2017-2018学年大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高二(上)期末数学试卷(理科)

2017-2018学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤12．设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则“”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．设f（x）=e x，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），，则下列关系式中正确的是（）A．q=r＞p B．q=r＜p C．p=r＞q D．p=r＜q4．在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣4x+3=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±35．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（）A．B．C．D．7．若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2014+a2015＞0，a2014•a2015＜0，则使前n项和S n＜0成立的最小正整数n是（）A．2015 B．2014 C．4029 D．40288．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣19．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则=（）A．45°B．60°C．90°D．120°10．若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（）A．B．C．D．11．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．e12+e22=2 B．e12+e22=4C．D．12．如图，过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A1、B1，已知△AA1F与△BB1F的面积分别为9和1，则△A1B1F的面积为（）A．4 B．6 C．10 D．12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，满足，则x=．14．已知数列{a n}满足a1=1，（n∈N*），则a n=．15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．16．已知x，y为正实数，则+的最大值为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）若AB=AC=AP=2，设D，E分别为棱AC，AP的中点，F为△ABD内一点，且满足，求直线BD与EF所成角的大小．19．已知{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+a3=2b3，b5﹣3a2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和S n．20．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E 的长．21．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．22．已知双曲线C：x2﹣=1的左、右两个顶点分别为A、B．曲线M是以A、B两点为短轴端点，离心率为的椭圆．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆M相交于另一点T．（Ⅰ）设点P、T的横坐标分别为x1、x2，证明：x1x2=1；（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤9，求S1•S2的最大值．2015-2016学年辽宁省沈阳市东北育才学校高二（上）第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（）A．对任意实数x，都有x＞1 B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1 D．存在实数x，使x≤1【考点】命题的否定．【分析】根据存在命题（特称命题）否定的方法，可得结果是一个全称命题，结合已知易得答案．【解答】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”故选C2．设直线l的方向向量是，平面α的法向量是，则“”是“l∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据线面平行的定义结合充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：由l∥α，得：，是必要条件，而“”不一定有l∥α，也可能l⊂α，故不是充分条件，故选：B．3．设f（x）=e x，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），，则下列关系式中正确的是（）A．q=r＞p B．q=r＜p C．p=r＞q D．p=r＜q【考点】指数函数的图象与性质．【分析】利用指数运算性质、基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵f（x）=e x，0＜a＜b，∴p=f（）=，q=f（）=＞，==，∴q=r＞p．故选：A．4．在等比数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣4x+3=0的两根，则a6的值是（）A．B．C．D．±3【考点】等比数列的性质．【分析】解方程可得a4和a8，可得a62=a4•a8，解之由a4，a6同号可得．【解答】解：解方程x2﹣4x+3=0可得x=1，或x=3故a4=1，a8=3，或a4=3，a8=1故a62=a4•a8=3，故a6=，又a52=a4•a6，＞0，即a4，a6同号，又a4＞0，故a6=故选C5．已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程．【解答】解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．6．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，AC1与BD1相交于点O，则有（）A．B．C．D．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量坐标运算、数量积运算性质即可判断出结论．【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），A1（a，0，a），C1（0，a，a），C（0，a，0），O．A.=（0，a，0），=（﹣a，a，0），=a2，正确．B.=（﹣a，a，a），∴•=a2，因此不正确．C.=，∴=，因此不正确．D.=（﹣a，a，0），=（a，0，a），∴•=﹣a2，因此不正确．故选：A．7．若{a n}是等差数列，首项a1＞0，a2014+a2015＞0，a2014•a2015＜0，则使前n项和S n＜0成立的最小正整数n是（）A．2015 B．2014 C．4029 D．4028【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知可得：a2014＞0，a2015＜0，可得S4029=4029×a2015＜0，即可得出．【解答】解：∵首项a1＞0，a2014+a2015＞0，a2014•a2015＜0，∴a2014＞0，a2015＜0，∴S4029==4029×a2015＜0，则使前n项和S n＜0成立的最小正整数n是4029．故选：C．8．x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A．或﹣1 B．2或C．2或1 D．2或﹣1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，综上a=﹣1或a=2，故选：D9．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则=（）A．45°B．60°C．90°D．120°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】：以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出．【解答】解：以A为原点，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设=，则A（0，0，0），B（，，0），B1（，，1），C1（0，，1），=（，1），=（﹣，，1），∴cos＜，＞==0，∴=90°．故选：C．10．若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（）A．B．C．D．【考点】基本不等式．【分析】先对已知等式整理表示出y，带入x+2y，利用基本不等式求得最小值．【解答】解：∵x2+6xy﹣1=0，∴y=，∴x+2y=x+=x+≥，当且仅当=，即x=时，取等号．故选A．11．已知F1、F2是两个定点，点P是以F1和F2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF1⊥PF2，e1和e2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有（）A．e12+e22=2 B．e12+e22=4C．D．【考点】圆锥曲线的共同特征．【分析】由题设中的条件，设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，根据椭圆和双曲线的性质以及勾弦定理建立方程，联立可得m，a，c的等式，整理即可得到结论【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆的长轴长2a，双曲线的实轴长为2m，不妨令P在双曲线的右支上由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m ①由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a ②又∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③①2+②2得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④将④代入③得a2+m2=2c2，即，即故选C12．如图，过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交C于A、B两点，过A、B分别向C的准线l作垂线，垂足为A1、B1，已知△AA1F与△BB1F的面积分别为9和1，则△A1B1F的面积为（）A．4 B．6 C．10 D．12【考点】抛物线的简单性质．【分析】设△A′B′F的面积为S，直线AB：x=my+代入抛物线方程，利用韦达定理，计算，，求出面积的积，即可求出△A1B1F的面积．【解答】解：设△A′B′F的面积为S，直线AB：x=my+，代入抛物线方程，消元可得y2﹣2pmy﹣p2=0，设A（x1，y1）B（x2，y2），则y1y2=﹣p2，y1+y2=2pm，=|AA1|×|y1|=|x1+||y1|=（+）|y1|，=|BB2|×|y2|=|x2+||y2|=（+）|y2|，∴=（m2+1）=9，∴=|y1﹣y2|==6，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，满足，则x=6．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用选向量数量积运算性质即可得出．【解答】解：=（0，1，3﹣x），∵，则2+3﹣x=﹣1，解得x=6．故答案为：6．14．已知数列{a n}满足a1=1，（n∈N*），则a n=．【考点】数列递推式．【分析】把已知数列递推式裂项变形，然后利用累加法求得数列{a n}的通项公式．【解答】解：由，得，∵a1=1，∴=2[（）+（）+…+（1﹣）]+1=2（1﹣）+1=，∴．故答案为：．15．已知双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设P点坐标，进而根据双曲线的定义可知丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex﹣a，根据|PF1|=4|PF2|求得e和a，x的关系式，进而根据x的范围确定e的范围，求得e的最大值．【解答】解：设P（x，y），由焦半径得丨PF1丨=ex+a，丨PF2丨=ex﹣a，∴ex+a=4（ex﹣a），化简得e=，∵p在双曲线的右支上，∴x≥a，所以e≤，即e的最大值是故答案为：16．已知x，y为正实数，则+的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】化简+=+，再令=t＞0，从而化简得+，令f（t）=+=1+=1+，利用基本不等式求最值．【解答】解：∵x，y为正实数，∴+=+，令=t＞0，则+=+，令f（t）=+=1+=1+≤1+=，（当且仅当t=，即t=2时，等号成立）；故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解关于x的不等式ax2﹣2≥2x﹣ax（a∈R）．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】对a分类：a=0，a＞0，﹣2＜a＜0，a=﹣2，a＜﹣2，分别解不等式，求解取交集即可．【解答】解：原不等式变形为ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．①a=0时，x≤﹣1；②a≠0时，不等式即为（ax﹣2）（x+1）≥0，当a＞0时，x≥或x≤﹣1；由于﹣（﹣1）=，于是当﹣2＜a＜0时，≤x≤﹣1；当a=﹣2时，x=﹣1；当a＜﹣2时，﹣1≤x≤．综上，当a=0时，x≤﹣1；当a＞0时，x≥或x≤﹣1；当﹣2＜a＜0时，≤x≤﹣1；当a=﹣2时，x=﹣1；当a＜﹣2时，﹣1≤x≤．18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）若AB=AC=AP=2，设D，E分别为棱AC，AP的中点，F为△ABD内一点，且满足，求直线BD与EF所成角的大小．【考点】异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）由PA⊥平面ABC，可得PA⊥AC．利用线面垂直的判定与性质定理即可证明．（II）建立如图所示的空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．【解答】（I）证明：∵PA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PA⊥AC．又AB⊥AC，AB∩PA=A．∴AC⊥平面PAB，AB⊂平面ABC，∴AC⊥AB．（II）解：建立如图所示的空间直角坐标系．则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（1，0，0），E（0，0，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，2，0），∴=．=+=．∴=．∴cos===﹣．∴异面直线BD与EF所成角为．19．已知{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，且a1=b1=1，a2+a3=2b3，b5﹣3a2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n•b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，由题意q＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（II）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，由题意q＞0，由已知可得：，消去d得q4﹣2q2﹣8=0，解得q=2，d=2，∴，（Ⅱ）由（I）有，设{c n}的前n项和为S n，则，，两式相减得，∴．20．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论；（Ⅱ）通过计算平面ACD1的法向量与平面ACB1的法向量的夹角的余弦值及平方关系即得结论；（Ⅲ）通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z 轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段A1E的长为﹣2．21．如图，椭圆E： +=1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ斜率之和为2．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由题意设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）由题设知， =，b=1，结合a 2=b 2+c 2，解得a=，所以+y 2=1；（Ⅱ）证明：由题意设直线PQ 的方程为y=k （x ﹣1）+1（k ≠0）， 代入椭圆方程+y 2=1，可得（1+2k 2）x 2﹣4k （k ﹣1）x +2k （k ﹣2）=0， 由已知得（1，1）在椭圆外， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），x 1x 2≠0，则x 1+x 2=，x 1x 2=，且△=16k 2（k ﹣1）2﹣8k （k ﹣2）（1+2k 2）＞0，解得k ＞0或k ＜﹣2．则有直线AP ，AQ 的斜率之和为k AP +k AQ =+=+=2k +（2﹣k ）（+）=2k +（2﹣k ）•=2k +（2﹣k ）•=2k ﹣2（k ﹣1）=2．即有直线AP 与AQ 斜率之和为2．22．已知双曲线C ：x 2﹣=1的左、右两个顶点分别为A 、B ．曲线M 是以A 、B 两点为短轴端点，离心率为的椭圆．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆M 相交于另一点T ．（Ⅰ）设点P 、T 的横坐标分别为x 1、x 2，证明：x 1x 2=1；（Ⅱ）设△TAB 与△POB （其中O 为坐标原点）的面积分别为S 1与S 2，且•≤9，求S 1•S 2的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）依题意得A （﹣1，0），B （1，0），设椭圆M 的方程为，由椭圆M 的离心率e=，得椭圆M 的方程为，设P （x 1，y 1），T （x 2，y 2），由k AP =k A T ，和点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，能证明x 1x 2=1．（Ⅱ）由，得，由点P是双曲线在第一象限的点，得1＜x1≤2，由已知得===（1﹣x22）（），由此推导出当x1=2时，（S1•S2）max=．【解答】（Ⅰ）证明：依题意得A（﹣1，0），B（1，0），设椭圆M的方程为，由椭圆M的离心率e==，解得b2=2，∴椭圆M的方程为，设P（x1，y1），T（x2，y2），（x i＞0，y i＞0，i=1，2）则k AP=，k A T=，∵k AP=k A T，∴，即，∵点P和点T分别在双曲线和椭圆上，∴，，即，，∴，∴，∴．∴x1x2=1．（Ⅱ）解：设P（x1，y1），T（x2，y2），（x i＞0，y i＞0，i=1，2）则=（﹣1﹣x1，﹣y1），，∵，∴（﹣1﹣x1）（1﹣x1）+≤9，∴，∵P在双曲线上，∴，∴，∴，∵点P是双曲线在第一象限的点，∴1＜x1≤2，∵S1=，，∴===（1﹣x22）（）由（Ⅰ）知，x≤﹣2．设﹣1≤x≤1，则f（x）=2＜4，．∵f（t）=t+在区间（1，4]上单调递增，f（t）max=f（4），∴=t+﹣2，即当x1=2时，（S1•S2）max=．2016年12月5日。

大连市20172018学年度第一学期期末考试试卷高二数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线y2=12x的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】结合抛物线的标准方程可得：抛物线y2=12x的准线方程为.本题选择A选项.2. 命题：“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，改量词，否结论，所以命题：“”的否定是��?/m:t>>0,x2−x<0.本题选择C选项.3. 若a b>0，则ba +ab的最小值是（）A. 1B. 2C. 2D. 22【答案】C【解析】，等号当且仅当ba =ab,即a=b时等号成立.则ba+ab的最小值是2.本题选择C选项.4. 已知a n是等差数列，a1+a2=4,a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A. 64B. 100C. 110D. 120【答案】B【解析】解：设公差为d，则由已知得2a1+d="4" 2a1+13d=28 ⇒ a1="1" d=2 ⇒S10=10×1+10×9 =100，故选B．5. 命题，命题，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】对于命题q，求解有显然命题p对应的集合为命题q对应集合的真子集，所以p是q的充分不必要条件.本题选择A选项.6. 已知实数x,y满足，则的最小值是（）A. 5B.C. 5D.2【答案】B【解析】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部，其中，由，将直线l：y=2x进行平移，观察y轴上的截距变化，可得：当l经过点A��?/m:t>,3时，目标函数达到最小值，∴z最小值为本题选择B选项.7. 已知ΔA B C的顶点B,C在椭圆x2+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在B C边上，3则ΔA B C的周长是（）A. 23B. 6C. 43D. 12【答案】C∴|A B|+|B C|+|C A|=4a+y2=1∵椭圆方程为x23∴a=3∴ΔA B C的周长为4故选C8. 平行六面体中，向量两两的夹角均为600，且，,则等于（）A. 5B. 6C. 4D. 8【答案】A【解析】如图所示，∵平行六面体中，向量两两的夹角均为60°，且，本题选择A选项.9. 已知直线y=x+1与曲线y=ln x+a相切，则的值为（）A. 1B. 2C.D. 【答案】B【解析】由直线y=x+1与曲线y=l n x+a相切，设切点坐标是(x0,y0)，则有y0=x0+1y0=ln x0+a，由曲线y=ln x+a可得y��?//=1x+a ，所以切线的斜率是1x0+a，据此有：y0=x0+1y0=ln x0+ax0+a=1，求解方程组有：.本题选择B选项.点睛：(1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．(2)在求切线方程时，应先判断已知点Q(a，b)是否为切点，若已知点Q(a，b)不是切点，则应求出切点的坐标，利用切点坐标求出切线斜率，进而用切点坐标表示出切线方程．10. 关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（）A. B. 1,2 C. D.【答案】D【解析】,由于解决为,故a<0,且,故的开口向下,两个根为1,2,所以解集为x<1,x>2.故选D.11. 已知双曲线的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：抛物线焦点为(1,0)，所以双曲线中c=1，，双曲线方程为考点：双曲线抛物线方程及性质12. 若f x的定义域为R，f��?//x<2恒成立，f��?/m:t>=2，则f x>2x+4的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，因为f��?/m:t><2恒成立,所以即函数F(x)在R上单调递减.因为f��?/m:t>=2,所以，则不等式即，据此可得：.所以，即不等式f x>2x+4解集为.本题选择B选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，∁U B={2}，则集合A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，3，4}2．（5分）若复数，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则=（）A．2+i B．2﹣i C．i D．﹣i3．（5分）双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=±2x D．4．（5分）设平面向量，则=（）A．（0，0） B．C．0 D．﹣25．（5分）若，且α为第二象限角，则tanα=（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图的框图，则输出的s是（）A．9 B．10 C．132 D．13207．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值等于（）A．0 B．﹣1 C．D．9．（5分）为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．5πB．6πC．D．7π11．（5分）某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组．某次数学考试成绩公布情况如下：甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高．若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）A．甲、乙、丙B．甲、丙、乙C．乙、甲、丙D．丙、甲、乙12．（5分）①“两条直线没有公共点，是两条直线异面”的必要不充分条件；②若过点P（2，1）作圆C：x2+y2﹣ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a∈（﹣3，+∞）；③若，则；④若函数在上存在单调递增区间，则；以上结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设f（x）=，则=．14．（5分）已知圆x2+y2﹣6y﹣7=0与抛物线x2=2py（p＞0）的准线相切，则p=．15．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=3S n，n∈N+，则a n=．16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R）d的导函数为f′（x），若f（x）﹣f（﹣x）=2x3，且当x≥0时，f′（x）＞3x2，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞3x2﹣3x+1的解集是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足．（1）求角B的大小；（2）设y=sinC﹣sinA，求y的取值范围．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥E﹣FBC1的体积．19．（12分）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）．（1）求频率分布直方图中x的值及身高在170cm以上的学生人数；（2）将身高在[170，175]，[175，180），[180，185]内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数；（3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算B组中至少有1人被抽中的概率．20．（12分）在直角坐标系xOy中，设椭圆的上下两个焦点分别为F2，F1，过上焦点F2且与y轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（b，0），直线BF2交椭圆C于另一个点N，求△F1BN 的面积．21．（12分）已知函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程；（2）当x＞0且x≠1，不等式恒成立，求实数a的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π且），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．已知直线l与曲线C交于A、B两点，且．（1）求α的大小；（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，求|MN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3a|（a∈R）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|x﹣1|；（2）若存在x0∈R，使f（x0）＞5+|x0﹣1|成立，求a的取值范围．2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，∁U B={2}，则集合A∩B=（）A．{1}B．{2}C．{1，2}D．{1，3，4}【解答】解：∵全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，∁U B={2}，∴B={1，3，4}，∴集合A∩B={1}．故选：A．2．（5分）若复数，其中i为虚数单位，是z的共轭复数，则=（）A．2+i B．2﹣i C．i D．﹣i【解答】解：∵=，∴，则=2﹣i．故选：B．3．（5分）双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=±2x D．【解答】解：双曲线，其渐近线方程，整理得y=±x．故选：A．4．（5分）设平面向量，则=（）A．（0，0） B．C．0 D．﹣2【解答】解：平面向量，则=﹣1×0+2×2=0．故选：C．5．（5分）若，且α为第二象限角，则t anα=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，且α为第二象限角，∴sinα=，则tanα=．故选：B．6．（5分）执行如图的框图，则输出的s是（）A．9 B．10 C．132 D．1320【解答】解：模拟程序的运行，可得i=12，S=1满足条件i＞10，执行循环体，S=12，i=11满足条件i＞10，执行循环体，S=132，i=10不满足条件i＞10，退出循环，输出S的值为132．故选：C．7．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．8．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值等于（）A．0 B．﹣1 C．D．【解答】解：由z=x﹣y得y=x﹣z，作出变量x，y满足约束条件对应的平面区域如图（阴影部分），平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A点，由，可得A（，）时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z最小，∴目标函数z=x﹣y的最小值是﹣﹣=﹣．故选：D．9．（5分）为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【解答】解：为了得到函数y=sin2x的图象，可以将函数向左平移个单位长度，故选：C．10．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．5πB．6πC．D．7π【解答】解：由几何体的三视图得到该几何体是如图所示的三棱锥P﹣ABC，其中，PC⊥底面ABC，AC⊥BC，AC=PC=，BC=1，以CA、CB、CP为三条棱构造长方体，则该几何体的外接球即长方体的外接球，∴该几何体的外接球的半径R==，∴该几何体的外接球的表面积：S=4πR2=4π×（）2=7π．故选：D．11．（5分）某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组．某次数学考试成绩公布情况如下：甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高．若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）A．甲、乙、丙B．甲、丙、乙C．乙、甲、丙D．丙、甲、乙【解答】解：甲和三人中的第3小组那位不一样，说明甲不在第三组，三人中第3小组的那位比乙分数高，说明乙不在第三组，则丙在第三组，第三组比第1小组的那位的成绩低，大于乙，这时可得乙为第二组，甲为第一组，甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，甲、丙、乙，故选B．12．（5分）①“两条直线没有公共点，是两条直线异面”的必要不充分条件；②若过点P（2，1）作圆C：x2+y2﹣ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则a∈（﹣3，+∞）；③若，则；④若函数在上存在单调递增区间，则；以上结论正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于①，两条直线没有公共点，则这两条直线不一定是异面直线，若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，所以是必要不充分条件，①正确；对于②，过点P（2，1）作圆C：x2+y2﹣ax+2ay+2a+1=0的切线有两条，则D2+E2﹣4F=a2+（2a）2﹣4（2a+1）＞0，化简得5a2﹣8a﹣4＞0，解得a＞2或a＜﹣；又点P代入圆的方程得22+12﹣2a+2a+2a+1＞0，解得a＞﹣3；所以a的取值范围是﹣3＜a＜﹣或a＞2，②错误；对于③，若，则1+2sinxcosx=，∴2sinxcosx=﹣，∴（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=，∴；对于④，函数f（x）=﹣x3+x2+2ax，f′（x）=﹣x2+x+2a=﹣（x﹣）2++2a；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜f′（）=2a+，令2a+≥0，解得a≥﹣，所以a的取值范围是[﹣，+∞），④正确；综上，正确的命题序是①③④，共3个．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设f（x）=，则=．【解答】解：由分段函数的表达式得f（）=ln=﹣1，则f（﹣1）=e﹣1=，故f[（）]=，故答案为：14．（5分）已知圆x2+y2﹣6y﹣7=0与抛物线x2=2py（p＞0）的准线相切，则p=2．【解答】解：整理圆方程得（x﹣3）2+y2=16，∴圆心坐标为（3，0），半径r=4，∵圆与抛物线的准线相切，∴圆心到抛物线准线的距离为半径，即=4，解得p=2．故答案为：2．15．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=3S n，n∈N+，则a n=．【解答】解：a1=1，a n+1=3S n，n∈N+，当n≥2时，a n=3S n﹣1，由a n=S n﹣S n﹣1，可得a n+1﹣a n=3a n，=4a n，即为a n+1由于a2=3a1=3，则a n=a2q n﹣2=3•4n﹣2，综上可得，，故答案为：．16．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R）d的导函数为f′（x），若f（x）﹣f（﹣x）=2x3，且当x≥0时，f′（x）＞3x2，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞3x2﹣3x+1的解集是（，+∞）．【解答】解：令F（x）=f（x）﹣x3，则由f（x）﹣f（﹣x）=2x3，可得F（﹣x）=F（x），故F（x）为偶函数，又当x≥0时，f′（x）＞3x2即F′（x）＞0，所以F（x）在（0，+∞）上为增函数．不等式f（x）﹣f（x﹣1）＞3x2﹣3x+1化为F（x）＞F（x﹣1），所以有|x|＞|x﹣1|，解得x＞，故答案为（，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且满足．（1）求角B的大小；（2）设y=sinC﹣sinA，求y的取值范围．【解答】解：（1）由正弦定理知，，即，在△ABC中，∴即，又B∈（0，π）∴，∴，即．（2）依题知y=sinC﹣sinA=sinC﹣sin（B+C）∴=∴．由（1）知，∴，∴，即．18．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1，BD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求证：EF⊥B1C；（3）求三棱锥E﹣FBC1的体积．【解答】（1）证明：∵E、F分别为DD1，BD的中点，连结BD1，∴EF∥BD1，又∵EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1；（2）证明：∵B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，B1C∩D1C1=C1，∴B1C⊥平面BD1C1，∵BD1⊂平面BD1C1∴BD1⊥B1C，又∵EF∥BD1，∴EF⊥B1C；（3）解：∵EF∥BD1，EF⊂平面EFC1，BD1⊄平面EFC1，∴BD1∥平面EFC1，即点B、D1到平面EFC1的距离相等，∴，取CD中点M，连FM，则FM∥BC．在正方体AC1中BC⊥平面DC1，BC=2．∴FM⊥平面DC1设点F到平面ED1C1的距离为h，则，∴，即三棱锥E﹣FBC1的体积为．19．（12分）随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位：cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图（如图）．（1）求频率分布直方图中x的值及身高在170cm以上的学生人数；（2）将身高在[170，175]，[175，180），[180，185]内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层抽样的方法从这三个组中抽取6人，求从这三个组分别抽取的学生人数；（3）在（2）的条件下，要从6名学生中抽取2人，用列举法计算B组中至少有1人被抽中的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图可知5x=1﹣5×（0.07+0.04+0.02+0.01）所以．（3分）100×（0.06×5+0.04×5+0.02×5）=60（人）．（5分）（2）A，B，C三组的人数分别为30人，20人，10人．因此应该从A，B，C组中每组各抽取（人），20×=4（人），10×=2（人）．（8分）（3）在（2）的条件下，设A组的3位同学为A1，A2，A3，B组的2位同学为B1，B2，C组的1位同学为C1，则从6名学生中抽取2人有15种可能：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）．其中B组的2位学生至少有1人被抽中有9种可能；（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1）所以B组中至少有1人被抽中的概率为．（13分）20．（12分）在直角坐标系xOy中，设椭圆的上下两个焦点分别为F2，F1，过上焦点F2且与y轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的一个顶点为B（b，0），直线BF2交椭圆C于另一个点N，求△F1BN 的面积．【解答】解：（1）椭圆的上下两个焦点分别为F2，F1，过上焦点F2且与y轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为．c==，，解得a2=4，b2=2，∴椭圆C的方程为：．（2）直线BF2的方程为，由，得点N的横坐标为，又，∴，综上，△F1BN的面积为．21．（12分）已知函数．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程；（2）当x＞0且x≠1，不等式恒成立，求实数a的值．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=lnx﹣x+1，f（e）=2﹣e，∴切点为（e，2﹣e），，∴切线方程为即曲线y=f（x）在（e，f（e））处的切线方程（e﹣1）x+ey﹣e=0；（2）∵当x＞0且x≠1时，不等式恒成立∴x=e时，∴又即对x＞0且x≠1恒成立等价于x＞1时f（x）＜0，0＜x＜1时f（x）＞0恒成立∵x∈（0，1）∪（1，+∞），令f'（x）=0∵a＞0∴x=1或①时，即时，时，f'（x）＞0，∴f（x）在单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，∴不符合题意，②当时，即时，x∈（0，1）时f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）单调递减，∴f（x）＞f（1）=0；x∈（1，+∞）时f'（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）单调递减，∴f（x）＜f（1）=0，∴符合题意．③当时，即时，时，f'（x）＞0，∴f（x）在单调递增∴f（x）＜f（1）=0∴不符合题意，④当时，即a＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1）单调递增，∴f（x）＜f（1）=0，∴a＞1不符合题意．综上，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π且），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．已知直线l与曲线C交于A、B两点，且．（1）求α的大小；（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，求|MN|．（1）由已知直线l的参数方程为：（t为参数，0≤α＜π且），【解答】则：，∵，，∴O到直线l的距离为3，则，解之得．∵0＜α＜π且，∴（2）直接利用关系式，解得：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3a|（a∈R）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＞5﹣|x﹣1|；（2）若存在x0∈R，使f（x0）＞5+|x0﹣1|成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知|x﹣3|+|x﹣1|＞5，当x＜1时，解得，则；当1≤x≤3时，解得x∈∅，则x∈∅，当x＞3时，解得，则综上：解集为或（2）∵||x﹣3a|﹣|x﹣1||≤|（x﹣3a）﹣（x﹣1）|=|3a﹣1|∴|x﹣3a|﹣|x﹣1|≤|3a﹣1|当且仅当（x﹣3a）（x﹣1）≥0且|x﹣3a|≥|x﹣1|时等成立．∴|3a﹣1|＞5，解之得a＞2或，∴a的取值范围为．。

辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2018届高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是虚数单位，则复数的虚部是（）A. B. 1 C. D.【答案】B【解析】因为 ,所以的虚部是，故选B.2. 设集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合或，所以,故选C.3. 若，且为第二象限角，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，且为第二象限角，所以,,故选B.4. 已知向量与的夹角为，，则（）A. B. 2 C. D. 4【答案】B【解析】因为所以,,,故选B.5. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）A. 1B.C.D.【答案】B【解析】由三视图可知，该四棱锥是底面为边长为的正方形，一条长为的侧棱与底面垂直，将该棱锥补成棱长为的正方体，则棱锥的外接球就是正方体的外接球，正方体外接球的直径就是正方体的对角线，即，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点. 观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，做题时不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.6. 已知数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，两式相减可得，是以为公差的等差数列，是递减数列，，故选D.7. 若满足约束条件，则的最大值是（）A. B. 0 C. 2 D. 4【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），由图可知平移直线，当直线经过点时，直线的截距最小最大，所以，的最大值为故选C. 【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8. 把四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】C【解析】从个球中选出个组成复合元素有种方法，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子中有种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有1〜3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有，故选C.9. 已知函数，现将的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在的值域为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得图象个点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，，，，即在上的值域为，故选A.10. 已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与过的直线交于点，设点的坐标，若，则下列结论中不正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在以为直径的圆上，圆心坐标为，半径为，在椭圆内，一定有，故不正确，故选A.11. 某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高。

2021-2021 学年辽宁省大连五校高二〔上〕期末数学试卷〔文科〕一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. ．〔分〕对于常数、，“＞〞是“方程mx 2﹣ny2 的曲线是双曲线的〔〞〕1 5 m n mn 0 =1 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．〔5 分〕假设 a＜b＜0，那么以下不等式中错误的选项是〔〕A．B．C．| a| ＞ | b| D． a2＞b2 3．〔5 分〕以下函数中，最小值为 4 的是〔〕A．y=log3x+4log x3B． y=e x+4e﹣xC．y=sinx+〔0＜x＜π〕D． y=x+4．〔 5 分〕实数 x，y 满足，那么目标函数z=x﹣2y的最小值是〔〕A．﹣ 9 B．15 C．0D．﹣ 105．〔5 分〕以下命题中，说法错误的选项是〔〕A．“假设 p，那么 q〞的否命题是“假设?p，那么 ?q〞B．“p∧q 是真命题〞是“p∨ q 是真命题〞的充分不必要条件C．“? x＞2，x2﹣2x＞0〞的否认是“? x≤2，x2﹣2x≤0〞D．“假设 b=0，那么 f〔x〕=ax2+bx+c 是偶函数〞的逆命题是真命题6．〔5 分〕设 a＞0，b＞ 0，假设是3a与32b的等比中项，那么的最小值为〔〕A．5B．6C．7D．87．〔5 分〕 F1，F2分别是椭圆+=1 的左、右焦点， P 是以 F1F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠ PF2F1，那么这个椭圆的离心率是〔〕A．﹣1B．2﹣C．D．8．〔5 分〕设 S n为等比数列 { a n} 的前 n 项和， a2﹣ 8a5=0，那么=〔〕A．B．C．2D．17n}中，S n 是其前n项和，，那么 S11〔〕9．〔5 分〕等差数列 { a =A．﹣ 11B．11 C． 10D．﹣ 1010．〔 5 分〕设 F1， F2分别是双曲线的左右焦点，点M〔 a， b〕．假设∠ MF1F2=30°，那么双曲线 C 的离心率为〔〕A．B．C．2D．11．〔 5 分〕设 { a n} 为等差数列，假设，且它的前n项和S n有最小值，那么当 S n取得最小正值时的n 值为〔〕A．18 B．19 C．20D．2112．〔5 分〕定义在 R 上的奇函数 f〔x〕的导函数为 f'〔 x〕，当 x＜0 时，f〔x〕满足， 2f〔 x〕+xf'〔 x〕＜ xf〔x〕，那么f〔x〕在R 上的零点个数为〔〕A．5 B．3 C．1 或3 D．1二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13．〔 5 分〕函数的递增区间为．．〔分〕在数列n}中，a2 ， 3 n+1}是等比数列，那么a n=．14 5 { a = a = ，且数列 { na15．〔 5 分〕函数，假设函数 f〔 x〕在区间 [ 2，4] 上是单调增函数，那么实数 a 的取值范围是．16．〔 5 分〕抛物线 y2=2px〔p＞0〕的焦点为 F，点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠ AFB=120°．过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为N，那么的最大值为．三、解答题〔本大题共 6 小题，共 70 分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 .〕17．〔 10 分〕假设数列 { a n} 满足．〔 1〕求证：数列 { a n﹣1} 是等比数列，并求数列 { a n} 的通项公式；〔 2〕设 b n=log2〔1﹣a n〕，假设数列的前 n 项和为 T n，求证： T n ＜1．18．〔 12 分〕函数 f 〔x〕=ax2﹣〔 a+1〕x+1〔a≠0〕．（1〕假设 f 〔x〕≤ 2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围；（2〕解关于 x 的不等式 f 〔x〕＜ 0．19．〔 12 分〕过点 A〔﹣ 4，0〕的动直线 l 与抛物线 G：x2=2py〔p＞0〕相交于 B、C 两点，当直线的斜率是时，．（1〕求抛物线 G 的方程；（2〕设线段 BC的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围．20．〔 12 分〕数列 { a n} ， { b n} ， S n为数列 {a n} 的前 n 项和， a2=4b1，S n =2a n﹣2，．〔 1〕求数列 { a n} 的通项公式；〔 2〕证明为等差数列．〔 3〕假设数列 { c n} 的通项公式为，令p n=c2n﹣1+c2n．T n为{ p n} 的前 n 项的和，求 T n．21．〔 12 分〕椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于 B，C 两点．〔Ⅰ〕求该椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设直线 AB 和 AC 分别与直线 x=4 交于点 M ， N，问： x 轴上是否存在定点P 使得 MP⊥NP？假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，说明理由．22．〔 12 分〕函数 f 〔x〕=blnx，g〔x〕=ax2﹣ x〔a∈R〕〔 1〕假设曲线 f〔 x〕与 g〔x〕在公共点 A〔1，0〕处有相同的切线，求实数a，b 的值；〔 2〕假设 a＞0，b=1，且曲线 f〔 x〕与 g〔x〕总存在公共的切线，求正数 a 的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 . ．〔分〕对于常数、，“＞〞是“方程mx 2﹣ny2 的曲线是双曲线的〔〞〕1 5 m n mn 0 =1 A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：假设方程 mx2﹣ ny2 =1 的曲线是双曲线，那么 mn ＞0，即“mn＞0〞是“方程 mx2﹣ ny2=1 的曲线是双曲线〞的充要条件，应选： C2．〔5 分〕假设 a＜b＜0，那么以下不等式中错误的选项是〔〕A．B．．＞| b|2＞b2 C | a| D． a【解答】解：∵ a＜b＜0，∴＞，| a|＞| b|，a2＞ab＞b2．因此 A，C，D 正确．对于 B：a＜b＜0 时，可得＜，因此 B 不正确．应选： B．3．〔5 分〕以下函数中，最小值为 4 的是〔〕3x x+4e﹣ xA．y=log x+4log 3 B． y=eC．y=sinx+〔0＜x＜π〕D． y=x+【解答】解：＜x＜1 时， y＜ 0，不正确B．∵ e x＞0，∴=4，当且仅当 x=ln2 时取等号，正确．C．令 sinx=t∈〔0，1〕，那么 y=f〔 t〕=t+ ，y′ =1﹣＜0，因此函数 f〔t 〕在〔0，1〕上单调递减，∴ f〔t 〕＞ f 〔1〕=5，不正确．D．x＜0 时， y＜ 0，不正确．应选： B．4．〔 5 分〕实数 x，y 满足，那么目标函数z=x﹣2y的最小值是〔〕A．﹣ 9 B．15 C．0D．﹣ 10【解答】解：如图作出阴影局部即为实数x，y 满足的可行域，由 z=x﹣2y，得 y= x﹣z，平移直线 y= x﹣z，由图象可知当直线y= x﹣z 经过点 A，直线 y= x﹣z 的截距最大，此时z 最小，由得点 A〔3，6〕，当 x=3，y=6 时， z=x﹣2y 取最小值为﹣9．应选： A．5．〔5 分〕以下命题中，说法错误的选项是〔〕A．“假设 p，那么 q〞的否命题是“假设?p，那么 ?q〞B．“p∧q 是真命题〞是“p∨ q 是真命题〞的充分不必要条件C．“? x＞2，x2﹣2x＞0〞的否认是“? x≤2，x2﹣2x≤0〞2D．“假设 b=0，那么 f〔x〕=ax +bx+c 是偶函数〞的逆命题是真命题【解答】解：对于 A，“假设 p，那么 q〞的否命题是“假设 ?p，那么 ?q〞，故 A 正确；对于 B，假设 p∧q 是真命题，那么 P、 q 均为真命题，那么 p∨q 是真命题；反之， p ∨ q 是真命题， p 与 q 不一定都是真命题，那么 p∧q 不一定是真命题，∴“p∧q 是真命题〞是“p∨q 是真命题〞的充分不必要条件，故 B 正确；对于 C，“? x＞2，x2﹣2x＞0〞的否认是“? x＞2，x2﹣2x≤0〞，故 C 错误；对于 D，命题“假设 b=0，那么 f 〔x〕=ax2+bx+c 是偶函数〞的否命题为：“假设b≠0，那么f〔x〕=ax2+bx+c 不是偶函数〞，是真命题，那么“假设 b=0，那么 f〔x〕=ax2+bx+c 是偶函数〞的逆命题是真命题，故D 正确．应选： C．2b 的等比中项，那么的最小值为〔〕．〔分〕设＞，＞，假设 a 与 36 5 a 0 b 0 是 3A．5B．6C．7D．8【解答】解： a＞0，b＞0，是 3a与 32b的等比中项，∴ 3a 2b ．?3 = =3∴a+2b=1．那么=〔a+2b〕=4+ +≥4+2=8，当且仅当 a=2b=时取等号．应选： D．7．〔5 分〕 F1，F2分别是椭圆+=1 的左、右焦点， P 是以 F1F 为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF1F2=2∠ PF2F1，那么这个椭圆的离心率是〔〕A．﹣1B．2﹣C．D．【解答】解：∵ P是以 F1F2为直径的圆与该椭圆的一个交点，∴△ PF1F2为直角三角形，且∠ P=90°，∵∠ PF1F2=2∠PF2F1，∴∠ PF °，，1F2=60 F1F2=2c∴PF1=c，PF2 = c，由椭圆的定义知， PF+PF =c+c=2a，1 2即==﹣1∴离心率为﹣ 1．应选： A8．〔5 分〕设 S n为等比数列 { a n} 的前 n 项和， a2﹣ 8a5=0，那么=〔〕A．B．C．2D．17【解答】解：根据题意，等比数列 { a n } 中 a2﹣8a5=0，即a2=8a5，那么有 a1q=8a1q4，即有 q3 = ，解可得 q=，那么 = ==1+q4 〔〕4= ；=1+ 应选： A．9．〔5 分〕等差数列n}中，S n 是其前n项和，，那么 S11〔〕{ a =A．﹣ 11 B．11 C． 10 D．﹣ 10【解答】解：，得，由，得，d=2，，∴S11=﹣11，应选 A10．〔 5 分〕设 F1， F2分别是双曲线的左右焦点，点M〔 a， b〕．假设∠ MF1F2=30°，那么双曲线 C 的离心率为〔〕A．B．C．2 D．【解答】解：由题意可得 F1〔﹣ c， 0〕，M 〔 a， b〕，直线 MF1的斜率为 tan30 °= ，即有=，即 a+c= b，平方可得〔 a+c〕2=3b2=3〔 c2﹣ a2〕=3〔c+a〕〔c﹣a〕，化简可得 a+c=3〔c﹣a〕，即为 c=2a，可得 e= =2．应选： C．11．〔 5 分〕设 { a n} 为等差数列，假设，且它的前n 项和S n有最小值，那么当 S n取得最小正值时的n 值为〔〕A．18 B．19 C．20D．21【解答】解：∵ S n有最小值，∴ d＞ 0，故可得 a10＜ a11，又：S20=10〔a1+a20〕 =10〔a10+a11〕＞ 0，S19=19a10＜ 0∴S20为最小正值应选 C12．〔5 分〕定义在 R 上的奇函数 f〔x〕的导函数为 f'〔 x〕，当 x＜0 时，f〔x〕f〔x〕在R 上的零点个数为〔〕满足， 2f〔 x〕+xf'〔 x〕＜ xf〔x〕，那么A．5 B．3 C．1 或3 D．1【解答】解：构造函数F〔 x〕 = 〔x＜0〕，所以 F〔′x〕==[ 2f〔x〕+xf'〔 x〕﹣ xf〔 x〕] ，因为 2f〔 x〕 +xf 〔′x〕＜ xf〔x〕， x＜ 0，所以 F′〔x〕＞ 0，所以函数 F〔 x〕在 x＜ 0 时是增函数，又 F〔0〕 =0 所以当 x＜ 0， F〔x〕＜ F〔 0〕 =0 成立，因为对任意 x＜0，＞0，所以 f〔 x〕＜ 0，由于 f 〔x〕是奇函数，所以x＞0 时 f〔 x〕＞ 0，即 f〔 x〕=0 只有一个根就是0．应选： D．二、填空题〔每题 5 分，总分值 20 分，将答案填在答题纸上〕13．〔 5 分〕函数的递增区间为．【解答】解：函数，f 〔′x〕=﹣2x2+3x﹣1，令 f ′〔x〕≥ 0，即﹣ 2x2+3x﹣ 1≥ 0，解得：x≤ 1，故函数在递增，故答案为：．14．〔 5 分〕在数列 { a n} 中， a2=，a3=，且数列{ na n+1}是等比数列，那么a n= ．【解答】解：∵数列 { a n } 中， a2=，a3=，且数列{ na n+1}是等比数列，2a2+1=3+1=4， 3a3+1=7+1=8，∴数列 { na n+1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，∴，解得 a n ．=故答案为：．15．〔 5 分〕函数，假设函数f〔x〕在区间[ 2，4]上是单调增函数，那么实数 a 的取值范围是[ ﹣e2，+∞〕．【解答】解∵函数 f 〔x〕在区间 [ 2，4] 上是单调递增函数，∴ f ′〔 x〕≥ 0 在区间 [ 2，4] 上恒成立，即〔 x﹣ 1〕 e x+a≥0 在区间 [ 2，4] 上恒成立，记 g〔x〕 =〔 x﹣ 1〕 e x+a，那么 g〔 x〕min≥0，g′〔 x〕=xe x，∵ x∈[ 2， 4] ，∴ g′〔x〕＞ 0，故 g〔x〕在 [ 2， 4] 递增，故 g〔x〕min=g〔 2〕 =e2+a≥0，解得： a≥﹣ e2，故实数 a 的范围是： a≥﹣ e2．故答案为： [ ﹣e2，+∞〕．16．〔 5 分〕抛物线 y2=2px〔p＞0〕的焦点为 F，点 A，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠ AFB=120°．过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂足为N，那么的最大值为．【解答】解：设 | AF| =a， | BF| =b，连接 AF、 BF，由抛物线定义，得 |AF|=|AQ| ， |BF|=|BP| ，在梯形ABPQ 中，2| MN| =| AQ|+| BP| =a+b．由余弦定理得，| AB| 2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab，配方得， | AB| 2=〔 a+b〕2﹣ ab，又∵ ab≤〔〕2，∴〔 a+b〕2﹣ab≥〔 a+b〕2﹣〔a+b〕2=〔a+b〕2得到 | AB| ≥〔a+b〕．∴≤=，即的最大值为．故答案为：．三、解答题〔本大题共 6 小题，共 70 分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤 .〕17．〔 10 分〕假设数列 { a n} 满足．〔 1〕求证：数列 { a n﹣1} 是等比数列，并求数列 { a n} 的通项公式；〔 2〕设 b n=log2〔1﹣a n〕，假设数列的前 n 项和为 T n，求证： T n ＜ 1．【解答】证明：〔1〕∵ a n =2a n﹣1﹣1∴a n﹣1=2〔a n﹣1﹣1〕，又∵ a1=﹣1，∴ a1﹣ 1=﹣2∴数列 { a n﹣1} 是首项为﹣ 2，公比为 2 的等比数列∴，∴．〔 2〕由〔 1〕知：∴，∴，所以．18．〔 12 分〕函数 f 〔x〕=ax2﹣〔 a+1〕x+1〔a≠0〕．（1〕假设 f 〔x〕≤ 2 在 R 上恒成立，求实数 a 的取值范围；（2〕解关于 x 的不等式 f 〔x〕＜ 0．【解答】解：〔1〕∵ f〔 x〕≤ 2 在 R 上恒成立，即 ax2﹣〔 a+1〕 x﹣1≤ 0 在 R 上恒成立，所以；（2〕 f〔x〕＜ 0? ax2﹣〔 a+1〕x+1＜0? 〔ax﹣1〕〔 x﹣1〕＜ 0〔 * 〕当 0＜a＜1 时，〔* 〕式等价于；当 a=1 时，〔* 〕式等价于〔 x﹣1〕2＜ 0? x∈?；当 a＞1 时，〔* 〕式等价于；当 a＜0 时，〔* 〕式等价于或 x＞1综上，当 0＜a＜ 1 时，f 〔x〕＜ 0 的解集为；当 a=1 时， f〔 x〕＜ 0 的解集为 ?；当 a＞1 时， f 〔x〕＜ 0 的解集为；当 a＜0 时， f 〔x〕＜ 0 的解集为．19．〔 12 分〕过点 A〔﹣ 4，0〕的动直线 l 与抛物线 G：x2=2py〔p＞0〕相交于 B、C 两点，当直线的斜率是时，．（1〕求抛物线 G 的方程；（2〕设线段 BC的中垂线在 y 轴上的截距为 b，求 b 的取值范围．【解答】解：〔1〕设 B〔x1， y1〕， C〔 x2，y2〕，当直线 l 的斜率是时，l的方程为，即x=2y﹣4，由得 2y2﹣〔 8+p〕y+8=0，∴，又∵，∴ y2=4y1，由这三个表达式及p＞0 得 y1=1，y2=4，p=2，那么抛物线的方程为 x2=4y〔5 分〕〔 2〕设 l： y=k〔x+4〕，BC的中点坐标为〔 x0，y0〕由得 x2﹣ 4kx﹣16k=0∴，线段的中垂线方程为，∴线段 BC的中垂线在 y 轴上的截距为： b=2k2+4k+2=2〔k+1〕2，由△ =16k2+64k＞0 得 k＞0 或 k＜﹣ 4，∴ b∈〔 2，+∞〕〔7 分〕20．〔 12 分〕数列 { a n} ， { b n} ， S n为数列 {a n} 的前 n 项和， a2=4b1，S n =2a n﹣2，．〔 1〕求数列 { a n} 的通项公式；〔 2〕证明为等差数列．〔 3〕假设数列 { c n} 的通项公式为，令 p n 2n﹣1+c2n．T n为{ p n}=c的前 n 项的和，求 T n．【解答】解：〔1〕当 n＞1 时，? a n=2a n﹣1当 n=1 时， S1=2a1﹣ 2? a1=2，综上， { a n} 是公比为 2，首项为 2 的等比数列，那么：．（2〕证明：∵ a2=4b1，∴ b1=1，∵，∴综上，是公差为 1，首项为 1 的等差数列．〔 3〕由〔 2〕知：∴ p n 2n ﹣ 1+c2n ，=c =∴，两式相减得：，∴∴．21．〔 12 分〕椭圆的左顶点为A，右焦点为F，过点F的直线交椭圆于 B，C 两点．〔Ⅰ〕求该椭圆的离心率；〔Ⅱ〕设直线 AB 和 AC 分别与直线 x=4 交于点 M ， N，问： x 轴上是否存在定点P 使得 MP⊥NP？假设存在，求出点P 的坐标；假设不存在，说明理由．【解答】解：〔Ⅰ〕由椭圆方程可得， a=2，b=，从而椭圆的半焦距．∴椭圆的离心率为；〔Ⅱ〕解：依题意，直线BC的斜率不为 0，设其方程为 x=ty+1．将其代入，整理得〔 4+3t2〕y2+6ty ﹣9=0．设 B〔x1，y1〕，C〔x2， y2〕，∴，．直线 AB 的方程是，从而可得M〔4，〕，同理可得．假设 x 轴上存在定点 P〔p，0〕使得 MP⊥NP，那么有．∴．将 x1=ty1+1， x2=ty2 +1 代入上式，整理得．∴，即〔 p﹣4〕2﹣9=0，解得 p=1，或 p=7．∴ x 轴上存在定点 P〔 1， 0〕或 P〔7，0〕，使得 MP⊥NP 成立．22．〔 12 分〕函数 f 〔x〕=blnx，g〔x〕=ax2﹣ x〔a∈R〕〔 1〕假设曲线 f〔 x〕与 g〔x〕在公共点 A〔1，0〕处有相同的切线，求实数a，b 的值；〔 2〕假设 a＞0，b=1，且曲线 f〔 x〕与 g〔x〕总存在公共的切线，求正数 a 的最小值．【解答】解：〔1〕函数 f〔x〕=blnx， g〔x〕=ax2﹣x〔a∈ R〕，f 〔x〕=，g〔x〕=2ax﹣1；曲线 f 〔x〕与 g〔x〕在公共点 A〔1，0〕处有相同的切线，依据题意：〔 2〕当 a＞0，b=1 时， f〔 x〕=lnx，在点〔t，lnt〕处的切线方程为：，即由得：①∵ f〔x〕，g〔 x〕总存在公切线，∴①的，即关于 t 的方程②总有解．∵左边＞ 0，a＞0，∴ 1﹣ lnt＞0? 0＜t ＜e，于是，②式令，那么当 t∈〔 0，1〕时， h'〔 t 〕＜ 0；当 t ∈〔1，e〕时， h'〔t〕＞ 0，∴h〔t 〕在〔0，1〕递减，〔1，e〕递增．∴h〔 t〕min =h〔1〕=4，∴要使②有解，须 4a≥4，即 a≥1，故 a min=1．。

圆锥曲线综合问题（八）1、已知A、B、C三点在曲线y=√x上，其横坐标依次为1，m,4(1<m<4)。

当△ABC的面积最大时，m等于（）A 3B 9/4 C5/2 D3/22、设u,v∈R,且|u|≤√2,v>0,则(u-v)^2+[√(2-u^2)-9/v]^2的最小值为（）A 4B 2C 8D 2√23、已知抛物线，过点的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若，则（）A 1B -1/2C -1D -24、点F为双曲线的焦点,过点F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A,与另一条渐近线交于点 B.若,则双曲线C的离心率是( )A √5/2B √6/2C √3D √65、点是双曲线右支上一点，是圆上一点，点的坐标为，则的最大值为（）A 5B 6C 7D 86、过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )A √2/2 B√3/3 C 1/2 D 1/37、设F为抛物线y2=8x的焦点，A、B、C为该抛物线上不同的三点，且++=，O 为坐标原点，若△OFA、△OFB、△OFC的面积分别为S1、S2、S3，则S12+S22+S32=（）A 36B 48C 54D 648、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F1(−c,0),F2(c,0), 离心率为5√, 若经过点F1 和点(0,25√)的直线与双曲线的一条渐近线平行, 则该双曲线C的实轴长为()A 1B 2C 3D 49、如图,圆和抛物线,过F的直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点,求的值是( )A 1B 2C 3D 无法确定10、已知是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若△是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是A B C D11、过x轴正半轴上一点M作直线PQ与椭圆+y2=1相交于两点P，Q，若+为定值，则点M的坐标为A （，0）B（，0）C（，0）D（，0）12、直线与双曲线的渐近线交于A,B两点,设P为双曲线C上的任意一点,若为坐标原点),则下列不等式恒成立的是( )A. B. C. D.13、抛物线的焦点为，其准线与双曲线相交于，两点，若△等边三角形，则=14、已知点是椭圆上的一点,则的最大值为15、过双曲线上任意一点P，作与实轴平行的直线，交两渐近线M,N两点，若，则该双曲线的离心率为____.16、已知双曲线一个焦点与抛物线的焦点F重合,O为原点,点P是抛物线准线上一动点,点A在抛物线上,且,则的最小值为17、已知过点P(1,1),且与：关于直线x+y+2=0对称.(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)设Q为上的一个动点,求的最小值；(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由.18、设椭圆过点,且左焦点为(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)当过点的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时,在线段AB上取点Q,满足,证明:点Q总在某定直线上.答案：圆锥曲线（八）1、B2、C3、C4、B5、D6、B7、B8、B9、A 10、A 11、C 12、B13、6 14、5/4 15、√6/2 16、2√1317、解：(Ⅰ)设圆心C(a,b),则解得则圆C的方程为将点P的坐标代入得故圆C的方程为(Ⅱ)设Q(x,y),则令时,所以的最小值为-2-2=-4;(Ⅲ)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA：y-1=k(x-1),PB：y-1=-k(x-1),由得因为点P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得同理,所以所以,直线AB和OP一定平行.18、解:(Ⅰ)根据题意得,计算得出,,所以椭圆C的方程为.(Ⅱ)设点Q、A、B的坐标分别为,,.由题设知,,,均不为零,记,则且又A,P,B,Q四点共线,从而于是,,,从而,,又点A、B在椭圆C上,即,,(1)并结合(3)、(4)得,即点总在定直线上.解析:(Ⅰ)通过椭圆焦点坐标知,且有,又点M的坐标满足椭圆方程,则列方程组解之即可;(Ⅱ)欲证点Q总在某定直线上,所以先设点Q的坐标为变量,点A、B的坐标分别为参数、,然后根据已知条件可变形得,设其比值为则有、,此时利用定比分点定理可得A、B、P三点横坐标关系及纵坐标关系,同时可得A、B、Q三点横坐标关系及纵坐标关系,又因为点A、B的坐标满足椭圆方程,则有,,再利用已得关系式构造与则可整体替换为4,同时消去参数,最后得到变量x、y的关系式,则问题得证.。

2017-2018学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题提供的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．已知集合A={x|x 2﹣3x+2=0}，B={x|log x 4=2}，则A ∪B=（ ） A ．{﹣2，1，2} B ．{1，2} C ．{﹣2，2} D ．{2}2．若复数z=（a 2+2a ﹣3）+（a+3）i 为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（ ） A ．﹣3 B ．﹣3或1 C ．3或﹣1 D ．1 3．已知向量=（1，3），=（﹣2，m ），若与垂直，则m 的值为（ ）A ．﹣1B ．1C ．D ．4．直线x+（a 2+1）y+1=0（a ∈R ）的倾斜角的取值范围是（ ）A ．[0，]B ．[，π） C ．[0，]∪（，π） D ．[，）∪[，π）5．若数列{a n }的通项公式是a n =（﹣1）n （3n ﹣2），则a 1+a 2+…+a 10=（ ） A ．15 B ．12 C ．﹣12 D ．﹣156．已知四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ﹣ABCD 的四个侧面中面积最大的是（ ）A ．6B ．8C ．D ．37．如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A．n＞2 B．n＞3 C．n＞4 D．n＞58．已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，C={8，9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合（）A．24个B．36个C．26个D．27个9．如图，已知点P（2，0），正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=2，M、N分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣，]10．已知双曲线：﹣=1，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则||+||的最小值为（）A．B．11 C．12 D．1611．已知球O半径为，设S、A、B、C是球面上四个点，其中∠ABC=120°，AB=BC=2，平面SAC⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．312．已知函数f（x）=x3﹣3x2+1，g（x）=，则方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的根的个数不可能为（）A．3个B．4个C．5个D．6个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是．14．在（x2﹣）5的二项展开式中，x的一次项系数是﹣10，则实数a的值为．15．设[m]表示不超过实数m的最大整数，则在直角坐标平面xOy上，则满足[x]2+[y]2=50的点P（x，y）所成的图形面积为．16．定义区间（c，d）、（c，d]、[c，d）、[c，d]的长度均为d﹣c（d＞c），己知实数p＞0，则满足不等式+≥1的x构成的区间长度之和为．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．18．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．（Ⅰ）求该学生考上大学的概率．（Ⅱ）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点，现将△DAE沿AE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连接DB，DC，BE．（1）求证：BE⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．20．已知F1、F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）当过点P（1，3）的动直线l与椭圆C1相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足||=||，证明：点Q总在某定直线上．21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．其中a∈R．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求整数M的最大值；（3）若对任意的s，t∈[，2]都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC=∠ABC．（Ⅰ）求证：PA是⊙O的切线；（Ⅱ）如果弦CD交AB于点E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求sin∠BCE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（选做题）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）（Ⅰ）求圆心C的极坐标；（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．2017-2018学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题提供的四个选项中，只有一项符合题目的要求）1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|log x4=2}，则A∪B=（）A．{﹣2，1，2} B．{1，2} C．{﹣2，2} D．{2}【考点】并集及其运算．【分析】先将A，B化简，再计算并集，得出正确选项．【解答】解：∵A={x|x2﹣3x+2=0}={x|（x﹣1）（x﹣2）=0}={1，2}B={x|log x4=2}={2}∴A∪B={1，2}故选B．2．若复数z=（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值是（）A．﹣3 B．﹣3或1 C．3或﹣1 D．1【考点】复数的基本概念．【分析】由复数z=（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，知，由此能求出实数a．【解答】解：∵复数z=（a2+2a﹣3）+（a+3）i为纯虚数，∴，解得a=1，故选D．3．已知向量=（1，3），=（﹣2，m），若与垂直，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出向量，然后利用向量垂直数量积为0，求出m的值即可．【解答】解：因为向量=（1，3），=（﹣2，m），所以=（﹣3，3+2m），因为与垂直，所以•（）=0，即（1，3）•（﹣3，3+2m）=0，即﹣3+9+6m=0，所以m=﹣1．故选A．4．直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A．[0，]B．[，π）C．[0，]∪（，π）D．[，）∪[，π）【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程得斜率等于，由于0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，求得倾斜角α的取值范围．【解答】解：直线x+（a2+1）y+1=0（a∈R）的斜率等于，由于0＞﹣≥﹣1，设倾斜角为α，则0≤α＜π，﹣1≤tanα＜0，∴≤α＜π，故选B．5．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a10=（）A．15 B．12 C．﹣12 D．﹣15【考点】数列的求和．【分析】通过观察数列的通项公式可知，数列的每相邻的两项的和为常数，进而可求解．【解答】解：依题意可知a1+a2=3，a3+a4=3…a9+a10=3∴a1+a2+…+a10=5×3=15故选A．6．已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是（）A．6 B．8 C．D．3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是四棱锥，利用三视图的数据直接求解四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积，得到最大值即可．【解答】解：因为三视图复原的几何体是四棱锥，顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，后面是等腰三角形，腰为3，所以后面的三角形的高为：=，所以后面三角形的面积为：=2．两个侧面面积为：=3，前面三角形的面积为：=6，四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积：6．故选A．7．如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条件是（）A．n＞2 B．n＞3 C．n＞4 D．n＞5【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由框图的顺序，S=0，n=1，S=（S+n）n=（0+1）×1=1；n=2，依次循环S=（1+2）×2=6，n=3；n=3，依次循环S=（6+3）×3=27，n=4，此刻输出S=27．故判断框①处应填入的条件是n＞3，故选B．8．已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，C={8，9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合（）A．24个B．36个C．26个D．27个【考点】分步乘法计数原理．【分析】从三个集合中取出两个集合，有3种情况，利用分步计数原理分别计算每种情况下各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合的个数，再相加．【解答】解：从三个集合中取出两个集合，有=3种取法，分别是集合A、B；集合A、C；集合B、C．当取出集合A、B时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有=12个；当取出集合A、C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有×=8个；当取出集合B、C时，从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合有×=6个；∵集合A、B、C的元素各不相同，∴一共可以组成12+8+6=26个集合．故选C．9．如图，已知点P（2，0），正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=2，M、N分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，•的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣，]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】首先，根据，设M（cosα，sinα），N（﹣sinα，cosα），然后，写出向量=（cosα﹣2，sinα）和=（﹣sinα，cosα），从而得到=2sinα，进而确定其范围．【解答】解：设M（cosα，sinα），∵，∴，∴N（﹣sinα，cosα），∴=（﹣sinα，cosα），=（cosα，sinα），∴=（cosα﹣2，sinα），∴=﹣sinα（cosα﹣2）+sinαcosα=2sinα，∵sinα∈[﹣1，1]，∴2sinα∈[﹣2，2]，∴•的取值范围是[﹣2，2]．故选：C．10．已知双曲线：﹣=1，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则||+||的最小值为（）A．B．11 C．12 D．16【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的标准方程可得：a=2，再由双曲线的定义可得：|AF2|﹣|AF1|=2a=4，|BF2|﹣|BF1|=2a=4，所以得到|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=8，再根据A、B两点的位置特征得到答案．【解答】解：根据双曲线的标准方程﹣=1可得：a=2，由双曲线的定义可得：|AF2|﹣|AF1|=2a=4…①，|BF2|﹣|BF1|=2a=4…②，所以①+②可得：|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=8，因为过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A，B两点，所以|AF1|+|BF1|=|AB|，当|AB|是双曲线的通径时|AB|最小．所以|AF2|+|BF2|﹣（|AF1|+|BF1|）=|AF2|+|BF2|﹣|AB|=8．|BF2|+|AF2|=|AB|+8=11．故选B．11．已知球O半径为，设S、A、B、C是球面上四个点，其中∠ABC=120°，AB=BC=2，平面SAC⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）A．B．C．D．3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．【分析】求出底面三角形的面积，底面三角形的所在平面圆的半径，由平面SAC⊥平面ABC，可将已知中的三棱锥S﹣ABC补成一个同底等高的棱柱，即可求解锥S﹣ABC的体积的最大值．【解答】解：三棱锥O﹣ABC，A、B、C三点均在球心O的表面上，且AB=BC=2，∠ABC=120°，∴BC=2，∴△ABC外接圆半径2r=4，即r=2∴S△ABC=×2×2×sin120°=，OG==1由平面SAC⊥平面ABC，可将已知中的三棱锥S﹣ABC补成一个同底等高的棱柱，∴棱锥S﹣ABC的体积的最大值为=．故选：A12．已知函数f（x）=x3﹣3x2+1，g（x）=，则方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的根的个数不可能为（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由已知中函数的解析式，我们易求出f（x）与y=m的交点情况为：当m＜﹣3，或m＞1时，有一个交点；当m=﹣3，或m=1时，有两个交点；当﹣3＜m＜1时，有三个交点；g（x）与y=a点情况为（x）与y=a的交点情况为：当0＜a＜1时有两个交点，一个在区间（﹣4，﹣3）上，一个在区间（﹣3，﹣2）上；当a=1时有两个交点，一个为﹣3，一个为；当a＞1时有两个交点，一个在区间（0，）上，一个在区间（﹣，1）上．分类讨论后，即可得到方程g[f（x）]﹣a=0（a为正实数）的根的个数所有的情况，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣3x2+1，g（x）=，∴当a=1时，若方程g[f（x）]﹣a=0，则：f（x）=﹣3，此时方程有2个根或f（x）=，此时方程有3个根故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有5个根；当0＜a＜1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则：f（x）∈（﹣4，﹣3），此时方程有1个根或f（x）∈（﹣3，﹣2），此时方程有3个根故方程g[f（x）]﹣a=0可能共有4个根；当a＞1时，方程g[f（x）]﹣a=0，则：可能有4个、5个或6个根．故选A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设a＞0，b＞0，若是3a与3b的等比中项，则+的最小值是4．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先根据等比中项的性质求得a+b的值，进而利用基本不等式取得ab的最大值，把+化简整理，根据ab的范围，求得答案．【解答】解：∵是3a与3b的等比中项∴3a•3b=3a+b=3∴a+b=1∴ab≤=（当a=b时等号成立）∴+==≥4．故答案为：414．在（x2﹣）5的二项展开式中，x的一次项系数是﹣10，则实数a的值为1．【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得x的一次项系数，再根据x的一次项系数是﹣10，求得实数a的值．【解答】解：在（x2﹣）5的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣a）r•x10﹣3r，令10﹣3r=1，求得r=3，可得x的一次项系数是•（﹣a）3=﹣10，求得a=1，故答案为：1．15．设[m]表示不超过实数m的最大整数，则在直角坐标平面xOy上，则满足[x]2+[y]2=50的点P（x，y）所成的图形面积为12．【考点】分段函数的应用．【分析】根据方程可得对于x，y≥0时，求出x，y的整数解，可得|[x]|可能取的数值为7、5、1，则可以确定x的范围，进而得到对应的y的范围，求出面积即可．【解答】解：由题意可得：方程：[x]2+[y]2=50当x，y≥0时，[x]，[y]的整解有三组，（7，1），（5，5），（1，7）所以此时|[x]|可能取的数值为：7，5，1．当|[x]|=7时，7≤x＜8，或﹣7≤x＜﹣6，|[y]|=1，﹣1≤y＜0，或1≤y＜2，围成的区域是4个单位正方形；当|[x]|=5时，5≤x＜6，或﹣5≤x＜﹣4；|[y]|=5，﹣5≤y＜﹣4，5≤y＜6，围成的区域是4个单位正方形；当|[x]|=1时，﹣1≤x＜0，或1＜x≤2，|[y]|=7，﹣7≤y＜﹣6，或7≤y＜8，围成的区域是4个单位正方形．所以总面积是：12故答案是12．16．定义区间（c，d）、（c，d]、[c，d）、[c，d]的长度均为d﹣c（d＞c），己知实数p＞0，则满足不等式+≥1的x构成的区间长度之和为2．【考点】其他不等式的解法．【分析】原不等式化为≤0，设x2﹣（p+2）x+p=0的根为x1和x2，则由求根公式可得这两个根的值，结合数轴，用穿根法来解的不等式的解集，从而求得解集构成的区间的长度之和．【解答】解：∵+≥1，实数p＞0，∴≥1，即≤0，设x2﹣（p+2）x+p=0的根为x1和x2，则由求根公式可得，x1=，x2=，把不等式的根排在数轴上，由穿根得不等式的解集为（0，x1）∪（p，x2），故解集构成的区间的长度之和为（x1﹣0）+（x2﹣p ）=（x1+x2）﹣p=（p+2）﹣p=2，故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共60分）17．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的最小值和最大值；（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，根据变量x的取值范围可求出最小值和最大值；（2）根据C的范围和f（C）=0可求出角C的值，再根据两个向量共线的性质可得sinB﹣2sinA=0，再由正弦定理可得b=2a，最后再由余弦定理得到a与b的等式，解方程组可求出a，b的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1，∵x∈[﹣，]∴2x﹣∈[﹣，]则sin（2x﹣）∈[﹣，1]∴函数f（x）的最小值为﹣﹣1和最大值0；（2）∵f（C）=sin（2C﹣）﹣1=0，即sin（2C﹣）=1，又∵0＜C＜π，﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，∴C=．∵向量=（1，sinA）与=（2，sinB）共线，∴sinB﹣2sinA=0．由正弦定理，得b=2a，①∵c=，由余弦定理得3=a2+b2﹣2abcos，②解方程组①②，得a=1，b=2．18．某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．（Ⅰ）求该学生考上大学的概率．（Ⅱ）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）该学生考上大学的概率等于1减去该学生考不上大学的概率．考不上大学包括：①前4次测试只通过了一次，且第五次没有通过，②前4次都没有通过测试．（Ⅱ）该生参加测试次数ξ的可能取值为2，3，4，5，求出ξ取每个值的概率，即得ξ的分布列，由分布列求变量数学期望Eξ的值．【解答】解：（Ⅰ）记“该生考上大学”的事件为事件A，其对立事件为，则．∴．（Ⅱ）该生参加测试次数的可能取值为2，3，4，5．，，+=+=．由于规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试，当ξ=5时的情况，说明前4次只通过了1次，但不必考虑第5次是否通过．∴=．ξEξ=2×+3×+4×+5×=．19．如图，在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点，现将△DAE沿AE折起，使平面DAE⊥平面ABCE，连接DB，DC，BE．（1）求证：BE⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由勾股定理得AE⊥BE，由等腰三角形的性质得MD⊥AE，由面面垂直的性质得MD⊥平面ABCE，由此能证明BE⊥平面ADE．（2）以M为原点，在平面ABCE内，过M作CB的平行线为x轴，过M作EC的平行线为y轴，以MP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面DBC的法向量和平面BDE的法向量，由此利用量法能求出二面角E﹣BD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵在长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点，∴AE=EB==，∵AB=2，∴AB2=AE2+BE2，∴AE⊥BE，取AE的中点M，连接MD，则AD=DE，∴MD⊥AE，∵平面DAE⊥平面ABCE，∴MD⊥平面ABCE，∴MD⊥BE，∵MD∩AE=M，∴BE⊥平面ADE．（2）解：以M为原点，在平面ABCE内，过M作CB的平行线为x轴，过M作EC的平行线为y轴，以MP为z轴，建立空间直角坐标系，由已知得B（，，0），C（﹣，，0），D（0，0，），E（﹣，，0），=（，﹣），=（，﹣），=（﹣，﹣），设平面DBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，，3），设平面BDE的法向量=（a，b，c），则，取b=1，得=（﹣1，1，），设二面角E﹣BD﹣C的平面角为θ，cosθ=|cos＜＞|=||=||=．∴二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．20．已知F 1、F 2分别为椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0）的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：x 2=4y 的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|=．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）当过点P （1，3）的动直线l 与椭圆C 1相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足||=||，证明：点Q 总在某定直线上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得F 1（0，1），M （﹣，），将M （﹣，）代入=1，能求出椭圆C 1的方程．（Ⅱ）设点Q （x ，y ），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设=﹣，，利用点差法能证明点Q 总在直线上．【解答】解：（1）∵F 1、F 2分别为椭圆C 1： +=1（a ＞b ＞0）的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：x 2=4y 的焦点， ∴F 1（0，1），抛物线C 2：x 2=4y 准线y=﹣1，∵点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|=，∴由抛物线方程得到M （﹣，），将M （﹣，）代入=1，得到b 2=3或（舍），∴C1：=1．（Ⅱ）设点Q（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），由题设，||、||、||、||均不为0，且满足=，又P、A、Q、B四点共线，设=﹣，，（λ＞0，λ≠1），∴，，①，，②∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上，∴，即，∴，∵，∴12﹣12λ2=4（1﹣λ2）x+9（1﹣λ2）y，∴点Q总在某定直线4x+9y﹣12=0上．21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．其中a∈R．（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；（2）若存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求整数M的最大值；（3）若对任意的s，t∈[，2]都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，代入切线方程即可；（Ⅱ）等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M在[0，2]成立，求出函数的导数，求出函数g（x）的最大值和最小值，从而求出整数M的最大值即可；（Ⅲ）问题转化为对任意s、t∈[，2]都有f（s）min≥g（t）max，通过讨论a的范围分别求出f（s）min和g（t）max，解不等式取并集即可．【解答】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=+lnx，定义域是（0，+∞），∴f′（x）=，f（1）=2，f′（1）=﹣1，∴切线方程是y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0；（Ⅱ）存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，等价于：[g（x1）﹣g（x2）]max≥M在[0，2]成立，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：x＜，∴g（x）在[0，]递减，在[，2]递增，∴g（x）min=g（）=﹣，而g（0）=﹣3，g（2）=1，∴g（x）max=g（1）=1，∴[g（x1）﹣g（x2）]max=g（x）max﹣g（x）min=，故满足条件的最大整数M=4；（Ⅲ）若对任意s、t∈[，2]都有f（s）≥g（t），只需若对任意s、t∈[，2]都有f（s）min≥g（t）max，由（Ⅱ）得：g（t）在[，）递减，在（，2]递增，g（t）max=g（2）=1，f（s）=+lns，f′（s）=，①a≤时，f′（s）＞0，f（s）在[，2]递增，∴f（s）min=f（）=2a+ln≥1，解得：a≥（1+ln2），无解；②＜a＜2时，令f′（s）＞0，解得：s＞a，令f′（s）＜0，解得：s＜a ∴f（s）在[，a）递减，在（a，2]递增，∴f（s）min=f（a）=1+lna≥1，解得：a≥1，∴1≤a＜2；③a≥2时，f′（s）＜0，f（s）在[，2]递减，∴f（s）min=f（2）=+ln2≥1，解得：a≥2﹣2ln2，∴a≥2，综上，a≥1．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC=∠ABC．（Ⅰ）求证：PA是⊙O的切线；（Ⅱ）如果弦CD交AB于点E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求sin∠BCE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由AB为直径，知，，由此能证明PA为圆的切线．（Ⅱ）设CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，由AE•EB=CE•ED，得m=k，由△AEC∽△DEB，△CEB∽△AED ，能求出AB=10，，由此能求出sin∠BCE．【解答】（Ⅰ）证明：∵AB为直径，∴，，∵，∴PA⊥AB，∵AB为直径，∴PA为圆的切线．…（Ⅱ）解：CE=6k，ED=5k，AE=2m，EB=3m，∵AE•EB=CE•ED，∴m=k，∵△AEC∽△DEB△CEB∽△AED，∴AB=10，．在直角三角形ADB中，，∵∠BCE=∠BAD，∴．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（选做题）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin （θ+）=，圆C 的参数方程为，（θ为参数，r ＞0） （Ⅰ）求圆心C 的极坐标；（Ⅱ）当r 为何值时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C 的普通方程，得出圆心的直角坐标后再化面极坐标即可．（2）由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线l 的距离的最大值，最后列出关于r 的方程即可求出r 值．【解答】解：（1）由 ρsin （θ+）=，得 ρ（cos θ+sin θ）=1，∴直线l ：x+y ﹣1=0．由得C ：圆心（﹣，﹣）．∴圆心C 的极坐标（1，）．（2）在圆C ：的圆心到直线l 的距离为：∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，∴．r=2﹣∴当r=2﹣时，圆C 上的点到直线l 的最大距离为3．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x ﹣3|，x ∈R ．（1）解不等式f （x ）≤5；（2）若的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数的值域．【分析】（1）对不等式）|2x﹣1|+|2x﹣3|≤5，分x≥，＜x＜和x＜三种情况进行讨论，转化为一元一次不等式求解，把求的结果求并集，就是原不等式的解集．（2）的定义域为R，转化为则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，求函数f（x）的最小值．【解答】解：（1）或或不等式的解集为（2）若的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解又f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|≥|2x﹣1﹣2x+3|=2，f（x）的最小值为2，所以m＞﹣2．2018年7月9日。

2017-2018学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知i是虚数单位，则复数的虚部是（）A．﹣1B．1C．﹣i D．i2．（5分）设集合M={x|0≤x≤1}，N={x|x2≥1}，则M∪（?R N）=（）A．[0，1]B．（﹣1，1）C．（﹣1，1]D．（0，1）（）3．（5分）若，且α为第二象限角，则tanα＝A．B．C．D．4．（5分）已知向量与的夹角为120°，，则=（）A．B．2C．D．45．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）A．1B．C．D．6．（5分）已知数列{a n}的前n项和S n=an2+bn，若a＜0，则（）A．na n≤na1≤S n B．S n≤na1≤na n C．na1≤S n≤na n D．na n≤S n≤na1 7．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣2B．0C．2D．48．（5分）把四个不同的小球放入三个分别标有1?3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（）A．12种B．24种C．36种D．48种9．（5分）已知函数，现将y=f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）在的值域为（）A．[﹣1，2]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，0] 10．（5分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线l1与过F2的直线l2交于点P，设P点的坐标（x0，y0），若l1⊥l2，则下列结论中不正确的是（）A．B．C．D．11．（5分）某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组．某次数学考试成绩公布情况如下：甲和三人中的第3小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高．若甲、乙、丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）A．甲、乙、丙B．甲、丙、乙C．乙、甲、丙D．丙、甲、乙12．（5分）已知函数在x=1处取得极大值，则实数a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，1）C．D．（1，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x满足5x﹣1103x=8x，则x=．14．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．。

辽宁省大连市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，且点M 在椭圆上，|MF 1|=2，则|MF 2|为（ ） A ．3B ．7C ．8D ．42．与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（ ）A ． =1B ． =1C ． =1D ． =13．下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（ ）A ．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本B ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C ．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D ．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本 4．抛物线y=ax 2的准线方程是y=2，则a 的值为（ ）A ．B ．C ．8D ．﹣85．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（ ）A．B．C．D．6．阅读如图的算法程序，此程序的功能是（）A．计算3×10的值B．计算310的值C．计算39的值D．计算1×2×3×…×10的值7．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量由表中数据得到线性回归方程=）A．68度B．52度C．12度D．28度8．如图，样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组9．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（ ）A ．5B ．6C ．7D ．1210．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点的坐标为（3，y 1）时，△AEF 为正三角形，则p 为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．某单位抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，则该代表中奖的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 2﹣e 1的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（，+∞）C ．（0，）D ．（，）二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC=120°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率______．14．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示，则该小区居民用电量的中位数为______，平均数为______．15．下列说法正确的是______（填上所有正确说法的序号）①残差平方和越大的模型，拟合效果越好；②用相关指数R 2来刻画回归效果时，R 2越小，说明模型的拟合效果越好；③在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高．④一个样本的方差，则这组数据等总和等于60；⑤数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2，则数据2a 1+1，2a 2+1，…2a n +1的方差为4σ2．16．设F 1、F 2分别为双曲线C ：=1（a ，b ＞0）的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为______．三、解答题：17．直线l 过点P （﹣2，0）且倾斜角为1500，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ=15． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值． 18．已知圆的参数方程为（θ∈[0，2π]，θ为参数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到曲线C 1；以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程（Ⅱ）设P 为曲线C 1上的动点，求点 P 与曲线C 2上点的距离的最小值，并求此时P 点的坐标． 19．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，距据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余每天使用微信在一小时以上，若将员工年龄分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，使用微信的人中75%是青年人，若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中是青年人．（Ⅰ）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表．（Ⅲ）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件A“选出的2人均是青年人”的概率．K 2=．20．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin （θ+），曲线C 2的参数方程为，t 为参数，0≤α＜π；射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣，θ=φ+与曲线C 1分别交异于极点O的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线C 1关于曲线C 2对称，求α的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程； （2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．21．点F 1（0，﹣），F 2（0，），动点M 到点F 2的距离是4，线段MF 1的中垂线交MF 2于点P ． （1）当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；（2）若斜率为的动直线l 与轨迹G 相交于A 、B 两点，Q （1，）为定点，求△QAB 面积的最大值．22．已知椭圆C ： =1的离心率为，直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为，抛物线D 以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点． （Ⅰ）求椭圆C 与抛物线D 的方程；（Ⅱ）已知A ，B 是椭圆C 上两个不同点，且OA ⊥OB ，判定原点O 到直线AB 的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．辽宁省大连市2017-2018学年高二上学期期末试卷文科数学参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，且点M 在椭圆上，|MF 1|=2，则|MF 2|为（ ）A ．3B ．7C ．8D ．4 【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的标准方程及其定义即可得出．【解答】解：由椭圆，可得a=5．∵点M在椭圆上，∴|MF1|+|MF2|=2a=10，∴|MF2|=10﹣|MF1|=8．故选：C．2．与曲线=1共焦点，而与曲线=1共渐近线的双曲线方程为（）A． =1 B． =1 C． =1 D． =1【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据椭圆方程先求出焦点坐标，再由渐近线相同设出双曲线方程为，根据c值列出方程求出λ的值即可．【解答】解：由题意得，曲线=1是焦点在y轴上的椭圆，且c===5，所以双曲线焦点的坐标是（0、5）、（0，﹣5），因为双曲线与曲线=1共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则﹣64λ﹣36λ=25，解得λ=，所以双曲线方程为，故选：A．3．下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是（）A．某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本B．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本C．从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本D．从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本【考点】收集数据的方法．【分析】根据系统抽样的特点，样本是在总体个数比较多的情况下，遵循一定的规则，具有相同的间隔，得到的一系列样本．【解答】解：系统抽样的特点是从比较多比较均衡的个体中抽取一定的样本，并且抽取的样本具有一定的规律性，在所给的四个抽样中，从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取5个做样本或从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本，它们都是一个简单随机抽样；对于某市的4个区共有2000名学生，且4个区的学生人数之比为3：2：8：2，从中抽取200人做样本，由于个体是由差别明显的几部分组成，故采用分层抽样，只有在从某厂生产的2000个电子元件中随机抽取200个做样本，这是一个最适宜用系统抽样法的．故选C．4．抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为（）A．B．C．8 D．﹣8【考点】抛物线的定义．【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣即可求之．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故选B．5．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为5将数据分组成[0，5），[5，10），…，[30，35），[35，40]时，所作的频率分布直方图是（）A．B．C．D．【考点】频率分布直方图；茎叶图．【分析】根据题意，由频率与频数的关系，计算可得各组的频率，进而可以做出频率分布表，结合分布表，进而可以做出频率分布直方图．故选：A．6．阅读如图的算法程序，此程序的功能是（）A．计算3×10的值B．计算310的值C．计算39的值D．计算1×2×3×…×10的值【考点】伪代码．【分析】逐步分析框图中的各框语句的功能，可知程序的功能．【解答】解：逐步分析框图中的各框语句的功能，变量从1到10，共10个数相乘，输出其结果，即程序的功能是计算1×2×3×…×10的值．故选D．7．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量由表中数据得到线性回归方程=）A．68度B．52度C．12度D．28度【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【解答】解：由表格得==10，=40．∴（，）为：（10，40），又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，∴40=10×（﹣2）+a，解得：a=60，∴=﹣2x+60，当x=﹣4时， =﹣2×（﹣4）+60=68．故选：A．8．如图，样本数为9的四组数据，它们的平均数都是5，频率条形图如下，则标准差最大的一组是（）A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组【考点】极差、方差与标准差．【分析】由频率分布条形图可知，A的9个数据都是5，方差为0，B和C数据分布比较均匀，前者的方差较小，后者的方差较大，D数据主要分布在2和8处，距离平均数是最远的一组，得到最后一个频率分步直方图对应的数据的方差最大，即标准差最大．【解答】解：由所给的几个选项观察数据的波动情况，得到方差之间的大小关系，A的9个数据都是5，方差为0，B和C数据分布比较均匀，前者的方差较小，后者的方差较大，D数据主要分布在2和8处，距离平均数是最远的一组，∴最后一个频率分步直方图对应的数据的方差最大，则标准差最大，故选：D．9．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．12【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n 值为7， 故选：C10．已知抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，过点A 作准线l 的垂线，垂足为E ，当A 点的坐标为（3，y 1）时，△AEF 为正三角形，则p 为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 【考点】抛物线的简单性质．【分析】过F 作AE 的垂线，垂足为H ，则H 为AE 的中点，利用A 点坐标为 （3，y 1），可求p ． 【解答】解：如图所示，过F 作AE 的垂线，垂足为H ，则H 为AE 的中点， 因为A 点坐标为 （3，y 1），所以AE=3+，EH=p ，所以2p=3+， 所以p=2． 故选：A ．11．某单位抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，则该代表中奖的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】程序框图．【分析】确定满足0≤x ≤1，0≤y ≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．【解答】解：由已知0≤x ≤1，0≤y ≤1，点（x ，y ）在如图所示的正方形OABC 内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x ﹣y ﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x ，y ∈[0，1]时满足2x ﹣y ﹣1≤0的区域的面积为S 阴=×（1+）×1=，∴该代表中奖的概率为： =．故选：C ．12．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F 1，F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|=10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 2﹣e 1的取值范围是（ ）A ．（，+∞）B ．（，+∞）C ．（0，）D ．（，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆与双曲线的半焦距为c ，PF 1=r 1，PF 2=r 2．利用三角形中边之间的关系得出c 的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c 的范围即可求出e 2﹣e 1的取值范围．【解答】解：设椭圆与双曲线的半焦距为c ，|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 2． 由题意知r 1=10，r 2=2c ，且r 1＞r 2，2r 2＞r 1， ∴2c ＜10，2c+2c ＞10， ∴2.5＜c ＜5，∴e 1==；e 2==．∴e 2﹣e 1=﹣==＞，故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分，把答案填在答题纸的横线上）13．已知菱形ABCD 的边长为4，∠ABC=120°，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离大于1的概率．【考点】几何概型．【分析】以菱形ABCD 的各个顶点为圆心、半径为1作圆如图所示，可得当该点位于图中阴影部分区域时，它到四个顶点的距离均大于1．因此算出菱形ABCD 的面积和阴影部分区域的面积，利用几何概型计算公式加以计算，即可得到所求的概率．【解答】解：分别以菱形ABCD 的各个顶点为圆心，作半径为1的圆，如图所示． 在菱形ABCD 内任取一点P ，则点P 位于四个圆的外部时， 满足点P 到四个顶点的距离均大于1，即图中的阴影部分区域∵S 菱形ABCD =AB•BCsin120°=4×4×=8，∴S 阴影=S 菱形ABCD ﹣S 空白=8﹣π×12=8﹣π．因此，该点到四个顶点的距离大于1的概率P==，故答案为：．14．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图如图所示，则该小区居民用电量的中位数为 155 ，平均数为 156.8 ．【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据频率分布直方图中的数据，求出该组数据的中位数与平均数即可． 【解答】解：根据频率分布直方图，得； （0.005+0.015）×20=0.4＜0.5， 0.4+0.020×20=0.8＞0.5， ∴中位数落在[150，170）， 设中位数为x ，则0.4+（x ﹣150）×0.020=0.5， 解得x=155；该组数据的平均数为=0.005×20×120+0.015×20×140+0.020×20×160+0.005×20×180+0.003×20×200+0.002×20×220=156.8． 故答案为：155、156.8．15．下列说法正确的是 ③④⑤ （填上所有正确说法的序号）①残差平方和越大的模型，拟合效果越好；②用相关指数R 2来刻画回归效果时，R 2越小，说明模型的拟合效果越好；③在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高．④一个样本的方差，则这组数据等总和等于60；⑤数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2，则数据2a 1+1，2a 2+1，…2a n +1的方差为4σ2．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①②③④直接利用定义可直接判断；⑤设出数据的平均数，根据表达式得出数据2a 1+1，2a 2+1，…2a n +1的平均数为2m+1，分别计算方差可得．【解答】解：①残差平方和越小的模型，拟合效果越好，故错误；②用相关指数R 2来刻画回归效果时，R 2越接近1，说明模型的拟合效果越好，故错误；③在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，正确．④一个样本的方差，可知平均数为3，故这组数据等总和等于60，故正确；⑤数据a 1，a 2，a 3，…，a n 的方差为σ2， 设平均数为m ，偏差为a n ﹣m则数据2a 1+1，2a 2+1，…2a n +1的平均数为2m+1，偏差为2a n +1﹣2m ﹣1=2（a n ﹣m ）， 故方差为4σ2．故正确． 故答案为③④⑤16．设F 1、F 2分别为双曲线C ：=1（a ，b ＞0）的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线某条渐近线于M 、N 两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出M ，N 的坐标，再利用余弦定理，求出a ，c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【解答】解：设以F 1F 2为直径的圆与渐近线y=x 相交与点M 的坐标为（x 0，y 0）（x 0＞0）， 根据对称性得N 点的坐标为（﹣x 0，﹣y 0），∴；解得M （a ，b ），N （﹣a ，﹣b ）； 又∵A （﹣a ，0），且∠MAN=120°，∴由余弦定理得4c 2=（a+a ）2+b 2+b 2﹣2•bcos 120°，化简得7a 2=3c 2，∴e==．故答案为：．三、解答题：17．直线l 过点P （﹣2，0）且倾斜角为1500，以直角坐标系的原点为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ=15． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）直线l 交曲线C 于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）直线l 过点P （﹣2，0）且倾斜角为150°，利用斜率计算公式及其同角三角函数基本关系式即可得出可得l 的参数方程．由曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ=15，利用即可得出直角坐标方程．（2）把l 的参数方程代入C 得：，设A ，B 对应参数t 1，t 2，利用|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|=，即可得出．【解答】解：（1）直线l 过点P （﹣2，0）且倾斜角为150°，即斜率为tan150°==，可得l 的参数方程为：为参数）．∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣2ρcos θ=15， ∴直角坐标方程C 为：x 2+y 2﹣2x ﹣15=0．（2）把l 的参数方程代入C 得：，设A ，B 对应参数t 1，t 2，则，∴|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|===．18．已知圆的参数方程为（θ∈[0，2π]，θ为参数），将圆上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变得到曲线C 1；以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程（Ⅱ）设P 为曲线C 1上的动点，求点 P 与曲线C 2上点的距离的最小值，并求此时P 点的坐标． 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）由已知可得曲线C 1的参数方程为，消去参数θ可得，由三角函数公式可化极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=8，可得x+y=8；（Ⅱ）由题意可得距离d==，由三角函数的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得曲线C 1的参数方程为，消去参数θ可得+y2=1，的极坐标方程为，∵曲线C2∴ρcosθ+ρsinθ=8，即x+y=8；上的动点，（Ⅱ）设P（cosθ，sinθ）为曲线C1：x+y=8上点的距离d==，则点P与曲线C2当sin（θ+）=1即θ=时，d取最小值3，此时P（，）19．微信是现代生活进行信息交流的重要工具，距据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余每天使用微信在一小时以上，若将员工年龄分成青年（年龄小于40岁）和中年（年龄不小于40岁）两个阶段，使用微信的人中75%是青年人，若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，经常使用微信的员工中是青年人．（Ⅰ）若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表．（Ⅲ）采用分层抽样的方法从“经常使用微信”中抽取6人，从这6人中任选2人，求事件A“选出的2人均是青年人”的概率．K2=．【考点】独立性检验的应用；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由已知可得2×2列联表；（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：K2=≈13.333，与临界值比较，即可得出结论；（III）利用列举法确定基本事件，即可求出事件A“选出的2人均是青年人”的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得，该公司员工中使用微信的共：200×0.9=180人经常使用微信的有180﹣60=120人，其中青年人：120×=80人所以可列下面2×2列联表：（Ⅱ）将列联表中数据代入公式可得：K 2=≈13.333＞10.828 …所以有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”．…（Ⅲ）从“经常使用微信”的人中抽取6人中，青年人有=4人，中年人有2人设4名青年人编号分别1，2，3，4，2名中年人编号分别为5，6， 则“从这6人中任选2人”的基本事件为： （1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，4）（3，5）（3，6）（4，5）（4，6）（5，6）共15个 … 其中事件A“选出的2人均是青年人”的基本事件为：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6个 …故P （A ）=． …20．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin （θ+），曲线C 2的参数方程为，t 为参数，0≤α＜π；射线θ=φ，θ=φ+，θ=φ﹣，θ=φ+与曲线C 1分别交异于极点O的四点A ，B ，C ，D ．（1）若曲线C 1关于曲线C 2对称，求α的值，并把曲线C 1和C 2化成直角坐标方程； （2）求|OA|•|OC|+|OB|•|OD|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用即可把曲线C 1的极坐标方程化为直角坐标方程，由于曲线C 1关于曲线C 2对称，可得圆心在C 2上，即可解出．（2）由已知可得|OA|=2sin （φ+），|OB|=2sin （φ+），|OC|=2sin φ，|OD|=2sin（φ+），化简整理即可得出．【解答】解：（1）曲线C 1的极坐标方程为ρ=2sin （θ+），展开为（ρsin θ+ρcos θ），可得直角坐标方程：x 2+y 2=2x+2y ，化为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2，∵曲线C 1关于曲线C 2对称，∴圆心（1，1）在C 2上，∴，化为tan α=﹣1，解得α=．∴C 2：为y ﹣3=﹣1（x+1），化为x+y ﹣2=0．（2）|OA|=2sin （φ+），|OB|=2sin （φ+），|OC|=2sin φ，|OD|=2sin （φ+），∴|OA|•|OC|+|OB|•|OD|=8sin φsin （φ+）+8cos φsin （φ+）=8sin φsin （φ+）+8cos φcos （φ+）=8cos=4．21．点F 1（0，﹣），F 2（0，），动点M 到点F 2的距离是4，线段MF 1的中垂线交MF 2于点P ． （1）当点M 变化时，求动点P 的轨迹G 的方程；（2）若斜率为的动直线l 与轨迹G 相交于A 、B 两点，Q （1，）为定点，求△QAB 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．【分析】（1）连接PF 1，推导出|PF 1|+|PF 2|=4＞|F 1F 2|=2，由此利用椭圆的定义能求出动点P 的轨迹G 的方程．（2）设直线l 的方程为y=，代入椭圆方程，得4x 2+2+m 2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出△QAB 面积的最大值． 【解答】解：（1）如图，连接PF 1， ∵|MF 2|=4，∴|PM|+|PF 2|=4，又∵|PM|=|PF 1|，∴|PF 1|+|PF 2|=4＞|F 1F 2|=2，由椭圆的定义可知动点P 的轨迹G 是以F 1（0，﹣），F 2（0，）为焦点、以2为长轴的椭圆，∴设椭圆方程为=1，（a ＞b ＞0），则，∴b=，∴动点P 的轨迹G 的方程为．（2）设直线l 的方程为y=，代入椭圆方程，得（）2+2x 2=4，即4x 2+2+m 2﹣4=0，由△=8m 2﹣16（m 2﹣4）=8（8﹣m 2）＞0，得m 2＜8．又点Q 不在直线l 上，则m ≠0.0＜m 2＜8．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣，．∴|AB|=|x 1﹣x 2=•=•=．可得，点Q 到直线l 的距离d=，则S △QAB =|AB|d=×=．∵≤=4，则S，当且仅当m 2=4，即m=±2时取等号．故△QAB 面积的最大值为．22．已知椭圆C ： =1的离心率为，直线y=x+1被以椭圆的短轴为直径的圆截得弦长为，抛物线D 以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点．（Ⅰ）求椭圆C 与抛物线D 的方程；（Ⅱ）已知A ，B 是椭圆C 上两个不同点，且OA ⊥OB ，判定原点O 到直线AB 的距离是否为定值，若为定值求出定值，否则，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率a=2c ，椭圆短轴为直径的圆的圆心到直线y=x+1距离d=，求解解得a ，c ，求出p ，即可得到椭圆C 的方程，抛物线D 方程．（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 与x 轴垂直时，设AB ：x=m ，则，利用OA ⊥OB ，求出m ，推出原点到直线AB 的距离．当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m 代入3x 2+4y 2﹣12=0，利用韦达定理以及判别式大于0，利用向量数量积为0，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题知=，即a=2c ，椭圆短轴为直径的圆的圆心到直线y=x+1距离d=，∴=，解得b=，∴a 2=，解得a 2=4，∴c=1，∴=1，∴p=2，∴椭圆C 的方程为，抛物线D 方程为y 2=4x ； 5分（Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线AB 与x 轴垂直时，设AB ：x=m ，则，∵OA ⊥OB ，∴=x 1x 2+y 1y 2==0，解得m=，∴原点到直线AB 的距离为． 7分． 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m 代入3x 2+4y 2﹣12=0整理得，（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0，则△=（8km ）2﹣4（3+4k 2）（4m 2﹣12）＞0，即4k 2﹣m 2+3＞0，x 1+x 2=，x 1x 2=，∴y 1y 2=（kx 1+m ）（kx 2+m ）==，∵OA ⊥OB ，∴=x 1x 2+y 1y 2=+=0，即7m 2=12（k 2+1），且满足△＞0，10分∴原点到直线AB 的距离为=，11分故原点O 到直线AB 的距离为定值，定值为． 12分．。

大连市20172018学年度第一学期期末考试试卷高二数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题,故选D.2. 在等比数列a n中，a4=4，则（）A. 4B. 16C. 8D. 32【答案】B【解析】等比数列的性质可知,故选B.<1，则p是q的（）3. 命题p:x>1，命题q:1xA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A<1，反之不成立，所以p是q的充分不必要条件【解析】试题分析：当x>1时可得到1x考点：充分条件与必要条件4. 已知实数x,y满足，则z=2x+y的最大值为（）A. 8B. 12C. 14D. 20【答案】C【解析】画出可行域如下图所示,由图可知目标函数在点6,2处取得最大值为14,故选C.5. 双曲线的离心率等于33b，则该双曲线的焦距为（）A. 25 B. 8 C. 6 D. 26【答案】B【解析】依题意可知a=2,ca =33b,c=233b,,故选B.6. ，且a>b，则下列结论正确的是（）A. a2>b2B. ba<1 C. D.【答案】D【解析】令,代入验证,排除A.令,代入验证,排除B,C,故选D.7. F1,F2为椭圆C:x2a +y2b=1左右焦点，A为椭圆上一点，A F2垂直于x轴，且三角形A F1F2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）A. B. 2 C. 2 D. 2��?/m:t>【答案】A【解析】由于轴,所以A F2=b2a,依题意可知b2a=2c,即,两边除以a2得,解得.故选A.8. 数列a n的前n项和，当S n取最小值时n的值为（）A. 7B. 8C. 7��?/m:t>8D. 9【答案】C【解析】二次函数的开口向上,对称轴为x=152,故当n=7或n=8时,取得最小值.故选C.9. 已知直线y=x+a与曲线y=ln x相切，则的值为（）A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】本题考查导数的运算，导数的几何意义及导数的应用.10. 关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（）A. B. 1,2 C. D.【答案】D【解析】,由于解决为,故a<0,且,故的开口向下,两个根为1,2,所以解集为x<1,x>2.故选D.11. P为双曲线上的任意一点，则P到两条渐近线的距离乘积为（）A. 185B. 2 C. 365D. 1【答案】A【解析】不妨设P2,0,双曲线渐近线为.点P到的距离为d=610=3105,故成绩为d2=9025=185.【点睛】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查双曲线上的点到渐近线的距离的成绩为定值.由于本题是一个定值问题,再结合题目是一个选择题,故可以采用特殊点,计算点到渐近线的距离然后相乘,即可得到所求的结果.双曲线的渐近线是令求解出来.12. 已知函数，若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】画出函数f x的图象如下图所示.由图可知,当y=a x和相切时,斜率取得最小值,将y=a x代入,化简得,判别式,所以的取值范围是,故选B.【点睛】本小题主要考查函数图象与性质,考查含有绝对值函数图象的画法,考查直线和二次曲线相切的表示方法,即判别式为零. 应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知a>0,b>0,a+b=2,a b的最大值为___．【答案】1【解析】由基本不等式得.14. 函数的单调递增区间是___．【答案】【解析】,由题意，解得x>2，所以函数的递增区间是.15. 已知抛物线y2=x和点A4,0,质点M在此抛物线上运动，则点M与点A距离的最小值为___．【答案】152【解析】设M m 2,m ,由两点间的距离公式得.16. 等差数列 a n 与 b n 的前n 项和为分别为S n 和T n ，若，则a6b 6=___．【答案】3123【解析】a 6b 6=2a 62b 6=a 1+a 11b 1+b 11=S11T 11=3123.【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式,考查等差数列的性质. 这些题都是等差数列的性质的应用,熟记等差数列的性质,并能灵活运用是解这一类题的关键,注意等差数列与等比数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用．另外注意不能直接代入6计算.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 过抛物线E :y 2=2p x 的焦点F 的一条直线与抛物线E 交于P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点. 求证：【答案】证明见解析【解析】【试题分析】当直线斜率不存在时,可求得P 1,P 2两点的坐标,可得y 1y 2=−p 2成立.当直线斜率存在时,用点斜式设出直线方程,联立直线方程和抛物线方程,消去x ,用韦达定理证明. 【试题解析】当过焦点F 的直线垂直于x 轴时，则y 1y 2=−p 2成立， 当直线不与x 轴垂直时，设y =k x −p2y =k x −p2 y 2=2p x得k y 2−2p y −p 2=0所以y 1y 2=−p 2 . 18. 已知函数（1）当a =2时，求f x 的极大值； （2）当为何值时，函数f x 有3个零点. 【答案】(1)323；(2).【解析】【试题分析】(1)a =2时,对函数求导,写出单调区间,可得到极大值.(2)对函数求导,得到函数的单调区间和极大值与极小值,只需要极大值大于零,极小值小于零就符合题意,由此解得的取值范围. 【试题解析】 （1）f ′(x )=x 2−4,由解得x ��?/m :t >2或解得所以当x =−2时f (x )有极大值f (−2)=223 （2）由f ′(x )=x 2−4=0,解得x 1=−2,x 2=2.f (x )的单调增区间是和当x ��?/m :t >时，f (x )是减函数；f (x )的极大值f (−2)=a +163极小值为f (−2)=a −163所以a +163>0且a −163<0所以−163<a <16319. 已知 0,?��1 是椭圆C 的一个顶点，焦点在x 轴上，其右焦点到直线：y =x +2 2的距离等于3. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点P 1,12 的直线与椭圆C 交于M ,N 两点，若P 为MN 中点，求直线方程. 【答案】(1)x 23+y 2=1；(2).【解析】【试题分析】(1)由题知b =1,利用焦点到直线的距离求出,进而得到和椭圆的标准方程.(2)设出M ,N 两点的坐标,代入椭圆方程,利用点差法求得直线的斜率,用点斜式得到直线方程. 【试题解析】（1）由题知b =1，d =2+ 2=3,（2）x 123+y 12=1x 223+y 22=1所��?/m:t>+y1−y2y1+y2=0,所以.所以直线方程为y−12=−23x−1，即4x+6y−7=0.【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法,考查点到直线的距离公式,考查点差法求解有关中点弦的问题. 处理直线与圆锥曲线相交时候的相交弦长和中点问题时，利用根与系数的关系或者中点坐标公式，涉及弦的中点，还可以利用点差法．设点的坐标,并没有求出来,这就是设而不求的思想.20. 已知数列a n的前n项和，数列b n的每一项都有b n=a n.（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列b n前n项和.【答案】(1)；(2).【解析】【试题分析】(1)利用求得数列的通项公式.(2)数列前5项为正数,从第6项起为负数,故将n分成n��?/m:t>5,n>5两类,求解出数列的前n项和.【试题解析】（1）（2）T n=2S5−S n=50−(10n−n2)=n2−10n+5021. 已知函数f x=ln xx.（1）求f x的单调区间；（2）当x>0时，若恒成立，求m的取值范围.【答案】(1)f(x)在(0,e12)上是增函数，在上是减函数；(2).【解析】【试题分析】(1)求函数的定义域,求导后写出单调区间.(2)原不等式等价于m��?/m:t>ln x恒成,构造函数g(x)=x2ln x,利用导数求得函数g x的最小值,由此求得实数m的取值范围.【试题解析】（1）f(x)定义域为，f′(x)=1−2ln xx3，f′(x)>0，解得0<x<e12，f′(x)<0，解得x>e12，∴f(x)在(0,e12)上是增函数，在上是减函数；（2）不等式等价于A��?/m:t>ln x，令g(x)=x2ln x，g′(x)=2x ln x+x=x(2ln x+1)，g′(x)>0，解得x>e−12，g′(x)<0，解得0<x<e−12，∴g(x)在(0,e−12)上是减函数，在上是增函数，g(x)在x=e−12时取最小值g(e−12)=−12e ，∴m��?/m:t>−12e，故A的最佳取值为【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性,函数导数与不等式恒成立问题的解法. 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．22. 已知椭圆C的中心是坐标原点O，它的短轴长22，焦点F c,0，点，且（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过点A的直线与椭圆C相交于P,Q两点，且以线段P Q为直径的圆过坐标原点O，若存在，求出直线P Q的方程；不存在，说明理由.【答案】(1)x26+y22=1；(2)答案见解析.【解析】【试题分析】(1)利用列方程,可求得c=2,由题意可知b=2,由此求得,且出去椭圆的标准方程.(2)设直线P Q的方程为y=k x−3,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,由此求得k的值.【试题解析】（1）由题意知，b=,F c,0,A10c−c,0由，得c=20c−4c，解得：c=2.椭圆的方程为x26+y22=1离心率为6=63（2）A3,0，设直线P Q的方程为y=k x−3联立y=k x−3x26+y22=1，得1+3k2x2−18k2x+27k2−6=0设P x1,y1,Q x2,y2，则x1+x2=18k21+3k2,x1x2=27k2−61+3k2y1y2=k2x1x2−3x1+x2+9=k227k2−61+3k2−54k21+3k2+9=3k21+3k2由已知得，得x1x2+y1y2=0，即27k2−61+3k2+3k21+3k2=30k2−61+3k2=0解得：，符合直线P Q的方程为.。