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2014年量子力学期末考试习题（一） 单项选择题 1. A, 2.B, 3.C, 4.D, 5.A, 6.B, 7.A, 8.B, 9.C, 10.A, 11.B, 12.D, 13.C, 14.D, 15.D, 16.C, 17.C, 18.A, 19.D, 20.C, 21.C, 22.D, 23.C, 24.C, 25.C, 26.C, 27.D, 28.C, 29.A, 30.A, 31.A, 32 A, 33.C, 34. B, 35.A, 36.C, 37.D, 38.D, 39.D, 40.C, 41.D, 42.A, 43.B, 44.B, 45.C, 46.C, 47.C, 48.D, 49.A, 50.C, 51.A, 52.A, 53.A, 54.D, 55.B, 56.A, 57.B, 58.A, 59.C, 60.B, 61.D, 62.C, 63.A, 64.A, 65.A, 66.B, 67.D, 68.B, 69.A, 70.B, 71.B, 72.D, 73.D, 74.C, 75.B, 76.A, 77.B, 78.C, 79.C, 80.B, 81.C, 82.D, 83.A, 84.C, 85.D, 86.A, 87.C, 88.A, 89.B, 90.B, 91.B, 92.A, 93.B, 94.C, 95.A, 96.D, 97.B, 98.A, 99.A, 100.A, 101.B, 102.B, 103.A, 104.D, 105.B, 106.A, 107.B, 108.C, 109.A, 110.A, 111.A, 112.A, 113.B, 114.B, 115.B, 116.B, 117.B, 118.D, 119.A, 120.C, 121.B, 122.C, 123.A, 124.B, 125.D, 126.D, 127.D, 128.B, 129.D, 130.C, 131.C, 132.B, 133.C, 134.D, 135.D, 136.D, 137.D, 138.D, 139.C, 140.C, 141.C, 142.B, 143.A, 144.C, 145.A (一) 单项选择题1.能量为100ev 的自由电子的De Broglie 波长是 A. 1.2A 0. B. 1.5A 0. C.2.1A 0. D. 2.5A 0. 2. 能量为0.1ev 的自由中子的De Broglie 波长是 A.1.3A 0. B. 0.9A 0. C. 0.5A 0. D. 1.8A 0. 3. 能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的De Broglie波长是A.1.4A 0. B.1.9⨯1012-A 0.C.1.17⨯1012-A 0. D. 2.0A 0.4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的De Broglie 波长是A.8A 0. B. 5.6A 0. C. 10A 0. D. 12.6A 0.5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（Λ,2,1,0=n ）A.E n n =ηω.B.E n n =+()12ηω.C.E n n =+()1ηω.D.E n n =2ηω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其De Broglie 波长是A.5.2A 0. B. 7.1A 0. C. 8.4A 0. D. 9.4A 0. 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500A 0的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25⨯1018-J. B. 1.25⨯1018-J. C. 0.25⨯1016-J. D. 1.25⨯1016-J.8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为A.η2μc .B. η22μc .C.η222μc . D. η22μc . pton 效应证实了A.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A. 电子具有波动性. B. 光具有波动性.C. 光具有粒子性.D. 电子具有粒子性.11.粒子在一维无限深势阱U x x a x x a(),,,=<<∞≤≥⎧⎨⎩000中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C xa = 描写，其归一化常数C 为 A.1a . B.2a . C.12a. D.4a . 12. 设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为A.δ()x .B.δ()x dx .C.δ2()x .D.δ2()x dx . 13. 设粒子的波函数为 ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为 A.ψ(,,)x y z dxdydz 2. B.ψ(,,)x y z dx 2. C.dx dydz z y x )),,((2⎰⎰ψ. D.dx dy dz x yz ψ(,)⎰⎰⎰2. 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为 A.c c 112222ψψ+.B. c c 112222ψψ++2*121ψψc c .C. c c 112222ψψ++2*1212ψψc c .D. c c 112222ψψ++c c c c 12121212****ψψψψ+. 15.波函数应满足的标准条件是A.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限. 16.有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波.B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包.C.单个微观粒子具有波动性和粒子性.D. A, B, C.17.已知波函数ψ1=-+u x i Et u x i Et ()exp()()exp()ηη,ψ21122=-+u x i E t u x iE t ()exp()()exp()ηη,ψ312=-+-u x i Et u x iEt ()exp()()exp()ηη,ψ41122=-+-u x i E t u x iE t ()exp()()exp()ηη.其中定态波函数是A.ψ2.B.ψ1和ψ2.C.ψ3.D.ψ3和ψ4. 18.若波函数ψ(,)x t 归一化，则A.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都是归一化的波函数.B.ψ(,)exp()x t i θ是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ不是归一化的波函数.C.ψ(,)exp()x t i θ不是归一化的波函数，而ψ(,)exp()x t i -δ是归一化的波函数.D.ψ(,)exp()x t i θ和ψ(,)exp()x t i -δ都不是归一化的波函数.(其中θδ,为任意实数) 19.波函数ψ1、ψψ21=c (c 为任意常数)， A.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态不同.B.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1: c .C.ψ1与ψψ21=c 所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2:1c .D.ψ1与ψψ21=c 描写粒子的状态相同.20.波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t ipx dp =⎰12πηη的傅里叶变换式是A. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=⎰12πηηψ. B. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=⎰12πηηψ. C. c p t x t ipx dx (,)(,)exp()=-⎰12πηηψ. D. c p t x t i px dx (,)(,)exp()*=-⎰12πηηψ. 21.量子力学运动方程的建立,需满足一定的条件: (1)方程中仅含有波函数关于时间的一阶导数. (2)方程中仅含有波函数关于时间的二阶以下的导数.(3)方程中关于波函数对空间坐标的导数应为线性的. (4) 方程中关于波函数对时间坐标的导数应为线性的.(5) 方程中不能含有决定体系状态的具体参量. (6) 方程中可以含有决定体系状态的能量. 则方程应满足的条件是A. (1)、(3)和(6).B. (2)、(3)、(4)和(5).C. (1)、(3)、(4)和(5).D.(2)、(3)、(4)、(5)和(6). 22.两个粒子的薛定谔方程是A.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t i ρρηρρημ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ρρρρψ+B.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i t r r t r r t ρρηρρημ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ρρρρψ+C. ∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t ρρηρρημ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ρρρρψ+D.∑=ψ∇=ψ21212221),,(2),,(i i it r r t r r t i ρρηρρημ∂∂),,(),,(2121t r r t r r U ρρρρψ+ 23.几率流密度矢量的表达式为A.ρηJ =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B.ρηJ i =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.ρηJ i =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.ρηJ =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 24.质量流密度矢量的表达式为A.ρηJ =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.B.ρηJ i =∇ψ-2()**ψψ∇ψ.C.ρηJ i =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.D.ρηJ =-∇ψ2()**ψ∇ψψ.25. 电流密度矢量的表达式为A.ρηJ q =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. B.ρηJ iq =∇ψ-2μ()**ψψ∇ψ. C.ρηJ iq =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. D.ρηJ q =-∇ψ2μ()**ψ∇ψψ. 26.下列哪种论述不是定态的特点A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.。
河北⼤学研究⽣⼊学考试量⼦⼒学题库考核科⽬量⼦⼒学课程类别必修课考核类型考试考核⽅式闭卷卷别 A⼀、概念题：（共20分，每⼩题4分）1、简述波函数的统计解释；2、对“轨道”和“电⼦云”的概念，量⼦⼒学的解释是什么？3、⼒学量G在⾃⾝表象中的矩阵表⽰有何特点？ 4、简述能量的测不准关系；5、电⼦在位置和⾃旋z S ?表象下，波函数=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归⼀化？解释各项的⼏率意义。
⼆（20分）设⼀粒⼦在⼀维势场c bx ax x U ++=2)(中运动（0>a ）。
求其定态能级和波函数。
三（20分）设某时刻，粒⼦处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ，求此时粒⼦的平均动量和平均动能。
四（20分）某体系存在⼀个三度简并能级，即E E E E ===)0(3)0(2)0(1。
在不含时微扰H'?作⽤下，总哈密顿算符H在)0(?H 表象下为=**21100E E E H βαβα。
求受微扰后的能量⾄⼀级。
五（20分）对电⼦，求在x S ?表象下的xS ?、y S ?、z S ?的矩阵表⽰。
考核科⽬量⼦⼒学课程类别必修课考核类型考试考核⽅式闭卷卷别 B⼀、概念题：（共20分，每⼩题4分）1、何为束缚态？2、当体系处于归⼀化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在ψ(,)r t 状态中测量⼒学量F 的可能值及其⼏率的⽅法。
3、设粒⼦在位置表象中处于态),(t r ψ,采⽤Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,)r t 有何不妥？采⽤Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表⽰？ 4、简述定态微扰理论。
5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？⼆（20分）设粒⼦在三维势场()ax a z y x U <>??∞=x 0,,中运动，求粒⼦定态能量和波函数。
三（20分）⼀维运动的粒⼦在态()00<>=-x x Axe x x 当当λψ中运动，其中0>λ。
河北大学课程考核参考答案及评分标准（ — 学年第 学期）考核科目 量子力学 课程类别 必修 考核方式 闭卷 卷别 A一、20分，每小题4分，主要考察量子力学基本概念以及基本思想。
1. 波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成正比。
2. 电子云：用点的疏密来描述粒子出现的几率。
轨道：电子径向分布几率最大之处。
3. 力学量Gˆ在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为G ˆ的本征值。
4. 能量测不准关系的数学表示式为E t /2∆∙∆≥ ，即微观粒子的能量与时间不可能同时进行准确的测量，其中一项测量的越精确，另一项的不确定程度越大。
5. 利用()()()2212x,y,z x,y,z d 1ψψτ+=⎰进行归一化，其中：()21x,y,z ψ表示粒子在()z y x ,,处21S z =的几率密度，()22x,y,z ψ表示粒子在()z y x ,,处21S z -=的几率密度。
二、20分，主要考察定态问题的求解。
解：()222b b x ax bxc a x c 2a 4a U ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭ 体系的定态薛定谔方程为：()()()x E x c 4a b 2a b x a x 222222ϕϕϕμ=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dx d 整理得,()()()x c 4a b E x 2a b x a x 222222ϕϕϕμ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dx d 令2a b x X +=, 221a μϖ=, c 4ab E E 2-+='则： ()()()22222X 1X X E X 22X d d ϕμϖϕϕμ'-+= 此为一维线性谐振子的定态薛定谔方程，其定态波函数为：()()X H e 2X n 2X 21n 21n 22απαϕα-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=!n 其中，μϖα=，其定态能级为：⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+='3210n 21n E n ,,,ϖ代入2b b X x ,E Ec 2a 4aϖ'=+==+-得系统的定态波函数与能级为：()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2a b x 2H e !22x 412n 22a b x 221n 21412n 2212 μπμϕμa n a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3210n 4a b c 21n E 2n ,,,ϖ 。
