第8讲 立体图形上的最短路径问题
一、方法技巧
解决立体图形上最短路径问题：
1.基本思路：立体图形平面化，即化“曲”为“直”
2.“平面化”的基本方法：
（1）通过平移来转化
例如：求A 、B 两点的最短距离，可通过平移，将楼梯“拉直”即可
（2）通过旋转来转化
例如：求'A C 、两点的最短距离，可将长方体表面展开，利用勾股定理即可求
例如：求小蚂蚁在圆锥底面上点A 处绕圆锥一周回到A 点的最短距离 可将圆锥侧面展开，根据“两点之间，线段最短”即可得解
（3）通过轴对称来转化
例如：求圆柱形杯子外侧点B到内侧点A的最短距离，可将杯子（圆柱）侧面展开，作点A关于杯口的对称点'A，根据“两点之间，线段最短”可知'A B即为最短距
离
3.储备知识点：（1）两点之间，线段最短（2）勾股定理
4.解题关键：准确画出立体图形的平面展开图
二、应用举例
类型一通过平移来转化
【例题1】如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想要到B点去吃可口的食物，请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少
【答案】13cm
【解析】
试题分析：
只需将其展开便可直观得出解题思路，将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B 点到A 点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案.
试题解析： 解：展开图如图所示，22
51213AB cm =+=
所以，蚂蚁爬行的最短路线是13cm
类型二 通过旋转来转化
【例题2】如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少
【答案】cm 412
【解析】
试题分析：
解这类题应将立体图形展开，转化为平面图形，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“同一平面内两点间的最短路线是连接这两点的线段”进行计算.
试题解析：
解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC’（在面ADD’A’上爬行是一样的）.将四棱柱剪开铺平
使矩形AA’B’B 与BB’C’C 相连，连接AC’，使E 点在AC’上（如图2）
)(412810')('2222cm CC BC AB AC =+=++=
所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412
【难度】一般
【例题3】如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，试求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度.
【答案】34cm
【解析】
试题分析：
展开后连接SF ，求出SF 的长就是捕获苍蝇的最短路径，过点S 作SE CD ⊥于E ，求出SE 、EF ，根据勾股定理求出SF 即可.
试题解析：
解：如下图所示，把圆柱的半侧面展开成矩形，点S ，F 各自所在的母线为矩形的一组对边
上下底面圆的半周长为矩形的另一组对边.该矩形上的线段SF 即为所求的最短路线. 过点S 作点F 所在母线的垂线，得到SEF Rt ∆.
2230(1811)34SF cm =+--=
【难度】较易
【例题4】（2015·红河期末）如下图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m （结果不取近似值）
【答案】35 【解析】 试题分析：
求小猫经过的最短距离，首先应将其侧面展开，将问题转化为平面上两点间的距离的问题，根据展开图中扇形的弧长与圆锥底面周长相等可求展开图的扇形圆心角度数，故可得出展开图中90BAP ∠=︒，即可用勾股定理求出小猫经过的最短距离BP 长.
试题解析：
解：作出圆锥侧面展开后的扇形图如下图，设该扇形的圆心角度数为n ，
由展开扇形圆弧长等于底面圆周长，可得
180n AC BC ππ⋅=⋅， 再由6AC BC m ==，可得180n =︒，
故在展开的平面图形中，1180902BAC ∠=
⨯︒=︒ 点B 到P 的最短距离为 22226335()BP AB AP m =+=+=
【难度】一般
类型三 通过轴对称来转化
【例题5】桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A 处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B 处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在位置
【答案】15厘米
【解析】
试题分析：
把圆柱展开，得到矩形形状，A B 、的最短距离就是线段'BA 的长，根据勾股定理解答即可 试题解析：
解：如图所示，作A 点关于杯口的对称点'A
则22'91215BA =+=厘米
【难度】较易
三、实战演练
类型一 通过平移来转化
1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 、3dm 、2dm ．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，想到点B 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为 dm ．
【答案】25dm
【解析】
试题分析：
先将图形平面展开，再根据勾股定理进行解答
试题解析：
解：如图，三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，宽为（2+3）×3dm ，
则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．
设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，
由勾股定理可得x 2=202+[（2+3）×3]2，
解得x =25．
即蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为25dm ．
【难度】较易
类型二 通过旋转来转化
2.（2015·陕西）有一个圆柱形油罐，已知油罐周长是12m ，高AB 是5m ，要从点A 处开始绕油罐一周造梯子，正好到达A 点的正上方B 处，问梯子最短有多长
【答案】13m
【解析】
试题分析：把圆柱沿AB 侧面展开，连接AB ，再根据勾股定理得出结论
试题解析：
解：展开图如图所示，12AC m =，5BC m =
222212513AB AC BC m =+=+=
