4.1算术平方根

数的开方（一）平方根【知识要点】1．平方根的概念如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根，也叫二次方根。

即若()20x a a =≥，则x 就称为a 的平方根。

2．平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；②零有一个平方根，它是零本身；③负数没有平方根。

3．平方根的表示方法：一个正数a a 叫做被开方数，2叫做根指数；正数a 的负平方根用符号“2时，通常略去不写，所以这两个平方根记作4．算术平方根：正数a 的正的平方根，也叫做a 0a >），0的平方根叫做0的算术平方根。

因此，0的算术平方根为00=。

5．平方根的求法：①利用定义；②利用计算器；③利用估算法。

6．开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方与平方互为逆运算。

7．开平方的小数点移动规律：如果被开方数的小数点，向右或向左每移动两位，它的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

【典型例题】例1 ∵()20.30.09= ∴（ ）A ．0.090.3是的平方根；B ．0.090.3是的3倍；C ．0.30.09是的一个平方根；D ．0.09的平方根是0.3。

例2 求下列各数的平方根：196169，()25-，24125，0.0256。

例3 （1）81的平方根是 ，算术平方根是 ；（2）2)4(-的平方根是 ，算术平方根是 ；（3）（-2．345）2的平方根是 ，算术平方根是 。

例4 （1）122++x x 的平方根为（ ）A ．没有平方根B ．(1)x ±+C ．0D ．1（2）1412-+-x x 的平方根为（ ） A ．)2(21-±x B ．没有平方根 C ．0或没有平方根 D ．0 （3）一个自然数的一个平方根是m -，那么紧跟它后面的一个自然数的平方根是（ ）A ．1+mB ．12+mC ．1+±m D ．12+±m① 求236和00236.0的值；② 若x =0．4858，求x 的值；③ 若1536106=⨯a ，求a 的值。

第四章 二次根式 4.1 二次根式和它的化简4.1.1 二次根式学习目标1、了解二次根式的概念和二次根式的性质；2、根据二次根式的意义求出二次根号下的一次式中字母的取值范围；3、会运用二次根式的性质进行运算。

一、掌握基础知识 1、知识链接：（1）平方根：每一个正实数a 有且仅有两个平方根，其中一个平方根是正实数，记作a ，称它为a 的算术平方根；另一个平方根是a -。

（2）0的平方根记作0。

.00=2、二次根式的概念：一般地，把形如a 的式子叫做二次根式，符号“”叫做二次根号，简称根号，a 叫做被开方数。

由于实数范围内，负实数没有平方根，因此只有当被开方数是非负数时，二次根式才在实数范围内有意义。

注意：对a 应注意0≥a ，这里的a 可以是数，也可以是代数式。

实数的非负性：（1）0≥a ；（2）02≥a ；（3）0≥a 时，0≥a 。

二、重难点演练1、根据二次根式的意义求二次根号下一次式中字母的取值范围，即a 只有当0≥a 时才有意义。

例1：当x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？练习：当x 是怎样的实数时，下列二次根数有意义？ （1）()2-x （2）x -12、二次根号的性质： （1）()();02≥=⋅=a a a a a （2）由于的一个平方根，是因此的平方是22,a a a a 而a 本身可能为正，可能为负，因此根据()()⎩⎨⎧<-≥==002a a a a a a 分情况来确定最终的结果。

例2：（1）()25； （2）()222例3：（1）22 （2）25.1 （3）()23-练习：计算：（1）()27 （2）232⎪⎭⎫⎝⎛ （3）201.0 （4）253⎪⎭⎫ ⎝⎛-达标训练1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？ （1）5+x （2）x -32、计算（1）()232 （2）()21.0 （3）253⎪⎭⎫⎝⎛ （4）()203.0-3、选做题：化简()()222a b b a -+-。

苏科版八年级数学上册4.1平方根同步达标测评注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一．选择题（共8小题，满分40分）1．若x2＝9，则x的值是（）A．3B．±3C．81D．±812．下列各数中一定有平方根的是（）A．a2﹣5B．﹣a C．a+1D．a2+13．一个正数的两个平方根是2m﹣4和3m﹣1，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．无法确定4．下列说法中正确的有（）①0的算术平方根是0；②8的算术平方根是4；③±是11的平方根；④﹣5是25的平方根；⑤±2是8的平方根；A．1个B．2个C．3个D．4个5．的算术平方根是多少（）A．±4B．2C．±2D．46．如图，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞0）和4，那么阴影部分的面积为（）A．2x+4B．2x﹣4C．x2﹣4D．2x﹣27．已知a+b＝4，ab＝2，则a﹣b的值为（）A．2B．2C．±2D．±28．将尺寸如图的4块完全相同的长方形薄木块（厚度忽略不计）进行拼摆，恰好可以不重叠地摆放在如图的甲、乙两个方框内．已知小木块的宽为2，图甲中阴影部分面积为19，则图乙中AD的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共7小题，满分35分）9．已知一个正数x的两个平方根分别是3a﹣6和﹣a﹣4，则这个正数x的值是．10．若数x﹣2的平方根只有一个，则x的值是．11．若5x2﹣125＝0，则x＝．12．设a是9的算术平方根，b＝（）2，则a+b＝．13．一个数的算术平方根是6，则这个数是，它的另一个平方根是．14．若m+＝5，则＝．15．如果，那么2x﹣y的值为三．解答题（共7小题，满分45分）16．选择适合的方法解下列方程：（1）（x﹣2）2＝3；（2）（y﹣2）2＝y﹣2．17．解方程：（1）2x2﹣50＝0；（2）．18．求式中x的值：（x﹣3）2＝25．19．求下列各式中x的值：（1）x2﹣5＝；（2）3x2﹣15＝0；（3）2（x+1）2＝128．20．求下列各式中x的值．（1）（2x﹣1）2＝25．（2）x2﹣＝0．21．已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．（1）求a的值；（2）求这个正数m；（3）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．22．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．（1）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为3：2，面积为30，请求出该长方形纸片的长和宽；（2）小葵在长方形内画出边长为a，b的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为50，阴影部分两个长方形的周长之和为30，由此她判断大正方形的面积为100，间小葵的判断正确吗？请说明理由．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：由题意可得：x＝±3．故选：B．2．解：A、a2﹣5有可能小于0，故A不符合题意．B、﹣a有可能小于0，故B不符合题意．C、a+1有可能小于，故C不符合题意．D、a2+1≥0，故D符合题意．故选：D．3．解：由题意可得：2m﹣4+3m﹣1＝0，解得：m＝1，故选：C．4．解：①根据算术平方根的定义，0的算术平方根是0，所以①说法正确；②根据算术平方根的定义，8的算术平方根是2，所以②说法错误；③根据平方根的定义，±是11的平方根，所以③说法正确；④根据平方根的定义，﹣5是25的一个平方根，所以④说法正确．⑤根据平方根的定义，±是8的平方根，所以⑤说法不正确．综上：说法正确的有①③④，共3个．故选：C．5．解：＝4，4的算术平方根是2．故选：B．6．∵两个相邻的正方形，面积分别是x2（x＞0）和4，∴它们的边长分别为x和2，∴阴影部分是一个长为2，宽为（x﹣2）的矩形，∴阴影部分的面积为2（x﹣2）＝2x﹣4，故选：B．7．解：∵a+b＝4，ab＝2，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝（a+b）2﹣4ab，∴（a﹣b）2＝16﹣8＝8，∴a﹣b＝±＝±2．故选：C．8．解：设木块的长为x，根据题意，知：（x﹣2）2＝19，则x﹣2＝±，∴x＝2+或x＝2﹣＜2（舍去），则BC＝2x＝2+4，故选：C．二．填空题（共7小题，满分35分）9．解：由已知得3a﹣6+（﹣a﹣4）＝0，2a﹣10＝0，解得：a＝5．∴3a﹣6＝3×5﹣6＝9，∴这个正数x的值是：92＝81．故答案为：81．10．解：∵平方根只有一个的数是0，∴x﹣2＝0，∴x＝2．故答案为：2．11．解：5x2﹣125＝0，移项得，5x2＝125，两边都除以5得，x2＝25，直接开方得，x＝±5，故答案为：±5．12．解：∵a是9的算术平方根，b＝（）2，∴a＝3，b＝3，∴a+b＝6；故答案为：6．13．解：36的算术平方根为＝6，36的平方根为±＝±6，故答案为：36，﹣6．14．解：根据二次根式有意义的条件得：m﹣5≥0，∴m≥5，根据条件得：＝5﹣m，根据算术平方根的非负性得：5﹣m≥0，∴m≤5，∴m＝5，∴＝＝＝3，故答案为：3．15．解：∵，而，（2y﹣4）2≥0，∴x+3＝0，2y﹣4＝0，解得x＝﹣3，y＝2，∴2x﹣y＝﹣6﹣2＝﹣8．故答案为：﹣8．三．解答题（共7小题，满分45分）16．解：（1）∵（x﹣2）2＝3，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（2）根据题意，得，y﹣2＝0或y﹣2＝1，∴y＝2或y＝3．17．解：（1）移项得，2x2＝50，两边都除以2得，x2＝25，由平方根的定义得，x＝±5．（2）去分母，得6﹣2（6﹣2x）＝3（x﹣1），去括号，得6﹣12+4x＝3x﹣3，移项，得4x﹣3x＝﹣3﹣6+12合并同类项，得x＝3．18．解：（x﹣3）2＝25，x﹣3＝±5，x﹣3＝5或x﹣3＝﹣5，∴x＝8或x＝﹣2．19．解：（1）x2﹣5＝，x2＝，x＝，x1＝，x2＝﹣；（2）3x2﹣15＝0，3x2＝15，x2＝5，x＝；（3）2（x+1）2＝128，（x+1）2＝64，x+1＝±8，x1＝﹣9；x2＝7．20．解：（1）∵（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝5或2x﹣1＝﹣5，∴x＝3或x＝﹣2．（2）∵x2﹣＝0，∴x2＝，∴x＝或x＝﹣．21．解：（1）由题意得，a+6+2a﹣9＝0，解得，a＝1；（2）当a＝1时，a+6＝1+6＝7，∴m＝72＝49；（3）x2﹣16＝0，x2＝16，x＝±4．22．解：（1）设长为3x，宽为2x，则：3x•2x＝30，∴x＝（负值舍去），∴3x＝3，2x＝2，答：这个长方形纸片的长为3，宽为2；（2）正确．理由如下：根据题意得：，解得：，∴大正方形的面积为102＝100．。

【课题】4.1实数指数幂(1)
【教学目标】
知识目标：
⑴复习整数指数幂的知识；
⑵了解n次根式的概念；
⑶理解分数指数幂的定义.
能力目标：
⑴掌握根式与分数指数幂之间的转化；
⑵会利用计算器求根式和分数指数幂的值；
⑶培养计算工具使用技能.
【教学重点】
分数指数幂的定义．
【教学难点】
根式和分数指数幂的互化．
【教学设计】
⑴通过复习二次根式而拓展到n次根式，为分数指数幂的介绍做好知识铺垫；
⑵复习整数指数幂知识以做好衔接；
⑶利用课件介绍分数指数幂的概念，字母动感闪耀强化位置关系；
⑷加大学生动手计算的练习，巩固知识；
⑸小组讨论、学习计算器的使用，培养计算工具使用技能．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】。

4.1平方根 课后练习-2022-2023学年苏科版数学八年级上册一、选择题 1、（2022·四川遂宁·八年级期末）49的平方根为( ) A ．7 B ．－7 C ．±7D ．±72、（2022·湖南永州·八年级期末）16的算术平方根是（ ）． A ．2 B ．4 C ．2± D ．4±3、（2022·江苏扬州·八年级期末）面积为9的正方形的边长是（ ） A ．9的算术平方根 B ．9的平方根 C ．9的立方根 D ．9开平方的结果4、（2021秋•通州区期末）已知m ＝20212+20222，则的值为（ ） A ．2021 B ．2022 C ．4043 D ．40445、（2022·湖南邵阳·八年级期末）m -1与3-2m 是某正数的两个平方根，则实数m 的值是（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．43-6、（2022·四川眉山·八年级期末）已知21a -和4a -+是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）A ．9B ．1C ．7D ．49或4997、（2022·江苏盐城·八年级期末）已知实数,x y 满足22(1)0x y -++=，则x y -等于( ) A ．3B ．-3C ．1D ．-18、（2022·湖南·长沙市北雅中学八年级期末）若实数m ，n 满足等式360m n ，且m ，n 恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC 的周长是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或159、（2022·湖南株洲·八年级期末）一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间10、（2022·湖南娄底·八年级期末）下列命题：①如果21x =，则1x =；②2是4的平方根③有两边和一角相等的两个三角形全等 ；④若22a b =，则a b = 其中真命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11、（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，正方形ABCD 的面积为15，Rt △BCE 的斜边CE 的长为8，则BE 的长为（ ）A ．17B ．10C ．6D ．7 12、（2022春•瑶海区期中）若，则中的x 等于（ ）A ．1040.4B ．10.404C ．104.04D ．1.0404 13、（2021秋•泰兴市期末）若方程x 2＝5的解分别为a 、b ，且a ＞b ，下列说法正确的是（ ）A ．5的平方根是aB ．5的平方根是bC ．5的算术平方根是aD ．5的算术平方根是b 二、填空题 14、（2022·湖南永州·八年级期末）16的平方根是 _____；2的算术平方根是 _____． 15、（2022·四川达州·八年级期末）(-2)2的算术平方根是________. 16、（2022·江苏·81____．17、（2022·湖南娄底·八年级期末）16的算术平方根是 _____． 18、（2022·湖南益阳·八年级期末）如果0.1-是m 的一个平方根，那么m 的值为____． 19、（2022·四川遂宁·八年级期末）一个正数的两个平方根分别是7a -和1a +，则a=__________. 20、（2022·湖南怀化·八年级期末）如果一个正数的两个平方根分别为3m +4和2﹣m ，则这个数是__． 21、（2022春•如皋市校级月考）2a ﹣3与5﹣a 是同一个正数x 的平方根，则x ＝ ． 22、（2022·四川成都·八年级期末）若a ，b 为实数，且1a ++（10﹣b ）2＝0，则a b +=_____． 23、（2022·湖南岳阳·八年级期末）若()21230a b c ++++-=，则a b c -+=______．24、（2022·湖南常德·八年级期末）若实数a 、b 满足等式()2240a b -+-=，且a b 、恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为____________． 25、（2022·江苏南京·八年级期末）如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______．三、解答题 26、解方程：（1）21690x -= (2)（x ﹣1）2﹣4＝0． （3）2（x ﹣1）2﹣18＝0． （4）2549(32)0x -+=． 27、（2022·湖南·衡阳市第十五中学八年级期末）已知2a +1的平方根是±3，5a +2b -2的算术平方根是4，求：3a -4b的平方根． 28、（2022春•工业园区校级月考）已知a ﹣1和5﹣2a 都是非负数m 的平方根，求m 的值． 佳佳的解题过程如下：解：∵a ﹣1和5﹣2a 都是非负数m 的平方根，∴a ﹣1+5﹣2a ＝0，解得a ＝4，∴a ﹣1＝3，∴m 的值为9．请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由． 29、（2022·湖南·张家界市永定区教育研究室八年级期末）已知1250x x y --+=． （1）求x 与y 的值；（2）求x +y 的算术平方根．30、（2022·江苏无锡·八年级期末）已知22x y +-与()23x y -+互为相反数，求()2x y +的平方根． 31、（2021秋•靖江市期中）（1）求式中x 的值：（2x ﹣1）2﹣25＝0． （2）已知，（x +y ﹣1）2＝0，求y ﹣2x 的平方根．32、（2022·江苏盐城·八年级期末）已知实数a 、b 、c 满足27(1)500a b c -+-+-=． (1)求a 、b 、c 的值；(2)判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 33、（2022·河南开封·七年级期末）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．问题发现：若大正方形的面积为232cm ，则小正方形的面积是_______2cm ，边长为________cm ；知识迁移：某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为212cm ，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．拓展延伸：如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．4.1平方根 课后练习-2022-2023学年苏科版数学八年级上册一、选择题 1、（2022·四川遂宁·八年级期末）49的平方根为( ) A ．7 B ．－7 C ．±7D ．±7解：497=，7的平方根为7±．故选D ．2、（2022·湖南永州·八年级期末）16的算术平方根是（ ）． A ．2 B ．4 C ．2± D ．4± 【解析】∵164=；∴42=；即16的算术平方根是2；故选：A3、（2022·江苏扬州·八年级期末）面积为9的正方形的边长是（ ） A ．9的算术平方根 B ．9的平方根 C ．9的立方根 D ．9开平方的结果 解：设正方形边长为x ， 根据面积公式得：x 2=9，解得x =±3，而3x =-不合题意，舍去，所以面积为9的正方形的边长是9的算术平方根，故选：A ．4、（2021秋•通州区期末）已知m ＝20212+20222，则的值为（ ） A ．2021 B ．2022 C ．4043 D ．4044 【解答】解：∵2m ﹣1＝2（20212+20222）﹣1＝2[20212+（2021+1）2]﹣1＝2（2×20212+2×2021+1）﹣1＝4×20212+4×2021+1＝（2×2021+1）2＝40432 ∴＝4043，故选：C ．5、（2022·湖南邵阳·八年级期末）m -1与3-2m 是某正数的两个平方根，则实数m 的值是（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．43-【解析】一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；互为相反数的两个数的和为0．由题意得m -1+3-2m =0，解得m =2；故选：B ．6、（2022·四川眉山·八年级期末）已知21a -和4a -+是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）A ．9B ．1C ．7D ．49或499解：∵2a -1和-a +4是一个正数的平方根，∴①2a -1+4-a =0，解得a =-3， 把a =-3代入4-a =7，∴这个正数的值是49；②2a -1=4-a ，解得a =53，把a =53代入4-a =73，∴这个正数的值是499；故选：D ．7、（2022·江苏盐城·八年级期末）已知实数,x y 22(1)0x y -+=，则x y -等于( )A ．3B ．-3C ．1D ．-1【解析】因为根号和平方都具备非负性，所以20,10x y -=+=，可得2,1x y ==-，所以2(1)3x y -=--=．故选A ．8、（2022·湖南·长沙市北雅中学八年级期末）若实数m ，n 满足等式360m n ，且m ，n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或15解：∵实数m ，n 满足等式360m n ，∴m －3=0，n －6=0，∴m =3，n =6，∵m ，n 恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，∴当n =6为腰长时，m =3为底边长， 3+6＞6满足三角形的三边关系，故△ABC 的周长是3+6+6=15； 当n =6为底边长时，m =3为腰长，但3+3=6，不满足三角形三边关系，不构成三角形，舍去， 综上，△ABC 的周长是15，故选：C ． 9、（2022·湖南株洲·八年级期末）一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（ ） A ．2与3之间 B ．3与4之间 C ．4与5之间 D ．5与6之间 解：∵正方形的面积是18，∴它的边长是18，∵161825<<，∴4185<<，即它的边长的大小在4与5之间．故选：C 10、（2022·湖南娄底·八年级期末）下列命题：①如果21x =，则1x =；②2是4的平方根③有两边和一角相等的两个三角形全等 ；④若22a b =，则a b = 其中真命题有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 【解析】①方程21x =的解是11x =-, 21x =,故①错误，是假命题；②2是4的平方根，故②正确，是真命题；③有两边和夹角角相等的两个三角形全等，故③错误，是假命题； ④若22a b =，则 a b =±，故④错误，是假命题；所以真命题有1个， 故选：D.11、（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，正方形ABCD 的面积为15，Rt △BCE 的斜边CE 的长为8，则BE 的长为（ ）A ．17B ．10C ．6D ．7 解：∵正方形ABCD 的面积为15，215BC ∴= ， 在Rt BCE 中，8CE =，222BC BE CE += ，222641549BE CE BC ∴=-=-= ，7BE ∴=或7BE =-（舍）， 7BE ∴=．故选D ． 12、（2022春•瑶海区期中）若，则中的x 等于（ ）A ．1040.4B ．10.404C ．104.04D ．1.0404 【解答】解：∵102，∴1022＝10404，∴10.22＝104.04，∴x ＝104.04．故选：C ．13、（2021秋•泰兴市期末）若方程x 2＝5的解分别为a 、b ，且a ＞b ，下列说法正确的是（ ）A ．5的平方根是aB ．5的平方根是bC ．5的算术平方根是aD ．5的算术平方根是b【解答】解：∵x 2＝5的解分别为a 、b ，∴5的平方根是a 、b ，∴选项A 不符合题意； ∵x 2＝5的解分别为a 、b ，∴5的平方根是a 、b ，∴选项B 不符合题意；∵x 2＝5的解分别为a 、b ，且a ＞b ，∴5的算术平方根是a ，∴选项C 符合题意； ∵x 2＝5的解分别为a 、b ，且a ＞b ，∴5的算术平方根是a ，∴选项D 不符合题意． 故选：C ．二、填空题 14、（2022·湖南永州·八年级期末）16的平方根是；2．解：16的平方根是4±，22 故答案为：4±215、（2022·四川达州·八年级期末）(-2)2的算术平方根是________. 【解析】（-2）2的算术平方根是2， 故答案为2. 16、（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）81的平方根是____．解：819=，∴实数81的平方根是93±=±．故答案为：3±． 17、（2022·湖南娄底·八年级期末）16的算术平方根是 _____．解：∵16=4，4的算术平方根是2，∴16的算术平方根是2．故答案为：218、（2022·湖南益阳·八年级期末）如果0.1-是m 的一个平方根，那么m 的值为____．【解析】0.1-是m 的一个平方根，()20.1m ∴-=；0.01m ∴=；故答案为：0.0119、（2022·四川遂宁·八年级期末）一个正数的两个平方根分别是7a -和1a +，则a=__________. 解：根据题意，得a -7+a +1=0，解得a =3，故答案为3． 20、（2022·湖南怀化·八年级期末）如果一个正数的两个平方根分别为3m +4和2﹣m ，则这个数是__． 解：根据题意知3m +4+2﹣m ＝0，解得：m ＝﹣3，所以这个数为（3m +4）2＝（﹣5）2＝25，故答案为25． 21、（2022春•如皋市校级月考）2a ﹣3与5﹣a 是同一个正数x 的平方根，则x ＝ ． 【解答】解：∵2a ﹣3与5﹣a 是同一个正数x 的平方根，∴2a ﹣3+5﹣a ＝0或2a ﹣3＝5﹣a ，解得：a ＝﹣2或a，则x ＝49或．故答案为：49或．22、（2022·四川成都·八年级期末）若a ，b 为实数，且1a ++（10﹣b ）2＝0，则a b +=_____．解：∵1a ++（10-b ）2=0，∴a +1=0，10-b =0，∴a =-1，b =10，∴a b +=110-+=3．故答案为：3． 23、（2022·湖南岳阳·八年级期末）若()21230a b c ++++-=，则a b c -+=______．解：由题意得：102030a b c +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得：1a =-，2b =-，3c =，所以1(2)34a b c -+=---+=，故答案为：4．24、（2022·湖南常德·八年级期末）若实数a 、b 满足等式()2240a b -+-=，且a b 、恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为____________．解：22(4)0a b -+-=，20a ∴-=，40b -=，解得2a =，4b =， （1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、4，不能组成三角形； （2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、4、4，能组成三角形，周长为24410++=．故答案为：10． 25、（2022·江苏南京·八年级期末）如图，将五个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，重新拼成一个大正方形，则大正方形的边长为______．解：如下图，由剪拼可知，5个小正方形的面积之和等于拼成的一个大正方形的面积，∵55，∴5， ∴55三、解答题 26、解方程：（1）21690x -= (2)（x ﹣1）2﹣4＝0． （3）2（x ﹣1）2﹣18＝0． （4）2549(32)0x -+=． 【解析】（1）21690x -=2169x =1213,13x x ∴==-(2)（x ﹣1）2﹣4＝0移项得：()214x -=，∴12x -=或12x -=-，解得：3x =或-1．（3）∵2（x ﹣1）2﹣18＝0，∴（x ﹣1）2＝9，∴x ﹣1＝﹣3或x ﹣1＝3，解得：x ＝﹣2或x ＝4．（4）2549(32)0x -+=，整理得：29(32)54x +=，即2(32)6x +=，开平方得：326x +=±， 解得：x 36-± 27、（2022·湖南·衡阳市第十五中学八年级期末）已知2a +1的平方根是±3，5a +2b -2的算术平方根是4，求：3a -4b的平方根．解：根据题意得：2a +1=32=9，5a +2b -2=16∴a =4，b =-1，∴3a -4b =16，∴3a -4b 的平方根是164=±． 28、（2022春•工业园区校级月考）已知a ﹣1和5﹣2a 都是非负数m 的平方根，求m 的值． 佳佳的解题过程如下：解：∵a ﹣1和5﹣2a 都是非负数m 的平方根，∴a ﹣1+5﹣2a ＝0，解得a ＝4，∴a ﹣1＝3，∴m 的值为9．请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由． 【解答】解：佳佳的解题过程不正确，理由如下：∵a ﹣1和5﹣2a 是非负数m 的平方根，∴当a ﹣1+5﹣2a ＝0时，解得：a ＝4，∴a ﹣1＝3，∴m 的值为：9， 当a ﹣1＝5﹣2a ，解得：a ＝2，故m 的值为：1， 综上所述：m 的值为：1或9．29、（2022·湖南·张家界市永定区教育研究室八年级期末）已知1250x x y --+=． （1）求x 与y 的值；（2）求x +y 的算术平方根．【解析】（1）由题可得：10250x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得：13x y =⎧⎨=⎩，∴1x =，3y =；（2）134x y +=+=，∵4的算术平方根为2，∴x y +的算术平方根为2．30、（2022·江苏无锡·22x y +-()23x y -+互为相反数，求()2x y +的平方根． 解：∵22x y +-()23x y -+互为相反数，∴22x y +-()23x y -+=0，∴2x+y =2，x-y =-3，解方程组223x y x y +=⎧⎨-=-⎩，得1383x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴221825339x y ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，∴()2x y +的平方根是53±．31、（2021秋•靖江市期中）（1）求式中x 的值：（2x ﹣1）2﹣25＝0． （2）已知，（x +y ﹣1）2＝0，求y ﹣2x 的平方根． 【解答】解：（1）方程整理得：（2x ﹣1）2＝25，∴2x ﹣1＝±5，2x ﹣1＝5或2x ﹣1＝﹣5，解得x ＝3或﹣2；（2）∵（x +y ﹣1）2＝0，而，x +y ﹣1≥0，∴，解得， ∴y ﹣2x ＝2+2＝4，∴y ﹣2x 的平方根是±2．32、（2022·江苏盐城·八年级期末）已知实数a 、b 、c 满足27(1)500a b c -+-+-=． (1)求a 、b 、c 的值；(2)判断以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，判别此三角形的形状，并求出三角形的面积；若不能，请说明理由． 【解析】(1)27(1)500a b c -+-+-=，70a ∴-=，2(1)0b -=，500c -=．7a ∴=，1b =，5052c ==．(2)∵1<7<50,1+7=8=5064>，∴以a 、b 、c 为边能构成三角形222a b c +=，即22271(25)50+==，∴根据勾股定理的逆定理得，以a 、b 、c 为边能构成直角三角形．直角边7a =，1b =， ∴直角三角形的面积11771222ab ==⨯⨯=．33、（2022·河南开封·七年级期末）如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．问题发现：若大正方形的面积为232cm ，则小正方形的面积是_______2cm ，边长为________cm ；知识迁移：某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为212cm ，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．拓展延伸：如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．【答案】问题发现：小正方形的面积为162cm ，边长为4cm知识迁移：不能裁出符合要求的长方形纸片5【详解】问题发现：小正方形的面积为32216÷=2cm ，∴小正方形的边长为4cm ．故答案为：16；4．知识迁移：设长和宽分别为3x 、2x ，由题意得：3212x x ⋅=，整理得：22x =，∵实际问题x 为正数，∴2x =，∴长方形的长为332 5.194x =≈>，即裁剪后的长方形的长大于小正方形的边长，∴不能裁出符合要求的长方形纸片． 拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图所示：∵原图形的面积是5，∴裁剪后的正方形面积也是5，∴大正方形边长为5．。

第4章 实数 4.1 平方根课程标准课标解读1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．1.了解平方根、算术平方根的概念，会表示一个数的平方根、算术平方根2.会求一个非负数的平方根、算术平方根知识点01 平方根和算术平方根的概念1.算术平方根的定义如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算.(≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.【微点拨】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 【即学即练1】1．下列说法正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B ．算术平方根等于它本身的数一定是1 C ．－2是4的平方根 D ．16的算术平方根是4【答案】C 【分析】根据平方根和算术平方根的定义依次判断即可．x a 2x a =x a a a a a 2x a =x a a a a (0)a a ±≥a a a a a a 目标导航知识精讲【详解】解：A. 9的平方根是±3，故原选项计算错误，不符合题意；B. 算术平方根等于它本身的数一定是1和0，原说法错误，不符合题意；C. －2是4的平方根，正确，符合题意；D.2，原说法错误，不符合题意；故选：C ．知识点02 平方根的性质【微点拨】（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.【即学即练2】2．有理数14的算术平方根是（ ） A ．7 B ．14CD．【答案】C 【分析】根据算术平方根的概念求解． 【详解】解：有理数14故选：C ．知识点03 平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：.【即学即练3】3 1.311= 4.147= ）0||000a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20aa =≥250=25= 2.5=0.25=A．0.04147B．0.4147C．0.01311D．0.1311【答案】A【分析】当被开方数扩大（或缩小）为原来的100倍，其算术平方根扩大（或缩小）为原来的10倍．其余的依此类推，利用这个规律即可解决问题．【详解】解：∵ 1.7201 1.311=，17.201 4.147=，∵0.0017201＝17.20110000÷＝17.201100÷＝0.04147，故选：A．考法01 平方根和算术平方根的区别和联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．【典例1】下列命题错误的是（）A．4是16的算术平方根B．2是4的一个平方根C．平方根等于它本身的数是0D．114的算术平方根是112【答案】D【分析】根据平方根，算术平方根的定义，逐一判断选项，即可．【详解】A. 4是16的算术平方根，原命题正确，不符合题意，B. 2是4的一个平方根，原命题正确，不符合题意，C. 平方根等于它本身的数是0，原命题正确，不符合题意，D.114的算术平方根是52，原命题错误，符合题意，a±a 能力拓展故选D．考法02 求一个数的平方根如何手算求-一个数的平方根：述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下: 1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为-段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数;2.根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位.上的数(竖式中的3);3.从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256);4.把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商(3x20除256，所得的最大整数是4，即试商是4);5.用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商，如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数;如果所得的积大于余数，就把试商减小再试(竖式中(20*3+4)x4= 256，说明试商4就是平方根的第二位数);【典例2】16的算术平方根是( )A．4B．-4C．4±D．8【答案】A【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．【详解】=，解：∵2416∵164=，故选：A．分层提分题组A 基础过关练1．化简4的结果为（）A．2±B．2C．4D．16【答案】B【分析】直接根据算术平方根的定义化简即可得到结果．【详解】，故选：B．2．下列说法中，正确的是（）A．0没有平方根B．1的算术平方根是±1C．4的平方根2±D．136的平方根是16【答案】C【分析】依据平方根、算术平方根的定义求解即可．【详解】A、0的平方根是0，故A错误；B、1的算术平方根是1，故B错误；C、4的平方根是±2，故C正确；D、136的平方根是±16，故D错误；故选C3）A．3±B．3C．9±D．9【答案】A【分析】求出81的算术平方根，找出结果的平方根即可．【详解】解：，±3．故选：A．4．3的算术平方根是（）A．3B C．D．9【答案】B【分析】根据算术平方根的定义即可求解．【详解】解：3故选：B．5．实数8的平方根是（）A．2B．±C．2±D 【答案】B【分析】根据平方根的定义解答即可．【详解】解：=±故选：B．6．116的算术平方根是（）A．14B．14-C．14±D．4±【答案】A【分析】利用算术平方根的定义即可求出结果．【详解】解：116的算术平方根14．故选：A．7．若一个数的平方等于9，则这个数等于（）A．3±B．3C．81±D．81【答案】A【分析】平方为9的数有两个分别为【详解】．所以这个数是：±3． 故选：A ．题组B 能力提升练1．已知21a -与2a -+是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ） A ．1或9 B ．3C ．1D ．81【答案】A 【分析】首先根据正数有两个平方根，它们可能互为相反数或相等，则列方程求解即可． 【详解】解：由题意得：当两数互为相反数时，2120a a --+=， 解得：1a =-，213a -=-，23a -+=，则这个正数为9．当两数相等时，212a a -=-+1a = 211a -=这个正数是1． 故这个正数为1或9 故选：A ．2．已知三角形的三边长a 、b 、c 满足2(a ＋ |c ＝0，则三角形的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】C 【分析】根据非负数的性质可知a ，b ，c 的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形． 【详解】解：()220a c -=∵ 0a =，30b -= ， 0c =∵a =，3b = ， c =又∵ 222279a c b +=+== ∵该三角形为直角三角形 故选C ．3．下列各数没有平方根的是（ ） A ．﹣3 B ．0C ．2D ．5【答案】A 【分析】非负数才有平方根，只需确定数是非负数即可． 【详解】∵-3是负数，不是非负数， ∵-3没有平方根， ∵0是非负数， ∵0有平方根， ∵2是正数，是非负数， ∵2有平方根， ∵5是正数，是非负数， ∵5有平方根， 故选A ．4．下列命题是真命题的是（ ） A ．同位角相等B ．算术平方根等于自身的数只有1C ．直角三角形的两锐角互余D ．如果22a b =，那么a b =【答案】C 【分析】根据同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质判断即可． 【详解】解：A 、同位角不一定相等，原命题是假命题；B 、算术平方根等于自身的数有1和0，原命题是假命题；C 、直角三角形两锐角互余，是真命题；D 、如果a2=b2，那么a=b 或a=-b ，原命题是假命题； 故选：C ．5224)y -（互为相反数，则y x =____． 【答案】9 【分析】由它们互为相反数可以得到它们的和为0，再利用算术平方根和平方都具有的非负性，得到这两个式子都为0，从而求出x 和y 得值，进而得解． 【详解】()2240y -=，30x +≥，()2240y -≥，3240x y ∴+=-=，3x ∴=-，2y =，()239y x =-=．故答案为：9．6．方程()2116x +=的根是__________． 【答案】3x =或5x =-． 【分析】根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：()2116x +=，两边开方得，14x +=或14x +=-， 解得，3x =或5x =-．7．已知31n n <<+，则整数n =________．【答案】1【分析】3【详解】解：<<<，即12＞，--12＞3，21∵31<<+n n∵n=1．故答案为：1题组C 培优拔尖练1．若整数x满足，则x的值是（）A．8B．9C．10D．11【答案】C【解析】解：∵45，∵9＜10；=89，∵102＜11，∵整数x=10．故选C．点睛：本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．2．一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（）a+A．B．1C．21a+D．【答案】D【分析】根据平方根定义得原数为a2，故相邻的下一个自然数是a2+1，再求得平方根即可.【详解】根据题意，平方根为a 是数a2，则与它相邻的下一个自然数是a2+1，所以它的平方根是选择D.3的最小整数n 的值是( ) A ．48B ．49C ．50D ．51 【答案】C【解析】试题分析：由题意可知被开方数无限接近1，根据算术平方根的意义，可知20.990.98011n n =+＞，当n=50时，500.9804501≈+，490.9850=，因此可知最小整数n 为50. 故选：C.4．若ABC 的三边a 、b 、c 满足2(3)50a c --=，则ABC 的面积是（ ） A ．3B ．6C ．12D ．10 【答案】B【分析】根据绝对值，乘方和算术平方根的非负性求得a 、b 、c 的值，再结合勾股定理逆定理判断∵ABC 为直角三角形，由此根据直角三角形面积等于两直角边乘积的一半可得面积．【详解】解：∵2(3)50a c -+-=，∵30,40,50a b c -=-=-=，解得3,4,5a b c ===，又∵222223425a b c +=+==，∵∵ABC 为直角三角形， ∵13462ABC S =⨯⨯=△． 故选：B ．5．下列说法中正确的有（ ）个∵同位角相等；∵三角形的内角和是180º；∵3-；∵如果a²=b²，那么a=b ．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据平行的性质和三角形内角和定理分别可判断∵和∵，根据平方法可判断∵，根据乘方的定义可判断∵．【详解】解：∵两直线平行，同位角相等，原命题错误；∵三角形的内角和是180º，正确；∵∵109>,3>，∵3-，正确；∵如果a²=b²，那么a=±b ，原命题错误，所以，正确的有2个，故选：B ．6．在下列各式中正确的是（ ）A 3=-B ．2=C 8=D 3= 【答案】D【分析】根据平方根的性质以及算术平方根的性质进行化简，逐项判断即可．【详解】解：3，∵选项A 不符合题意；∵±±2，∵选项B 不符合题意；4，∵选项C 不符合题意；3，∵选项D符合题意．故选：D．7．下列说法中，正确的是（）A．64的平方根是8B4和－4 C．()23-没有平方根D．4的平方根是2和－2【答案】D【分析】根据平方根的定义与性质，结合各选项进行判断即可．【详解】A、64的平方根是±8，故本选项错误；B4=，4的平方根是±2，故本选项错误；-=，9的平方根是±3，故本选项错误；C、()239D、4的平方根是±2，故本选项正确．故选：D．。

平方根教学设计八年级上册第二章第3节(第1课)-----上饶县石人中学付水莲一、教学目标:知识与技能目标:1.知道平方根的概念,能熟练地求出一个正数的平方根。

2.能描述平方根的特征,理解开方与乘方两者之间的联系与区别。

过程与方法目标:让学生在观察、探索等活动中,获得对非负数的平方根特点的认识。

情感与态度目标:1.学生积极参与数学活动,培养其对数学的好奇心与求知欲。

2.过数学活动,使学生获得成功的体验,并形成实事求是的态度。

二、教学重、难点:重点:对平方根概念的描述与刻画难点:对平方根性质的探索三、学情分析:知识背景:学生已经学会了乘方运算.能力背景:能借助乘方运算解决其逆运算-----开平方预测目标:1.能熟练地求一个正数的平方根.2.知道乘方与开方的联系与区别四、教具准备: 多媒体五、教学过程:(一)创设情景,引入新课师:小明到装饰城购买瓷砖,老板给了他一块面积为4dm2的正方形瓷砖,聪明的你能告诉小明这块瓷砖的边长吗?(幻灯片显示)生:2dm(学生异口同声)师:若面积为5 dm2 ,则边长为多少呢?生1:边长为2.5 dm(生1好耍小聪明,回答问题不假思索)生2:边长不能为2.5 dm师:为什么?生2:因为如果边长为2.5 dm,那么它的面积就为6.25 dm2,所以不正确.(此时学生中出现了一阵骚动,有的学生还怀疑数字出错了,建议把数字改为9,并说出其中的原因.) 生3:要是能知道几的平方等于5就好了.(生3是一个基础较好的学生,很爱动脑筋,此时有不少学生对他的见解表示赞成)(二)实践探索,揭示新知:1.平方根的定义(幻灯片显示)一般地,如果一个数的平方根等于a,那么这个数叫做a的平方根,也称为二次方根.也就是说,如果x2=a,那么x叫做a的平方根.例如:22=4,(-2)2=4,±2叫做4的平方根32=9,(-3)2=9,±3叫做9的平方根2.探索平方根的性质:a.看一看:观察下面的式子: (幻灯片显示)①12=1, (-1)2=1②0.52=0.25, (-0.5)2=0.25③( )2= , (- )2=(1)请你写出一个与上面式子类同的式子;(2)你发现了什么结论?生1:互为相反数的两个数的平方相等.生2:平方等于同一个数的数有两个,它们互为相反数.生3:±1都是1的平方根生4:一个正数的平方根有2个,一个正的,一个负的,并且互为相反数. 一个正数a有两个平方根,它们互为相反数.(在学生的交流与探索之中,思维的火花不断绽放,逐渐地点出了新知.)b.介绍平方根的表示方法: (幻灯片显示)一个正数a有两个平方根,它们互为相反数.正数a的正的平方根,记作" "正数a的负的平方根,记作"- "这两个平方根合在一起记作"± "c. 想一想在下列各括号中,能填写适当的数使等式成立吗?如果能够,请填写;如果不能,请说明理由,并与同学交流.①( )2=9 ( )2=25 ( )2=②( )2=2 ( )2=3 ( )2=0③( )2=-2(对于①学生在较短的时间内很顺利地做完了;②③较①有一定的难度,有一部分的学生通过指点也能做出。