应用图象巧解运动学问题

十一、运用图像解决综合题㈠关于位移图像：物理意义1．可以读出任意时刻的位移2．可以读出发生任意位移所用的时间3．tan α＝v㈡关于速度图像：物理意义1．可以读出任意时刻的速度2．可以读出任意速度所对应的时刻3．“面积”对应的是物体的位移4．tan α＝a【例1】某物体运动的位移—时间图像如图所示，则物体( ) A．往复运动B．匀速直线运动C．朝某一方向直线运动D．不能确定物体的运动情况运用图像法处理运动学问题【例2】在图给出的四个图象中，表示物体做初速度为0的匀加速直线运动的是( )【例3】下图为A、B两只棕熊在野外沿直线散步的位移-时间图象。

由图可知下列说法正确的是( )A．在这一小时内，A熊的平均速度较大B．在t＝10.0min时刻，B熊的速度较大C．A熊的速度总是沿着一个方向D．B熊的速度总是沿着一个方向【例4】如图为三个做直线运动物体的速度－时间图象。

下列说法中正确的是( )A．A物体做减速直线运动B．B物体做匀加速直线运动C．C物体做加速直线运动D．在0～t1时间内，C物体的平均速度最大【例5】(08西城期末)汽车由甲地开出，沿平直公路开到乙地时，刚好停止运动。

它的速度图象如图所示。

在0－t0和t0－3t0两段时间内，汽车的( )A．加速度大小之比为2︰1 B．位移大小之比为1︰2C．平均速度大小之比为2︰1 D．平均速度大小之比为1︰1【例6】(2009年全国卷Ⅱ)两物体甲和乙在同一直线上运动，它们在0～0.4s时间内的v-t图象如图所示。

若仅在两物体之间存在相互作用，则物体甲与乙的质量之比和图中时间t1分别为( )A．13和0.30s B．3和0.30sC．13和0.28s D．3和0.28s【例7】物体由静止开始沿斜面滑下，做匀加速直线运动，在4s末到达斜面底端，然后在水平面上做匀减速直运动，在8s末停止运动。

则物体在斜面上的位移和水平面上的位移大小之比是( )A．1∶1 B．1∶2C．1∶3 D．1∶4【例8】以v0＝12m/s的速度匀速行驶的汽车，突然刹车，刹车过程中汽车以a＝-6m/s2的加速度继续前进，则刹车后( )A．3s内的位移是12m B．3s内的位移是9mC．1s末速度的大小是6m/s D．3s末速度的大小是6m/s【例9】物体由静止开始作直线运动，先匀加速运动了4秒，又匀速运动了10秒，再匀减速运动6秒后停止，它共前进了1500米，求它在整个运动过程中的最大速度。

用图象巧解运动学难题重庆黔江新华中学校（409000）王锋业运动学中和问题求解一般是根据题设条件和运动学规律列方程联立求解，可有时显得繁琐，但如用位移时间图象或速度时间图象求解却能取得良好的效果。

例1、甲乙两人同时从A 地出发往B 地，甲在前一半时间以速度v 1行驶，在后一半时间以速度v 2行驶，乙在前一半路程以速度v 1行驶，在后一半路程以速度v 2行驶，（v 1≠v 2）．则下列说法正确的是（ ） A 、甲先到达B 地， B 、乙先到达B 地；C 、甲乙同时到达B 地，D 、无法确定谁先到达B 地 。

常规解法：．将A 、B 两地间的距离看成S ，再设甲从A 地出发到达B 地所用的时间为t 1，乙从A 地出发到达B 地所用的时间为t 2，分别列出t 1和t 2的表达式，最后作商比较它们的大小即得。

112v t +212v t =S ，2t =12v S +22v S ，()212221212212121244/v v v v v v v v v v t t ++=+=＜1。

即t 1＜t 2故选A ．（因为v 1≠v 2，所以2221v v +﹥212v v ）。

做差比较亦可，但更麻烦一些。

点评：这道题主要考查函数知识的运用，要求有较高的数学处理能力。

下面我们用图象法来解，先做出S —t 图象，我们很容易得问题的答案是t 1＜t 2。

这里我们做出的是v 1＜2v 的情况，若做出v 1>2v 的情况同样可得结论。

做v 1>2v 情况下的t v -图象（见图示）也不难得出结果。

更为有趣的这道题可能小学生 直接用思维的方法就可得出结 果，因为用一半时间跑高速比 用一半路程跑高速用的总时 间要少。

用特值法也非常简便。

（v 1＜2v 的情况请您做做看！）1t21t 图2t2tO2v1vv ot 1/2 甲 乙t 1 t 2 tSS/2S图1特别提示：S —t 图象一般用来描述直线运动，直线的斜率表示速度的大小；而tv -图象图象中直线的斜率表示加速度的大小，而图线与横轴、纵轴所围成的面积表示例2、如图3所示，长为1.4m 木板置于光滑的水平面上,木板的质量为4kg,在其上右端放一可视为质点的小滑块,质量为1 kg,滑块与木板间的动摩擦因数为0.4，现用28N 的力拉木板，问当滑块滑下时力F 作用的时间至少是多少？解析：受力情况见图3，要使力F 的作用时间最短，必然是力F 作用一段时间后撤去，实现先加速后减速达到与滑块共同速度时滑下，且刚好满足位移之差大于等于L 。

巧用t v -图象分析运动学问题例题一：（2006年高考全国卷）一水平的深色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ。

初始时，传送带与煤块都是静止的。

现让传送带以恒定的加速度0a 开始运动，当其速度达到0v 后，便以此速度做匀速运动。

经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动。

求此黑色痕迹的长度。

下面是解题过程：根据“传送带上有黑色痕迹”可知，煤块与传送带之间发生了相对滑动，煤块的加速度a 小于传送带的加速度0a 。

根据牛顿定律，可得ga μ= ①设经历时间t ，传送带由静止开始加速到速度等于0v ，煤块则由静止加速到v ，有ta v 00= ② atv =③由于0a a <，故0v v <，煤埠继续受到滑动摩擦力的作用。

再经过时间't ，煤块的速度由v 增加到0v ，有'0at v v +=④此后，煤块与传送带运动速度相同，相对于传送带不再滑动，不再产生新的痕迹。

设在煤埠的速度从0增加到0v 的整个过程中，传送带和煤埠移动的距离分别为0s 和s ，有'210200t v t a s +=⑤ av s 22=⑥传送带上留下的黑色痕迹的长度s s l -=0⑦由以上各式得()gga g a v l 00202μμ-=⑧下面我们用t v -图象进行分析：由于传送带上留下了一段黑色的痕迹，这说明开始运动的时候传送带的加速度0a 大于煤块的加速度a ，传送带的速度先于煤块达到0v 。

二者速度相等后保持相对静止，在整个过程中，传送带与煤块的位移之差就是黑色痕迹的长度。

在同一个t v -图象中分别画出传送带和煤块的运动图象。

在图象中，曲线与时间轴所包部分的面积就是位移的大小。

传送带与煤块位移之差就体现为面积之差（图中阴影部分）。

易知：传送带达到速度0v 所用的时间为tv 0，煤块达到速度0v 所需要的时间是gv μ0。

例说用图象法巧解运动学难题运动图象能形象、直观反映物体的运动情况.建立合适的坐标系，深入理解并学会利用截距、交点、斜率、面积等物理意义，常是破解一些运动学难题锦囊妙计，甚至可以解决一些用解析法在中学阶段不能解决的问题。

下面略举几例。

例1 在地面上以初速度v 0竖直上抛一物体A 并开始计时，经时间△t ，又以相同初速度v 0竖直上抛另一物体B ，二者能在空中相遇，求到相遇的时间t=?（不计空气阻力）【解析】：先用解析法求解：对A 有：2021gt t v s A -=， 对B 有：20)(21)(t t g t t v s B ∆--∆-= 到相遇时有：B A s s =，联立解得：t g v t ∆+=210. 再用位移——时间图象求解：做出A 、B 的s —t 图象，如图所示黑点对应的横坐标值t 即为相遇时间，由对称性知此刻正好是A 、B 到达最高点的中间时刻。

而A 、B 到达最高点的时间差正好等于二者抛出的时间差△t 。

又，A 到达最高点时间为：gv T A 0=. 则到二者相遇时间为t T t A ∆+=21=t g v ∆+210. 拓展：本题作如下变换，留给读者思考：在地面上以初速度2v 0竖直上抛一物体A 并开始计时，经时间△t ，又以初速度v 0竖直上抛另一物体B ，为使二者能在空中相遇，则二者抛出的时间间隔△t 应满足什么条件？（不计空气阻力）。

答案：gvt g v 0042<∆<.例2 如图所示，声源S 和观察者A 都沿x 轴正方向运动，相对于地面的速率分别为sv 和A v 。

空气中声音传播的速度为p v 。

设s v ＜p v ，A v ＜p v ，空气相对于地面没有流动。

（1）若声源相继发出两个声信号，时间间隔为t ∆，请根据发出的两个声信号从声源传播到观察者的过程，确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔t '∆。

（2）请利用（1）的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式。

利用图像法巧解直线运动问题◆ 河南省漯河市第一高级中学 任付中图像法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图像，将物理量间的代数关系转变为几何关系，运用图像直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题．图像法在处理直线运动问题时，往往能达到化难为易、化繁为简的效果．下面举例说明．1、利用图像法比较运动时间例１．如图1所示，甲、乙两光滑斜面高度相等，乙斜面由两部分对接而成，其总长度和甲斜面的总长度相等，将两个相同的小球a 、b 分别从两斜面的顶端同时释放，不计在对接处的能量损失，则有A ．两球同时落地B ．b 球先落地C ．a 球先落地D ．无法确定解析：本题可利用v -t 图象法，画法如下：b 球到达转折点之前，b 球的加速度比a 球的加速度大，过转折点后b 的加速度比a 的加速度小，因为a 、ｂ两球运动的路程相同，所以，两条运动折线与横轴所围的面积相等．由机械能守恒定律，二者末速度的大小相同，则两条折线的顶点一样高（图中v m ），根据这些物理量的大小关系，它们的v -t 图象应如图2所示，显然，有t b < t a ．所以，本题正确选项为B ．点评：物理图像是一种形象的语言和工具．它的特点是简明、清晰、形象、直观，利用它可以避免复杂的运算过程．所以借助图像是处理物理问题的重要手段，在必要的时候应用，会使问题柳暗花明．2、利用图像法比较加速度例2．一物体做加速直线运动，依次通过A 、B 、C 三点，AB ＝BC ，物体在AB 段加速度为a 1，在BC 段加速度为a 2，且物体在B 点的速度为2CA B v v v +=，则 A ．a 1＞a 2 B ．a 1＝a 2 C ．a 1＜a 2 D ．不能确定解析：依题意作出物体可能的v －t 图象，如图3所示，注意当v A 、v B 确定之后，因2CA B v v v +=，则v C 也为确定值，即图中①②③折线的顶点一样高．又因图线下方所围成的面积表示物体的位移，由几何知识知图线②、③不满足AB ＝BC ，只能是①所对应的情况．因为v －t 图线的斜率表示加速度，显然a 1＜a 2，所以，本题正确选项为C ．点评：本题给出的“AB ＝BC”表示B 点是位移中点，而给出B 点的速度表达式又好象是时间中点速度，有同学为此感到迷惑而陷入僵局．但若采用常规的运动学公式法分段计算，也显繁琐，由“两运动的路程相同”作为突破口，想到v -t 图象法，从而达到拨云见日、豁然开朗的效果．图1乙甲图2v b a 图３3、利用图像法比较速度例5．如图4所示，质量相同的木块A 、B 用轻质弹簧连接静止在光滑的水平面上，弹簧处于自然状态．现用水平恒力F 推A ，则从开始到弹簧第一次被压缩到最短的过程中（ ）A ．两木块速度相同时，加速度a A ＝aB B ．两木块速度相同时，加速度a A <a BC ．两木块加速度相同时，速度v A <v BD ．两木块加速度相同时，速度v A >v B解析：从开始到弹簧第一次被压缩到最短的过程中，随着弹簧弹力的增大，木块A 做加速度减小的加速运动，木块B 做加速度增大的加速运动，当二者速度相同时，弹簧最短，根据以上分析，它们的v -t 图象应如图5所示．设在t 1时刻，两图线的切线平行，即两木块加速度相同，显然有，v A >v B ；设在t 2时刻，两图线相交，即两木块速度相同时，显然有，a A <a B ．所以，本题正确答案为BD ．点评：本题由于两木块的加速度都在变化，无法用基本公式来比较速度，根据受力特点和运动规律画出它们的v -t 图象．明白“交点”和“斜率”的意义，从而使问题得以解决．图像法在此应用，达到了事半功倍、出奇制胜的的效果．4、利用图像法求解相对位移例1、（2006年全国卷I •24题）一水平的浅色长传送带上放置一煤块（可视为质点），煤块与传送带之间的动摩擦因数为μ．初始时，传送带与煤块都是静止的．现让传送带以恒定的加速度a 0开始运动，当其速度达到v 0后，便以此速度做匀速运动．经过一段时间，煤块在传送带上留下了一段黑色痕迹后，煤块相对于传送带不再滑动．求此黑色痕迹的长度．解析：依题意知，传送带的加速度大于煤块的加速度，即a 0＞μg ，由运动学公式不难求出，传送带达到匀速的时间为a v ，煤块达到与传送带相对静止的时间为gvμ0，根据以上分析，煤块与传送带的v —t 图像分别如图6中直线OB 和折线OAB 所示．因v —t 图线和t 轴所围图形的面积表示位移，则ΔOAB 的面积即为二者间的相对位移，亦即黑色痕迹的长度L ．由几何知识得：000021v a v g v L ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=μ 整理得：ga g a v L μμ00202)(-=点评：本题以传送带为情景命题，考查了匀变速运动的规律和牛顿运动定律，题目设计巧妙，尤其在隐含条件及临界条件的挖掘上，对分析物理过程有较高要求．而利用图象解题可使解题过程更简化，思路更清晰，思维方法更巧妙、更灵活．1 2gμ000a v图6图４图５。

图象法解题在高中物理教学中的应用在高中物理教学中，图像法是一种重要的解题方法，我们可以根据题意把抽象的物理过程用图线表示出来，将物理量间的代数关系转化为几何关系，运用图象直观、简明的特点，分析解决物理问题，则可达到化难为易、化繁为简的目的。

它具有思路简明清晰，方法新颖独特等优点。

况且有些物理问题在高中阶段只能用图像法解决。

下面介绍图像法解题的部分应用。

一、应用图像法解决动态平衡问题例1如图所示,重物系在OA 、OB 两根等长的轻绳上，轻绳的A 端和B 端挂在半圆形支架上，若固定A 端的位置，将OB 绳的B 端沿半圆形支架从水平位置逐移至竖直位置OC 的过程中，试讨论OA 绳上的拉力F 1及OB 绳上拉力F 2的变化情况。

析与解：这是一道典型的动态平衡问题，用图像法解决最简洁。

因为绳结O 受到悬挂重物的轻绳拉力F 作用，且F=G ，故OA 、OB 绳的拉力F 1、F 2的合力始终与F 等大反向，故可以利用合成法进行分析求解。

如图OA 方向不变，且F 1的方向不变，因此F 2的末端只能在平行于F 1的直线MN 上移动。

由图可知当F 2与MN 垂直时最小，故F 2先减小后增大，F 1逐渐减小。

二、应用图像法解决运动学的问题例2如图所示，一个固定在水平面上的光滑物块左侧是斜面，右侧面是曲面AC ，已经知道AC 和AB 的长度相同，两个小球P 、Q 同时从A 点分别沿AB 和AC 由静止开始下滑，试比较他们到达水平面作用的时间大小。

析与解：本题由于右侧是一曲面，因此不可能定量计算出小球从右侧滚到地面的时间，只能用图像法定性比较。

利用V-t 图像（这里的V 是速率，曲线下的面积表示S ）定性的比较在同一个V-t 图像中作出P 、Q 的速率曲线，虽然开始时Q 的加速度较大，斜率较大，又由于机械能守恒，故P 、Q 的末速率相等。

即曲线的末端在同一水平线上，为使路程相同（曲线与横轴所围的面积相同）如图显然Q 用的时间较少。

用图像法求解运动学问题图像法是物理学研究常用的数学方法。

用它可直观表达物理规律，可帮助人们发现物理规律。

借用此法还能帮助人们解决许许多多物理问题。

对于诸多运动学、动力学问题特别是用物理分析法（公式法）难以解决的问题，若能恰当地运用运动图像处理，则常常可使运动过程、状态更加清晰、求解过程大为简化。

本节只学习运动学问题的图像解法。

【实例解析】1. （2007高考全国理综Ⅰ）甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m s 的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。

为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。

在某次练习中，甲在接力区前013.5S m =处作了标记，并以9m s υ=的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。

乙在接力区的前端听口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。

已知接力区的长度为20L m =。

求：⑴此次练习中乙在接棒前的加速度a 。

⑵在完成交接棒时乙离接力区末端的距离。

【解析】该题实质上是追及、相遇问题，其物理情景同学们比较熟悉，对参加过接力赛的同依据甲、乙两运动员的运动过程所作速度图像如图所示。

⑴由于追上时υυυ==乙甲，由图知三角形A （012s s s =-），三角形B 的“面积” 相遇时乙的位移且'2012s s t υ==，'t aυ=所以22a s υ=。

⑵在完成交接棒时乙离接力区末端的距离'02013.5 6.5()L L s m =-=-=。

【答案】22s υ；6.5m 。

【小结】用图像法处理追及、相遇类问题最大的优点是直观、简捷、容易。

在一条直线上有相对运动的若干物体，同向运动或相向运动，均可用此法处理。

用该法能判断出物体能否相遇、相遇前是否有最大或最小距离并可顺利完成解答。

应用图像法处理此类问题的一般方法、步骤是：①分析物体的运动特征，把握其运动性质及所遵循的运动规律即先建立物理问题的数学模型；②依据数学模型即函数关系式，在同一坐标系中定性作出各个物体的运动图线。

讨。

C B v 到1a =所以1a -所以AB t B v 而1a ，观间可，B ．当物体做匀减速直线运动时，1v ＞2vC ．当物体做匀速直线运动时，1v ＝2vD ．当物体做匀减速直线运动时，1v ＜2v 解析：若是匀速直线运动，则1v ＝2v ，C 正确。

若是匀变速直线运动为了比较中点位置和中间时刻的速度，则需想到0/22t t v v v +=、/2s v =再由02tv v +=1v ＞2v ，故A 、B 正确。

若用图像法则更为直观快捷！ 从图中可直接看出1v ＞2v 。

5．甲、乙、丙三辆车沿直线行驶经过某一路标时速度相等，甲车先匀加速再匀减速，乙车匀速，丙车先匀减速再匀加速，结果它们到达下一个路标的速度又一次相同，试分析它们通过下一个路标的先后次序．解析：此题一只条件模糊难以用公式进行计算，若能依题意画出速度图像，则结论一看便知。

甲乙丙三车的速度时间图像如图所示，要三者位移相等，必有t 甲＜t 乙＜t 丙，所以到达下一路标的次序为先甲再乙后丙。

6．如图所示，两个质量完全一样的小球，从光滑的a 管和b 管由静止滑下，设转弯处无能量损失，比较两球所用时间的长短。

（B 、D 两点在同一水平面上）解析：沿a 管下滑的小球，在AB 段的加速度比BC 段的小，则在v t -图像中所表示的a 小球的斜率先小后大；同理，沿b 管下滑的小球在v t -图像中的斜率先大后小。

由机械能守恒定律可知两球滑到底端时的速度相同，又由管道形状知两球经过的总路程相等，即在速度图像上的面积相等，则必有a t ＞b t 。

二、位移图像位移—时间图像（s t -）描述运动物体的位移随时间的变化规律，其纵坐标表示位移（直接看出），横坐标表示时间，其斜率表示速度。

7．如图是在高速公路上用超声波测速仪测量车速的示意图，测速仪发出并接受超声波脉冲信号，根据发出和接收到的信号间的时间差，便可测出被测车辆的速度。

图中P 1 、P 2是测速仪发出的超声波信号，n 1、n 2分别是P 1 、P 2由汽车反射回来的信号。