哈工大考研真题量子力学

哈工大力学基础考研真题哈尔滨工业大学（简称哈工大）力学基础是考研中的一门重要科目，对于力学基础的掌握程度直接关系到考生在考试中的成绩。

因此，了解和熟悉哈工大力学基础考研真题是非常必要的。

首先，我们来看一道典型的哈工大力学基础考研真题：【题目】已知一个质点在x轴上运动，其速度v与位移x的关系为v=αx^2，其中α为常数。

求该质点的加速度a与位移x的关系。

【解析】根据题目中已知条件，我们可以得到速度v与位移x的关系式v=αx^2。

我们知道加速度a是速度v对时间t的导数，即a=dv/dt。

而根据链式法则，dv/dt=dv/dx * dx/dt。

因此，我们需要求解dv/dx和dx/dt两个导数。

首先，我们求解dv/dx。

根据题目中已知条件v=αx^2，我们对其进行求导，得到dv/dx=2αx。

接下来，我们求解dx/dt。

根据速度v与位移x的关系v=dx/dt，我们可以得到dx/dt=v。

将题目中已知条件v=αx^2代入，得到dx/dt=αx^2。

最后，我们将求解得到的dv/dx和dx/dt代入加速度a的表达式a=dv/dt=dv/dx * dx/dt。

将dv/dx=2αx和dx/dt=αx^2代入，得到a=2αx * αx^2=2α^2x^3。

因此，该质点的加速度a与位移x的关系为a=2α^2x^3。

通过解析这道典型的哈工大力学基础考研真题，我们可以看出考研力学基础的题目难度并不高，主要考察的是对基本概念和公式的理解和运用能力。

因此，考生在备考过程中，应该注重对基本概念和公式的掌握，并能够灵活运用到解题过程中。

此外，哈工大力学基础考研真题中还涉及到了其他一些重要的知识点，如动量、力和能量等。

考生在备考过程中，应该注重对这些知识点的理解和掌握，并能够将其应用到实际问题的解决中。

总之，了解和熟悉哈工大力学基础考研真题对于考生来说是非常重要的。

通过解析典型的考题，考生可以更好地了解考试的要求和出题思路，提高解题的能力和效率。

量子力学考试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。

（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。

（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。

（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ??ω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。

（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。

4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x</x5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。

已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。

（i ）无自旋全同粒子。

（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。

量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。

力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。

（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。

（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψ K ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K 3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2 ［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+2 22ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ]则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241 E 2＝E2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝0sin 2a xa π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=?π x p ＝-i ?=a dx dx d011ψψ-i ?=aa x d a 020)sin 21(2π x xp ＝-i ??-=aaa x d a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ ＝-a a x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --?adx a x 02]sin π＝0+?=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。

2021年攻读硕士学位研究生入学考试《量子力学》试题（试卷A、B）试卷A一、分析题：（1）写出玻尔-索末菲量子化条件的形式；（2）求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径；二、计算题：（1）若一质量为μ的粒子在势场()0,0,,0x aV x x a x <<⎧=⎨∞≥≤⎩中运动，求粒子的可能能级；（2）若某一时刻加上了形如sin ,(1)xe e aω<<的势场，求其基态能级至二级修正；（3）若势能()V x 变为()221,02,0x x V x x μω⎧>⎪=⎨⎪∞<⎩求粒子的可能能级。

三、氢原子处于基态，其波函数形如,race a ψ-=为玻尔半径， （1）利用归一化条件，求出c ；（2）设几率密度为()P r ，试求出()P r 的形式，并求出最可几半径；（3）求出基态势能及动能在基态中的平均值；（4）用何种定理可把ˆV及ˆT联系起来？四、一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222yx zx y zLL LHI I I=++，转子的轨道角动量量子数是1，（1）试在角动量表象中，求出ˆˆˆ,,x y zL L L的形式；（2）求出ˆH的本征值。

五、若基态氢原子处于平行板电场中，电场按下列形式变化00,0,0t t E e t τε-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，τ为大于零的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P态的几率。

（设ˆH '为微扰哈密顿，()()805100,210100,211ˆˆ;03t a e H e H τε-±''=⋅=）。

六、分析计算：（1）用玻恩近似法，求粒子处于势场()()0,0raV x V e a -=->中散射的微分截面。

（2）从该问题中讨论玻恩近似成立的条件。

试卷B一、（10分）。

（1）试求出100eV 的自由粒子及0.1eV 、质量为1克的质点的德布罗意波长。

（1eV =1.6⨯193410, 6.610J h J s --=⨯⋅）。

2001年量子力学考研试题一. （见2003第2题）设氢原子处于 ()()()()()()()ϕθϕθϕθϕθψ,Y R 21,Y R 21,Y R 21,,112110311021---=r r r r的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z 分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。

解：选{}z L L H ,,2为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为()()()ϕθϕθϕμ,Y R ,,12 224lm nl nlm n r r n e E =-= 其中，量子数的取值范围是ll l l l m n l n -+---=-==,1,,2,1,1,,2.1,0,3,2,1利用归一化条件求出归一化常数为5421412121=⎪⎭⎫⎝⎛++=-c主量子数n 的可能取值只有两个，即3,2=n ，于是()()515441 ,18 54542121 ,8 32432242=⋅=-==⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=E W e E E W e Eμμ2424249 5118 548 e e e E μμμ-=⋅-⋅-=角动量量子数l 的可能取值只有一个，即1=l ，故有()222222213 ,2====L L W L角动量磁量子数m 的可能取值有两个，即0,1-=m ，于是()()535441210 ,0525421 ,=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+====⋅=-=-=z z z z L E L L E L 52-=z L二. 作一维运动的粒子，当哈密顿算符为()x V p H +=μ2ˆˆ20时，能级是0nE ，如果哈密顿算符变成μαp H H ˆˆˆ0+=（α为实参数），求变化后的能级n E 。

解：视α为参变量，则有μαpH ˆˆ=∂∂利用费曼-海尔曼定理可知n p n n H n E n ˆ1ˆμαα=∂∂=∂∂又知[]()αμαμ+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==p p p x H x t x ˆ1ˆ2ˆ,i 1ˆ,i 1d d 2在任何束缚态n 下，均有[]0ˆˆi 1ˆ,i 1d d =-==n x H H x n n H x n n t x n所以，α-=n pn ˆ 进而得到能量本征值满足的微分方程μαα-=∂∂n E 对上式作积分，得到c E n +-=μα22利用0=α时，0ˆˆH H =，定出积分常数 0n E c =最后，得到Hˆ的本征值为 μα22-=n n E E三. 质量为μ的粒子处于如下的一维位势中 ()()()x V x c x V 0+-=δ 其中，()⎩⎨⎧>≤=0 ,0,010x V x x V且 0>c ，01>V , 求其负的能量本征值。

哈尔滨工业大学2017年硕士研究生入学考试科目名称：量子力学考试时间: 三小时满分:150分
科目代码：833 适用专业:物理学院等相关专业
注意：①所有答案必须写在答题纸或答题卡上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；
②本科目不允许使用计算器；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！
.回
六、自旋为!，磁矩n = c&,(《为常量，①为泡利矩阵)的粒子在随时间变化的磁场否=上电(k为常量，為是z轴方向的单位矢量)中运动，百=_卩•瓦在，=0时，粒子的状态为：
a(0)\ /cos /3\
/)(0)/ - \sin/3)
求，时刻粒子的状态以及在该状态下粒子自旋晶，毎的平均值。

量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。

证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。

4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。

2.2.3 2008年真题【题目】1. 轨道角动量的三个分量x L ，y L 和z L 是否有共同本征态？若果有，写出一个来；如果没有，请说明为什么【解题】没有，^^^,x y z L L i L ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦不对易，故无共同本征态【分析】 本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。

属于基础概念的考核。

对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。

【题目】2. 已知哈密顿量221()2H V r μ=-∇+的本征值为n E ，相应的本征函数为()n r ϕ，求222()2H V r C μ=-∇++的本征值和本征函数（C 为常数）。

【解题】^1^^^211()()()()()()()()()()()n n n n n n n n n n n n H r E r H r H C r H r C r E r C r E C r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ==+=+=+=+ 由上式知，^2H 的本征函数为()n r ϕ，本征值为nE C +【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出相关结果【题目】3. 计算对易关系2[,]?;[,]?z x y z p L L iL L =+= 【解题】 （1）22^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^,,,,()()()0z z z z y x y x y x x y y x x y p L L p L p p p L p i p i i p j p p i p i i p j i p p p p p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=----=--+-=（2）^^^^^^^^^,,,x y z x z y z y x L i L L L L i L L i L i L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧C A B C B A C ,,B A ，，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算符表示出来，并化简得出结果【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。