运动学问题巧解

巧选参考系求解运动学问题作者：杨志宇来源：《中学生理科应试》2014年第11期学生在解决运动学问题时，受思维定势的影响，习惯性的选择了地面为参照系，思路大受限制.解答物理问题时若能巧妙地选取参考系，则可使解题过程大为简化，不但能够快速解题，也达到了训练思维的目的.下面例举几例，以求抛砖引玉.一、巧选参考系化繁琐为简洁有些运动学物理问题，情景复杂，学生处理时难度较大，如果巧妙的选择参考系，则可以将问题由繁琐的命题情景转化为明了的情景，从而使问题简洁明了.例1某人划船逆流而上，当船经过一桥时，船上一小木块掉在河水里，但一直航行至上游某处时此人才发现，便立即返航追赶，当他返航经过1小时追上小木块时，发现小木块距离桥有5400米远，若此人向上和向下航行时船在静水中前进速率相等.试求河水的流速为多大？解析选水为参考系，小木块是静止的；相对水，船以恒定不变的速度运动，到船“追上”小木块，船往返运动的时间相等，各为1 小时；小桥相对水向上游运动，到船“追上”小木块，小桥向上游运动了位移5400 m，时间为2小时.易得水的速度为0.75 m/s.二、巧选参考系化曲线为直线曲线运动是运动学中的难点问题，其实在有些物理问题的处理上，选择恰当的参考系，往往可以使一些曲线运动转化为直线运动.图1例2如图1所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机以水平速度v1发射一颗炮弹欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹拦截.设拦截系统与飞机的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足（）.A.v1=v2B.v1=Hsv2C.v1=HSv2D.v1=sHv2解析若以地面为参考系，飞机所发射的炮弹为曲线运动，对于曲线运动的相遇问题，学生陌生，易错.若以做自由落体运动的为参考系，飞机所发炮弹所做运动为向右匀速直线运动，速度为v1拦截系统所发炮弹做竖直向上的匀速运动，速度为v2.显而易见，D正确.三、巧选参考系化高维为低维例3在空中某点以相同的速率v同时分别竖直向上、向下，水平向左，水平向右抛出四个小球，不计空气的阻力，在小球落地前，以四个小球所在的位置为顶点构成的图形是（）.A.任意四边形B.长方形C.菱形D.正方形解析本题四个小球的运动是三维的，学生分析起来，毫无头绪，混乱猜题，造成错解.其实若选四个小球的质心O为参考系，质心O在竖直方向做自由落体运动，则每个小球都做匀速运动，运动的速度都为v.这样小球的运动由三维转化为二维，从而使问题得以简化.相同时间内每个小球的位移相同，且水平小球连线与竖直小球连线是垂直的，且是相等的，所以可知构成的图形是正方形.四、巧选参考系化多体为单体一些运动学问题，常常是几个物体一起运动，这样使情景复杂，学生一般会因考虑不周造成错解，如果巧妙选择参考系，往往可以使多体运动转化为单体运动.例4A、B两点相距L，甲、乙两物体分别同时从A、B两点开始以速率v做匀速直线运动，甲物体沿A、B连线自A向B运动，乙物体沿与A、B连线的夹角为θ的方向运动，如图2所示.求甲乙两物体经过多长时间相距最近？最近距离是多少？。

巧用t v -图象分析运动学问题例题一：（2006年高考全国卷）一水平的深色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。

初始时，传送带与煤块都是静止的。

现让传送带以恒定的加速度0a 开始运动，当其速度达到0v 后，便以此速度做匀速运动。

经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。

求此黑色痕迹的长度。

下面是解题过程：根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a 小于传送带的加速度0a 。

根据牛顿定律，可得ga μ= ①设经历时间t ，传送带由静止开始加速到速度等于0v ，煤块则由静止加速到v ，有ta v 00= ② atv =③由于0a a <，故0v v <，煤埠继续受到滑动摩擦力的作用。

再经过时间't ，煤块的速度由v 增加到0v ，有'0at v v +=④此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。

设在煤埠的速度从0增加到0v 的整个过程中，传送带和煤埠移动的距离分别为0s 和s ，有'210200t v t a s +=⑤ av s 22=⑥传送带上留下的黑色痕迹的长度s s l -=0⑦由以上各式得()gga g a v l 00202μμ-=⑧下面我们用t v -图象进行分析：由于传送带上留下了一段黑色的痕迹，这说明开始运动的时候传送带的加速度0a 大于煤块的加速度a ，传送带的速度先于煤块达到0v 。

二者速度相等后保持相对静止，在整个过程中，传送带与煤块的位移之差就是黑色痕迹的长度。

在同一个t v -图象中分别画出传送带和煤块的运动图象。

在图象中，曲线与时间轴所包部分的面积就是位移的大小。

传送带与煤块位移之差就体现为面积之差（图中阴影部分）。

易知：传送带达到速度0v 所用的时间为tv 0，煤块达到速度0v 所需要的时间是gv μ0。

运动学问题的处理方法怎样合理地选用运动学规律解题呢？首先要根据题意找准研究对象，明确已知和未知条件，复杂的题可画出运动过程图，并在图中标明此位置和物理量。

再根据公式特点选用适当的公式或推论解题。

如果题目涉及不同的运动过程，则重点要寻找各段运动的速度、位移、时间等方面的关系。

在解决这类问题时如果巧用图像法、巧选参考系等方法会使问题变得简单易解，这需要同学们在今后的实践中逐步体会。

一、 巧用图像解决运动学问题运用s-t 和v-t 图像时，要理解图像的正确含义，看清坐标轴的物理意义。

在具体解决有些问题时，如果能够根据题意画出图像，解题就方便了。

例1一宇宙空间探测器从某一星球的表面垂直升空，宇宙探测器升到某一高度，发动机关闭，其速度随时间变化如图1所示，⑴升空后8秒，24秒，32秒时的探测器运动速度分别是多少？ ⑵探测器所能达到的最大高度是多少？⑶该行星表面的重力加速度是多少，上升加速过程中的加速度是多少？解析：⑴由图像可知升空后，8s,24s,32s 的速度分别是64m/s,0,-32m/s⑵探测器达到的高度，可以从0—24秒内图线与坐标轴围成的面积表示，m s 76822464=⨯=⑶探测器上升加速过程的加速度21/8864s m a ==关闭发动机后仅探测器仅在重力作用下运动，其加速度即为该星球的重力加速度， 则由图像可知222/4/24640s m s m t v a -=-=∆∆=负号表示其方向与运动方向相反。

例2 一个质点沿直线运动，第1s 内以加速度a 运动，位移s 1=10m ，第2s 内以加速度-a 运动，第3s 、第4s 又重复上述的运动情况，以后如此不断地运动下去，当经历T = 100s 时，这个质点的位移是多少？解析：画出质点运动的v –t 图像，如图2所示，由于每1s 内的加速度相等，即每1s 内v-t 图线的斜率相等，因此，图像呈-32O 816 24 3232 64 v/(m.s -2)s/t图1 图2 Vtv 0 O周期性变化，根据图线下方与t 轴的面积等于位移的关系可得m s s 10001001==点评：在解本题时不能设初速度为零。

高中物理用逆向思维巧解运动学问题匀减速运动中的某些问题，用常规解法来解，步骤往往比较多，或似乎无法求解；如改用逆向思维来考虑，不仅能顺利求解，而且步骤也比较简便。

此处所谓逆向思维是把运动的“末状态”当作“初状态”，而把物体的运动逆时间顺序倒过来考虑。

例1：做匀减速直线运动直到静止的物体，在最后三个连续相等的运动时间内通过的位移比是。

解析：初速度为零的匀加速直线运动开始的三个连续相等的时间内通过的位移比为：1：3：5，如把这题中的运动倒过来逆时间顺序考虑，可用上前面的规律，则可得答案为：5：3：1。

例2：一物体以4m/s2的加速做匀减速直线运动直到停止，求物体停止前的第2s内通过的路程。

解析：按常方法考虑似乎缺少条件，无法求解。

如改用逆思维，将物体看成从静止开始做加速度为4m/s2的匀加速运动，它在第二秒内通过的路程与题目所求的物体在静止前的第二秒内通过的路程相等。

则s=at22/2- at12/2=4×22/2- 4×12/2=6m。

例3：一小物体以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点，已知物体由a到e的时间为t0,则它从e 经b再返回e所需时间为[ ]A．t0 B.(2-1)t0 C.2 (2+1)t0 D. (22+1)t0解析：由逆向思维可知物体从b到e和从e到a的时间比为：1：(2-1)；即：t：t0=1：(2-1),得t= (2+1)t0,由运动的对称性可得从e到b和从b到e的时间相等，所以从e经b再返回e所需时间为2t,即2 (2+1)t0，答案为C。

例4：一物体以某一初速度在粗糙的平面上做匀减速直线运动，最后静止下来。

若物体在最初5s内通过的路程与最后5s内通过的路程之比为11：5，求此物体一共运动了多长时间。

解析：由题意可知运动时间大于5s,但比10s大，还是小还是相等，无法确定。

下图是按运动时间大于10s画出的示意图。

设总的运动时间为t，用逆向思维考虑，将物体看成反方向的匀加速直线运动，则有：s2=at22/2=25a/2 (1)s1=at2/2- a(t- t1)2/2 (2)又:s1：s2=11：5 (3)联立（1）、（2）、（3）解得：t=8s。

置换参考系巧解传送带划痕问题一、必备知识1.受力分析(1)“带动法”判断摩擦力方向：同向快带慢、反向互相阻；(2)共速要突变的三种可能性：①滑动摩擦力突变为零；②滑动摩擦力突变为静摩擦力；③方向突变。

2.运动分析(1)参考系的选择：物体的速度、位移、加速度均以地面为参考系；痕迹指的是物体相对传送带的位移。

(2)判断共速以后一定与传送带保持相对静止作匀速运动吗？(3)判断传送带长度--临界之前是否滑出？3.画图画出受力分析图和运动情景图，特别是画好v -t 图像辅助解题，注意摩擦力突变对物体运动的影响，注意参考系的选择。

二.应用技巧(1)已知倾斜传送带的倾角为37°，逆时针转动的速率为10m/s ，如图所示，煤块零时刻轻放在传送带顶端，煤块和传送带动摩擦因数为μ=0.5，传送带电机轮尺寸大小不计，两端电机轮间距离为L =16m ，求煤块运动到传送带下端时传送带上的划痕长度d 和煤块相对传送带的位移x 。

【解析】煤块刚放上传送带时，传送带对煤块的滑动摩擦力方向沿斜面向下，大小为f 1=μmg cos37°运动加速度大小为a 1=mg sin37°+μmg cos37°m =10m/s 2则煤块速度达到传送带速度的时间为t 1=v 0a 1=1s 位移为x 1=v 022a 1=5m 煤块速度达到传送带速度后，传送带对煤块的滑动摩擦力方向沿斜面向上，大小为f 2=μmg cos37°运动加速度大小a 2=mg sin37°-μmg cos37°m=2m/s 2根据运动学公式则有x -x1=v 0t 2+12a 2t 22解得t2=1s则煤块从A端运动到B端所经历的时间为t=t1+t2=2s煤块速度达到传送带速度时，相对位移大小Δx1=v0t1-x1=10-5m=5m物块速度达到传送带后相对位移的大小Δx2=x-x1-v0t2=11-10×1m=1m煤块从A端运动到B端留下的痕迹长度Δx=Δx1=5m煤块从A端运动到B端相对传送带的位移的大小Δx =Δx1-Δx2=4m(2)应用“置换参考系”的方法进行处理以地面为参考系在同一v-t图像中画出煤块和传送带的速度-时间图像，如图1所示以传送带为参考系，v-t图像换参法则：将参考系速度线平移至横轴，如图2所示，由图2可知，以传送带为参考系，0∼1s煤块绕传送带反向运动S1=5m，1∼2s煤块绕传送带正向运动S2=1m，由此可知，煤块在传送带上的划痕重叠了1m，所以煤块从A端运动到B端留下的痕迹长度5m，相对位移为(5-1)m= 4m。

专题运动学典型问题及解决方法【例1】羚羊从静止开始奔跑，经过50m能加速到最大速度25m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60 m的距离能加速到最大速度30m/s，以后只能维持此速度4.0 s.设猎豹距离羚羊xm 时开时攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑，求：猎豹要在从最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围？【例2】高为h的电梯正以加速度a匀加速上升，忽然天花板上一颗螺钉脱落．螺钉落到电梯底板上所用的时间是多少？【例4】甲、乙两车相距S，同时同向运动，乙在前面做加速度为a1、初速度为零的匀加速运动，甲在后面做加速度为a2、初速度为v0的匀加速运动，试讨论两车在运动过程中相遇次数与加速度的关系。

【例5】在空中足够高的某处，以初速度v竖直上抛一小球，t s后在同一地点以初速度v/竖直下抛另一个小球，若使两个小球在运动中能够相遇，试就下述两种情况讨论t的取值范围：（l）0＜v/＜v，（2）v/＞v一、选择题1、下列关于质点的说法，正确的是（）A、只有小的物体才能看作质点B、大的物体也可以看作质点C、任何物体，在一定条件下都可以看作质点D、任何物体，在任何条件下都可以看作质点2、物体从静止开始作匀加速直线运动，第3 s时间内通过的位移为3m ，则（）A、物体前3s内通过的位移是6mB、物体第3s末的速度为3.6m/sC、物体前3s内平均速度为2m/sD、物体第3s内的平均速度为3m/s3、一列火车匀减速进站，停靠一段时间后又匀加速（同方向）出站。

在如图所示的四个v-t图象中，正确描述了火车运动情况的是（）4、关于自由落体运动，正确的说法是（）A、自由落体运动是一种匀变速运动B、自由落体的快慢与物体质量的大小有关C、在地球表面上各处，物体自由落体运动的加速度大小相等D、在地球表面上经度较大处，物体自由落体运动的加速度较大5、某质点作直线运动，速度随时间的变化的关系式为v =（2t + 4）m/s ，则对这个质点运动描述，正确的是（）A、初速度为4 m/sB、加速度为2 m/s2C、在3s末，瞬时速度为10 m/sD、前3s内，位移为30 m6、关于加速度的概念，以下说法中正确的是：A．物体运动加速度的方向与初速度方向相同，物体的运动速度将增大B．物体运动加速度的大小表示了速度变化的大小C．加速度的正负表示了物体运动的方向D．做匀变速直线运动的物体速度增大的过程中，它的加速废一定为正值7、如图展示的四个图象分别是反映物体在不同的运动过程中速度v、位移s、加速度a随时间t变化的图象，由此可以推断出物体受到的外力的合力为零的是：A．加速度越来越小B．加速度方向总跟运动方向相反C．位移随时间均匀减小D．速度随时间均匀减小9、甲、乙两辆汽车在同一水平公路上做直线运动，若在描述它们运动情况时规定甲的运动方向为正方向，得出它们运动的加速度分别为a甲= 0.4 m／s2，a乙= −0.4 m／s2。

用“转化法“巧解物理题在运动学问题解题过程中，当按正常解法求解有困难时可通过转化法变换思维方法，使人产生“柳暗花明又一村“之感。

常用的转化方式有五种：①正逆转化，②数形转化，③参考系转化，④数形转化，⑤图形转化。

通过这五种思维转化，通过这五种思维转化，可以使解题思路上一台阶。

一、正逆转化将匀减速直线运动通过“正逆转化“变为初速为零匀加速直线运动，利用初速度为零的匀加速直线运动学的比例性质可以使问题获得巧解。

例一、如图所示，三块完全相同的木块固定在地板上，一初速度为v的子弹水平射穿长三块木块后速度恰好为零，设木块对子弹的阻力不随子弹的速度的谈及进入木块的深度而变化，求子弹分别通过三木块的时间之比。

二、动静转化选相对运动中的一个物体为参考系，可使运动规律的选择和解题思路发生很大的变化。

例题二、A、B两棒均长为1m，A棒悬于天花板上，B棒与A棒在一条竖直线上，A 棒的下端与B棒的上端之间相距20m，如图所示，某时刻烧断悬挂A棒的绳子，同时将B棒以020/v m s =的初速度竖直上抛。

忽略空气阻力，且210/g m s =,试求：（1）A 、B 两棒出发后何时相遇？（2）A 、B 两棒相遇后，交错而过需要多少时间？解法一：（1）以地面为参考系，设经过时间1t 两棒开始相遇。

A 棒下落的位移： 2112A h gt = ①B 棒上升的位移：201112B h v t gt =- ②A B h h L += ③联立①②③得1020120/L m t s v m s=== 即开始运动1s 后两棒开始相遇。

（2）从抛出到交错而过所用的时间为：20222 1.120/L l mt s v m s+=== 方法二：参考系转化，由于A 、B 两棒均受重力作用，它们间由于重力引起的速度改变相同，它们间只有初速度的不同导致相对运动，故选A 棒为参考系，则B 棒相对A 棒做速三、参考系的转化选取不同的参考同一运动时，物体的运动情况是不同的，但这不影响问题的答案，所以在解决问题时，适当选取坐标系，可以使问题的解答变得容易，但如何选取，应视问题的方便程度和自己的理解能力而定。

用分离法速解选择题冉文明解选择题时，应重视把知识与实践相结合，灵活运用各种方法，如排除法、赋值法、极值法、分离法等等，则能达到化繁为简，化难为易的目的，这些方法能让学生从另一种思维中快速找到答案，而且学生更容易理解。

其中分离法，就是将多个相互关联的研究对象分离成多个单独的对象进行研究，或将一个研究对象分离成几个部分单独研究，各个击破，使问题得以简化，达到快速解题的目的。

例1. 一艘载有石块的小船浮在一水池里，如果把石块投入水中，则池中水面如何变化？A. 升高B. 降低C. 不变D. 无法判断解析：本题按严格的逻辑与解法应先求出投入前后的排开体积来比较，即：投入前：船与石块处于漂浮状态，有F G G V g G G V G G g 浮船石水排船石排船石水，（）=+=+=+ρρ1投入后：石块下沉，排开的体积就是石块的体积V V V G g G g '排船排石船水石石，（）=+=+ρρ2比较（1）、（2）两式，由于ρρ石水排排，>>V V '所以水面降低。

此解法逻辑性强，但学生对无数据题往往无从下手，如果采用分离法，则会显得简单，更易理解。

我们假设开始石块用一根绳吊在船下，这与放在船中排开的总体积应该是一样的，现在将船和石块分开，即将绳子剪断，石块下落并不影响水面高低，而船由于少一个石块向下的拉力而上浮一些，排开水的体积减少，所以水面降低。

例题2. 如图所示，三个容器中装有适量的液体，当温度升高时，不考虑液体蒸发和容器的膨胀，容器底部的压强将：图1：______________，图2：______________，图3：_______________。

A. 增大B. 减小C. 不变D. 无法判断解析：此题图1由于温度变化前后液体重力不变，底面积不变，所以压强不变，关键是图2和图3，下面本人以图2为例，用分离法来解答，为了说得清楚，我们用画图来加以说明。

如图4所示，假设我们用一大小可忽略的圆筒形物体将容器中的液体分成两部分，中间为圆柱体，外面是上大下小的环形锥体，现在温度升高，圆筒内的液体升高至h2处，外面由于是锥形，所以在同样的膨胀度下上升得低一点，上升到h3处，如果将分隔的圆筒去掉，则筒内水面会降一点，外面水面上升一点，，如温度升高后液体密度为ρ，则温度升高后的压强为ρgh1。

巧解追及相遇问题四法临界法：寻求问题中隐含的条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两侧物体相等时有最大距离；物体大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。

函数法：思路一：先求出在任意时刻t 两物体间的距离y=f （t ），若对任意时刻t ，均存在0y f t =>（），则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t ，使得0y f t =≤（），则这两个物体能相遇思路二：设两个物体在t 时间相遇，然后根据位移关系列出关于t 的方程0f t =（），若方程0f t =（）无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程0f t =（）存在正实数解，说明这两个物体能相遇图像法：（1）若用位移图像法求解，分别作出两个物体的位移图像，如果两个物体的位移图像相交，则说明两物体相遇（2）若用速度图像求解，则注意比较速度图线与时间轴所包围的面积相对运动法：用相对运动的知识求解追及问题时，要注意将两个物体对地的物理量（速度、加速度和位移）转化为相对的物理量，在追及问题中，常把被追物体作为参考系，这样追赶物体相对被追赶物体的各物理量即可表示为：x x x =-后相对前，v v v =-后相对前，a a a =-后相对前，且式中各物理量（矢量）的符号都江堰市应以统一的正方向确定例1在水平轨道上有两列火车A 和B 相距x ，A 车在后面做初速度为0v 、加速度大小为2a 的匀减速直线运动，而B 车同时做初速度为零、加速度大小为a ．的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞，求A 车的初速度0v 满足的条件．运动过程如图所示解法一 临界法：利用位移公式，速度公式求解，对A 车有201'2)'2A x v t a t =+-(，02'A v v a t =+-() 对B 车有21'2B x a t =)，'B v at = 两车的位移关系有A B x x x =-追上时，两车不相撞的临界条件是A B v v =联立发上各式解得0v =故要使两车不相撞，A 车的初速度0v 应满足条件是0v ≤解法二 函数法利用判别式求解，由解法一可知A B x x x =+ 即22011'(2a)t''22v t x at +⨯-=+ 整理得203'2'20at v t x -+=这是一个关于时间t'的一元二次方程，当根的判别式20(2)4320v a x ∆=-⨯⨯<，t'无实数解，即两车不相撞.所以要使两车不相撞，A 车的初速度0v 应满足的条件是0v ≤解法三 图像法利用速度—时间图象求解，先作A 、B 两车的v —t 图象，其图象如图所示，设经过t'时间两车刚好不相撞，则对A 车有0'2'A v v v at ==-对B 车有''B v v at ==以上两式联立解得0'3v t a= 经't 时间两车发生的位移之差为原来两车距离x ，它可用图中的阴影 面积表示，由图可知2000011'2236v v x v t v a a===故要使两车不相撞，A 车的初速度0v 应满足条件是0v ≤解法三 相对运动法（巧选参考系）巧选参考系求解，以B 车为参考系，A 车的初速度为0v ，加速度a ′=-2a-a=-3a .A 车追上且刚好不相撞的条件是：0v =，这一过程A 车相对B 车的位移为x .由运动学公式2202v v ax -=得，22002(3)v a x -=-，所以0v =故要使两车不相撞，A 车的初速度0v 应满足条件是0v ≤例2在同一水平面上，一辆小车从静止开始以21m/s 的加速度前进，在车后后相距025x m =处，与该车运动方向相同某人同时开始以6m/s 的速度匀速追车，问能否追上？若追不上，人、车的最小距离为多少? 作出运动过程示意图，如图所示解法一 临界法人的速度只要大于车的速度，两者的距离就越来越小，人的速度小于车的速度，两者的距离就越来越大，那么，当两车速度相等时，两者的距离最小。