《n维向量空间》PPT课件

计算 2
§8 向量间的线性关系 一、线性组合 定义1 设n维向量组 1 , 2 , , m , , 如果存在一组
数k1，k 2， , k m，使得 k1 1 k 2 2 k m m 称为向量组 1 , 2 , m的一个线性组合；
或称 可以由向量组 1 , 2 , m 线性表示。
例1 零向量组是任何向量组的线性组合。 例2 n维向量 1 (1,0,,0), 2 (0,1,,0),, n (0,0,,1), 任意一个n维向量都可以由 1 , 2 ,, n 线性表示。
称 1 , 2 ,, n 为n维基本单位向量。
(7) ( kl ) k ( l ) ( 8) 1 定义4 以数域P中的数作为分量的n维向量的全 体，同时考虑到在它们上面的加法及数量 乘法满足上述的8条运算规律，则称此集合 为数域P上的n维向量空间，记作 P n .
P {(a1 , a 2 ,, a n ) a i P , i 1,2,, n}
系数矩阵的列向量组。
c1 c2 称 为方程组(1)的解向量. c n [注] 1.称 (0,0,0) 为n维零向量,记作 ;
如果 x1 c1, x2 c2, xn cn是方程组(1)的解，
2. 若 (a1 ,a 2 ,an ) ,称 ( a1 , a 2 ,, an ) 为 的负向量,记作 .即: ( a1 , a 2 ,, an )
推论1 设向量组 a1 , a2 ,..., a s 线性无关，且 a1 , a2 ,..., a s 可以由向量组 1 , 2 ,..., t 线性表示，则 s t . 推论2 任意n+1个n维向量一定线性相关。

a , a , , a , b 元向量来表示： i 1 i 2 i n i
a ,,, aa , b ,,, bb 向量的相等：如果两个n维向量 1 2 n 1 2 n bi , 1 , 2 , . n 的对应分量都相等，即 a ，则 i i 称这两个向量相等，记为 a b , a b ,, a b 向量的和：向量 称为向量 1 12 2 n n aa ,2 , , a 与 记为 r=α+β。 bb ,2 , , b 1 n 的和， 1 n 0,0 ,0 称为零向量。 零向量：分量全为零的n维向量： 负向量：向量 a , a , , a aa ,2 , , a 称为向量 的负向 1 2 n 1 n 量，记为-α。 a , a , , akF , ，则称向量 向量的数量乘积：设 1 2 n k ak ,a , , k a 为向量α与数k的数量乘积， 1 2 n 记为kα。 向量的减法：α-β=α+（-β）。
如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那 些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。 定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维 向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其 加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空 间，记为 F n 。 由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、 0 0； 2、 1 ； 3、k 0 0； 4、若 k 0 ,0，则
§3.2
n维向量空间
一、向量空间的定义和例子
向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨 论过二维和三维向量空间中的向量。 在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向 量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向 量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量 的定义。 定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 ,a , ,a a 有序数组： 1 2 n 其中 a i 称为向量的第i个分量。 几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含 通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同 的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 x a x a xb 向量，一个方程 a 就可以用一个n+1 i 1 1 i 2 2 i n n i

（1）
（加法交换律）
（2） ( ) ( ) （加法结合律）
（3） O O
（4） ( ) O
（5）1
（6） kl kl
（数乘结合律）
（7） k k k （数对向量的分配律）
（8） k l k l （向量对数的分配律）
其中 , , F n ，1,k,l F ， O 为 F n 中的零向量。
即
a1,a 2 , ,a n 。
设 (a1,a 2 , ,a n ) ， b1,b2 , ,bn 都是 n 维向量，则 当且 仅当 ai bi i 1,2, , n
3.1.2 n 维向量的运算 既然向量可看成矩阵，那么，由矩阵运算的定义就可得向
量的运算。
定义 2 设 (a1, a 2 , , a n ) ， b1, b2 , , bn Fn ， k F ，
在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算。 故向量的加法运算和数乘向量的运算统称为向量的线性运 算
定义 3 数域 F（一般为实数域 R 或复数域C ）上全体 n 维
向量的集合，连同定义在其上的线性运算，称为数域 F 上的
n 维向量空间，仍记为 F n 。当 F 为 R 时，称为 n 维实向量空
间，记为 Rn 。
3.2 向量组的线性相关性
本节将利用 n 维向量空间中向量的线性运算来研究向量
之间的线性关系，着重讨论有关向量的三个基本概念： 线性组合，线性相关与线性无关。
以下总是在一个固定的数域 F 上的 n 维向量空间中进行
讨论，不再每次说明。
3.2.1 线性组合与线性表示
定义 1 设有 n 维向量1, 2 , , m 及 ,如果存在一组数
第 3 章 n 维向量及向量组的线性相关性 3.1 n 维向量

故向量组 1 , 2 , 3 , 4 , 5的秩为3.
又 1 , 2 , 4是U的列向量组的一个最大线性
无关组,
所以 1 , 2 , 4也是A的列向量组的一个最大
线性无关组.
1
30
三、向量空间的判定
判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合 是否对于加法和数乘两种运算封闭．若封闭，则构 成向量空间；否则，不构成向量空间．
若R( A) m,则 1, 2 , , m 线性无关, 若R( A) m,则 1, 2 , , m 线性相关.
1
17
例１ 研究下列向量组的线性相关性
1 0 1
1 2, 2 2 , 3 0 .
3
5
2
解一
令 k1 1 k2 2 k3 3 0,即
1 0 1 0 k1 2 k2 2 k3 0 0
的向量均为T的最大无关组。
关于向量空间和子空间: 基，维数。
组(I)无关，组(I)可由(II)表出，
则组(I)的个数<组(II)的个数。
1
7
四、 X AX 0解空间，维数：n - R(A)
任n R(A)个线性无关的AX 0的解向量均为 AX 0的基解系。
x k11 k22 L krt
即向量方程
k1 1 k 2 2 k r r (k1t1 k2 t2 kr tr) 0
1
22
是否有某组不全为零的数 k1 , k 2 , , k r ,而使得对
每个恒有非零解,因此可得如下证明.
证明 因为 1 , 2 , , r 线性相关,所以存在不全
为零的数k1, k2 , , kr ,使
对i 1,2,L
n都有解
L L L
an1x1 an2x2 L ann xn 0

一般地，
e1 (1, 0, , 0), e2 (0,1, , 0), , en (0, 0, ,1)
对任意n维向量 x1, x2 , , xn
x1e1 x2e2 xnen
向量线性表示与线性方程组的关系
给定具有m个变量的n个线性方程组成的方程组
a11 x1 a12 x2 a21x1 a22 x2 an1x1 an2 x2
rank 1 ,2 , m rank 1 ,2 , m ,β m 定理4.3
rank(1 ,2 ,
m ) m, 则1 ,2 ,
线性无关，
m
rank(1 ,2 , m ,β)=m m 1, 则1 ,2, m ,β线性相关
例4.8 证明任意n维向量均可由n维向量组
1 1，1， ，1T , 2 0，1， ，1T , , n 0,0， , 0,1T
仅当k1 k2 km 0时
kα1 1 k2α2 kmαm 0成立 称向量组A 线性无关
定理4.2
1 仅含一个向量的向量组线性相关 α = 0
2 含有零向量的向量组线性相关
3 向量组线性相关 至少有一个向量可由其他
向量线性表示
4 向量组中部分向量线性相关 向量组线性相关
向量组线性无关 向量组中任意部分向量线性无关
向量组1,2 ,
,
也线性相关。这与
m
条件1,2 ,
,
线性无关矛盾。
m
所以， '1, '2 , , 'm 线性无关。
例4.7
证明下列向量组1，
2，
线性无关。
3
1
1, a, a2, b
T
, 2
1, b, b2, c
T

组成的向量组称为 n 维单位向量组，且任意 n 维向量都可以被该
向量组线性表出。（有的书上用1 (1,0, ,0)，2 (0,1, ,0)， ， n (0,0, ,1) 表示单位向量组。） （4）向量组1,2 , ,m 中任意向量都可以用这个向量组线性 表出，即 i 0 1 0 2 0 i1 1i 0 i1 0 m
则向量 (b1, b2 , , bm ) 可由向量组 1,2 , ,n 线性表出的充
分必要条件是线性方程组
a11k1 a21k2 an1kn b1
a12k1
a22k2
an2kn
b2
a1mk1 a2mk2 anmkn bm
有解。
【注】定理3.2.1和命题1的区别是，定理3.2.1中向量组是 1, 2 ,
（2）分量都是零的向量称为零向量，记作 O，即O (0,0, ,0)
（3）向量(a1,a2 , ,an ) 称为向量 (a1, a2 , , an ) 的负
向量，记作
2. 向量的线性运算 （1）向量的加法
定义3.1.2：设 (a1, a2 , , an )， (b1,b2 , ,bn ) ，那么向 量 (a1 b1, a2 b2 , , an bn ) 称为 与 的和，记为 ，即
n
把原始向量的序号 1,2 , ,n , 标注在矩阵右侧；
第二步：对矩阵 A 作初等行变换，化为行阶梯形矩阵，且
将每次变换的过程标注在右侧；
第三步：若最后的行阶梯形矩阵中，标注有 的行不是零行， 则向量 不能被向量组1,2, ,n 线性表出；若标注有 的行
是零行，则令标注的表达式为零，通过移项化简，则能用向量组
3
1 1 0
0
2
1
0 2

矩阵，通常用 aT ,bT ,T , T 等表示，如：
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1

4.2.3 向量的线性相关与线性无关 线性相关和线性无关与线性表示概念密切联系。 定义4.3 设有n维向量组A : α1 , α2 , L , αm , 如果存在一组 不全为0的数k1 , k2 ,L , km，使 k1α1 + k2 α2 + L + km αm = 0 称向量组A 线性相关。 若仅当k1 = k2 = L = km = 0时，有 k1α1 + k2 α2 + L + km αm = 0 成立，称向量组A 线性无关。 给定的向量组A，线性相关或线性无关二者必居其一。
线 性 方 程 组 (4.2)可 表 示 为 两 种 矩 阵 方 程 ： (1) . 将 所 有 系 数 构 成 一 个 系 数 矩 阵 A a 11 a 12 a 21 a 22 M M a n1 a n 2 即 ： AX = L L M L B a1m a2m M a nm = β b1 b2 = M bn a1m a2m M a nm x1 x2 M xm b1 b2 = M bn
例4.3 证明任意n维向量α = (a1 , a2 ,L, an )T 可由基本单位向量 e1 = (1, 0,L, 0)T , e2 = (0,1,L, 0)T ,L, en = (0, 0,L,1)T 唯一地线性表示。 解 由 1 0 L 0 a1 0 1 L 0 a2 ( e1 , e2 ,L, en , α) = M M M M 0 0 L 1 an 可知 rank(e1 ,e2 ,L, en ) = rank(e1 ,e2 ,L, en , α) = n。 因此，α可由e1 ,e2 ,L, en唯一地线性表示。显然 α = a1e1 + a2 e2 +Lan en

第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
§4.2 向量组的线性相关性
一. 线性相关和线性无关
1. 定义
1, 2, …, s线性相关:
不全为零的k1, k2, …, ks使
k11 + k22 + … + kss = 1, 2, …, s线性无关: k11 + … +kss = k1 = … = ks = 0.
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
(6) 若
1 1
,
2 2
, …,
s s
线性相关,
其中1, 2, …, s维数相同,
则1, 2, …, s也是线性相关的.
关键
k1
1 1
+ k2
2 2
+ … + ks
s s
=
k11 + k22 + … + kss k11 + k22 + … + kss
=
若1, 2, …, s, s+1, …, t线性无关, 则1, 2, …, s也线性无关.
第四章 n维向量
§4.2 向量组的线性相关性
(5) 当s > n时, n维向量1, …, s 线性相关.
关键
令 A = (1, …, s), 则 Ax = 中未知量的个数s >方程的个数n,
因而有非零解.
特别地, 任意n+1个n维向量线性相关.
第四章 n维向量
§4.1 n维向量空间
3. 三个典型的例子
(1) K(Asn) = {x | Ax = } Rn —— A的核空间, Ax = 的解空间

分量全部为零的向量称为零向量，记为 o。
向量可视为特殊的矩阵, 因此, 向量的相等、加减法、 数乘等概念完全与矩阵相同.
设 (a1 , a2 ,, an )， (b1 , b2 ,, bn ),
则 (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn )， k (ka1 , ka2 ,, kan ) .
第二节 n维向量空间
定义3.1 n 个数组成的有序数组 (a1, a2 ,, an ) 称为 一个 n 维向量。
a1 , a2 ,, an 称为向量 的分量或坐标。
行向量 (a1 , a2 ,, an )或 (a1 , a2 ,, an )T
1
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
特别地，Rn 表示实数域 R 上的 n 维向量空间 若无特别说明，我们涉及的向量均为 Rn 中的向量
5
练习： P123 习题三(A)
4.
6
2
向量的线性运算满足以下八条运算律：
(1) (2) ( ) ( ) (3) O (4) () O (5) k( ) k k (6) (k l) k l (7) (kl) k(l ) (8) 1
其中, , 都是n维向量, k, l 为实数.
3
例1 设 3(1 ) 2(2 ) 5(3 ) ， 其中 1 (2,5,1) , 2 (10,1,5) , 3 (4,1,1) , 求 .
解 31 3 22 2 53 5 ,
6 31 22 53 ,
1 6
(31
2 2
53 )
1 [3(2, 5,1) 2(10,1, 5) 5(4,1, 1)] 6
1 [(6,15, 3) (20, 2,10) (20, 5, 5)] 6
1 (6,12,18) (1, 2, 3)