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的曲线,称为支割线.
w n z的支割线为从原点出发的射线
注1 多值函数的每一单值分支,在支割线两沿取不同值, 且在支割线不连续.
注2 取负实轴为支割线,在正实轴上取正实数值的那一 支为主值支.
w n z的主值支为: 1 arg z i w f0 (z) z n e n , arg z .
因为初等复变多值函数的多值性是由于辐角的多 值性引起的，所以我们先研究辐角函数：
w Argz (z C \{0,}), w=Argz函数有无穷个不同的值：
w Argz arg z 2k (k Z), z 0,
其中argz表示Argz的主值：(我们也把Argz的 任意一个确定的值记为argz )
3 2
2k
)
(k 0, 1, 2, )。
3.对数函数的运算性质
Ln(z1z2 ) Lnz1 Lnz2
Ln(z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2
和幅角的加法一样上面的等式应该理解为 集合相等，并且下面的等式将不再成立：
Lnz2 2Lnz,
Ln n
z
1 n
Lnz
而应是：Lnz2 2ln | z | i2arg z 2ki,
Ln n
z
1 n
ln
|
z
|
i
1 n
argz
2ki
4.对数函数的支点及支割线
函数w Lnz的支点为0及,
w Lnz的支割线为从原点出发的射线.
注:沿正实轴割破的z平面,也可分出w Lnz的无穷 多个单值解析分支
w Lnz ln | z | i(a rg z 2k )
数Lnz的主值lnz为：
w lnz ln | z | i arg z,
则这时，有
w Lnz ln | z | i arg z 2ki
ln z 2ki, k Z
例3 计算Ln(1), Ln(2 3i)的值。
解 因为| 1| 1， arg(1) ，
因z wn在Tk上单叶解析,故w fk (z)在G上也解析,且
f
' k
(
z
)
1 (wn
)'
1 nwn1
w nwn
1 nz fk (z).
k 1, 2, , n 1
结论 w n z在割破负实轴的z平面G上能分n个
单值解析分支
w (n
z )k
fk (z)
1
zn
fk' (z)
1 (ew )'
1 ew
1 z
结论: w Lnz在割破负实轴的z平面G上能分出无穷
多个单值解析分支
w fk (z) ln | z | i(argz 2k ), z G, k 0, 1, 2,
fk (z)的定义域为G,值域为Bk ,在G内单值解析.
2.对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函
注1 单值不一定单叶
例:f (z) z2在全平面是单值,但非单叶.
注2 区域D到区域E的单叶满变换就是D到E的1-1变换.
若w f (z)为D到E的单叶满变换,则z f 1(w)为E到D的 单叶满变换,即w f (z)与z f 1(w)为双方单值的1-1变换.
2. z wn与z ew的单叶性区域
3
ww 2 (z)T2
{w |
arg w
5 }
3
三 对数函数
1.复对数的定义 定义2.10 我们规定对数函数是指数函数的反函数，即若
ew z(z 0, ) 则复数w称为复数z对数，记为w Lnz。
注、由于对数函数是指数函数的反函数，而指数函 数是周期为2i 的周期函数，所以对数函数必然是 多值函数.
2.w n z的单值性区域
因w n z为z wn的反函数,而z wn的单叶区域为
Tk
{w |
2k 1
n
arg w
2k 1}
n
wznwzn
G {z | (2k 1) arg z (2k 1)}
其值域为:G C \{负实轴} {z | arg z }
或 {w | w u iv,(2k 1) v (2k 1)};
即平行于实轴,宽度不超过2的带形区域都是
z ew的单叶区域
3. z wn与z ew的变换性质
{w| 0 arg w }zwn{z | 0 arg z n}
n
z=wn
euiv rei 所以有： u ln r,v 2k (k 0,1,2,)
容易看到，u是单值的，而由于幅角函数的
多值性知道，v 是多值的；因为是z的幅角， 从而v 2k Argz,
故w Lnz ln|z| iArgz, z 0
因z ew在Bk上单叶解析,故w fk (z)在G上也解析,且
2.w Lnz的单值性区域
因w Lnz为z ew的反函数,而z ew的单叶区域为
Bk {w | (2k 1) Im w (2k 1)}
Z平面除去原点及负 实轴的区域.
z weL wnz G {z | (2k 1) arg z (2k 1)}
所以有 Ln(1) ln1 i( 2k ) (2k 1)i (k 0, 1, 2, )。
因为| 2 3i |
13，
arg(2
3i)
arctan
3 2
所以有
Ln(2 3i) ln
13
i(
arctan
3 2
2k
)
1 2
ln13
i(arctan
w fk (z) z 3 e 3 , k 0,1, 2; z G
4.w n z的支点及支割线
定义 如果当z沿z0的充分小邻域内任一闭曲线绕一圈时, 多值函数从一支变到另一支,则z0称为该多值函数的一个 支点.
函数w n z的支点为0及
定义 用来割破Z平面,借以分出多值函数单值解析分支
上沿 下沿
arg z |上沿 arg z |下沿
沿负实轴的割线：
一 单叶区域
1.定义2.8 设函数w f (z)在区域D内有定义,且对D内 任意不同的两点z1, z2都有f (z1) f (z2 ),则称函数f (z) 在D内是单叶的,并称区域D为f (z)的单叶性区域
例1写出w 3 z在G内所有单值解析分支
解
1 arg z i
w f0(z) z 3 e 3
w
f1(z)
z
e e 1 arg z2 i
3
3
2 i 3
f0 (z)
w
f2(z)
z e e 1 arg z4 i
3
3
4 i 3
f0 (z)
1 arg z2k i
0 argz 2 , k 0, 1, 2,
5.对数函数的几何性态：
对数函数的单值解析分支w ln z把z 平面
的C \{Re z 0,Im z 0}映照w 平面的带域
从而w n z的单值性区域为
Z平面除去原点及 负实轴的区域.
G {z | arg z }
且z wn在G上存在反函数w fk (z)
1 arg z2k i
fk : G Tk , fk (z) z n e n , k 0,1, 2, , n 1; z G
arg z2k i
en
1 arg z i 2k i
2k i
z n e n e n f0 (z)e n , k 0,1
, n 1; z G
fk (z)的定义域为G,值域为Tk ,在G内单值解析.
在G内随意指定一点z0 , 并指定z0的一辐角值, 则在G内任意的点z皆可根据z0的辐角, 依连续变 化而惟一确定z的辐角.
即eu1eiv1 eu2 eiv2 ,
则u1 u2;v1 v2 2k , k Z 即w1 w2 2k i, k Z
即凡不包含满足条件w1 w2 2ki的带形区域,都
是z ew的单叶性区域.
z ew的单叶性区域为
{w | v1 Im w v2 , v2 v1 2},
第三节 初等多值函数
Department of Mathematics
根式函数w n z , 对每一个不为0或的z,
在w平面上有n个值
1 arg z2k i
1 Arg z i
w z n e n z n e n , k 0,1 , n 1
w n z多值的原因: z定后, Argz不定,相差2k
1 3z
w2
(z)
w2' (i)
1 3(i)
w2 (i)
1 3i
4
2i
e3
1
7i
e6
3i
G
{z
|
arg
z
}
ww 0 (z)T0 w w1( z ) T1
{w | arg w }
3
3
{w | arg w }
{w | arg w } zwn{z | arg z }
n
n
v
y
z
n u z=wn
0
