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关于初等多值解析函数支点与支割线的探讨
多值解析函数支点与支割线是数学中重要的概念。
它们在求解不同种类函数的解以及求解极值问题时都有重要作用。
多值解析函数支点是指多值解析函数的极值点，它可以将不同的函数分为几个支持集合，每个支持集合都有一个对应的极值点。
只有当多值解析函数得到满足某些极限的最大值或最小值的点时，它才可以被认为是支点。
支割线是指如果多值解析函数的某一区间内存在不同的支点，那么这一区间可以被分成一系列连续支割线，支割线后一个支点就是支割线前一个支点的延伸。
对于多值解析函数，如果是由几个支点组成，每个支点由多个支割线连接，那么我们可以称之为支割曲线。
这些支割曲线组成的面图可以表示多值解析函数的变化情况，因此它们可以帮助我们更好的理解多值解析函数的特性。
总之，多值解析函数支点与支割线都是数学中重要的概念，支点表示多值解析函数的极值点，支割线表示多值解析函数各个支点之间的连接关系，支割曲线表示多值解析函数变化情况。
它们在多值解析函数的解的求解以及极值问题的解决中都有着重要的作用。
初等多值函数知识点总结1. 多值函数的定义多值函数是指其自变量的不同取值对应了多个因变量的函数。
也就是说，对于同一个自变量的值，可能存在多个因变量的值与之对应。
多值函数的定义如下：设有函数 $f: X\rightarrow Y$，若对于 $x \in X$，通过 $f(x)$ 可以确定 $Y$ 中不止一个元素，即$f(x)$ 对应多个 $y \in Y$，则称 $f(x)$ 为多值函数。
2. 多值函数的表示多值函数的表示方法有很多种，其常见的表示方法包括集合表示、图像表示和数学表达式表示。
a) 集合表示：通过集合的方式来表示多值函数，通常表示为 $f(x) = \{ y_1, y_2, \ldots, y_n \}$，其中 $y_1, y_2, \ldots, y_n$ 是 $f(x)$ 对应的多个因变量的值。
b) 图像表示：通过绘制多值函数的图像来表示，但由于多值函数的复杂性，其图像可能不是一个简单的曲线或者曲面，通常需要使用多种色彩或者虚线来表示不同的取值情况。
c) 数学表达式表示：通过数学表达式或者符号来表示多值函数的关系，这种表示方式通常需要特殊的符号或者标记来表示多个因变量。
3. 多值函数的性质多值函数与单值函数相比，具有一些特殊的性质，主要体现在定义域、值域和解的情况上。
a) 定义域和值域：多值函数的定义域和值域通常比较复杂。
因为多值函数的自变量可以对应多个因变量的值，所以其定义域和值域可能是多个集合的并集或者交集。
b) 解的情况：多值函数的解通常会有多个解或者无解的情况。
因为对于同一个自变量的值，可能对应多个因变量的值，所以在求解多值函数的方程或者不等式时，需要考虑多个解的情况。
4. 多值函数的运算多值函数与单值函数一样，也可以进行加减乘除等基本运算，并且可以进行复合函数、反函数等复杂的运算。
但是由于多值函数的复杂性，其运算可能会涉及到多个因变量的组合，因此需要特别注意多值函数运算时的特殊性。
初等解析函数和多值函数的解析分⽀定义2.4.1 \ (多值函数的连续分⽀) Ω区域, F(z)为Ω上的多值函数, 若f(z)在Ω上连续, 且对于任意的z∈Ω, f(z)∈F(z), 则称f(z)为F(z)在区域Ω上的连续分⽀.定义2.4.2 \ (多值函数的解析分⽀) Ω区域, F(z)为Ω上的多值函数, 若f(z)在Ω上解析, 且对于任意的z∈Ω, f(z)∈F(z), 则称f(z)为F(z)在区域Ω上的解析分⽀.例2.4.3 指数函数的性质(1) ∀z=x+iy∈C,e z=e x(cos y+i sin y).(2) z=x∈R, e z与通常实指数函数的定义⼀致.(3) |e z|=e x>0.(4) e z在z平⾯上解析, 且(e z)′=e z.(5) e z1+z2=e z1e z2.(6) e z以2iπ为基本周期.定义2.4.4 规定对数函数是指数函数的反函数, 即若z≠0,∞,满⾜z=e w的复数w称为z的对数值, z的⼀切对数值的集合称为z的对数, 记作Lnz.具体地, Lnz={ln|z|+i arg z+i2kπ,k∈Z}.若把ln|z|+i arg z称为主值, 记作ln z, 则Lnz={ln z+i2kπ,k∈Z}.注:若把z看作⾮零复数, Lnz的定义域为C−{0}.Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2,Ln(z1z2)=Lnz1−Lnz2.定理2.4.5 \ (解析函数的对数解析分⽀) Ω单连通区域, f(z)在Ω中解析且处处⾮零, 则Lnf(z)在Ω上有解析分⽀g(z), 满⾜e g(z)=f(z),且Lnf(z)在Ω上的所有解析分⽀⼀定是g(z)+2ikπ,k∈Z,即Lnf(z)={g(z)+i2kπ,k∈Z}.从⽽Lnf(z)在Ω上有⽆穷多个解析分⽀, 且任意两个解析分⽀相差2π的整数倍.注：(1)定理2.4.5 表明, 若Lnf(z)在单连通区域Ω上的任意两个解析分⽀在z0∈Ω上的值相等, 则这两个解析分⽀恒相等.(2) 为⽅便, Lnf(z)在Ω上的解析分⽀g(z)有时简记为ln f(z), 若强调是特定的⼀⽀, 要给定z0∈Ω, 确定出ln f(z)在z0的值.例2.4.6 (对数函数的解析分⽀) \ Ω单连通区域, z0∉Ω,则Ln(z−z0)在Ω上有解析分⽀lnΩ(z−z0), 满⾜e lnΩ(z−z0)=z−z0, 且Ln(z−z0)在Ω上所有的解析分⽀⼀定是lnΩ(z−z0)+2kπi,k∈Z.证明：令f(z)=z−z0, 则f(z)在Ω上解析, 处处不为零, 由定理2.4.5, 成⽴.例2.4.7 (多值辐⾓函数的连续分⽀) Ω单连通区域, z0∉Ω, 则Arg(z−z0)在Ω内有连续分⽀argΩ(z−z0), 在Ω上, 对x,y有各阶偏导数, 且Arg(z−z0)={argΩ(z−z0)+2kπ,k∈z}.从⽽Arg(z−z0)在Ω中有⽆穷多连续分⽀, 任意两个相差2π的整数倍.注：arg(z−z0)不解析.注：设Γ:z=γ(t),t∈[a,b]是⼀条分段光滑的有向曲线(简称路径), 若0∉Γ, 即γ(t)在[a,b]上不取零值, 则存在ρ(t)=|γ(t)|,θ(t),t∈[a,b],分段光滑实函数, 使得γ(t)=ρ(t)e iθ(t).定理2.4.8 (解析函数的n⽅根的解析分⽀) 设n≥2, Ω单连通区域, f(z)在Ω内解析, 处处不为零, 则(f(z))1/n在区域D内有解析分⽀g(z), 且(f(z))1/n的所有解析分⽀是g(z)e2kπi/n,k=0,1,...,n−1的形式.定理2.4.9 (连续函数为n⽅根的解析分⽀的判定定理) n≥2是整数, Ω区域, f(z)在Ω中解析且处处不为零, g(z)为(f(z))1/n的连续分⽀,z∈Ω, 则g(z)为(f(z))1/n在Ω上的解析分⽀.例2.4.10 证明多值函数(z2(1−z)3)1/5在z-平⾯上割去线段[0,1]的区域D上可以分出5个解析分⽀. 求出在(0,1)的上沿取正值的那个单值解析分⽀g0(z)在点z=−1处的值g0(−1)以及g′0(−1),g0″.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js。
初等多值函数1.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。
(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n nr w θi0e = nn r w π2i1e +=θnn nn r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数． 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a 为函数)(z F 的支点．(3)根式函数n z w =的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数． 根式函数它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。
为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。
在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。
假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。
因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数，，利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有，，在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。
比如原点。
在此点的充分小邻域内，作一个包围此点的圆周，当变点从上一点出发，绕连续变动一周而回到其出发点时，从其一支变到另一支。
具有这样性质点称它为的支点，同理也是的一个支点。
用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称之为支割线。
取负实轴为支割线而得出的个不同的分支，其中有一支在正实轴上取正实值的，称为的主值支。
即下面以为例，来阐明有关多值函数的基本概念.(i). 是多值函数由得，令，则有由此可得w 的模与z的模一一对应，而对应着每个；有三个不同的值(主值幅角)故所以：是多值函数(ii).单值分支对于同一z值的三个w 值的模相同，而幅角成公差为的一个等差级数. 如果在w 平面上作一个以原点为顶点，张角为的角形区域，而规定 w 在区域 I上取值，那么函数就建立了z 平面上区域的点与w 平面上区域I的点之间的一一对应关系.例如在z平面上区域上任取一点，函数在区域I 上有唯一的点与之对应. 对来说，在w平面上区域 I ，能使不同的w值对应于z平面不同的z值，这样的区域称为的单叶性区域.同理，对于z平面上区域上任取一点，在区域和区域上，函数分别确定了唯一的点和与之对应，区域II, III 都是的单叶性区域. 若区域I, II, III分别加上相邻的端边，构成,, ，当用三个角形把w 平面布满后，一个多值函数划分成了三个单值分支:分别为一个单值分支的值域，而此时有：.(iii).支点在z平面上选定一点，相应(取第一支)，再让点在z平面上沿一闭合曲线，按逆时针方向连续变化，如果这条曲线不包含原点(如图曲线)，则当动点回到原来位置时，连续变化的幅角也回到原来的值，相应的w 也回到原来的，但如果这条闭曲线内部包含原点,(如图曲线c)，那么当动点沿逆时针方向绕一整圈回到原来位置时，z的幅角就要增加，成为，与此相应的w 值就从变到 . 从以上分析可得，对于函数来说，z=0 点具有这样的性质，当z绕它转一整圈回到原处时，多值函数由一个分支变到另一个分支，这个点就称为多值函数的支点. 一般来说，对于一个多值函数，存在这样的点，当自变量z 绕它运动一周而回到原处，多值函数并不回到原值，而由一个分支变到另一个分支，这样的点，叫支点.再看无穷远点，对于，令z绕无穷远点运行一周，绕无穷远点运行是指：由于复平面上的无穷远点对应着复数球的北极，如果在复数球面上作一个小圆环绕北极，这个圆就对应着复数平面上一个很大的圆，因此，绕无穷远点支行一周是指在复数平面上沿很大的圆运行一周. 显然z沿很大的圆绕一周，由一个分支变成另一个分支，所以无穷远点也是函数的支点. 这个函数再没有其它支点了.从以上分析可得，当z沿支点转一周时，由变成，即由前一个分支变成后一个分支，再转一周，变成，所以，复变多值函数不能分解成三个独立的单值函数，不像多值的实变函数，如可分解为独立的和(iv).支割线为了把多值函数分解为独立的单值函数，我们必须作支割线. 在z平面上从支点z=0到支点任意引一条射线，称为支割线，将z平面割开，并规定当z连续变化时，不得跨越支割线，即规定，这就使得在割开的z平面上的任意闭曲线不含支点在内，这样相应的函数值也只能在w平面上的一个单值分支上取值，而不会由一支变到另一支，这样就将多值函数的三个单值分支完全分开了，即就将多值函数变成了独立的单值函数.注意：把一个多值函数划分为单值分支是与支割线密切相关的，对不同的支割线，多值函数各单值分支的定义域和值域也就不同. 例如：i）.当沿正实轴割开的z平面时,的三个单值分支为，定义域：.值域为：,,,ii）.当沿负实轴割开的z平面时，三个单值分支为，定义域：值域为：,,,其它情况可类似得到.例设确定在沿正实轴割破的z平面上，并且，求分析：本题求解的关键在于确定究竟取三个单值分支中的哪一支. 确定的方法是：首行根据支割线的形式确定定义域与值域，然后由已知条件确定取哪一支.解：由于是沿正实轴割破的z平面上，所以定义域为：(相应的三个单值分支的值域就确定了)由于，因此故应取第三支又，故..(v).支割线可分为两岸每个单值分支在支割线两岸取不同的值，在支割线上不连续. 如在沿负实轴割开在z平面上单值分支，从负实轴上方趋于负实轴上，时,取.从负实轴下方趋于负实轴上时，取.(vi).三个单值分支在割破的z平面上都是解析的，且：对于一般的根式可进行类似的讨论，此时支点为和，。
例设确定在从原点起沿负实轴割破了的平面上且，试求之值。
解设，则由代入得解得：，从而。
2. 对数函数定义2.10 规定对数函数是指数函数的反函数。
即若则复数称为复数的对数，记为。
为求的表达式，令，，则有因而故或这说明对数函数是无穷多值的多值函数。
在平面上从原点起割破负实轴的区域内，可以得到的无穷多个不同的单值解析分支：其主值支为。
每支相同的导数对数函数为多值函数，从而，它不是解析函数． 对数函数的基本性质:设∞≠,0,21z z ，2121)(Lnz Lnz z z Ln += 2121Lnz Lnz z z Ln-= 例 设则例 计算)i 1(Ln +．解)i 1(Arg i i 1ln )i 1(Ln +++=+)π24π(i 2ln 21k ++=（k ：整数） 例 计算)1(Ln -。
解： )1(Arg i 1ln )1(Ln -+-=- i π)12(+=k （k 为整数） 例 试求方程i πln 2=z 的解。
解 因为i 2πln =z ，所以，由对数函数主支的定义有 i 2πsin i 2πcose 2πi =+==z即所给方程的解为i =z 。
若限定取,，则z 的对数只有一个，称它为的主值支，记为单值分支、支点、支割线在w 平面上，用平行于实轴的直线，划出一个宽为的带形，如，而规定w 在带形I 中取值，则给出z 平面与w 平面上带形I 的一一对应关系. 带形I 是的单叶性区域加一条端边. 用的互不相交的带形把w 平面布满后，每个带形就是对数函数的一个相应分支的值域.对数函数只有两个支点，从0点到点作支割线，即可得到在这割破的z 平面上的无穷多单值分支.无穷多个单值函数都是解析函数，且：运算法则但 不成立.3.一般幂函数与一般指数函数定义2.11 aLnz a e z w ==（,,0∞≠z 为复常数）称为z 的一般幂函数。
定义2.12 zLna z e a w ==（,,0∞≠a 为复常数）称为一般指数函数．例 求i3和()ii 1+的值。
解：()[]3ln i 223arg i 3ln i 3Ln i 3e e e e k k ππ-++===() ,2,1,0,3ln sin i 3ln cos 2±±=+=-k e k π()()[]()()πk e e 2i 1arg i |i 1|ln i i 1Ln i i 1+++++==+⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ln sin i 22ln cos 2412422ln ik k eeπππ， ,2,1,0±±=k4.具有多个有限支点的多值函数对具有多个有限支点的多值函数，我们不便采取限制辐角范围的方法，而是求出该函数的一切支点，然后适当连接支点以割破平面。
于是在平面上以此割线为边界的区域内就能分出该函数的单值解析分支。
（1） 讨论函数 （2.24）的支点，其中是次多项式，是的一切相异零点，分别是他们的重数，满足例 考查下列二函数有哪些支点 (a) (b)解 （a ）作一条内部含0但不含1的简单闭曲线, 当沿正方向绕行一周时,的辐角得到增量,的辐角没有改变, 即从而故的终值较初值增加了一个因子，发生了变化，可见0是的支点。
同理1 也是其支点。
任何异于0，1的有限点都不可能是支点。
因若设是含但不含0，1的简单闭曲线，则故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。
最后不是的支点。
因若设含0，1的简单闭曲线，则故的终值较初值增加了一个因子，未发生变化。
（b）可能的支点是0，1，。
设分别是含0但不含1，含1但不含0，和既含0又含1的简单闭曲线，则结果的终值较初值均发生了变化。
故0，1，都是支点，此外别无支点。
对函数作类似的讨论，可得如下结论：（a）可能的支点是。
（b）当且仅当不能整除时，是的支点；（c）当且仅当不能整除时，是的支点；（2）由已给单值解析分支的初值，计算终值。
因其中为从到的有向曲线（不穿过支割线），与的取值无关，可以相差的整倍数。
例试说明在将平面适当割开后能分出三个解析分支。
并求出在点取负值的那个分支在的值解易知的支点是。
因此，将平面沿正实轴从0到1割开，再沿负实轴割开。
在这样割开后的平面上，能分出三个解析分支。
现取一条从到的有向曲线（不穿过支割线），则于是又由题设，可取。
故得。
（3）关于对数函数的已给单值解析分支，我们可以借助下面的公式来计算它的终值：即其中是一条连接起点和终点且不穿过支割线的简单曲线；是满足条件那一支在起点之值的虚部，是一个确定的值。
例试说明在割去“从-1到的直线段”，“从到1的直线段”与射线“且”的平面内能分出单值解析分支。
