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新高中数学第二章推理与证明2-1合情推理与演绎推理2-1-2导数的运算演绎推理教学案苏教版选修2_2看下面两个问题：(1)∅是任意非空集合的真子集，A 是非空集合，所以∅是集合A 的真子集；(2)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数． 问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？ 提示：都说的一般原理． 问题2：第二句又说什么？ 提示：都说的特殊示例． 问题3：第三句呢？提示：由一般原理对特殊示例作出判断．1．演绎推理2．三段论1．演绎推理是由一般到特殊的推理，一种必然性的推理，这决定了演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以其前提与结论之间的联系是必然的．2．三段论中大前提是一个一般性结论，是共性，小前提是指其中的一个，结论为这一个也具有大前提中的结论．要得到一个正确的结论，大前提和小前提都必须正确，二者中有一个错误，结论就不正确．[对应学生用书P20][例1] (1)所有椭圆的离心率e 的取值范围为(0,1)，曲线C ：x 22＋y 2＝1是椭圆，所以曲线C的离心率e 的取值范围为(0,1)．(2)等比数列的公比都不为零，数列{2n }(n ∈N *)是等比数列，所以数列{2n}的公比不为零．[思路点拨] 这种类型的题目只要明确各推理案例中的大前提、小前提与结论即可． [精解详析] (1)大前提：所有椭圆的离心率e 的取值范围为(0,1)． 小前提：曲线C ：x 22＋y 2＝1是椭圆．结论：曲线C 的离心率e 的取值范围为(0,1)． (2)大前提：等比数列的公比都不为零． 小前提：数列{2n}(n ∈N *)是等比数列． 结论：数列{2n}的公比不为零．[一点通] 演绎推理的重要形式是三段论，分清大前提、小前提和结论是解题的关键．大前提是给出一般性的原理，小前提是指出特殊对象，结论是体现一般性原理与特殊对象的内在联系的必然结果．1．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直． (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不是对顶角，则此两角不相等． (3)0.332是有理数．(4)y ＝sin x (x ∈R )是周期函数．解：(1)因为菱形的对角线相互垂直，(大前提)正方形是菱形，(小前提)所以正方形的对角线相互垂直．(结论)(2)如果两个角是对顶角，则这两个角相等，(大前提) ∠1和∠2不是对顶角，(小前提) 所以∠1和∠2不相等．(结论)(3)因为所有的有限小数是有理数，(大前提) 0．332是有限小数，(小前提) 所以0.332是有理数．(结论)(4)因为三角函数是周期函数，(大前提)y ＝sin x (x ∈R )是三角函数，(小前提)所以y ＝sin x 是周期函数．(结论)2．指出下列各演绎推理中的大前提、小前提，并判断结论是否正确． (1)a ∥b 一定有a ＝λb (λ∈R )，向量c 与向量d 平行，所以c ＝λd .(2)指数函数y ＝a x(0<a <1)是减函数，而y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是指数函数，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数．解：(1)大前提：a ∥b 一定有a ＝λb (λ∈R )． 小前提：向量c 与向量d 平行． 结论是错误的，原因是大前提错误． 因为当a ≠0，b ＝0时a ∥b ， 这时找不到实数λ使得a ＝λb .(2) 大前提：指数函数y ＝a x(0<a <1)是减函数．小前提：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是指数函数．结论是正确的．因为大前提、小前提均是正确的．[例2] 在平面四边形ABCD 中，AB ＝CD ，BC ＝AD ，求证：四边形ABCD 为平行四边形．写出三段论形式的演绎推理．[思路点拨] 原题可用符号表示为：AB ＝CD 且BC ＝AD ⇒四边形ABCD 为平行四边形．用演绎推理来证明命题的方法，也就是从包含在命题中的一般原理推出包含在命题中的个别、特殊事实．为了证明这个命题为真，我们只需在前提(AB ＝CD 且BC ＝AD )为真的情况下，以已知公理、已知定义、已知定理为依据，根据推理规则，导出结论为真．[精解详析] (1)连结AC.(2)AB＝CD，(已知)BC＝AD，(已知)CA＝AC.(3)平面几何中的边边边定理是：有三边对应相等的两个三角形全等．这一定理相当于：对于任意两个三角形，如果它们的三边对应相等，则这两个三角形全等；(大前提) △ABC和△CDA的三边对应相等；(小前提)△ABC与△CDA全等．(结论)符号表示：AB＝CD且BC＝DA且CA＝AC⇒△ABC≌△CDA.(4)由全等三角形的性质可知：全等三角形的对应角相等．这一性质相当于：对于任意两个三角形，如果它们全等，则它们的对应角相等；(大前提)△ABC和△CDA全等；(小前提)它们的对应角相等，即∠1＝∠2，∠3＝∠4.(结论)(5)内错角相等，两直线平行；(大前提)∠1与∠2、∠3与∠4分别是AB与CD、AD与BC被AC所截得到的内错角；(小前提)AB∥CD，AD∥BC.(结论)(6)两组对边分别平行的四边形为平行四边形；(大前提)四边形ABCD的两组对边分别平行；(小前提)四边形ABCD是平行四边形．(结论)[一点通] 应用三段论证明问题时，要充分挖掘题目的外在和内在条件(小前提)，根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提)，并保证每一步的推理都是正确的、严密的，才能得出正确的结论．常见的解题错误：①条件理解错误(小前提错)；②定理引入和应用错误(大前提错)；③推理过程错误等．3．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝________.解析：∵由题意可得，x 24＋y 24＋z 24＝10，∴a 2＋b 2＋c 2＋x 24＋y 24＋z 24－ax －by －cz ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a －x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －y 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c －z 22＝0. ∴a ＝x 2，b ＝y2，c ＝z2.∴a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝x ＋y ＋z2x ＋y ＋z ＝12.答案：124.梯形的两腰和一底如果相等，它的对角线必平分另一底上的两个角． 已知：在如图所示的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝DC ＝AD ，AC 和BD 是它的对角线．求证：AC 平分∠BCD ，BD 平分∠CBA . 证明：(1)等腰三角形两底角相等，(大前提) △DAC 是等腰三角形，DA ，DC 为两腰，(小前提) ∴∠1＝∠2.(结论)(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等，(大前提) ∠1和∠3是平行线AD ，BC 被AC 截出的内错角，(小前提)， ∴∠1＝∠3.(结论)(3)等于同一个量的两个量相等，(大前提) ∠2和∠3都等于∠1，(小前提) ∴∠2＝∠3.(结论)即AC 平分∠BCD . (4)同理DB 平分∠CBA .5.如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4，将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EDB ⊥平面ABD .求证：AB ⊥DE .证明：在△ABD 中，∵AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°， ∴BD ＝ AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ＝23， ∴AB 2＋BD 2＝AD 2，∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，.∴AB⊥DE[对应学生用书P22]一、填空题1．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：大前提_____________________________________________________________________；小前提_____________________________________________________________________；结论______________________________________________________________________．答案：一次函数的图象是一条直线函数y＝2x＋5是一次函数函数y＝2x＋5的图象是一条直线．2．“指数函数y＝a x(a>1)是增函数，y＝xα(α>1)是指函数，所以y＝xα(α>1)是增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的命题序号是________．①推理完全正确②大前提不正确③小前提不正确④推理形式不正确解析：∵y＝xα(α>1)是幂函数，而不是指数函数，∴小前提错误．答案：③3．“公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为关于n的没有常数项的二次函数，{b n}的前n项和为S n＝n2＋3n.所以{b n}为等差数列”．上述推理中，下列说法正确的序号是________．①大前提错误②小前提错误③结论错误④正确解析：该推理过程中，大前提、小前提、结论都正确．答案：④4．三段论“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③这艘船是准时起航的．”中的小前提是序号________．解析：该推理的大前提是①，小前提是③，结论是②.答案：③5．α<0，幂函数y＝xα的图象在区间(0，＋∞)上是减函数，y＝x－2是幂函数，由“三段论”可得结论________．解析：“三段论”的结论是蕴涵于前提之中的特殊事实，结合大前提，小前提可得答案．答案：y＝x－2的图象在区间(0，＋∞)上是减函数二、解答题6．将下面的演绎推理写成三段论的形式：(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾．(2)两直线平行，同位角相等，如果∠A与∠B是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角，则∠A＝∠B.解：(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃，结论：水会沸腾．(2)大前提：两条直线平行，同位角相等．小前提：∠A 与∠B 是两平行直线被第三条直线所截而成的同位角． 结论：∠A ＝∠B . 7．已知函数f (x )＝aa 2－1(a x －a －x)，其中a ＞0，且a ≠1. (1)判断函数f (x )在(－∞，＋∞)上的单调性，并加以证明；(2)判断f (2)－2与f (1)－1，f (3)－3与f (2)－2的大小关系，由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明．解：(1)由已知得f ′(x )＝a ln a a 2－1(a x ＋a －x)＞0， 所以f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． (2)f (2)－2＞f (1)－1，f (3)－3＞f (2)－2. 一般的结论：f (n ＋1)－(n ＋1)＞f (n )－n (n ∈N *)． 证明如下：上述不等式等价于f (n ＋1)－f (n )＞1，即a 2n ＋1＋1a n ＋1＋an ＞1，化简得(an ＋1－1)(a n－1)＞0，在a ＞0且a ≠1的条件下，(a n ＋1－1)(a n－1)＞0显然成立，故f (n ＋1)－(n ＋1)＞f (n )－n (n ∈N *)成立．8．已知{a n }是各项均为正数的等差数列．lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列，又b n ＝1a 2n(n＝1,2,3，…)．证明：{b n }为等比数列．证明：∵lg a 1、lg a 2、lg a 4成等差数列， ∴2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，即a 22＝a 1a 4. 若{a n }的公差为d ，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，a 1d ＝d 2， 从而d (d －a 1)＝0.①若d ＝0，{a n }为常数列，相应{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数，公比为1的等比数列．②若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n－1)d ＝2nd ，b n ＝1a 2n ＝12n d.这时{b n}是首项b1＝12d，公比为12的等比数列．综上，{b n}为等比数列．。
2.1.1 合情推理知识梳理1.从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程为___________________，任何推理都包含_____________和_____________两部分._____________是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；______________________________是根据前提推得的命题，它告诉我们_______________________________________；2.从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为_________________________它的思维过程大致是_________________________________________________________________________________.3.根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理称为_____________________________________________.简称_________________________；它的思维过程大致是________________________________________________________________________________________.知识导学归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，即从所研究的对象全体中抽取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对总体作出推断.由归纳推理所获得的结论，仅是一种猜测，不一定可靠，其可靠性需要通过证明.类比推理是由特殊到特殊的推理，由已解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问题和作出新发现.类比的结论具有或然性.即可能真，也可能假.疑难突破1.归纳推理的一般步骤是什么呢？（1）实验、观察.通过观察个别事物发现某些相同性质.（2）概括、推广：从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题，并且在一般情况下，如果归纳的个别情况越多，越具有代表性，那么推广的一般性结论也就越可靠.（3）猜测一般性结论：通过实例去分析、归纳问题的一般性命题.2.类比推理的一般步骤是什么呢？（1）找出两类事物之间的相似性或一致性.（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想），一般情况下，如果类比的两类事物的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠.类比推理的结论具有或然性，即可能真，也可能假，它是一种由特殊到特殊的认识过程，具有十分重要的实用价值，是一种合情推理.典题精讲【例1】写出下列推理的前提和结论：（1）对顶角相等；（2）a⊥b,b⊥ｃ则a⊥c.思路分析：先把问题改写成“如果……那么……”，“因为……所以……”的形式，再进行判断，写出前提和结论.解：（1）对顶角相等，可以写成如果两个角为对顶角，那么这两个角相等.由此可知，前提为两个角是对顶角，结论为两个角相等.（2）a⊥b,b⊥ｃ则a⊥ｃ改写成如果a⊥b,b⊥ｃ那么a⊥c，前提为a⊥b,b⊥c，结论为a⊥c.【变式训练】写出下列推理的前提和结论.（1）两直线平行，同位角相等；（2）a＞b,b＞c则a＞c.解：（1）条件：两条直线平行，结论：同位角相等.（2）条件为：a＞b,b＞c.结论为：a＞c.【例2】设f(n)=n2+n+41，n∈N*,计算f(1),f(2),f(3),f(4), …f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n=40验证猜想的结论是否正确.思路分析：首先分析题目的条件，并对n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的结果进行归纳推理，发现它们之间的共同性质，猜想出一个明确的一般性命题：解：f(1)=12+1+41=43f(2)=22+2+41=47f(3)=32+3+41=53f(4)=42+4+41=61f(5)=52+5+41=71f(6)=62+6+41=83f(7)=72+7+41=97f(8)=82+8+41=113f(9)=92+9+41=131f(10)=102+10+41=151由此猜想，n为任何正整数时，f(n)=n2+n+41都是质数.当n=40时，f(40)=402+40+41=41×41;所以f(40)为合数，因此猜想的结论不正确.【变式训练】观察×(1×２-0×1)=1,×(2×３-1×2)=2,×(3×４-2×3)=3,×(4×５-3×4)=4,由上述事实你能得出怎样的结论？解：因为×(1×２-0×1)=1,×(2×３-1×2)=2,×(3×４-2×3)=3,×(4×５-3×4)=4,…由此猜想，前n(n∈N*)个式子的结果为：×［n×(n+1)-(n-1)×n］=n.【例3】找出三角形和空间四面体的相似性质，并用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.（1）三角形的两边之和大于第三边；（2）三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边；（3）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心；（4）三角形的面积为S=（a+b+c)r（r为内切圆的半径）.思路分析：首先充分认识三角形、空间四面体的相同（或相似）之处，再进行类比，类比时要抓住本质，充分考虑两类事物之间的联系.解：三角形和四面体有下列共同性质.（1）三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形，四面体是空间中由平面三角形所围成的最简单的封闭图形.（2）三角形可以看作平面上一条线段外一点及这条线段上的各点所形成的图形；四面体可以看作三角形外一点与这个三角形上各点的连线所围成的图形.根据三角形的性质可以推测空间四面体有如下性质：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边[] 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.三角形的中位线等于第三边的一半，并且平行于第三边. 四面体的中位面的面积第于第四个面面积的，且平行于第四个面.三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切线的球心三角形的面积为S=(a+b+c)r(r为三角形内切圆的半径) 四面体的体积为V=（S1+S2+S3+S4）r,S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径【变式训练】类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想.解：如下图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°,设a、b、c分别表示3条边的长度，由勾股定理得c2=a2+b2,(1) (2)类似地，在四面体P—DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=90°,设S1、S2、S3和S分别表示△PDF,△PDE,△EDF和△PEF的面积图（2），相应于图（1）中直角三角形的两条直角边a、b和1条斜边c，图（2）中的四面体有3个“直角面”，S1、S2、S3，和1个“斜面”S，于是，类比勾股定理的结论，我们猜想S2=成立.问题探究如图2-1-1所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片.按下规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.图2-1-11.每次只能移动1个金属片；2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？导思:我们从移动1，2，3，4个金属片的情形入手，探究其中的规律性，进而归纳出移动n个金属片所需的次数.探究:当n=1时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号（13）表示，共移动了1次. 当n=2时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：（1）把第1个金属片从1号针移到2号针；（2）把第2个金属片从1号针移到3号针；（3）把第1个金属片从2号针移到3号针.用符号表示为（12）（13）（23），共移动了3次.当n=3时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为n=2的情形，移动的顺序是：（1）把上面两个金属片从1号针移到2号针；（2）把第3个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面3个金属片从1号针移到3号针.其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为（13）（12）（32）（13）（21）（23）（13），共移动了7次.当n=4时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：（1）把上面3个金属片从1号针移到2号针；（2）把第4个金属片从1号针移到3号针；（3）把上面3个金属片从2号针移到3号针.用符号表示为（12）（13）（23）（12）（31）（32）（12）（13）（23）（21）（31）（23）（12）（13）（23）.共移动了15次.至此，我们得到依次移动1，2，3，4个金属片所需次数构成的数列1，3，7，15.观察这个数列，可以发现其中蕴含着如下规律：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1.由此我们猜想：若把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动a n次，则数列{a n}的通项公式为a n=2n-1(n∈N*).通过探究上述n=1,2,3,4时的移动方法，我们可以归纳出对n个金属片都适用的移动方法.当移动n个金属片时，可分为下列3个步骤：（1）将上面（n-1)个金属片从1号针移到2号针；（2）将第n个金属片从1号针移到3号针；（3）将上面(n-1)个金属片从2号针移到3号针.这样就把移动n个金属片的任务.转化为移动两次（n-1)个金属片和移动一次第n个金属片的任务.而移动（n-1)个金属片需要移动两次（n-2)个金属片和移动一次第（n-1)个金属片，移动（n-2)个金属片需要移动两次（n-3)个金属片和移动一次第（n-2)个金属片……如此继续，直到转化为移动1个金属片的情形.根据这个过程，可得递推公式从这个递推公式出发，可以证明上述通项公式是正确的.。
第二课时类比推理为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征．1．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论2．合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果_，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．类比推理的特点主要体现在以下几个方面：(1)类比推理是从特殊到特殊的推理．(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征．所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．[对应学生用书P16]类比推理在数列中的应用[例1] 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n(n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有什么样的等式成立？[思路点拨] 在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．[精解详析] 在等差数列{a n }中，a 10＝0， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0， 即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1. 又由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n ，若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n ， 相应的，在等比数列{b n }中，若b 9＝1， 则可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．[一点通] 类比推理的一般模式为：A 类事物具有性质a ，b ，c ，d ，B 类事物具有性质a ′，b ′，c ′，d ′(a ，b ，c 分别与a ′，b ′，c ′相似或相同)，所以B 类事物可能具有性质d ′(d 与d ′相似或相同)．1． 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列． 答案：nc 1·c 2·c 3·…·c n2．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，且b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，类比上述结论，求b m ＋n .解：等差数列通项a n 与项数n 是一次函数关系，等比数列通项b n 与项数n 是指数型函数关系．利用类比可得b m ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a m 1n －m＝n －m b na m .类比推理在几何中的应用[例2]如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，且SA 、SB 、SC 和底面ABC 所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC ，△SAC ，△SAB的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．[思路点拨] 在△DEF 中，有三条边，三个角，与△DEF 相对应的是四面体S －ABC ，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA ，SB ，SC 与底面ABC 所成的三个线面角α1，α2，α3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中．[精解详析] 在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝fsin F .于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，我们猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．[一点通] (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比平面图形 空间图形 点 线 线 面 边长 面积 面积 体积 线线角 二面角 三角形四面体3．在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．图(1) (2) 解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故S △AEC S △BEC 类比成V A －CDEV B －CDE. 平面中的线段长类比到空间为面积， 故AC BC 类比成S △ACDS △BCD. 故有V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC. 答案：V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC4.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P —ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.合情推理的应用[例3] (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明； (3)在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求它的前n 项和S n .[思路点拨] 可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n 项和．[精解详析] (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2， 所以a n ＋2＝a n .所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． (3)当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N *，则S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝2k －22(a ＋b )＋a ＝n －12(a ＋b )＋a ＝n ＋12a ＋n －12b ；当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N *，则S n ＝S 2k ＝k (a ＋b )＝n2(a ＋b )．所以它的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12a ＋n －12b ，n 为奇数；n2a ＋b ， n 为偶数.[一点通] (1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能 力．(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．5．类比平面向量基本定理：“如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面α内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.”写出空间向量基本定理的是________．答案：如果e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a ，有且只有一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 36．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P是椭圆C 上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为K PM ，K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出类似的性质，并加以证明．解：类似的性质：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为K PM ，K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b2＝1.设P (x ，y )，由K PM ＝y －n x －m ，K PN ＝y ＋nx ＋m， 得K PM ·K PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－ n 2x 2－m 2，将y 2＝b 2a 2x 2－b 2，n 2＝b 2a 2m 2－b 2代入得K PM ·K PN ＝b 2a2.1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．[对应学生用书P18]一、填空题1．正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________．答案：正方体 正方体的体积为棱长的立方 2．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°， 四边形的内角和为(4－2)·180°， 五边形的内角和为(5－2)·180°， ……所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数； (3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案：(1)(3)(4)3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为________．解析：△ABC 的内心为O ，连结OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案：13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)4．在平面几何中，有射影定理：“在△ABC 中，AB ⊥AC ，点A 在BC 边上的射影为D ，有AB 2＝BD ·BC .”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，点A 在底面BCD 上的射影为O ，则有________．”答案：S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD5．已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM＝________.”解析：如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝32×23＝33，AM ＝ 12－⎝⎛⎭⎪⎫332＝63， R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63－R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332，解得R ＝64. 于是，AO OM＝6463－64＝3. 答案：3 二、解答题6．已知：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d .(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． 解：设等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n . (1)通项a n ＝a m ·qn －m.(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *， 则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列． 7．类比圆的下列特征，找出球的相关特征． (1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆； (2)平面内不共线的3个点确定一个圆； (3)圆的周长与面积可求．解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球； (2)空间中不共面的4个点确定一个球； (3)球的表面积与体积可求．8．若记号“*”表示两个实数a 与b 的算术平均的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，写出对于任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式．解：由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不惟一．解决这道试题要把握住a *b ＝a ＋b2，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号 “*”和“＋”，则可容易得到a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋b )．正确的结论还有：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )，(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 等．。
