8工程力学(下)—组合变形1

则危险截面上的压应力为
FN 20800 σc = − =− A 0.00485 = −4.29 ×106 Pa = −4.29 MPa
均匀分布于横截面上。 均匀分布于横截面上。
FAx＝FBx＝20.8 kN
(3) 强度校核 由于工字钢的抗拉与抗压能力相同, 由于工字钢的抗拉与抗压能力相同 故只校核正 应力绝对值最大处的强度即可, 应力绝对值最大处的强度即可 即 σ c max = 59.7 + 4.29 ≈ 64 MPa < [σ ] 由计算可知, 此悬臂吊车的横梁是安全的。 由计算可知 此悬臂吊车的横梁是安全的。
Fx = F cos ϕ
Fy = F sin ϕ
其中, 分力F 其中 分力 x 为轴向 外力, 外力 在此力的单独 作用下, 作用下 杆将产生轴 向拉伸, 此时, 向拉伸 此时 任一横 截面上的轴力F 截面上的轴力 N = Fx。 因此, 因此 杆横截面上各 点将产生数值相等的 拉应力, 拉应力 其值为
σ t max
FN M max = + A Wz
在上边缘, 在上边缘 由于σ’为拉 为拉 应力, 为压应力, 应力 而 σ’’为压应力 为压应力 故总应力为两者之差, 故总应力为两者之差 由此得最大压应力 如果存在的话） （如果存在的话）为
σ c max
FN M max = − A Wz
上两式中的M 上两式中的 max 为危 险截面处的弯矩; 险截面处的弯矩 Wz 为抗弯截面系数。 为抗弯截面系数。
处理组合变形的基本过程 将组合变形分解 为基本变形——将外力简 分解为基本变形 一 、 将组合变形 分解 为基本变形 将外力简 化或分解, 之每个力(或力偶 或力偶)对应一种基本变 化或分解 使之每个力 或力偶 对应一种基本变 形 二、分别计算在每一种基本变形下构件的的应力 和变形 利用叠加原理 叠加原理将基本变形下的应力和变形 三 、利用 叠加原理 将基本变形下的应力和变形 叠加 位移应力、 叠加原理要求位移应力 应变等与外力成正比， 叠加原理要求位移应力、应变等与外力成正比， 且在线弹性范围内。 且在线弹性范围内。
My z1 425×12.5P = MPa (−) 5310 Iy
（3）叠加 ） 在截面内侧有最大拉应力
My z0 425×7.5P = MPa σ′′t max = 5310 Iy
P 425×7.5P ≤[σt ] σt max =σ′+σ′′t max = + 15 5310
[P] ≤ 45.1 KN
第8章
组合变形
8.1 概 述 在工程实际中, 在工程实际中 构件在荷载作用下往往发生两种 或两种以上的基本变形。 或两种以上的基本变形。 若其中有一种变形是主要的, 若其中有一种变形是主要的 其余变形所引起的 应力(或变形 很小, 则构件可按主要的基本变形 或变形)很小 应力 或变形 很小 则构件可按主要的基本变形 进行计算。 进行计算。 若几种变形所对应的应力(或变形 属于同一数量 若几种变形所对应的应力 或变形)属于同一数量 或变形 则构件的变形称为组合变形 组合变形。 级, 则构件的变形称为组合变形。
一般情况下, 对于抗拉与抗压能力不相等的材料, 抗拉与抗压能力不相等的材料 一般情况下 对于抗拉与抗压能力不相等的材料 如铸铁和混凝土等, 如铸铁和混凝土等 需用以上两式分别校核构件 的强度; 的强度 对于抗拉与抗压能力相等的材料, 如低碳钢, 抗拉与抗压能力相等的材料 对于抗拉与抗压能力相等的材料 如低碳钢 则 只需校核构件应力绝对值最大处的强度即可。 只需校核构件应力绝对值最大处的强度即可。 在按叠加原理计算拉伸(压缩 与弯曲组合变形杆 在按叠加原理计算拉伸 压缩)与弯曲组合变形杆 压缩 横截面上的正应力时, 略去了轴向拉(压)力由于 横截面上的正应力时 略去了轴向拉 压 力由于 弯曲挠度而引起的附加弯矩。 弯曲挠度而引起的附加弯矩。
F 1
L
x
σmax
Mz = + Wy Wz
My
L
y
6× 2× F L 6× F L 1 1 = + bh2 bh2
σ
+ m ax
= 9.979MPa
σ
− m ax
= 9.979MPa
一带槽钢板受力如图, 已知钢板宽度b＝ 例8-4: 一带槽钢板受力如图 已知钢板宽度 ＝ 8cm, 厚度δ ＝1cm, 边缘上半圆形槽的半径 ＝l 边缘上半圆形槽的半径r＝ cm, 已知拉力 ＝80 kN, 钢板许用应力 σ]＝140 已知拉力P＝ 钢板许用应力[ ＝ MPa。试对此钢板进行强度校核。 。试对此钢板进行强度校核。 解: 由于钢板在 截面1--1处有一 截面 处有一 半圆槽, 半圆槽 因而外 力 P对此截面为 对此截面为 偏心拉伸, 偏心拉伸 其偏 心距之值为 b b−r r 1
P
n
n N My
在截面外侧有最大压应力
σC max =σ′+σ′′C max = P 425×12.5P ≤ [σC] − 15 5310
[P] ≤ 171.3 KN
所以取
[P] ≤ 45.1 KN
图示矩形截面梁，截面宽度b＝ 例8.3 图示矩形截面梁，截面宽度 ＝90mm， ， 高度h＝ 高度 ＝180mm。梁在两个互相垂直的平面内分 。 别受有水平力F 和铅垂力F 若已知F 别受有水平力 1和铅垂力 2 。若已知 1＝800N， ， F2＝1650N， L ＝1m，试求梁内的最大弯曲正 ， ， 应力并指出其作用点的位置。 应力并指出其作用点的位置。 My = F × 2L 1 F2 Mz = F2 × L z
或
由于在固定端处横截 面上的弯矩最大, 因此, 面上的弯矩最大 因此 该截面为危险截面。 该截面为危险截面 。 从图e可知 构件的危 可知, 从图 可知 构件的 危 险点位于危险截面的 上边缘或下边缘处。 上边缘或下边缘处 。 在 下 边 缘 处 由 于 σ' 和 σ"均为拉应力 故总应 均为拉应力, 均为拉应力 力为两者之和, 力为两者之和 由此得 最大拉应力为
50
150
z0
y
z1
z
50 150
P
n N My
n
50
150
由弯矩 My 产生的最大弯曲正应力为
M y z0 425×7.5P = MPa σ′′t max = 5310 Iy
σ′′
C max
Mz = I
y y
1
425×12.5P = MPa 5310
N P σ′ = = MPa A 15
σ′′C max =
WZ = 402 cm 2 = 402 × 10−6 m3
FBy
FBx B F
Mmax＝24 kN·m 所以最大弯曲应力为 M max 24000 σ B max = = = 59.7 ×106 Pa = 59.7 MPa −6
WZ 402 ×10
其分布如图所示, 梁危险截面的上边缘处受最大压应力、 其分布如图所示 梁危险截面的上边缘处受最大压应力、 下边缘处受最大拉应力作用。 下边缘处受最大拉应力作用。 横梁所受的轴向压力为 FN＝FAx＝20.8 kN
FN σ′ = A 正应力σ'在横截面上均匀 在横截面上均匀
分布, 如图c所示 所示。 分布 如图 所示。
分力F 分力 y 为垂直于杆轴 线的横向外力, 线的横向外力 在此 力的单独作用下, 杆 力的单独作用下 将 在 Oxy 平 面 内 发 生 平面弯曲, 平面弯曲 任一横截 面的弯矩为
M = Fy (l − x)
e= 2 − 2 = 2 = 2 = 0.5cm
截面1-1处的轴力和弯矩分别为： 截面 处的轴力和弯矩分别为： 处的轴力和弯矩分别为
FN = P = 80 kN = 80000 N
悬臂吊车如图所示, 横梁用25a号工字钢制 例8-1 悬臂吊车如图所示 横梁用 号工字钢制 梁长l 斜杆与横梁的夹角a＝ 成, 梁长 = 4 m, 斜杆与横梁的夹角 ＝30º, 电葫 芦重Q 起重量Q 芦重 1＝4 kN, 起重量 2＝20 kN, 材料的许用应 力[s]＝100 MPa。试校核横梁的强度。 ＝ 。试校核横梁的强度。 解: (1) 外力计算 画横梁AB的受力图如图。 画横梁 的受力图如图。 的受力图如图
A C
B 梁上载荷为F＝ 梁上载荷为 ＝Q1+ Q2＝24 D 2m 2m kN。 横梁在横向力 和 FAy 、 。 横梁在横向力F和 F FBy作用下产生弯曲 同时在 作用下产生弯曲; FT FBy FAx和FBx作用下产生轴向压 F FAy Ax 缩。这是一个弯曲与压缩组 A FBx B 合的构件。 合的构件。 F
+
=
小型压力机的铸铁框架如图所示。 例8-2 小型压力机的铸铁框架如图所示。已知 材料的许用拉应力 [σt] =30MPa ，许用压应力 [σC] =160MPa。试按立柱的强度确定压力机的 。 最大许可压力 P。 。
z0 P P 350 z 150 50 150 50 y z1
× 解：(1) 确定形心位置 A=15×10-3 m2，Z厂房中吊车立柱除受轴 向压力F 向压力 1 外 , 还受到偏 心压力F 的作用, 心压力 2 的作用 立柱 将同时发生轴向压缩和 弯曲变形。 弯曲变形。
机械中的齿轮传动轴在外力作用下, 机械中的齿轮传动轴在外力作用下 将同 扭转变形及在 时发生扭转变形 及在水平平面和垂直平 时发生 扭转变形 及在 水平平面和垂直平 面内的弯曲变形。 面内的弯曲变形。
FN M y σ = σ ′ + σ ′′ = + A Iz
FN M y σ = σ ′ + σ ′′ = + A Iz
如横截面上、 如横截面上 、 下边缘 处的最大弯曲应力大 拉伸正应力, 于(或小于 拉伸正应力 或小于)拉伸正应力 则总应力σ沿截面高度 方向的变化规律如图 e(或f )所示。 所示。 或 所示