2020届河南省天一大联考高三阶段性测试(四) 数学

绝密★启用前

天一大联考高中毕业班阶段性测试(四)

数学

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合M ＝{x|(x －1)(x －4)≥0}，N ＝{x|y ＝ln(2－x)}，则M ∩N ＝

A.(1，2)

B.[1，2]

C.(－∞，1]

D.(2，4]

2.复数z 满足

1212i i z

+=-，则z 的共轭复数z ＝ A.－3＋4i B.－3－4i C.3455i -+ D.3455i -- 3.已知两个平面α，β，直线l ⊂α，则“l //β”是“α//β”的

A.充分必要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件 4.42)1(x x

+-展开式中的常数项为 A.－11 B.11 C.70 D.－70 5.已知正实数a ，b ，c 满足(

12)a ＝log 3a ，(14)b ＝log 3b ，c ＝log 32，则 A.a

6.已知向量a ，b 的夹角为135°，|a|＝

，|b|＝3，且a ＋λb 与a －b 垂直，则λ＝ A.1415 B.56 C.23 D.16

7.设不等式组21022020x y x y x y +-≥-+≥+-≤⎧⎪⎨⎪⎩

，表示的平面区域为D ，命题p ：点(2，1)在区域D 内，命题q ：点(1，1)在

区域D 内。则下列命题中，真命题是

A.(⌝p)∨q

B.p ∨(⌝q)

C.(⌝p)∧(⌝q)

D.p ∧q

8.函数f(x)＝333x x

x --+的图象大致是

9.已知F 1，F 2为双曲线E ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点。若MF 1恰好被y 轴平分，且∠MF 1F 2＝30°，则E 的渐近线方程为

A.2y x =

B.2y x =±

C.3y x =

D.2y x =± 10.设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝(1＋a n )2(n ∈N *)，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝

A.24

B.48

C.64

D.72

11.已知斜率为k(k>0)的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，且与圆(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝2相切，若直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则|AB|＝ 2 3 C.8 D.12

12.定义在R 上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若f'(x)<2f(x)，则不等式e 4f(－x)>e

－8x f(3x ＋2)的解集是 A.(－12，＋∞) B.(－∞，12) C.(－12，1) D.(－1，12

) 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校高三年级一次模拟考试的数学测试成绩满足正态分布X ～N(100，σ2)，若已知P(70

14.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝1，S n ＋2S n －2＝3S n －1(n ≥3)，则a 5＝ 。

15.已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<

2

π)的部分图象如图所示，下列说法中正确的有 。(写出所有正确说法的序号)

①f(x)的图象关于点(－6π，0)对称； ②f(x)的图象关于直线x ＝－512π对称； ③f(x)的图象可由y ＝3sin2x －cos2x 的图象向左平移

2π个单位长度得到； ④方程f(x)＋3＝0在[－2

π，0]上有两个不相等的实数根。 16.已知正三棱锥P －ABC 的四个顶点都在半径为3的球面上，则该三棱锥体积最大时，底面边长AB ＝ 。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分

17.(12分)

已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中c ＝43，sin2C ＋23sin 2C ＝23，C 为锐角。

(I)若a ＝4，求角B ；

(II)若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积。

18.(12分)

某班级有60名学生，学号分别为1～60，其中男生35人，女生25人为了了解学生的体质情况，甲，乙两人对全班最近一次体育测试的成绩分别进行了随机抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样，他们得到的各12人的样本数据如下所示，并规定体育成绩大于或等于80分为优秀。

甲抽取的样本数据：

乙抽取的样本数据：

(I)在乙抽取的样本中任取4人，记这4人中体育成绩优秀的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；(II)请你根据乙抽取的样本数据，判断是否有95%的把握认为体育成绩是否为优秀和性别有关；

(III)判断甲、乙各用的何种抽样方法，并根据(II)的结论判断哪种抽样方法更优，说明理由。

附：

2

2

()

()()()()

n ad bc

K

a b c d a c b d

-

=

++++

，其中n＝a＋b＋c＋d。

19.(12分)

已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，BC＝2AA1＝23，E是BC的中点，F是A1E上一点，且A1E＝4EF。

(I)证明：AF⊥平面A1BC；

(II)求二面角C－A1E－B1的余弦值。

20.(12分)

已知椭圆E：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的四个顶点依次连接可得到一个边长为33

(I)求椭圆E的方程；。

(II)设直线l：y＝kx＋m与圆O：x2＋y2＝

2

2

3

b

相切，且交椭圆E于两点M，N，当|MN|取得最大值时，求

m2＋k2的值。

21.(12分)

已知函数f(x)＝(1－x2)e x。

(I)设曲线y＝f(x)与x轴正半轴交于点(x0，0)，求曲线在该点处的切线方程；

(II)设方程f(x)＝m(m>0)有两个实数根x1，x2，求证：|x1－x2|<2－m(1＋1

2e

)。