4-6卷积积分及零状态响应的卷积计算法

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卷积积分及零状态响应的卷积计算法.

t
e RC
RCT
T RC t
e RCT 0
RC T RC
(t 0)
u0T T RC
e
t T
t
e RC
ε(t)
➢卷积积分的图解
求f(t)与h(t)的卷积，实质上是求一个新函数
f()h(t)在由0到t的区间内的定积分。根据定积分的几何意义，函数在0到t区间内的定积分值，决定于被积函数f()h(t)的曲线在该区间内与轴之间所限定的面
§4-6 卷积积分及零状态响应的卷积计算法
➢ 卷积积分的推导
激励函数的近似表示
f (t) fa (t) f (0)ε(t) ε(t )
f ( )ε(t ) ε(t 2 )
f (2 )ε(t 2 ) ε(t 3 )
f (n 1) ε(t (n 1) ) ε(t n )
解： [e tε(t)] ε(t) t e ε( )ε(t )d 0
t ed 0
1 e t
0
(t 0)
(t 0)
1 1 e t ε(t)
例2 设图示RC串联电路中电压源的电压
t
u(t) u0e T ε(t)
求零状态响应电压uC(t)。
解：用卷积积分公式求uC(t)，应先求冲激响应
如按
t
r(t) h( ) f (t ) d h(t) f (t)
0
当 0<t <1 时
计算。
r(t ) te ε( )d t e d 1 et
0
0
当 t >1时
r(t ) t e ε( )d t 1
t e d e(t1) et t 1 返回
注意ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分上、下限

信号与系统题库(完整版)

信号与系统题目部分，(卷面共有200题,0.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(7小题,共0.0分)[1]题图中，若h '（0）=1，且该系统为稳定的因果系统，则该系统的冲激响应()h t 为。

A 、231()(3)()5tt h t e e t ε-=+- B 、32()()()tt h t e e t ε--=+C 、3232()()55tt e t e t εε--+D 、3232()()55tt e t e t εε--+-[2]已知信号x[n]如下图所示，则x[n]的偶分量[]e x n 是。

[3]波形如图示，通过一截止角频率为50rad sπ，通带内传输值为1，相移为零的理想低通滤波器，则输出的频率分量为（） A 、012cos 20cos 40C C t C t ππ++ B 、012sin 20sin 40C C t C t ππ++ C 、01cos 20C C t π+ D 、01sin 20C C t π+[4]已知周期性冲激序列()()T k t t kT δδ+∞=-∞=-∑的傅里叶变换为()δωΩΩ，其中2TπΩ=；又知111()2(),()()2T T f t t f t f t f t δ⎛⎫==++⎪⎝⎭；则()f t 的傅里叶变换为________。

A 、2()δωΩΩ B 、24()δωΩΩ C 、2()δωΩΩ D 、22()δωΩΩ[5]某线性时不变离散时间系统的单位函数响应为()3(1)2()kkh k k k εε-=--+，则该系统是________系统。

A 、因果稳定B 、因果不稳定C 、非因果稳定D 、非因果不稳定 [6]一线性系统的零输入响应为（23kk --+）u(k), 零状态响应为(1)2()k k u k -+,则该系统的阶数A 、肯定是二阶B 、肯定是三阶C 、至少是二阶D 、至少是三阶 [7]已知某系统的冲激响应如图所示则当系统的阶跃响应为。

2.求零状态响应

d v(t ) 1 t C v(t ) v ( )d i S ( t ) dt R L 2
二、微分方程的求解
1. 微分方程的一般形式
d r (t ) d r (t ) dr ( t ) C0 C C C r ( t ) 1 n 1 n n n 1 dt dt dt m m 1 d e( t ) d e( t ) de( t ) E0 E1 m 1 E m 1 E m e( t ) m dt dt dt
2. 特解的形式由激励信号决定，特解的系数 Bi 由系统本身特性和激励信号共同决定。特解也称系统的强迫响应分量。
§2.3 起始点的跳变 —— 从0-到0+状态转变
一、运用电路定律二、运用冲激函数匹配法
§2.3 起始点的跳变 —— 从0-到0+状态转变
完全解中的齐次解的系数Ai 是由初始条件确定的。而初始条件应如何求得是本节要讨论的问题。
Be a t B1 cos( t ) B2 sin( t )
( B1 t p B p t B p 1 )e a t cos( t ) ( D1 t p D p t D p 1 )e a t sin( t )
例 2-4 给定系统方程如下
d r (t ) dr ( t ) de( t ) 2 3r ( t ) e( t ) 2 dt dt dt
4. 完全解：
uC 2 ( t ) rh ( t ) rp ( t ) 3 21 t 6 t A1e A2e sin 2t cos 2t 50 50
uC 1 (0) 0, uC 2 (0) 0
因为电容两端初始电压为零，
又由
uC 1

电路原理课件-卷积积分

3
7) t≥7时,
y(t ) 0
注意：积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定。
卷积积分在电路分析中的应用
例1、电路如图所示，uS=15e-0.25t(t)V。采用卷积计算uC。
解：以uC为响应，求单位阶跃响应
uC (0 ) uC (0 ) 0
uCf 40 1 0.5V 40 40
t t
t t
t 0
d dt t t
卷积积分上下限分析
t
0
r t h t f t f t h t
卷积符合交换律
δ t f t δ f t dτ τ τ
k 0
f (t ) f a (t )
f ( k ) ( t k ) ( t ( k 1) )
k 0 n 1

k 0 n 1
k 0
n 1
(t k ) (t (k 1) ) f (k )
例2、电路如图，R=10，L=1H，激励uS的波形如图所示，求零状态响应i(t)。
解：以电流i 为响应，求单位阶跃响应为：
R t 1 g( t ) (1 e L ) ( t ) R 0.1(1 e 10 t ) ( t )
则单位冲激响应为：
dg( t ) h (t ) e 10 t ( t ) dt
40 40 RC 0.05 1s 40 40
uC ( t ) uCf (1 e ) ( t ) 0.5(1 e t ) ( t )V
t
单位阶跃响应为：
g(t ) 0.5(1 e t ) (t )

第八章·电路系统对任意激励的零状态响应-卷积积分

f2 (t) f1(t)
2.分配律：
f1(t) [ f2 (t) f3 (t)] f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t)
3.结合律：
[ f1(t) f2 (t)] f3 (t) f1(t) [ f2 (t) f3 (t)]
证明：

[ f1(t) f2 (t)] f3(t)
观察这个输入作用引起响应的瞬间。因为时刻作用的信号，
到t时刻才观察到输出，这之间时间差值即为
可以t 理解电路对输入作用的记忆时间。
t 。即0
因为 t 不能为负，所以积分上限只能取到t，而不能到∞。
其实电路上的这种卷积积分只不过是数学上卷积的特例，并
赋予物理意义。
2. 利用卷积积分求电路系统零状态响应的方法：方法步骤: （1）求出系统的冲击响应h(t) （2）代公式进行卷积积分，或利用卷积性质，求得yzs(t)
k
n
当 ( 0)时， d, k d , 求和积分
任意信号： f (t) f ( ) (t )d
任意信号产生的零状态响应：

yzs (t)
f ( )h(t )d

因为对于一切物理可实现系统（因果系统），t<0时，
(b)
f (t) h(t)
t
1 2
1
1 2
(t

)d
t2 4
t 1 4 16
(c)
f (t) h(t)
1
11 2
1 (t 2
)d

3t 4
3 16
(d)
f (t) h(t) 1 1 1 (t )d t 2 t 3

卷积的几种计算方法以及程序实现FFT算法

e ( t 1) )u(t 2)
Made by 霏烟似雨
数字信号处理
ht 1
e

t 2
u (t ) u (t 2)
e t 1
e t u (t )
O
t
波形
O
2
t
2. 今有一输油管道，长 12 米，请用数字信号处理的方法探测管道内部的损伤，管道的损伤可能为焊缝，腐蚀。叙述你的探测原理，方法与结果。（不是很清楚）探测原理：因为输油管道不是很长，可以考虑设计滤波器器通过信号测量来测试管道的损伤，当有焊缝时，所接受的信号会有所损失，当管道式腐蚀时，由于管壁变得不再是平滑的时候，信号的频率就会有所改变。
rk r ( k N / 2)
，则后半段的 DFT 值表达式：
X 1[
N N / 2 1 N / 2 1 r ( k ) N N rk k ] x1[r ]WN / 22 x1[r ]WN ， k ] X 2 [k ] （ k=0,1, … ,N/2-1 ） / 2 X 1[ k ] ，同样， X 2 [ 2 2 r 0 r 0
d it L Ri t et dt

t
t 2
u(t ) u(
i(t )
L 1H
2) 冲激响应为 h(t ) e u(t ) 3)
i(t ) e( ) h(t ) d

程序： function test x = rand(1 , 2 .^ 13) ; tic X1 = fft(x) ; toc tic X2 = dit2(x) ; toc tic X3 = dif2(x) ; toc tic X4 = real_fft(x) ; toc max(abs(X1 - X2)) max(abs(X1 - X3)) max(abs(X1 - X4)) return ; function X = dit2(x) N = length(x) ; if N == 1 X=x; else X1 = dit2(x(1:2:(N-1))) ; X2 = dit2(x(2:2:N)) ; W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:(N/2-1))) ; X = [X1 + W .* X2 , X1 - W .* X2] ; end return ;

离散时间系统的零状态响应

系统串连与子系统次序无关3分配率系统并联等效12卷积和的上下限ab上下限之和r1a1r1如果mna如果特征方程没有重根则
离散时间系统的零状态响应
重点：零输入响应；卷积和; 因果和稳定性
1）经典法:分通解和特解两部分分别求解。 2）时域卷积和法:类似与连续时间系统中的卷积积分方法。 3）变换域法:Z.T. ，类似于L.T.
充分条件
n
h(k )
例4：h(k ) 14 (k ) (2k 1 12 5k 1 ) (k 1)
此系统为不稳定系统
七离散系统的全响应例4：已知一离散因果系统
y(k 2) 0.7 y(k 1) 0.1 y(k ) 7e(k 2) 2e(k 1)
r(0) =0
r(1) =A
r(1)= r(0)+ A(0)
r(k+1) - r(k)= 0 k>=1
r(k+1) = r(k)
k>=1
1 若H ( S ) ( S )2
h(k ) (k 1) k 2 (k 1)
bm S bm1S bm2 S ... b1S b0 H (S ) n n 1 n2 S an1S an2 S ... a1S a0
离散系统的描述与模拟
S y(k ) y(k 1)
e (t)
1/S
x ( n)
D
x(n 1)
∑ -a
e (k)

y(t) y'(t)＋ay(t)＝e(t)
∑ -a
D
y(k)
y(k+1)＋ay(k)＝e(k)
一、离散信号的时域分解
(k )

讨论课卷积、系统响应

t2 1
t <0 f2(t-) 左移
t 从到 , 对应f 2 t 从左向右移动
t
浮动坐标：
下限 t- 2
上限 t
f 2 t
f1
0
1
t 0
f 2 t
f1
第 8 页
a
t
O

t2
1
t0
两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0
第一部分、卷积计算
第 3 页
e( t )
h( t )
r (t )
如何求解系统零状态响应信号 r ( t ) ？
第
例1
已知：
4 页
f 1 t a, 0 t 1
求：
f1 t 1 t
b f 2 t t , 0 t 2 2
f2 t
f 1 t f 2 t f 3 t
g(t ) f1 ( ) f 2 ( t ) d
0 t
1 t 2
f 2 t
a f1
第 10 页

t2
O
1 t
t 2 0 t 1
即1 t 2
1
g(t ) f1 ( ) f 2 ( t ) d
0
2t3
第 16 页
[ f1 f 2 t u( )u( t ) f1 f 2 t u( )u( t 2)

f1 f 2 t u( 1)u( t ) f1 f 2 t u( 1)u( t 2)]d
[ f1 f 2 t u( )u( t ) f1 f 2 t u( )u( t 2)

信号第二章3卷积

若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]

e( ) H [ (t )]d

e( )h(t )d

零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt

r (t ) e( )h(t )d

1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)

离散系统的零状态响应

k
对比 : g (t ) h( )d

t
2. 已知g (k )求h(k ) :
(k ) (k ) (k 1) h(k ) g (k ) g (k 1)
X
例题（书P127例5－9）(自学，不要求)
求离散系统 y k 4 y k 1 3 y k 2 2 k y 1 1, y( 2) 1 的单位响应 (其中k 0)
(k ) (k j ) (k ) (k 1) (k j )

第 7 页
由于 (k ) h(k )根据LTI性质
g ( k ) h( k j )
j 0 i
j 0
i
(i)
k
h(i)
单位序列响应的初值h1 (0),1h1 (1), h(2)可由下式递推得到
h1 (k ) (k ) a1h1 (k 1) an 1h1 (k n 1) anh1 (k n)
h(k ) b0 h1 (k ) b1h1 (k－1) bm 1h (k m 1) bmh1 (k m)
ik 6 4
k i 0
i
k-6
k 0
y (k ) 0
k i a
3.k 4
k-6 k
k 6 0
k
4.k 6 0 k 6 4
4
i0
k-6
5.k 6 4即 : k 10
k-6
k
y(k) 0
X
1.k 0, y (k ) 0
2.0 k 4 y (k ) a
设系统激励仅在是δ(k) →h1(k),此时系统差分方程变为:

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1 ∴iC (0) = δ (t ) A 2
1 + u C (0 + ) = ∫ 0 0.5δ (t )dtV = 10 V 0.05 1 τ = RC = 20 × 0.05S = 1S u(0+ ) = uC (0+ ) = 5 V
2 h (t ) = uδ (t ) = [5δ (t ) + 5e t ε (t ) ]V
t
t
t
当 0<t <1S 时
rzS (t) = ∫ e ε (τ )dτ = ∫ e dτ = 1 e
0 0
t
τ
t
τ
t
当 t >1S 时
面积 = rzS (t )
rzS (t) = ∫ e ε(τ )dτ = ∫ eτ dτ = e(t1) et
t1 t1
t
τ
t
分时间段表示当 0<t <1S 时当 t >1S 时
dτ
t
= e
1
α
ατ 0+
=
1
α
(1 e
αt
)ε ( t )
设图示RC串联电路中电压源的电压例2 设图示串联电路中电压源的电压
u (t ) = u 0
t e T ε (t )
零状态响应电压u . 求零状态响应电压 C(t). 用卷积积分公式求u 解用卷积积分公式求 CzS(t),应先求冲激响应 ,
∑ f ( kτ ) τ h (t kτ )
k =0 t
n 1
用 ∞ 多个强度不同 , 依次连续出现的冲击函数分别单独作用产生的 rzS 之和来代替 f ( t )产生的 rzS
rzS ( t ) =
∫
0
f (τ )h ( t τ ) d τ
五,卷积积分几何解释的卷积, 求f(t)与h(t)的卷积,实质上是求一个新函数与的卷积的区间内的定积分. f(τ)h(tτ)在τ 由0到t的区间内的定积分.根据在到的区间内的定积分定积分的几何意义,函数在0到区间内的定定积分的几何意义,函数在到t区间内的定积分值,决定于被积函数f( 积分值,决定于被积函数 τ)h(tτ)的曲线在的曲线在轴之间所限定的面积. 该区间内与τ 轴之间所限定的面积. 设
f (t) = ε (t)
f(t)
h(t ) = e ε (t )
rzS (t ) = f (t ) h(t ) = ∫ f (τ )h(t τ ) dτ
0 t
t
t h(t)
rzS (t) = h(t) f (t) = ∫ h(τ ) f (t τ ) dτ
0
t
t
rzS (t) = f (t) h(t) = ∫ f (τ )h(t τ ) dτ
注意卷积计算法只用于求r 卷积计算法只用于求 zS(t) 首先要求h(t) 首先要求
求零状态响应u(t) 例4 iS(t)的波形如图所示求零状态响应的波形如图所示,求零状态响应
δ (t) A iS (t )
iC (t) + uC(t) -
∵uC (0 ) = 0 解先求冲激响应 1 u ( 0 ) = δ ( t ) × 10 = 5δ ( t )V 2 0
1 uC ( 0 + ) = C 1 1 δ (t )dt = R RC
∫
0+ 0
1 h (t ) = e RC
t RC ε (t )
零状态响应电压为
u C (t ) =
∫ = ∫u e
0 t
0 0
t
u (τ ) h ( t τ ) d τ
τ
T
1 ε (τ ) e RC
t τ RC
ε (t τ ) dτ
n 1
fa(t) 第K+1个个
3 1 2 n t
1
f (t ) ≈ f a (t ) = ∑ f ( kτ )[ε (t kτ ) ε (t ( k + 1) τ )] ε (t kτ ) ε (t (k + 1)τ ) = ∑ f (kτ ) τ τ k =0
k =0 n 1
解2 按rzS (t ) = h(t ) f (t ) = ∫ h(τ ) f (t τ ) dτ 计算
f (τ )
0
t
h (τ )
f (τ )
1
τ
τ
-1
0
τ
当 0<t <1S 时
面积 = rzS (t )
rzS (t) = ∫ e ε (τ )dτ = ∫ e dτ = 1 e
τ τ 0 0
§4-6卷积积分及零状态响应的卷积积分及零状态响应的卷积计算法 Convolution integral
一卷积积分的导出
用n个矩形脉冲来近个矩形脉冲来近似代替连续函数f(t) 似代替连续函数用冲击函数来近似代替矩形脉冲用n个冲击函数分别个冲击函数分别单独作用产生的r 单独作用产生的 zS(t) 之和来近似代替f(t) 之和来近似代替产生的r 产生的 zS(t)
用∞多个强度不同 , 依次连续出现的冲击函数之和来代替连续函数 f (t )
用 n 个强度不同 , 断续出现的冲击函数分别单独作用产生的 rzS 之和来近似代替 f ( t ) 产生的 rzS
∑
n 1
→
∫
t 0
dt
f (t ) = ∫ f (τ )δ (t τ )dτ
0
t
≈→=
rzS ( t ) ≈
t t t ( t 1)
∫ e dτ = e (e e) = (1 e )ε (t 1) t (t1) ∴rzS (t) = (1 e )ε (t) (1 e )ε (t 1) ∫e
1 t t 1
( t τ )
dτ = e
τ
积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定. 积分上下限应由被积函数存在的时域范围的上下限确定. 用作图的方法可方便地确定出积分上下限. 用作图的方法可方便地确定出积分上下限.
u C (t ) =
∫
t
0
u (τ ) h ( t τ ) d τ
0
=
∫u
0teτ源自T1 ε (τ ) e RC
t RC
t τ RC
ε (t τ ) dτ
u0 = e RC
u0 e = RC
∫e
0+
t
T RC τ RCT
dτ
t
t RC
1 T RC RCT
e
T RC τ RCT
0+
t t u 0T T = e e RC T RC
k =0 =0
n 1
NzS →
∑
n 1
f (kτ )τ h (t kτ )
k =0
≈ f (t )
n 1 k =0 n 1
≈ rzS (t )
f (t ) ≈ ∑ f ( kτ ) τδ (t kτ )
3
rzS ( t ) ≈
∑
f (k τ ) τ h (t k τ )
k =0
f (t ) ≈ ∑ f ( kτ ) τδ (t kτ )
≈ ∑ f ( kτ ) τδ (t kτ )
k =0
n 1
δ (t ) → NzS → h(t)
δ (t Kτ ) → NzS → h(t kτ )
f ( kτ ) τδ ( t kτ ) → NzS → f ( k τ ) τh ( t k τ )
∑ f (kτ )τδ (t kτ ) →
∵δ (t ) f (t ) = ∫ δ (τ ) f (t τ )dτ = f (t )∫ δ (τ )dτ = f (t )
t t
δ (t ) f (t ) = f (t ) δ (t ) = f (t )
δ (t t0 ) f (t ) = ∫ δ (τ t 0 ) f (t τ ) dτ
0
t
rzS (t) = ∫ [ε (τ ) ε (τ 1)]e(tτ )ε (t τ )dτ
t 0 t
= ∫ ε (τ )e
0 t
(t τ )
ε (t τ )dτ ∫ ε (τ 1)e
0 t 1
t
(t τ )
ε (t τ )dτ
=∫ e
0
(t τ )
dτ ∫ e(tτ )dτ
rzS (t) = ∫ [ε (τ ) ε (τ 1)]e(tτ )ε (t τ )dτ
0
t
f(t)
h(t)
t
t
将h (τ )取纵轴的镜象对称
把h( τ )向右平移到t
t 0
作f (τ )h(t τ )曲线
求面积
褶迭
Convolution
面积 = ∫ f (τ )h(t τ ) dτ = rzS (t )
如按式 rzS ( t ) = h ( t ) f ( t ) =
∫ h (τ ) f ( t τ ) d τ计算
t 0 t 0
0
0
= f (t t0 )∫ δ (τ t 0 )dτ = f (t t0 )
三卷积积分的计算举例例1 求卷积 [e 解
α t
α t
ε (t )] ε (t )
t ατ 0
[e ε (t)] ε (t) = ∫ e ε (τ )ε (t τ )dτ
=∫ e
0+ t ατ
∫ (t ) = ∫
f (τ )δ ( t τ ) d τ
f (τ )h ( t τ ) d τ
= f (t) δ (t)
=
f (t ) h (t )
记为