§2.3-初等解析函数和多值函数(精)
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§2 初等解析函数一、教学目标或要求:掌握初等解析函数的定义、性质二、教学内容(包括基本内容、重点、难点):基本内容:初等解析函数的定义、性质重点:初等解析函数性质难点:解析函数的性质三、教学手段与方法:讲授、练习思考题、讨论题、作业与练习:12-19§2 初等解析函数1.指数函数定义2.4 设y x z i +=,称)sin i (cos e e y y x z ⋅+=为指数函数,其等式右端中的e 为自然对数的底,即 2.71828e =.指数函数性质(1) 它是实指数函数的自然推广。
(2) 对任意二复数111i y x z +=与222i y x z +=,有2121e e ez z z z +=⋅。
(3) z e 在复平面上为解析函数,且有z z e )(e=' (4) 对任意一复数y x z i +=,有 π2)(Arg ,e e k y z x z +== (k :整数)(5)z e 只以i π2k (k 为整数)为周期,是以为基本周期的周期函数。
(6)21e e z z =的充分必要条件是i π212k z z =- (k 为整数)(7)z z e lim ∞→不存在.(8)设y x z i +=,若0=y ,则x z e e =;若0=x ,则y y y sin i cos e i ⋅+=。
这便是欧拉公式.(9)若y x z i +=,则zz e e =.2.三角函数与双曲函数由方程可得因此我们可定义复三角函数为定义2.5 设z 为复数,称i 2e e i i zz -- 与2e e i i z z -+ 分别为z 的正弦函数和余弦函数,分别记作i2e e sin i i zz z --= 与 2e e cos i i z z z -+= 正、余弦函数的性质:(1)z sin 与z cos 在复平面解析,且有z z z z sin )(cos ,cos )(sin -='=' 事实上,同理,可证另一个。
基本要求:1 掌握函数在一点处(区域)可导,一点处解析(区域)的概念及相互之间的联系;2掌握函数在一点处可导的充分必要条件;3 掌握函数 解析性的判定方法,掌握解析函数与调和函数之间的关系。
第二章 解析函数解析函数是本课程讨论的中心,是复变函数研究的主要对象,它在理论和实际问题中有着广泛的应用。
本章先引入复变函数的导数的概念,然后讨论解析函数,介绍函数解析的一个充分必要条件,它是用函数的实部和虚部所具有的微分性质来表达的。
最后介绍一些常用的初等函数,并讨论它们的解析性。
§1 解析函数的概念1.1 复变函数的导数定义1.1区域D , 0Z 为D 中一点,点0Z +z 不出D 的范围。
如果极限0+0z 0(z -(lim zf z f z )) 存在,则称f(Z)在0Z 处可导,这个极限值称为(z)f )在0Z 处的导数,记作()00 z=z |'=d f dz z ω= 0+0z 0(z -(lim z f z f z →)), (2.1)也就是说,对于任给的ε>0,相应地有δ(ε)>0,使得当0<|Δz|<δ时,有| 0+0(z -(zf z f z ))—()0'f z | < ε. 如果()f z 在区域D 内处处可导,则称()f z 在D 内可导. 也称()df z = ()0z 'f z 或()0z 'd f z 为()f z 在0z 处的微分.例1.1 求()2=f z z 的导数.解 因为0+0z 0(z -(lim z f z f z →))=+22z 0(z -z lim zf z →)=z 0 lim (2z+z)=2z → 所以'(z)=2z f .例 1.2 问(z)f =x+2yi 是否可导? 解 +z 0(z -(lim zf z f z →))=z 0(+- (y+y i--2yi lim zf x x f x →)) = z 0+2yilim +yi x x →若z+Δz 沿平行于x 轴的方向趋向于z ,则Δy=0,z 0+2yi lim +2yi x x →=z 0lim x x →=1.若z+Δz 沿平行于y 轴的方向趋向于z ,则Δx=0,z 0+2yi lim +yix x →= z 02lim yi yi →=2. 故(z)f = +2x yi 的导数不存在.由例1.2可见,函数(z)f = +2x yi 在复平面内处处连续但处处不可导,然而,反过来容易证明在0z 可导的函数必定在0z 连续.事实上,由(z)f 在0z 可导的定义,对于任给的ε>0,有δ>0,当0<|Δz|<δ时,有 |0+0(z -(z f z f z ))—()0'f z | < ε.令()z ρ=0+0(z -(z f z f z ))—()0'f z , 则0+0(z )-(z )z f f =0+z z '(z )()z f ρ.(2.2)而z z 0lim =0ρ→(), 所以+z 0z 0lim =(z )f f →0(z ).即(z)f 在0z 连续.由导数的定义和极限运算法则,不难得出如下的求导公式与法则:(1) (C )’=0,其中C 为复常数.(2) (nz )’=n n-1z ,其中n 为正常数. (3) [(z)g(z)]'='(z)g'(z).f f ±±(4) [(z)g(z)]'='(z)g(z)+(z)g'(z)f f f .(5) 2(z)1[]'=['(z)g(z)-(z)g'(z)],g(z)0.(z)g (z)f f fg ≠ (6) {[(z)]}'='()g'(z)f g f ω,其中ω=(z)g .(7) '(z)f =1'ϕω(),其中=(z)f ω与z=ϕω()是两个互为反函数的单值函数,且'ϕω()≠0.1.2 解析函数的概念定义1.2 如果(z)f 在0z 及 0z 的邻域内处处可导,则称(z)f 在0z 处解析;如果(z)f 在区域D 每一点解析,则称(z)f 在D 内解析,或说(z)f 是D 内的解析函数.如果(z)f 在0z 不解析,则称0z 为(z)f 的奇点.若函数在一点解析,则一定在该点可导,但过来不一定成立.函数在一点解析和在一点可导是两个不等价的概念.但是函数在区域内解析与在区域内可导是等价的.例1.2 研究函数(z)f =2z ,g(z)=+2x yi , 2h(z)=|z |的解析性.解 例1.1知(z)f =2z 在复平面内处处解析,由例1.2知g(z)=+2x yi 处处不解析.下面研究2h(z)=|z |的解析性. .由于0+0h(z -h(z z z ))=0+220|z|-||zz z =00000+z z +z -z z =z +z+z zz z z ()(), (i ) 若0z =0,当z →0时,上式的极限是零.(ii ) 若0z 0≠,当0+z z 沿平行于x 轴方向趋于0z 时,y =0, 0z 00z -lim =lim =lim =1z +z x x yi x x yi x →→→. 当0+z z 沿平行于y 轴方向趋于0z 时,x =0, 0z 00z --lim =lim =lim =-1z +z x x yi yi x yi yi→→→. 从而0+000z -()z =z +z+z zz z z h ()h , 当z →0时,极限不存在.由(i ),(ii )可知,2h(z)=|z |仅在z=0处可导,而在其他点都不可导,从而它在复平面内处处不解析。