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复变函数与积分变换重要知识点归纳一、复变函数的基础知识1.复数与复平面：复数由实部和虚部构成，可以用复平面表示，实部表示横轴，虚部表示纵轴。
2.复变函数的定义：复变函数是将复数集映射到复数集的函数。
3.极坐标形式和指数形式：复数可以表示为极坐标形式和指数形式，这两种形式有助于分析复数运算和求解复变函数。
二、复变函数的性质与分析1.连续性与可导性：复变函数在复平面上的连续性与可导性是复变函数分析中重要的性质。
2.柯西-黎曼方程：一个函数在一些区域上可导，当且仅当其满足柯西-黎曼方程。
3.偏导数和全微分：复变函数的偏导数与全微分的概念与实变函数的类似，但存在一些差异。
三、积分变换的基础知识1.定积分：定积分是积分变换的基本操作，用于求解区间上的面积和曲线下的面积等问题。
2.不定积分：不定积分是对函数求原函数的逆过程，通过不定积分可以求出函数的原函数。
四、复积分与柯西公式1.复积分：复积分是对复变函数在一些区域上的积分，可以理解为沿着复平面上的曲线进行的积分运算。
2.柯西公式：柯西公式是复积分的重要定理，它将复变函数与曲线围城的区域之间的关系建立了起来。
3.洛朗级数展开：洛朗级数展开是复积分应用中的重要工具，可以将复变函数展开为无穷级数。
五、拉普拉斯变换与傅立叶变换1.拉普拉斯变换：拉普拉斯变换是线性时不变系统中信号处理的重要工具，可以将时域函数转换为频域函数。
2.拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有一系列的性质，例如位移定理、尺度定理和频率域乘法等。
3.傅立叶变换：傅立叶变换是将时域函数转换为频域函数的一种积分变换，广泛应用于信号分析和图像处理中。
以上是复变函数与积分变换的重要知识点的归纳总结。
这些知识点在数学及其应用中起到了重要的作用，对于理解和应用相关领域的知识具有重要意义。
拉普拉斯变换1. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数()t f 与复变函数 ()s F 联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换得到待求的时间函数。
2. 拉普拉斯变换的定义一个定义在[]+∞,0区间的函数()t f ，它的拉普拉斯变换式()s F 定义为： ()()[]()dt et f t f L s F st-+∞⎰-==0式中复数ωσj s +=称为复频率；()s F 为()t f 的象函数，()t f 为()s F 的原函数。
由 ()s F 到()t f 的变换称为拉普拉斯反变换，它定义为：()()[]()ds e s F js F Lt f stj c j c ⎰+--==ωωπ211式中 c 为正的有限常数。
注意：1）定义中拉氏变换的积分从-=0t 开始，即：()()[]()()()dt et f dt et f dt et f t f L s F ststst-+∞--+∞⎰⎰⎰++--+===0000它包含从-=0t 至 +0()t f 包含的冲激和电路动态变量的初始值。
2）象函数()s F 一般用大写字母表示，原函数()t f 用小写字母表示。
3）象函数()s F 存在的条件：()∞<⎰+∞--dt et f st3.典型函数的拉氏变换（1） 单位阶跃函数()t ε的象函数：[]()sesdt edt et t L s F ststst11)()(000=-====∞-+∞+--+∞⎰⎰-εε（2）单位冲激函数()t δ的象函数：[]()()1)()(000====⎰⎰+----+∞dt et dt et t L s F ststδδδ（3） 指数函数ate±的象函数 []as dt eeeL s F statat1)(0===-+∞±±⎰-拉普拉斯变换性质1线性组合定理: ()()[]()[]()[]t f bL t f aL t bf t af L 2121±=± 其中a 和b 为任意常数 2微分定理: ()()[]()--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0f t f sL t f dt d L3积分定理: ()()[]t f L sdt t f L t 10=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰- 4时域位移定理:设时间函数()()t t f ε的拉普拉斯变换为：()()[]()s F t t f L =ε当此时间函数推迟0t 出现而成为()()00t t t t f --ε时，其拉普拉斯变换为：()()[]()s F et t t t f L st 000-=--ε5时域卷积分定理:设()[]()s F t f L 11=，()[]()s F t f L 22=，则()t f 1与()t f 2的卷积分的象函数等于()t f 1的象函数与()t f 2的象函数的乘积。
复变函数与积分变换课程自学辅导资料二○○八年四月《复变函数与积分变换》课程自学进度表教材：《复变函数与积分变换》教材编者：徐大申等出版社：中国电力出版社出版时间：2005年8月给任课教师。
总成绩中，作业占15分。
参考教材：1 《复变函数》（第四版），西安交通大学高等数学教研室编，北京，高等教育出版社，19962 《复变函数与积分变换》（第二版），华中科技大学数学系编，北京，高等教育出版社，2003《复变函数与积分变换》课程自学指导书第一章复数及复变函数一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心复数及运算，区域，复变函数及映射理解复数、复变函数、极限及连续的概念；掌握复数运算及几何表示法；了解区域及有关定义。
（二）本章重点复数及运算，区域，复变函数及映射（三）本章前后联系本章介绍了复数的概念、运算及其表示和复变函数的概念及其极限、连续两部分内容。
是后续各章的基础。
二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念复数及运算，区域，复变函数及映射（二）本章难点及学习方法指导1.复数的概念、运算及其表示方法是学习复变函数的基础，通过学习复数，做到熟练掌握，灵活应用。
学习时要注意下边几点：（1）正确理解辅角的多值性，见（1-5）式；（2）熟悉两个复数乘积和商的辅角公式，见（2-3）和（2-4）式；（3）由于复数可以用平面上的点与向量表示，因此能用复数形式的方程（或不等式）表示一些平面图形，解决有关的几何问题，见例1.3及相关习题；（4）了解无穷远点和扩充复平面的概念，它们是为了用球面上的点来表示复数而引入。
无穷远点和无穷大∞这个复数相对应。
这里的无穷大∞是指模为正无穷大（辅角无意义）的唯一的一个复数；2.复变函数及其极限、连续等概念是《高等数学》中相应概念的推广，它们有相似之处，又有不同之点，在学习中要善于比较，深刻理解。
（1）平面曲线（特别是简单闭曲线、光滑或按段光滑曲线）和平面区域（包括单连通域与多连通域）是复变函数理论的几何基础，要求熟悉这些概念，会用复数表达式表示一些常见平面曲线与区域，或者根据给定的表达式画出它所表示的平面曲线或区域；（2） 认真体会复变函数的定义与一元实变函数的定义的异同；复变函数极限的定义与一元实变函数极限定义形式上相似，但实质却有很大差异，注意进行比较；复变函数有极限的等价条件是其实部和虚部同时极限存在；复变函数连续等价于其实部和虚部同时连续。
复变函数与积分变换
FunctionsofComp1exVariab1eandIntegra1Transforms
总学时：32 理论32 实验0
学分：2
课程主要内容：
复变函数在工程技术的各个领域有着广泛的应用，也是培养学生学会用复变函数方法解决实际问题能力的一门重要的课程，积分变换（拉普拉斯变换）是机电类等专业常用的工具。
学生通过本课程学习能够运用本课程知识解决专业中有关问题。
为有关后继课程和进一步扩大数学知识面打好基础。
先修课程：
高等数学
适用专业：
电气工程与自动化
教材：
苏变萍、陈东立，夏变函数与积分变换（第2版），高等教育出版社，2010.3
教学参考书：
1.《复变函数》第四版西安交大高等数学教研室编高等教育出版社，2001
2.《积分变换》第三版南京工学院数学教研室编高等教育出版社
3.《复变函数全程学习指导与解题能力训练》谭欣欣等大连理工大学出版社与专业相关的英文资料。
复变函数与积分变换课程教学大纲（Complex Function and Integral Transform）一、课程概况课程代码：0801010学分：3学时：48（其中：讲授学时48 ，实验学时0 ，上机学时0 ）先修课程：高等数学适用专业：工科各专业建议教材：《复变函数》，西安交通大学，高等教育出版社，2014.7课程归口：理学院课程的性质与任务：本课程是工科专业的通识必修课。
通过本课程的学习，使学生系统地获得复变函数与积分变换的基本知识、必要的基础理论和常用的运算方法；提高学生的运算能力、抽象思维能力、逻辑推理能力；并能运用数学知识、理论、方法解决相关的实际应用问题；提高学生的数学素养，为学生学习后续相关课程及终身学习奠定必要的数学基础。
二、课程目标目标1.能够获得课程基本概念与性质。
目标2. 能够掌握本课程要求的计算方法。
目标3. 能够具有一定的抽象概括、逻辑推理等能力。
目标4. 能够具有一定的运算能力。
目标5. 能够具有一定的数学思维与分析能力。
本课程支撑专业人才培养方案中毕业要求1-1，对应关系如表所示。
三、课程内容及要求（一）复数与复变函数1.教学内容（1）能够理解复数的各种表示方法及其运算（2）能够了解区域、简单曲线的概念（3）能够掌握用复数式表达常见区域、简单曲线的方法（4）能够了解复球面与无穷远点（5）能够理解复变函数及映射的概念（6）能够理解复变函数的极限和连续的概念（7）能够了解闭区域上连续函数的性质2.基本要求（1）重点与难点：复变函数及映射、复变函数的极限和连续。
（2）教学方法：启发式互动讲授结合多媒体辅助；适当课堂练习；及时了解学生的作业状况并对共同的问题作及时解答；安排好课后答疑。
3.思政内容注重理论联系实际，尊重客观规律，树立社会主义核心价值观，增强专业素养，强调理论对实践的指导意义。
（二）解析函数1.教学内容（1）能够理解复变函数的导数及复变函数解析的概念（2）能够掌握复变函数解析的充要条件（3）能够了解调和函数的概念及其与解析函数的关系（4）能够掌握利用解析函数的实（虚）部求其（实）部（5）能够理解指数、三角、双曲、对数函数及幂函数的定义、性质与计算2.基本要求（1）重点与难点：复变函数的导数及复变函数解析，从解析函数的实（虚）部求其（实）部。
《复变函数与积分变换》课程教学大纲一、课程性质和教学目标（在人才培养中的地位与性质及主要内容，指明学生需掌握知识与能力及其应达到的水平）课程性质：《复变函数与积分变换》的理论和方法广泛应用于电气工程、通讯工程、自动化等相关学科，并且已经成为解决众多理论和实际问题的强有力工具，成为了电气工程及其自动化专业一门重要的基础理论课程，而高等数学的是它的必须的先修课程。
对于本专业而言，是学习《自动控制原理》、《现代控制理论》、《线性系统理论》、《信号与系统》等许多相关课程的必须先修课程之一。
教学目标：通过本课程的讲授和学习，使学生在学习高等数学的基础上，系统的掌握《复变函数与积分变换》中必要的基础理论和常用的计算方法，培养学生比较熟练的运算能力，能比较熟练运用复变函数、积分变换的方法来有效地比较系统地解决一些问题。
并且逐步培养能够建立比较复杂系统数学模型的能力，在此基础上，进一步地提升分析问题、解决问题的水平和能力。
并为后续的专业基础课程、专业课程的学习，以及将来从事教学、科研及其它实际工作打下必要相当水准的理论知识基础。
本课程的具体教学目标如下：1.熟练掌握复数与复变函数、解析函数、复变函数积分、复级数、留数、傅里叶变换和拉普拉斯变换的基本概念、基本理论、基本方法和某些相关的应用，为进一步学习打下坚实的理论基础。
2.大致了解理想典型电子线性器件的时域和频域的数学模型，为后续课程比较复杂的线性电气系统或者比较复杂的线性力学系统的数学模型的建立、分析和控制做好理论、学识上准备。
3.基本理解时滞环节的频域表达形式，并且与上述的线性系统有机结合，构建相对更加复杂的非线性系统的数学模型，为以后专业课上对此非线性系统的数学模型的分析、控制做好基础的准备。
为以后解决实际复杂工程问题做好知识上的储备。
教学目标与毕业要求的对应关系：二、课程教学内容及学时分配（含课程教学、自学、作业、讨论等内容和要求，指明重点内容和难点内容。
