初等多值函数

所以 Ln2 的主值就是 ln2.
因为 Ln(1) ln1 iArg(1) (2k 1)i (k为整数)
所以 Ln( 1)的主值就是 i. 注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对 数函数是实变数对数函数的拓广.
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12
铃
例5 求下列各式的值: (1)Ln(2 3i); (2)Ln(3 3i); (3)Ln(3i).

n
i 2k
re n

n reik
k
k


2k
n
=
arg
z n
2k
k 0,1,
n1
w0 n rei0 2 w1 n rei1
22 w2 n rei2
2k wk n reik
2(n1) wn1 n rein1
z
G
o
x
5
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下页Biblioteka 结束铃结论：
从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数:
w n z 分成如下的n个单值函数：
wk
nz
i ( z )2k
n r(z)e n ,(k 0,1,
k
, n 1)
定义域为 Gk : 2k 2k , (k 0,1, , n 1)
w Lnz lnr i( 2k )(k E)
Lnz ln|z| iArgz 由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多 值的多值函数
规定：ln z ln r i ln z i arg z.
为对数函数Lnz的主值

关于初等多值解析函数支点与支割线的探讨
多值解析函数支点与支割线是数学中重要的概念。

它们在求解不同种类函数的解以及求解极值问题时都有重要作用。

多值解析函数支点是指多值解析函数的极值点，它可以将不同的函数分为几个支持集合，每个支持集合都有一个对应的极值点。

只有当多值解析函数得到满足某些极限的最大值或最小值的点时，它才可以被认为是支点。

支割线是指如果多值解析函数的某一区间内存在不同的支点，那么这一区间可以被分成一系列连续支割线，支割线后一个支点就是支割线前一个支点的延伸。

对于多值解析函数，如果是由几个支点组成，每个支点由多个支割线连接，那么我们可以称之为支割曲线。

这些支割曲线组成的面图可以表示多值解析函数的变化情况，因此它们可以帮助我们更好的理解多值解析函数的特性。

总之，多值解析函数支点与支割线都是数学中重要的概念，支点表示多值解析函数的极值点，支割线表示多值解析函数各个支点之间的连接关系，支割曲线表示多值解析函数变化情况。

它们在多值解析函数的解的求解以及极值问题的解决中都有着重要的作用。

初等多值函数知识点总结1. 多值函数的定义多值函数是指其自变量的不同取值对应了多个因变量的函数。

也就是说，对于同一个自变量的值，可能存在多个因变量的值与之对应。

多值函数的定义如下：设有函数 $f: X\rightarrow Y$，若对于 $x \in X$，通过 $f(x)$ 可以确定 $Y$ 中不止一个元素，即$f(x)$ 对应多个 $y \in Y$，则称 $f(x)$ 为多值函数。

2. 多值函数的表示多值函数的表示方法有很多种，其常见的表示方法包括集合表示、图像表示和数学表达式表示。

a) 集合表示：通过集合的方式来表示多值函数，通常表示为 $f(x) = \{ y_1, y_2, \ldots, y_n \}$，其中 $y_1, y_2, \ldots, y_n$ 是 $f(x)$ 对应的多个因变量的值。

b) 图像表示：通过绘制多值函数的图像来表示，但由于多值函数的复杂性，其图像可能不是一个简单的曲线或者曲面，通常需要使用多种色彩或者虚线来表示不同的取值情况。

c) 数学表达式表示：通过数学表达式或者符号来表示多值函数的关系，这种表示方式通常需要特殊的符号或者标记来表示多个因变量。

3. 多值函数的性质多值函数与单值函数相比，具有一些特殊的性质，主要体现在定义域、值域和解的情况上。

a) 定义域和值域：多值函数的定义域和值域通常比较复杂。

因为多值函数的自变量可以对应多个因变量的值，所以其定义域和值域可能是多个集合的并集或者交集。

b) 解的情况：多值函数的解通常会有多个解或者无解的情况。

因为对于同一个自变量的值，可能对应多个因变量的值，所以在求解多值函数的方程或者不等式时，需要考虑多个解的情况。

4. 多值函数的运算多值函数与单值函数一样，也可以进行加减乘除等基本运算，并且可以进行复合函数、反函数等复杂的运算。

但是由于多值函数的复杂性，其运算可能会涉及到多个因变量的组合，因此需要特别注意多值函数运算时的特殊性。

arg z1增加2， 辐角arg z1变为arg z1＋2 .
类似地，连续变动k周回到z1时，
辐角arg z1变为arg z1＋2k (k 1, 2, ).
(4) 当z从z1开始按照逆时针方向 沿着C \{0}内一条围绕z0( 0,) (不围绕原点)的简单闭曲线L3连续 变动一周，回到z1时，arg z1不变.
设F (z)是区域( C )上的一个多值函数， z0 C.若在z0的某个充分小的邻域内，存在 一条包围z0的简单闭曲线L，当动点z沿L旋转 一周，回到起点时，F (z)的函数值发生变化， 则z0称为多值函数F (z)的支点.
连接多值函数F (z)的支点，用来剪开z平面， 借以分出多值函数F (z)的单值分支的割线，称为 多值函数F ( z)的支割线.
1 ln 13 i(arc tan 3 2k ), (k ),
2
2
ln(2 3i) ln | 2 3i | i arg(2 3i)
如果ez1 ez2，那么z1 z2 2k i，反之亦真.
(5) z C, ez 0, ez eRez ,
Argez Im z 2k (k Z );
2. 三角函数
由Euler公式，对x R,
eix cos x i sin x, eix cos x i sin x.
所以
cos x eix eix , sin x eix eix .
sin z
cos z
sin z
二、初等多值函数
1. 辐角函数
辐角函数F(z) Argz是C \{0}上的一个多值函数. 将辐角函数在某些区域内分解为一些单值连续函数， 每一个单值连续函数称为辐角函数在这个区域内 的一个单值连续分支.
考虑沿负实轴(包括原点0)剪开复平面而得到的

(vi) lim ez不存在。
z
证明：(iv) w' lim ezz ez
ez lim
ez 1
z0 z
z0 z
lim ez ex cos y i sin y 1
z0
z
lim ez 1 x1 iy 1 ez
z 0
z
(3) 三角函数 sin z 1 eiz eiz , cos z 1 eiz eiz
点，则连续Байду номын сангаас变的幅角回到原来
的值，而w的值也回到w1。但如
果曲线包含原点，则旋转一周后，w的值不再回到w1，而
是回到w2：
w re 3
i
0 3
2 3
2
我们称z=0为w 3 z 的支点。
定义(支点)：若z绕某点旋转一周回到初始点，多值函数 w=f(z)由一个分支变到另外一个分支，我们称这样的点 为多值函数的支点。
bn zn
(2) 指数函数 w ez exeiy ex (cos y i sin y)
指数函数的性质：
(i) ez 0
(ii) 对于实数z=x来说，复数域中的指数定义与实数域中
的定义一致。
(iii) ez1ez2 ez1z2
(iv) 指数函数处处解析，且：w' ez
(v) ezi2k ez
所以：w l n z ln r iarg(z)
显然：w Lnz l n z i2n , n 0, 1,
如在w平面上用平行于实轴 的直线画出一个宽为2的条 带，例如图中的I，则z与w 为一一对应的关系。I为z=ew 的单叶性区域。
同样，对数函数也存在两个 支点：z=0和z=。两个支点间的任意连线就构成了支割线。 支割线映射为w平面上的单值分支之间的端线：

证：充分性：因为z沿r绕行一周后有∆r arg f(z) ≠ 2nπ，所以f(z)的初始值不 等于f(z)的终止值，从而有∆rf z ≠ 0，由定义 1.2 可知a是f(z)的一个支点。
必要性：因为∆rf z ≠ 0，又在相应点上f(z)的模相等，又引理 1.1 知，必有 ∆r arg f(z) ≠ 2nπ。
1g z + ∆C0 arg (1 − z)] = 3 2π + 0 = 3 π
1
1
2
∆C1 arg f z = 3 [∆C1 arg z + ∆C1 arg (1 − z)] = 3 0 + 2π = 3 π
2
多值函数的单值域的确定
1
1
4
∆C arg f z = 3 [∆C arg z + ∆C arg (1 − z)] = 3 2π + 2π = 3 π
二、支割线的判定
定义 2.1 用来割破z平面，借以分出多值解析函数w = f(z)的单值解析分支 的割线，叫做f(z)的支割线。
根据定义易知割线L是支割线的必要条件是：L必是连接支点的割线。因为对 于用割线割破的区域，就完全避免了出线环绕单个支点的简单闭曲线，因而才有 可能在此区域内将多值函数分出单值解析分支。从定义分析可以得到：
定理 2.1 设L是连接w = f(z)的支点的割线，则L是w = f(z)的支割线的充分 必要条件是：对于在用此割线割破的z平面区域G内的任意简单闭曲线C，都有 ∆Cf z = 0。
证：充分性：因为L是连接w = f(z)各支点的割线，所以在G内不存在有绕单 个支点的简单闭曲线，又因G内任一简单闭曲线C，当z沿C正向运行一周后 ∆Cf z = 0，这说明G是f(z)的单值域，所以w = f(z)在G内能分出单值解析分支， 即L是f(z)的支割线。

w Lnz ln | z | i arg z 2ki ln z 2ki,
1.定义2.8 规定根式函数w
n
z为幂函数z wn的
反函数(n是大于1的整数)
对每一个不为0或的z, 在w平面上函数w n z有n个值 注
w z e
1 n
arg z 2 k i n
1 n
, k 0,1, n 1
arg z i n
2. 函数w f 0 ( z ) z e
euiv rei
u 所以有： ln r, v 2k (k 0,1,2,)
容易看到，u是单值的，而由于幅角函数的 多值性知道，v 是多值的；因为 是z的幅角，
从而v 2k Argz,
故w Lnz ln|z| iArgz, z 0
2.对数函数的主值 相应与辐角函数的主值，我们定义对数函 数Lnz的主值lnz为：

{w |
z=w
n
n

arg w } {z | arg z } n n
z wn

v0i

z=wn
v0
{w | w u iv, v } {z | arg z }
z ew
二 根式函数
2 k 即凡不包含满足条件1 2 的角形区域,都 n n 是z w 的单叶性区域.
n
z wn的单叶性区域为
2 {w | arg w , 0 }, n {w | 2k
或

即顶点在原点, 张度不超过 z wn的单叶区域
arg w 2k }; n n 2
d 1 dz z 事实上,指数函数z ew在区域{ v arg z } 内

第 ８卷 第 ６期
２Ｏ Ｏ ８年 １ １月
潍坊 学 院 学报
Ｊ ｕ ｎ Ｉ ｆＷ ｅｆｎ ｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ａ ｉａ ｇＵ ｉｅｓｔ ｏ ｙ
Ｖｏ ． ． １ ８ Ｎ０ ６
Ｎｏ ２ ８ ｖ． ＯＯ
改 革 的初 等 多值 函数 单 值 分 支理 论
— —
基于教学型高等院校数学与应用数学专业 的教学
关 键词 ： 学型 高等 院校 ； 学 内容改革 ； 等 多值 函数 ； 教 教 初 单值 分 支； 函数 改 变量
中图分 类号 ： ７ ． ０１ ４ ５
引 言
文献标 识码 ： Ａ
文章编 号 ：６ １ ２ ８ ２ ０ ） ６ ０ ６ ５ １ ７ —４ ８ （Ｏ ８ Ｏ —０ ９ 一Ｏ 思 维 的连 贯性 、 内容 的 丰 富性 与 难 易性 和处 理 方 法
钮 宏 霞
（ 坊学 院 ，山东 潍 摘
潍坊
２ １６ ６ Ｏ １）
要： 为使初 等 多值 函数单值 分 支理论 的教 学 内容 在 理论 性 、 用性 、 颖性 和难 易度 上符 合教 学 应 新
型 高等 院校数 学与应 用数 学专业 的培 养 目标 与规格 和 学生的接 受 能力与 思维 能力 ， 结 构体 系、 从 具体 内容
的有关 问题一 直 是 近年 来 教 学研 究 的 热点 ， 文 ［ 个 别 地方点 到 为止 。 如 ８
一
ｌ］ ３ 对某 些 方 面 的研 究 。为适 应 教 学 型高 等 院 校 １ 一 般 初 等 多值 函 数 单 值 分 支 问题
数 学与应 用数 学 专业 的教 学 ， 革 初 等 多值 函数 理 １ １ 函数 改变 量 改 ．
基 金 项 目 ： 坊 学 院教 研 立项 项 目： 于 多层 次人 才 培养 目标 的《 变函 数 》 程 教 学 改革 潍 基 复 课

arg z arg z0 L Argz
z 0 点并指定初值arg z0 的前提下,终值 arg z 唯一,即辐角函数可单值化，
必须使辐角改变量仅与起点和终点有关而与曲线的形状无关.
L1 Argz L2 Argz L L Argz 0 (即原点在闭曲线 L1 L2 的外部). 1 2
1 i L Argz n
,
k
| z |e
n
e
i L Argz n
（4 ） z G : arg z , k Z .
,
或
wk
z
n
k
n | z|e
i
arg z 2 k n
z G : arg z , k Z .
（6）
,
（5 ）
定理2 在上述区域内各单值分值函数 ( n z ) k 解析, 且 d n 1 ( n z )k k 0,1,, n 1 . z k dz n z

2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
2.2 由已知的某单值解析分支的初值求终值
wk
或
z
n
k
（4） n | z |e i arg w0 e , z G : arg z , k Z .
w n z n | z |e
i
Argz n
, z 0, .
(2)
2.1分出根式函数 w n z 的单值解析分支
(1) w n z 在某区域 D 内可单值化的充要条件及单值化方法 定理1 多值函数F z 可单值化的充要条件是对任意简单闭曲线L, 有
L n z 0.
L F z 0

初等解析函数和多值函数的解析分⽀定义2.4.1 \ (多值函数的连续分⽀) Ω区域, F(z)为Ω上的多值函数, 若f(z)在Ω上连续, 且对于任意的z∈Ω, f(z)∈F(z), 则称f(z)为F(z)在区域Ω上的连续分⽀.定义2.4.2 \ (多值函数的解析分⽀) Ω区域, F(z)为Ω上的多值函数, 若f(z)在Ω上解析, 且对于任意的z∈Ω, f(z)∈F(z), 则称f(z)为F(z)在区域Ω上的解析分⽀.例2.4.3 指数函数的性质(1) ∀z=x+iy∈C,e z=e x(cos y+i sin y).(2) z=x∈R, e z与通常实指数函数的定义⼀致.(3) |e z|=e x>0.(4) e z在z平⾯上解析, 且(e z)′=e z.(5) e z1+z2=e z1e z2.(6) e z以2iπ为基本周期.定义2.4.4 规定对数函数是指数函数的反函数, 即若z≠0,∞,满⾜z=e w的复数w称为z的对数值, z的⼀切对数值的集合称为z的对数, 记作Lnz.具体地, Lnz={ln|z|+i arg z+i2kπ,k∈Z}.若把ln|z|+i arg z称为主值, 记作ln z, 则Lnz={ln z+i2kπ,k∈Z}.注:若把z看作⾮零复数, Lnz的定义域为C−{0}.Ln(z1z2)=Lnz1+Lnz2,Ln(z1z2)=Lnz1−Lnz2.定理2.4.5 \ (解析函数的对数解析分⽀) Ω单连通区域, f(z)在Ω中解析且处处⾮零, 则Lnf(z)在Ω上有解析分⽀g(z), 满⾜e g(z)=f(z),且Lnf(z)在Ω上的所有解析分⽀⼀定是g(z)+2ikπ,k∈Z,即Lnf(z)={g(z)+i2kπ,k∈Z}.从⽽Lnf(z)在Ω上有⽆穷多个解析分⽀, 且任意两个解析分⽀相差2π的整数倍.注：(1)定理2.4.5 表明, 若Lnf(z)在单连通区域Ω上的任意两个解析分⽀在z0∈Ω上的值相等, 则这两个解析分⽀恒相等.(2) 为⽅便, Lnf(z)在Ω上的解析分⽀g(z)有时简记为ln f(z), 若强调是特定的⼀⽀, 要给定z0∈Ω, 确定出ln f(z)在z0的值.例2.4.6 (对数函数的解析分⽀) \ Ω单连通区域, z0∉Ω,则Ln(z−z0)在Ω上有解析分⽀lnΩ(z−z0), 满⾜e lnΩ(z−z0)=z−z0, 且Ln(z−z0)在Ω上所有的解析分⽀⼀定是lnΩ(z−z0)+2kπi,k∈Z.证明：令f(z)=z−z0, 则f(z)在Ω上解析, 处处不为零, 由定理2.4.5, 成⽴.例2.4.7 (多值辐⾓函数的连续分⽀) Ω单连通区域, z0∉Ω, 则Arg(z−z0)在Ω内有连续分⽀argΩ(z−z0), 在Ω上, 对x,y有各阶偏导数, 且Arg(z−z0)={argΩ(z−z0)+2kπ,k∈z}.从⽽Arg(z−z0)在Ω中有⽆穷多连续分⽀, 任意两个相差2π的整数倍.注：arg(z−z0)不解析.注：设Γ:z=γ(t),t∈[a,b]是⼀条分段光滑的有向曲线(简称路径), 若0∉Γ, 即γ(t)在[a,b]上不取零值, 则存在ρ(t)=|γ(t)|,θ(t),t∈[a,b],分段光滑实函数, 使得γ(t)=ρ(t)e iθ(t).定理2.4.8 (解析函数的n⽅根的解析分⽀) 设n≥2, Ω单连通区域, f(z)在Ω内解析, 处处不为零, 则(f(z))1/n在区域D内有解析分⽀g(z), 且(f(z))1/n的所有解析分⽀是g(z)e2kπi/n,k=0,1,...,n−1的形式.定理2.4.9 (连续函数为n⽅根的解析分⽀的判定定理) n≥2是整数, Ω区域, f(z)在Ω中解析且处处不为零, g(z)为(f(z))1/n的连续分⽀,z∈Ω, 则g(z)为(f(z))1/n在Ω上的解析分⽀.例2.4.10 证明多值函数(z2(1−z)3)1/5在z-平⾯上割去线段[0,1]的区域D上可以分出5个解析分⽀. 求出在(0,1)的上沿取正值的那个单值解析分⽀g0(z)在点z=−1处的值g0(−1)以及g′0(−1),g0″.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GeneralPunctuation.js。

得区域 G ，则在此区域内 w = Argz 可分出无穷多个单值 连续分支函数，求满足条件 arg1 = 0 的那个单值连续分支 f ( z ) = arg z 在点 z = −1和 z = −4处的值．
z −1 例2 设 f1 ( z ) = z ( z − 1)( z − 2) ，f 2 ( z ) = ， z−2
z−a Δ C arg = Δ C arg( z − a ) − Δ C arg( z − b) z −b
n III 设 C 为一条简单曲线，为正整数，则
Δ C arg n z = 1 Δ C arg z n
例1 在复平面 ^上作割线
K = {z z + 1 = 1, Im z ≥ 0} ∪ (−3, −2) ∪ {z z + 4 = 1, Im z ≤ 0} ∪ (−∞, −5)
设 w = f ( z ) 是定义在区域 D 内的一个多值函数的分支函数， z0 为复平面（或扩充复平面）上的一点，如果在 z0 的一个 充分小的邻域内，存在一条仅围绕 z0 的简单闭曲线 C ， 使得当动点从 C 上某一点 z1 出发，沿 C 的正向或负向连续 w = f ( z )的值会发生改变，即 变化一周又回到 ( z ) 是辐角函数单值化后得到的单值函数，f ( z ) 要满 足
z → z0
lim ( f ( z ) − f ( z0 )) = 0
lim Δf ( z ) = 0
即
z → z0
Δf ( z ) 表示的是 z0变化成 z 的过程中辐角的改变量.
( w) k = arg z + 2kπ
其中 k 为任意确定的整数.
分支函数 第 k 分支函数
一般的区域内如何将辐角函数 w = Argz 单值化 设 G 为复平面 ^上的一个区域，若 G 是不包含原点的单连通 区域，此时无须对 G 作任何处理，已经是单值函数； 否则可用连接 0 和 ∞ 的连线作为支割线将 G割破，则在 割破的区域内, w = Argz 就可以单值化）. 注意： 1 辐角函数的支割线有无穷多条，任何一条从原点出发 无限延伸的曲线都可以作为支割线． 2 支割线的两侧，习惯上也称为两沿（或两岸），按照 位置关系支割线的两沿分别称为上沿和下沿(或者左岸和 右岸)．可以补充辐角函数的各单值分支函数在上，下沿处 的函数值就可使各单值分支函数延拓成直到支割线两沿 的连续函数．

(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
2 e e e 2
2Ln2
2[ln 2i(arg 22k )]
2ln 22 2ki
2 2 e2 2ki (k 0,1,2, )
2
2
01
2
arg(i 2) arctan1 ,
2
所以
w(i)

4
i ( arctan1 )
10e 2 4
2

4
i arctan1
10e 2 3 .
例2：
例2、验证函数
w 4 z(1 z)3 ,
在区域D=C-[0,1]内可以分解成解析分支；求出 这个分支函数在(0,1)上沿取正实值的一个分支 在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
当a不是整数时，由于原点和无穷远点是w z a
的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连
续曲线作为 内，可以把
wK1割线z a，分得解一成个解区析域分D支1。。在
D1
幂函数的映射性质:
关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面
的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的
圆弧映射成中 A1 以原点为心的圆弧。

a
幂函数的映射性质:
类似地，我们有，当n(>1)是正整数时，
wn z
的n个分支
i 1 2 k
w n z(n 1 e n ) (k 0,1,2,...,n 1)
分别把区域D*双射成w平面的n个角形

初等多值函数1.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。

(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有n nr w θi0e = nnr w π2i1e +=θnn nn r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数．设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a 为函数)(z F 的支点．(3)根式函数n z w =的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．根式函数它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。

为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。

在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。

假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。

因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数，，利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有，，在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。

比如原点。

在此点的充分小邻域内，作一个包围此点的圆周，当变点从上一点出发，绕连续变动一周而回到其出发点时，从其一支变到另一支。

具有这样性质点称它为的支点，同理也是的一个支点。

用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称之为支割线。

取负实轴为支割线而得出的个不同的分支，其中有一支在正实轴上取正实值的，称为的主值支。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １１浅谈复变函数中初等多值函数教学的几个要点浅谈复变函数中初等多值函数教学的几个要点Һ卜玮平㊀刘红良㊀（湘潭大学数学与计算科学学院，湖南㊀湘潭㊀４１１１０５）㊀㊀ʌ摘要ɔ在复变函数的教学中，初等多值函数是其中的难点．文章以根式函数为例，并结合笔者的教学实践，对初等多值函数中支点和支割线的选取及单值解析分支的确定与计算等要点进行了讨论．ʌ关键词ɔ初等多值函数；支点；支割线；单值解析分支ʌ基金项目ɔ湖南省普通高等学校教学改革研究项目［立项编号ＨＮＪＧ－２０２１－０４２２］引㊀言复变函数是大学数学中继数学分析后的又一门重要分析类课程，其相关理论已广泛应用于众多学科．由于所考虑的自变量为复数，这使得一些函数通常呈现多值性，这是复变函数与数学分析这两门课程的一个重要区别．事实上，在复变函数中多值函数具有广泛应用．然而，实践教学表明初等多值函数这部分内容是众多学生学习的难点，也是部分初次讲授复变函数的青年教师教学中感到吃力的地方．文章主要针对初等多值函数中支点㊁支割线和单值解析分支等内容并结合教学实践中学生存在的问题展开讨论，浅析教学中需要注意的一些关键点．一㊁支点和支割线已知根式函数ｗ＝３ｚ．由于ｚ＝｜ｚ｜ｅｉＡｒｇ（ｚ），Ａｒｇ（ｚ）＝θ（ｚ）＋２ｋπ，ｋɪ０，ʃ１，ʃ２， ，显然上述根式函数可表示为ｚ＝３｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）＋２ｋπ３，ｋ＝０，１，２， ，其中θ（ｚ）为ｚ的一个辐角值，这意味着一个自变量对应三个函数值．为了便于分析函数，人们总希望一个自变量对应一个函数值，这可被认为是复变函数中引入单值解析分支的一个重要原因．从上述根式函数可以看出，复变函数中函数的多值性本质上源于复数值辐角的多值性．因此为了获得初等多值函数的单值解析分支，需要引入支点和支割线．定义１㊀一般地，具有这种性质的点，使得当变点ｚ绕这点一整周时，多值函数的函数值发生改变，也就是说，当变点回转至原来的位置时，函数值与原来的值相异，则称此点为多值函数的支点．一般地，寻找多值函数的支点是教学中的一个难点．下面笔者通过几个多值函数来说明支点的求法．例１㊀求下列函数的支点：（１）ｗ＝３ｚ；㊀㊀（２）ｗ＝３ｚ－ａ，ａʂ０；（３）ｗ＝ｚ（ｚ－１）（ｚ－２）（ｚ－３）（ｚ－４）；（４）ｗ＝ｚ（ｚ－１）（ｚ－２）（ｚ－３）（ｚ－４）２．解㊀（１）在复平面上，可以把ｚ看成由原点指向复数ｚ的向量．假定当前ｚ的辐角值为θ（ｚ），同时ｚ的数值也可以认为是向量ｚ在平面上逆时针旋转２π的数值，因此ｚ的辐角也可以认为是θ（ｚ）＋２π．由上述分析可得，当ｚ绕原点一整周时，函数值由ｚ＝３｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）３变成了ｚ＝３｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）＋２π３，且这两个函数值显然不相等，因此原点（即ｚ＝０）是一个支点．此外，由（１）中函数的特征可知，ｚ沿ɕ的邻域逆时针绕ɕ一整周等价于顺时针绕原点一整周，因此ɕ也为函数的一个支点．（２）令ｚᶄ＝ｚ－ａ，则ｗ＝３ｚᶄ．如果将ｚᶄ和ｚ－ａ均看成复平面上的向量，显然ｚᶄ绕原点一整周等价于ｚ绕ａ一整周．因此，由（１）中讨论可知，ａ和ɕ均为函数的支点．（３）由（２）可知，ｚ逆时针分别沿０，１，２，３，４的充分小邻域绕一整周时，ｚ，ｚ－１，ｚ－２，ｚ－３，ｚ－４的辐角值均增加２π，这意味着函数值ｗ的辐角值均增加π（即函数值起了变化），因此０，１，２，３，４均为支点．此外，易知ｚ沿ɕ的邻域逆时针绕ɕ一整周等价于它顺时针同时绕０，１，２，３，４一整周，此时函数值的辐角改变量为－５π（即函数值起了变化），所以ɕ也为函数的一个支点．（４）根据（３）可知，０，１，２，３均为函数的支点．当ｚ沿４的邻域逆时针绕４一整周时，（ｚ－４）２的辐角值增加了４π，所以函数值ｗ的辐角值增加了２π；当ｚ沿ɕ的邻域逆时针绕ɕ一整周时，函数值ｗ的辐角增加了－６π．显然，上述两种情形函数值均没有变，所以此时４和ɕ不是支点．㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １１通过例１中的４个小题，可以得出判断某一点是否为支点时所要注意的几个关键点．首先，由（１）和（２）可知当自变量ｚ绕某一点一整周时，关注函数ｗ的辐角是否起变化，这是该点成为支点的前提．其次，比较（３）和（４）可知某一点为支点的条件是函数ｗ的辐角变化不能为２π的整数倍．再次，由（３）可知当考查自变量ｚ绕某一点一整周时应该选取充分小的邻域进行考查，这样可以避免出现误判，例如当考查１是否为支点时所取邻域包含０和１，这将导致函数ｗ的辐角改变量为２π的整数倍，从而得出１不是支点的错误结论．定义２㊀一般地，用来割破复平面，借以分出初等多值函数ｗ＝ｆ（ｚ）的单值解析分支的割线，称为ｗ的支割线．从支割线的定义可以看出，其本质是为了限制自变量来达到限制函数ｗ的辐角变化的目的（此时ｗ的辐角不变或仅改变２π的整数倍）．事实上，对于给定的初等多值函数，支割线的选取方法并不唯一，这也是学生难以理解该知识点的一个原因．下面笔者针对例１中的４个例题来说明支割线的选取方法．例２㊀给出例１中各函数支割线的一种选取方法．解㊀（１）已知函数的所有支点为０和ɕ，显然只要将复平面沿着０和ɕ的任意连线割开就可保证函数的辐角值不发生变化，这是因为按照上述方法割开的复平面将使得自变量ｚ不能绕支点一整周（即割破的复平面上ｚ的辐角的连续变化范围小于２π），这就保证了函数的辐角值不起变化．特别地，笔者可取沿着负实轴连接０和ɕ的线作为支割线．（２）类似于（１）中的讨论，为了使得在割破的复平面上ｚ－ａ的辐角的连续变化范围小于２π，只需沿着任意连接ａ和ɕ的线割破复平面即可．因此，笔者取沿正实轴连接ａ和ɕ的线作为支割线的一种选取方法．（３）由（１）和（２）可知，一种最简单的方法是选用沿着正实轴连接０和ɕ的线作为支割线，因为此时在割破的复平面上ｚ，ｚ－１，ｚ－２，ｚ－３，ｚ－４的辐角连续变化范围均小于２π．然而，应该指出这种支割线的选取方法割破了复平面上一些本可不被割破的地方．事实上，可取沿正实轴分别连接０，１和２，３的线段及连接４和ɕ的射线构成支割线．下面笔者说明这种取法的合理性，此时ｚ只有绕着０，１和２，３形成的线段一整周时，ｚ（ｚ－１）（ｚ－２）（ｚ－３）（ｚ－４）的辐角值才会起变化．具体而言，当ｚ绕着０，１形成的线段逆时针一整周时，仅ｚ和ｚ－１的辐角值起变化（即均增加２π）；当ｚ绕着２，３形成的线段逆时针一整周时，仅ｚ－２和ｚ－３的辐角值起变化（即均增加２π）．这表明尽管ｚ绕着分别由０，１和２，３形成的线段一整周时ｗ的辐角值会起变化，但其辐角的增加值为２π的整数倍，因此ｗ的数值不发生变化，即上述支割线的选取是合理的．（４）根据（３）的分析，显然可取沿着正实轴连接０和３的线段作为多值函数的支割线，也可取沿着正实轴连接０，１的线段及连接２，３的线段作为支割线．通过上述４个例题，可得选取支割线时所要注意的几个关键点：第一，多值函数支割线的选取并不唯一；第二，复平面上的支割线可由多段构成；第三，当取复平面上多段构成支割线时，必须保证复变量ｚ绕每一段旋转一周时函数ｗ的辐角改变量为２π的整数倍．二㊁单值解析分支为了理解初等多值函数的单值解析分支这一概念，仍以ｗ＝３ｚ来进行说明．若此时取沿负实轴连接０和ɕ的线作为支割线，假设ｚ０为相应割破的复平面上区域Ｇ中的任意一点，它的一个辐角值为θ０，θ０ɪ（－π，π），则ｚ０的所有辐角值可表示为θ０＋２ｋπ，ｋ＝０，ʃ１，ʃ２， ．因此ｚ０对应的所有函数值为ｗ０＝３｜ｚ０｜ｅｉθ，ｗ１＝３｜ｚ０｜ｅｉθ，ｗ２＝３｜ｚ０｜ｅｉθ．根据ｚ０的任意性，显然上述初等多值函数包含三个单值解析分支，且可认为其表达式分别如下：ｗ０＝３｜ｚ０｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（－π，π）｝，ｗ１＝３｜ｚ０｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（π，３π）｝，ｗ２＝３｜ｚ０｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ），θ（ｚ）ɪ（３π，５π）｝．此外，若选取沿正实轴连接０和ɕ的线作为支割线，且仍然假设ｚ０为相应割破的复平面上区域Ｇ中的任意一点，那么与上述讨论相比较，此时θ０的取值范围应变为θ０ɪ（０，２π）．因此类似于上述讨论，可认为初等多值函数ｗ＝３ｚ的三个单值解析分支表示如下：ｗ０＝３｜ｚ０｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（０，２π）｝，ｗ１＝３｜ｚ０｜ｅｉ，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（２π，４π）｝，ｗ２＝３｜ｚ０｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（４π，㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２３ １１６π）｝．值得注意，对于上述两组单值解析分支函数，Ｇ中辐角的变化范围可平移６ｋπ，ｋ＝０，ʃ１，ʃ２， ，因为６ｋπ３＝２ｋπ，即这样的改变不会影响单值解析分支的函数值．由上可以清楚看出：第一，多值函数的多值性本质上源于复自变量辐角的多值性；第二，支割线的作用可理解为通过对单值解析分支函数的自变量加以限制，从而确保对应函数值的单值性；第三，对于同一初等多值函数，不同支割线的选取未必影响其单值解析分支函数的具体表达形式，它主要改变的是对应函数自变量ｚ的取法（即改变｜ｚ｜与辐角θ（ｚ）的取法）．事实上，这些问题是教学中学生学习多值函数疑问最多的地方，也是理解单值解析分支函数的关键点．关于初等多值函数单值解析分支的计算，一类常见的问题是已知单值解析分支函数在某一点的值，要求确定该支函数在其他点的函数值．从实际教学中学生的反馈来看，这类问题是复变函数中错误率最高的问题之一，下面笔者仍以ｗ＝３ｚ为例来进行说明．例３㊀设函数ｗ＝３ｚ确定在从原点ｚ＝０起沿正实轴割破的复平面上，并且ｗ（１＋ｉ）＝３２ｅｉ，求ｗ（ｉ）和ｗ（－ｉ）的值．下面笔者先列出学生在解答此题时一种常见的错误解法，并给出正确的解题方法．错误解答㊀由于多值函数ｗ可以表示为ｗ＝３ｚｅｉａｒｇｚ＋２ｋπ３，ｋ＝０，１，２，又因为ｗ（１＋ｉ）＝３２ｅｉ９π１２，因此依题意可得ｋ＝１，即所确定的单值解析分支为３ｚｅｉａｒｇｚ＋２π３，所以易知ｗ（ｉ）＝３１ｅｉ＝ｅｉ５π６，ｗ（－ｉ）＝３１ｅｉ－＝ｅｉπ２．正确解答１㊀由于所取的支割线为正实轴，且ｗ（１＋ｉ）＝３２ｅｉ９π１２，因此根据上面的讨论笔者可知所确定的单值解析分支函数为ｗ＝３｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）３，ｚɪＧ＝｛ｚ＝｜ｚ｜ｅｉθ（ｚ）｜，θ（ｚ）ɪ（２π，４π）｝，所以对于上述单值解析分支笔者有θ（ｉ）＝５π２，θ（－ｉ）＝７π２，于是可得ｗ（ｉ）＝３１ｅｉ５π／２３＝ｅｉ５π６，ｗ（－ｉ）＝３１ｅｉ７π／２３＝ｅｉ７π６．正确解答２㊀由于ｗ（ｉ）＝ｒ１ｅｉａｒｇ（ｗ（ｉ））＝ｒ１ｅｉΔａｒｇ（ｗ（ｚ））＋ｉａｒｇ（ｗ（１＋ｉ）），其中ｒ１＝｜ｗ（ｉ）｜，ｃ１表示由１＋ｉ到ｉ的曲线，Δｃａｒｇ（ｗ（ｚ））表示ｚ沿曲线ｃ１从１＋ｉ到ｉ时ｗ（ｉ）的辐角改变量，即Δｃａｒｇ（ｗ（ｚ））＝π４３＝π１２．又因为ｗ（１＋ｉ）＝３２ｅｉ９π１２，所以ａｒｇ（１＋ｉ）＝９π１２．于是有ｗ（ｉ）＝ｅｉπ１２㊃ｅｉ９π１２＝ｅｉ５π６．类似地ｗ（－ｉ）＝ｒ２ｅｉａｒｇ（ｗ（－ｉ））＝ｒ２ｅｉΔａｒｇ（ｗ（ｚ））＋ｉａｒｇ（ｗ（１＋ｉ）），其中ｒ２＝｜ｗ（－ｉ）｜，ｃ２表示由１＋ｉ到－ｉ的曲线．由于所取的支割线为沿正实轴连接原点ｚ＝０和ɕ的线，所以ｃ２必定穿过负实轴，即Δｃａｒｇ（ｗ（ｚ））＝５π４３＝５π１２，因此有ｗ（ｉ）＝ｅｉ５π１２㊃ｅｉ９π１２＝ｅｉ７π６．现比较上述三种解法．第一种解法的错误原因在于没有确定正确的单值解析分支，即可理解为将单值解析分支函数自变量的取法搞错了．事实上，如果例３中所取的支割线为沿负实轴连接原点ｚ＝０和ɕ的线，则第一种解法是正确的．这表明在实际解题中如果能够准确写出单值解析分支函数，则应该注意函数自变量的取法，同时在解题时应该特别注意题设中所给定的是哪一种支割线，因为支割线的选取不一样将可能使计算中所得的结果不同．对比第二种与第三种解法可知，尽管它们都能得到正确的结果，但是第二种方法需要知道单值解析分支的准确表示形式，然而实际当中存在众多无法准确写出单值解析分支的情形，因此在教学中笔者推荐用第三种解法进行解题．总㊀结教学实践表明，初等多值函数是复变函数课程中学生学习感觉最吃力的内容之一．文章针对初等多值函数的支点㊁支割线和单值解析分支的确定与计算这些学生难以理解的内容进行了讨论．通过结合例题的解答，笔者进一步阐释了支点㊁支割线和单值解析分支这些概念，并指出了教学中应该注意的一些地方．ʌ参考文献ɔ［１］韩惠丽，房彦兵．多值函数在复变函数中的应用［Ｊ］．大学数学，２００７（０４）：１８０－１８３．［２］韩仲明．复变初等多值函数教学初探［Ｊ］．乐山师范学院学报，２０１５（１２）：８４－８６．［３］张萍萍，潘雪燕．根式函数值的计算［Ｊ］．滨州学院学报，２０２０（０４）：８０－８５．［４］钟玉泉．复变函数论：第５版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０２１．。

§3 初等多值函数一、教学目标或要求：掌握 基本的初等多值函数的定义、性质； 二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）： 基本内容：基本的初等多值函数的定义、性质； 重点：基本的初等多值函数的定义、性质； 难点：支点的概念 三、教学手段与方法： 讲授、练习四、思考题、讨论题、作业与练习： 21-26（习题课检查）§3 初等多值函数1.根式函数定义2.9 设)0(e i ≠=θr z ，规定根式函数为幂函数的反函数。

(1)根式函数为多值函数，它不是解析函数．对于每一个确定的)0(e i ≠=θr z ，都有n 个不同的w 与之对应，即有 n nr w θi0e = nn r w π2i1e +=θnn nn r w π)1(2i1e-+-=θ因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数．(2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数． 设函数)(z F w =为多值函数，若当变点z 从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(z F 从一个支变到另一个支，则称点a为函数)F的支点．(z(3)根式函数n zw 的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数．根式函数它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。

为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。

在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。

假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。

因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数，，利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有，，在上面分出的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。

|z1|
i1
)
相应地连续变动到
e e m(ln n
z1
2
n
)
m n
ln
z1
也即第一次回到了它从
z1
出发时的值。这时，我 m
们称原点和无穷远点是 w z n 的n-1阶支点，
也称n-1为阶代数支点。
无穷阶支点:
（2）a不是有理数时，容易验证原点和无穷远点
是 w z a 的无穷阶支点。
2 e e e 1i
(1i ) Ln2
(1i)[ln 2i(arg 22k )]
(1i)[ln 22ki)]
e e ln 22kii ln 22k
(ln 22k )i(ln 22k )
2e2k (cosln 2 i sin ln 2) (k 0,1,2, ,)
幂函数的基本性质：
6、当是无理数或复数时，幂函数是无穷
多值函数；事实上，当是无理数时，有
z e e e
Lnz
[ln|z|i(arg z2k )]
ln zi 2k
当 a bi(b 0)时，有
z e e e
Lnz
[ln|z|i(arg z2k )]
5、当是有理数时，即

p q
(
p与q为互素
的整数，q 0）：
z e e e p q
p q
Lnz
qp[ln|z|i(arg z2k )]Leabharlann p qlnz
1 q
i
2
pk
由于p与q为互素，所以不难看到，当k取 0，1，2， ,q 1时，得到q个不同的值，即这
时幂函数是一个q值的函数；

p p exp ln a i (arg a 2k ) q q
e
p ln a q
p arg a 2kpπ p arg a 2kpπ i sin cos q q
a b具有q 个值, 即取 k 0,1,2,, (q 1)时相应的值.
Re(e z ) e x cos y .
( x iy )2
( 2) e
z2
e
e
x 2 y 2 2 xyi
,
e
z2
e
x2 y2
;
( 3) e e
1 z
1 z
1 x yi
e
x y i 2 2 x2 y2 x y
,
Re(e ) e
x x2 y2
y cos 2 . 2 x y
练习：找出下列方程的全部解
(1)sin z 0
提示：e iz e iz 0 e 2 iz 1 z k
(2)cos z 0
提示： cos z sin( z )
2
(3)sin z cos z 0

sin 提示： z cos z 2 sin( z ) 4
第二章
解析函数
§3 初等函数 Elementary Functions
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一、单值函数
1.指数函数
e z exp z e x (cos y i sin y)
性质：
| exp z | e x , 1)
Arg(exp z ) y 2k ,
(4)arg(e 34i )
Arge 34i 4 2k, arg e 34i 4 2;