n维向量空间

n维向量空间在数学中，向量是用来表示方向和大小的量，而n维向量空间是指由n个方向上的向量组成的空间。

这种空间在许多科学和工程领域中都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器学习、统计学等。

向量的定义和性质一个n维向量可以表示为一个包含n个实数的有序集合，通常写成列向量的形式：$$ \\begin{pmatrix} x_1 \\\\ x_2 \\\\ \\vdots \\\\ x_n \\end{pmatrix} $$在 n 维空间中，两个向量的加法和数量乘法满足以下性质：1.加法交换律：$$ \\mathbf{u} + \\mathbf{v} = \\mathbf{v} + \\mathbf{u} $$2.加法结合律：$$ \\mathbf{u} + (\\mathbf{v} + \\mathbf{w}) = (\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) + \\mathbf{w} $$3.数量乘法结合律：$$ c(\\mathbf{u} + \\mathbf{v}) = c\\mathbf{u} + c\\mathbf{v} $$4.数量分配律：$$ (c+d)\\mathbf{u} = c\\mathbf{u} + d\\mathbf{u} $$5.数量乘法分配律：$$ c(d\\mathbf{u}) = (cd)\\mathbf{u} $$6.标量乘法的单位元：$$ 1\\mathbf{u} = \\mathbf{u} $$n维向量空间的例子n维向量空间并不局限于几何空间的概念，它可以应用于更广泛的领域。

比如在机器学习中，特征向量常常被表示为n维空间中的一个点，这个点对应于特征空间中的一个特定特征组合。

另外，在数字信号处理中，信号通常被表示为一个n 维向量，这样可以更好地处理信号的复杂性。

向量的内积和外积在 n 维空间中，向量的内积和外积是两个重要的运算。

内积定义如下：$$ \\mathbf{u} \\cdot \\mathbf{v} = \\sum_{i=1}^{n} u_i v_i $$内积有许多重要的性质，比如内积为零表示两个向量正交，内积的值与向量夹角的余弦有关等。

第二节 n 维向量空间定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母表示。

称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()Tn n b b b b b b ,,,2121 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β为n 维列向量。

称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。

特别对矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为矩阵A 的行向量；每一列()Tnj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。

定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。

定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。

定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。

定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。

()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。

向量的运算性质：（1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(（3）αα=+0 （4）0)(=-+αα （5）()βαβαk k k +=+ （6）()αααl k l k +=+ （7）)()(ααl k l k =⋅ （8）αα=⋅1定义7：在n 维向量的集合中，如果其中任意二个向量的和以及一个向量与数的积都在这个集合中，则称这集合为n 维向量空间。