EB =-，(13EA =-，133,0,44AF ⎛= ⎝⎭． 设平面11B A E 的一个法向量为(),,n x y z =，则11330,30,n EB z n EA x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩取1z =，得()3,1,1n =． 由（Ⅰ）可知平面1CA E 的一个法向量为()3,0,13m AF ==．则25cos ,31131m n m n m n⋅===++⨯+结合图形可得二面角11C A E B --为钝角，故二面角11C A E B --的余弦值为25． 点评：本题考查线面垂直的判定和性质，考查利用空间向量求二面角的余弦值的方法，考查空间想象能力和数学运算能力，属于中档题．20．已知椭圆()2222:10,0x y E a b a b+=>>的四个顶点依次连接可得到一个边长为23（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线:l y kx m =+与圆2222:3b O x y +=相切，且交椭圆E 于两点M ，N ，当MN 取得最大值时，求22m k +的值．答案：（Ⅰ）22193x y +=（Ⅱ）135（Ⅰ）依题意可得221212222a b a b ab ⎧+=⎪⎨⨯⨯==⎪⎩（Ⅱ）因为直线:l y kx m =+与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径得到()2221m k=+，联立直线与曲线方程，消元，设()11,M x y ，()22,N x y ，列出韦达定理，利用韦达定理得到12MN x x =-=MN 的最大值，即可求出22m k +的值； 解：解：（Ⅰ）由题意得2212,12222a b a b ab ⎧+=⎪⎨⨯⨯==⎪⎩解得3a =，b =所以椭圆E 的方程为22193x y +=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆22:2O x y +=． 因为直线y kx m =+与圆22:2O x y +=相切，=()2221m k =+．联立方程组221,93,x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()()222136330k x kmx m +++-=． 所以()2212930k m∆=+->．设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122613km x x k +=-+，()21223313m x x k-=+．由弦长公式得12MN x x =-==．将()2221m k=+代入得MN ==()()22222712132k kk +++≤=+， 当且仅当222271k k +=+，即215k =时等号成立．所以MN ．此时2212113555m k +=+=． 点评：本题考查求椭圆的标准方程，直线与圆、椭圆的位置关系，求弦长，考查学生的运算能力，属于中档题．21．已知函数()2()1xf x xe =-．（Ⅰ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴交于点()0,0x ，求曲线在该点处的切线方程； （Ⅱ）设方程()()0f x m m =>有两个实数根1x ，2x ，求证：121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭答案：（Ⅰ）()21y e x =--（Ⅱ）见解析（Ⅰ）首先求出函数与x 轴正半轴交于点()0,0x ，求出函数的导函数即可得到()0f x '即切线的斜率，最后利用点斜式求切线方程；（Ⅱ）求出函数的单调区间，不妨设12x x <，则12111x x -<<<<．首先证明：当11x -<<时，()()21e x f x -->，要证121212x x m e ⎛⎫-<-+⎪⎝⎭，只要证1112122m x m e e ⎛⎫--≤-+ ⎪⎝⎭，即证11x m ≥-．又()1211x m x e =-，只要证()121111x x x e ≥--，即证()()1111110x x x e ⎡⎤+⋅-+≥⎣⎦．令()()11x x x e ϕ=-+利用导数研究函数的单调性从而得到()11110xx e -+≥，即可得证；解：解：（Ⅰ）由()()210xf x xe=-=，得1x =±．∴01x =，即函数与x 轴正半轴交于点()1,0，又因为()()212xf x x x e '=--．∴()12f e '=-．()10f =，∴曲线在点()1,0处的切线方程为()21y e x =--．（Ⅱ）令()0f x '=得1x =或1x =--且当1x <-1x >时()0f x '<；当11x --<<时，()0f x '>．∴()f x 的单调递增区间为()11-，单调递减区间为(,1-∞-，)1,+∞．当1x <-或1x >时()0f x <；当11x -<<时，()0f x >．不妨设12x x <，则12111x x -<<<<． 下面证明：当11x -<<时，()()21e x f x -->．当()1,1x ∈-时，()()()()()2211210120xxe xf x x e e x x e e -->⇒--->⇒+-<．易知()()12xg x x e e =+-在()1,1-上单调递增，∴()()10g x g <=，即当11x -<<时，()()21e x f x --<．由()21,,y e x y m ⎧=--⎨=⎩得12m x e =-．记212mx e'=-． 则121221112mx x x x x x x e''-<-=-=--． 要证121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭，只要证1112122m x m e e ⎛⎫--≤-+ ⎪⎝⎭，即证11x m ≥-． 又∵()1211xm x e =-，∴只要证()121111x x x e ≥--，即证()()1111110xx x e ⎡⎤+⋅-+≥⎣⎦．∵111x -<<，即证()11110xx e -+≥．令()()11xx x e ϕ=-+，则()xx xe ϕ'=．当10x -<<时，()0x ϕ'<．()x ϕ为单调递减函数； 当01x <<时，()0x ϕ'>．()x ϕ为单调递增函数． ∴()()00x ϕϕ≥=，∴()11110xx e -+≥．∴121212x x m e ⎛⎫-<-+ ⎪⎝⎭．点评：本题考查导数的几何意义以及用导数研究函数性质，属于难题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2114x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于点M ，N ，求OMN 的面积． 答案：（Ⅰ）222y x =-．40x -=．（Ⅱ）12（Ⅰ）消去参数得到曲线C 的普通方程，由cos x ρθ=，sin y ρθ=将极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，联立直线与曲线方程，消元列出韦达定理，由12142OMNSy y =⨯⨯-计算可得； 解：解：（Ⅰ）由曲线C 的参数方程可得2114x t -=，2212y t = 所以曲线C 的普通方程为222y x =-．由直线l的极坐标方程可得1cos sin 22ρθθ+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得l的直角坐标方程为40x +-=．（Ⅱ）设点M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y，由2224y x x ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得260y +-=，得12y y +=-126y y =-， 故126y y -===．l 与x 轴交点的直角坐标为()4,0．所以OMN 的面积为12114461222S y y =⨯⨯-=⨯⨯=． 点评：本题主要考查极坐标和直角坐标的互化，考查三角形面积求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．23．已知函数()1f x x a x =-+-，()41g x x =-+ （Ⅰ）当2a =时，求不等式()3f x ≥的解集；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]0,1，求a 的取值范围． 答案：（Ⅰ）(][),03,-∞⋃+∞．（Ⅱ）12a -≤≤（Ⅰ）当2a =时，函数()23,1,211,12,23, 2.x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩然后分类讨论计算可得；（Ⅱ）由已知得，当01x ≤≤时()()f x g x ≤，即141x a x x -+-≤-+恒成立，即可得到2x a -≤，从而得到方程组，解得即可；解：解：（Ⅰ）由题意，当2a =时，函数()23,1,211,12,23, 2.x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-≥⎩当1x ≤时()233f x x =-+≥，解得0x ≤； 当12x <<时，()13f x =≥，无解；21 当2x ≥时，()233f x x =-≥，解得3x ≥．综上所述()3f x ≥的解集为(][),03,-∞⋃+∞．（Ⅱ）由已知得，当01x ≤≤时()()f x g x ≤，即141x a x x -+-≤-+恒成立因为01x ≤≤，所以不等式化为141x a x x -+-≤--，即2x a -≤，得22a x a -≤≤+．则20a -≤且21a +≥，得12a -≤≤．点评：本题主要考查了含绝对值不等式的求解．以及含绝对值不等式的恒成立问题的求解，着重考查了转化思想以及推理与运算能力，属于中档题．。

2020-2021学年河南省天一大联考高二阶段性测试（四）（5月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}21B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}21x x -<<D ．{}10x x -<<【答案】A【分析】由交集定义可直接得到结果. 【详解】由交集定义可知：{}1,0A B ⋂=-. 故选：A.2．若复数z 满足14iz i+=-，则z 的共轭复数z 为（ ） A ．11616i -+ B ．131414i - C ．21515i -+D ．351717i - 【答案】D【分析】由复数的运算法则化简得到351717iz =+，结合共轭复数的定义，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得()()141354171717i i i iz i +++===+-，所以351717iz =-. 故选：D.3．函数()22log 6y x x =--的定义域为 （ ）A ．()2,3-B ．()3,2-C ．()(),32,-∞-+∞D ．()(),23,-∞-+∞【答案】D【分析】对数函数的定义域为真数大于0，解不等式即可.【详解】解：函数()22log 6y x x =--的定义域为：260x x -->，即3x >或2x <-，所以定义域为：()(),23,-∞-+∞.故选：D.4．若在ABC 中，AB AC AB AC ACAB=，且2AB =，6AC =，则ABC 的面积为（ ） A ．6 B ．8 C ．12 D ．20【答案】A【分析】根据向量的数量积公式化简可以得到cos cos AB BAC AC BAC ∠=∠，代入数值计算可知2BAC π∠=，根据直角三角形面积公式计算面积即可.【详解】解：因为cos AB AC AB AC BAC ⋅=∠，所以有cos cos AB AC BACAB AC BACACAB∠∠=，即cos cos AB BAC AC BAC ∠=∠，得4cos 0BAC ∠=，即2BAC π∠=，所以ABC 的面积为12662S =⨯⨯=. 故选：A. 5．已知()tan202ααπ=＜＜，则sin 2α= （ ）A ．2425 B ．1516C ．1516-D ．2425-【答案】D【分析】首先根据二倍角公式求得4tan 3α=-，接着利用同角三角函数关系化简得到22tan sin 21tan ααα=+，最后代入4tan 3α=-计算结果即可.【详解】因为()tan202ααπ=＜＜，所以22tan42tan 31tan 2ααα==--，又2222422sin cos 2tan 243sin 22sin cos sin cos 1tan 25413ααααααααα-⨯=====-++⎛⎫+- ⎪⎝⎭， 故选：D【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可． (2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，选正弦较好．6．中国古代数学专著《算法统宗》中有这样的记载：毛诗春秋周易书，九十四册共无余，毛诗一册三人读，春秋一册四人呼，周易五人读一本.意思为：现有《毛诗》、《春秋》、《周易》3种书共94册，若干人读这些书，要求每个人都要读到这3种书，若3人共读一本《毛诗》，4人共读一本《春秋》，5人共读一本《周易》，则刚好没有剩余.现要用分层抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．20【答案】D【分析】设《毛诗》有x 册，《春秋》有y 册，《周易》有z 册，学生人数为m ，根据已知条件可得出关于x 、y 、z 、m 的方程组，解出这四个未知数的值，再利用分层抽样可求得结果.【详解】设《毛诗》有x 册，《春秋》有y 册，《周易》有z 册，学生人数为m ，则94345x y z m x m y m z ++=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩，解得120403024m x y z =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩， 因此，用分层抽样的方法从中抽取47册，则要从《毛诗》中抽取的册数为47402094⨯=. 故选：D.7．在圆2216x y +=内随机取一点P ，则点P 落在不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的区域内的概率为 （ ） A ．14πB ．34πC ．1πD ．43π【答案】C【分析】首先由画出不等式表示的可行域，根据可行域的形状求出其面积，再求出圆2216x y +=的面积，最后根据几何概型公式求解即可.【详解】根据不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，如图做出点P 的可行域:由图可知：点P 的可行域为等腰三角形ABC ， 所以1162ABCSAB OC =⨯⨯=, 圆2216x y +=的面积为16π， 由几何概型可知，圆2216x y +=内随机取一点P ，则点P 落在不等式组40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的区域内的概率为：16116P ππ==, 故选：C【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，据此求解几何概型即可.8．已知在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，120A =，2b a c =+，且4a b -=，则b =（ ）A ．6B ．10C ．12D ．16【答案】B【分析】用b 表示出,a c ，代入余弦定理中，解方程求得b . 【详解】由42a b b a c -=⎧⎨=+⎩得：44a b c b =+⎧⎨=-⎩，在ABC 中，由余弦定理得：222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，即()()()222444b b b b b +=+-+-，解得：10b =.故选：B.9．已知函数()21x f x x=+的定义域为[)2,+∞，则不等式()()22228f x f x x +>-+的解集为 （ ）A ．5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)2,3C ．(),3-∞D ．()3,+∞【答案】C【分析】先判断函数()f x 的单调性，再根据单调性解不等式即可. 【详解】因为()2111x f x x x x==++，可知()f x 在[)2,+∞上单调递减，所以不等式()()22228f x f x x +>-+成立，即2222222823228x x x x x x x ⎧+≥⎪-+≥⇒<⎨⎪+<-+⎩. 故选：C.10．已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞＜＜的相邻的两个零点之间的距离是6π，且直线18x π=是()f x 图象的一条对称轴，则12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A． B ．12-C ．12D【答案】D【分析】由相邻两个零点的距离确定周期求出6ω=，再由对称轴确定6π=ϕ，代入12x π=可求出结果. 【详解】解：因为相邻的两个零点之间的距离是6π，所以26T π=，23T ππω==，所以6ω=， 又sin 6sin 118183f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=±⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且02πϕ＜＜，则6π=ϕ， 所以()sin 66f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则sin 612126f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.【点睛】思路点睛：确定()()sin f x A x =+ωϕ的解析式，一般由周期确定ω，由特殊值确定ϕ，由最值确定A .11．已知过点()4,0M 的直线l 与抛物线2:2y x Ω=交于A ，B 两点，52BF =（F 为抛物线Ω的焦点），则AB = （ ） A ．63 B ．62C ．6D ．42【答案】B【分析】首先利用定义得出(2,2)B ±，进而得到直线:4AB y x =-将直线与抛物线联立得出2280y y --=，利用弦长公式即得．【详解】2:2y x Ω=的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02H ⎛⎫- ⎪⎝⎭是1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于y 轴的对称点，过1,02H ⎛⎫- ⎪⎝⎭作直线l 垂直于x 轴，作BP l ⊥ ，故52BF BP == 设()1122,(,)B x y A x y 故1115222x x +=⇒=故12y =±不妨设()2,2B -， ()4,0M 故直线:4AB y x =-由212242802,4(8,4)2y x y y y y A y x=-⎧⇒--=⇒=-=⇒⎨=⎩故62AB = 故选：B12．已知函数()()20ax bf x a x c-=≠+是定义在R 上的奇函数，1x =是()f x 的一个极大值点，()11f =，则()f x =（ ）A ．221xx + B ．232xx + C ．22xx -- D ．221x x-【答案】A【分析】根据()f x 为奇函数先求解出b 的值，然后根据1x =是极值点计算出c 的值，再根据()11f =计算出a 的值，然后进行验证.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =且0c ≠，所以0b =，所以()2axf x x c=+， 因为()()()()22222222a x c ax ac ax f x xc xc +--'==++，又1x =是极大值点，所以()()2101ac af c -'==+且0a ≠，所以1c =，所以()21ax f x x =+，又因为()11f =，所以12a =，所以2a =，所以()221x f x x =+，所以()()()()222211x xf x f x x x --==-=-+-+，定义域为R 关于原点对称，所以()f x 为奇函数， 又()()()()22222221222211x x xx f x xx+-⋅-'==++，当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<，()1,1x ∈-时，()0f x '>，()1,x ∈+∞时，()0f x '<； 所以1x =是极大值点， 所以()221xf x x =+满足条件， 故选：A.【点睛】易错点睛：利用函数奇偶性、极值点求解参数时需注意：（1）已知函数为定义在R 上的奇函数，若根据()00f =求解参数值，要注意将参数值带回原函数进行验证是否为奇函数； （2）已知x a =为函数极值点，若根据0f a 求解参数值，要注意将参数值带回原函数进行验证是否为极值点.二、填空题13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=＞＞，点(),a b 在直线2y x =，则双曲线C 的离心率为__________．【分析】由点(),a b 在直线上，求出2b a =，用c a =求出离心率即可. 【详解】因为点(),a b 在直线2y x =上，则有2b a =，即2ba=，则离心率为c a ==14．若命题“0x R ∃∈，使得200420x x a -+＜”为假命题，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】[)2,+∞【分析】根据原命题为假命题得到“2,420x R x x a ∀∈-+≥”为真命题，根据∆与0的关系求解出a 的取值范围.【详解】由已知条件可知：2,420x R x x a ∀∈-+≥为真命题，记168a ∆=-， 所以1680a ∆=-≤，所以2a ≥， 故答案为：[)2,+∞.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于转化思想的运用，根据特称命题的真假得到全称命题的真假，然后再结合不等式的思想完成求解.15．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为ACBD O =，且PA ⊥平面ABCD ，M 为PC 上的动点，若OM 的最小值为4，则当OM 取得最小值时，四棱锥M ABCD -的体积为__________．【答案】40【分析】根据OM PC ⊥，OM 最小，设点M 到平面ABCD 的距离为h ，由h 也为Rt OMC △中边OC 上的高，然后由1122OMCSOM MC OC h =⋅=⋅，求得h ，再由13M ABCD ABCD V S h -=⋅正方形求解.【详解】由题意得：当OM PC ⊥时，OM 最小， 则在正方形ABCD 中， 52AB BC ==， 则2210AC AB BC =+=，故5OC =，在Rt OMC △中，223MC OC OM =-=， 设点M 到平面ABCD 的距离为h ， 则h 也为Rt OMC △中边OC 上的高，1122OMCSOM MC OC h =⋅=⋅， 即1143522h ⨯⨯=⨯⨯， 解得125h =，又(25250ABCD S ==正方形，所以11125040335M ABCD ABCD V S h -=⋅=⨯⨯=正方形， 故答案为：4016．已知直线():40l ax y a R +-=∈是圆22:2610C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，有下列结论：①1a =； ②25AB =③切线AB 535535+- ④对任意的实数m ，直线1y mx m =-+与圆C 的位置关系都是相交.其中所有正确结论的序号为__________． 【答案】①②④【分析】由已知可得直线过圆心即得1a =；利用勾股定理可得切线段长度，利用圆心到直线的距离为半径即得斜率；因为直线恒过的定点在圆内，可得直线与圆相交． 【详解】2222:2610(1)(3)9C x y x y x y +--+=⇒-+-=则圆心为()1,3C 半径为3,():40l ax y a R +-=∈是圆的对称轴，故直线过圆心()1,3C ，故1a =，()4,1A -，故ACAB ==；设直线AB 的斜率为k ,则:41410AB y kx k kx y k =++⇒-++= 因为直线AB 为圆C 的一条切线， 故圆心()1,3C到直线AB3=解得k = ；直线1(1)1y mx m m x =-+=-+即对任意的实数m ，直线恒过(1,1)， 代入(1,1)得22(11)(13)49(1,1)-+-=<∴在圆内， 即直线1y mx m =-+与圆C 的位置关系都是相交． 故答案为：①②④三、解答题17．某小区准备在小区广场安装运动器材，为了解男女业主对安装运动器材的意愿情况，随即对该小区100名业主做了调查，得到如下2×2列联表：（Ⅰ）判断能否有0095的把握认为“是否愿意安装运动器材与业主性别有关”； （Ⅱ）从不愿意安装运动器材的业主中按性别用分层抽样的方法抽取5人，了解不愿意安装运动器材的原因，再从这5人中选2人参观其他小区的运动场所，求这2人中恰好有1人为女业主的概率.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（Ⅰ）没有；（Ⅱ）35. 【分析】（Ⅰ）由已知求得2K 的值，与临界值比较可得结论；（Ⅱ）分别列举从5人中选2人的事件，得到2人中恰好有1人为女业主的事件，再由古典概型概率计算可得．【详解】（Ⅰ）由表中数据可得2K 的观测值()210030104515 3.030 3.84145557525k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯＜，∴没有0095的把握认为“是否愿意安装运动器材与业主性别有关”.（Ⅱ）∵不愿意安装运动器材的业主中，男业主与女业主的人数之比为3:2， ∴抽取的5人中男业主有3人，女业主有2人.设这3名男业主分别为A ，B ，C ，这2名女业主分别为a ，b ，从5人中选2人有,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab ，共10种选法， 其中恰有1名女业主的选法有,Aa Ab Ba Bb Ca Cb ，，，，，共6种， ∴所求概率为63105P ==. 18．已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2211log log n n n n b a a a +=+⋅，证明：1n T >-.【答案】（Ⅰ）2n n a =；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）利用n a 与n S 关系可证得{}n a 为等比数列，由等比数列通项公式可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得n b ，采用分组求和的方式，分别对通项中的两个部分采取等比数列求和、裂项相消法，可求得n T ，根据11201n n +->+可得结论. 【详解】（Ⅰ）当1n =时，11122a S a ==-，解得：12a =；当2n ≥时，()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，整理得：12n n a a -=，∴数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，2n n a ∴=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：()1221111222log 2log 211n n nn n n b n n n n +=+=+=+-⋅++，()21111122212231n n T n n ⎛⎫∴=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭()1212111211211n n n n +-=+-=---++ 当n *∈N 时，1121n n +>+，11201n n +∴->+，1n T ∴>-. 【点睛】方法点睛：本题第二问中，考查了分组求和的方法，在分组求和过程中，涉及了裂项相消法求解数列的前n 项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为()()m f n f n d ⋅+⎡⎤⎣⎦形式的数列，即()()()()11m m d f n f n d f n f n d ⎛⎫=- ⎪ ⎪+⋅+⎡⎤⎝⎭⎣⎦，进而前后相消求得结果.19．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是面积为23的等边三角形，13BB =，点M 、N 分别为线段AC 、11AC 的中点，点P 是线段1CC 上靠近C 的三等分点.（1）求证：BP NP ⊥；（2）求点M 到平面BNP 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）证明出NP ⊥平面BMP ，利用线面垂直的性质定理可证得结论成立； （2）在平面BMP 内作MD BP ⊥，垂足为D ，证明出MD ⊥平面BNP ，利用等面积法计算出DM ，即为所求.【详解】（1）因为1AA ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，所以1AA BM ⊥. 因为ABC 为等边三角形，M 为边AC 的中点，所以BM AC ⊥. 又1AA AC A =，故BM ⊥平面1ACC ，又NP ⊂平面1ACC ，故BM NP ⊥.因为ABC 的面积为2AB =，故AB =因为四边形11AAC C 为平行四边形，则11//AC AC 且11AC AC =，M 、N 分别为AC 、11AC 的中点，则1//AM A N 且1AM AN =， 故四边形1AA NM 为平行四边形，则113MN AA BB ===，在MNP △中，NP ==，MP ，满足222MN MP NP =+，故NP MP ⊥.又BMMP M =，故NP ⊥平面BMP ，又BP ⊂平面BMP ，故BP NP ⊥；（2）如图，作MD BP ⊥，垂足为D ，NP ⊥平面BMP ，MD ⊂平面BMP ，MD NP ∴⊥，MD BP ⊥，BP NP P =，DM ∴⊥平面BNP ，所以DM 即为点M 到平面BNP 的距离.在BMP 中，sin3BM AB π==MP =，3BP ==，满足222BP BM MP =+，可知BM MP ⊥，故BM MPDM BP⋅==即点M 到平面BNP【点睛】方法点睛：求点A 到平面BCD 的距离，方法如下：（1）等体积法：先计算出四面体ABCD 的体积，然后计算出BCD △的面积，利用锥体的体积公式可计算出点A 到平面BCD 的距离；（2）定义法：过点A 作出平面BCD 的垂线，计算出垂线段的长，即为所求； （3）空间向量法：先计算出平面BCD 的一个法向量n 的坐标，进而可得出点A 到平面BCD 的距离为AB n d n⋅=.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=＞＞的一个顶点恰好是抛物线243x y =的焦点，椭圆C 的离心率为22. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）从椭圆C 在第一象限内的部分上取横坐标为2的点P ，若椭圆C 上有两个点A ，B 使得APB ∠的平分线垂直于坐标轴，且点B 与点A 的横坐标之差为83，求直线AP 的方程.【答案】（Ⅰ）22163x y +=；（Ⅱ）12y x =.【分析】（Ⅰ）由题意可得关于参数的方程，解之即可得到结果；（Ⅱ）设直线AP 的斜率为k ，联立方程结合韦达定理可得A 点坐标，同理可得B 点坐标，结合横坐标之差为83，可得直线方程. 【详解】（Ⅰ）由抛物线方程243x =可得焦点为(03，，则椭圆C的一个顶点为(0，即23b =.由c e a ===，解得26a =. ∴椭圆C 的标准方程是22163x y +=；（Ⅱ）由题可知点()2,1P ，设直线AP 的斜率为k ，由题意知，直线BP 的斜率为k -，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AP 的方程为()12y k x -=-，即12y kx k =+-.联立方程组2212,1,63y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得()()222214128840k x k k x k k ++-+--=.∵P ，A 为直线AP 与椭圆C 的交点，∴212884221k k x k --=+，即21244221k k x k --=+. 把k 换成k -，得22244221k k x k +-=+. ∴21288213k x x k -==+，解得112k k ==或，当1k =时，直线BP 的方程为3y x =-，经验证与椭圆C 相切，不符合题意；当12k =时，直线BP 的方程为122y x =-+，符合题意. ∴直线AP 得方程为12y x =. 【点睛】关键点点睛：两条直线关于直线x a =()或y=b 对称，两直线的倾斜角互补，斜率互为相反数.21．已知函数()cos xf x e x =.（Ⅰ）求()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若当0x ＞时，()()()2cos 111xf x e x x a x ≥-++-+恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）单调递减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）(],1a e ∈-∞-. 【分析】（Ⅰ）求函数()f x 的导函数，求()'0f x ＜的区间即为所求减区间；（Ⅱ）化简不等式，变形为11x e a x x x ≤--+，即求min 1(1)x e a x x x≤--+，令()()110x e h x x x x x=--+＞，求()h x 的导函数判断()h x 的单调性求出最小值，可求出a 的范围.【详解】（Ⅰ）由题可知()'cos sin sin 4xxxf x e x e x x π⎛⎫=-=-⎪⎝⎭. 令()'0f x ＜，得sin 04x π⎛⎫-⎪⎝⎭＞，从而522,44k x k k Z ππππ++∈＜＜， ∴()f x 的单调递减区间为52,2,44k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭. （Ⅱ）由()()()2cos 111xf x ex x a x ≥-++-+可得21x ax e x x ≤-+-，即当0x ＞时，11x e a x x x≤--+恒成立.设()()110x e h x x x x x =--+＞，则()()()()2221111'xx x e x e x x h x x x -----+==.令()1xx e x ϕ=--，则当()0,x ∈+∞时，()'10xx e ϕ=-＞. ∴当()0,x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ=＞， 则当()0,1x ∈时，()'0h x ＜，()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()'0h x ＞，()h x 单调递增. ∴()()min 11==-h x h e ， ∴(],1a e ∈-∞-.【点睛】思路点睛：在函数中，恒成立问题，可选择参变分离的方法，分离出参数转化为()min a h x ≤或()max a h x ≥，转化为求函数()h x 的最值求出a 的范围.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为3cos sin x y αα⎧+=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，0m >），以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C '的极坐标方程为cos 04πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程以及曲线C '的直角坐标方程； （Ⅱ）若曲线C 与C '交于,P Q 两点，且84,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭为线段PQ 的一个三等分点，求m 的值.【答案】（Ⅰ）2260x y x m ++-=，40x y -+=；（Ⅱ）4.【分析】（Ⅰ）由曲线C 的参数方程消掉α即可得到普通方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可直接化简得到C '的直角坐标方程；（Ⅱ）由C '的直角坐标方程可确定C '的参数方程，将其代入C 的普通方程可得韦达定理的形式，根据t 的几何意义知122t t =-，由此可构造方程求得m .【详解】（Ⅰ）由3cos sin x y αα⎧+=⎪⎨=⎪⎩得：()2239x y m ++=+，∴曲线C 的普通方程为2260x y x m ++-=.曲线C '的极坐标方程可化为0ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭，即cos sin 40ρθρθ-+=，∴曲线C '的直角坐标方程为：40x y -+=.（Ⅱ）曲线C '的参数方程可写为83243x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入2260x y x m ++-=中，可得：264039t m +--=； 设,P Q 所对应得参数分别为12,t t，则123t t +=-，12649t t m=--，由题意不妨设122t t =-，则1223t t t +=-=-，即23t =212264100299t t t m ∴=-=--=-，解得：4m =，符合0m >，∴4m =.【点睛】结论点睛：若直线l 参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），其中θ为直线l的倾斜角，则t 具有几何意义：当参数t t =0时，0t 表示直线l 上的点()0000cos ,sin x t y t θθ++到点()00,x y 的距离.23．已知函数()26f x x x =+--. （1）解不等式()4f x <；（2）若不等式()2af x <恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）{}4x x <；（2）()3,+∞.【分析】（1）将函数()f x 表示为分段函数的形式，分2x -≤、26x -<<、6x ≥三种情况解不等式()4f x <，综合可得出原不等式的解集；（2）求出()max f x ，可得出关于实数a 的不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意知()8,22624,268,6x f x x x x x x -≤-⎧⎪=+--=--<<⎨⎪≥⎩.当2x -≤时，不等式()4f x <恒成立，当26x -<<时，由()244f x x =-<，解得4x <，此时24x -<<； 当6x ≥时，不等式()4f x <不成立. 所以，不等式()4f x <的解集为{}4x x <； （2）由（1）可知()max 8f x =，要使()2a f x <恒成立，则需28a >，解得3a >.所以，实数a 的取值范围为()3,+∞.【点睛】方法点睛：x a x b c -+-≥、()0x a x b c c -+-≤>型不等式的三种解法：分区间（分类）讨论法、图象法和几何法.分区间讨论法具有普遍性，但较麻烦；几何法与图象法比较直观，但只适用于数据较简单的情况.。

绝密★启用前天一大联考2019－2020学年高中毕业班阶段性测试(四)理科数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ＝{x|(x －1)(x －4)≥0}，N ＝{x|y ＝ln(2－x)}，则M ∩N ＝A.(1，2)B.[1，2]C.(－∞，1]D.(2，4]2.复数z 满足1212i i z+=-，则z 的共轭复数z ＝ A.－3＋4i B.－3－4i C.3455i -+ D.3455i -- 3.已知两个平面α，β，直线l ⊂α，则“l //β”是“α//β”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.42)1(x x+-展开式中的常数项为 A.－11 B.11 C.70 D.－70 5.已知正实数a ，b ，c 满足(12)a ＝log 3a ，(14)b ＝log 3b ，c ＝log 32，则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b6.已知向量a ，b 的夹角为135°，|a|＝，|b|＝3，且a ＋λb 与a －b 垂直，则λ＝ A.1415 B.56 C.23 D.167.设不等式组21022020x y x y x y +-≥-+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域为D ，命题p ：点(2，1)在区域D 内，命题q ：点(1，1)在区域D 内。

则下列命题中，真命题是A.(⌝p)∨qB.p ∨(⌝q)C.(⌝p)∧(⌝q)D.p ∧q8.函数f(x)＝333x xx --+的图象大致是9.已知F 1，F 2为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点。

天一大联考2020届高三阶段性测试（四）（文）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题『答案』后，用铅笔把答题卡对应题目的『答案』标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他『答案』标号。

回答非选择题时，将『答案』写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ＝{x|(x －1)(x －4)≥0}，N ＝{x|y ＝ln(2－x)}，则M∩N ＝A.(1，2)B.[1，2]C.(－∞，1]D.(2，4]2.复数z 满足1212i i z+=-，则z 的共轭复数z ＝ A.－3＋4i B.－3－4i C.3455i -+ D.3455i -- 3.已知两个平面α，β，直线l ⊂α，则“l //β”是“α//β”的A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 4.42)1(x x+-展开式中的常数项为 A.－11 B.11 C.70 D.－70 5.已知正实数a ，b ，c 满足(12)a ＝log 3a ，(14)b ＝log 3b ，c ＝log 32，则 A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b6.已知向量a ，b 的夹角为135°，|a|＝|b|＝3，且a ＋λb 与a －b 垂直，则λ＝ A.1415 B.56 C.23 D.167.设不等式组21022020x y x y x y +-≥-+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩，表示的平面区域为D ，命题p ：点(2，1)在区域D 内，命题q ：点(1，1)在区域D 内。

则下列命题中，真命题是A.(⌝p)∨qB.p ∨(⌝q)C.(⌝p)∧(⌝q)D.p ∧q8.函数f(x)＝333x x x --+的图象大致是9.已知F 1，F 2为双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点。

2019届河南省天一大联考高三阶段性测试（四）（b 卷）数学（理）试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设全集，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（）A. B. C. D.2. 已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（）A. B. C. D.3. 若，则（）A. B. C. D.4. 在区间上任选两个数和，则的概率为（）A. B. C. D.5. 将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）A. 的最小值为________B. 的最小值为C. 的最小值为________D. 的最小值为6. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出（）A. 184B. 183C. 62D. 617. 在的展开式中，所有项的二项式系数之和为4096，则其常数项为（）A. -220B. 220C. 110D. -1108. 已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点.若是抛物线的准线与轴的交点，则（）A. 60°B. 45°C. 30°D. 15°9. 函数（其中）的图象不可能是（）A. B.C. D.10. 已知为矩形所在平面内一点，，则（）A. 0B. -5或0C. 5D. -511. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 2B. 1C.D.12. 已知函数，则方程的根的个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题13. 双曲线的一条渐近线与直线平行，则此双曲线的离心率为 __________ ．14. 若实数满足，则的取值范围是 __________ ．15. 《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖，周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米 __________ 斛.（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率）16. 在中，内角的对边分别为，且 . 的外接圆半径为1， .若边上一点满足，且，则的面积为 __________ ．三、解答题17. 已知数列的前项和为，且满足 .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .18. 某市为了制定合理的节电方案，供电局对居民用电情况进行了调查，通过抽样，获得了某年200户居民每户的月均用电量（单位：度），将数据按照，分成9组，制成了如图所示的频率直方图.（1）求直方图中的值并估计居民月均用电量的中位数；（2）从样本里月均用电量不低于700度的用户中随机抽取4户，用表示月均用电量不低于800度的用户数，求随机变量的分布列及数学期望.19. 在三棱柱中，，侧面是边长为2的正方形，点分别在线段上，且 .（1）证明：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．20. 已知圆：过椭圆： ( )的短轴端点，，分别是圆与椭圆上任意两点，且线段长度的最大值为 3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作圆的一条切线交椭圆于，两点，求的面积的最大值．21. 已知函数在点处的切线方程为 .（1）求的值，并讨论在上的增减性；（2）若，且，求证： .（参考公式）22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为 .（1）判断直线与圆的交点个数；（2）若圆与直线交于两点，求线段的长度.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数 .（1）若，求不等式的解集；（2）若方程有三个实根，求实数的取值范围.参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】。