复变函数课件 2.3初等多值函数

幂函数的基本性质：
6、当是无理数或复数时，幂 函数是无穷 多值函数； 事实上，当是无理数时，有
z e e e 当 a bi(b 0)时，有 Lnz [ln|z| i (arg z 2 k )] ( abi )[ln|z| i (arg z 2 k )] z e e e e( ab)[ln|z| (arg z2k )]i[b ln|z| a (arg z2k )] 例如 2 k i iLni i[ln 1i (arg i 2 k )] 2 i e e e (k 0,1,2,)
( arg z , k Z )
这是一个n值函数。
在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区 域D内，它有n个不同的解析分支：
幂函数的基本性质:
1 i (arg z 2 k ) n
w n | z |e
( arg z ; k 0,1,..., n 1)
(1i ) Ln2
(1i )[ln 2i (arg 22 k )]
(1i )[ln 22 ki )]
2
2
e e 2 2 2ki 2 e
2Ln2
2[ln 2i (arg 22 k )]
e (k 0,1,2,)
2 ln 22 2ki
7、幂函数在 C \ {Im z 0, Re z 0}上解析，
的整数，q 0）： p p p p Lnz [ln | z | i (arg z 2 k )] ln z 1 i 2 pk q q q q q z e e e 由于p与q为互素，所以不难看到 ，当k取 0， 1， 2， , q 1时，得到q个不同的值，即这 时幂函数是一个 q值的函数；

Lnz
[ln|z| i (arg z 2 k )]
ln z i 2 k
幂函数的基本性质：
2
1i
e e e eln 22kii ln 22k e(ln 22k )i (ln 22k ) 2 k 2e (cos ln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2,, )
代数支点:
而 w z 则从 e
m n
m ln z1 n
e
m (ln| z1| i1 ) n
相应地连续变动到
e
m (ln z1 2 n ) n
e
m ln z1 n
第二章 复变函数
第三节 初等多值函数
7、幂函数
利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任 何复数，则定义z的a次幂函数为
幂函数的定义:
w z e
a
a
aLnz
( z 0)
当a为正实数，且z=0时，还规定 z
由于
a
0.
w z e
a ln z a 2 ki
e
(ln1 0, arg z )
a
支点:
在 z1 的一个值
w z e
a
a (ln z iArgz )
e
a (ln z1 i arg z1 )
e
a ln z1
现在考虑下列两种情况： m (1) a是有理数 n (既约分数，n 1) ，当一点z从 z1 出发按反时针或顺时针方向连续 变动n周时，argz从 1 连续变动到 1 2n
幂函数的基本性质:
1 n n
w z z n 称为根式函数，它是 z w 的反函数。当z 0
时，有 1 1 1 1 ln z 2 ki (ln | z| i arg z ) 2 ki n n n n n w z e e e e
1 i (arg z 2 k ) n
n | z |e
a
因此，对同一个 z 0, w z 的不同数值 a2 ki (k Z ),个 的个数等于不同数值的因子 e 数。
幂函数的基本性质：
1、由于对数函数的多值性，幂函数一般是
整个复平面上的多值函 数(不同数值的个数等于
e 不同因子的个数 )。 2、当是正整数n时, n nLnz n[ ln| z| i (arg z 2 k )] n in arg z w z e e | z | e 0. 是一个单值函数； 3、当 1 n ( n是正整数 )时,
设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个 解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地 a z 有一个单值连续分支。根据复合函数求导 a w z 法则， 的这个单值连续分支在G内解 析，并且 a
幂函数的基本性质:
dw 1 a ln z z a e a dz z z
其中 z 应当理解为对它求导数的那个分支， lnz应当理解为对数函数相应的分支。
n 1 i 2 k n
它们也可以记作
w z( 1 e
n
)
这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相 应的连续分支在该处所取的值一致。
w z 当a不是整数时，原点及无穷远点是 的支点。但按照a是有理数或者a不是有理数，这 两个支点具有完全不同的性质。 为了理解这些结论，我们在0或无穷远点的 充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线C围绕0 或无穷远点。在C上任取一点z1，确定Argz在 z1 的一个值arg z1 1 ；相应地确定
w z e
1 n 1 Ln z n
2ki
e
1[ ln| z| i (arg z 2 k )] n
| z | e
1 n
2 k i Βιβλιοθήκη rg z n(k 0,1,2,, n 1).
是一个n值函数；
幂函数的基本性质：
4、当是0时, 0 0 Lnz 0 z e e 1; p 5、当是有理数时，即 q ( p与q为互素
a
对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整 a 数时， z 在G内是同一解析函数；当 m a (既约分数， n 1) n a 时， z 在G内有n个解析分支；当a是无理数或 a 虚数时，幂函数 z 在G内有无穷多个解析分支 ，是一个无穷值多值函数。
幂函数的基本性质:
例如当n是大于1的整数时，