§2.3-初等解析函数和多值函数(精)

§2 初等解析函数一、教学目标或要求：掌握初等解析函数的定义、性质二、教学内容（包括基本内容、重点、难点）：基本内容：初等解析函数的定义、性质重点：初等解析函数性质难点：解析函数的性质三、教学手段与方法：讲授、练习思考题、讨论题、作业与练习：12－19§2 初等解析函数1．指数函数定义2.4 设y x z i +=，称)sin i (cos e e y y x z ⋅+=为指数函数，其等式右端中的e 为自然对数的底，即 2.71828e =．指数函数性质（1） 它是实指数函数的自然推广。

（2） 对任意二复数111i y x z +=与222i y x z +=,有2121e e ez z z z +=⋅。

（3） z e 在复平面上为解析函数，且有z z e )(e=' （4） 对任意一复数y x z i +=，有 π2)(Arg ,e e k y z x z +== （k ：整数）（5）z e 只以i π2k (k 为整数)为周期，是以为基本周期的周期函数。

（6）21e e z z =的充分必要条件是i π212k z z =- （k 为整数）（7）z z e lim ∞→不存在．（8）设y x z i +=，若0=y ，则x z e e =；若0=x ，则y y y sin i cos e i ⋅+=。

这便是欧拉公式．（9）若y x z i +=，则zz e e =．2．三角函数与双曲函数由方程可得因此我们可定义复三角函数为定义2.5 设z 为复数，称i 2e e i i zz -- 与2e e i i z z -+ 分别为z 的正弦函数和余弦函数，分别记作i2e e sin i i zz z --= 与 2e e cos i i z z z -+= 正、余弦函数的性质：（1）z sin 与z cos 在复平面解析，且有z z z z sin )(cos ,cos )(sin -='=' 事实上，同理，可证另一个。

基本要求：1 掌握函数在一点处（区域）可导，一点处解析（区域）的概念及相互之间的联系；2掌握函数在一点处可导的充分必要条件；3 掌握函数 解析性的判定方法，掌握解析函数与调和函数之间的关系。

第二章 解析函数解析函数是本课程讨论的中心，是复变函数研究的主要对象，它在理论和实际问题中有着广泛的应用。

本章先引入复变函数的导数的概念，然后讨论解析函数，介绍函数解析的一个充分必要条件，它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的。

最后介绍一些常用的初等函数，并讨论它们的解析性。

§1 解析函数的概念1.1 复变函数的导数定义1.1区域D ， 0Z 为D 中一点，点0Z +z 不出D 的范围。

如果极限0+0z 0(z -(lim zf z f z ）） 存在，则称f(Z)在0Z 处可导，这个极限值称为(z)f )在0Z 处的导数，记作()00 z=z |'=d f dz z ω= 0+0z 0(z -(lim z f z f z →））， （2.1）也就是说，对于任给的ε>0,相应地有δ（ε）>0,使得当0<|Δz|<δ时，有| 0+0(z -(zf z f z ））—()0'f z | < ε. 如果()f z 在区域D 内处处可导，则称()f z 在D 内可导. 也称()df z = ()0z 'f z 或()0z 'd f z 为()f z 在0z 处的微分.例1.1 求()2=f z z 的导数.解 因为0+0z 0(z -(lim z f z f z →））=+22z 0(z -z lim zf z →）=z 0 lim (2z+z)=2z → 所以'(z)=2z f .例 1.2 问(z)f =x+2yi 是否可导？ 解 +z 0(z -(lim zf z f z →））=z 0(+- (y+y i--2yi lim zf x x f x →）） = z 0+2yilim +yi x x →若z+Δz 沿平行于x 轴的方向趋向于z ，则Δy=0，z 0+2yi lim +2yi x x →=z 0lim x x →=1.若z+Δz 沿平行于y 轴的方向趋向于z ，则Δx=0，z 0+2yi lim +yix x →= z 02lim yi yi →=2. 故(z)f = +2x yi 的导数不存在.由例1.2可见，函数(z)f = +2x yi 在复平面内处处连续但处处不可导，然而，反过来容易证明在0z 可导的函数必定在0z 连续.事实上，由(z)f 在0z 可导的定义，对于任给的ε>0,有δ>0，当0<|Δz|<δ时，有 |0+0(z -(z f z f z ））—()0'f z | < ε.令()z ρ=0+0(z -(z f z f z ））—()0'f z ， 则0+0(z )-(z )z f f =0+z z '(z )()z f ρ.(2.2)而z z 0lim =0ρ→（）， 所以+z 0z 0lim =(z )f f →0（z ）.即(z)f 在0z 连续.由导数的定义和极限运算法则，不难得出如下的求导公式与法则：（1） （C ）’=0，其中C 为复常数.（2） (nz )’=n n-1z ,其中n 为正常数. （3） [(z)g(z)]'='(z)g'(z).f f ±±（4） [(z)g(z)]'='(z)g(z)+(z)g'(z)f f f .（5） 2(z)1[]'=['(z)g(z)-(z)g'(z)],g(z)0.(z)g (z)f f fg ≠ （6） {[(z)]}'='()g'(z)f g f ω，其中ω=(z)g .（7） '(z)f =1'ϕω（）,其中=(z)f ω与z=ϕω（）是两个互为反函数的单值函数，且'ϕω（）≠0.1.2 解析函数的概念定义1.2 如果(z)f 在0z 及 0z 的邻域内处处可导，则称(z)f 在0z 处解析；如果(z)f 在区域D 每一点解析，则称(z)f 在D 内解析，或说(z)f 是D 内的解析函数.如果(z)f 在0z 不解析，则称0z 为(z)f 的奇点.若函数在一点解析，则一定在该点可导，但过来不一定成立.函数在一点解析和在一点可导是两个不等价的概念.但是函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.例1.2 研究函数(z)f =2z ，g(z)=+2x yi ， 2h(z)=|z |的解析性.解 例1.1知(z)f =2z 在复平面内处处解析，由例1.2知g(z)=+2x yi 处处不解析.下面研究2h(z)=|z |的解析性. .由于0+0h(z -h(z z z ））=0+220|z|-||zz z =00000+z z +z -z z =z +z+z zz z z （）（）， （i ） 若0z =0，当z →0时，上式的极限是零.（ii ） 若0z 0≠，当0+z z 沿平行于x 轴方向趋于0z 时，y =0， 0z 00z -lim =lim =lim =1z +z x x yi x x yi x →→→. 当0+z z 沿平行于y 轴方向趋于0z 时，x =0， 0z 00z --lim =lim =lim =-1z +z x x yi yi x yi yi→→→. 从而0+000z -()z =z +z+z zz z z h （）h ， 当z →0时，极限不存在.由（i ），（ii ）可知，2h(z)=|z |仅在z=0处可导，而在其他点都不可导，从而它在复平面内处处不解析。

§2.3 初等函数教学目的：理解并掌握复变量初等函数的概念与性质；熟练掌握几 类常用初等单值解析函数的运算与性质，并了解几类典型 的初等多值解析函数．能正确灵活地计算复数式的值、解 复方程．重点：正确进行初等函数的相关运算．难点：对数函数与幂函数的 概念理解与相关计算．教学方法：启发式讲授与指导练习相结合教学过程：在前面, 我们考虑了多项式函数和有理函数的解析性.本节我们将把高数中的一些常用的初等函数推广到复数域上来,并讨论它们的解析性.初等复变函数是一种最简单、最基本也是最常用的函数，其在复变函数论及其应用中有着重要意义和应用. 初等函数的很多性质在高等数学中受实数范围的限制；推广到复数时展示了许多重要性质.如指数函数的周期性，对数函数的无穷多值性，正弦函数、余弦函数的无界性，特别是多值函数的本质在此得到了完满阐述与充分揭示.§2.3.1 指数函数1.指数函数定义 由前面的例题知函数)sin (cos )(y i y e z f x +=在z 平面上解析, 且)()(z f z f =', 并且由复数的乘法还可以验证, 对任意两个复数12,z z 总有)()()(2121z f z f z z f ⋅=+.【定义2.5】对于复数iy x z +=,称()(cos sin )xw f z e y i y ==+为复指数函数, 记为exp z w e z ==或)sin (cos y i y e e e x iy x z +==+.2.复指数函数的一些常用性质(1) 当x z =(实数, 此时虚部0=y )时, x z e e =,即此时复指数就是通常的实指数,这表明复指数函数是实指数函数在复数域上的推广.当iy z =(纯虚数, 此时实部0=x )时,y i y e e iy z sin cos +==---------- 欧拉公式0>=x z e e , 2z Arge y k i π=+ (0,1,2k =±±，… )；从而在z 平面上 0≠z e ,这表明复指数函数在z 平面上无零点.(2) z e 在z 平面上解析, 且 z z e e =')(.(3) 加法法则成立, 即对任意两个复数z 1,z 2 , 总有2121z z z z e e e ⋅=+.证：事实上, 设222111,iy x z iy x z +=+=,则)()(212121y y i x x z z +++=+从而由复指数函数的定义： )]sin()[cos(21212121y y i y y e e x x z z +++=++12121222(cos sin )(cos sin )z z x x e e e y i y e y y ⋅=+⋅+＝)]sin()[cos(212121y y i y y e x x ++++.故加法法则成立.(4) ze 是以2k i π为周期的周期函数（1,2,k =±±）.说明：由定义易知, 21k i e π=（1,2,k =±±）, 所以由加法法则得 22z i z i z e e e e ππ+=⋅=.从而 i k z z e e z z π21221+=⇔= (Z k ∈).(5) zz e ∞→lim 不存在 ( 即 ∞e 无意义), 且 z e 是无界函数. 说明：事实上,当z 沿着实轴趋于∞+时, +∞→z e即0lim lim z x z x x z e e =>→+∞→∞==+∞, 而当z 沿着实轴趋于∞-时, 0→z e即0lim lim 0z x z x x z e e =<→-∞→∞==, 故 z z e ∞→lim 不存在. 例1 求122,,,i i k i i e e e e πππ+，34i eπ-+的值. 解 由复指数的定义：)1sin 1(cos 1i e e i +=+；20(cos 2sin 2)1k i e e k i k πππ=+=；0(cos sin )1i e e i πππ=+=-；i i e ei =+=)2sin 2(cos 02πππ；34i e π-+＝333(cos sin )((1)44222e i e i e i ππ---+=+=+. 例2 利用复数的指数表示计算 13212i i -+⎛⎫ ⎪+⎝⎭.解1133212i i ⎫-+⎛⎫= ⎪+⎝⎭ 1113(2)(arctan arctan 2)322(0,1,2)i k i e e k πππ+--⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 或566211,,22i i i e i e i e i πππ-=+⋅=+⋅=-. 例3 证明减法法则对复指数函数也成立.证明 由复指数的加法法则, 对任意复数z ,10)(===⋅-+-e e e e z z z z , 所以z z e e-=1 从而对任意21,z z , 212121z z z z z z e e e e e --=⋅=, 即减法法则成立. §2.3.2 对数函数1．幅角函数※由于初等多值函数的多值性都归结为幅角函数的多值性.对多值函数的研究, 我们通常是借助单值函数的研究方法来进行的, 因此, 对多值函数我们常常是先对多值函数的定义域进行适当的处理( 即用支割线将其定义域割破 ), 再将多值函数在其处理后的定义域内单值化( 即分出其单值分支函数 ), 最后用单值函数的研究再来研究各单值分支函数.在第一章,考虑过 0,≠=z Argz w ------ 称为幅角函数. 由不为零的复数幅角的含义知, 对任意0≠z , Argz w =一般是一个多值函数. 如果我们用z arg 表示0≠z 的幅角主值, 则幅角函数可表示为πk z Argz w 2arg +==, 其中k可为一切整数 ----------------- 称为幅角函数的分支表示.其中 ππ≤<-z a r g , 对每个固定的整数k , πk z w k 2arg )(+=称为幅角函数的第k 分支函数.当k =0时, z w arg )(0=称为幅角函数的主值(支). 可见, 幅角函数一般是由无穷多个分支函数构成在复平面除取负实轴(包括0点)而得的区域D }arg {ππ<<-=z z . 显然,在D 内, 幅角函数的主值z arg 是一个单值连续的函数, 从而其每一个分支函数πk z w k 2arg )(+=在D 内也是单值连续函数, 所以, 我们说幅角函数在上述区域D 内可以分解出无穷多个单值连续的分支函数.注: 10. 上述区域D 是将复平面沿负实轴割开而得到的, 习惯上, 我们把负实轴称为幅角函数的一条支割线.它是区域D 的边界.20 支割线的两侧, 习惯上也称为两沿, 按照位置关系上述支 割线的两沿分别称为上沿和下沿. 显然, 我们只要补充幅角函 数的各单值分支函数在上下沿处的函数值(如补充主值支 z arg 在上下沿处的函数值分别为π和π-)就可使各单值分 支函数延拓成直到负实轴(除去0)的上下沿的连续函数.30. 各单值分支函数在上下沿处补充的函数值, 称为该分支函 数在上下沿处的函数值, 一般, 同一单值分支函数在上下沿处 的函数值是不相等的.对Argz w =而言, 使它产生多值的主 要原因是它有两个支点0和∞, 且在其定义区域内, 动点可以 单独围绕各支点变化. 因此, 如果我们能对其定义区域作适当 的处理(通常的做法是用连接0和∞的连线作为割线(称为支割 线), 将定义区域割破), 则在处理后的区域内Argz w =就能 单值化, 即它的每一个分支函数就成为单值连续分支函数. 说明：一般地, 支点是引起多值函数产生多值的主要原因. 我们把连接多值函数所有支点的适当连线, 称为支割线. 沿支割线将多值函数的定义区域(如果需要)割破也就是使多值函数单值化(即使得它的每一个分支函数成为单值函数)的方法.§2.3.2对数函数2.【定义2.6】 设复数0≠z ,把满足w e z =的复数w 称为复数z 的 对数, 记z Ln w =z Log w =.当z 在复平面除去原点的区域D 内变化时, z Ln w =也就是一个定义在复平面除去原点的区域D 内的函数,也称此函数为对数函数, 仍记为z Ln w =, D z ∈. 显然, 此函数是指数函数w e z =的反函数.令iv u w +=, 由iv u iv u e e ez ⋅==+得, z u ln =, Argz v =.于是 z Ln w =可表示为iArgz z z Ln w +==ln , D z ∈ ------------------对数函数的一般表示其中, z ln 是z 的通常的实对数, 它是一个单值函数, 并且也是连续的.由于Argz 是无穷多值函数, 所以z Ln w =也是一个无穷多值函数(它的多值性是由Argz 的多值性引起的) .由Argz 的分支表示可得ln ln arg 2w Lnz z iArgz z i z k i π==+=++, k 可为一切整数 ------------对数函数的分支表示其中 ππ≤<-z arg , 对每个固定的整数k ,()ln arg 2k w z i z k i π=++称为对数函数的第k 分支函数. 当k =0时, z i z w arg ln )(0+=称为对数函数的主值(支), 记为z w ln =. 于是对数函数也可表示成ln ln 2w Lnz z i Argz z k i π==+=+,其中k 可为一切整数 可见, 对数函数一般是由无穷多个分支函数构成, 并且任何不为零的复数有无穷多个对数, 其中任意两个相差i π2的整数倍. 如果z 是正实数, 则z Ln 主值z z ln ln =恰好就是通常的实对数.2. 对数函数的性质：1）对数函数的运算法则： 设1z , 2z 是不为零的复数,则 121212()ln ()Ln z z z z iArg z z ⋅=⋅+⋅121212ln ln ()z z i Argz Argz Lnz Lnz =+++=+ 111222ln z z z Ln iArg z z z =+ 121212ln ln ()z z i Argz Argz Lnz Lnz =-+-=-注意1： 上面两个法则虽然形式上与实对数法则类似, 但在理解时应按照集合相等来理解.注意2：等式 1,n Lnz nLnz Lnz n==（其中n 为大于1的正整数）不再成立.(对于给定的n 值而言)2）解析性：z w ln =＝ln arg (arg )z i z z ππ+-<≤在除原点和负实轴外的复平面上解析. z Ln w =的各个分支在除原点和负实轴外的复平面上也处处解析.且1(ln )d z dz z =. 例2 i i i i i 2arg ln ln π=+=,i k i k i i k i Lni ππππ214222ln +=+=+=, k 为一切整数. 设0>a , 则i k a Lna π2ln +=, k 为一切整数；i k a i k i a i k a a Ln ππππ)12(ln 2ln 2)ln()(++=++=+-=-, k 为一切整数.特别, i π=-)1ln(, i k Ln π)12()1(+=-, k 为一切整数.注: 10. 对数函数z Ln 在区域G 内的每一个单值连续分支, 也称为z Ln 的单值解析分支. 可见, 对数函数z Ln 在区域G 内可分出无穷多个单值解析分支, 因此,有时我们也说z Ln 是一个多值解析函数.20. 今后我们说多值函数是解析函数,实际上是指它的一个单值解析分支函数.例3 求)21ln(),22(i i Ln -+，(1),ln(23)Ln i --ln ,ln(23)i i -+.解 根据对数函数的定义, 因为22i +=arg(22)4i π+=;12i -=arg(12)arctan 2i -=-所以,(22)ln 24Ln i i k i ππ+=+ (0k =,1±,2±,)ln(12)arctan 2i i -=.同理可求(1)ln1(2)(12)(0,1,2,)Ln i k i k k πππ-=++=+=±±. 13(23)ln13(arctan 2)(12)22Ln i i k i k ππ-=-+=+(0,1,2,)k =±±.ln i ＝ln arg 2i i i i π+=.ln(23)ln 23arg(23)i i i i -+=-++-+13ln13(arctan )22i π=+-.例4 解下列方程： (1) i e z 31+=; (2)i z 2ln π=;(3)01=+iz e .解 (1) 方程i e z 31+=的解为(1)z Ln =ln 1arg(1)2ln 223i k i i k i πππ=++++=++ (0k =,1±,2±,). (2) 方程i z 2ln π=的解为 ln 2i z z e e i π===. (2) 方程01=+iz e 的解为(1)ln1(21)(21)iz Ln k i k i ππ=-=++=+ (0k =,1±,2±,) 即 (21)z k π=+ (0k =,1±,2±,). 例5※ 设θi re z =, 证明: )cos 21ln(21)]1Re[ln(2θr r z -+=- 解 因为 11c o s 1s i n i z r e r i r θθθ-=-=-+,1cos 1sin z r ir θθ-=-+=所以 R e [l n (1)]R e [l n 1a r g (1)]l n 1z z i z z -=-+-=-21ln(12cos )2r r θ==+-. §2.3.3 幂函数1．根式函数※【定义】 对任意复数0≠z , 我们把z 的n 次方根所确定的函数称为根式函数, 仍记为 n z w =, 其中n 为大于0的整数. 显然它是指数为正整数的幂函数n wz =的反函数,且它的定义域也是复平面除去原点所得的区域 D }arg {ππ≤<-=z z .由第一章所得到的复数的n 次方根n k z i n n A rg zi n n e z e z z w π2a r g +⋅=⋅==,1,,2,1,0-=n k 知, n z w = 在D 内是一个多值函数, 且为n 值的多值函数, 其中n z 表示通常正实数的算术根, 而上述复数的方根表示也称为n z w =分支表示, 对每个固定的整数k , n k z i n k e z w π2arg )(+⋅=称为根式函数的第k 分支函数. 当k =0时,n zi n e z w arg 0)(⋅=称为根式函数的主值(支). 根式函数一般是由n 个分支函数构成. 注: 虽然幅角Argz 有无穷多个取值, 但Arg zi n e 只取n 个不同的值,此为根式函数为n 值多值函数的原因; 习惯上,根式函数的主值仍记为n z w =.由根式函数的表示知, 根式函数的多值性也是由幅角函数的多值性引起的.对n z w =而言, 使它产生多值的主要原因也是它有两个支点0和∞, 且在其定义区域内, 动点可以单独围绕各支点变化. 因此对其定义区域作适当的处理(比如:用连接0和∞的连线作为支割线, 将定义区域割破), 则在处理后的区域内n z w =就能单值化, 即它的每一个分支函数就成为单值分支函数. 另外,由于n z 及幅角函数的各分支函数在上述区域内是连续的, 从而由连续函数的四则运算性及复合函数的连续性知,根式函数的每一个单值分支函数还是连续的,即都是单值连续分支函数.特别, 我们取从原点出发的负实轴作为支割线, 记将复平面沿此支割线割破所得的区域为G , 则n z w =在G 内可以分出n 个单值连续分支函数(ππ<<-z G arg :).n k z i n n e z z w π2arg +⋅==, 1,,2,1,0-=n k , G z ∈ ，其中k =0的那个单值分支,仍称为主值支, 并仍记为n z w =, ππ<<-z arg .类似于对数函数单值分支的解析性, 我们可以证明,根式函数的每一个单值连续分支函数在G 内也是解析的, 并且zz f n z f )(1)(⋅=' G z ∈,其中)(z f 为根式函数在G 内的一个单值连续分支函数.注:10. 根式函数在区域G 内的每一个单值连续分支, 也称为根式函数的单值解析分支. 可见, 根式函数在区域G 内可分出n 个单值解析分支.20. 作变量代换a z u -=,可将对根式函数n z w =讨论的结 果移植到函数n a z w -=得到类似的结论: 它是一个n 值多 值函数, 且以a z =和∞=z 为支点,我们以从a 出发到∞的 广义简单曲线作为支割线将复平面割破, 则在割破的复平面上 此函数可以分出n 个单值解析分支函数.2．一般幂函数【定义2.7】函数w z α=（α为复常数, z 为任意不为零的复数）定义Lnz e z αα=,并称它为复变量z 的一般幂函数.规定：当α为正实数且0z =时，0z α=.由于Lnz 的多值性，n L xeα一般为多值函数. 结论：w z α=的相应的各个分支在除去原点和负实轴的复平面上解析.显然此定义在形式上是实数域中等式n L x x eαα= (0>x ,α为实数)在复数域中的推广. 由于ln 2Lnz z k i π=+, k 为一切整数, 其中z i z z arg ln ln +=为主值, ππ≤<-z arg , 则ln 2Lnz z k i z e e e ααααπ⋅==⋅, k 为一切整数 -------- 一般幂函数的分支表示可见, 对于不为零的复数z ,Ln z z e αα=的取值个数主要因式子2k i e απ⋅的取值个数确定.下面, 我们分三种情形来讨论一般幂函数（1） 当α为整数时, 由于21k i e απ⋅=, 且ln (arg 2)ln arg n arg z i z k z i z L z i z e ee z e z ααααπαααα+++===⋅=, 所以 Lnz z e αα=是单值函数,而且就是通常的指数为整数的幂函 数.1） 当α为正整数n 时,[ln (arg 2)]arg n n z i z k n nLnz in z w z e ez e π++====是一个单值函数. 2）当α=0时,0001Lnz z ee ⋅===. （2）当α为有理数p q（p 与q 互质，且1q ≥即成既约分数）即p q α=时,ln 2p p p pLnz z i k q q q q z e e π+⋅==（k 为整数）. 由于p 与q 互质，当kp 取0，1，2，1q -时， 22i k p q p i k q e e ππ⋅⋅=是q 个不同的值.但若kp 再取其它不同值时，将重复上述q 个值.所以pq w e =是q 值函数，有q 个不同的分支.特别地，当1nα=（n 为正整数）时, 11arg 21(0,1,2,,1)z k Lnz i n n n n z e z e k n π+===-是一个n 值函数（它就是上面我们介绍的根式函数）.易知, 当p qα=时, Lnz e z αα=恰好也是幂函数m u w =与根式函数n z u =复合而成的函数.（3）当α为无理数或虚数（0Im α≠）时, 由于2k i eαπ⋅有无穷多个取值,因此, 此时Lnz e z αα=是一个无穷多值的多值函数.由于Lnz 的各个分支在除原点和负实轴的复平面内是解析的，因而w z α=的相应分支在除原点和负实轴的复平面内也是解析的. 总结： 一般幂函数Lnz e z αα=(除α为整数的情形)是多值函数, 显然它的多值性是由对数函数(本质地讲是由幅角函数)的多值性引起的, 因此,将Lnz e zαα=单值化的方法与对数函数和幅角函数相同, 即当α不是整数时, Lnz e z αα=有两个支点0和∞,且在其定义区域内, 动点可以单独围绕各支点变化.我们用连接0和∞的连线作为支割线, 将定义区域割破, 则在割破的复平面所成的区域内Lnz e z αα=就能单值化, 即它的每一个分支函数就成为单值连续的分支函数.注: 10.习惯上, 一般幂函数Lnz e z αα=中,k =0的那个单值分支 z e z ln αα=,称为主值支, 并仍记为αz ,ππ<<-z arg .在不引起混淆的情况下,有时我们也αz ,ππ<<-z arg 表示z e z ln αα=的一个确定的分支.20.记G }arg {ππ<<-=z , 由对数函数的各单值分支函数在G 内的解析性以及复合函数的解析性知Lnz e zαα=的各单值分支函数(仍以z e z ln αα=表示)在G 内也是解析的, 且1ln ln )ln ()()(-⋅=⋅='⋅='='ααααααααz z z z e e z z z 例6 求i i ； i +12并指出它们的主值. 解 πππππ214)22()22(+-+-+====k k i k i i iLni i e e ee i , k 为一切整数. 它的主值为2π-e .1(1)2(1)(ln 22)(ln 22)(ln 22)2i i Ln i k i k i k e e e πππ+++⋅+-++===(ln 22)(cos ln 2sin ln 2)k e π-=+, k 为一切整数.它的主值为 )2ln sin 2ln (cos 2)2ln sin 2ln (cos 2ln +=+e .练习： 试求i i )1(+, i 3的值.解 1(l n 22)(l n 1a r g (1)2)(1)24(1)i i k i i i i i k i i iLn i i e e e πππ++++++++=== 11(2)(ln 2)(2)(ln 2)4242k i k i ee e ππππ-++-+==(0,1,2,k =±±);3(l n 3a r g 32)(l n 32)2l n 33i i L n i i k i i k i k i k ie e e e e e ππππ+++-+-===== (0,1,2,k =±±).§2.3.4 三角函数1． 正弦、余弦函数：由欧拉公式得x i x e ix sin cos +=, x i x e ix sin cos -=-两式相加或相减得 2cos ix ix e e x -+=, ie e x ixix 2sin --=. 将上面所得两式中的实数x 换成复数z , 利用复指数可得如下定义.【定义2.8】对任意复数z ,规定i e e z iz iz 2sin --=, 2cos iziz e e z -+= 分别称为z 的(复)正弦函数和(复)余弦函数.2．正、余弦复变函数的性质(1) 当x z =(实数)时, x z x z cos cos ,sin sin ==,即此时复正、余弦就是通常的实、余弦,这表明复正、余弦函数是实正、余弦函数在复数域上的推广.(2) z sin ,z cos 都在z 平面上解析, 且z z cos )(sin =', z z sin )(cos -='.证明：由解析函数的四则运算性, 复合运算性以及ze 的解析性易知z sin ,z cos 都在z 平面上解析, 并且z e e i e e z iz iz iz iz cos )(21)2()(sin =+='-='--, (cos )()()22iz iz iz iz e e i z e e --+''==- 1()sin 2iz iz e e z i-=--=-. (3) z sin 是奇函数, z cos 是偶函数, 且满足通常的三角恒等式, 如： 1cos sin 22=+z z ；z z z cos sin 22sin =；z z z z z 2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=±212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =± 等等.证明：z ie e i e e z iz iz z i z i sin 22)sin())()(-=--=-=-----, 即z sin 是奇函数, 同理可得z cos 是偶函数.1212()()12sin()2i z z iz z e e z z i±-±-±=112211222222iz iz iz iz iz iz iz iz e e e e e e e e i i-----++-=⋅±⋅ 2121sin cos cos sin z z z z ±=. 同理可证其他恒等式.(4) z sin , z cos 都是以π2为周期的周期函数.证明：由于ze 是以2i π为周期, 所以 z ie e i e e z iziz z i z i sin 22)2sin()2()2(=-=-=+-+-+πππ 即z sin 以π2为周期. 同理可得z cos 都是以π2为周期.(5) z sin 的零点为 ),2,1,0( ±±==n n z π；z cos 的零点为 ),2,1,0()21( ±±=+=n n z π.(6) z sin , z cos 在z 平面上无界, 从而1cos ,1sin ≤≤z z 不再成立.证明：取)0(>=y iy z ,则)(22)cos(+∞→+∞→>+=-y e e e iy yy y ,所以 z cos 在z 平面上无界. 同理可得z sin 在z 平面上无界. 例如：()2233(3)(3)2sin (3)24i i i i e e ee i i -----⎡⎤--==-⎢⎥⎣⎦是负数，2cos (1)i -是纯虚数.例7 )1sin(i +，cos(1)i +的值.解 由正弦函数的定义(1)(1)11sin(1)22i i i i i ie e e e i i i+-+-+---+== 1(cos1sin1)(cos1sin1)2e i e i i-+--= 11sin1cos11sin11cos122e e e e i ch ish --+-=+=⋅+⋅. cos(1)i +＝(1)(1)2i i i i e e +-++112i ie e -+-+= 111()cos1()sin122i e e e e --=++-＝1cos11sin1ch ish ⋅-⋅. 例8 证明:对任意复数z,z i z e iz sin cos +=----------- 推广的欧拉公式证明 由正余弦函数的定义立即可得.例9 解方程 sin cos 2z z -=.解 原方程可化为)2sin()sin 444z z z Arc πππ-=⇒-=⇒-=故方程的解为 4z Arc π=+3.类似地,我们还可定义其它复三角函数. 【定义2.9】 z z z cos sin tan =, z z z sin cos cot =, z z cos 1sec =, zz sin 1csc = 分别称为复正切函数、余切函数、正割函数、余割函数.结论：1.复正切函数、余切函数、正割函数、余割函数都在z 平面上使分母不为零的点处解析, 且z z 2sec )(tan =', z z 2csc )(cot -=',z z z tan sec )(sec ⋅=',z z z cot csc )(csc ⋅-='2.复正切函数、余切函数是以π为周期的周期函数, 而正割函数、余割函数是以π2为周期的周期函数.§2.3.5 反三角函数【定义2.9】如果cos w z =，则称w 为复变量z 的反余弦函数，记作cos Arc z .即w ＝cos Arc z .由 1cos ()(2iw iw z w z e e iw Ln z -=⇒=+⇒=+(w iLn z ⇒=-.结论：反余弦函数为多值函数.同理可推：sin (Arc z iLn iz =-，tan 2i i z Arc z Ln i z+=-且它们都是多值函数.§2.3.6 复双曲函数与反双曲函数将实双曲函数中的实变量换成复变量可得：【定义2.10】对任意复数z , 称 2sinh z z e e z --=, 2cosh z z e e z -+=, zz z cosh sinh tanh = , z z z z tanh 1sinh cosh coth ==,zhz cosh 1sec = , 1csc sinh hz z =分别为复双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正切函数、双曲余切函数、双曲正割函数、双曲余割函数.显然, 它们都在其定义域内解析, 且复双曲正弦函数、双曲余弦函数、双曲正割函数、双曲余割函数都是以i π2为周期的函数. 双曲函数与三角函数的关系：sin shz i iz =-，cos chz iz =，tan thz i iz =-，coth cot z i iz =.双曲函数的性质：双曲函数都是单值函数，且是以2i π为周期的周期函数.它们在复平面上解析，且有()shz chz '=，()chz shz '=.shz 为奇函数，chz 为偶函数.由双曲函数的周期性知：双曲函数的反函数是多值函数.反双曲函数为：反双曲正弦函数：(Arshz Ln z =；反双曲余弦函数： ()A r c h zL n =； 反双曲正切函数：11t 21z Ar hz Ln z+=-； 反双曲余切函数：11t 21z Arco hz Ln z +=-. 例10 当cos()1x iy +=时，证明22sin x sh y =.证明 cos()1cos()cos()1x iy x iy x iy +=⇒++= 2222cos cos sin sin 1x iy x iy ⇒⋅-⋅=2222(1sin )cos sin sin 1x iy x iy ⇒--⋅=22sin sin x iy ⇒=-222211sin [()]()24y y y y x e e e e sh y i --⇒=--=-=. 例11 证明双曲正切函数、双曲余切函数是以i π为周期的函数. 证明 因为 1-=±i e π，所以()()tanh()tanh z i z i z zz i z i z z e e e e z i z e e e eπππππ+-+-+-+---+===++, 即双曲正切函数是以i π为周期的函数.同理可证双曲余切函数是以i π为周期的函数.练习：1.(L.Hospital 法则) 若)(),(z g z f 都在点0z 解析, 且0)(,0)()(000≠'==z g z g z f , 则)()()()(lim000z g z f z g z f z z ''=→. 证明 由题设及导数的定义得00000000000()()()()()()lim lim lim ()()()()()()z z z z z z f z f z f z f z z z f z f z g z g z g z g z g z g z z z →→→-'--===-'--. 2. 利用1求下列极限 (1)zz z sin lim 0→；(2) z e z z 1lim 0-→；(3) z z z z z z sin cos lim 0--→. 解 (1) 000sin (sin )cos lim lim lim cos 01()1z z z z z z z z →→→'===='. (2) 00001(1)lim lim lim 1()1z z zz z z e e e e z z →→→'--===='. (3) 00cos (cos )lim lim sin (sin )z z z z z z z z z z z z →→'--='-- 01cos sin lim 1cos z z z z z→-+=-0(1cos sin )lim (1cos )z z z z z →'-+='- 02sin cos limsin z z z z z →+=0(2sin cos )lim (sin )z z z z z →'+='03cos sin lim cos z z z zz →+=3cos 00sin 03cos 0+⋅==.3. 证明: 对任意复数z 及整数m , mz m z e e =)(.证明 设z x iy =+, 当m 为零时, 等式显然成立.当m 为正整数时,()()[(cos sin )]z m x iy m x m e e e y i y +==+(cos sin )mx m e y i y =+()(cos sin )mx m x iy mz e my i my e e +=+==当m 为负整数时,()()111()()()z m z m mz z m m z mz e e e e e e -----=====4. 求下列各值(1) i e +2； (2) )1cos(i +-.解 (1) 22(cos1sin1)i e e i +=+(2) (1)(1)11cos(1)22i i i i iie e e e i -+--+--+++-+==11[(cos1sin1)(cos1sin1)]2e i e i -=-++11cos1sin122e e e e i --+-=+.5. 证明： (1) 1cos sin 22=+z z ；(2) z z z cos sin 22sin =；(3) 212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±.证明 (1) 因为 sin 2iz iz e e z i --=, cos 2iz ize e z -+=. 所以2222s i n c o s ()()22iz iziz ize e e e z z i ---++=+ 222222144iz iz iz ize e e e --+++-=-=.(2) 因为 22sin 22i z i ze e z i --=,2sin cos 2()()22iz iz iz ize e e e z z i ---+=2222()()22iz iz iz ize e e e i i ----==.所以 z z z cos sin 22sin =.(3) 先证121212cos()cos cos sin sin z z z z z z +=- 因为1212()()12cos()2i zz i z z e e z z +-+++=, 又1212cos cos sin sin z z z z -112211222222iz iz iz iz iz iz iz ize e e e e e e e i i ----++--=⋅-⋅121212124iz iz iz iz iz iz iz iz e e e e e e e e ----+++= 121212124i z i z i z i z i z i z i z i ze e e e e e e e ------++ 12122iz iz iz iz e e e e --+=1212()()2i z z i z z e e +-++= 所以, 121212cos()cos cos sin sin z z z z z z +=-.同理可证, 121212cos()cos cos sin sin z z z z z z -=+.6.证明: z z 2sec )(tan =', z z 2csc )(cot -=', z z z tan sec )(sec ⋅=', z z z cot csc )(csc ⋅-='.证:22sin cos sin (sin )(tan )()cos cos z z z z z z z--''== 22222cos sin 1sec cos cos z z z z z+===.同理可证, 2(cot )csc z z '=-. 21(sin )1sin (sec )()sec tan cos cos cos cos z z z z z z z z z--''===⋅=⋅ 同理可证, z z z cot csc )(csc ⋅-='.小结：1.常见初等复变函数：指数函数，对数函数，幂函数，三角函数，反三角函数，双曲函数与反双曲函数.2. 指数函数z w e =在全平面上解析，且有()z ze e '=，以 2(1,2,)k i k π=±±为周期，即2z k i z e e π+=，lim z z e →∞不存在. 3.对数函数(0)w Lnz z =≠为多值函数，其每一单值分支在除 负实轴与原点外的平面上解析. 设1z , 2z 是不为零的复数,则 1212()Ln z z Lnz Lnz ⋅=+，1122z LnLnz Lnz z =-仍成立；等式1,n L n z n L n zz L n z n ==（其中n 为大于1的正整数）不 再成立.4．幂函数w z α=（α为复常数, z 为任意不为零的复数）一般为多值函数，其每一单值分支在除负实轴与原点外的平面上解 析.5. 三角函数重点在正弦、余弦函数z sin , z cos 都在z 平面上 解析,且 z z cos )(sin =', z z sin )(cos -='.周期，奇、偶性， 原有的三角恒等式仍成立，它们是单值函数，但不再是有界函数.6.反三角函数、反双曲函数均为多值函数；双曲函数为单值周期 （2i π）函数，且整个复平面上解析.注意其相关等量关系.易犯错误：乱用对数函数、幂函数的性质，计算错误多.。