条件异方差模型分析解析

第三节 自回归条件异方差(ARCH)模型金融时间序列数据通常表现出一种所谓的集群波动现象。

模型随机误差项中同时含有自相关和异方差。

一、ARCH 模型 （Auto-regressive Conditional Heteroskedastic —自回归条件异方差模型）对于回归模型t kt k t t x b x b b y ε++++= 110 （3.3.1） 若2t ε服从AR （q ）过程 t q t q t t νεαεααε++++=--221102 （3.3.2） 其中tν独立同分布，并满足0)(=t E ν , 2)(σν=tD 则称（3.3.2）式为ARCH 模型，序列t ε服从q 阶ARCH 过程，记为t ε～ARCH （q ）。

(3.3.1)和(3.3.2)称为回归—ARCH 模型。

注：不同时点t ε的方差2)(t t D σε=是不同的。

对于AR （p ）模型t p t p t t y y y εφφ+++=-- 11 （3.3.3） 如果tε～ARCH （q ），则（3.3.3）与（3.3.2）结合称为AR （p ）-ARCH （q ）模型。

ARCH （q ）模型还可以表示为 *t t h =εt ν (3.3.4)21022110jt q j q t q t t h -=--∑+=+++=εααεαεααα (3.3.5)其中，tν独立同分布，且0)(=t E ν,1)(=tD ν,00>α 0≥j α)2,1(q j = 且11<∑=q j j α（保证ARCH 平稳）。

有时，（3.3.5）式等号右边还可以包括外生变量，但要注意应保证th 值是非负的。

如：p t p t q t q t t h h h ----++++++=θθεαεαα 1122110 1011<+<∑∑==p j j q i iθα对于任意时刻t ，条件期望E （tε| ,1-t ε）=0)(*=t t E h ν （3.3.6）条件方差t t t t t h E h E ==-)(*),|(2212νεσ （3.3.7） （3.3.7）式反映了序列条件方差随时间而变化。

ARCH 模型通常用于对于主体模型（3.3.1）或（3.3.3）的随机误差项t ε进行建模，以充分提取其中的有用信息，使最终的模型残差项tv 成为白噪声。

二、ARCH 效应检验—拉格朗日乘数（LM ）检验法若模型t ε～ARCH （q ），则可建立辅助回归方程 22110q t q t t e eh --+++=ααα（3.3.8） 0:210====q H ααα j H α:1至少有一个不为0)2,1(q j =检验统计量2nR LM =～)(2q χ （3.3.9） n 、2R 分别为辅助方程（3.3.8）的样本数据个数和判定系数。

利用OLS 法对（3.3.8）式估计，判别：若LM )(2q LM αχ>，或伴随的概率α〈p ，拒绝0H ，序列存在ARCH 效应；若LM )(2q αχ≤，或伴随的概率α〉p ，接受0H ，序列不存在ARCH 效应。

注意：在作ARCH 检验以前，应先利用OLS 法估计主体回归模型并判断其是否存在自相关性（利用偏自相关的检验法），以确立辅助方程中的q ，若模型存在自相关性，再进一步对残差序列进行ARCH 检验。

EVIEWS 实现：菜单方式：(1)在方程窗口选择 Views/Residual Tests/ARCH LM Test,输入检验阶数q （系统默认为1），点击OK 。

（2）在方程窗口 点击Views/Residual Test/Correlagram Squared Residuals,屏幕输出2t e 与qt t e e --212......自相关系数和偏自相关系数，利用偏自相关系数大致判断ARCH 效应。

命令方式：archtest(q)三、ARCH 模型参数的估计——极大似然估计法对于回归—ARCH 模型(（3.3.1）、（3.3.4）、（3.3.5））参数估计的对数似然函数为 )/(21)ln(21)2ln(21),/,(ln 121∑∑==---=n t t t n t t h h n x y b L επα使该函数达最大值得参数α,b ，就是参数α,b 的极大似然估计。

EVIEWS 实现：选择Quick/Estimate Equation 在方程对话框中打 Method 下拉菜单，点击ARCH 项进入自回归异方差对话框。

在此对话框窗口中输入主体模型（ty 关于解释变量的模型（3.3.1））或ARMA 模型。

在 ARCH specification 下定义ARCH 模型的阶数q ，以及GARCH 后的阶数p （此时输入0），其它采用系统默认值，点击OK 即可。

若采用命令方式，仅键入如下命令即可arch在输出窗口的方差方程中，C 表示0α，)(i ARCH 表示系数i α对于建立的ARCH 模型尚需再次进行自相关检验。

即在模型估计结果输出窗口选择view/Residual Tests/Corelogram-Q-Statistics ，给出滞后阶数，点击OK 。

四、GARCH 模型——广义（Generalized ）自回归条件异方差模型如果ARCH 模型中的 q 值很大（q>=7时）时，可考虑采用GARCH 模型。

1.基本形式若序列可以表示为t t t v h *=εp t p t q t q t t h h h ----++++++=θθεαεαα 1121210 (3.3.10) t v 同前，则称序列t ε服从GARCH （p,q ）过程。

其中p ≥0,q ≥0,0α>0,j α≥0,iθ≥0,为保证GARCH （p,q ）是宽平稳的，要求111<+∑∑==pi iq j j θα。

通常GARCH 模型中的阶数q 值远比ARCH 模型中的q 值小。

一般地，GARCH （1,1）模型即可描述大量的金融时间序列数据。

2.GARCH （p,q ）检验对于辅助回归方程p t p t q t q t t h h h ----++++++=θθεαεαα 11212100:210====P H θθθLM=n )(~22P R χ，n 为辅助方程的样本容量。

当 n )(22P R αχ>或α〈p 拒绝0H ，则存在GARCH 效应；n )(22P R αχ≤或概率α〉p 接受0H ，则不存在GARCH 效应。

3.估计模型Eviews 中采用二步极大似然估计法或广义最小二乘法GLS 估计GARCH 模型参数。

Eviews 实现：选择Quick/Estimate Eqution,进入对话框后，在ARCH 、GARCH 后输入值q,p 值（一般都输入1），其他同前。

根据AIC 及SC 准则，并配合残差独立性检验，通过比较可以得到较适宜的模型。

五、其他条件异方差模型1.ARCH-M 模型（ARCH-in-Mean ） t t kt k t t rh x b x b b y ε+++⋯⋯++=110εt =t h v t210jt q j j t h -=∑+=εαα称为ARCH-M(q)模型若ht =oα+i tpiijtqjjh-=-=∑∑+121θεα称为GARCH-M（p，q）Eviews中建立（G）ARCH模型的方法与一般GARCH（p，q）的建模过程相同，只需将条件方差th或标准差t h纳入主体回归或其他形式的方程。

操作时，只需将条件异方差定义对话框中ARCH-M进行相应选择：None-表示在回归模型中不加入th, std.dev-表示加入t h，variance-加入ht，在结果输出窗口中，SQR（GARCH）后的系数是th或h系数的估计值。

2.TARCH模型TARCH（Threshold ARCH）模型最先由Zakdiam(1990年)提出，其条件方差为h=t+α21j tqjj-=∑εα121--+ttdϕεi t p i i h -=∑+1θ d i 是一个名义变量 d t ={10 0<ε其它 用Eviews 估计TARCH 模型时，对条件异方差定义对话框中，在ARCH specification 中点TARCH 项即可。

输出结果中的(RESID<0)， ARCH （1）项代表杠杆（leverage ）效应中的ψ的估计值。

3.EGARCH 模型Exponential-GARCH 指的GARCH 模型。

由Nelson 与1991年提出。

条件方差)log(t h =+0α)(1j t j t j j t j t q j j h q h ----=+∑ψεα+)log(1it pi i h -=∑θ 模型中条件方差采用了自然对数形式，意味着在非负且杠杆效应是指数型的。

若0≠ψ，说明信息作用非对称。

0<ψ时，杠杆效应显著。

EVIEWS 中，只需在ARCH specification 框中点EGARCH 即可。

在结果中，)]([/j GARCH SQR RES 表示杠杆效应系数j ψ的估计值。

)]([/j GARCH SQR RES 表示j α的估计值，EGARCH （i ）代表i θ的估计值。

另外还有成分（Component ）ARCH 模型、多变量ARCH模型，详见易丹辉Eviews 与数据分析。