人教版八年级数学下册 勾股定理之最短路径问题 讲义

《17.1勾股定理的应用——最短路径问题》教学设计教学目标：【知识与技能】1.掌握勾股定理的简单应用，探究最短路径问题；2.能够借助勾股定理解决有一定难度的实际问题.【过程与方法】经历运用勾股定理解决实际为题的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.【情感、态度与价值观】1.培养学生运用所学只是解决实际问题的意识，增强学生的数学应用能力.通过与同伴交流，培养协作与交流的意识；2.敢于面对数学学习中的困难，增加遇到困难时选择其它方法的经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，形成积极参与数学活动的意识. 教学重点：1.能熟练运用勾股定理解决实际问题，掌握最短路径问题；2.探索空间与平面图形之间的关系.教学难点：熟练运用勾股定理解决最短路径的实际问题，增强学生的数学应用能力。

课前准备：制作圆柱、正方体、长方体等教具教学方法：互动式教学、合作探究学习教学过程：一、抛砖引玉一块长方形草地，在靠近路口的一角被踏出了一条“斜路”，类似的现象在我们校门前也有发生.请问同学们：（1）人们为什么要走“斜路”呢？（2）经测量，这条“斜路”的一端距离直角顶点3米，另一端距离直角顶点4米，你能根据之前所学过的知识告诉我：斜“路”比正路近多少米？学生会想立一个牌子，提醒人们，请你帮助填空：少走___米，践踏何忍？如果我们每步可以跨0.5米，那么这样可以少走几步？这么几步近路，值得吗？[设计意图]：本题不仅是勾股定理的实际应用题，而且还对学生进行了社会公德教育，体现了数学教学的德育意义.二、初露锋芒有一只小昆虫——森迪，来到了高为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱体的A5处，嗅到B 处的面包，可是它沿着圆柱体的表面怎样爬行才能很快地吃到面包？它爬行的最短路径长是多少呢？ （π的值取3 ）学生活动（一）：（1）森迪可行的路线可能不止一条，你能找出几种出来？（2） 自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱表面画出几条路线，你觉得那 条路最短呢？（3） 将圆柱侧面展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线长是什么？[设计意图]：“森迪觅捷径”问题，融知识性和趣味性于一体，有利于提高同学们的空间想象能力，培养同学们的探究意识和创新精神.三|、小试牛刀森迪爬呀爬，它来到了单位长度为1的正方体A 处，嗅到了放置在B 处的食物，这次它沿着怎样的路线爬行才能很快地吃到食物呢？爬行的最短路径长又是多少呢？同学们展开自己的空间想象能力，把正方体沿棱展开，把点A 及点B 所在的两个面放在同一个平面内，显然，从A 到B 的最短路线一定是从A 出发，经过正方体两个面到达B. 根据“两点之间，线段最短”，以便发现最短路线，因展法不同，路线有多种，但因为这是一个正方体，所以构造直角三角形，得到森迪爬行的最短路径都为[设计意图]：从不同情况的分析，学生可以感受到数学的学习需要全面的考虑问题，反过来，数学的学习又能帮助我们全面的考虑问题。

（三）学习动机
为了激发学生的学习兴趣和动机，我将采取以下策略或活动：1.通过引入生活中的实际问题，让学生感受到勾股定理在现实生活中的应用，提高他们的学习兴趣；2.设计丰富的课堂活动，如小组讨论、动手操作等，让学生在实践中掌握知识，提高他们的学习积极性；3.设置合理的挑战性任务，激发学生的求知欲和竞争意识，推动他们主动学习；4.注重对学生的表扬和鼓励，让他们在学习中感受到成就和自信，增强他们的学习动力。
（三）互动方式
在教学过程中，我将设计以下师生互动和生生互动环节：1.提问与解答：教师提出问题，学生思考并回答，激发学生的思维和表达能力；2.小组讨论：学生分组讨论问题，共同探究解决方案，培养学生的团队合作和沟通能力；3.成果分享：各小组展示讨论成果，其他学生和教师进行评价和反馈，提高学生的交流和评价能力；4.实践操作：学生动手操作教具或数学软件，验证理论知识，培养学生的实践能力。通过这些互动方式，激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度和合作意识。
（二）学习障碍
在学习本节课之前，学生需要具备勾股定理的基础知识，以及立体图形的认识和理解。他们可能存在的障碍主要有：1.对勾股定理的理解不够深入，无法灵活运用到立体图形中最短路程问题的解决上；2.对于立体图形的空间想象能力不足，难以理解和计算复杂立体图形的最短路程；3.在解决实际问题时，缺乏有效的策略和方法，无法将理论知识与实际问题有效结合。
（三）巩固练习
为了帮助学生巩固所学知识并提升应用能力，我计划设计以下巩固练习和实践活动：1.针对本节课的主要知识点，我会设计一些填空题、选择题和答题，让学生在练习中巩固所学知识；2.我会组织学生进行小组讨论，让他们共同解决一些实际问题，如在立体图形中寻找最短路程等；3.我还会让学生利用数学软件或在线工具，如GeoGebra、Desmos等，自己动手操作，验证理论知识，培养他们的实践能力。

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的推导和应用这两个重点。对于难点部分，比如在复杂图形中识别直角三角形，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如通过直尺和三角板在纸上绘制直角三角形，并实际测量勾股定理的应用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的应用，特别是解决最短路径问题。
-重点讲解：
-勾股定理的推导过程及其证明。
-勾股定理在直角三角形中的具体应用，特别是求解最短路径问题。
-通过实际案例，让学生理解勾股定理在实际生活中的重要性。
-举例解释：以直角三角形ABC为例，假设a、b为直角边，c为斜边，讲解如何利用勾股定理（a²+b²=c²）求解斜边长。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理的应用-最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要找两点之间最短距离的情况？”比如从家到学校的最近路线。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径问题的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。

勾股定理中的最短路径问题（一）解题技巧：1、展开几何体的面2、根据“两点之间线段最短”，可知最短路径就是两点间的连线3、用勾股定理计算线段的长度例1、一只蚂蚁从长、宽都是3cm ，高是8cm 的长方体纸盒的A 点沿着纸盒面爬到B 点偷糖吃，则它所行的最短路线的长度是（ ）A 、cm )823(B 、10cmC 、14cmD 、16cm1、如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是（ ）A 、9B 、10C 、24D 、1722、如图，长方体的长为5，宽为3，高为12，点B 离点C 的距离为2，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）A 、119B 、13C 、125+D 、153、如图是一个长为4m ，宽3m ，高2m 的有盖仓库，在其内壁的A 处(长的四等分)有一只壁虎，B 处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎要爬过去吃蚊子的最短路径是（ ）A 、4.8B 、29C 、5D 、223+4、如图，有一圆锥形的粮堆，其主视图是边长为6m 的正三角形ABC ，母线AC 的中点P 处有一老鼠正在全神贯注偷吃粮食。

可爱的小猫咪从B 处沿着圆锥表面对老鼠发起突击，则小猫经过的最短路径是____m勾股定理中的最短路径问题（二）解题技巧：1、先轴对称，再连线，找出最短路径2、用坐标系中的勾股定理221221)()(y y x x d -+-=求出最短路径例1、如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。

他要完成这件事情所走的最短路径是（ ）A 、15kmB 、16kmC 、17kmD 、18km例2、如图，在△ABC 中，AC=BC=4，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC+ED 的最小值是_______1、如图，在平面直角坐标系，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3，3），点C 的坐标为（21，0），且∠B=60°，点P 为斜边OB 上的一个动点，则PA+PC 的最小值是_____________课后作业1、等边三角形ABC 的边长是3，它的面积是_________；如果等边三角形的边长是a 则它的面积是_________2、在平静的湖面上有一枝荷花，高出水面1米。

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对勾股定理解决最短路径问题的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
此外，在学生小组讨论环节，我注意到有些学生在讨论过程中存在依赖思想，不够积极主动。针对这一问题，我将在教学中加强对学生的引导，培养他们独立思考和解决问题的能力。
最后，通过这次教学活动，我认识到教学反思的重要性。在今后的工作中，我将不断总结经验，针对学生的实际情况调整教学方法，以提高教学效果。同时，我也会更加关注学生的反馈，鼓励他们提出意见和建议，共同营造一个良好的教学氛围。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
具体内容包括：
（1）回顾勾股定理，明确其适用范围和条件。
（2）通过实际案例，引导学生发现直角三角形与最短路径的关系。
（3）运用勾股定理求解最短路径问题，总结解题方法。
（4）进行课堂练习，巩固所学知识。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生以下核心素养：
1.数学抽象：通过实际问题，引导学生发现勾股定理在解决最短路径问题中的应用，提高数学抽象能力。

=
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个 长方形，
；ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
则这个长方形的长和宽分别是7和6，
所以走的最短线段是
=
第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一 个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是10和3，
所以走的最短线段是
=
三种情况比较而言，第二种情况最短 答案：
例、如图，长方体的长为
15 cm，宽为 10 cm，高为
20 cm，点B离点C 5 cm,
一只蚂蚁如果要沿着长方
体的表面从点 A爬到点B，
需要爬行的最短距离是多
少？
A
5B
C
20
15
10
本节课结束 同学们，再见！
端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则
蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？
Ａ
２０
Ｃ
A
20
3
23
２
3
2
B
3
AB=25
2 Ｂ
三、正方体中的最值问题
例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
B C
B
A
2
1
D
C
有一个圆柱,它的高
为12cm,底面半径为
3cm,在圆柱外侧A点有 B
D
一只蚂蚁AB=6cm,在
圆柱内测有C,AC=4cm
它想从点A爬到点B ,
C
面爬行的最短路程是 A
多少? (π的值取3)
二、台阶中的最值问题
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分

勾股定理解决最短路径问题陈翠娥教学目标：知识与技能：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。

过程与方法：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念；在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想。

情感态度与价值观：通过有趣的问题提高学习数学的兴趣；在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学。

教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。

教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。

教学准备：纸板做的正方体、长方体和圆柱，幻灯片。

教学过程：一、问题一圆柱体中的最短路径问题（蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律）1、如图在一个底面周长为20cm,高为4cm的圆柱表面，一只在A处的蚂蚁嗅到了放置在的B处位置上的面包，于是它想从A 处爬向B处，想一想，蚂蚁怎么走最近？（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A—→B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.（变式1）有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？（变式2）如图，以A 点环绕油罐建梯子，使它正好落到A 点的正上方B 点处，问梯子最短要多少米？(已知油罐底面周长为12m ，AB 为5m)问题二 正方体中的最短路径问题如图，在棱长为10厘米的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，已知蚂蚁爬行的速度是1厘米/秒，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20秒内从A 爬到B ？问题三、长方体中的最短路径问题在长为5、宽为3、高为4的长方体的右下角A 处有一只蚂蚁，欲从长方体的外表面爬行去吃右上角B 处的食物，问怎样爬行路径最短，最短路径是多少？思维分析和A 相连的面是左面、前面和下面；和B 相连的面是上面、右面和后面.共有六种不同的选择路径 这六种不同选择的路径大小相同吗？ B A CAB思维方法和过程A点前面左面下面上面右面后面B点从A到B走最短路径要走几个面？①前面和右面；②前面和上面；③左面和上面；④后面和左面；⑤后面和下面；⑥右面和下面.二、归纳总结1、圆柱体2、正方体3、长宽高不同的长方体四、小结：这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题。

人教版-八年级数学讲义--最短路径问题-(含解析)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第6讲最短路径问题知识定位讲解用时：5分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，最值问题不仅使学生难以理解，也是中考中的一个高频考点。

本节将利用轴对称知识探究数学史上著名的“将军饮马问题”。

知识梳理讲解用时：20分钟两点之间线段最短C DA BEA地到B地有3条路线A-C-D-B，A-B，A-E-B，那么选哪条路线最近呢？垂线段最短如图，点P是直线L外一点，点P与直课堂精讲精练【例题1】已知点A，点B都在直线l的上方，试用尺规作图在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小，则下列作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据作图的方法即可得到结论．解：作B关于直线l的对称点，连接这个对称点和A交直线l于P，则PA+PB 的值最小，∴D的作法正确，故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄．欲在L上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A． B．C．D．【答案】D【解析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．解：作点P关于直线L的对称点P′，连接QP′交直线L于M．根据两点之间，线段最短，可知选项D铺设的管道，则所需管道最短．故选：D．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．教学建议：学会处理两点在直线同侧的最短距离问题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习】如图，A、B在直线l的两侧，在直线l上求一点P，使|PA﹣PB|的值最大．【答案】见解析【解析】作点A关于直线l的对称点A′，则PA=PA′，因而|PA﹣PB|=|PA′﹣PB|，则当A′，B、P在一条直线上时，|PA﹣PB|的值最大．解：作点A关于直线l的对称点A′，连A′B并延长交直线l于P．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题2】如图，A、B在直线l的同侧，在直线l上求一点P，使△PAB的周长最小．【答案】【解析】由于△PAB的周长=PA+AB+PB，而AB是定值，故只需在直线l上找一点P，使PA+PB最小．如果设A关于l的对称点为A′，使PA+PB最小就是使PA′+PB最小．解：作法：作A关于l的对称点A′，连接A′B交l于点P．则点P就是所要求作的点；理由：在l上取不同于P的点P′，连接AP′、BP′．∵A和A′关于直线l对称，∴PA=PA′，P′A=P′A′，而A′P+BP＜A′P′+BP′∴PA+BP＜AP′+BP′∴AB+AP+BP＜AB+AP′+BP′即△ABP周长小于△ABP′周长．讲解用时：3分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题解这类问题的关键是把两条线段的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．教学建议：把三角形的周长用线段表示出来，通过转化成一条线段利用两点之间线段最短进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】（Ⅰ）如图①，点A、B在直线l两侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA+PB的值最小；（Ⅱ）如图②，点E、F在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PE+PF的值最小；（Ⅲ）如图③，点M、N在直线l同侧，请你在直线l上画出两点O、P，使得OP=1cm，且MO+OP+PN的值最小．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】（I）图①，显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点；（II）图2，作E关于直线的对称点，连接FE′即可；（III）图③，画出图形，作N的对称点N′，作NQ∥直线l，NQ=1cm，连接MQ 得出点O即可．解：（I）如图①，连接A、B两点与直线的交点即为所求作的点P，这样PA+PB 最小，理由是：两点之间，线段最短；（II）如图②，先作点E关于直线l的对称点E′，再连接E′F交l于点P，则PE+PF=E′P+PF=E′F，由“两点之间，线段最短”可知，点P即为所求的点；（III）如图③，作N关于直线l的对称点N′，过N′作线段N′Q∥直线l，且线段N′Q=1cm，连接MQ，交直线l于O，在直线l上截取OP=1cm，如图，连接NP，则此时MO+OP+PN的值最小．讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，题目比较典型，第三小题有一定的难度，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．教学建议：学会作对称点，通过“两点之间线段最短”进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题3】如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，求△CDM周长的最小值.【答案】10【解析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．解：连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S=BC•AD=×4×AD=16，解得AD=8，△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．讲解用时：5分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F 是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.【答案】5【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB ≌△CEB得CE=AD=5，即BF+EF=5．解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=5，即BF+EF=5．故答案为：5．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．教学建议：想办法利用对称的知识将两条线段转化成一条线段，利用垂线段最短进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题4】如图所示，在一条河的两岸有两个村庄，现要在河上建一座小桥，桥的方向与河流垂直，设河的宽度不变，试问：桥架在何处，才能使从A到B的距离最短？【答案】见解析【解析】虽然A、B两点在河两侧，但连接AB的线段不垂直于河岸．关键在于使AP+BD最短，但AP与BD未连起来，要用线段公理就要想办法使P与D重合起来，利用平行四边形的特征可以实现这一目的．解：如图，作BB'垂直于河岸GH，使BB′等于河宽，连接AB′，与河岸EF相交于P，作PD⊥GH，则PD∥BB′且PD=BB′，于是PDBB′为平行四边形，故PB′=BD．根据“两点之间线段最短”，AB′最短，即AP+BD最短．故桥建立在PD处符合题意．讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，要利用“两点之间线段最短”，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题．目前，往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法．教学建议：将3条线段进行转化成一条线段.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】作图题（1）如图1，一个牧童从P点出发，赶着羊群去河边喝水，则应当怎样选择饮水路线，才能使羊群走的路程最短？请在图中画出最短路线．（2）如图2，在一条河的两岸有A，B 两个村庄，现在要在河上建一座小桥，桥的方向与河岸方向垂直，桥在图中用一条线段CD表示．试问：桥CD建在何处，才能使A到B的路程最短呢？请在图中画出桥CD的位置．【答案】见解析【解析】（1）把河岸看做一条直线，利用点到直线的所有连接线段中，垂直线段最短的性质即可解决问题．（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．解：（1）根据垂直线段最短的性质，即可画出这条从草地到河边最近的线路，如图1所示：（2）先确定AA′=CD，且AA′∥CD，连接BA′，与河岸的交点就是点C，过点C作CD垂直河岸，交另一河岸于点D，CD就是所求的桥的位置．如图2，讲解用时：4分钟解题思路：此题考查了垂直线段最短的性质的在解决实际问题中的灵活应用，解题的关键是灵活运用垂直线段最短的性质作图．教学建议：掌握求最短路径的几种基本题型和方法.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题5】如图，MN是等边三角形ABC的一条对称轴，D为AC的中点，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD最小时，∠PCD的度数是多少？【答案】30°【解析】由于点C关于直线MN的对称点是B，所以当B、P、D三点在同一直线上时，PC+PD的值最小解：连接PB．由题意知，∵B、C关于直线MN对称，∴PB=PC，∴PC+PD=PB+PD，当B、P、D三点位于同一直线时，PC+PD取最小值，连接BD交MN于P，∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴PA=PC，∴∠PCD=∠PAD=30°讲解用时：3分钟解题思路：此题考查了线路最短的问题、等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题.难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】已知，如图△ABC为等边三角形，高AH=10cm，P为AH上一动点，D为AB的中点，则PD+PB的最小值为多少？【答案】10cm【解析】连接PC，根据等边三角形三线合一的性质，可得PC=BP，PD+PB要取最小值，应使D、P、C三点一线．解：连接PC，∵△ABC为等边三角形，D为AB的中点，∴PD+PB的最小值为：PD+PB=PC+PD=CD=AH=10cm．解题思路：此题主要考查有关轴对称﹣﹣最短路线的问题，注意灵活应用等边三角形的性质．教学建议：学会转移对称线段，利用垂线段最短进行解题.难度： 3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题6】如图，∠AOB的内部有一点P，在射线OA，OB边上各取一点P1，P2，使得△PP1P2的周长最小，作出点P1，P2，叙述作图过程（作法），保留作图痕迹．【答案】见解析【解析】作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．解：如图，作点P关于直线OA的对称点E，点P关于直线OB的对称点F，连接EF交OA于P1，交OB于P2，连接PP1，PP2，△PP1P2即为所求．理由：∵P1P=P1E，P2P=P2F，∴△PP1P2的周长=PP1+P1P2+PP2=EP1+p1p2+p2F=EF，根据两点之间线段最短，可知此时△PP1P2的周长最短．解题思路：本题考查轴对称﹣最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】知识拓展：如图2，点P在∠AOB内部，试在OA、OB上分别找出两点E、F，使△PEF周长最短（保留作图痕迹不写作法）【答案】见解析【解析】作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F．此时△PEF周长有最小值；作图如下：讲解用时：3分钟解题思路：题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出对称点的位置是解题关键．教学建议：此类问题的解题技巧是做对称点，做定点关于动点所在直线的对称点.难度： 4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题7】如图，∠AOB=30°，点P是∠AOB内一点，PO=8，在∠AOB的两边分别有点R、Q（均不同于O），求△PQR周长的最小值．【答案】【解析】根据轴对称图形的性质，作出P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，根据两点之间线段最短得到最小值线段，根据等边三角形的性质解答即可．解：分别作P关于OA、OB的对称点M、N．连接MN交OA、OB交于Q、R，则△PQR符合条件．连接OM、ON，由轴对称的性质可知，OM=ON=OP=8，∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×30°=60°，则△MON为等边三角形，∴MN=8，∵QP=QM，RN=RP，∴△PQR周长=MN=8，讲解用时：5分钟解题思路：本题考查了轴对称﹣最短路径问题，根据轴对称的性质作出对称点是解题的关键，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质的灵活运用．教学建议：对称之后，角度也是相同的，做定点关于动点所在直线的对称点. 难度： 4 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2018【练习】如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10，OA上有一点Q，OB上有一定点R．若△PQR周长最小，求它的最小值．【答案】10【解析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF 与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR=EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．解：设∠POA=θ，则∠POB=30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME=PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF=PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ=QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR=RP，∴△PQR的周长=EF．∵OE=OF=OP=10，且∠EOF=∠EOP+∠POF=2θ+2（30°﹣θ）=60°，∴△EOF是正三角形，∴EF=10，即在保持OP=10的条件下△PQR的最小周长为10．故答案为：10．讲解用时：4分钟解题思路：本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．教学建议：做定点关于动点所在直线的对称点，利用轴对称的性质进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018课后作业【作业1】如图，在铁路l的同侧有A、B两个工厂，要在铁路边建一个货场C，货场应建在什么地方，才能使A、B两厂到货场C的距离之和最短？【答案】见解析【解析】作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，交l于点C，则点C即为所求点．解：如图所示：讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业2】用三角板和直尺作图．（不写作法，保留痕迹）如图，点A，B在直线l的同侧．（1）试在直线l上取一点M，使MA+MB的值最小．（2）试在直线l上取一点N，使NB﹣NA最大．【答案】见解析【解析】（1）作点A关于直线l的对称点，再连接解答即可；（2）连接BA，延长BA交直线l于N，当N即为所求；解：（1）如图所示：（2）如图所示；理由：∵NB﹣NA≤AB，∴当A、B、N共线时，BN﹣NA的值最大．讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业3】如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=6，点F 是AD边上的动点，求BF+EF的最小值.【答案】6【解析】过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小，证△ADB ≌△CEB得CE=AD=6，即BF+EF=6．解：过C作CE⊥AB于E，交AD于F，连接BF，则BF+EF最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BF+EF=CF，∵等边△ABC中，BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），∴C和B关于直线AD对称，∴CF=BF，即BF+EF=CF+EF=CE，∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB和△CEB中，∵，∴△ADB≌△CEB（AAS），∴CE=AD=6，即BF+EF=6.讲解用时：3分钟难度： 3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业4】如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB=30°，OP=8cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则求△MPN周长的最小值【答案】8【解析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=8cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=8cm．∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=8cm．故答案为：8．讲解用时：3分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018。

勾股定理之最短路径
专题训练在直角三角形中来自两条直角边的平方和等于斜边 1、勾股定理： 的平方
2、求下列直角三角形的未知边的长
x 3
B
16
x
C
5
20
A
X= 4 34
X= 12
勾股定理求线段长应注意什么呢?
1、如图，长方体长宽高分别为1m,3m,6m, （1）如果一条细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达B 点， 那么所用细线最短为多少米？
这个环节拓展提升的题目稍有难度，是空间与平面相结合。
如下图，如果长方体是一个长为40cm,宽为30cm,高为120cm的 盒子，把一根竹竿放进去，竹竿最大长度是多少呢？
C B
A
必做：如下图，如果长方体是一个长为40cm,宽为30cm,高为 120cm的盒子，把一根竹竿放进去，竹竿最大长度是多少呢？
A
2
B 2、如图，是一个三级台阶，它的每一级 的长宽高分别为2m,0.3m,0.2m,A和B是 台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁， 想到B点去吃可口的实物，问蚂蚁沿着台 阶爬行到B点的最短路程是多少？
如图四边形ABCD为一长方形场地， AB=3.4米，AD=3米，如图堆放一根长 方体的木块，木块的棱EF与长方形场地 的边AD平行，木块的截面为边长为0.2 米的正方形，蚂蚁从A处到达C处所走的 最短路程为多少呢？
B 6cm
3CM 1CM 3CM 1CM
B
6CM
A
3cm
1cm
A
B 6CM
A 3CM
1、如图，长方体长宽高分别为1m,3m,6m,
（1）如果一条细线从点A开始经过四个侧面缠绕
一圈到达B 点，那么所用细线最短为多少米？

胆披肝报家园 公外襄田垄，内重家道，严于教子，以身示范，邻里景仰。
天有不测风云，地有无端变故，人岂能避祸灾？公元一千九百九十年农历十月二十二日，公寝矣，时值壮年！
（A）3
（B） √5 （C）2
贤妻梦圆，方奠安居乐业之基。
（D）1
例1、如图是一个三级台阶，它的则每一所级走的长的宽最和高短分线别为段20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，
想（到A）B点3 去吃可（口B的）食√5物，则（蚂C）蚁2是沿着台（阶D面）爬1 到B点最短路程是多少？
=
第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一挽联缅怀，联曰： 天孰有道，可怜幼出寒门含辛茹苦拚事业 地岂瞒情，无愧心连集体沥
父 述 传 ， 欣 然承应 ，以表 缅怀， 寄字天 堂，遥 祝寝安 ！
蚂蚁A→B的路线
方案(2)
A’
B
A B
A
A
怎样计算AB？
A r O B 无钱无帮，即少请帮工，压减开支，片刻不歇，自行张罗。
第二种情况’ ：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
检测题一：如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（ ） 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，
贤妻梦圆，方奠安居乐业之基。
则这个长方形的长和宽分别是10和3， 忠心耿耿，常持赤子情怀。
A 此番情景，孰可忘怀？ 公虽家境贫寒，但强而不怠，白手起家，兴室创业。
公之此世，正义凛然，挺身于危重之处。
浑身之正气，满脑之机灵，始得基层组织赏识，并于一千九百六十四年为党之一员。
后有人感公盛年早逝、业绩昭昭，作挽联缅怀，联曰： 天孰有道，可怜幼出寒门含辛茹苦拚事业 地岂瞒情，无愧心连集体沥

8cm的长方体牛奶盒，现在A处有一只蚂蚁，想
沿着长方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬
行的最短距离是多少？ B (1)点A处在几个面 上？ 点B呢？
牛奶盒
A 10cm
8cm (2)蚂蚁从点A到点B至 少要经过几个面？分别
6cm 有哪些情况？ (3)如何展开长方体？
B3 解：由题意知有三种展开方法， 如图.由勾股定理得
B1 B
AB12 102 6 82
296 2 74
AB2 82 10 62
8
B2
320 8 5
AB3 62 10 82
A
10
360 6 10
6
∴AB1＜AB2＜AB3.
∴小蚂蚁完成任务的最短
路程为AB1，长为2 74 cm.
拓展提升
若长方体的长，宽，高分别为a，b 和c，且a>b>c,则沿长方体表面从A到 Cˊ所走的最短路程是
归纳总结
二、数学思想： 立体图形
转化 展开
转化思想
平面图形
课后作业
1.如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有 一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，
求蚂蚁爬行的最短距离是多少. B
A 2.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒 形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如 图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
（2）这条“径路”长 5 米,他们少走了 4
为1米)A？
Байду номын сангаас
别踩我,我怕疼 A
疼
!
步(设两步
C
B
C
B
研学问题

B
C
B
A
A
B
A
变式
一只蚂蚁从距底面1cm的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C A
B
A
B
A
台阶中的最短路线问题 例2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
证明：过A作AE⊥BC于E D 在Rt △ADE中， AD2=AE2+DE2 在Rt △ABE中， AB2=AE2+BE2 ∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2) ∵AB=AC，∴BE=CE
B
E
C
= DE2- BE2 = (DE+BE)· ( DE- BE) = (DE+CE)· ( DE- BE) =BD· CD
17、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿 着东方向和南方向回家，若小红和小颖行走的速 度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20 分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ C ）
A、600米
C、1000米
B、800米
D、不能确定
18、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米， 那么斜边上的高是 （ D ）
10
C
长方体中的最短路线问题
例4、如果盒子换成如图长为3cm，
宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁 沿着表面需要爬行的最短路程又是多 少呢？
B
A
分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有 多少种情况？ B
(1)经过前面和上面; (2)经过前面和右面; (3)经过左面和上面.

蜗牛爬行的最短路程是线段AC的长
C. S
Ｃ是 SA的中点 \ SC＝５ 在 Rt DSAC中，根据勾股定理得：
２ AC= AS２＋ SC２＝ 10２＋５＝５ ５
A
C B
则，蜗牛爬行的最短路程是５ ５ 。
归纳小结
请互相谈一谈你 的收获！
分层作业
练习册 第三课时
必做题：基础知识 选做题：能力提升
教师寄语
B
A
归纳分享
在解决一些立体图形的最短路径问 题时，常常将这个立体图形展开成一个 平面图形，然后利用 “ 两点之间，线段 最短 ” 来解决。通常以最短路线为边构 造直角三角形，利用勾股定理求解。
当堂达标
1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别 50cm,30cm.10cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点 上有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你想一想， 这只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬到B点，至少需爬（ C ）
数学问题我们可以寻找最短路径， 然而学习从来无捷径，循序渐进登高 峰。老师祝愿所有的同学，在学习之 路攀登上自己的高峰！
情境导入
在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上 与A点相对的B点处的食物，怎样爬行走的路程最短呢？
B
第十七章
勾股定理
利用勾股定理解决最短路径问题
学习目标 1、通过探究平面图形和立体图形中最短路
径问题，掌握利用勾股定理解决最短路
径问题的方法。
2、体会类比、数形结合的数学思想方法。
知识梳理
4
步路（假如2步为，却才伤
A 3cm
“路”
C 4cm B
平面中的最短路径问题
例2、如图，在正方形ABCD中，AB边上有一点E，AE=3， EB=1，在AC上有一点P，求EP+BP的最短长度。

探究 如图，以Rt△ 的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 、S2、S3，请同学们想一想
S1 、S2、S3 之间有何关系呢？
S2 + S3 =a2+b2
S1=c2
B
S1c a S2
b
A S3 C
∵a2+b2=c2
S2 + S3 = S1
探究S1、S2、S3之间的关系
S2

S3

1 2


a 2
2

1 2


b 2
2
1 a2 1 b2
8
8
S1

1 2


c 2
2

1
8
c2
由勾股定理得 a2+b2=c2
∴S2+S3=S1
S2
c
SS3 2
A
S1
S1
动手操作：例2如图，Rt△ABC中
，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别 以AB、BC、AC为直径作三个半圆 ，那么阴影部分的面积为__24_ .
A
E
D
B
F
C
A
A =625
225
400
81
B =144
225
2、如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形，所 有的三角形都是直角三角形 ，其中最大的正方形的边长 是8厘米，则正方形A，B， C，D的面积之和是 __6_4_____平方厘米
利用勾股定理解决平面几何问题3——折叠中的计算问题
能算好算直接算，不能算不好算，设未知数，列方程(勾股定理、全等、相似等）
利用勾股定理解决平面几何问题1— —最短路径问题