【赢在高考】高考数学大一轮复习 1.1集合的概念与运算配套练习 苏教版

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课时跟踪检测(一) 集合的概念与运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·徐州、连云港、宿迁三检）已知集合A＝｛x|x＝2k＋1，k∈Z｝,B＝{x|0＜x ＜5}，则A∩B＝________。

解析:因为集合A＝｛x|x＝2k＋1，k∈Z}为奇数集,B＝｛x｜0＜x＜5}，所以A∩B＝{1,3}．答案：｛1,3｝2．定义：满足任意元素x∈A，则|4－x|∈A的集合称为优集，若集合A＝｛1，a,7}是优集,则实数a的值为________．解析:依题意，当x＝1时，｜4－x|＝3∈A，当x＝7时,｜4－x|＝3∈A，所以a＝3符合条件．答案：33．（2018·如皋高三上学期调研)集合A＝｛1，3}，B＝{a2＋2，3｝,若A∪B＝{1,2,3｝，则实数a的值为________．解析：∵A＝{1,3}，B＝｛a2＋2，3｝，且A∪B＝{1,2,3}，∴a2＋2＝2，解得a＝0，即实数a的值为0.答案：04．(2018·盐城三模）已知集合A＝{1,2,3，4，5｝，B＝{1,3,5，7,9}，C＝A∩B,则集合C的子集的个数为________．解析:因为A∩B＝{1，3，5｝,所以C＝{1，3，5｝，故集合C的子集的个数为23＝8。

§1.1集合的概念与运算1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B (或B⊇A)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B (或B A)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集A＝B集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A∪B＝{x|x∈A或x∈B}A∩B＝{x|x∈A且x∈B}∁U A＝{x|x∈U，且x∉A} 4.集合关系与运算的常用结论(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为2n，非空子集个数为2n－1，真子集有2n－1个．(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( ×)(2)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ×)(3)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √)(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( ×)(5)已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则M∩N＝N.( √)(6)若全集U＝{－1,0,1,2}，P＝{x∈Z|x2<4}，则∁U P＝{2}．( √)1．(2014·课标全国Ⅰ改编)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于________．答案[－2，－1]解析∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x<2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．2．(2014·某某改编)已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B等于________．答案{－1,0,1,2}解析因为A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合B为整数集，所以集合A∩B ＝{－1,0,1,2}．3．(2013·某某改编)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________．答案 5－2，－1，0，1，2，所以元素的个数为5.解析x－y∈{}4．设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值X 围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43 解析 A ＝{x |x 2＋2x －3>0}＝{x |x >1或x <－3}，因为函数y ＝f (x )＝x 2－2ax －1的对称轴为x ＝a >0，f (0)＝－1<0， 根据对称性可知要使A ∩B 中恰含有一个整数， 则这个整数为2，所以有f (2)≤0且f (3)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－4a －1≤0，9－6a －1>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥34，a <43.即34≤a <43.题型一 集合的基本概念例1(1)(2013·某某改编)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a 等于________．(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.思维点拨 不要忽视集合中元素的互异性． 答案 (1)4 (2)2解析 (1)当a ＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A 为空集，不符合题意；当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.(2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba＝－1， 所以a ＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．(1)定义集合A ，B 的一种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1·x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B }，若A＝{1,2}，B ＝{1,2}，则A *B 中的所有元素的数字之和为________． (2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 (1)7 (2)－32解析 (1)根据题意，A ＝{1,2}，B ＝{1,2}，则集合A *B 中的元素可能为：1,2,2,4，又由集合元素的互异性，得A *B ＝{1,2,4}，其所有元素之和为7. (2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3， 此时集合A 中有重复元素3， 所以m ＝1不符合题意，舍去； 当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意，所以m ＝－32.题型二 集合间的基本关系例2 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________．(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值X 围是________．答案 (1)4 (2)(－∞，4]解析 (1)由x 2－3x ＋2＝0得A ＝{1,2}． 又B ＝{1,2,3,4}．∴满足A ⊆C ⊆B 的集合C 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个． (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值X 围为m ≤4.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．(1)设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有________个．(2)已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值X 围是________．答案 (1)6 (2)[1，＋∞)解析 (1)集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6(个)．(2)A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1. 题型三 集合的基本运算例3 (1)(2014·某某改编)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )等于________．(2)设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A )∩B ＝∅，则m 的值是________．答案 (1){x |0<x <1} (2)1或2解析 (1)∵A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}， 在数轴上表示如图． ∴∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．(2)A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A ，∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠∅. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}．①若B ＝{－1}，则m ＝1；②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，∴B ≠{－2}；③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m ＝2.经检验知m ＝1和m ＝2符合条件． ∴m ＝1或2.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况；(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．(1)(2014·某某改编)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A等于________．(2)设集合M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{y |y <a }，若M ∩N ≠∅，则实数a 的取值X 围一定是________． 答案 (1){2} (2)a >－1解析 (1)因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}， 所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5}，故∁U A ＝{2}． (2)∵M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{y |y <a }， 且M ∩N ≠∅，如图只要a >－1即可．题型四 集合中的新定义问题 例4 若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1x∈A .则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是________________________________________________________________________． (1)集合B ＝{－1,0,1}是“好集”； (2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x ∈A ，y ∈A ，则x ＋y ∈A . 答案 2解析 (1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B ，这与－2∉B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q,1∈Q ，对任意的x ∈Q ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x∈Q ，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A ，若x ∈A ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A ，所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A .思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．A ，B 是非空集合，定义A ×B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．若A ＝{x |y ＝x 2－3x }，B ＝{y |y ＝3x }，则A ×B ＝________.答案 (－∞，3)解析 A ＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B ＝(0，＋∞)，A ∪B ＝R ，A ∩B ＝[3，＋∞)．所以A ×B ＝(－∞，3)．遗忘空集致误典例：设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若B ⊆A ，则实数a 的取值X 围是________．易错分析 集合B 为方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的实数根所构成的集合，由B ⊆A ，可知集合B 中的元素都在集合A 中，在解题中容易忽视方程无解，即B ＝∅的情况，导致漏解． 解析 因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数之间的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a ＋12－4a 2－1>0，－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a<－1.综上所述，所某某数a的取值X围是a≤－1或a＝1.答案(－∞，－1]∪{1}温馨提醒(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则很容易忽视A＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论.方法与技巧1．集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化．2．对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值X围时，要注意单独考察等号能否取到．3．对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图，这是数形结合思想的又一体现．失误与防X1．解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．3．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．4．Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.A组专项基础训练(时间：30分钟)1． A＝{a,1，－1}，B＝{x,1,0}，若A＝B，则a＝________，x＝________.答案0 －1解析 ∵A ＝B ，∴a ＝0，x ＝－1.2．(2014·课标全国Ⅱ改编)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N 等于________． 答案 {1,2}解析 由x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)≤0，解得1≤x ≤2，故N ＝{x |1≤x ≤2}，∴M ∩N ＝{1,2}．3．已知全集S ＝{1,2，a 2－2a ＋3}，A ＝{1，a }，∁S A ＝{3}，则实数a 等于________． 答案 2解析 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，a 2－2a ＋3＝3，则a ＝2.4．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________. 答案 －3解析 ∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}． 又A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}＝{0，－m }， ∴－m ＝3，∴m ＝－3.5．(2013·某某改编)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝________. 答案 (1,2]解析 ∵A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．6.设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为________． 答案 7解析 因为A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}＝{x ∈N |7x －x 2－6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}， 由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1,2,3}，所以其真子集有：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共7个．7．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪B ＝________. 答案 {x |x >0}解析 由x 2－2x <0，得0<x <2，∴B ＝{x |0<x <2}，故A ∪B ＝{x |x >0}．8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值X 围为________． 答案 [0，＋∞)解析 用数轴表示集合 A ，B (如图)由A ⊆B 得a ≥0.9．(2014·某某)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1,2,3,5,8}，B ＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A )∩B ＝________. 答案 {7,9}解析 U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，画出Venn 图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A )∩B ＝{7,9}．10．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ∈Z |y ＝x －3}，B ＝{x |x >5}，则A ∩(∁U B )＝________. 答案 {3,4,5}解析 ∵A ＝{x ∈Z |x ≥3}，∁U B ＝{x |x ≤5}， ∴A ∩(∁U B )＝{3,4,5}．11．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝__________.答案 {(0,1)，(－1,2)}解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．12．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值X 围是________． 答案 (－∞，－1]解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.综上，a 的取值X 围是(－∞，－1]．B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)1．设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S 的个数是________． 答案 56解析 集合S 的个数为26－23＝64－8＝56.2．(2014·某某改编)设集合A ＝{x ||x －1|<2}，B ＝{y |y ＝2x，x ∈[0,2]}，则A ∩B 等于________． 答案 [1,3)解析 由|x －1|<2，解得－1<x <3，由y ＝2x，x ∈[0,2]，解得1≤y ≤4，∴A ∩B ＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．3．若集合A ＝{x |x 2－9x <0，x ∈N *}，B ＝{y |4y∈N *}，则A ∩B 中元素个数为________．答案 3解析 由A 得x 2－9x <0，x ∈N *，所以0<x <9，且x ∈N *，得A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由B 得4y∈N *，即y ＝1,2,4，得B ＝{1,2,4}，故A ∩B ＝{1,2,4}． 4．已知集合A ，B ，定义集合A 与B 的一种运算AB ，其结果如下表所示：A {1,2,3,4} {－1,1} {－4,8} {－1,0,1}B {2,3,6} {－1,1} {－4，－2,0,2} {－2，－1,0,1}A B{1,4,6}∅{－2,0,2,8}{－2}按照上述定义，若M ＝{－2 011,0,2 012}，N ＝{－2 012,0,2 013}，则M N ＝________.答案 {－2 011,2 012，－2 012,2 013} 解析 由给出的定义知集合AB 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于集合B但不属于集合A 的元素构成的，即A B ＝{x |x ∈A 且x ∉B ，或x ∈B 且x ∉A }．故MN ＝{－2 011,2 012，－2 012,2 013}．5．若x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|(x ＋1)2＋y 2＝2}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋a ＝0}，当A ∩B ≠∅时，则实数a 的取值X 围是________；当A ∩B ＝∅时，则实数a 的取值X 围是__________________． 答案 [－1,3] (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 观察得集合A 表示的是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆上的点，B 表示的是直线x ＋y ＋a ＝0上的点，若满足A ∩B ≠∅，只需直线与圆相切或相交，即满足不等式|a －1|2≤2，|a －1|≤2，－2≤a －1≤2，即－1≤a ≤3；若满足A ∩B ＝∅时，只需直线与圆相离，即满足不等式|a －1|2>2，即a <－1或a >3.6．已知集合A＝{(x，y)|y＝a}，B＝{(x，y)|y＝b x＋1，b>0，b≠1}，若集合A∩B只有一个真子集，则实数a的取值X围是________．答案(1，＋∞)解析由于集合B中的元素是指数函数y＝b x的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合A∩B只有一个真子集，那么y＝b x＋1(b>0，b≠1)与y＝a的图象只能有一个交点，所以实数a的取值X围是(1，＋∞)．。

§1.1集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、Venn图．(4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B(或B A)3.集合的基本运算概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n,2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A中可以分别得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．(×)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4)若P∩M＝P∩N＝A，则A⊆(M∩N)．(√)题组二教材改编2．若集合A＝{x∈N|x≤ 2 021}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A答案 D3．已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，满足条件的集合B有________个．答案 4解析因为(A∪B)⊇B，A＝{a，b}，所以满足条件的集合B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以满足条件的集合B有4个．4．设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝________.答案(－∞，0)∪[1，＋∞)解析因为∁U A＝{x|x>2或x<0}，B＝{y|1≤y≤3}，所以(∁U A)∪B＝(－∞，0)∪[1，＋∞)．题组三易错自纠5．(多选)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，则有()A．∅⊆A B．－2∈AC．{0,2}⊆A D．A⊆{y|y<3}答案ACD解析易知A＝{0,2}，A，C，D均正确．6．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.答案0或3解析因为B⊆A，所以m＝3或m＝m.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.7．已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．答案0或1或－1解析易得M＝{a}．∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.集合的含义与表示1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9 答案 C解析 当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0或y ＝1； 当x ＝2时，y ＝0,1,2.故集合B ＝{(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}，即集合B 中有6个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪32－x ∈Z，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C 解析 因为32－x∈Z ，且x ∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．给出下列四个命题： ①{(x ，y )|x ＝1或y ＝2}＝{1,2}；②{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }＝{x |x ＝3k －2，k ∈Z }；③由英文单词“apple ”中的所有字母组成的集合有15个真子集；④设2 021∈{x ，x 2，x 2}，则满足条件的所有x 组成的集合的真子集的个数为3. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ②③④解析 ①中左边集合表示横坐标为1，或纵坐标为2的所有点组成的集合，即x ＝1和y ＝2两直线上所有点的集合，右边集合表示有两个元素1和2，左、右两集合的元素属性不同．②中3k ＋1,3k －2(k ∈Z )都表示被3除余1的数，易错点在于认为3k ＋1与3k －2中的k 为同一个值，对集合的属性理解错误．③中集合有4个元素，其真子集的个数为24－1＝15(个)．④中x ＝－2 021或x ＝－ 2 021，满足条件的所有x 组成的集合为{－2 021，－ 2 021}，其真子集有22－1＝3个．所以②③④正确．思维升华 解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________． 答案 4解析 由题意可得，A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又∵A ⊆C ⊆B ，∴C ＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，∴有4个．(3)已知集合A ＝{x |x 2－2 021x ＋2 020<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________． 答案 [2 020，＋∞)解析 由x 2－2 021x ＋2 020<0，解得1<x <2 020， 故A ＝{x |1<x <2 020}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 020.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题． 跟踪训练1 (1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆B D ．B ＝A答案 B解析 由题意知A ＝{x |y ＝1－x 2}， 所以A ＝{x |－1≤x ≤1}．所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}， 所以B A ，故选B.(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －6)≤0}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，－2)∪⎣⎡⎦⎤0，52 解析 A ＝{x |－1≤x ≤6}． ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，m －1>2m ＋1，即m <－2.符合题意． 当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤2m ＋1，m －1≥－1，2m ＋1≤6.解得0≤m ≤52.得m <－2或0≤m ≤52.集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2019·日照模拟)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x <2}，则A ∩B 等于( ) A ．(1,3) B ．(1,3] C ．[－1,2) D ．(－1,2)答案 C解析 因为A ＝{x |x 2－2x －3≤0}＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |x <2}，所以A ∩B ＝[－1,2)．(2)(2020·沈阳检测)已知全集U ＝{1,3,5,7}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则如图所示的阴影区域表示的集合为()A．{3} B．{7} C．{3,7} D．{1,3,5}答案 B解析由图可知，阴影区域为∁U(A∪B)．由题意知，A∪B＝{1,3,5}，U＝{1,3,5,7}，则由补集的概念知，∁U(A∪B)＝{7}．故选B.命题点2利用集合的运算求参数例3(1)已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0<a<3.又a≠1，所以实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.(2)已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|x2－3x＋2<0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是() A．a<1 B．a≤1C．a>2 D．a≥2答案 D解析集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1<x<2}，由A∩B＝B可得B⊆A，作出数轴如图．可知a≥2.本例(2)中，若集合A＝{x|x>a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，1]解析∵A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，由B⊆A结合数轴观察(如图)．可得a≤1.思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，可用Venn图表示；数集中的元素若是连续的，则可用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．跟踪训练2(1)(2019·全国Ⅰ)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩∁U A等于()A．{1,6} B．{1,7}C．{6,7} D．{1,6,7}答案 C解析∵U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，∴∁U A＝{1,6,7}．又B＝{2,3,6,7}，∴B∩∁U A＝{6,7}．(2)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2C．a≥－1 D．a>－1答案 D解析在数轴上画出集合A，B(如图)，观察可知a >－1.解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．例1 对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M .对于两个集合A ，B ，定义集合A △B ＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A △B 的结果为________．答案 {1,6,10,12}解析 要使f A (x )·f B (x )＝－1，必有x ∈{x |x ∈A 且x ∉B }∪{x |x ∈B 且x ∉A }＝{1,6,10,12}，所以A △B ＝{1,6,10,12}．例2 (多选)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，下列命题中正确的是( ) A ．数域必含有0,1两个数B ．整数集是数域C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域D ．数域必为无限集答案 AD解析 当a ＝b 时，a －b ＝0，a b＝1∈P ，故可知A 正确． 当a ＝1，b ＝2时，12∉Z 不满足条件，故可知B 不正确． 当M 比Q 多一个元素i 时，则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知C 不正确． 根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知D 正确．例3 已知集合A ＝{x ∈N |x 2－2x －3≤0}，B ＝{1,3}，定义集合A ，B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中的所有元素数字之和为( )A ．15B ．16C ．20D ．21答案 D解析 由x 2－2x －3≤0，得(x ＋1)(x －3)≤0，得A ＝{0,1,2,3}．因为A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，所以A *B 中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A *B ＝{1,2,3,4,5,6}，所以A *B 中的所有元素数字之和为21.。

2021年高考数学一轮总复习 1.1 集合及其运算题组训练理苏教版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(xx·安徽卷改编)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}．则(∁R A)∩B＝________.解析因为A＝{x|x＞－1}，则∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．答案{－2，－1}2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则下列各式不正确的是________．①M⊆N；②N⊆M；③M∩N＝{2,3}；④M∪N＝{1,4}．解析由已知得M∩N＝{2,3}，故选①②④.答案①②④3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集个数有________．解析P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4个．答案 44．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则A与B的关系是________．解析集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，则B A.答案B A5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为________．解析阴影部分是A∩∁R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁R B＝{x|x≥1}，所以A∩∁R B＝{x|1≤x＜2}．答案{x|1≤x＜2}6．(xx·湖南卷)已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(∁U A)∩B＝________.解析由集合的运算，可得(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案{6,8}7．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．解析根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.答案 48．集合A ＝{x ∈R ||x －2|≤5}中的最小整数为________．解析 由|x －2|≤5，得－5≤x －2≤5，即－3≤x ≤7，所以集合A 中的最小整数为－3. 答案 －3二、解答题9．已知集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3，a －2，a 2＋1}，若A ∩B ＝{－3}，求A ∪B .解 由A ∩B ＝{－3}知，－3∈B .又a 2＋1≥1，故只有a －3，a －2可能等于－3.①当a －3＝－3时，a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－2，1}，A ∩B ＝{1，－3}． 故a ＝0舍去．②当a －2＝－3时，a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，满足A ∩B ＝{－3}，从而A ∪B ＝{－4，－3,0,1,2}．10．设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，(1)若B ⊆A ，求a 的值；(2)若A ⊆B ，求a 的值．解 (1)A ＝{0，－4}，①当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)＜0，解得a ＜－1；②当B 为单元素集时，a ＝－1，此时B ＝{0}符合题意；③当B ＝A 时，由根与系数的关系得：⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ＋1＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.综上可知：a ≤－1或a ＝1.(2)若A ⊆B ，必有A ＝B ，由(1)知a ＝1.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为________．解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3.故z 的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素．答案 32．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析 A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }，B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1.答案 －1 13．设a ，b ，c 为实数，f (x )＝(x ＋a )·(x 2＋bx ＋c )，g (x )＝(ax ＋1)(cx 2＋bx ＋1)．记集合S ＝{x |f (x )＝0，x ∈R }，T ＝{x |g (x )＝0，x ∈R }．若|S |，|T |分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论：①|S |＝1且|T |＝0；②|S |＝1且|T |＝1，③|S |＝2且|T |＝2；④|S |＝2且|T |＝3，其中不可能成立的是________．解析 取a ＝0，b ＝0，c ＝0，则S ＝{x |f (x )＝x 3＝0}，|S |＝1，T ＝{x |g (x )＝1≠0}，|T |＝0.因此①可能成立．取a ＝1，b ＝0，c ＝1，则S ＝{x |f (x )＝(x ＋1)(x 2＋1)＝0}，|S |＝1，T ＝{x |g (x )＝(x ＋1)(x 2＋1)＝0}，|T |＝1，因此②可能成立．取a ＝－1，b ＝0，c ＝－1，则S ＝{x |f (x )＝(x －1)(x 2－1)＝0}，|S |＝2，T ＝{x |g (x )＝(－x ＋1)·(－x 2＋1)＝0}，|T |＝2.因此③可能成立．对于④，若|T |＝3，则Δ＝b 2－4c ＞0，从而导致f (x )＝(x ＋a )(x 2＋bx ＋c )也有3解，因此|S |＝2且|T |＝3不可能成立．故④不可能成立．答案 ④二、解答题4．已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅.解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．(2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4.故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1).35319 89F7 觷25942 6556 敖40508 9E3C 鸼39337 99A9 馩25858 6502 攂:38722 9742 靂23263 5ADF 嫟 .9 22286 570E 圎lV。

第1课集合的概念与运算A 应知应会1.(2016·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知集合U={-1,0,1,2},A={-1,1,2},那么∁U A=.2.(2016·苏州、无锡、常州、镇江一调)已知集合A={x|x<3,x∈R},B={x|x>1,x∈R},那么A∩B=.3.(2016·南京学情调研)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-1>0},那么A∩B=.4.(2016·苏北四市摸底)已知集合A={x|-1≤x≤1},那么A∩Z=.5.已知全集U={x|-1≤x≤4},集合A={x|x2-1≤0},B={x|0<x≤3},求A∩B,A∪B,∁U A,(∁U B)∩A.6.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.(1)若A∩B=[0,3],求实数m的值;(2)若A⊆∁R B,求实数m的取值范围.B 巩固提升1.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A={x|x=2k+1,k∈Z},B={x|0<x<5},那么A∩B=.2.(2015·陕西卷)已知集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},那么M∪N=.3.设A,B是两个非空集合,定义运算A×B={x|x∈A∪B,且x∉A∩B}.已知集合A={x|y=},B={y|y=2x,x>0},那么A×B=.4.已知函数f(x)=2x-2log2x-10,x∈[2,+∞),那么集合M={n|f(3n2-n)≤2,n∈Z}的子集的个数为.5.已知集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9},分别求适合下列条件的a的值.(1) 9∈(A∩B);(2){9}=A∩B.6.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0,其中k∈R.(1)当k变化时,试求不等式的解集A.(2)对于不等式的解集A,若满足A∩Z=B,试探究集合B能否为有限集?若能,求出使得集合B中元素个数最少的k的所有取值,并用列举法表示集合B;若不能,请说明理由.第1课集合的概念与运算A 应知应会1.{0}【解析】因为U={-1,0,1,2},A={-1,1,2},所以∁U A={0}.2.(1,3)3.{2}【解析】因为B={x|x2-1>0}={x|x<-1或x>1},A={-1,0,1,2},所以A∩B={2}.4.{-1,0,1}【解析】因为集合A={x|-1≤x≤1}中的整数有-1,0,1,所以A∩Z={-1,0,1}.5.【解答】因为A={x|x2-1≤0}={x|-1≤x≤1},B={x|0<x≤3},所以A∩B={x|0<x≤1},A∪B={x|-1≤x≤3}.又∁U A={x|1<x≤4},∁U B={x|-1≤x≤0或3<x≤4},所以(∁U B)∩A={x|-1≤x≤0}.6.【解答】由题意得A={x|-1≤x≤3},B={x|m-2≤x≤m+2}.(1)因为A∩B=[0,3],所以解得m=2.(2)由题意知∁R B={x|x<m-2或x>m+2}.因为A⊆∁R B,所以m-2>3或m+2<-1,解得m>5或m<-3.故实数m的取值范围是(-∞,-3)∪(5,+∞).B 巩固提升1.{1,3}【解析】因为集合A为奇数集,所以A∩B={1,3}.2.[0,1]【解析】由题设知M={0,1},N=(0,1],所以M∪N=[0,1].3.[0,1]∪(2,+∞)【解析】A=[0,2],B=(1,+∞),故A∪B=[0,+∞),A∩B=(1,2],所以A×B=[0,1]∪(2,+∞).4. 4【解析】由函数f(x)的定义域是[2,+∞),得3n2-n≥2,解得n≥1或n≤-.因为n∈Z,所以n=1,2,3,…或n=-1,-2,-3,….当n=1时,f(2)=-8≤2;当n=2时,f(10)=210-2log2 10-10>2;当n=3时,f(24)>2;…;当n=-1时,f(4)=2≤2;当n=-2时,f(14)>2;….所以集合M={1,-1},故其子集有4个.5.【解答】(1)因为9∈(A∩B),所以9∈A且9∈B,所以2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.根据集合中元素的互异性检验知a=5或a=-3.(2)因为{9}=A∩B,所以9∈(A∩B),所以a=5或a=-3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},此时A∩B={-4,9},与A∩B={9}矛盾,故舍去;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},此时A∩B={9},满足题意.综上,a的值为-3.6.【解答】(1)当k=0时,A=(-∞,4);当k>0且k≠2时,A=(-∞,4)∪;当k=2时,A=(-∞,4)∪(4,+∞);当k<0时,A=.(2)由(1)知,当k≥0时,集合B中的元素有无限个;当k<0时,集合B为有限集.若k<0,因为k+≤-4,当且仅当k=-2时取等号,所以当k=-2时,集合B中的元素个数最少,此时A=(-4,4),故集合B={-3,-2,-1,0,1,2,3}.。

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】专题1.1 集合的概念及其基本运算班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、填空题1. 【2017江苏，1】已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =+，若{1}A B =I 则实数的值为 . 【答案】1【解析】由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1． 2. 【2017课标3，理1改编】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 【答案】23. 已知集合{}210A x x mx =-+=，若A R ∅I ＝，则实数m 的取值范围为 【答案】4m <【解析】∵A R ∅I ＝，则A ∅＝，即等价于方程210x mx -+=无实数解，即40m ∆<＝－，即04m ≤<，注意0m <时也表示A ∅＝，故实数m 的取值范围为4m <． 4.集合{}2|,M y y x x R ==-∈，{}22|2,N x x y x R =+=∈，则M N ⋂= 【答案】{}1-【解析】由2y x =-，x R ∈得0y ≤，所以集合(],0M ∈-∞，由222x y +=，x R ∈得2,2N ⎡⎤=-⎣⎦，所以2,0M N ⎡⎤⋂=-⎣⎦.5.设全集U ＝R ，集合2{|230}{|10}A x x x B x x =--<=-≥，，则图中阴影部分所表示的集合为【答案】{|1}x x ≤-6．已知集合{}{}1,2,3,4,5,2,4,6P Q ==,若M P Q =I ,则M 的子集个数为 【答案】4【解析】由题意{2,4}M P Q ==I ，它的子集有224=个．7．设P 和Q 是两个集合,定义集合P Q {x |x P +=∈或x Q ∈且x P Q}∉I .若2P {x |x 3x 40}=--≤, (){}22Q x |y log x 2x 15==--,那么P Q +等于【答案】(-∞,-3)∪-1,4]∪(5,+∞)【解析】由题意可知P {x |1x 4}=-≤≤, Q {x |x 3=<-或x 5}>.所以P Q {x |x 3+=<-或1x 4-≤≤或x 5}>.8．已知集合{}1,A a =，{}2|540,B x x x x Z =-+<∈，若A B ≠∅I ，则等于 【答案】2或3【解析】由已知可得{}3,2，由于A B ≠∅I ，则2=a 或.9．设集合{}1,2,3,4,5,6A ＝，{}4,5,6,7,8B ＝，则满足S A ⊆且S B ≠∅I 的集合S 的个数是 【答案】56【解析】集合S 的个数为632264856－＝－＝．10．已知集合2{|20}P y y y =-->，2{|0}Q x x ax b =++≤，若P Q R =U ，(2,3]P Q =I ，则a b += .【答案】-5【解析】因为2{|20}(,1)(2,)P y y y =-->=-∞-+∞U ，所以{|13}Q x x =-≤≤，因此1,3-为方程20x ax b ++=两根，即13,1323 5.a b a b -=-+-⨯=⇒+=--=-11．已知[)1,A =+∞，1{|21}2B x R x a =∈≤≤-，若A B φ⋂≠，则实数的取值范围是 【答案】[)1,+∞【解析】因为A B φ⋂≠，所以211a -≥，且1212a -≥，解得1a ≥．12．设集合()∅≠⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-=0,0,012,m y m x y x y x P ，集合(){}22|,<-=y x y x Q ，若Q P ⊆，则实数m 的取值范围是 【答案】)31,32[-13．已知集合{}24A x y x ==-，{}1B x a x a =<<+，若A B B =I ，则实数的取值范围为_______. 【答案】21a -≤≤ 【解析】{}{}{}242,1,A x y x x x x B x a x a A B B B A ==-=-≤≤=<<+=∴⊆Q I2,2112,a a a ≥-⎧∴∴-≤≤⎨+≤⎩14已知{|322}A x x =≤≤，{|2135}B x a x a =+≤≤-，B A ⊆，则的取值范围为________. 【答案】(,9]-∞【解析】因为B A ⊆，所以Φ≠Φ=B B 或.当Φ=B 时，1253+<-a a ，可得6<a ；当Φ≠B 时，⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥22533126a a a ，可得96≤≤a ，综上：9≤a ．二、解答题15．已知2{|440}A x x x =++=，22{|2(1)10}B x x a x a =+++-=，其中a R ∈.如果A B B =I ，求实数的取值范围.【解析】2440x x ++=，解得2x =-，∴{2}A =-. ∵A B B =I ，∴B =∅或{2}-.∴224(1)4(1)0a a ∆=+--≤，解得1a ≤-. 但是：1a =-时，{0}B =，舍去. ∴实数的取值范围是(,1)-∞-.16．已知集合{|12},{|3}A x x B x m x m =≤≤=≤≤+． （1）当2m =时，求A B ⋃；（2）若A B ⊆，求实数m 的取值范围．17．已知函数()f x x=A ，集合{|10,}B x ax a *=-<∈N ，集合2{|log 1}C x x =<-． （1）求A C U ；（2）若C ⊂≠ (A B I )，求的值．【解析】（1）由题意得A =(0,)+∞.，C =)21,0(， ∴(0,)A C =+∞U ． （2）由题意得B =*)1,(N a a ∈-∞，∴)1,0(aB A =I ，∵C ⊂≠A B I ， ∴211>∴a ， ∴20<<∴a ，又∵a *∈N ， ∴=1．18．已知{}0232≤+-∈=x x R x A ,{}02242≥-⋅-∈=a a R x B x x . （Ⅰ）当1=a 时，求B A I ； （Ⅱ）若B A ⊆,求实数的取值范围.【解析】（Ⅰ）由题[]2,1=A0)12)(22(:≥+-x x B 得),1[+∞=B ， 所以a=1时，]2,1[=∴B A I。

2020年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）第01讲 集合的概念与运算——讲1.通过实例了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；针对具体问题能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.知识点一：元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉．(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示【典例1】(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z}，则A 中元素的个数为_____解析： 法一：将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)， (1,0)，(1,1)，共有9个.法二：根据集合A 的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x 2＋y 2＝3中有9个整点，即为集合A 的元素个数.【思路点拨】与集合中的元素有关问题的求解策略(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．【变式1】已知集合A ＝{x ∈N|1＜x ＜log 2k }，若集合A 中至少有3个元素，则k 的取值范围为________． 解析： 因为集合A 中至少有3个元素，所以log 2k >4，所以k >24＝16.知识点二：集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。

集合的概念与运算随堂演练巩固=R ,集合M ={|212x -≤-≤}和N ={|=2-1,=1,2,…}的关系的Venn 图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 个【答案】 2【解析】 由212x -≤-≤,得13x -≤≤,则M N ⋂={1,3},即有2个元素={|2(2)10x a x a x -+++=,∈R }中所有元素之和为【答案】 a 2或1【解析】 A ={|2(2)10x a x a x -+++=,∈R }={|-1-a 1)0x -=,∈R },若a =0,则A ={1},若0a ≠,则A ={1,a 1},故所有元素之和为a 2或1={-1,1,3},B ={224a a +,+}A B ,⋂={3},则实数a 的值为【答案】 1【解析】 ∵243a +≠,∴a 2=3,∴a =1={a ,b },则满足M N ⋃⊆{a ,b ,c }的非空集合N 的个数为【答案】 7【解析】 ∵N 是集合{a ,b ,c }的非空子集,∴集合N 的个数3217=-=5设全集U A B =⋃={x ∈N *|g (A ⋂)U B =x ∈*U A =⋃(A ⋂)U B =221y x x x =--,∈28x -≤<⊂≠2(1)2x x =--,∈2y ≥-28y -≤<⊂≠U A B =⋃,()U A B ⋂A B ⋃=A B ,⋂=()U A B ⋂=1x ≤x a ≥A B ⋃=(1]-∞,A B ⋃=1a ≤(1]-∞,221416y x +=3x y =A B ⋂221416y x +=3x y =1a 2a ,A B ⋂1a 2a 12a a ,()A B ⋃=()A B ⋂,()100A B ⋂≤,()45A B ⋂≥2210ax x x ++=,∈1a ≥0440a a ≠,⎧⎨∆=-<,⎩1; 若A 是单元素集,则当a =0时,A ={12-};当0a ≠时,有440a ∆=-=,即a =1 综上,实数a 的取值范围为{a |1a ≥或a =0}={|og 22x ≤}()B a ,=-∞,,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是()c ,+∞,其中c = 【答案】 4【解析】 ∵A ={|04x <≤}()B a ,=-∞,,又A B ⊆,∴a >4又a 的取值范围是()c ,+∞,∴c =4={0,1,2,3,4,5},A 是S 的一个子集当x A ∈时,若1x A -∉且1x A +∉,则称为A 的一个”孤立元素”,那么S 中无”孤立元素”的且含4个元素的子集共有 个【答案】 6【解析】 ∵由成对的相邻元素组成的四元子集都没有”孤立元素”,如{0,1,2,3},{0,1,3,4},{0,1,4,5},{1,2,3,4},{1,2,4,5},{2,3,4,5}这样的集合,故共有6个 ={|是小于10的正整数}A U B U ,⊆,⊆,且)U A B ⋂={1,9}A B ,⋂={2},)(U A ⋂)U B ={4,6,8},则A = ,B =【答案】 {2,3,5,7} {1,2,9}【解析】 利用Venn 图,在图中标出各个元素的相关位置,可以直接写出A 和B 来,A ={2,3,5,7},B ={1,2,9},n 定义某种运算运算符号用#表示:当m ,n 都为正偶数或正奇数时,m #n =mn ;当m ,n 中一个为正奇数,另一个为正偶数时,m #n =mn ,则在上述定义下,集合M ={a ,b |a #36b a =,∈N b *,∈N *中元素个数为【答案】 41【解析】 当m ,n 都为正偶数或正奇数时,36=135=234=333=…=1719=1818,共18个等式,能组成的实数对a ,b 为182135⨯-=对;当m ,n 中一个为正奇数,另一个为正偶数时，3613631249=⨯=⨯=⨯,能组成的实数对a ,b 为236⨯=对,因此集合中共有41个元素 6()11f x x =-+,函数g =g 2(2)x x m -++的定义域为集合B 1当m =3时,求(A B ⋂R ;2若A B ⋂={|-1<<4},求实数m 的值【解】 1A ={|15x -<≤} 当m =3时,B ={|-1<<3},则B R ={|1x ≤-或3x ≥},∴(A ⋂B R={|35x ≤≤}2∵A ={|15x -<≤}A B ,⋂={|-1<<4}, ∴有24240m -+⨯+=,解得m =8,此时B ={|-2<<4},符合题意={|240x x x +=,∈R },B ={|22(1)x a ++21a -=0a ,∈R x ,∈R },若B A ⊆,求实数a 的取值范围【解】 A ={0,-4},又B A ⊆,于是可分类处理 1若B =∅,则222(1)10x a x a +++-=的判别式0∆<,于是422[(1)(1)]0a a +--<,∴a <-12若B ={0},把=0代入方程得1a =±当a =1时,B ={0,-4},不合题意;当a =-1时,B ={0},所以a =-13若B ={-4},把=-4代入方程得a =1或a =7当a =1时,B ={0,-4},不合题意当a =7时,B ={-4,-12},不合题意4若B ={0,-4},则0,-4是方程222(1)10x a x a +++-=的两根,由根与系数的关系,得22(1)410a a -+=-,⎧⎨-=,⎩解得a =1综上所述,所求实数a 的取值范围为1a ≤-或a =1。