第4章 n维向量空间复习过程

第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量定义1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.向量常用黑体小写字母βα、、、b a 等表示,即n 维列向量记为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α,n 维行向量记为),,,(21n αααα =.行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求.x 解（1）γβα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T =（2）由,0253=++-x γβα得x )53(21γβα-+-=])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[21T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --= 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.§4.2 向量组的线性相关性1、向量组的概念若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.例如，一个n m ⨯矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A的列向量组，而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i ==α组成的向量组m ααα,,,21 称为矩阵A 的行向量组.反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。

§4.1 n元向量组的线性相关性第四章 n元向量空间线性表示定义11122=+++s sk k k βααα 为表示系数. 12,,,s k k k 若存在数 ， 12,,,∈s k k k 使得 例如， 则称向量 可由向量组 线性表示， 12,,,s αααβ零向量是任意向量组的线性组合，这是因为12000s =⋅+⋅++⋅0ααα.向量组中的任意一个向量都可由该向量组线性表示, 12,,,s ααα这是因为11100100,-+=⋅++⋅+⋅+⋅++⋅i i i i s αααααα(1,2,,).=i s 给定 中的向量和向量组 12,,,s ，αααn β1111212212221212,,,⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦s s ns n n n ns b a a a b a a a b a a a 设；，βααα一般地：121122,⇔=+++s s s x x x x x x ，，，βααα.存在数使得12,,,s 可由线性表示βααα11112211211222221122,,,+++=⎧⎪+++=⎪⇔⎨⎪⎪+++=⎩s s s s n n ns s na x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b 非齐次线性方程组有解.则1122s ⇔⨯+++=s s n x x x 非齐次线性方程组有解.αααβ12,,,s 可由线性表示β ααα1212,,,,,,A A ⇔==s s 矩阵[]的秩等于矩阵[]的秩.αααααα,β结论则称向量组 向量组的线性相关性()12,,,s αααⅠ:1122+++=0s s k k k ααα，给定 中的向量组 n()12,,,s ，αααⅠ:12,,,s k k k ，如果存在不全为零的数 使否则称()Ⅰ向量组线性无关（linearly independent ）. 线性相关（linearly dependent ）. 定义2===；123[1,0],[0,1],[1,3] 向量组线性相关ααα例如，()向量组线性无关Ⅰ注 1122+++=0.s s k k k才有ααα120====时s k k k 只有，===；123[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1] 向量组线性无关εεε例如， 12,,,n n n 在中，元基本向量组线性无关.εεε()=⇔=s 时当组线性相关1,ⅠO；α()=⇔s 时当组线性相关分量对应成比例122,Ⅰ与；αα()≥⇔s 时当组线性相关2,Ⅰ()1-s 个组中至少有一个向量能由其余Ⅰ向量线性表示.()=⇔≠s 时当组线性无关1,ⅠO；α()=⇔s 时当组线性无关分量对应不成比例122,Ⅰ与；αα()≥⇔s 时当组线性无关2,Ⅰ()1-s 个组中每一个向量都不能由其余Ⅰ向量线性表示.线性相关的几何意义：两向量共线，三向量共面.线性无关的几何意义：两向量不共线，三向量不共面.(1) 若部分组线性相关，则整组必线性相关； (2) 若整组线性无关，则任一非空部分组必线性无关； 包含零向量或成比例向量在内的向量组必线性相关.例如， 结论部分组的整组的线性相关性的关系11121212221212,,,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m m nm n n nm a a a a a a a a a 设则ααα1122⇔⨯+++=0m m n m x x x 齐次线性方程组ααα12,,m , 线性相关ααα有非零解12[,,]A =m ,令矩阵ααα12[,,]A ⇔=m m ,.矩阵的秩小于向量个数ααα（线性无关）.(仅有零解）. (等于向量个数m, 即矩阵A 列满秩）.n m （）时，.1当小于向量个数该向量组一定线性相关=n m （），2当时特别地，1212,,|,,|0⇔≠n n ,,.向量组线性无关行列式αααααα1212,,|,,|0⇔=n n ,,.向量组线性相关行列式αααααα相应地，可以得到关于行向量组的结论.定理1()12s ,,,设向量组Ⅰ:线性无关,ααα()12s ,,,而向量组Ⅱ:,αααβ线性相关，()，则向量可由向量组Ⅰ线性表示且表示方式惟一.β证明思路 只需证明非齐次线性方程组 1122+++=s s x x x αααβ有唯一解, 即证明1212,,,,,,A A ====矩阵的秩矩阵的秩s s s [][].αααααα,β()12s ,,,A 由向量组线性无关知矩阵的秩为s ，Ⅰ:,ααα()12s ,,,1A +由向量组线性相关知矩阵的秩小于s ，Ⅱ:,,αααβ事实上，()12s ,,,,则向量组Ⅱ:也线性无关.αααβ()()1A A ≤+所以=<s r r s ,()().A A 即有==r s r 推论1()12s ,,,设向量组Ⅰ:线性无关,ααα()若向量不能由向量组Ⅰ线性β表示，§4.2.1 向量组的秩(1) 第四章 n元向量空间向量组的线性表示及等价定义1()()1212:,,,:,,,设有两个向量组及s t ⅠⅡ，αααβββ()个向量都能由向量组线性表示Ⅰ，()如果组中的每Ⅱ则称向量组(II)能由向量组(I)线性表示. 则称这两个向量组等价. 如果向量组(I)与向量组(II)能互相线性表示， ()()()()()()⎫⎪⇒⎬⎪⎭Ⅱ可由Ⅰ线性表示Ⅲ可由Ⅰ线性表示；Ⅲ可由Ⅱ线性表示 向量组间的线性表示关系不满足对称性，但满足①反身性，即任一向量组可由自身线性表示；②传递性即， 向量组间的等价满足反身性，对称性和传递性.注1234[1,2,3,1],[1,2,3,1],[1,1,1,1],[0,2,4,1].αααα==----=---=已知向量组1234123134I ,,,II ,,III ,,αααααααααα记向量组（）（线性相关）；（）（线性相关）；（）（线性无关），1I III 2I II 则 （）向量组（）与（）等价； （）向量组（）与（）不是等价的.例1()()1212:,,,:,,,设向量组可由向量组线性表示s t ⅠⅡ，αααβββ().≤组线性无关,则s t Ⅰ定理1若向量.等价的线性无关组必包含有相同个数的向量推论1基本定理1212,,,,≤如果向量组的一个部分组满足r s i i i r s (I),(II),()：αααααα12,,向量组线性无关r i i i ①(II),；ααα则称向量组为向量组的一个(II)(I)极大线性无关部分组，简称极大无关组.12,,原向量组的任一向量都能被部分组线性表示r i i i ②(I)(II),，ααα定义2• 只含零向量的向量组没有极大无关组；• 线性无关向量组的极大无关组是其本身； • 一般来说，线性相关组的极大无关组不唯一；注 向量组的极大无关组===求向量组的极大无关组.ααα123[1,0],[0,1],[1,3] 例向量组的任一极大无关组与向量组自身等价.命题1向量组的任意两个极大无关组等价.注1 ，向量组的任两个极大无关组所含向量的个与极大无关组的选数都相同取无关.注212,,,向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量s ααα0.规定只含零向量的向量组的秩为 ()12,,,.记作s r ααα组的秩，定义3向量组的秩===的秩为2.向量组ααα123[1,0],[0,1],[1,3] 例 等价的向量组秩相等.注向量组的秩与线性相关性的联系向量组线性无关当且仅当 12s ,,,ααα()12s .=r s ,,,ααα向量组线性相关当且仅当 12s ,,,ααα()12s .<r s ,,,ααα定理211121212221212,,,.⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦s s ns n n ns a a a a a a a a a 设则ααα12[,,]A =s ,令矩阵ααα12s [,,]A ⇔=s ,.矩阵的秩小于向量个数ααα（即矩阵A 列满秩）.向量组线性相关 12s ,,,ααα向量组线性无关 12s ,,,ααα12s [,,]A ⇔=s ,.矩阵的秩等于向量个数ααα 矩阵的秩与线性相关性的联系§4.2.2 向量组的秩(2) 第四章 n元向量空间A ⨯⎡⎤=⎣⎦ij n m a 1212[,,,]⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦m n ，ββαααβ设矩阵其中 12,,,∈nm ααα为矩阵 A 的行向量组， 为矩阵 A 的列向量组.12,,,∈mn βββ定义 矩阵A 的行向量组的秩称为A 的行秩， 矩阵A 的列向量组的秩称为A 的列秩.矩阵的行秩和列秩是矩阵的秩的另两种刻画.A ⎡⎤=⨯⎣⎦设是数域上的矩阵, 则ij a n m .A A A 的行秩的列秩的秩==定理证 若A =O ，结论显然成立；设 ,A O ≠并设A 的秩等于r ，先证明A 的列秩=A 的秩= r.因为A 的秩等于r ，则A 中必存在一个r 阶非零子式， r D 而子式 所在 r D 的A 的r 个列向量构成一个列满秩矩阵，因此A 的这r 个列向量线性无关. 另外A 的任意 r +1个列向量都线性相关. 否则，可假设A 的某 r +1个列线性无关， 则这 r +1个列向量所构成的矩阵列满秩，即它的秩为r +1.于是矩阵A 中存在一个r +1阶非零子式， 这与A 的秩为r 相矛盾.从而非零子式所在的r 个列是A 的列向量组 的一个极大无关组， r D 因而A 的列秩= r =A 的秩.因为A 的行秩= 的列秩 T A T ()A =r ()A =r = A 的列秩， 故定理得证.对于n 元向量所构成的向量组，在一般情况下，以矩阵的秩为 工具，可以很好地解决：求向量组的秩以及判断该向量组的 线性相关性等问题.例1()()1212,,,,,,证明若中的向量组 可由 线性表示，n s t ⅠⅡαααβββ()().≤则r r ⅠⅡ命题112,,,∈nm ααα若向量组 的秩为r ， 则该向量组中任意 r 个线性无关的向量就是一个极大无关组. 命题2如果矩阵A 经过有限次初等行变换化为矩阵B ， 列向量组有相同的线性相关性.则A 和B 中对应的1212[,,,][,,,].A B ==m m ，αααβββ设矩阵 取矩阵A 的s 个列向量 12,,,s j j j ααα1212[,,,][,,,]A B =−−−−→=m m 初等行变换，αααβββ及矩阵B 中对应的s 个列向量12,,,.j j js βββ当 有 121211[,,,][,,,]A B =−−−−→=s j j j j j js 初等行变换，αααβββ从而线性方程组1212+++=0s j j s j x x x ααα1212+++=0m j j s j x x x βββ与同解，故向量组与 有相同的线性相关性. 12,,,sj j j ααα12,,,mj j j βββ证T T T 123T T 45[1,0,1,1],[2,1,2,0],[2,1,0,1],[0,1,2,1],[0,0,2,1]=-=-=--=-=-求向量组的秩和一个极大无关组.ααααα例2解令12200011101202210111A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦1220001110,0011100000R -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥−−−−→=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦初等行变换（行阶梯矩阵）125(,,,)()3,A ==r r ααα125,,,ααα123,,ααα是向量组 的一个极大无关组.§4.3 n元向量空间第四章n元向量空间n 元向量空间及其子空间{}1212[,,,],,,nn n n a a a a a a =∈数域上全体元向量的集合记为：1212[,,,],[,,,],∀=∈∀=∈nnn n a a a b b b αβ1122[,,,];+=+++∈nn n a b a b a b αβ加法运算 数乘运算 12[,,,].∀∈=∈nn k k ka ka ka ， α因为， 所以 是一个非空集合. [0,0,,0]=∈0nn因此 对于线性运算是封闭的.n并且线性运算满足如下八条运算律：(1),;∀∈+=+n 对，有α,β αββα1212(4)[,,,],[,,,],..();∀=∈∃-=---∈+-=0nnn n a a a a a a s t αααα(2),()();∀∈++=++n 对，有α,βγαβγαβγ(3)[0,0,,0],..,;∃=∈∀∈+=00nns t 有ααα(5)1;∀∈⋅=n 对，有ααα(6),,()();∀∈∀∈=nk l k l kl 对，有ααα(7),,();∀∈∀∈+=+nk l k l k l 对，有αααα(8),().∀∈∀∈+=+nk k k k 对，，有αβαβαβ（零元素）（负元素）{}12[,,,]1,2,,∈=nn i a a a a i n =|,n 数域上元向量的全体是一个非空集合， 对于向量的加法以及数乘两种运算封闭， 八条运算律， 称为数域 上的n 元向量空间（vector space ）. 定义1且满足 设W 是向量空间 的子集，如果集合W 非空， n 且集合W 对于向量的加法及数乘两种运算封闭， 则称W 为 的子空间（subspace ），n.<nW 记为 定义21,.∀∈+∈∀∈∀∈∈W W W k W k W 非空，且满足条件：（），，有；（2) ，有αβαβααW 为 的子空间n{}0nn及是的平凡子空间；{}T31=[,,0],∈<W x y x y ,例2例1 {}T32=[,,1],∈W x y x y ；而不是的子空间12∈ns 向量组，，，的线性组合的全体ααα例312,,,n s 是的子空间，称之为由生向量组空，成的子间ααα{}()1122s1211,2,,1,2,,,,,==+++∈=⎧⎫=∈==⎨⎬⎩⎭∑s s i i i i s i W k k k k i s k k i s L ，，ααααααα12,,,s 称为该子空间的一个生成元.ααα根据子空间的定义，验证非空及线性运算的封闭性；根据例3 的结论，验证具有线性生成结构，从而为生成子空间.证明子空间的常用方法{}T 31=[,,0],∈<W x y x y ,例如， 1001000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦x y x y 12,=+∈x y x y ，εε3112.=<W L （，）εε子空间的基和维数 12,,,向量组线性无关r ①；ααα12,,,则称向量组为子空间的一个r W ααα基（basis ）， 12,,,中任一个向量都可由 线性表示r W ②，ααα定义3向量组的极大无关组设W 是 的一个子空间， n若W 中的有序向量组满足： 12,,,r ααα正整数r 为子空间W 的维数（dimension ），记作dim W =r , 并称W 为r 维子空间.{}dim{}0.=00零子空间没有基规定；注子空间的基不唯一，但维数是确定的.12,,,, n n n n 元基本向量组就是 元向量空间 的一个基称为εεε例如， ,n nn n 从而的维数是因此也将称作维向量空间.P n 的标准基，注 .中任意个线性无关的向量都是它的一个基nn例4dim 2=且W .T{[,,3],}=-+∀∈W a b a b b a b 证明集合 是 的子空间，并求 3W 的基和维数.证明显然W 非空， 并且W 中的每一个向量1111303--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦a b a b a b b 12=+∈， ，，a b ab αα[][]TT121,1,0,1,1,3.==-其中αα312,.=这说明因此是的子空间W L （），αα[][]TT121,1,0,1,1,3==-又线性无关从而为的一个基W ，，αα§4.4 线性方程组解的结构第四章n元向量空间111122121122221122000.+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ，，，AX ⇔=（矩阵形式）0记齐次线性方程组111212122211n n m m mn a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 的系数矩阵为 12X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦n x x x 未知数向量为{}A X AX A X ∈==0的解集是的子空间nnN 0 ，()=注2注1 齐次线性方程组解的线性组合还是解.性质11212AX AX =+=0 0 若是 的解则也是的解，.η,ηηη性质2()AX AX =∀∈=0 0 若是 的解则 也是的解k k ，.ηη齐次线性方程组的基础解系定义1当 有非零解时， AX =0如果解向量满足： 12,,,t ηηη(1)线性无关； 12,,,t ηηη(2)的任一解可由 线性表示， 12,,,t ηηηAX =0则称为方程组 的一个基础解系. 12,,,t ηηηAX =01122X =+++t t k k k ，ηηη12,,,其中是任意常数t k k k .()12(),,,A =t N L ηηη{}11221,2,,=+++∈=t t i k k k k i t ，ηηη如果为齐次线性方程组 的一个基础解系，则 12,,,t ηηηAX =0的通解可表示为 AX =0◆向量组的极大无关组不唯一，但不同极大无关组中所含向量个数相同.向量组的秩◆方程组的基础解系不唯一，但所含解向量的个数是唯AX 0解空间的维数一确定的.dim N(A)=如何求基础解系()A AX ⨯=<=0m n r r n 当时，方程组有非零解，1212,,,,,,++r r r n x x x x x x 不失一般性，不妨设为主变量，为自由变量111,1,10010000A --⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n r r r n r b b b b 初等行变换A 则系数阵化为行简化阶梯形矩阵齐次线性方程组的基础解系11111,11,+-+-⎧=---⎪⎨⎪=---⎩r n r n rr r r n r nx b x b x x b x b x ⇔AX =011111,11,11+-+-++---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦r n r n r r r r n r n r r n n x b x b x x b x b x x x x x 通解为11121212212100010001++---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦r r r r r n b b b b b b x x x11121,12,12,,,.100010001n r r r r n r n rb b b b b b ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηη记112212,.X ---=+++其中 为任意常数n r n r n r k k k k k k ，，，ηηη112212,,,,,++--===令其中为任意常数r r n n r n r x k x k x k k k k ，，，AX =0 则 的通解为为齐次线性方程组 的一个基础解系，且 12,,,t ηηηAX =0dim ().A =-N n r()AX A A ⨯=<0m n r n 若齐次线性方程组的系数矩阵的秩，则必有定理1基础解系，()A -n r 且任一基础解系所含解向量的个数为.123412341234123450,230,380,3970.x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪+-+=⎪⎨-++=⎪⎪+-+=⎩例1求齐次线性方程组的一个基础解系，并写出通解.解 对方程组的系数矩阵初等行变换，得11511151112302743181000013970000A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦310127012200000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。