工程力学A参考习题之组合变形解题指导

工程力学第10章组合变形学习目标(1)了解组合变形的概念及其强度问题的分析方法；(2)掌握斜弯曲、拉伸(压缩)与弯曲和偏心压缩的应力及强度计算。

10.1 组合变形的概念例如，烟囱的变形，除自重W引起的轴向压缩外，还有水平风力引起的弯曲变形，同时产生两种基本变形，如图10-1(a)所示。

又如图10-1(b)所示，设有吊车的厂房柱子，作用在柱子牛腿上的荷载F，它们合力的作用线偏离柱子轴线，平移到轴线后同时附加力偶。

此时，柱子既产生压缩变形又产生弯曲变形。

再如图10-1(c)所示的曲拐轴，在力F作用下，AB 段同时产生弯曲变形和扭转变形。

10.1 组合变形的概念图10-110.1 组合变形的概念上述这些构件的变形，都是两种或两种以上的基本变形的组合，称为组合变形。

研究组合变形问题依据的是叠加原理，进行强度计算的步骤如下：(1)将所作用的荷载分解或简化为几个只引起一种基本变形的荷载分量。

(2)分别计算各个荷载分量所引起的应力。

(3)根据叠加原理，将所求得的应力相应叠加，即得到原来荷载共同作用下构件所产生的应力。

(4)判断危险点的位置，建立强度条件。

10.2例如图10-2(a)所示的横截面为矩形的悬臂梁，外力F作用在梁的对称平面内，此类弯曲称为平面弯曲。

斜弯曲与平面弯曲不同，如图10-2(b)所示同样的矩形截面梁，外力F的作用线通过横截面的形心而不与截面的对称轴重合，此梁弯曲后的挠曲线不再位于梁的纵向对称面内，这类弯曲称为斜弯曲。

斜弯曲是两个平面弯曲的组合，本节将讨论斜弯曲时的正应力及其强度计算。

10.2图10-210.210.2.1 正应力计算斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，但因切应力值很小，一般不予考虑。

下面结合图10-3（a）所示的矩形截面梁说明斜弯曲时正应力的计算方法。

图10-310.2.1 正应力计算10.2.1.1 外力的分解由图10-3(a)可知：10.2.1.2 内力的计算如图10-3(b)所示，距右端为a 的横截面上由F y 、F z 引起的弯曲矩分别是：10.2 10.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算由M z 和M y (即F y 和F z )在该截面引起K 点的正应力分别为：F y 和F z 共同作用下K 点的正应力为：10.210-110.210.2.1 正应力计算10.2.1.3 应力的计算通过以上分析过程，我们可以将组合变形问题计算的思路归纳为“先分后合”，具体如下：10.210.2.2 正应力强度条件同平面弯曲一样，斜弯曲梁的正应力强度条件仍为：10-2即危险截面上危险点的最大正应力不能超过材料的许用应力［σ］。

第章工程力学之组合变形方案 (一)第章工程力学之组合变形方案在工程力学中，力学的变形问题是一个重要的研究领域。

组合变形是其中的一个重要问题，也是工程实践中常见的一个问题。

组合变形是指材料为了适应外界的力和变形条件，而发生的各种形式的变形行为的总和。

为了更好地理解组合变形的概念和机理，我们需要了解组合变形的方案。

组合变形方案包括：弹性变形、塑性变形和刚性变形。

弹性变形是指材料在受到外界作用后，发生形变，但它发生的瞬间是可逆的、恢复原状的。

弹性变形依赖于材料的弹性模量，其大小与材料的质量、压力和温度等因素有关。

如果外部力的作用在材料的强度范围之内，那么弹性变形可以在外力消失后恢复到原来的形状，这被称为可逆弹性变形。

塑性变形是指材料在受到外界作用后，发生形变，并且它的恢复是不完全的。

塑性变形的大小与材料的强度、初始形状、应力状态等因素有关。

当外部力的作用超过材料的强度时，材料会发生塑性变形，而且它是不可逆的，材料的形状将保持在变形后的状态，这就是所谓的永久塑性变形。

刚性变形是指材料在受到外界作用后，形状发生改变，但变形量非常小，可以忽略不计。

这种变形可以在应变能够被视为无限小时得到。

我们可以把刚性变形看成是弹性变形的极限情况。

总之，组合变形是材料为了适应外界的力和变形条件而发生的符合弹性、塑性、刚性三种形式的变形行为的总和。

掌握组合变形方案对于解决工程实践中的相关问题非常有意义，能够帮助工程师把握有效控制材料的应力、应变来对材料进行设计和选择。

同时，掌握和运用组合变形方案也是学习工程力学的入门难度，希望学生们在理解基本概念的基础上，更深入的探究其机理和应用。

第六章直梁弯曲弯曲变形是杆件比较常见的基本变形形式。

通常把以发生弯曲变形为主的杆件称为梁。

本章主要讨论直梁的平面弯曲问题，内容包括：弯曲概念和静定梁的力学简图；弯曲内力及内力图；弯曲应力和强度计算；弯曲变形和刚度计算。

其中，梁的内力分析和画弯矩图是本章的重点。

第一节平面弯曲的概念和力学简图一、弯曲概念和受力特点当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用(图6-1)时，杆轴由直线弯成曲线，这种在外力作用下其轴线变成了一条曲线。

这种形式的变形称为弯曲变形。

工程上通常把以弯曲变形为主的杆件称为梁。

图 6-1 弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。

例如房屋建筑中的楼面梁和阳台挑梁，受到楼面荷载和梁自重的作用，将发生弯曲变形，如图6-2所示。

一些杆件在荷载作用下不仅发生弯曲变形，还发生扭转等变形，当讨论其弯曲变形时，仍然把这些杆件看做梁。

图6-2工程实际中常见到的直梁，其横截面大多有一根纵向对称轴，如图6-3所示。

梁的无数个横截面的纵向对称轴构成了梁的纵向对称平面，如图6-4所示。

图 6-3 图6-4若梁上的所有外力（包括力偶）作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线将在其纵向对称平面内弯成一条平面曲线，梁的这种弯曲称为平面弯曲，它是最常见、最基本的弯曲变形。

本章主要讨论直梁的平面弯曲变形。

从以上工程实例中可以得出，直梁平面弯曲的受力与变形特点是：外力作用于梁的纵向对称平面内，梁的轴线在此纵向对称面内弯成一条平面曲线。

二、梁的受力简图为了便于分析和计算直梁平面弯曲时的强度和刚度，需建立梁的力学简图。

梁的力学简图（力学模型）包括梁的简化、荷载的简化和支座的简化。

1、梁的简化由前述平面弯曲的概念可知，载荷作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯成一条平面曲线。

因此，无论梁的外形尺寸如何复杂，用梁的轴线来代替梁可以使问题得到简化。

例如，图6-1a和图6-2a所示的火车轮轴和桥式起重机大梁，可分别用梁的轴线AB代替梁进行简化（图6-1b和图6-2b）。

10-3 试求图示[16a 简支梁由于自重作用所产生的最大正应力及同一截面上AB 两点的正应力。

q解：(1)查表可矩[16a 的理论重量为17.24kg/m ，故该梁重均布载荷的集度为172.4N/m 。

截面关于z 轴对称，而不关于y 轴称，查表可得：364640108cm 10810,73.3cm 0.73310m ,63mm =0.063m , 1.8cm =0.018mz y W I b z --==⨯==⨯==⑴外力分析：cos 172.4cos 20162.003/sin 172.4sin 2058.964/y z q q N m q q N mϕϕ======⑵内力分析：跨中为危险面。

32,max 32,max 11162.003 4.2357.217881158.964 4.2130.01688z y y z M q l N mM q l N m==⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅⑶应力分析：A 、B 点应力分析如图所示。

A 点具有最大正应力。

,max,max max 66,max,max max 066357.217130.016(0.0630.018)11.29MPa 108100.73310357.217130.0160.018 6.50MPa108100.73310y z A A z y y z B zyM M z W I M M z W I σσσσ---+--==--⋅=--⨯-=-⨯⨯==++⋅=+⨯=⨯⨯max 11.29MPa A σσ==-10-4 试求图示简支梁的最大正应力，及跨中的总挠度。

已知弹性模量100Pa E G =。

解：(1) 外力分析：由于集中力在横截面内与轴线垂直，故梁将发生斜弯曲。

cos 10cos159.66kN sin 10sin15 2.59kNy z P P P P ϕϕ======⑵内力分析：集中力作用在跨中，故跨中横截面为危险面。

,max ,max119.6637.245kN m 44112.593 1.943kN m 44z y y z M P l M P l ==⨯⨯=⋅==⨯⨯=⋅⑶应力分析：跨中横截面D 2、D 1点分别具有最大的拉压应力，应力分析如图所示。

工程力学组合变形习题引言在工程力学中，组合变形是指由于受到多种力的作用，导致物体的形状和尺寸发生变化的现象。

组合变形是一种重要的力学现象，它在工程设计和分析中具有广泛的应用。

本文将介绍一些工程力学中常见的组合变形习题，并通过使用Markdown文本格式进行解答。

习题一一块钢板的初始长度为L0，厚度为L0，宽度为L0。

当向该钢板施加拉力L，使其同时拉伸和压缩时，钢板的最终长度L，厚度L和宽度L如何变化？解答：根据弹性原理，钢板的变形量与施加在它上面的力成正比。

设长度、厚度和宽度的变形比例分别为$\\epsilon_L$、$\\epsilon_t$和$\\epsilon_w$。

则钢板的最终长度、厚度和宽度为： $L = L_0(1 +\\epsilon_L)$ $t = t_0(1 + \\epsilon_t)$ $w = w_0(1 +\\epsilon_w)$施加拉力L对应的变形量为： $\\epsilon_L =\\frac{F}{AE}$，其中L为钢板的横截面积，L为钢的弹性模量。

同时，根据材料的体积不变原则，可得到如下关系：L0L0L0=LL0L综上所述，可以得到钢板的最终长度变化关系： $L = L_0(1 + \\frac{F}{AE})$钢板的最终厚度变化关系： $t = t_0(1 - \\frac{F}{AE})$钢板的最终宽度变化关系： $w = w_0(1 - \\frac{F}{AE})$习题二一根悬臂梁的初始长度为L0，弯曲刚度为L。

当在悬臂梁上施加一个集中力L时，悬臂梁的最大挠度L如何计算？解答：根据悬臂梁的弯曲理论，悬臂梁的挠度与施加在它上面的力成正比。

设最大挠度为L。

则悬臂梁的最大挠度与施加力的关系为：$δ =\\frac{F\\times L_0^3}{3Ek}$，其中L为悬臂梁的材料弹性模量。

习题三一根弹性绳的初始长度为L0，弹性系数为L。

当对该绳施加一个拉力L时，绳的最大伸长量L如何计算？解答：根据弹性绳的特性，绳的伸长量与施加在它上面的力成正比。

第十二章 组合变形习 题12.1 矩形截面杆受力如图所示。

已知kN 8.01=F ，kN 65.12=F ，mm 90=b ，mm 180=h ，材料的许用应力[]MPa 10=σ，试校核此梁的强度。

Oxyz1F 2F 1m 1mbh题12.1图解：危险点在固定端max yz z yM M W W σ=+max 6.69[]10MPa MPa σσ=<=12.2 受集度为q 的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与梁的纵向对称面间的夹角为030=α，如图所示。

已知该梁材料的弹性模量GPa 10=E ；梁的尺寸为m 4=l ，mm 160=h ，mm 120=b ；许用应力[]M Pa 12=σ；许可挠度[]150lw =。

试校核梁的强度和刚度。

题12.2图22zmax 11cos3088y M q l q l ==⋅解：22ymax 11sin 3088z M q l q l ==⋅22ymaxzmax 2211cos30sin 308866z yq l q l M M bh bh W W σ⋅⋅=+=+26cos30sin 30()8ql bh h b=+32616210422 ()8120160100.1600.120-⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯ []6 11.971012.0,Pa MPa σ=⨯==强度安全 44z 35512sin 30384384z y q l q l W EI Ehb ⨯==4435512cos30384384y y z q l q l W EI Ehb ⨯==22maxcos30sin 30)()W ==+ =[]40.0202150m w m =<=刚度安全。

12.3 简支于屋架上的檩条承受均布载荷kN/m 14=q ，30=ϕ，如图所示。

檩条跨长m 4=l ，采用工字钢制造，其许用应力[]M Pa 160=σ，试选择工字钢型号。

14 kN/mq =题12.3图解：cos ,sin y z q q q q ϕϕ==22max max,88y z z y q l q l M M ==max max max[]y z z yM M W W σσ=+≤对工字钢，zyW W 大约在6～10之间，现设为8，由上式得 max 6max max16010/8y z z z M M Pa W W σ=+≤⨯330.85110z W m -≥⨯查40C 号钢，有，331190,99.6z y W cm W cm ==验算max maxmax 6616111901099.610y z M M MPa σ--=+=⨯⨯ 最大应力略大于许用应力，但不超过许用应力的5%，工程上允许，故可选40C 号钢12.4 图示构架的立柱AB 用25号工字钢制成，已知kN 20=F ，[]M Pa 160=σ，试校核立柱的强度。

（2）弯曲与扭转组合变形的强度计算。

Aa”、““aAA%FMeBBCB2.若在正方形截面短柱的中间处开一个槽， 原截面面积的一半。

试求最大正应力比不开槽时增大儿倍 解：正方形短柱截面不开槽时最大正应力5）=字=厶 正方形短柱截而开槽时，BC 段受偏心压缩，偏心距卢0・5⑦ 抗弯截而系数出=//3,最大正应力，naxA 出 2於 疋 a 2如图所示，使横截面面积减少为6命/5）=8,所以开槽后最大正应力比不开槽时增大7倍。

7/ /z aa3•如图所示的支架，已知载荷斥45kN,作用在C 处，支架材料的许用应 力[cr]=160MP ,试选择横梁AC 的工字钢型号。

解：（1）外力分析作ABC 梁的受力图，如图12-3a 所示。

平衡方程t M A （斥）=0,心sin30° xAB —FBDb)图 12-1答：如图12-la 所示，将力F 平移到B 点，可知图中杆AB 产生弯曲变形；如图12-lb 所示，将力F 平移到C 点，可知杆BC 产生 压缩和弯曲组合变形；如图12-lc 所示，杆CD 产生（横力）弯曲变形。

D F1 •试判断图中杆AB 、BC 和CD 各产生哪些基本变形a)lm3m第12章组合变形的强度计算主要知识点：（1）弯曲与拉伸（压缩）组合变形的强度计算;z/Z解得心=120kAL 变形。

(2) 内力分析，确定危险截面的位置AB 段受到拉力，F v = F R cos30° = 104RN ,作出图12-3b 所示轴力图。

梁的AB 段、BC 段剪力均为常数，弯矩图均为斜直线，算得M l{ = -45kN ・m,作出图12-3c 所示弯矩图。

故危险截而是B-截而，即B 截而左侧。

危险截而上的轴力F v = 1(MRN 、弯矩M” = -45kN-m(3) 应力分析，确定危险点的位置危险截而上拉伸正应力6= 乌,弯曲正应力6=纬竺)，(见图12-3d)。

根据危险截A而上的应力分布规律可知，危险点在危险截而的上侧边缘。

10 组合变形1、 斜弯曲，弯扭，拉（压)弯，偏心拉伸（压缩）等组合变形的概念;2、危险截面和危险点的确定,中性轴的确定； 如双向偏心拉伸, 中性轴方程为p p o o 22yzz y 1z y 0ii++⋅=3、危险点的应力计算,强度计算，变形计算、。

4、截面核心.10.1、定性分析图10。

1 示结构中各构件将发生哪些基本变形?图 10.1［解］（a ）AD 杆时压缩、弯曲组合变形，BC 杆是压缩、弯曲组合变形；AC 杆不发生变形.（b ）AB 杆是压弯组合变形，BC 杆是弯曲变形。

（c ）AB 是压缩弯曲组合变形,BC 是压弯组合变形。

（d ）CD 是弯曲变形，BD 发生压缩变形，AB 发生弯伸变形，BC 发生拉弯组合变形。

10。

2 分析图10。

2中各杆的受力和变形情况。

解题范例图 10.2［解］（a)力可分解成水平和竖直方向的分力，为压弯变形. (b）所受外力偶矩作用,产生弯曲变形。

（c）该杆受竖向集中荷载，产生弯曲变形.（d)该杆受水平集中荷载,偏心受压，产生压缩和弯曲变形.（e）AB段：受弯，弯曲变形,BC段：弯曲。

（f）AB段:受弯,弯曲变形，BC段：压弯组合。

（g）AB段：斜弯曲，BC段:弯纽扭合.10.3分析图10.3 示构件中（AB、BC和CD) 各段将发生哪些变形？图10。

3［解] AB 段发生弯曲变形，BC 段发生弯曲、扭转变形；CD 段发生拉伸、双向弯曲变形。

10。

4一悬臂滑车架如图 10。

4 所示，杆AB 为18号工字钢(截面面积30.6cm 2，Wz=185cm 3）,其长度为l =2.6m.试求当荷载F=25kN 作用在AB 的中点处时，杆内的最大正应力。

设工字钢的自重可略去不计。

Bl /2F 20kN 300CDAl图 10。

4［解］ 取AB 为研究对象，对A 点取矩可得NBCY F 12.5kN = 则 3225==NBCX NAB F F 分别作出AB 的轴力图和弯矩图：kNll /23225FlkN 。