卷积积分的运算教程文件

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§2.4 卷积积分

形脉冲信号分量x( )[ (t )d ]叠加起来构成的。 3. 是积分变量，t是积分参变量（在积分过程中可视为常数），该积分公式也可以直接从单位冲激函数的取样特性得到。 3
一．卷积（Convolution）的引入
(t ) (t - )
LTI
h(t )
LTI LTI
h(t - )
t 0(即 t )时， (t ) 0 原式

t

e
( t )
d e e
t
t
1
12
五．对卷积积分的几点认识
r t

f ht d
(1)t：观察响应的时刻，是积分的参变量； : 信号作用的时刻，积分变量从因果关系看，必定有 t (2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容
y f (t )

f ( )h(t ) d f (t ) * h(t )
5
例2-4-1：f (t) = e t,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)，求yf(t)。 yf(t) = f (t) * h(t)

y f (t )
e e
f H t d
f t f t d

f h t d

(t-)的响应
即LTI系统在信号激励f(t)下产生的零状态响应．
rzs t f t h t f t h t
f()是h(t-)的加权，求和
即df()是h(t-)的加权，积分

04第四章：卷积的计算.ppt

当t > 0时, ∫ e
0 ∞ 2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
t
∞
2(t − τ )
1 dτ = 2
2(t − τ )
当t < 0时， e ∫
0
∞
2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
0
∞
1 2t dτ = e 2
得所以
∫
∞
e
2(t − τ )
0
1 2t 1 u (τ − t )dτ = e u (−t ) + u (t ) 2 2
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
6.卷积的时移性质 6.卷积的时移性质
若 f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ，则
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 4.2例 4.2-5 计算 tu (t ) ∗ u (t − 2) 。解由于
f (t ) = f1 (t ) * f 2 (t ) =
∫ f (τ ) f (t − τ )dτ
1 −∞ 2
∞
给定 t 值， f 2 (−τ ) 沿 τ 正轴平移 t ，的波形， 4.1- （；（ 3）将得到 f 2 (t − τ ) 的波形，如图 4.1-2 d）相乘，（4）将 f1 (τ ) 和 f 2 (t − τ ) 相乘，得到 f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ；
f (t ) = tu (t ) ∗ u (t ) =
1 2 t u (t ) ，则 2

微积分讲座---Z2.20 卷积的多种求解方法

(2)图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 (3)利用性质。比较灵活。
三者常常结合起来使用。
例已知 f1(t)=e–2tε(t)，f2(t)=ε(t)。求卷积积分f1(t)*
f2(t)。
2
2.3 卷积积分
第二章连续系统的时域分析
例 f1(t)=e–2tε(t)，f2(t)=ε(t)，求卷积积分f1(t)* f2(t)。
2.3 卷积积分
知识点Z2.20
第二章连续系统的时域分析
卷积的多种求解方法
主要内容：
卷积的多种求解方法
基本要求：
熟练各种卷积求解方法
1
2.3 卷积积分
第二章连续系统的时域分析
Z2.20 卷积的多种求解方法
求解卷积的方法可归纳为：
(1)利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
解法I（定义）：
f1(t) f2 (t)
e2 ( ) (t )d
t e2 d (t) 1 (1 e2t ) (t)
0
2
解法II（性质）：
f1(t) f2 (t) (t) * e2t (t) (t) *[e2t (t)](1)
[e2t (t)](1) t e2 ( )d 1 (1 e2t ) (t)
2
3
2.3 卷积积分
第二章连续系统的时域分析
解法III（图解）：
f1(t)
f2 (t)
t e2 d 1 (1 e2t )
0
2
0
t0 t0
解法IV（常用公式）：
f1 (t )

f2 (t)
(t) * e 2t
(t)
1 2

电路原理课件-卷积积分

3
7) t≥7时,
y(t ) 0
注意：积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定。
卷积积分在电路分析中的应用
例1、电路如图所示，uS=15e-0.25t(t)V。采用卷积计算uC。
解：以uC为响应，求单位阶跃响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
uCf 40 1 0.5V 40 40
t t
t t
t 0
d dt t t
卷积积分上下限分析
t
0
r t h t f t f t h t
卷积符合交换律
δ t f t δ f t dτ τ τ
k 0
f (t ) f a (t )
f ( k ) ( t k ) ( t ( k 1) )
k 0 n 1

k 0 n 1
k 0
n 1
(t k ) (t (k 1) ) f (k )
例2、电路如图，R=10，L=1H，激励uS的波形如图所示，求零状态响应i(t)。
解：以电流i 为响应，求单位阶跃响应为：
R t 1 g( t ) (1 e L ) ( t ) R 0.1(1 e 10 t ) ( t )
则单位冲激响应为：
dg( t ) h (t ) e 10 t ( t ) dt
40 40 RC 0.05 1s 40 40
uC ( t ) uCf (1 e ) ( t ) 0.5(1 e t ) ( t )V
t
单位阶跃响应为：
g(t ) 0.5(1 e t ) (t )

§2.7 卷积积分

称为 f
1
卷积积分，简称卷积卷积， (t) f2 (t) 的卷积积分，简称卷积，记为
f (t) = f1(t) ⊗ f2 (t)
或
f (t) = f1(t) ∗ f2 (t)
主要利用卷积来求解系统的零状态响应。主要利用卷积来求解系统的零状态响应。
二．卷积定义（Convolution）卷积定义（）
4.乘积的积分乘积的积分
∫
∞
−∞
f1(τ ). f2 (t −τ )dτ
四．对卷积积分的几点认识
(1)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应卷积是系统分析中的重要方法，卷积是系统分析中的重要方法
r(t)与激励e(t)之间的关系。之间的关系。
一般数学表示：一般数学表示：信号无起因时：信号无起因时：
1. 2.
f (t) = ∫ f1(τ ) (t −τ )dτ −∞ f1(t) → f1(τ ) 积分变量改为 τ
倒置
∞
－(τ- t)= t- τ 积分结果为t 的函数
f2 (t) → f2 (τ ) f2 (− ) → f2 (t −τ ) → τ
时延
3.相乘相乘
f1(τ ) ⋅ f2 (t −τ )
卷积积分中积分限的确定是非常关键的。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。借助于阶跃函数 u (t) 确定积分限利用图解说明确定积分限用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为延时t，对τ延时延时方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。，
f1(τ ) f2 (t −τ ) ≠ 0

第二章(2)卷积积分

f 2 ( t )
•第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。
•第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面积，便是卷积在t时刻的值。
•第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号 f1(t)*f2(t)。
f 1 t
2
1
2 -1 0
f 2 t
t
0
1
2
t
16
练习题答案：
f 1 t f 2 t
2
f 1 t
2
2
-1
0
t
f 2 t
1
-1
0
1
t
0 1 2
t
思考：两个时限信号的卷积积分结果有何特点？从非零区间长度及形状考虑。
17
本节小结
1、卷积积分的解析法 2、卷积积分的图解法
3
4

(b )
o

f2 ( t － )
1
f1 ( ) f2 ( t － )
1
f1 ( )
t 0 (c ) t ＜ 0
3

0
t
3

(d ) 0＜ t ＜ 3
y (t ) 1 f1 ( ) f2 ( t － ) y (3)
0 (e ) t＞ 3
3
t
τ
0 (f )
3
t
例2 求下图所示函数 f1 (t ) f 2 ( t )的卷积积和 f 1 t f 2 t 分。 2
2
( ) 2 ( t ) d
6 e

《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算

将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系，因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的，对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1

计算卷积的方法.ppt

' t
dg ( t ) r ( t ) e ( t ) h ( t ) e ( t ) dt
de (t) *g(t) dt
e ( t ) e ( t ) u ( t )
de ( t ) d ( e ( t ) u ( t ))de ( t ) u ( t ) e ( t ) ( t ) dt dt dt
方法一:

h (t )
t
e( )
0

*
0
h(t ) 非零值下限是－卷积分下限是零 u( ) 非零值下限是 0
h(t ) 非零值上限是 t 卷积分上限是 t u( ) 非零值上限是
若两个函数的左边界分别为tl1,tl2,右边界分别为 tr1,tr2,积分的下限为max[tl1,tl2];积分的上限为min[tr1,tr2].

f f ( ) f ( t ) d 1 2 1 2 f
0 t-2 1
t
3 . if 1 t 2
1
b ab 2 ab 2 t a ( t ) d ( t ) 0 t 0 2 4 4
t
a t-2 0 t 1
ab (2 t 1 ) 4
2.各分段内卷积积分限的确定。
分解成单位阶跃分量之和
f (t1 )
f( t t ) 1 1 f ( 0)
t1
t1
u ( t ) g ( t ) DaHarma ln tegr
*.Duharmal integral
r(t) e(0 )g(t) e ( )g(t )d 0
1
b ab 2 1 f f a ( t ) d ( t ) 1 2 0 02 4

卷积积分及零状态响应的卷积计算法.

e
t T
t
e RC
ε(t)
➢卷积积分的图解
求f(t)与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数
f()h(t)在由0到t的区间内的定积分。根据定积分的几何意义，函数在0到t区间内的定积分值，决定于被积函数f()h(t)的曲线在该区间内与轴之间所限定的面
积。
设 f (t) ε(t)
h(t ) etε(t )
计算。
解：当 0<t <1 时
r(t ) te(t )ε(t )d 0 t e(t )d 1 et 0
当 t >1 时
r(t ) e1 (t )ε(t )d 0 1 e(t )d e(t1) et 0
注意：积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定，用作图的方法可方便地确定出积分上下限。
δt
f
t
t
0
δ
f
t
d
0δ f 0
t d
f
t
δt f t f t
f tδt f t
δt
t0
f
t
t
0
δ
t 0
f
t
d
δ t0
t0
t0
f
t
d
f t t0
例1 求卷积 [e tε(t)] ε(t)
解： [e tε(t)] ε(t) t e ε( )ε(t )d 0
t ed 0
h(t)
1
t
e RC ε(t )
RC
零状态响应电压为
t
uC (t)
u( )h(t ) d
0
t 0
u0e T
ε(
)
1 RC

§2.3,4卷积积分及其性质[优质PPT]

由时不变性： δ(t -τ)
h(t -τ)
由齐次性： f (τ)δ(t -τ)
f (τ) h(t -τ)
由叠加性：

f
( ) (t ) d

f
( )h(t
) d
‖
‖
f (t)
yzs(t)
¥
ò yzs (t) =
f (t )h(t - t ) d t 卷积积分
-?
第2-4页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
2.3 卷积积分
3 .卷积积分的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分
f(t) f1()f2(t)d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)
第2-7页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
2.3 卷积积分
二、卷积的图解法

f1(t)*f2(t) f1()f2(t)d 用图解法计算卷积积分步骤：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)，然后右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =

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应用 f(t)
2
h(t)
1
h(t- )
1
45
13
-3 -1
2.将两函数的时限值两两相加,得出定义域
f()
4
f()
1+4=5; 1+5=6; 3+4=7;
3.确定积分限
t 1
5
0
4
4
3+5=8
1
5
t 3
4 t 1
0
5
6
7
8
第2章连续时间系统的时域分析
2.利用微积分性质
x1 (t )
x2
(t)
x ( 2 ) 1
(t)
x(m) 2
(t)
x(m) 1
(t)
x(m) 2
(t)
运用卷积的微积分性质，可以使卷积的运算大大简化 3、任意函数与冲激函数的卷积：
x(t) (t) x(t)
x(t) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t0 ) (t t1) x(t t0 t1)
4、经验公式：
x1(t t0 ) x2 (t t1) x1(t) x2 (t) ttt0 t1
(t
)
推广到一般：x(n) (t)
x(n) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x2(n) (t)
第2章连续时间系统的时域分析
C、微积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(t)
x ( 1) 1
(t)
x (1) 2
(t)
x (1) 1
(t)
x ( 1) 2
(t)
推广到一般：x(t)
x(m) 1
第2章连续时间系统的时域分析
第2章连续时间系统的时域分析
第2章连续时间系统的时域分析
§2.6 卷积积分的性质
1、卷积的代数运算：
A、交换律：x1(t) x2 (t) x2 (t) x1(t) y(t) x(t) h(t) h(t) x(t)
B、结合律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] [x1(t) x2 (t)] x3 (t)
第2章连续时间系统的时域分析
*计算卷积的方法
1.用图解法计算卷积
2.利用性质计算卷积
分段时限
3.用函数式计算卷积
4.数值解法
卷积积分限
第2章连续时间系统的时域分析
例8：已知 x1(t) 和 x2 (t) 的波形如图所示，试求 x1(t) x2 (t)
1.图解法：
x1 (t )
1
x2 (t )
对于级联系统：
x(t) h1(t) h2 (t) y(t)
y(t) [x(t) h1(t)] h2 (t) x(t) [h1(t) h2 (t)] [x(t) h2 (t)] h1(t) x(t) h(t)
第2章连续时间系统的时域分析
结论:(1）级联系统的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应的卷积（2）级联系统的单位冲激响应与子系统的联接顺序无关。
x(1) (t)
x(1) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x(1) 2
(t
)
推广到一般：x(n) (t) x1(n) (t) x2 (t) x1(t) x2(n) (t)
B、积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(1) (t)
x1(1) (t)
x2 (t)
x1(t)
x ( 1) 2
1 t2u(t) 3 (t 1)2u(t 1) 3 (t 2)2u(t 2) 1 (t 3)2u(t 3)
22
2
2
第2章连续时间系统的时域分析
(t)
x(2) 2
(t)
x1(t) u(t) u(t 1)
x ( 1) 1
(t
)
tu(t
)
(t
1)u
(t
1)
x(2) 1
(t)
1 2
t 2u(t)
1 2
(t
1)2 u(t
1)
x2 (t) t[u(t) u(t 1)] (2 t)[u(t 1) u(t 2)]
x1 (t )
1
x2 (t )
第2章连续时间系统的时域分析
§2.5 卷积积分的运算和图解
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
h( ) 翻转h( ) 平移th(( t)) h(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
1
x1(t )
1
x1 (t )
其
它
1 t 2 0 t 11 t 2
0
1t 2
1 t 12 t 3
第2章连续时间系统的时域分析
总结：两有限长函数卷积的定义域（l1,ml) (l2,m2)
,(l1 l2), (l1 m2), (l2 m1), (m1 m2),
1
0
1
t
0
1 2t
x1 ( )
1
-1 0
第2章连续时间系统的时域分析
x1(t) x2 (t)
1 x1(t )
t
d
0
1 2
t 2 0
t
1
0 t 1
0
1 2
1
d
t
(
2)d

t 2
3t
2
1
t
2
t1
1
3
2
(
2)d
1 t 2 3t 9 2 t 3
t1
2
2
0
1
0
1
t
0
1 2t
第2章连续时间系统的时域分析
x(1) 2
(t
)
u(t
)
2u(t
1)
u(t
2)
x(2) 2
(t
)
(t
)
2
(t
1)
(t
2)
x1(t)
x2
(t)
x(2)
1
(t)
x(2) 2
(t
)
[1 t2u(t) 1 (t 1)2u(t 1)][ (t) 2 (t 1) (t 2)]
22
第2章连续时间系统的时域分析
结论:并联系统的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应的和 2、卷积的微积分性质
对于任意函数x(t)，用 x(1) (t)表示其一阶导数，用x(n) (t) 表示其n阶导数，用x(1) (t)表示其一次积分，用x(m) (t)
表示其m次积分
A、微分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
C、分配律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] x1(t) x2 (t) x1(t) x3(t)
对于并联系统：
h1(t)
x(t)
y(t)
h2 (t)
y(t) x(t) h1(t) x(t) h2 (t)
x(t) [h1(t) h2 (t)]
x(t) h(t)
第2章连续时间系统的时域分析
例6 计算系统的零状态响应y(t) f (t) h(t)，
已知：f (t) u(t),h(t) etu(t)
f (t) f ( )
h(t) h( )
t
h( )
t
f ( )h(t )
t
f (t) * h(t) t e(t )d 1 et 0
t0