_人教版八年级上册第19讲 最短路径问题

最新人教版数学八年级上册最短路径问题最短路径问题求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求。

例如，在图中，点A、B分别在直线l异侧，需要在直线l上找一个点C，使得CA + CB最小，此时点C是直线l与AB的交点。

类似地，求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只需找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，与该直线的交点即为所求。

例如，在图中，点A、B分别在直线l同侧，需要在直线l上找一个点C，使得CA + CB最小，此时先作点B关于直线l的对称点B'，则点C是直线l与AB'的交点。

为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C'，连接AC'、BC'、B'C'，证明AC + CB < AC' +C'B。

具体证明过程可参考下图：在解决距离最短问题时，可以运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长。

无论题目如何变化，核心思路都是直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小。

因此，所有作法都相同。

需要注意的是，在利用轴对称解决最值问题时，应注意题目要求，根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法。

在解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，以免导致答案不符合要求。

另外，利用平移也可以确定最短路径选址。

具体做法是，在地图上选定起点和终点，将地图平移到起点与终点连线的中点处，然后在平移后的地图上连接起点和终点，最短路径即为连接线段。

选址问题的关键在于将多条线段转化为一条线段。

如果两个点在一条直线的同侧，那么过这两个点的直线与原直线的交点处构成的线段的差最大；如果两个点在一条直线的异侧，那么过这两个点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小。

这些问题都可以通过三角形的三边关系来解释，通常可以选择其中一个点的对称点来解决最大值或最小值的情况。

最新人教版数学八年级上册最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB 最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．;如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB 最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，|所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．`点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P 到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．：(2)如图2，画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．【例3】如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短思路导引：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M..则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短图a 图b—解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短．5.运用轴对称解决距离之差最大问题利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如图所示，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如图所示，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A ＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B ＜CA－C B.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。

教学时间授课班级初二（2）班授课人课题13.4 课题学习最短路径问题课时第一课时课型新课教学内容解析内容利用轴对称研究某些最短路径问题内容解析最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”为基础知识，有时候还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究.本节课以数学史中的一个经典问题－“将军饮马问题”为载体展开对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”（或“三角形两边之和大于第三边”）的问题.基于以上分析，确定本节课的重点为：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学目标解析目标知识与技能：能利用轴对称解决简单的最短路径问题,体会图形的变化在解决最值问题中的作用.过程与方法：在将实际问题抽象成几何图形的过程中,提高分析问题、解决问题的能力及渗透感悟转化思想.情感与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣.在解决实际问题的过程中,体验数学学习的实用性.目标解析目标的具体要求是：学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象成数学中的“点”“线”，把实际问题中的最短路径抽象成数学中的线段和最小问题；能利用轴对称将直线上的点与同侧两点所连线段和最小问题转化成直线上的点与异侧两点所连线段和最小问题，即“两点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理说明所求距离最短；在探索最短路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想.学生学情分析最短路径问题本质上就是最值问题，作为初中学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚不足，特别是面对具有实际问题背景的最值问题，更会感到陌生.解答“当点A,B在直线l的同侧时，如何在l上找C,使得AC与CB的和最小”需要将其转化为“直线l异侧两点，与l上的点的线段和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难.在说明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求作的点不重合），说明所连线段和大于所求线段和，这里可以利用“三角形任意两边和大于第三边”来说明，也可以直观展示给学生.这种思路和方法，一些学生想不到.教学过程中，首先让学生思考“直线l异侧两点，与l上的点的线段和最小”为学生搭建“脚手架”.在说明“最短”时，适当点拨学生，学生要体会到“任意”的作用.因此，本节课的教学难点是：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题，如何说明“最短”．教学准备多媒体课件教学方法自主学习，合作探究课堂教学程序设计设计意图一、创设情景引入课题前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.出示问题情境学生思考,并观察图片,获得感性认识.二、自主探究合作交流建构新知1、将实际问题抽象为数学问题问题1、你能将这个问题抽象为数学问题吗？活动1:思考画图，将A,B 两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.引入课题，问题情境，激发学生学习兴趣和探究欲望.问题2、你能用自己的语言说明这个问题的意思, 并把它抽象为数学问题吗?师生活动:学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识:(1)从A 地出发,到河边l饮马,然后到B 地; (2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B 连接起来的两条线段的长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地的路程之和;(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C 为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小(如图).强调:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”2、尝试解决数学问题问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l的什么位置时,AC 与CB 的和最小?追问1：当点A、B分别在直线l 的两侧，如何在直线l上找点一个点，使得这个点分别到点A与点B的距离和最小？.A.B追问2、对于问题1，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？师生活动:学生独立思考,画图分析,小组交流,互相补充作法:(1)作点B 关于直线l的对称点B';(2)连接AB',与直线l相交于点C,则点C 即为所求..B.A让学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.CB思考：还有别的作法吗？3、说明“最短”提问1：你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?证明:如图,在直线l上任取一点C'(与点C 不重合),连接AC',BC',B'C'.由轴对称的性质知, BC =B'C,BC'=B'C'.∴AC +BC= AC +B'C = AB',AC'+BC'= AC'+B'C'.在△AC'B'中,AC'+B'C'>AB',∴当只有在C点位置时,AC+BC最短.活动：学生思考，教师动画演示，学生观察.师生共同分析由三角形任意两边之和大于第三边说明.同时体会“任取一点”的作用.4、方法提炼提问1：回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？1、将实际问题抽象为数学问题将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.2、利用轴对称的性质将点在直线同侧转化为点在直线两侧3、应用“两点之间线段最短”这个事实解决问题活动：教师引导，学生回答并互相补充三、例题讲解如图（见课件）：点A(-2，0),B(-2，2).在Y轴上找一点C,学生进一步体会到作法的正确性，提高逻辑思维.学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.使得AC+BC最短思考：在Y轴上找一点M,使得三角形ABM周长最小四、课堂练习如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径．活动:学生思考先独立解决，再互相交流，教师指导.思考：牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到A 处，请画出最短路径．通过例题和练习让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法.课堂小结1、知识点：1）两点之间，线段最短2）垂直平分线上的点到两端的的距离相等2、思想方法：转化思想1）将实际问题抽象为数学问题，将路程最短问题抽象为线段和最小问题2）应用轴对称性质将直线同侧两点转化为异侧两点问题引导学生把握研究问题的基本策略、基本思路和基本方法，体会轴对称在解决最短路径问题中的作用，感悟转化思想的重要价值作业设计A是∠O 内的一点，试在∠O的两边上分别找一点B,C,使得三角形ABC的周长最小板书设计13.4 课题学习最短路径问题（第一课时）一、知识点：三、例题讲解1、两点之间，线段最短四、课堂练习2、垂直平分线上的点到线段两端距离相等二、作图五、课堂小结教后反思。