量子力学2 2017回忆版 南开大学

第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。

证明：由普朗克黑体辐射公式：ννπνρννd e ch d kT h 11833-=， 及λνc =、λλνd cd 2-=得1185-=kThc ehc λλλπρ，令kT hcx λ=，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 15-=x xe xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kThcm λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长.解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mEh p h λ #1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。

解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkTh mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k #1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。

（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。

已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。

解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E μωμ+=可以化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμEb E a ==，相空间面积为,2,1,0,2=====⎰n nh EEab pdq νωππ所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为()ϕω+=t A q sin速度为 ()ϕωω+='t A q c o s ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 ()()nh TA dt t A dt t A pdq T T==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 220220222μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=nνμωnh Tnh A E ===222， ,2,1,0=n（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。

2017年北京大学理论物理量子力学（612）真题回忆版
2017年北京大学理论物理之量子力学（612）真题回忆版
一、
1）宽度为L 2的无限深势阱，范围为L x L -<<，求能量本征态和相应的本征值
2）已知t 0=时处于基态，势阱宽度突然变为L 4，范围为22L x L -<<，求随时间变化的波函数表达式)(t ?，求处于变化后体系本征能量的概率，求体系的能量平均值)(t E 二、一个二维谐振子，哈密顿量为222211?2222
y x x y p p H m x m y m m ωω=+++ 1）若4
3=y x ωω，求第一个和第二个简并能级 2）若y x ωω=，有两个自旋为
21的全同粒子处于此谐振子势场中，求体系最低三个能级，并给出简并度
三、
1）在z σ表象下，x σ、y σ、z σ的矩阵表示及其归一化本征态，本征值
2）在x σ表象下，y σ和z σ的归一化本征态
四、体系哈密顿量为()1221?+= H ，1和2为体系两个正交归一的本征态。

在t=0
时，算符22113?-=O
的平均值为1-，求体系初始状态及0>t 的体系最快转化为1的时间
五、考虑氢原子核不是点电荷，而是均匀带电的球体
1）体系能量基态本征函数为a r
Ne -=ψ，求归一化系数N 和不确定度2)(x ?和()2
r ?
2）用微扰求出这种效应对氢原子能量基态能量的一级修正六、一维粒子由右边入射，收到的势能为20()()02x V x g x a x m
δ∞ ?? 1)若能量0E >，求反射波与入射波之间的相位差，及相位差在低能和高能下的表现 2求存在束缚态的条件。

南开大学《量子力学》考研真题详解2021年南开大学《量子力学》考研全套目录•南开大学陈省身数学研究所《量子力学》历年考研真题汇编•全国名校量子力学考研真题汇编•2021年量子力学考研真题精解精析50题说明：本科目考研真题不对外公布（暂时难以获得），通过分析参考教材知识点，精选了有类似考点的其他院校相关考研真题，以供参考。

2．教材教辅•曾谨言《量子力学教程》（第3版）笔记和课后习题（含考研真题）详解•[预售]曾谨言《量子力学教程》（第3版）配套题库【考研真题精选＋章节题库】说明：以上为本科目参考教材配套的辅导资料。

•试看部分内容波函数与Schrödi nger方程1.1 复习笔记一、波函数的统计诠释1实物粒子的波动性de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-p article duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为并称之为物质波（matter wave）．2波粒二象性的分析（１）包括波动力学创始人Schrödi nger，de Brogli e等在内的一些人，他们曾经把电子波理解为电子的某种实际结构，即看成三维空间中连续分布的某种物质波包．物质波包的观点显然夸大了波动性一面，而实质上抹杀了粒子性一面，是带有片面性的．（２）与物质波包相反的另一种看法是：波动性是由于有大量电子分布于空间而形成的疏密波．它夸大了粒子性一面，而实质上抹杀了粒子的波动性一面，也带有片面性．然而，电子究竟是什么东西?是粒子?还是波?电子既是粒子，也是波，它是粒子和波动两重性矛盾的统一．但这个波不再是经典概念下的波，粒子也不再是经典概念中的粒子．3概率波，多粒子体系的波函数把粒子性与波动性统一起来．更确切地说，把微观粒子的“原子性”与波的“相干叠加性”统一起来的是M．Bo rn（1926）提出的概率波．表征在r点处的体积元中找到粒子的概率．这就是Born提出的波函数的概率诠释．它是量子力学的基本原理之一．根据波函数的统计诠释，很自然要求该粒子（不产生，不湮没）在空间各点的概率之总和为1，即要求波函数ψ（r）满足下列条件这称为波函数的归一化（normalization）条件．归一化条件就可以简单表示为（ψ，ψ）=14动量分布概率动量分布概率密度即．5不确定性原理与不确定度关系不管粒子处于什么量子态下，它的位置（坐标）和动量不能同时具有完全确定的值，这就是Hei senberg的不确定性原理，上式是它的数学表示式，它是波粒二象性的反映．6力学量的平均值与算符的引进令称为动量算符．l是一个矢量算符．它的三个分量可以表示为一般说来，粒子的力学量A的平均值可如下求出是与力学量A相应的算符．如波函数未归一化，则与经典Hamilton量H=T+V相应的算符表示为7统计诠释对波函数提出的要求统计诠释赋予了波函数确切的物理含义．根据统计诠释，究竟应对波函数ψ（r）提出哪些要求?（1）根据统计诠释，要求|ψ（r）|2取有限值似乎是必要的，即要求ψ（r）取有限值．（2）按照统计诠释，一个真实的波函数需要满足归一化条件（平方可积）但概率描述中实质的问题是相对概率．因此，在量子力学中并不排除使用某些不能归一化的理想的波函数．（3）按照统计诠释，要求|ψ（r）|2单值．是否由此可得出要求ψ（r）单值?否．（4）波函数ψ（r）及其各阶微商的连续性．2021年量子力学考研真题精解精析50题1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。

《量子力学教程》第二版答案周世勋原著量子力学，这一神秘而又令人着迷的科学领域，对于许多学习者来说，既是挑战，也是机遇。

周世勋先生的《量子力学教程》作为经典教材，为我们开启了探索量子世界的大门。

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在深入探讨这份答案之前，我们先来简单了解一下量子力学的重要性。

量子力学是现代物理学的基石之一，它不仅改变了我们对微观世界的理解，还在众多领域引发了革命性的变革，如半导体技术、激光物理、量子计算等。

可以说，没有量子力学的发展，我们的现代科技将难以达到如今的高度。

周世勋先生的《量子力学教程》以其清晰的逻辑和系统的阐述，深受广大师生的喜爱。

然而，对于学习者来说，在学习过程中难免会遇到一些难题，这时候答案的作用就显得尤为重要。

这份第二版答案的第一个显著特点是准确性。

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其次，答案的解析过程详细而清晰。

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比如说，在处理一些复杂的波函数问题时，答案会详细地说明如何进行变量分离、如何运用边界条件，以及如何根据物理意义进行合理的假设和简化。

这让学习者能够明白每一个步骤的依据和目的，而不是仅仅记住一个机械的解题过程。

此外，答案还注重对知识点的总结和归纳。

在解答完一组相关的题目后，会对涉及到的重要概念和方法进行总结，帮助学习者加深对这些知识点的理解和记忆。

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以量子态的叠加原理为例，答案在解答相关题目后，会总结叠加原理的适用条件、常见的应用场景以及与其他原理的联系和区别。

这样的总结能够让学习者更好地把握这一重要概念的本质。

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周世勋先生的《量子力学教程》第二版无疑是众多教材中的经典之作。

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在学习量子力学的过程中，理解那些抽象的概念和复杂的数学推导并非易事。

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它不仅告诉我们每一道题目的最终结果，更重要的是展示了得出结论的思维过程和推导步骤。

以波函数这一重要概念为例。

在书中的题目中，常常会涉及到波函数的求解和性质的探讨。

答案中会清晰地展示如何根据给定的条件，运用薛定谔方程逐步求解波函数。

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这使得我们不仅仅是机械地记住解题方法，而是真正理解了波函数的本质和其在量子力学中的重要意义。

再来看量子力学中的算符。

算符的运算和性质是学习的重点也是难点。

答案对于涉及算符的题目，会详细地解释每一个算符的作用和运算规则，以及如何将其应用到具体的问题中。

比如，对于动量算符和能量算符，答案会展示如何通过它们来描述粒子的运动状态和能量特征。

这种详细的解释帮助我们建立起对算符的直观认识，从而更好地掌握量子力学的核心内容。

在处理态叠加原理的题目时，答案会通过具体的例子，让我们清楚地看到不同态之间是如何叠加的，以及叠加后的结果所代表的物理意义。

这对于我们理解微观粒子的不确定性和量子态的多样性具有重要的指导作用。

然而，仅仅依赖答案并不能让我们真正掌握量子力学。

答案只是辅助我们学习的工具，我们需要通过自己的思考和努力，去理解每一个概念和方法。

在参考答案的过程中，我们要学会举一反三，思考如果题目条件发生变化，应该如何运用所学的知识去解决问题。

同时，对于答案中的每一个步骤，我们都要认真思考其合理性和逻辑性。

如果有不明白的地方，要及时查阅教材和相关的参考资料，或者与同学、老师进行讨论。

南开大学量子力学导论考研真题资料含答案解析南开大学量子力学导论考研复习都是有依据可循的,考研学子关注事项流程为：考研报录比-大纲-参考书-资料-真题-复习经验-辅导-复试-导师，缺一不可。

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1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λm与温度T成反比，即λmT=b （常量）：并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。

1.2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。

1.3氦原子的动能是E=3kT/2（k为玻尔兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德布罗意波长。

1.4利用波尔-索末菲的量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场H=10特拉斯，玻尔磁子MB=9*10-24焦耳/特拉斯，试计算动能的量子化间隔ΔE，并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。

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