n维向量空间

矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
维
向 量
且
ka1 kb1 kc1 0,
空
间 即 kA W2 , 故W2是R23的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 V1 V2 {a | a V1且a V2 }
第
三 章
也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间.
第 三
解 V2不是向量空间 .
n
章 维
因为若 1,a2 ,,an T V2 ,
向 量 空
则2 2,2a2 ,,2an T V2 .
间
杨建新
第一节 n 维向量空间
例4 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R
试判断集合是否为向量空间.
第 三 章
解：V是一个向量空间， 因为若x1 1a 1b
(1 2 ) (1 2 ) (1 1) (2 2 ) V1 V2
k k(1 2 ) k1 k2 V1 V2, k P
杨建新
第一节 n 维向量空间
n维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
n
第
三 机身的仰角
章
机翼的转角
(
)
(2 2)
维
向 量
机身的水平转角 (0 2 )
x2 2a 2b，则有
n
维 向
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b V ,
量
空 间
kx1 (k1 )a (k1 )b V .
这个向量空间称为
由向量a, b所生成的向量空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
一般地，由向量组 a1, a2 ,, am 所生成的
向量空间为
V x 1a1 2a2 mam 1,2 ,,m R
第一节 n 维向量空间
第一节 n维向量空间
第
三
一、n 维向量的概念
章
n
维
二、n维向量的表示法
向
量
空 间
三、向量空间及其子空间
杨建新
第一节 n 维向量空间
一、n维向量的概念
定义1：n 个有次序的数 a1, a2 ,, an 所组成的数
组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量，
第 第i个数ai称为第i个分量 .
第 三
规律）后，称为一个 n 维向量空间．
章 注:1、向量的加法和数乘是按矩阵的加法和数
n
维
乘来定义的（P98）
向
量 空
2、八条运算规律（P99） ：
间
设, , Rn;, R
(1) ;
(2) ;
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第一节 n 维向量空间
(3) 在Rn中存在零元素0,对任何 Rn ,都有
三 章
分量全为实数的向量称为实向量，
n
维
分量全为复数的向量称为复向量.
向 量
例如
(1,2,3,, n)
空
间
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
n维实向量 n维复向量
第2个分量
第1个分量
第n个分量
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第一节 n 维向量空间
二、n维向量的表示方法
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
章 集合V为向量空间．
n
维
向
量 说明 1．集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
空 间
若 V , V , 则 V;
若 V , R, 则 V .
杨建新
第一节 n 维向量空间
定义2 设V 是一个向量空间，L 是V的一个非空
子集，如果L对于V中所定义的加法和乘数两种运
算也构成一个线性空间，则称L为V的子空间．
空
间
0, a2 ,, an T , 0, b2 ,, bn T V1 ,
有 0,a2 b2 ,,an bn T V1
0, a2 ,, an T V1 .
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第一节 n 维向量空间
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 ,, xn T x2 ,, xn R
0;
第 (4) 对任何 Rn ,都有的负元素 Rn ,使
三
章 (5) 1 ;
() 0 ;
n
维
向 量
(6) ;
空 间
(7) ;
(8) .
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第一节 n 维向量空间
三、向量空间及其子空间
1、向量空间
第 三
定义1 设V为n维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称
c
R.
n
维 解 (1)不构成子空间. 因为对
向 量 空 间
A B 1 0
0 0
0 0
W1
有
A B 2 0
0 0
0 0
W1
,
即W1 对矩阵加法不封闭，不构成子空间.
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第一节 n 维向量空间
(2)因 0 0
0 0
0 0
W2
,
即W2非空.
第 对任意
n
三 章 维
A a1 0
b1 0
注意 1、行向量和列向量总被看作是两个
不同的向量；
第 三
2、行向量和列向量都按照矩阵的运算 法则进行运算；
章
n
维 向
３、当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
量
空 间
杨建新
第一节 n 维向量空间
非空集合
Rn x( x1, x2,, xn)T x1, x2,, xnR
定义了向量的加法和数乘（并满足八条运算
设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a1 a2 | a1 V1,a2 V2 }
第
三 章
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.
n
维 向 量 空 间
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 0 0 V1 V2
任取 , V1 V2, 设 1 2, 1 2, 其中，1, 1 V1,2, 2 V2, 则有
例1 3 维向量的全体R3 ,是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
第 三
例2 判别下列集合是否为向量空间.
n
章 维
V1 x 0, x2 ,, xn T x2 ,, xn R
向 量
解 V1是向量空间 . 因为对于V1的任意两个元素
0 , B a2
c1
0
b2 0
0
c2
W2
向 量
有
a1 b1 c1 0, a2 b2 c2 0,
空
间
于是
A B a1 a2 b1 b2
0
0
0 c1 c2
杨建新
第一节 n 维向量空间
满足
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
即 A B W2 , 对任意k R有
第 三
也记作
章
n
维
L(a1,a2 ,,am ) 1a1 2a2 mam 1,2 ,,m R
向
量
空
间
杨建新
第一节 n 维向量空间
例5 R23的下列子集是否构成子空间?为什么?
(1) W1
1 0
b c
0 d
b,
c,
d
R;
第 三 章
(2) W2
a 0
b 0
0 c
a
b
c
0,
a,
b,