高中文科数学一轮复习集合专题

§1.1集合考试要求 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．知识梳理1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．(3)集合的表示法：__________、____________、____________.(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N*(或N＋)2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中____________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作________(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或B A)．(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是________________的子集，是________________________的真子集．3．集合的基本运算表示集合语言图形语言记法运算并集交集补集常用结论1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．2．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．()(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.()(4)对任意集合A，B，都有(A∩B)⊆(A∪B)．()教材改编题1．(2022·新高考全国Ⅱ)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B等于() A．{－1,2} B．{1,2} C．{1,4} D．{－1,4}2．下列集合与集合A＝{2 022,1}相等的是()A．(1,2 022)B．{(x，y)|x＝2 022，y＝1}C．{x|x2－2 023x＋2 022＝0}D．{(2 022,1)}3．设全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x<3}，B＝{x|2x－4≥x－2}，则A∪B＝________，∁U(A∩B)＝________.题型一集合的含义与表示例1 (1)(2022·衡水模拟)设集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则集合A∩B的元素个数为()A．0 B．1 C．2 D．3(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为()A．1 B．1或0C．0 D．－1或0听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．跟踪训练1 (1)(多选)若集合M＝{x|x－2<0，x∈N}，则下列四个命题中，错误的命题是() A．0∉M B．{0}∈MC．{1}⊆M D．1⊆M(2)(2023·聊城模拟)已知集合A＝{0,1,2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数为() A．2 B．3 C．4 D．5题型二集合间的基本关系例2 (1)(2022·宜春质检)已知集合A＝{x|y＝ln(x－2)}，B＝{x|x≥－3}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B⊆A(2)设集合A＝{x|－1≤x＋1≤2}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，当x∈Z时，集合A的真子集有________个；当B⊆A时，实数m的取值范围是________．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．跟踪训练2 (1)(多选)已知非空集合M满足：①M⊆{－2，－1,1,2,3,4}，②若x∈M，则x2∈M.则集合M可能是()A．{－1,1} B．{－1,1,2,4}C．{1} D．{1，－2,2}(2)函数f(x)＝x2－2x－3的定义域为A，集合B＝{x|－a≤x≤4－a}，若B⊆A，则实数a的取值范围是________________．题型三集合的基本运算命题点1集合的运算例3 (1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T 等于()A．∅B．S C．T D．Z(2)设全集U＝R，A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|y＝x＋2}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≤－2} B．{x|x>－2}C．{x|x≥4} D．{x|x≤4}听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2利用集合的运算求参数的值(范围)例4 (2023·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(1－x2)}，B＝{x|x≤a}，若(∁R A)∪B＝R，则实数a 的取值范围为()A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，1]听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．跟踪训练3 (1)(2022·全国甲卷)设全集U＝{－2，－1，0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,3} B．{0,3}C．{－2,1} D．{－2,0}(2)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)·(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a 的取值范围是()A ．[1,4)B ．(1,4)C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)题型四 集合的新定义问题例5 (1)(多选)当一个非空数集F 满足条件“若a ，b ∈F ，则a ＋b ，a －b ，ab ∈F ，且当b ≠0时，ab ∈F ”时，称F 为一个数域，以下说法正确的是( )A ．0是任何数域的元素B ．若数域F 有非零元素，则2 023∈FC ．集合P ＝{x |x ＝3k ，k ∈Z }为数域D ．有理数集为数域(2)已知集合M ＝{1,2,3,4}，A ⊆M ，集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”，且规定：当集合A 只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0.设集合A 的累积值为n .①若n ＝3，则这样的集合A 共有________个； ②若n 为偶数，则这样的集合A 共有________个．听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 解决集合新定义问题的关键解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．跟踪训练4 设集合U ＝{2,3,4}，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大．最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依此类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第6位的子集是________．。

专题01集合及其运算最新考纲1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的详细问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在详细情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简洁集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能运用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.基础学问融会贯穿1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋) Z Q R2.集合间的基本关系3.集合的基本运算【学问拓展】1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩(∁U A)＝∅；A∪(∁U A)＝U；∁U(∁U A)＝A.重点难点突破【题型一】集合的含义【典型例题】下列命题正确的有（）（1）很小的实数可以构成集合；（2）集合{y|y＝x2﹣1}与集合{（x，y）|y＝x2﹣1}是同一个集合；（3）这些数组成的集合有5个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指其次和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：（1）中很小的实数没有确定的标准，不满意集合元素的确定性；（2）中集合{y|y＝x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y＝x2﹣1}的元素是点；（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点．故选：A．【再练一题】下面三个集合：A＝{x|y＝x2+1}，B＝{y|y＝x2+1}，C＝{（x，y）|y＝x2+1}，请说说它们各自代表的含义．【解答】解：A是数集，是以函数的定义域构成集合，且A＝R；B是数集，是由函数的值域构成，且B＝{y|y≥1}；C为点集，是由抛物线y＝x2+1上的点构成．思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清晰集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)集合中元素的互异性经常简洁忽视，求解问题时要特殊留意．分类探讨的思想方法常用于解决集合问题．【题型二】集合的基本关系【典型例题】已知集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0，x∈Z}，B＝{m，2}，若A⊆B，则m＝（）A．1 B．2 C．3 D．5【解答】解：A＝{x|1＜x＜4，x∈Z}＝{2，3}；又A⊆B；∴m＝3．故选：C．【再练一题】已知集合A＝{x|3x﹣a≥0}，B＝{x|log2（x﹣2）≤1}，若B⊆A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，6）B．（﹣∞，6] C．（﹣∞，12）D．（12，+∞）【解答】解：∵3x﹣a≥0，∴x，∴A＝[，+∞），∵log2（x﹣2）≤1＝log22，∴0＜x﹣2≤2，∴2＜x≤4，∴B＝（2，4]，∵B⊆A，∴2，∴a≤6，∴实数a的取值范围是（﹣∞，6]．故选：B．思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必需优先考虑空集的状况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满意的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．【题型三】集合的基本运算命题点1 集合的运算【典型例题】设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁U A）∩B＝（）A．{6，9} B．{6，7，9} C．{7，9} D．{7，9，10}【解答】解：U＝{n∈N|1≤n≤10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则∁U A＝{4，6，7，9，10}，则（∁U A）∩B＝{7，9}，故选：C．【再练一题】已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣1，3）B．[﹣1，3] C．[﹣1，4] D．（﹣1，4）【解答】解：A＝{x|x2﹣3x﹣4＞0}＝{x|x＞4或x＜﹣1}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∁R A＝{x|﹣1≤x≤4}，则（∁R A）∩B＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，故选：B．命题点2 利用集合的运算求参数【典型例题】已知集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A．[3，+∞）B．（3，+∞）C．（﹣∞，3）D．（﹣∞，3]【解答】解：结合数轴可知，当a≥3时，A∩B＝∅，故A∩B≠∅，则实数a的取值范围a＜3，故选：C．【再练一题】已知集合M＝{x|3x2﹣5x﹣2≤0}，N＝[m，m+1]，若M∪N＝M，则m的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：M＝{x|x≤2}，由M∪N＝M可得N⊆M，则，解得m≤1，故选：B．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要留意端点的状况．(2)运算过程中要留意集合间的特殊关系的运用，敏捷运用这些关系，会使运算简化．【题型四】集合的新定义问题【典型例题】设集合X是实数集R的子集，假如点x0∈R满意：对随意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④【解答】解：①中，集合中的元素是极限为1的数列，除了第一项0之外，其余的都至少比0大，∴在a的时候，不存在满意得0＜|x|＜a的x，∴0不是集合的聚点②集合{x|x∈R，x≠0}，对随意的a，都存在x（事实上随意比a小得数都可以），使得0＜|x|a∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚点③集合中的元素是极限为0的数列，对于随意的a＞0，存在n，使0＜|x|a∴0是集合的聚点④对于某个a＜1，比如a＝0.5，此时对随意的x∈Z，都有|x﹣0|＝0或者|x﹣0|≥1，也就是说不行能0＜|x﹣0|＜0.5，从而0不是整数集Z的聚点故选：A．【再练一题】已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于∀（x1，y1）∈M，∃（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2＝0成立，则称集合M是“互垂点集”．给出下列四个集合：；M2＝{（x，y）|y＝lnx}；；M4＝{（x，y）|y＝sin x+1}．其中是“互垂点集”集合的为（）A．M1B．M2C．M3D．M4【解答】解：设A（x1，y1），B（x1，y1）∵x1x2+y1y2＝0，∴即OA⊥OB．由题可知，在一个点集中，若对于∀A（x1，y1）∈M，∃B（x2，y2）∈M，使得OA⊥OB成立，则这个集合就是“互垂点集”．对于集合M1，取A（0，1），要使OA⊥OB，则点B必需在x轴上，而集合M1中没有点会在x轴上，所以M1不是“互垂点集”，同理可判定M2，M3也不是“互垂点集”，即解除A，B，C．故选：D．思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清晰，应用到详细的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要擅长从试题中发觉可以运用集合性质的一些因素．基础学问训练1．已知集合，则以下正确的结论是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得．所以．故选B．2．已知集合A． B．(－1，2) C． D．【答案】C【解析】集合解不等式得集合,，所以即所以选C3．已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，解得x>0，所以，又因为所以故选C4．已知，则A． B． C． D．【答案】B【解析】，．故选：B．5．已知全集，则A． B．C． D．【答案】C【解析】解：全集，则故选：C．6．若，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得到，由，则，故选B．7．已知集合，集合A与B关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为( )A． B．C． D．【答案】D【解析】解: 由图像可知阴影部分对应的集合为,,,故选D.8．集合，则的元素个数（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】为小于的整数，所以.故选B.9．已知全集，集合1，2，3，4，5，，则图中阴影部分表示的集合为A． B．1， C．2， D．1，2，【答案】C【解析】集合1，2，3，4，5，图中阴影部分表示的集合为2，．故选C．10．若集合A＝{x|x2＜2，B＝{x|}，则A∩B＝( )A．（0，2） B．（，0） C．（0，） D．（－2，0）【答案】B【解析】集合A＝{x|x2＜2, B＝{x|A∩B＝（，0）。

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆自|主|排|查1．集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。

集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。

(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉。

(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。

(4)常用数集的记号：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R。

2．集合间的基本关系A B或B A3.集合的基本运算1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件。

2．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身。

3．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心。

4．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性\”而导致解题错误。

5．记住以下结论(1)若集合A中有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1。

(2)A∪B＝A⇔B⊆A；A∩B＝A⇔A⊆B。

小|题|快|练一、走进教材1．(必修1P12B组T4改编)满足{0,1}⊆A{0,1,2,3}的集合A的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】由题意得A可为{0,1}，{0,1,2}，{0,1,3}。

故选C。

【答案】 C2．(必修1P12B组T1改编)已知集合A＝{0,1,2}，集合B满足A∪B ＝{0,1,2}，则集合B有________个。

【解析】由题意知B⊆A，则集合B有8个。

【答案】8二、双基查验1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则M∪N＝()A．{－1,0,1} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2} D．{0,1}【解析】M∪N表示属于M或属于N的元素构成的集合，故M∪N ＝{－1,0,1,2}。

故选B。

【答案】 B2．设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝() A．[0,1]B．[0,1)C．(0,1] D．(0,1)【解析】∵x2<1，∴－1<x<1。

数学讲义之集合【主干内容】1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.2．了解空集和全集的意义.3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x ∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x 以及它所具有的性质P ；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.5．注意空集∅的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A ⊆B,则有A=∅或A ≠∅两种可能，此时应分类讨论. 题型一：正确理解和运用集合概念〖例1〗(2011浙江) 若P ＝{x|x<1}，Q ＝{x|x>－1}，则( )A ．P ⊆QB ．Q ⊆PC ．C R P ⊆QD ．Q ⊆C R P〖例2〗(2011福建)i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈S D.2i∈S 〖例3〗﹙2011湖北﹚已知U ＝﹛y|y ＝log 2x ，x>1﹜，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝1x ，x>2，则C U P ＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C.()0，＋∞ D.(]－∞，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 〖例4〗﹙2011陕西﹚设集合M ＝{y|y ＝|cos 2x －sin 2x|，x∈R}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x i ＜1，i 为虚数单位，x∈R ，则M∩N 为( ) A ．(0,1) B ．(0,1] C ．[0,1) D ．[0,1]〖例5〗若P={y|y=x 2,x∈R }，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=∅B ．P QC ．P=QD ．PQ 题型二：集合元素的互异性 〖例1〗若A={2，4, a 3－2a 2－a ＋7},B={1, a ＋1, a 2－2a ＋2,－12(a 2－3a －8), a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B={2，5}，则实数a 的值是________． 〖例2〗已知集合A={a ,a ＋b, a ＋2b}，B={a ,a c, a c 2}．若A=B ，则c 的值是______．〖例3〗已知集合A={x|x 2－3x ＋2=0},B={x|x 2－a x ＋a －1=0}，且A∪B=A，则a 的值为______．题型三：要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法〖例1〗设集合A={a |a =3n ＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k －1,k∈Z}，则集合A 、B 的关系是________．〖例2〗﹙2011安徽﹚设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S∩B≠∅的集合S 的个数是( )A ．57B ．56C ．49D ．8〖例3〗﹙2011广东﹚ 已知集合A ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且x2＋y2＝1}，B ＝{(x ，y)|x ，y 为实数，且y ＝x}，则A∩B 的元素个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3〖例4〗记关于x 的不等式01x a x -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． （I ）若3a =，求P ； （II ）若Q P ⊆，求正数a 的取值范围．题型四：要注意空集的特殊性和特殊作用〖例1〗已知A={x|x2－3x ＋2=0},B={x|a x －2=0}且A ∪B=A ，则实数a 组成的集合C 是________．解：由x2－3x ＋2=0得x=1或2．当x=1时，a =2，当x=2时，a =1．这个结果是不完整的，上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=∅时，仍满足A ∪B=A ，当a =0时，B=∅，符合，应补上，故正确答案为C={0，1，2}． 〖例2〗已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =∅，则实数a 的取值范围是 ．〖例3〗已知集合A={x|x2＋(m ＋2)x ＋1=0,x ∈R}，若A∩R *=∅，则实数m 的取值范围是_________．〖例4〗已知集合A={x|x2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x ≤2p －1}．若B A ，则实数p 的取值范围是________．。

第1节集合考试要求 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.1.元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.2.集合间的基本关系(1)子集：若对任意x∈A，都有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则A B或B A.(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集的性质：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪B A∩B若全集为U，则集合A的补集为∁U A图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A.(2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A.(3)A∩(∁U A)＝，A∪(∁U A)＝U，∁U(∁U A)＝A.1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁U A⊇∁U B.4.∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.()(3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.()(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)恒成立.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)错误.空集只有一个子集.(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x 2＋1上的点集.(3)错误.当x ＝1时，不满足集合中元素的互异性. 2.若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 023}，a ＝22，则( ) A.a ∈P B.{a }∈P C.{a }⊆P D.a ∉P答案 D解析 因为a ＝22不是自然数，而集合P 是不大于 2 023的自然数构成的集合，所以a ∉P ，只有D 正确.3.(2021·新高考Ⅰ卷)设集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝( ) A.{2} B.{2，3} C.{3，4} D.{2，3，4} 答案 B解析 因为A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{2，3，4，5}，所以A ∩B ＝{2，3}.4.(易错题)(2021·宜昌调研)集合A ＝{－1，2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则由实数a 的取值组成的集合为( ) A.{－2}B.{1}C.{－2，1}D.{－2，1，0} 答案 D解析 对于集合B ，当a ＝0时，B ＝，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a ，又B ⊆A ，所以2a ＝－1或2a ＝2，解得a ＝－2或a ＝1.5.(2021·西安五校联考)设全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则(∁U A )∩B ＝( ) A.{x |x <0}B.{x |0<x ≤1}C.{x |1<x ≤2}D.{x |x >2}答案 D解析易知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>0}.∴∁U A＝{x|x<0或x>2}，故(∁U A)∩B＝{x|x>2}.6.(2021·全国乙卷)设集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T ＝()A. B.S C.T D.Z答案 C解析法一在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T.法二S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T.,考点一集合的基本概念1.已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中元素的个数为()A.3B.4C.5D.6答案 C解析当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，0，1；当x＝1时，y＝0.所以U＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素.2.若集合A＝{a－3，2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.答案0或1解析①当a－3＝－3，即a＝0时，此时A＝{－3，－1，－4}，②当2a－1＝－3，即a＝－1时，此时A＝{－4，－3，－3}舍，③当a2－4＝－3，即a＝±1时，由②可知a＝－1舍，则a＝1时，A＝{－2，1，－3}，综上，a＝0或1.3.(2022·武汉调研)用列举法表示集合A＝{x|x∈Z且86－x∈N}＝________.答案{－2，2，4，5}解析由题意x可取－2，2，4，5，故答案为{－2，2，4，5}.4.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”.给定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个.答案 6解析依题意可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个整数.∴所求的集合为{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个.感悟提升 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.考点二集合间的基本关系例1 (1)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}.若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为()A.{－1}B.{1}C.{－1，1}D.{－1，0，1}(2)已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}，且B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________. 答案 (1)D (2)[－1，＋∞) 解析 (1)当B ＝时，a ＝0，此时，B ⊆A .当B ≠时，则a ≠0，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝－1a .又B ⊆A ，∴－1a ∈A ，∴a ＝±1.综上可知，实数a 所有取值的集合为{－1，0，1}. (2)∵B ⊆A ，①当B ＝时，2m －1>m ＋1，解得m >2，②当B ≠时，⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≤m ＋1，2m －1≥－3，m ＋1≤4，解得－1≤m ≤2，综上，实数m 的取值范围[－1，＋∞). 感悟提升 1.若B ⊆A ，应分B ＝和B ≠两种情况讨论.2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn 图帮助分析及对参数进行讨论.确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.训练1 (1)(2022·大连模拟)设集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }，若A ＝B ，则a 2 022＋b 2 023的值为( ) A.0 B.1 C.－2D.0或－1(2)已知集合A ＝{x |log 2(x －1)<1}，B ＝{x ||x －a |<2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围为( ) A.(1，3)B.[1，3]C.[1，＋∞)D.(－∞，3] 答案 (1)B (2)B解析 (1)集合A ＝{1，a ，b }，B ＝{a ，a 2，ab }， 若A ＝B ，则a 2＝1或ab ＝1.由集合互异性知a ≠1，当a ＝－1时， A ＝{1，a ，b }＝{1，－1，b }， B ＝{a ，a 2，ab }＝{－1，1，－b }， 有b ＝－b ，得b ＝0.∴a 2 022＋b 2 023＝(－1)2 022＋02 023＝1. 当ab ＝1时，集合A ＝{1，a ，b }， B ＝{a ，a 2，ab }＝{a ，a 2，1}，有b ＝a 2. 又b ＝1a ，∴a 2＝1a ，得a ＝1，不满足题意. 综上，a 2 022＋b 2 023＝1，故选B. (2)由log 2(x －1)<1，得0<x －1<2， 所以A ＝(1，3).由|x －a |<2得a －2<x <a ＋2， 所以B ＝(a －2，a ＋2).因为A ⊆B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2≤1，a ＋2≥3，解得1≤a ≤3.所以实数a 的取值范围为[1，3]. 考点三 集合的运算角度1集合的基本运算例2 (1)(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U(M∪N)＝()A.{5}B.{1，2}C.{3，4}D.{1，2，3，4}(2)(2021·西安测试)设全集U＝R，M＝{x|y＝ln(1－x)}，N＝{x|2x(x－2)<1}，那么图中阴影部分表示的集合为()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|0<x≤1}D.{x|x≤1}答案(1)A(2)B解析(1)法一因为集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，所以M∪N＝{1，2，3，4}. 又全集U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{5}.故选A.法二因为∁U(M∪N)＝(∁U M)∩(∁U N)，∁U M＝{3，4，5}，∁U N＝{1，2，5}，所以∁U(M∪N)＝{3，4，5}∩{1，2，5}＝{5}.故选A.(2)题图中阴影表示的集合为(∁U M)∩N.易知M＝{x|x<1}，N＝{x|0<x<2}，∴(∁U M)∩N＝{x|1≤x<2}.角度2利用集合的运算求参数例3 (1)(2021·日照检测)已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5<0}，B＝{x|4x>2m}，若A∩B 中有三个元素，则实数m的取值范围是()A.[3，6)B.[1，2)C.[2，4)D.(2，4](2)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A.a <－2B.a ≤－2C.a >－4D.a ≤－4答案 (1)C (2)D解析 (1)因为x 2－4x －5<0，解得－1<x <5，则集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5<0}＝{0，1，2，3，4}，易知集合B ＝{x ⎪⎪⎪x >m2}.又因为A ∩B 中有三个元素， 所以1≤m2<2，解之得2≤m <4. 故实数m 的取值范围是[2，4). (2)集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2， 由A ∪B ＝B 可得A ⊆B ，作出数轴如图.可知－a2≥2，即a ≤－4.感悟提升 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.数形结合思想的应用：(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解；(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.训练2 (1)(2021·全国甲卷改编)设集合M ＝{x |0<x <4}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13≤x <a ，且M ∩N ＝N ，则a 的取值范围为( ) A.a ≤13 B.a >4 C.a ≤4D.a >13(2)集合M ＝{x |2x 2－x －1<0}，N ＝{x |2x ＋a >0}，U ＝R .若M ∩(∁U N )＝，则a 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.[1，＋∞)C.(－∞，1)D.(－∞，1] 答案 (1)C (2)B解析 (1)由M ∩N ＝N ，∴M ⊇N . 当N ＝时，即a ≤13成立； 当N ≠时，借助数轴易知13<a ≤4.综上，a ≤4.(2)易得M ＝{x |2x 2－x －1<0} ＝{x ⎪⎪⎪－12<x <1}.∵N ＝{x |2x ＋a >0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－a 2，∴∁U N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a 2. 由M ∩(∁U N )＝，则－a 2≤－12，得a ≥1.Venn 图的应用用平面上封闭图形的内部代表集合，这种图称为Venn 图.集合中图形语言具有直观形象的特点，将集合问题图形化.利用Venn 图的直观性，可以深刻理解集合的有关概念，快速进行集合的运算.例 1 设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N *}，若A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1，5，7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，则A ＝________，B ＝________. 答案 {1，3，5，7} {2，3，4，6，8}解析 由题知U ＝{1，2，3，…，9}，根据题意，画出Venn 图如图所示，由Venn 图易得A ＝{1，3，5，7}，B ＝{2，3，4，6，8}.例2 (2020·新高考海南卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A.62%B.56%C.46%D.42%答案 C解析 如图，用Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x ，则(60%－x )＋(82%－x )＋x ＝96%，解得x ＝46%.故选C.例3 向100名学生调查对A ，B 两件事的看法，得到如下结果：赞成A 的人数是全体的35，其余不赞成；赞成B 的人数比赞成A 的人数多3人，其余不赞成.另外，对A ，B 都不赞成的人数比对A ，B 都赞成的学生人数的13多1人，则对A ，B 都赞成的学生人数为________，对A ，B 都不赞成的学生人数为________. 答案 36 13解析 由题意知赞成A 的人数为100×35＝60，赞成B 的人数为60＋3＝63.如图，记100名学生组成的集合为U ，赞成A 的学生的全体记为集合A ，赞成B 的学生的全体记为集合B ，并设对A ，B 都赞成的学生数为x ，则对A ，B 都不赞成的人数为x 3＋1，由题意，知(60－x )＋(63－x )＋x ＋x 3＋1＝100，解得x ＝36.所以对A ，B 都赞成的学生人数为36人，对A ，B 都不赞成的学生人数为13人.1.(2021·新高考Ⅱ卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁U B)＝()A.{3}B.{1，6}C.{5，6}D.{1，3}答案 B解析由题设可得∁U B＝{1，5，6}，故A∩(∁U B)＝{1，6}.2.(2021·郑州模拟)设集合A＝{x|3x－1<m}，若1∈A且2∉A，则实数m的取值范围是()A.(2，5)B.[2，5)C.(2，5]D.[2，5]答案 C解析∵A＝{x|3x－1<m}，1∈A且2∉A，∴3×1－1<m且3×2－1≥m，解得2<m≤5.3.(2021·浙江卷)设集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝()A.{x|x>－1}B.{x|x≥1}C.{x|－1<x<1}D.{x|1≤x<2}答案 D解析因为集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|－1<x<2}，所以A∩B＝{x|1≤x<2}.故选D.4.(2022·河南名校联考)已知集合A＝{a，a2，0}，B＝{1，2}，若A∩B＝{1}，则实数a的值为()A.－1B.0C.1D.±1答案 A解析由题意a＝1或a2＝1，当a ＝1，此时A ＝{1，1，0}与元素互异性矛盾，∴a ＝－1，故选A.5.已知集合A ＝{x ∈Z |y ＝log 5(x ＋1)}，B ＝{x ∈Z |x 2－x －2<0}，则( )A.A ∩B ＝AB.A ∪B ＝BC.B AD.A B答案 C解析 由x ＋1>0，得x >－1，∴A ＝{x ∈Z |x >－1}＝{0，1，2，3，…}.由x 2－x －2<0，得－1<x <2，∴B ＝{0，1}，∴A ∩B ＝B ，A ∪B ＝A ，B A .6.设集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝3}，则满足M ⊆(A ∩B )的集合M 的个数是( )A.0B.1C.2D.3 答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴A ∩B ＝{(2，－1)}.由M ⊆(A ∩B )，知M ＝或M ＝{(2，－1)}. 7.(2022·太原模拟)已知集合M ＝{x |(x －2)2≤1}，N ＝{y |y ＝x 2－1}，则(∁R M )∩N ＝( )A.[－1，＋∞)B.[－1，1]∪[3，＋∞)C.[－1，1)∪(3，＋∞)D.[－1，1]∪(3，＋∞)答案 C解析由已知可得M＝{x|－1≤x－2≤1}＝{x|1≤x≤3}，N＝{y|y≥－1}，∴∁R M＝{x|x<1或x>3}，∴(∁R M)∩N＝{x|－1≤x<1或x>3}.8.设集合A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，B＝{a}，若A∪B＝A，则a的最大值为()A.－2B.2C.3D.4答案 C解析因为A＝{x|(x＋2)(x－3)≤0}，所以A＝{x|－2≤x≤3}.又因为B＝{a}，且A∪B＝A，所以B⊆A，所以a的最大值为3.9.(2021·合肥模拟)已知集合A＝{－2，－1，0，1，2}，集合B＝{x||x－1|≤2}，则A∩B＝________.答案{－1，0，1，2}解析B＝{x|－2≤x－1≤2}＝{x|－1≤x≤3}，又A＝{－2，－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0，1，2}.10.(2021·湖南雅礼中学检测)设集合A＝{x|y＝x－3}，B＝{x|1<x≤9}，则(∁R A)∩B ＝________.答案(1，3)解析因为A＝{x|y＝x－3}，所以A＝{x|x≥3}，所以∁R A＝{x|x<3}.又B＝{x|1<x≤9}，所以(∁R A)∩B＝(1，3).11.已知集合A＝{x|y＝lg(x－x2)}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是________.答案[1，＋∞)解析由题意知，A＝{x|y＝lg(x－x2)}＝{x|x－x2>0}＝(0，1)，B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝(0，c).由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.12.已知集合A ＝{a ，b ，2}，B ＝{2，b 2，2a }，若A ＝B ，则a ＋b ＝________.答案 34或1 解析 由A ＝B ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a .解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，又由集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12，所以a ＋b ＝1或a ＋b ＝34.13.若全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{－2，2}，B ＝{x |x 2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A.{－1，0，1}B.{－1，0}C.{－1，1}D.{0}答案 D解析 B ＝{x |x 2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为∁U (A ∪B ).又A ∪B ＝{－2，－1，1，2}，全集U ＝{－2，－1，0，1，2}，所以∁U (A ∪B )＝{0}.14.(2020·浙江卷)设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有2个元素，且S ，T满足：①对于任意的x，y∈S，若x≠y，则xy∈T；②对于任意的x，y∈T，若x＜y，则yx∈S.下列命题正确的是()A.若S有4个元素，则S∪T有7个元素B.若S有4个元素，则S∪T有6个元素C.若S有3个元素，则S∪T有5个元素D.若S有3个元素，则S∪T有4个元素答案 A解析由题意，①令S＝{1，2，4}，则T＝{2，4，8}，此时，S∪T＝{1，2，4，8}，有4个元素；②令S＝{2，4，8}，则T＝{8，16，32}，此时，S∪T＝{2，4，8，16，32}，有5个元素；③令S＝{2，4，8，16}，则T＝{8，16，32，64，128}，此时，S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}，有7个元素.综合①②，S有3个元素时，S∪T可能有4个元素，也可能有5个元素，可排除C，D；由③可知A正确.15.已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.16.当两个集合有公共元素，且互不为对方的子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M ＝{x |ax 2－1＝0，a >0}，N ＝{－12，12，1}，若M 与N “相交”，则a＝________.答案 1解析 M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1a ，1a ，由1a ＝12，得a ＝4，由1a＝1，得a ＝1. 当a ＝4时，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，12，此时M ⊆N ，不合题意； 当a ＝1时，M ＝{－1，1}，满足题意.。

一、学习目标:1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系。

3.会求两个集合的并集、交集和补集二、重难点：重点：正确掌握集合概念以及算难点：掌握逻辑用语的使用方式三、知识梳理知识点一集合的基本概念1.集合的三大特性：确定性、互异性、无序性。

2.元素与集合的两种关系：或，符号表示为或3.集合的表示法：、、。

4.常用数集的表示自查自测1.用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ∈R ，y ∈R }＝。

2.已知集合A ＝{0，1，x 2－5x }，若－4∈A ，则实数x 的值为。

知识点二集合间的基本关系1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记作A B (或BA )．2．真子集：如果集合A 是集合B 的，但集合B 中不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．3．集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则．4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为；空集是任何集合的，是任何非空集合的。

自查自测1．给出下列四个说法：(1)任何一个集合都至少有两个子集；(2){0，2，1}和{0，1，2}是同一个集合；(3)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1；(4){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}．其中正确说法的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．32.已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}．若Q ⊆P ，则a 的值是．知识点三集合的基本运算1.交集：一般地，由属于集合A 属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝．2．并集：一般地，由属于集合A 属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝．3．补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作∁U A ，即∁U A ＝．4．集合基本运算的常见性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅.(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ．(3)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U ，∁U (∁U A )＝A ．(4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )＝∅.(5)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )(6)A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ；A ∩B ＝B ⇔B ⊆A自查自测设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，则∁R (A ∪B )＝，(∁R A )∩B ＝【常用结论】1.子集个数：若有限集A 中有n 个元素，其子集个数为；真子集个数为；非空子集个数为；非空真子集个数为.2..集合运算中的常用方法若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；若已知的集合是点集，用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解.练习1.练习2设集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，B ＝{2，3，4}，则(∁U A )∩(∁U B )＝()A．{1}B．{5}C．{2，4}D．{1，2，4，5}四、典例分析考点一集合的基本概念1．(多选题)已知集合A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是()集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号=≥∈=≤-+=B A x N x B x x xA 则已知集合},1{},032{2A ．－1∉AB ．－11∉AC ．3k 2－1AD ．－34A 2．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈N *，y ≥x }，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＝8}，则A ∩B 中元素的个数为()A ．2B ．3C ．6D ．43．若集合A ＝{x |ax 2＋4x ＋1＝0}中只有一个元素，则a 的值为()A ．0B ．4C ．0或4D ．不能确定4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝0，，，则a 2024＋b 2025＝．考点二集合间的基本关系1．(2024青岛模拟)设集合A ＝{x |x ＝3k ，k ∈N }，B ＝{x |x ＝6z ，z ∈N *}，则()A ．0∈B B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．A ∩B ＝A 2．(2024济南模拟)满足条件{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 有()A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个3．设a ，b ∈R ，集合P ＝{x |(x －1)2(x －a )＝0}，Q ＝{x |(x ＋1)(x －b )2＝0}．若P ＝Q ，则a －b ＝()A ．0B ．2C ．－2D ．14．(1)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若A ⊆B ，则实数m 的取值范围是．(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是．考点三集合的运算考向1集合的基本运算【例1】(1)(2023新高考全国Ⅰ卷)已知集合M ＝{－2，－1，0，1，2}，N ＝{x |x 2－x －6≥0}，则M ∩N ＝()A ．{－2，－1，0，1}B ．{0，1，2}C ．{－2}D ．{2}(2)(2023全国甲卷)设全集U ＝Z ，集合M ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z }，则∁U (M ∪N )＝()A ．{x |x ＝3k ，k ∈Z }B ．{x |x ＝3k －1，k ∈Z }C ．{x |x ＝3k －2，k ∈Z }D ．∅考向2利用集合的运算求参数的值或范围【例2】(1)已知集合A ＝{x |x >2，或x <－4}，B ＝{x |x <a }．若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为()A ．[－4，＋∞)B ．(－4，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)(2)设集合A ＝{0，2，4}，B ＝{x |x 2－mx ＋n ＝0}．若A ∪B ＝{0，1，2，3，4}，则m ＋n 的值是()A ．1B ．3C ．5D ．7随堂检测1．(2022新高考全国Ⅱ卷)已知集合A ＝{－1，1，2，4}，B ＝{x ||x －1|≤1}，则A ∩B ＝()A ．{－1，2}B ．{1，2}C ．{1，4}D ．{－1，4}2．(2023全国乙卷)设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x <1}，N ＝{x |－1<x <2}，则{x |x ≥2}＝()A ．∁U (M ∪N )B ．N ∪∁U M C ．∁U (M ∩N )D ．M ∪∁U N3．已知集合A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x <a 2}，且(∁R A )∩B ＝B ，则实数a 的取值范围为()A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(－∞，0]4．(2024九省适应性测试)已知集合A ＝{－2，0，2，4}，B ＝{x ||x －3|≤m }，若A ∩B ＝A ，则m 的最小值为．5．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2<x <4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，则实数m 的取值范围为．链接高考考点1离散元素集合的运算1．（2021新高考II 卷）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则A ∩∁U B=（）A．{3}B．{1,6}C．{5,6}D．{1,3}2．（2020全国卷Ⅱ）设集合A={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B ⋂=（）A．{1，3，5，7}B．{2，3}C．{2，3，5}D．{1，2，3，5，7，8}考点2与不等式相关集合的运算3．（2021年全国新高考I 卷）设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A．{}2B．{}2,3C．{}3,4D．{}2,3,44．（2024全国Ⅰ卷）已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A xx B =-<<=--∣，则A B = （）A．{1,0}-B．{2,3}C．{3,1,0}--D．{1,0,2}-5．（2022新高考全国II 卷）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （）A．{1,2}-B．{1,2}C．{1,4}D．{1,4}-6．（2023全国Ⅰ卷）已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N ⋂=（）A．{}2,1,0,1--B．{}0,1,2C．{}2-D．{}2考点3根据集合的包含关系求参数7．（2023全国Ⅱ卷）设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （）．A．2B．1C．23D．1-∈∈。