卷积积分的运算教程文件

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§2.4 卷积积分

形脉冲信号分量x( )[ (t )d ]叠加起来构成的。 3. 是积分变量，t是积分参变量（在积分过程中可视为常数），该积分公式也可以直接从单位冲激函数的取样特性得到。 3
一．卷积（Convolution）的引入
(t ) (t - )
LTI
h(t )
LTI LTI
h(t - )
t 0(即 t )时， (t ) 0 原式

t

e
( t )
d e e
t
t
1
12
五．对卷积积分的几点认识
r t

f ht d
(1)t：观察响应的时刻，是积分的参变量； : 信号作用的时刻，积分变量从因果关系看，必定有 t (2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容
y f (t )

f ( )h(t ) d f (t ) * h(t )
5
例2-4-1：f (t) = e t,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)，求yf(t)。 yf(t) = f (t) * h(t)

y f (t )
e e
f H t d
f t f t d

f h t d

(t-)的响应
即LTI系统在信号激励f(t)下产生的零状态响应．
rzs t f t h t f t h t
f()是h(t-)的加权，求和
即df()是h(t-)的加权，积分

04第四章：卷积的计算.ppt

当t > 0时, ∫ e
0 ∞ 2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
t
∞
2(t − τ )
1 dτ = 2
2(t − τ )
当t < 0时， e ∫
0
∞
2(t − τ )
u (τ − t )dτ = ∫ e
0
∞
1 2t dτ = e 2
得所以
∫
∞
e
2(t − τ )
0
1 2t 1 u (τ − t )dτ = e u (−t ) + u (t ) 2 2
4.2卷积的性质 4.2卷积的性质
6.卷积的时移性质 6.卷积的时移性质
若 f 1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f (t ) ，则
f1 (t − t1 ) ∗ f 2 (t − t 2 ) = f (t − t1 − t 2 )
利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。利用卷积的时移性可以使时移信号的卷积计算变得大为简单。 4.2例 4.2-5 计算 tu (t ) ∗ u (t − 2) 。解由于
f (t ) = f1 (t ) * f 2 (t ) =
∫ f (τ ) f (t − τ )dτ
1 −∞ 2
∞
给定 t 值， f 2 (−τ ) 沿 τ 正轴平移 t ，的波形， 4.1- （；（ 3）将得到 f 2 (t − τ ) 的波形，如图 4.1-2 d）相乘，（4）将 f1 (τ ) 和 f 2 (t − τ ) 相乘，得到 f1 (τ ) f 2 (t − τ ) ；
f (t ) = tu (t ) ∗ u (t ) =
1 2 t u (t ) ，则 2

微积分讲座---Z2.20 卷积的多种求解方法

(2)图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 (3)利用性质。比较灵活。
三者常常结合起来使用。
例已知 f1(t)=e–2tε(t)，f2(t)=ε(t)。求卷积积分f1(t)*
f2(t)。
2
2.3 卷积积分
第二章连续系统的时域分析
例 f1(t)=e–2tε(t)，f2(t)=ε(t)，求卷积积分f1(t)* f2(t)。
2.3 卷积积分
知识点Z2.20
第二章连续系统的时域分析
卷积的多种求解方法
主要内容：
卷积的多种求解方法
基本要求：
熟练各种卷积求解方法
1
2.3 卷积积分
第二章连续系统的时域分析
Z2.20 卷积的多种求解方法
求解卷积的方法可归纳为：
(1)利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。
解法I（定义）：
f1(t) f2 (t)
e2 ( ) (t )d
t e2 d (t) 1 (1 e2t ) (t)
0
2
解法II（性质）：
f1(t) f2 (t) (t) * e2t (t) (t) *[e2t (t)](1)
[e2t (t)](1) t e2 ( )d 1 (1 e2t ) (t)
2
3
2.3 卷积积分
第二章连续系统的时域分析
解法III（图解）：
f1(t)
f2 (t)
t e2 d 1 (1 e2t )
0
2
0
t0 t0
解法IV（常用公式）：
f1 (t )

f2 (t)
(t) * e 2t
(t)
1 2

电路原理课件-卷积积分

3
7) t≥7时,
y(t ) 0
注意：积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定。
卷积积分在电路分析中的应用
例1、电路如图所示，uS=15e-0.25t(t)V。采用卷积计算uC。
解：以uC为响应，求单位阶跃响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
uCf 40 1 0.5V 40 40
t t
t t
t 0
d dt t t
卷积积分上下限分析
t
0
r t h t f t f t h t
卷积符合交换律
δ t f t δ f t dτ τ τ
k 0
f (t ) f a (t )
f ( k ) ( t k ) ( t ( k 1) )
k 0 n 1

k 0 n 1
k 0
n 1
(t k ) (t (k 1) ) f (k )
例2、电路如图，R=10，L=1H，激励uS的波形如图所示，求零状态响应i(t)。
解：以电流i 为响应，求单位阶跃响应为：
R t 1 g( t ) (1 e L ) ( t ) R 0.1(1 e 10 t ) ( t )
则单位冲激响应为：
dg( t ) h (t ) e 10 t ( t ) dt
40 40 RC 0.05 1s 40 40
uC ( t ) uCf (1 e ) ( t ) 0.5(1 e t ) ( t )V
t
单位阶跃响应为：
g(t ) 0.5(1 e t ) (t )

§2.7 卷积积分

称为 f
1
卷积积分，简称卷积卷积， (t) f2 (t) 的卷积积分，简称卷积，记为
f (t) = f1(t) ⊗ f2 (t)
或
f (t) = f1(t) ∗ f2 (t)
主要利用卷积来求解系统的零状态响应。主要利用卷积来求解系统的零状态响应。
二．卷积定义（Convolution）卷积定义（）
4.乘积的积分乘积的积分
∫
∞
−∞
f1(τ ). f2 (t −τ )dτ
四．对卷积积分的几点认识
(1)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建立了响应卷积是系统分析中的重要方法，卷积是系统分析中的重要方法
r(t)与激励e(t)之间的关系。之间的关系。
一般数学表示：一般数学表示：信号无起因时：信号无起因时：
1. 2.
f (t) = ∫ f1(τ ) (t −τ )dτ −∞ f1(t) → f1(τ ) 积分变量改为 τ
倒置
∞
－(τ- t)= t- τ 积分结果为t 的函数
f2 (t) → f2 (τ ) f2 (− ) → f2 (t −τ ) → τ
时延
3.相乘相乘
f1(τ ) ⋅ f2 (t −τ )
卷积积分中积分限的确定是非常关键的。卷积积分中积分限的确定是非常关键的。借助于阶跃函数 u (t) 确定积分限利用图解说明确定积分限用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图解法直观，尤其是函数式复杂时，用图形分段求出定积分限尤为延时t，对τ延时延时方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。方便准确，用解析式作容易出错，最好将两种方法结合起来。，
f1(τ ) f2 (t −τ ) ≠ 0

第二章(2)卷积积分

f 2 ( t )
•第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。
•第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面积，便是卷积在t时刻的值。
•第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号 f1(t)*f2(t)。
f 1 t
2
1
2 -1 0
f 2 t
t
0
1
2
t
16
练习题答案：
f 1 t f 2 t
2
f 1 t
2
2
-1
0
t
f 2 t
1
-1
0
1
t
0 1 2
t
思考：两个时限信号的卷积积分结果有何特点？从非零区间长度及形状考虑。
17
本节小结
1、卷积积分的解析法 2、卷积积分的图解法
3
4

(b )
o

f2 ( t － )
1
f1 ( ) f2 ( t － )
1
f1 ( )
t 0 (c ) t ＜ 0
3

0
t
3

(d ) 0＜ t ＜ 3
y (t ) 1 f1 ( ) f2 ( t － ) y (3)
0 (e ) t＞ 3
3
t
τ
0 (f )
3
t
例2 求下图所示函数 f1 (t ) f 2 ( t )的卷积积和 f 1 t f 2 t 分。 2
2
( ) 2 ( t ) d
6 e

《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算

将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系，因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的，对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1

计算卷积的方法.ppt

' t
dg ( t ) r ( t ) e ( t ) h ( t ) e ( t ) dt
de (t) *g(t) dt
e ( t ) e ( t ) u ( t )
de ( t ) d ( e ( t ) u ( t ))de ( t ) u ( t ) e ( t ) ( t ) dt dt dt
方法一:

h (t )
t
e( )
0

*
0
h(t ) 非零值下限是－卷积分下限是零 u( ) 非零值下限是 0
h(t ) 非零值上限是 t 卷积分上限是 t u( ) 非零值上限是
若两个函数的左边界分别为tl1,tl2,右边界分别为 tr1,tr2,积分的下限为max[tl1,tl2];积分的上限为min[tr1,tr2].

f f ( ) f ( t ) d 1 2 1 2 f
0 t-2 1
t
3 . if 1 t 2
1
b ab 2 ab 2 t a ( t ) d ( t ) 0 t 0 2 4 4
t
a t-2 0 t 1
ab (2 t 1 ) 4
2.各分段内卷积积分限的确定。
分解成单位阶跃分量之和
f (t1 )
f( t t ) 1 1 f ( 0)
t1
t1
u ( t ) g ( t ) DaHarma ln tegr
*.Duharmal integral
r(t) e(0 )g(t) e ( )g(t )d 0
1
b ab 2 1 f f a ( t ) d ( t ) 1 2 0 02 4

卷积积分及零状态响应的卷积计算法.

e
t T
t
e RC
ε(t)
➢卷积积分的图解
求f(t)与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数
f()h(t)在由0到t的区间内的定积分。根据定积分的几何意义，函数在0到t区间内的定积分值，决定于被积函数f()h(t)的曲线在该区间内与轴之间所限定的面
积。
设 f (t) ε(t)
h(t ) etε(t )
计算。
解：当 0<t <1 时
r(t ) te(t )ε(t )d 0 t e(t )d 1 et 0
当 t >1 时
r(t ) e1 (t )ε(t )d 0 1 e(t )d e(t1) et 0
注意：积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定，用作图的方法可方便地确定出积分上下限。
δt
f
t
t
0
δ
f
t
d
0δ f 0
t d
f
t
δt f t f t
f tδt f t
δt
t0
f
t
t
0
δ
t 0
f
t
d
δ t0
t0
t0
f
t
d
f t t0
例1 求卷积 [e tε(t)] ε(t)
解： [e tε(t)] ε(t) t e ε( )ε(t )d 0
t ed 0
h(t)
1
t
e RC ε(t )
RC
零状态响应电压为
t
uC (t)
u( )h(t ) d
0
t 0
u0e T
ε(
)
1 RC

§2.3,4卷积积分及其性质[优质PPT]

由时不变性： δ(t -τ)
h(t -τ)
由齐次性： f (τ)δ(t -τ)
f (τ) h(t -τ)
由叠加性：

f
( ) (t ) d

f
( )h(t
) d
‖
‖
f (t)
yzs(t)
¥
ò yzs (t) =
f (t )h(t - t ) d t 卷积积分
-?
第2-4页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
2.3 卷积积分
3 .卷积积分的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分
f(t) f1()f2(t)d
为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t)
第2-7页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统电子教案
2.3 卷积积分
二、卷积的图解法

f1(t)*f2(t) f1()f2(t)d 用图解法计算卷积积分步骤：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移：由f2(τ)反转→ f2(–τ)，然后右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =

第二章 (4)卷积积分的性质

解： f1 ( t ) f 2 ( t )
t
f1 ( ) f 2 ( t )d e ( ) ( t )d

e
0
d
1
f 2 ( t ) f1 ( t )

(1 e t ) ( t )
0
1
2
3

t
f 2 ( ) f1 ( t )d
( t )
( ) e e
0 ( t )
( t )d
(1 e t ) ( t )
d
1

分配律的应用
f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
f (t t1 t2 )
0
t2
t
0 t1
t
0
t 1+ t2
t
图 2.4-6
例2.4-2 计算下列卷积积分：
1 t 3 t 5
解：1 t 3 t 5
2 e

2 t
t 3 t 5
3 t 5d
f (t t1 ) (t t2 ) f (t t2 ) (t t1 ) f (t t1 t2 )
若f (t ) f1 (t ) f 2 (t )，则 f 1 ( t t1 ) f 2 ( t t 2 ) f 1 ( t t 2 ) f 2 ( t t1 ) f ( t t1 t 2 )
1 2t 2 e 1 e t 2 2

卷积积分的运算

§2.5 卷积积分的运算和图解
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
h( ) 翻转h( ) 平移th(( t)) h(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
例11：画出下列系统的模拟图
y(t) 5 y(t) 3 y(t) 3x(t) x(t)
例：引入辅助函数q(t)
q(t) 5q(t) 3q(t) x(t) 利用微分特性法 y(t) 3q(t) q(t)
q(t) x(t) 5q(t) 3q(t)
例12：根据系统的模拟图写出其微分方程模型
et
d
r t
d
et
rt
et
rt
et
T rt
rt de(t)
dt
t
r(t) e(t)dt
rt et rt et T
例10：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
a2 y(t) a1 y(t) a0 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a2 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a1 y(t) a0 y(t)
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(t )
b0 x(t )
a1
y(t)
a0
y(t )]
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(1) (t )
b0 x(2) (t ) a1 y(1) (t ) a0 y(2) (t )]
根据该式，可直接画出系统模拟图
y(t)

卷积的快速算法++教程文件

卷积的快速算法++教程⽂件《数字信号处理》课程设计报告专业：通信⼯程班级：通信08-2BF组次：第10组姓名：学号：14082300925⼀、设计⽬的卷积运算是⼀种有别于其他运算的新型运算，是信号处理中⼀种常⽤的⼯具。

随着信号与系统理论的研究的深⼊及计算机技术发展，卷积运算被⼴泛地运⽤到现代地震勘测，超声诊断，光学诊断，光学成像，系统辨识及其他诸多新处理领域中。

了解并灵活运卷积运算⽤去解决问题，提⾼理论知识⽔平和动⼿能⼒，才是学习卷积运算的真正⽬的。

通过这次课程设计，⼀⽅⾯加强对《数字信号处理》这门课程的理解和应⽤，另⼀⽅⾯体会到学校开这些⼤学课程的意义。

⼆、设计任务探寻⼀种运算量更少，算法步骤更简单的算法来实现卷积运算，⽂中主要通过阶梯函数卷积计算⽅法和斜体函数卷积计算⽅法对⽐来得出最终结论。

三、设计原理1，什么是卷积？卷积是数字信号处理中经常⽤到的运算。

其基本的表达式为：()()()∑=-=nm m n x m h n y 0换⽽⾔之，假设两个信号f 1(t)和f 2(t)，两者做卷积运算定义为 f(t)d 做⼀变量代换不难得出：f(t) d =f 1(t)*f 2(t)=f 2(t)*f 1(t)在教材上，我们知道⽤图解法很容易理解卷积运算的过程，在此不在赘述。

2，什么是阶梯函数所谓阶梯函数，即是可以⽤阶梯函数u(t) 和u(t-1)的线性组合来表⽰的函数，可以看做是⼀些矩形脉冲的集合，图1-1给除了两个阶梯函数的例⼦。

1—1其中f(t)=2u(t)+u(t-1)-2u（t-2）-u(t-3),h(t)= 2u(t)-u(t-1)+2u(t-2)-3u(t-3).以图1—1中两个阶梯函数为例介绍本⽂提出的阶梯函数卷积算法。

根据卷积的性质（⼜称为杜阿美尔积分），上述f(t)与h(t)的卷积等于f(t)的导数与h(t)的积分的卷积，即：f(t)*h(t)=*由于f(t)为阶梯函数，因此其导数也为冲击函数及其延时的线性组合，如图1—2（a）所⽰。

卷积运算地基本流程

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卷积积分的性质ppt课件

1
f1’(t) =δ (t) –δ (t –2)
0 2t
f 2 ( 1 ) ( t ) te ( ) d 0 t e d ( t ) e t 0 ( t ) ( 1 e t)( t )
f1(t)* f2(t)=(1- e–t)ε(t) – [1- e–(t-2)]ε(t-2)
O
t1 2
τ
R12(t)
2
阴影部分面积
-2
O t1 2
t
(b) 相关
▲
f1(τ)
1
O
2
τ
f2(τ) 2
O
2τ
■
第 12 页
实功率有限信号相关函数的定义
f1(t)与f2(t)是功率有限信号相关函数：
R 1(2)T l i m T 1 T 2 T 2f1(t)f2(t)dt
R 2(1)T l i m T 1 T 2 T 2f2(t)f1(t)dt
自相关函数：
例
R ()T l im T 1 T 2 T 2f(t)f(t)dt
■ 第 13 页
求周期 ft 余 E co 弦 1ts的信自号相
解：对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有
R TlimT1
T
2 T
2
f
t
f
t
dt
E 2
lim T T
T
2 T
cos1
t
cos1
3. 在f1(– ∞) = 0或f2(–1)(∞) = 0的前提下， f1(t)* f2(t) = f1’(t)* f2(–1)(t) 例1 例2
▲
■
第5页
卷积性质例1
f(t)h(t)
例1：f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t)

第二章卷积图解计算

卷积积分的图解计算
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
( ff1τt)) 1(
() ff22(τt)
1 1 2 2
步骤
∞
将f2 (τ )反得f2 (− ) 折 τ
f2 (−τ)
1 2
1 1
0 0
1 1
t
f1(τ )
0 τ 0
1 1
2 2
1Байду номын сангаас
0
1 +t −3
−1+ t
τ
−1+ t
f2 (t −τ )
1 2
0
τ
平移
第二章第1讲
1
例
1
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
当 −1+ t < 0 即 t < 1 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 1 2 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0 t 0 1 2 3
1 1 1× dτ = (4 − t) −3+t 2 2
1
即为重叠部分的面积。当 −3+t ≥1 即 t ≥ 4 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分，故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0
第二章第1讲 3
f 2 (t −τ ) f1(τ)
4
f (t)
∞
f 2 (t −τ ) f1(τ)
1
−3 + t −1+ t 0
1

卷积积分及其性质演示文稿

注意：t为参变量。
第八页，共28页。
2.3 卷积积分
例：f (t) ,h(t) 如图，求yzs(t)= f (t) * h(t) 。 h(－τ)
解：采用图解法卷积。
h (τ t )
1 2
f(t)函数形式复杂换元为f(τ)。
h(t)换元
h(τ)反折
h (τ)
h (-τ)平移t
h(t－τ)
h ( t -τ)
t
e
t
2 e2t e3t et
et
第六页，共28页。
2.3 卷积积分
用定义法计算卷积积分步骤：
f1(t)*f2(t) f1()f2(t)d
（1）换元： f1(t) → f1(τ)， f2(t) → f2(t－τ) （2）视情况变积分限： f1(τ) f2(t-τ) 中是否含有ε(τ
ò yzs (t) =
t t ?1 d t
t
0
t
?1
2
d
t
t-1 2
1 t2 1 t4- 1
24
0 t t- 11 t t - 1 2 3τ
yzs (t )
ò yzs (t) =
⑤ 3≤t 时
2 t ?1 d t t-1 2
-1 t2 + 1 t + 3 4 24
3 4 1 4
h ( t -τ) f(τ) = 0，故 yzs(t) = 0
第十八页，共28页。
例2:
图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应
如波图形h。(bt )h所1 示t ,。h2求t复合系统的冲激响应
，并画出它的
f (t) h(t)
f t
h1t
h1t

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应用 f(t)
2
h(t)
1
h(t- )
1
45
13
-3 -1
2.将两函数的时限值两两相加,得出定义域
f()
4
f()
1+4=5; 1+5=6; 3+4=7;
3.确定积分限
t 1
5
0
4
4
3+5=8
1
5
t 3
4 t 1
0
5
6
7
8
第2章连续时间系统的时域分析
2.利用微积分性质
x1 (t )
x2
(t)
x ( 2 ) 1
(t)
x(m) 2
(t)
x(m) 1
(t)
x(m) 2
(t)
运用卷积的微积分性质，可以使卷积的运算大大简化 3、任意函数与冲激函数的卷积：
x(t) (t) x(t)
x(t) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t0 ) (t t1) x(t t0 t1)
4、经验公式：
x1(t t0 ) x2 (t t1) x1(t) x2 (t) ttt0 t1
(t
)
推广到一般：x(n) (t)
x(n) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x2(n) (t)
第2章连续时间系统的时域分析
C、微积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(t)
x ( 1) 1
(t)
x (1) 2
(t)
x (1) 1
(t)
x ( 1) 2
(t)
推广到一般：x(t)
x(m) 1
第2章连续时间系统的时域分析
第2章连续时间系统的时域分析
第2章连续时间系统的时域分析
§2.6 卷积积分的性质
1、卷积的代数运算：
A、交换律：x1(t) x2 (t) x2 (t) x1(t) y(t) x(t) h(t) h(t) x(t)
B、结合律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] [x1(t) x2 (t)] x3 (t)
第2章连续时间系统的时域分析
*计算卷积的方法
1.用图解法计算卷积
2.利用性质计算卷积
分段时限
3.用函数式计算卷积
4.数值解法
卷积积分限
第2章连续时间系统的时域分析
例8：已知 x1(t) 和 x2 (t) 的波形如图所示，试求 x1(t) x2 (t)
1.图解法：
x1 (t )
1
x2 (t )
对于级联系统：
x(t) h1(t) h2 (t) y(t)
y(t) [x(t) h1(t)] h2 (t) x(t) [h1(t) h2 (t)] [x(t) h2 (t)] h1(t) x(t) h(t)
第2章连续时间系统的时域分析
结论:(1）级联系统的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应的卷积（2）级联系统的单位冲激响应与子系统的联接顺序无关。
x(1) (t)
x(1) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x(1) 2
(t
)
推广到一般：x(n) (t) x1(n) (t) x2 (t) x1(t) x2(n) (t)
B、积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(1) (t)
x1(1) (t)
x2 (t)
x1(t)
x ( 1) 2
1 t2u(t) 3 (t 1)2u(t 1) 3 (t 2)2u(t 2) 1 (t 3)2u(t 3)
22
2
2
第2章连续时间系统的时域分析
(t)
x(2) 2
(t)
x1(t) u(t) u(t 1)
x ( 1) 1
(t
)
tu(t
)
(t
1)u
(t
1)
x(2) 1
(t)
1 2
t 2u(t)
1 2
(t
1)2 u(t
1)
x2 (t) t[u(t) u(t 1)] (2 t)[u(t 1) u(t 2)]
x1 (t )
1
x2 (t )
第2章连续时间系统的时域分析
§2.5 卷积积分的运算和图解
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
h( ) 翻转h( ) 平移th(( t)) h(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
1
x1(t )
1
x1 (t )
其
它
1 t 2 0 t 11 t 2
0
1t 2
1 t 12 t 3
第2章连续时间系统的时域分析
总结：两有限长函数卷积的定义域（l1,ml) (l2,m2)
,(l1 l2), (l1 m2), (l2 m1), (m1 m2),
1
0
1
t
0
1 2t
x1 ( )
1
-1 0
第2章连续时间系统的时域分析
x1(t) x2 (t)
1 x1(t )
t
d
0
1 2
t 2 0
t
1
0 t 1
0
1 2
1
d
t
(
2)d

t 2
3t
2
1
t
2
t1
1
3
2
(
2)d
1 t 2 3t 9 2 t 3
t1
2
2
0
1
0
1
t
0
1 2t
第2章连续时间系统的时域分析
x(1) 2
(t
)
u(t
)
2u(t
1)
u(t
2)
x(2) 2
(t
)
(t
)
2
(t
1)
(t
2)
x1(t)
x2
(t)
x(2)
1
(t)
x(2) 2
(t
)
[1 t2u(t) 1 (t 1)2u(t 1)][ (t) 2 (t 1) (t 2)]
22
第2章连续时间系统的时域分析
结论:并联系统的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应的和 2、卷积的微积分性质
对于任意函数x(t)，用 x(1) (t)表示其一阶导数，用x(n) (t) 表示其n阶导数，用x(1) (t)表示其一次积分，用x(m) (t)
表示其m次积分
A、微分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
C、分配律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] x1(t) x2 (t) x1(t) x3(t)
对于并联系统：
h1(t)
x(t)
y(t)
h2 (t)
y(t) x(t) h1(t) x(t) h2 (t)
x(t) [h1(t) h2 (t)]
x(t) h(t)
第2章连续时间系统的时域分析
例6 计算系统的零状态响应y(t) f (t) h(t)，
已知：f (t) u(t),h(t) etu(t)
f (t) f ( )
h(t) h( )
t
h( )
t
f ( )h(t )
t
f (t) * h(t) t e(t )d 1 et 0
t0