数学线性代数n维向量空间

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3.2 n维向量空间

2.表示方法 2.表示方法
n维向量一般用小写黑体的希腊字母 α, β, γ 等表示；有时也用黑体的拉丁字母 a, b, c, o, u, v, x, y来表示.
例如, n维向量 α = (a1 , a2 , L , an ).
n维向量 α = ( a1 , a2 , L , an ).
n 维向量写成一行，称为 n 维行向量，维向量写成一行，行向量，
3．向量的相等．如果n维向量如果维向量 α = ( a1 , a2 ,L , an ) ,β = (b1 , b2 ,L , bn ) 的对应分量皆相等，的对应分量皆相等，即
ai = bi ,
i = 1, 2,L , n
相等，则称向量 α 与 β 相等，记作 α = β ．
4．特殊的向量．零向量：分量全为零的向量称为零向量零向量，零向量分量全为零的向量称为零向量，记作 0．即, 0 = (0,0,L ,0) .
n 维向量还可以写成一列，称为 n 维列向量，维向量还可以写成一列，维列向量，
a1 a2 β = = (a1 , a2 , L , an )T . M a n
n 维行向量就是一行列的矩阵； × n 的矩阵维行向量就是一行n列的矩阵 1 列的矩阵； n 维列向量就是行一列的矩阵 n × 1 的矩阵维列向量就是n行列的矩阵.
为向量α 与 β 的和；称向量
kα = ( ka1 , ka2 ,L , kan )
数量乘积．为向量 α 与数 k 的数量乘积．称向量

α − β = α + (− β ) = (a1 − b1 , a2 − b2 ,L , an − bn )
为向量α 与 β 的差；

北京工业大学线性代数第四章第一节 n 维向量空间

n
向量组 1 , 2 , , n 称为矩阵A 的列向量组．
10
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1n 1 1 a 2 n 2 2 ， a in i m a mn m
23
例4 已知
1 1, 4, 0, 2，2 2, 7, 1, 3， 3 0, 1, 1, a , 3, 10, b, 4 , 不能由1 ,2 ,3 线性表出? ⑴ a , b为何值时，能由1 ,2 ,3 线性表出且表示法 ⑵ a , b 为何值时，

, n
n xn 是否有解。
n xn
,n 线性表出.
19
＊若方程组 1 x1 2 x2
有解，则可以由1 ,2 ,
n xn
,n 线性表出.
且方程组的一组解就是表出系数． ① 若方程组有唯一解，则可以由1 ,2 , ,n 线性表出且表示法唯一. ② 若方程组有无穷多解，则
1
第一节 n 维向量空间
一． n 维向量空间的概念二．向量与矩阵的关系三．向量的线性组合与线性表出
2
一． n 维向量空间的概念一个mn矩阵的每一行都是由n个数组成的有序数组,其每一列都是由m个数组成的有序数组。 n元线性方程组的一个解也是由n个数组成的有序数组。所以研究线性方程组解的结构离不开有序数组。 1.定义:由数域P 中n 个数组成的有序数组称为数域P 上的一个n 维向量，用小写的希腊字母 , , …表示．

线性代数-n维向量

第三章 n维向量
一. n维向量及其线性运算二. 线性相关性三. 向量组的秩四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列：称为列向量。它们的区别只是写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量，如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2

线性代数--向量空间

dx4 0 d 2 x4
0
a 3 x1 b3 x2 c 3 x3 d 3 x4 0
该方程组的系数行列式
1111 abcd a2 b2 c2 d 2 (b a)(c a)(c b)(d a)(d b)(d c) a3 b3 c3 d 3
由于a，b，c，d各不相同.，所以行列式不等于零
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 amn xn bm
含n个未知量m个方程的线性非齐次方程组可写成矩阵形式
a11 a12 a1n
x1 b1
AX
b
其中
A
a21
a22
a2n
,
a a 3 = (1,c,c2 , c3 , )T , 4 = (1,d, d2 , d3 )T
（其中a，b，c，d各不相同）
解考察 x1a1 x2a2 x3a3 x4a4 0
x1 x2 x3 x4 0
按分量写出来，即为
a
2
ax1 x1
b
bx2 2 x2
cx3 c2 x
3
线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
k1a1 k2a2 ksas 0 (1) 则称向量组a1,a2, as 线性相关；
否则称之为线性无关。
即当且仅当 k1 k2 ks 0 时，(1)式才成立，
则称向量组 a1,a2 , as , 线性无关。
注意
(1) 任何含有零向量的向量组都线性相关. （2）仅含两个向量的向量组，它线性相关的充分
X
x2
,
b
b2
am1
am2

线性代数N维向量空间基与维数

§ 4.4 向量空间
12 解: 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
初等行变换
1 0 0
2 1 0
1 1 0
1 1 0
可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2, A1, A2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
注: 此外A1, A3也是L(A1, A2, A3, A4)的一组基. 还有A1, A4.
分别为x, y, 则
x = Py, y = P1x.
证明: = (1, 2, …, r)x = (1, 2, …, r)y = (1, 2, …, r)Py
(1, 2, …, r)(x Py) = 0. 又因为1, 2, …, r线性无关,
所以x Py = 0, 即x = Py, 进而y = P1x.
L(A1, A2, …, As)——A的列空间(column space) dimL(A1, A2, …, As) = 秩(A).
1 2 1 1Biblioteka 例3. 设A = [A1, A2, A3, A4] = 0 1 1 1 ,
1 0 1 1
求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.
第四章 n维列向量空间
事实上, 对于这个例子, 除了A3, A4以外, A1, A2, A3, A4中任意两个向量都构成 L(A1, A2, A3, A4)的一组基.
第四章 n维列向量空间
三. 向量在基下的坐标
1, 2, …, r——V 的一组基,
§ 4.4 向量空间
由定义, 对V, 唯一的一组有序实数 k1, k2, …, kr使得 = k11+k22+…+krr .
则称V是Rn的一个子空间(subspace), 或直接称为一个(实)向量空间(real vector space). 仅含有零向量0的集合{0}关于向量的线性运算也构成一个向量空间.

线性代数-N维向量空间-第5节-标准正交基

n
[, ] = i=1aibi = T.

第四章 n维列向量空间
2. 内积的基本性质
(1) 对称性: [, ] = [, ];
§ 4.5 内积与正交矩阵
(2) 线性性: [k11+k22,] = k1[1, ]+k2[2,];
(3) [, ] 0; 且[, ] = 0 = 0 .
(3) 三角不等式(Triangle Inequality):
| +| |||| + ||||.
第四章 n维列向量空间
§ 4.5 内积与正交矩阵
5. 长度为1的向量称为单位向量(unit vector).
对于非零向量, ||||1是一个单位向量.
——单位化/标准化(normalize).
(i,j1,2,
i j
,n),
故Ae1，Ae2，…，Aen也是一个标准正交组.
第四章 n维列向量空间
§4.5 内积与正交矩阵
§4.5 内积与正交矩阵
一. Rn中向量的内积, 长度和夹角
1. 设 =(a1, a2, …, an)T, =(b1, b2, …, bn)T,
则称实数
n
i=1aibi
为向量

与

的内积
(inner/dot/scalar product).
记为[, ], 即
(4) (Cauchy-Schwartz Inequality) |[, ]| [, ] [, ].
考察y = [, ]x2 + 2[, ]x + [, ].
n
=
i=1
(xai
+
bi)2

0

线性代数第三章(一二节向量与线性相关性)

组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
证明
必要性设向量组 A: a1 , a2 , ... , am 线
性相关, 则有 m 个不全为零的实数 k1 , k2 , ... , km 使 k1a1 + k2a2 + ... + kmam = 0 . 因 k1 , k2 , ... , km 不全为 0 , 不妨设 k1 0 , 于是便有
（9）若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则 a1 , a2 , ... , an线性相关的充要条件是其构造的行列式值为0. 若a1 , a2 , ... , an是n维向量组，则
a1 , a2 , ... , an线性无关的充要条件是其
构造的行列式值非0. （10）若a1 , a2 , ... , am是n维向量组，且 m>n,则 a1 , a2 , ... , am线性相关。特别地，n+1个n维向量必线性相关。
第三章向量组的线性相关性与n 维向量空间
第一节
1. 向量的定义定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , ... , an 所组成的
数组称为 n 维向量,其中第 i 个数 ai 称为第i 个分量，n称为向量的维数.
n维向量
n 维向量可写成一行, 也可写成一列. 分别
称为行向量和列向量, 也就是行矩阵和列矩阵。
引例1：非齐次线性方程组（Ⅰ）有解<=>
存在一组数x1, x2, ... , xn, 满足
x1a1 + x2a2 + ... + xnan = b。引例2：齐次线性方程组（Ⅱ）有非零解<=> 存在一组不全为零的数x1, x2, ... , xn, 满足 x1a1 + x2a2 + ... + xnan = 0。从这两个引例中我们可以提炼出向量组两个

线性代数_第六章

a x1a1 + x2a2 + … + xnan
成立, 则称这组有序数x1, x2, …, xn 为元素a 在基a1, a2, …, an下的坐标,记作(x1, x2, …, xn )T , 称
为坐标向量.
例4 求四维线性空间R2╳2中矩阵a在基{E11,
E12, E21, E22}下的坐标。
试求P[x]2中向量在这两个基下的坐标变换公式。
§6.3 欧氏空间
线性空间中，只定义了加法与数乘两种运算；
在线性空间中引入度量的概念后，成为欧几里德空间；
6.3.1 内积的概念与性质
定义1 设V是实数域R上的线性空间,若在V上定义了一个二元
实函数(a, b),它满足以下条件: 1)对称性 (a, b) (b, a) 2)齐次性 (ka, b) k(a, b) 3)可加性 (ab,g)(a, b)(a, g) 4)非负性 (a, a)≥0, 当且仅当a0时(a, a)0 其中, a,b,g为V中任意元素,则称此二元实函数(a, b)为元素a与 b的内积;定义了内积的线性空间称为内积空间.
例7 齐次线性方程组
AX=0 的全部解向量构成线性空间Rn的一个子空间,称为(1)的解空间.
例8 设C[a,b]是闭区间[a,b]上所有连续实函数组成的线性空间，P[x][a,b]是 [a,b]上所有的实系数多项式集合；
则C[a,b]中的定义加法与数乘， P[x][a,b]构成 C[a,b]的一个子空间.
R, R2, Rn 都是有限维线性空间; P[x]是无限维线性空间;
例1 求齐次线性方程组的解空间N(A)的维数.
x1 x1
2x2 3x2
3x3 x4 10x3 5x4
0

线性代数-第二章-向量和向量空间

n维单位坐标向量组
所以，称是 1, 2 , 3 ,4 的线性组合，或可以由 1, 2 , 3 ,4线性表示。
命题2 设向量可由向量组(I) :1,2,,m
线性表出，而(I)中每个向量都可以由向量组
(II) : 1, 2,, s线性表出, 那么也可由向量组
(II)线性表出给出证明
二线性相关
当 r( A) r n 时，求得基础解系是1 ,2 , ,nr , 则 x k11 k22 knr nr 是AX 0 的解，
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
例3 : 求下列齐次方程组的通解。
(1)
x1 2 x1
2 x2 4 x2
分量全为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1)i)
第2个分量第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
有时也写成一列：
a1
xr1 1 0
,nr
是令
xr2
为
0
,
1
,
xn
0
0
0
,
0
所得。
1
Ax 0 的通解是 x k11 k22 knr nr
注：
(1) 证明过程提供了一种求解空间基（基础解系）的方法。
(2) 基（基础解系）不是唯一的。
(3) 当 r( A) n 时，解空间是{0}.
(2) s t
则向量组 1,2 , , s 必线性相关。

线性代数2.2n维向量

06
单位元存在性
存在一个零向量，使得对任意向量a，都有 a+0=a；同时存在一个单位元e，使得对任意标量k和任意向量a，都有 ke=k(a+0)=ka+0=ka。
向量空间的性质
1 2
线性组合
向量空间中的任意两个向量可以线性组合成一个新的向量，且结果仍属于该向量空间。
线性无关
向量空间中的一组向量是线性无关的，当且仅当这组向量不能被其他向量线性表示。
3
子空间
如果一个向量空间的非空子集满足向量的加法和标量乘法的封闭性，则称这个子集为子空间。
向量空间的应用
几何学
向量空间是几何学中研究图形和变换的基础，例如向量的加法对应于图形的平移和旋转。
工程学
向量空间在工程学中广泛应用于信号处理、图像处理、控制系统等领域。
物理学
向量空间在物理学中用于描述物理量的方向和大小，例如力、速度和加速度等。
要点二
详细描述
向量的点积是将两个向量对应分量相乘后求和，得到一个标量。点积的结果可以用来判断两个向量的相似程度，如果两个向量的点积为零，则它们垂直；如果点积为正，则两个向量方向相同；如果点积为负，则两个向量方向相反。
向量的叉积
总结词
叉积是向量的另一种基本运算，它表示两个向量的垂直关系。
详细描述
03
向量空间的基
如果一个向量组是线性无关的，并且该向量组可以生成整个向量空间，则该向量组被称为该向量空间的基。
线性组合的应用
矩阵运算
矩阵运算中经常涉及到向量的线性组合，如矩阵乘法、向量点乘等。
线性方程组
通过向量的线性组合，可以将线性方程组转化为矩阵形式，便于求解。

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A = (α1, α2 ,L , αm )，°A = (α1, α2 ,L , αm , β)。
线性方程组(4.2)可表示为两种矩阵方程：
(1). 将所有系数构成一个系数矩阵A
a11 a12 L
a21 M
a22 M
L M
an1 an2 L
即：AX B
a1m x1 b1
a2m M
# 向量加法和向量的数乘满足的运算规律:
1 加法交换律: α + β = β + α； 2 加法结合律 : α β γ α β γ ; 3 α Ο α; 4 α α O; 51 α α; 6 k(lα) (kl)α; 7 k(α β) kα kβ 8 (k l)α kα lα
# 向量α和β的差为 α - β = α + (- β) = (a1 - b1, a2 - b2 ,L , an - bn )T
# 实向量a :向量a的分量都是实数; # 复向量b :向量b的分量都是复数。定义4.1 所有n维实向量(real vector)的集合称为, n维实向量空间，记为R n，即
第四章 n维向量空间
第一节 n维向量的概念第二节向量的线性表示与线性相关第三节等价向量组第四节线性方程组的结构第五节向量空间的子空间
4.1 n维向量的概念
由第一章知道
行向量(1 n矩阵) 列向量(n 1矩阵)
通称：n维向量
n个数构成的有序数组
a1
本章所称的n维向量指n维列向量：a= a1, a2 ,L
证(1) β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示
存在m个数x1, x2 ,L , xm，使得
x1α1 x2α2 L xmαm β
方程组 AX β 有解
其中A (α1,α2,L ,αm ), X (x1,x2,L ,xm )T
, an T
a2
aMn
其中ai(i=1,L ,n)为a的第i个分量。
复习若干概念：
# 向量α a1, a2 ,L , an T 和β b1, b2 ,L , bn T 相等
对应分量都相等
ai bi 1 i n # 向量α, β的和: α β a1 b2 , a2 b2 ,L , an bn T # 向量 0,0,L , 0T 称为零向量，用O表示。 # α的负向量 α a1, a2 ,L , an T # 向量α与数k的数量乘积 kα ka1, ka2 ,L kan T
R n a1, a2 ,L , an T a1, a2 ,L , an为实数。
所有n维复向量(complex vector)的集合称为 n维复向量空间，记为C n，即
C n z1, z2 ,L ,zn T z1, z2 ,L ,zn 为复数。
注意：在R n中，向量只能与实数相乘，而在Cn中，向量可以乘任意复数。
本章只研究实向量空间R n，但结论对Cn也成立。
4.2 向量的线性表示与线性相关
4.2.1 向量的线性表示
定义4.2 设α1 ,α2 ,L ,αm ,β都是n维向量，若存在数 k1 ,k2 ,L ,km ,使得
m
β=k1α1 +k2α2 +L +kmαm = kiαi， i=1
称β可由α1,α2 ,L ,αm线性表示，或称β是α1,α2 ,L ,αm 的线性组合。
定理4.1
(1)向量β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm线性表示的充要条件是： rank(α1 ,α2 ,L ,αm ) rank(α1 ,α2 ,L ,αm , β)
(2)向量β可由向量α1 ,α2 ,L ,αm惟一线性表示的充要条件是： rank(α1 ,α2 ,L ,αm ) rank(α1 ,α2 ,L ,αm , β) m。
例设有向量α1 =(1,3,1)T ,α2 =(-1,-1,3)T ,α3 =(-5,-11,3)T，因α3 =-3α1 +2α2，故α3可由α1和α2线性表示。
例4.1 判断向量β= -3, 2, 0,5T 是否可由向量,
e1 (1, 0, 0, 0)T , e2 (0,1, 0, 0)T , e3 (0, 0,1, 0)T , e4 (0, 0, 0,1)T 线性表示。
解因 =-3e1 2e2 0e3 5e4，所以β可由e1, e2 , e3 , e4
线性表示。一般地，在n维向量空间中，向量
e1 (1, 0,L , 0)T , e2 (0,1,L , 0)T ,L , en (0, 0,L ,1)T 称为n维向量空间的基本单位向量。R n中任意n维向量
xM2
bM2
anm xm bn
(2). 将所有系数分成m个列向量αi (1 i m)
a11
a12
a1m b1
x1
aM21
x2
aM22
L
xm
a2m M
bM2
an1
an2
anm bn
即：x1α1 x2α2 L ，都可以用基本单位向量线性表示：
α x1e1 x2e2 L xnen。
4. 2. 2 向量的线性表示与线性方程组的关系给定具有m个变量和n个线性方程组成的方程组
a11x1 a12 x2 L a1m xm b1
a21 x1
a22 x2
L a2m xm M
b2
an1x1 an2 x2 L anm xm bn
方程改写成：
(4.2)
a11x1 a12 x2 L a1m xm b1
a21
x1
a22 x2
L
a2m
xm
b2
M
M
an1
x1
an2 x2
L
anm
xm
bn
a11
a12
a1m b1
x1
a21
aMn1
x2
a22
M an 2
L
xm
a2m M
anm
b2
bMn
记
a11
a12
a1m
b1
α1
a21
M
,α2
a22
,L
M
, αm
a2m
,
β
M
b2
M
an1
anm
anm
bn
则线性方程组(4.2)可写成向量方程的形式：
x1α1 x2α2 L xmαm β 方程组(4.2)的系数矩阵和增广矩阵分别是