历年量子力学考研真题试卷

一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0 中运动，若0=t 时，粒子处于()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。

（1） 求0=t时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xa n a x n n maE n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。

由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c可知，归一化常数为1312=c于是，归一化后的波函数为()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为()()()133;134 ;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。

（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。

三. 设厄米特算符Hˆ的本征矢为n，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符()n m n m U ϕϕ=,ˆ（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ；（2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3）计算迹(){}n m U ,ˆT r ；（4） 若算符Aˆ的矩阵元为n m mnA A ϕϕˆ=，证明()n m UA A nm m n ,ˆˆ,∑=(){}q p U A A pq ,ˆˆTr +=解：（1）对于任意一个态矢ψ，有()[]()()()()()()ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U Hn m U Hn m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=-=-=-=故()[]()()n m U E E n m U Hn m,ˆ,ˆ,ˆ-=（2）()()()p m Uq p U n m U nq p q n m,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+（3）算符的迹为(){}()mnm n k n k m kkkk n m U n m U δϕϕϕϕϕϕϕϕ====∑∑,ˆ,ˆT r（4）算符()n m UA A A A nm mnnn m nm m m mm ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ而()(){}q p U Aq p U A A A A A k kk kkp q k qk kk p q p pq ,ˆˆT r ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ五. （见2001年第五题）两个质量皆为μ的非全同粒子处于线谐振子位中，若其角频率都是ω，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,x x 分别为第一个粒子与第二个粒子的坐标）后，试用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。

1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称： 量子力学（理论型），00分。

、在，氢原子波函数为说明：共五道大题无选择题，计分在题尾标出，满分10t =100210211211一(,0)2r ψψψ=+⎣⎦ 其中右方函数下标表示量子数。

忽略自旋和辐射跃迁。

投影-⎡⎤(1) 此系统的平均能量是多少？nlm 0z L =(2) 这系统在任意时刻处于角动量的几率是多少？ 、利用坐标与动量算符之间的对易投影关系，证明二()2∞00n nE E n x -=∑常数这里是哈密顿量n E 2ˆˆ()2p H V m=+x 的本征能量，相应的本征态为n 。

求出该常数。

、设一质量为μ的粒子在球对称势()(0)V r kr k =>三中运动。

利用测不准关系估算其（束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非基态的能量。

四、电子偶素e e +-种接触型自旋交换作用相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。

今设在电子偶素的基态里，存在一8e p ˆˆˆ3H M M π和ˆpM '=-⋅其中ˆe M 是电子和正电子的自旋磁矩ˆˆ(,q )MS q ==e mc±量差，决定哪一个能量更低。

对普通的氢原子，基态波函数： 。

利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能221137e c 1002,,r a a me ψ-==一质量为= μ的粒子被势场00()(0)r aV r V e V a -=>>所散射，用一级玻恩近似计算微分散射截面。

五、1990年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）分。

光电效应实验指出：当光照射到金属上，说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分100一、(1) a) 只有当光频率大于一定值0ν时，才有光电子发射出；b) 光电子的能量只与光的频率有关，而与光的强度无关；c) 只要光的频率大于0ν，光子立即产生。

试述：a) 经典理论为何不能解释上述现象，或者说这些实验现象与经典理论矛盾何斯坦假说正确解释上述实验结果。

高校量子力学研究生招生试题汇总一．复旦大学1999硕士入学量子力学试题二．天津大学1999硕士入学量子力学试题（1）三．北京大学2000年研究生入学考试试题考试科目：量子力学 考试时间：2000.1.23下午 招生专业：物理系各专业 研究方向：各研究方向 试题： 一．（20分）质量为m 的粒子，在位势V x x V '+=)()(αδ 0<a00{V V ='00><x x 00>V中运动，a. 试给出存在束缚态的条件，并给出其能量本征值和相应的本征函数；b. 给出粒子处于x >0区域中的几率。

它是大于1/2，还是小于1/2，为什么？ 二．（10分）若|α>和|β>是氢原子的定态矢（电子和质子的相互作用为库仑作用，并计及电子的自旋—轨道耦合项）a. 给出|α>和|β>态的守恒量完全集；b. 若0ˆˆ)(≠⋅αβr sr f ,则|α>和|β>态的那些量子数可能是不同的，为什么？ （注：f(r)是r 的非零函数，r s ˆ,ˆ为电子的自旋和坐标算符。

）三．（16分）三个自旋为1/2的粒子，它们的哈密顿量为)ˆˆˆˆˆˆ(ˆ1332210s s s s s s C H ⋅+⋅+⋅= 求本征值和简并度。

四．（22分）两个自旋为1/2的粒子，在),(21z z s s 表象中的表示为))((2211βαβα，其中，2iα是第i 个粒子自旋向上的几率，2iβ是第i 个粒子自旋向下的几率。

a. 求哈密顿量)(ˆ21210xy y x V H σσσσ-= 的本征值和本征函数；（V 0为一常数）b. t=0时，体系处于态121==βα，012==βα，求t 时刻发现体系在态021==βα，112==βα的几率。

（注：iy ix σσ,为第i 个粒子泡利算符的x, y 分量）五．（10分）考虑一维谐振子，其哈密顿量)21(ˆ+=+a a h H ϖ，而0],[],[==++a a a a ,1],[=+a a a. 若|0〉是归一化的基态矢（a|0）=0），则第n 个激发态为)(n n a N n +=试求归一化因子n N ； c. 若外加一微扰，aa a ga H ++='ˆ，试求第n 个激发态的能量本征值（准至g 一级）。

量子力学考研试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 量子力学中，波函数的平方代表粒子的什么物理量？A. 动量B. 能量C. 位置D. 概率密度答案：D2. 以下哪项是海森堡不确定性原理的表述？A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程描述的是：A. 经典力学B. 电磁学C. 量子力学D. 热力学答案：C4. 泡利不相容原理适用于：A. 光子B. 电子C. 质子D. 中子答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 根据量子力学，一个粒子的波函数可以表示为 \(\psi(x, t)\)，其中 \(x\) 代表粒子的________，\(t\) 代表时间。

答案：位置2. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出________的性质，也表现出粒子的性质。

答案：波动3. 量子力学中，一个粒子的能量可以表示为 \(E =\frac{p^2}{2m}\)，其中 \(p\) 代表粒子的________。

答案：动量4. 量子力学中的隧道效应是指粒子可以穿过________的势垒。

答案：经典物理认为不可能三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述德布罗意波的概念及其在量子力学中的意义。

答案：德布罗意波是指物质粒子（如电子）具有波动性，其波长与粒子的动量成反比。

在量子力学中，这一概念是波函数理论的基础，它表明粒子的行为不能完全用经典力学来描述，而是需要用波动方程来描述。

2. 描述一下量子力学中的量子态叠加原理。

答案：量子态叠加原理是指一个量子系统可以同时处于多个可能状态的叠加，直到进行测量时，系统才会坍缩到其中一个特定的状态。

这一原理是量子力学的核心特征之一，它导致了量子力学的非经典行为和概率解释。

3. 解释什么是量子纠缠，并给出一个实际应用的例子。

答案：量子纠缠是指两个或多个量子粒子之间存在的一种非经典的强关联，即使它们相隔很远，一个粒子的状态改变会即时影响到另一个粒子的状态。

目　录2015年杭州师范大学721量子力学考研真题2014年杭州师范大学721量子力学考研真题2013年杭州师范大学722量子力学考研真题2012年杭州师范大学719量子力学考研真题2011年杭州师范大学726量子力学考研真题2010年杭州师范大学716量子力学考研真题2009年杭州师范大学715量子力学考研真题2008年杭州师范大学715量子力学考研真题2007年杭州师范学院715量子力学考研真题2006年杭州师范学院量子力学考研真题2015年杭州师范大学721量子力学考研真题考试科目代码：　721　考试科目名称：量子力学一、填空题（每空3分，共30分）、1．根据德布罗意波粒二象性，能量为E, 动量为p 的微观粒子，与对应的波动的频率和波长的关系式分别是　，　。

2.完成对易关系：　，。

3.量子力学中的薛定谔方程的形式为　，定态薛定谔方程为　，从定态的解出发构造薛定谔方程的一般解的表达形式为。

4.设两力学量算符满足对易关系，则力学量A和B的测不准关系式为。

5.全同粒子体系的波函数的特点是，原因是。

二、简答题（每题6分，共30分）1．量子力学中微观粒子的波粒二象性与光的波粒二象性有什么区别?2．叙述量子力学中物理量算符的性质以及与力学量测量值之间的关系。

3．说明当势能是偶函数时，定态薛定谔方程的解总可以写成偶函数或者奇函数的形式。

4．叙述（或者通过变换关系式描述）你对量子力学中的表象变换的理解。

5．如何理解电子的自旋？三、计算题（90分）1．（15分）质量为的粒子，在一维无限深势阱中中运动。

求（1）求粒子的能量本征值和本征函数；（5分）（2）若时，粒子处于状态上，其中，为粒子能量的第个本征态。

求时能量的可测值与相应的取值几率；（5分）（3）求时的波函数及能量可测值与相应的取值几率。

（5分）2．（10分）设为氢原子的能量为E n定态波函数，当t=0时氢原子处于状态求：（1）氢原子能量及其几率；（4分）（2）轨道角动量平方的可能值，可能值出现的几率以及的平均值；（4分）（3）分量的可能值，可能值出现的几率以及的平均值；（2分）3．（15分）假设量子系统的基态为，求：（1）势能的平均值；（5分）（2）动能的平均值；（5分）（3）动量的几率分布函数。

量子力学考研上海交大《电磁学和量子力学》考研真
题
1、上海交通大学量子力学考研真题
当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。

假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。

（1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；
（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。

（注意：参数在不同范围内，情况会不同）
[浙江大学2014研] 【解题思路】
①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。

②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。

③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。

免费的南⼤历年《量⼦⼒学》的真题,真题南京⼤学1998年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与光学(⼀) 20分有半壁⽆限⾼势垒的⼀维阱 ()ax a x x V x V ><<∞=000在0V E <的情形下，该系统是否总存在⼀个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中⾄少有⼀个束缚态的存在的充要条件是什么？（⼆）20分⼀个取向⽤⾓坐标θ和?确定的转⼦，作受碍转动，⽤下述哈密顿量描述：()?2cos ??22 B L A H+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2?L 是⾓动量平⽅算符，试⽤⼀级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。

（三）20分求在⼀维⽆限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒⼦的动量分布⼏率()2p n φ。

（四）20分试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成⽴，试写出正确的结果：（1）i j x i p jx i peee21-?+???=? ？式中i ?和j ?分别是x 和y ⽅向的单位⽮量。

（2）()[])(,?'x f pip x f p px x x x = ？式中xi p x ??= ? ，（3）系统的哈密顿算符为()r V p H+=µ2??2 ，设()r n ?是归⼀化的束缚态波函数，则有：()n n n n r V r p µ=（五）20分碱⾦属原⼦处在z ⽅向的外磁场B 中，微扰哈密顿为Bls H H H 1+= ，其中S L dr dV r c H ls??=12122µ ，()Z Z B S L c eB H 22+=µ ，当外磁场很弱时，那些⼒学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算⽐较简单，为什么？注： ()()()()?θπim mllm e m l m l l Y P cos !!412+-+=()x x P =01；()()2/12111x x P -=；()()x x x P 2/121213-=()()22213x x P -=南京⼤学1999年硕⼠研究⽣考试试题——量⼦⼒学专业: 理论物理、粒⼦物理与光学(20分) ⼀、 t ＝0时，粒⼦的状态为][sin )(2kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的⼏率，并计算动量的平均值。

历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解历年南京师范大学839量子力学考研真题试卷与答案详解一、考试解读：part 1 学院专业考试概况：①学院专业分析：含学院基本概况、考研专业课科目:量子力学的考试情况；②科目对应专业历年录取统计表：含南师大物理学专业的历年录取人数与分数线情况；③历年考研真题特点：含南师大考研专业课量子力学各部分的命题规律及出题风格。

part 2 历年题型分析及对应解题技巧：根据南师量子力学各专业考试科目的考试题型（简答题、计算题、证明题、综合题等），分析对应各类型题目的具体解题技巧，帮助考生提高针对性，提升答题效率，充分把握关键得分点。

part 3 近年真题分析：最新真题是南师考研中最为珍贵的参考资料，针对最新一年的南师考研真题试卷展开深入剖析，帮助考生有的放矢，把握真题所考察的最新动向与考试侧重点，以便做好更具针对性的复习准备工作。

part 4 未来考试展望：根据上述相关知识点及真题试卷的针对性分析，提高考生的备考与应试前瞻性，令考生心中有数，直抵南师大考研的核心要旨。

part 5 南师大考试大纲：①复习教材罗列（官方指定或重点推荐+拓展书目）：不放过任何一个课内、课外知识点。

②官方指定或重点教材的大纲解读：官方没有考试大纲，高分学长学姐为你详细梳理。

③拓展书目说明及复习策略：专业课高分，需要的不仅是参透指定教材的基本功，还应加强课外延展与提升。

part 6 专业课高分备考策略：①考研前期的准备；②复习备考期间的准备与注意事项；③考场注意事项。

part 7 章节考点分布表：罗列南师大考研专业课量子力学的专业课试卷中，近年试卷考点分布的具体情况，方便考生知晓南师大考研专业课试卷的侧重点与知识点分布，有助于考生更具针对性地复习、强化，快准狠地把握高分阵地。

二、南师大历年真题与答案详解：整理南师大该科目的1997-2018年考研真题，并配有2010-2018年真题答案详解，本部分包括了（解题思路、答案详解）两方面内容。

量子力学考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 量子力学中，粒子的波函数ψ(x,t)描述了粒子的哪种物理量？A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子在空间的分布概率D. 粒子的能量答案：C2. 海森堡不确定性原理表明了哪两个物理量的不确定性之间存在关系？A. 位置和能量B. 动量和时间C. 动量和位置D. 时间和能量答案：C3. 在量子力学中，一个粒子的波函数在某个位置的概率密度是该波函数在该位置的什么？A. 绝对值的平方B. 对数C. 导数D. 积分答案：A4. 根据泡利不相容原理，一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数，这些量子数包括哪些？A. 主量子数和磁量子数B. 主量子数、磁量子数和自旋量子数C. 所有四个量子数D. 主量子数和自旋量子数答案：B5. 薛定谔方程是一个描述什么的波动方程？A. 粒子的波动性质B. 粒子的运动轨迹C. 粒子的能量分布D. 粒子的动量分布答案：A6. 在量子力学中，一个系统的状态可以用哪种数学对象来描述？A. 矩阵B. 向量C. 张量D. 标量答案：B7. 量子力学中的隧穿效应是指什么？A. 粒子通过一个高于其能量的势垒B. 粒子在两个势垒之间振荡C. 粒子在势垒内部反射D. 粒子在势垒外部反射答案：A8. 在量子力学中，一个二能级系统在两个能级间跃迁时，必须吸收或发射一个具有特定能量的光子，这个能量差是由什么决定的？A. 两个能级的差B. 光子的频率C. 系统的总能量D. 系统的动量答案：A9. 量子纠缠是指两个或多个粒子之间的一种什么关系？A. 经典力学关系B. 量子力学关系C. 热力学关系D. 电磁相互作用答案：B10. 下列哪个原理说明了在量子力学中测量一个物理量会改变系统的状态？A. 海森堡不确定性原理B. 哥本哈根解释C. 德布罗意假说D. 薛定谔猫佯谬答案：B二、简答题（每题10分，共40分）11. 简述德布罗意假说的内容及其对量子力学发展的意义。

《量子力学》考研真题详解1、1924年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子，质子，也具有波性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布罗意关系：______；假设电子由静止被150伏电压加速，加速后电子的物质波波长为：______。

[北京大学2005研]【答案】，；8.9×10－41m2对宏观物体而言，其对应的物质波长极短，所以宏观物体波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。

计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成足球状分子）热运动对应的物质波波长为：______。

[北京大学2005研]【答案】2.9×10－10m二、判断题1量子力学中可观察力学量相应的算符为厄米算符。

[北京大学2006研]【答案】对查看答案【解析】在量子力学中，表示力学量的算符都是纳米算符。

2设体系处于定态，则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间改变。

[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】力学量F∧的平均值随时间的变化满足：若（即力学量F∧的平均值不随时间变化），则称F∧为守恒量。

力学量F∧为守恒量的条件为：∂F/∂t＝0且[F，H]＝0。

不含时力学量F∧的测量值随时间改变可以表示为：因此，力学量F∧的平均值是否变化不能确定，对于定态而言，任何一个波函数都可以用力学量F∧的本征函数表示，在各个本征函数中，力学量F∧所取值的大小是确定的。

因此可以推断，力学量F∧的测量值的概率分布也不能确定。

3一维粒子的本征态是不简并的。

[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】对于一维粒子的本征态是否简并不能确定，可以举例说明。

比如，一维无限深方势阱，若势能满足：在阱内（），体系所满足的定态薛定谔方程为：在阱外（），定态薛定谔方程为：体系的能量本征值为：本征函数为：所以，显而易见，一维无限深方势阱的本征态是简并的。

复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。

习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。

2．德布罗意关系为。

3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。

4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。

6．波函数的标准条件为。

7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。

8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。

9．力学量算符应满足的两个性质是。

10．厄密算符的本征函数具有。

11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。

12.______;_______;_________。

28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。

13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。

14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。

15．隧道效应是指__________________________________________。

16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。

17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。

18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。

19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。

20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。

2024年考研高等数学二量子力学中的数学理论历年真题在2024年的考研高等数学二科目中，量子力学中的数学理论是必考内容之一。

本文将围绕该主题，以历年真题的形式展开，对相关的数学理论进行探讨。

希望通过对历年真题的分析和解答，能够帮助考生更好地理解和应对这一考点。

一、波函数和可观测量1. 2010年真题题目描述：一个粒子，其波函数为Ψ(x) = Ae^(-|x|/a)，其中A和a为实常数，x为位置坐标。

求该粒子在区间[-∞, ∞]上的归一化常数A。

解答：根据波函数的归一化条件，可得到以下结果：∫(Ψ(x))^2 dx = 1∫(Ae^(-|x|/a))^2 dx = 1∫(A^2)e^(-2|x|/a) dx = 1根据波函数的性质，可知|X| = x，当x > 0；|X| = -x，当x < 0。

因此，上式可化简为：∫(A^2)e^(-2x/a) dx + ∫(A^2)e^(2x/a) dx = 12∫(A^2)e^(-2x/a) dx = 1∫(A^2)e^(-2x/a) dx = 1/2对上式进行积分运算，得出：∫(A^2)e^(-2x/a) dx = (-aA^2/2)e^(-2x/a) + C其中C为常数。

将上式代入原式，得到：(-aA^2/2)e^(-2x/a) + C = 1/2(-aA^2/2)e^(-∞/a) + C - (-aA^2/2)e^(∞/a) + C = 1/2 (-aA^2/2) + 2C = 1/2根据边界条件，可得到：C = 1/(4aA^2)将C带入上式，可得：(-aA^2/2) + 2(1/(4aA^2)) = 1/2-aA^2 + 1/(2A^2) = 1/2进一步整理，可得：aA^4 - A^2 + 1/2 = 0解该方程，即可求得A的值。

二、矩阵表达和算符1. 2012年真题题目描述：已知一个算符A，其矩阵表示为A = [3 1 2; 1 2 -3; 2 -3 2]，求其特征值和特征向量。

南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学 专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()⎩⎨⎧<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0时刻，粒子的状态由波函数()⎩⎨⎧<<-><=a x x a Ax a x x x 0),(;0,0ψ描述。

求： （20分） 1.归一化常数A; 2.粒子能量的平均值； 3.t=0时刻，粒子能量的几率分布； 4. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。

提示：96145,3,14π=∑⋅⋅⋅=n n二、考虑势能为()⎩⎨⎧<>=0,00,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。

若一能量为E 的粒子从-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。

（20分）三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2221x x V μω=中运动。

在动能μ22p T =的非相对论极限下，基态能ω 210=E ，基态波函数为()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ψ24102exp x x μωπμω。

考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ∆至21c 阶。

（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。

可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。

晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。

（20分） 提示：电子质量fm MeV c MeV mc ⋅≈=197,511.02 ，晶格常数01A a ≈ 五、考虑自旋 21=S 的系统， 1．求算符zy S B S A T ˆˆˆ+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2．若此时系统正处在T ˆ的某一个本征态上，求此时测量y S ˆ结果为⎪⎭⎫ ⎝⎛+2 的几率。