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7.3 卷积与卷积定理

7.3 卷积与卷积定理


则
L f1 f2 (t) F1(s)F2(s),
或
例5: 设
f
(t )
(s2
1 4s
13)2
,
求 f (t).
解 运由行位下移面性质的MATLAB语句.
>>
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s1yms t
s2
s3
4s
设13F(s)
1
3
L [f((st)],2)则2
32
e2t
sin
3t.
>> F=1/(s^2+4*s+13)^2;f=ilaplace(F)
0
0
et (et 1) 1 et .
例2：求 t sin t
解：t sin t
t
sin(t )d t sin t.
0
二 、 拉氏变换的卷积定理
若 f1(t) F1(s), f2(t) F2(s), 则 f1(t) f2(t) F1(s)F2(s)
1 F1(s)F2(s) f1(t) f2(t)
注：这里的卷积定义和 Fourier 变换中给出的卷积定义 是一致的。今后如不特别声明，都假定函数在 t 0 时恒
为零。它们的卷积都按上式计算。
例1: 设函数 f1 t 1, f2(t) et , 求卷积 f1(t) f2 (t).
解:
f1(t) f2(t)
t 0
f1
f2
t
d
t1e(t )d et t e d
如果
F1(s) L [ f1(t)], F2(s) L [ f2(t)],
例4: 求
1
(
s
2
s2
1)2
卷积定理和相关定理.ppt

卷积定理和相关定理.ppt


|
f
(t)
|2dt
ii)能量信号E ，例 f (t) EG (t)
②功率与功率信号
i)功率P lim 1
T T
T
2 T
2
f (t) 2 dt
ii) 功率信号 P ，例f (t) sin t, f (t) sin tu(t)
③既非功率又非能量：例如 f (t) et2
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
3．利用频域卷积定理求傅立叶变换
[例1]：f
(t
)
G2
(t)
cos(
2
t)的傅立叶变换
解：ℱ[
f
(t)]
1
2
ℱ[cos
2
t]
ℱ[G2
(t)]
1 [ ( ) ( )] 2Sa()
2
2
2
sa( ) sa( )
2
2
哈尔滨工业大学自动化测试与控制系
信号与系统—signals and systems
R21( ) f1(t ) f2 (t)dt f1(t) f2 (t )dt
iii) 性质：R12 ( ) R21( ), R12 ( ) R21( )
iv) 若 f1(t) f2 (t) f (t) 定义自相关函数：
f1(t) f2 (t)
f1
(
)
f
2
(t
)d
e
jt
dt
f1
(
)
f
2
(t
)e
jt
dt
d
时移特性
Байду номын сангаас
f1( )F2 ()e j d
F2 ()
f1( )e j d
卷积 - PowerPoint Presentation 共13页

卷积 - PowerPoint Presentation 共13页


xnhn
m
系 统xn对 的 响 每 应一 样 值 产和 生， 的在 响
处 由 xm加 权 。
卷积和的公式表明：
h n将输入输 即 出 零 联 状 系 xn 态 h 起 n。 响 来
二．离散卷积的性质
1．交换律
x (n ) h (n ) h (n ) x (n )
§7.6 卷积（卷积和）
•卷积和定义 •离散卷积的性质 •卷积计算
一．卷积和定义
任意x序 n表 列示 n为 的加权移位:之线性
x n x 1 n 1 x 0 n x 1 n 1 x m n m
求： ynx1(n)x2(n)
使用对位相乘求和法求卷积 步骤： 两序列右对齐→ 逐个样值对应相乘但不进位→ 同列乘积值相加（注意n=0的点）
x1n : x2n :
4 321
n0
3 21
n0
4321
86 4 2

129 6 3
yn : 12 1716104 1 n0
从图中可见求和上限n,下限0
y(n)mn0mu(n)

1n1 1
un
当n时
yn 1
1
x(n)
波形
o 123
n
h n
1
o 123 n
hn m
a m um


o 123
m
n0
hn m

a m um
o 123
m
n 1
y(n)u(n)m n 0m11 n1un 1
1

1
yn

当 n时y， n11
o 1234
《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算

《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算


将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1
计算卷积的方法.ppt

计算卷积的方法.ppt

' t
dg ( t ) r ( t ) e ( t ) h ( t ) e ( t ) dt
de (t) *g(t) dt
e ( t ) e ( t ) u ( t )
de ( t ) d ( e ( t ) u ( t ))de ( t ) u ( t ) e ( t ) ( t ) dt dt dt
方法一:

h (t )
t
e( )
0


*
0
h(t ) 非零值下限是－ 卷积分下限是零 u( ) 非零值下限是 0
h(t ) 非零值上限是 t 卷积分上限是 t u( ) 非零值上限是
若两个函数的左边界分别为tl1,tl2,右边界分别为 tr1,tr2,积分的 下限为max[tl1,tl2];积分的上限为min[tr1,tr2].


f f ( ) f ( t ) d 1 2 1 2 f
0 t-2 1
t
3 . if 1 t 2
1
b ab 2 ab 2 t a ( t ) d ( t ) 0 t 0 2 4 4
t
a t-2 0 t 1
ab (2 t 1 ) 4
2.各分段内卷积积分限的确定 。
分解成单位阶跃分量之和
f (t1 )
f( t t ) 1 1 f ( 0)
t1
t1
u ( t ) g ( t ) DaHarma ln tegr
*.Duharmal integral
r(t) e(0 )g(t) e ( )g(t )d 0
1
b ab 2 1 f f a ( t ) d ( t ) 1 2 0 02 4
卷积积分及其性质 ppt课件

卷积积分及其性质 ppt课件



d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)

t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t

f (t0)

'(t) f (t) d t f '(0)


PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t


f

(t0 )
16
第2-16页
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
卷积

卷积


1, 0 k N 1 RN (k ) , 计算y[k ] RN (k ) RN (k ) 0, otherwise
h[n] RN [n]
1
x[n] RN [n]
1
…
0
n

…
( N 1)
0
n
N 1
y[k ] x[k ] h[k ]
n
1
0
x( )h(t )d
1.d 2T t
t T
t
1
当 t 2T 时，
y(t ) 0
注意:卷积结果y(t)的时间
T
x( )

T 0 h(t )
1
0
起点等于原两个信号的起点
之和;卷积结果y(t)的时间 终点等于原两个信号的时间 终点之和.
t T
t
x(0) h(0) x[0]h[0] h(1) x[0]h[1]
h(2) x[0]h[2]
x(1) x[1]h[0]
x[1]h[1] x[1]h[2] x[1]h[3]
x(2) x(3) x[2]h[0] x[3]h[0]
x[2]h[1] x[2]h[2] x[2]h[3] x[3]h[1] x[3]h[2] x[3]h[3]

例3:计算 u(t ) u(t )
y1 (t ) u (t ) * u (t ) u ( )u (t )d
t 0 1d , t 0 r (t ) u (t ) ,t 0 0
Note : u(t ) u(t ) tu(t )

h( )
1
h(t )
1
T
0
第五章 图像卷积PPT课件

第五章 图像卷积PPT课件


结合律
f (g h) ( f g) h
§5.2卷积运算的性质
■平滑性质 是指两个函数卷积的结果使得每个函数的精细结构都 会被平滑，一些尖峰和峡谷都趋于圆滑；
■扩散性质 指的是卷积结果的区间扩大性：两个只在有限区间有 定义的函数之卷积，卷积结果的区间线度等于两个函数区 间线度之和。若结果表示光能量分布的话，分布范围的增 加就意味着能量分布的扩散。
f (u, v)g(x u, y v)dudv
§5.1.1.5卷积定理的特例—相关定理
相关用 f (x）○ 表示，定义如下:
f
(x）g○(x)g(x)
f
(a)g(x
a)da
描述的是两个函数图形的相似程度， 当完全相同时，相关函数就会出现 一个相关峰值。
§5.1.1.5卷积定理的特例—相关
相关定理：
§5.3卷积的应用
■ 去卷积
我们可以用一个卷积去除另一个卷积影响的技术叫作去卷 积。即去除不需要的，但已对图像施加了的线性系统的影 响。一个实例即利用卷积恢复由于透镜系统或运动所造成 的模糊，这两种影响都认为是由线性系统带来的。
■ 去除噪声
即去掉线性叠加在图像上的噪声信号。
■ 特征增强 以消弱景物中的其它为代价来增强指定特征
(a)
g(2x1-)
(c)
(d)
f (x)* g(x)
1/ 2
-x1 0
1
x1 2x1 3x14x1 5x1
2
g(3x1-)
(e)
g(4x1-)
(f)
g(5x1-)
(g)
5
可编辑课件PPT
§5.1.1.3卷积的物理意义
线性系统
线性（linearity) 对同时作用的几个激励（输入）的响应（输出）， 恒等于每个激励单独 引起的响应之和，这种现象称为线性。
卷积的性质.ppt

卷积的性质.ppt


2、积分
t
t
t
[x()h()]d [ x()d]h(t) x(t) h()d
3、信号与单位冲激和单位阶跃信号的卷积积分
x(t) (t) x()(t )d
()x(t )d x(t)
x(t) (t t0 ) x()(t t0 )d
x(t )( t0 )d
对于连续时间线性时不变系统，当输入为x(t)，其零状
态响应
y(t) x(t)h(t) h(t) x(t) h()x(t )d
于是
y(t) h()x(t )d h() x(t ) d
当 就有
h() M xd M x h() d
h() d Mh
y(t) M xMh M y
x(t t0 )
x(t)
0
t
(t t0 )
(1)
0
t0
t
x(t t0 )
t
0
t0
t
x(t) u(t) x()u(t )d x()d
u()x(t )d x(t )d
0
例如：已知 x(t) u(t) h(t) etu(t)
求系统的零状态响应： y(t) x(t)h(t)
x(n)
0
n
u(n)
0
n
u(n m)
0n
m
x(n m)
0
m
§2-6 LTI系统的因果性与稳定性
一、因果性 第一章曾讲到，所谓因果系统是指响应不会产生于激
励作用于系统之前的系统，否则是非因果系统。
LTI系统的单位冲激响应，是单位冲激作用之下的零 状态响应。单位冲激信号具有当t≠0时，δ(t)=0；t=0时， δ(t)≠0的特性。所以，只要满足当t<0时，系统的单位冲激 响应
最新线性卷积与循环卷积的关系及相关算法应用(下附讲稿)课件PPT

最新线性卷积与循环卷积的关系及相关算法应用(下附讲稿)课件PPT

线性卷积与循环卷积的关系 及相关算法应用(下附讲稿)
线性卷积的计算
一、定义计算 二、利用DFT循环卷积
为了获得使线性卷 积与循环卷积相等
的条件
x(n) y(n) N
引入了两周期 序列的周期卷
积
综上所述……
终极结论
两序列的循环卷积序列是它 们线性卷积序列以循环卷积的 长度为周期进行周期延拓后的 主值序列。
归纳、推论
7
重叠保留法 6
xk=[1 2 3];
h=[1 2];
N=3;M=2;
5
for L=1:10
x((L-1)*N+1:L*N)=xk; 4
end
Hk=fft(h,M+N-1);
3
y=zeros(1,M+N*10-1);
overlap=zeros(1,M-1); y(1:M+N-1)=ifft(fft([overlap2 x(1:N)],M+N-1).*Hk);
18
n
100
50
0
-50
-100
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
n
通过循环卷积求卷积
方剂学课件
福建中医学院方剂学教研室
第十一章 补益剂
❖ 一、定义：凡用补益药为主组成，具有补养人体气血阴阳等 作用，主治各种虚证的方剂，统称补益药。
❖ 二、立论根据：损者益之”
❖ 三、适应范围：先天不足。
❖ 后天失调
八珍汤
❖ A组成内容 ❖ 人参： 益气养血 ❖ 熟地黄： ❖ 白朮： 健脾渗湿 ❖ 白茯苓： ❖ 当归： 养血和营 ❖ 白芍药： ❖ 川芎：活血行气 ❖ 甘草：益气和中，调和诸药
第二章卷积图解计算

第二章卷积图解计算

卷积积分的图解计算
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
( ff1τt)) 1(
() ff22(τt)
1 1 2 2
步骤
∞
将f2 (τ )反 得f2 (− ) 折 τ
f2 (−τ)
1 2
1 1
0 0
1 1
t
f1(τ )
0 τ 0
1 1
2 2
1Байду номын сангаас
0
1 +t −3
−1+ t
τ
−1+ t
f2 (t −τ )
1 2
0
τ
平移
第二章第1讲
1
例
1
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
当 −1+ t < 0 即 t < 1 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 1 2 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0 t 0 1 2 3
1 1 1× dτ = (4 − t) −3+t 2 2
1
即为重叠部分的面积。 当 −3+t ≥1 即 t ≥ 4 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0
第二章第1讲 3
f 2 (t −τ ) f1(τ)
4
f (t)
∞
f 2 (t −τ ) f1(τ)
1
−3 + t −1+ t 0
1

卷积和

■ 第 7页
图解法求卷积和例1
例1：f1(k)、 f2(k)如图所示，已 知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？
f1( ik ) 1.5 1 -1 0 1 -1 0 1 1 f2( ik ) 1.5
2
-2
2
3
k i
解： f (2) f1 (i ) f 2 (2 i ) i （1）换元 （2） f2(i)反转得f2(– i) （3） f2(–i)右移2得f2(2–i) （4） f1(i)乘f2(2–i) （5）求和，得f(2) = 4.5
举例:P102
■ 第 5页

注意2：因果序列的卷积和求和上下限
用定义求卷积和例
例：f (k) = a kε(k), h(k) = b kε(k) ，求yzs(k)。
解： yzs(k) = f (k) * h(k)

i


f (i )h(k i )
i
i k i a ( i ) b (k i )
■ 第 16 页
四、卷积和的性质
1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律. 2. f(k)*δ(k) = f(k) ， f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0) 3. f(k)*ε(k) =
i
f (i)
k
4. f1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k – k1 – k2)* f2(k)

f2(–i )
-2
f2(2–i)
2 3
ik
f1( i )f2( k- i )
2 1.5 1 -1 0 1 2
■
3
i

信号与系统卷积积分ppt课件



任意信号 f (t) 可表示为冲激信号加权和 f (t) f ( ) (t )d
若把它作用于冲激响应为h(t)的LTI系统，则响应为
r(t) H f (t)

H


f
(
)
(t


)
d

f ( )H (t )d

0

t
2 0 2 t u( 2) u(t ) t 0 t 2
i(t
)

e
t
t

e2
d


u(t
)

et
t
e2d u(t 2)
0

2


2

e
t 2

et
u(t)
e(t )
1
1 0 1 t 2
h(t) 1 t u(t) u(t 2)
2
h(t)
1
0
2t
卷积图解过程
解： 图解法
i)t
e( )
1
1 0 1 2
ii)h( ) h( )
h( )
1

2
0
h( )
1

0
2
iii)h( ) h(t )
h(t )
d



2
t

2
4

t 1
t2 t 1
4 24
卷积图解过程
1 t <2
f2
(t


1
)
f1(

§7.6 离散卷积(卷积和)ppt课件


o 123
m
n0
o 123
m
n 1
y(n) u(n) n αm 1 αn1 un 1 yn
m0
1α
11
当n 时，yn 1
1α
o 1234
n
X
第
例7-6-2
8 页
已知x1(n)
4
,
n0
3,
2,
1，x2(n)
3
,
n0
2,
1, ，
求：yn x1(n) x2(n)
使用对位相乘求和法求卷积 步骤： 两序列右对齐→ 逐个样值对应相乘但不进位→ 同列乘积值相加（注意n=0的点）
信号与系统
7.5 7.7
§7.6 卷积（卷积和）
•卷积和定义 •离散卷积的性质 •卷积计算烟台大学光Βιβλιοθήκη 学院1一．卷积和定义
第 2
页
任意序列xn表示为 n的加权移位之线性组合:
xn x 1 n 1 x0 n x1 n 1 xm n m
xm n m
m
x(n)
y(n)
(n)
h(n)
X
第 9
页
x1n : x2 n :
4 321
n0
3
21
n0
4321
86 4 2
12 9 6 3
yn : 12 17 16 10 4 1 n0
所以yn 12 ， 17， 16， 10， 4，1
n0
X
例7-6-3
已知x(n)
R3 n,
h(n)
1
，2，3，求x(n)
n0
h(n)。
第 10
页
x(n) 1 1 1
123

卷积和积分运算

卷积和积分运算卷积和积分运算先看到卷积运算，知道了卷积就是把模版与图像对应点相乘再相加，把最后的结果代替模版中⼼点的值的⼀种运算。

但是，近来⼜看到了积分图像的定义，⽴马晕菜，于是整理⼀番，追根溯源⼀下吧。

1 卷积图像1.1 源头⾸先找到了⼀篇讲解特别好的博⽂，原⽂为：贴过正⽂来看：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------信号处理中的⼀个重要运算是卷积.初学卷积的时候,往往是在连续的情形, 两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du 当然，证明卷积的⼀些性质并不困难，⽐如交换，结合等等，但是对于卷积运算的来处，初学者就不甚了了。

其实，从离散的情形看卷积，或许更加清楚， 对于两个序列f[n],g[n],⼀般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k] 卷积的⼀个典型例⼦,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算, ⽐如(x*x+3*x+2)(2*x+5) ⼀般计算顺序是这样, (x*x+3*x+2)(2*x+5) = (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5 = 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10 然后合并同类项的系数, 2 x*x*x 3*2+1*5 x*x 2*2+3*5 x 2*5 ---------- 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 实际上,从线性代数可以知道,多项式构成⼀个向量空间,其基底可选为 {1,x,x*x,x*x*x,...} 如此,则任何多项式均可与⽆穷维空间中的⼀个坐标向量相对应, 如,(x*x+3*x+2)对应于 (1 3 2), (2*x+5)对应于 (2,5). 线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,⽽只有加法,数乘两种运算,⽽实际上,多项式的乘法,就⽆法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了. 但如果按照我们上⾯对向量卷积的定义来处理坐标向量, (1 3 2)*(2 5) 则有 2 3 1 _ _ 2 5 -------- 2 2 3 1 _ 2 5 ----- 6+5=11 2 3 1 2 5 ----- 4+15 =19 _ 2 3 1 2 5 ------- 10 或者说, (1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10) 回到多项式的表⽰上来, (x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 似乎很神奇,结果跟我们⽤传统办法得到的是完全⼀样的. 换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积. 其实,琢磨⼀下,道理也很简单, 卷积运算实际上是分别求 x*x*x ,x*x,x,1的系数，也就是说，他把加法和求和杂合在⼀起做了。

课件：6.7卷积和


序列
存在区间
序列样值数 nA个 nB个 nA +nB-1个
三、卷积和的性质
1．交换律 2．分配律
三、卷积和的性质
3．结合律
三、卷积和的性质
4．卷积的移不变性
若
则
5．序列与 δ(n)的卷积
6．序列与u(n)的卷积
信号与系统
§6.7 卷积和
一、卷积和的定义
一般序列 x(n)与单位样值序列 δ(n)的关系
对于LTI离散系统， x(n)激励系统产生的零状态响应为Fra bibliotek 一、卷积和的定义
上式称为序列x(n) 和h(n)的卷积和，或者称为离散卷积， 简称卷积，通常用符号 或*表示卷积和运算:
对式(6.7.2)进行变量置换得到卷积和的另一种表示式
二、卷积和的计算
1．解析法 解析法就是定义法，依据卷积和的定义，通过解析式进 行计算。
2．图形法 使用图解法计算 x(n)和h(n)卷积的过程： (1) 以m为自变量作出做出x(m)的波形； (2) 以m为自变量作出做出h(m)的波形，将 h(m)反褶得 到 h(-m) ，然后将 h(-m)平移 n得到h(n-m) 的波形; (3) 将x(m)和h(n-m)相乘，得到 x(m) h(n-m) ； (4) 计算和
这说明，两个序列进行卷积的次序无关紧要，可以互换。
二、卷积和的计算
• 由卷积和的定义可知，其计算过程与卷积积分过程类 似，包括四个步骤：反褶、时移、相乘、求和。
• 由于系统的因果性或激励信号存在时间的局限性，卷 积和的求和上下限会有所变化，因此卷积和的计算中 求和限的确定是非常关键的。
• 在计算序列卷积和时，常用的方法有三种，请注意 这些方法的特点和不足之处，适用条件及相互关系。
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一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲激 函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激 函数之和的情况。
矩形信号：
x(t) u(t t1) u(t tn )
分为一系列宽度相等 的窄矩形脉冲之和
x(t) 1
0 t1
x(t) 1
tn t
x(t) u(t t1) u(t t2) u(t tn1) u(t tn )
1
特解yp(t) 常数A
eat a i
eat
a i
i为
重根
i
L
Ckt k
k 0
Aeat
i
Ajt jeat
j0 L
Ajt j
j0
t tp
cos(t )
A0+A1t A0+A1t+A2t2+……APtp
B1 cos(t ) B2 sin(t )
❖系统的零输入响应与零状态响应
一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零 状态响应。即：
y(t) yx (t) y f (t)
➢零输入响应 ➢零状态响应
yx (t) T[(y(t0)，{0}]
y f (t) T0，x(t)
n
而： yx (t)
c e it xi
i0
n
y f (t)
c eit fi
y p (t)
i0
例：已知一系统的微分方程为：
y'(t) 2 y(t) x(t)，且y(0 ) 2
分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。
1.5δ(t)
2Ω
＋ 0.25F
－
＋
uc(t)
－
解：建立系统的微分方程：
RC duc dt
uc
1.5 (t)
即：duc dt
2uc
3 (t)
由于冲激函数是在t=0时给系统注入了一定的能量，而在t>0 时，系统的激励为0。相当于在0－到0＋时刻，使系统具有了一 定的初始能量。因此，系统的冲激响应与系统的零输入响应具 有相同的形式。这里，用h(t)表示系统的冲激响应。即：
窄脉冲之和。
x(t)
x(k )
0
k
t
当 0 则： x(t) x(k ).. (t k ) k
设系统的单位冲激响应为h(t),则系统对应于t k 的
冲激响应为
x(k )..h(t k )
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和：
yf (t) x(k )..h(t k ) k
求分别输入x1(t) et和x2 (t) 5et
时的输出y(t)。
解： y1(t) (e2t et )u(t)
y2 (t) (3e2t 5et )u(t)
2.2 单位冲激响应
单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信
号 (t)的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。
即：
h(t) T[{0}, (t)]
t
1
（3）
h(t ) x( )
1
-2+t
1 2
0 1 t
t 1 时，y(t) 0 2
1 t 1时， 2
y(t)
t
1 2
1 2
(t
)d
t2 t 1 4 4 16
1t 3时 2
y(t)
1 1
2
1 2
(t
)d
3t 3 4 16
（4）h(t ຫໍສະໝຸດ ) x( )11 2
-2+t 0
i0
n
若n个特征值各不相同： yh (t) cieit
i0
若特征值中有λ1是r重根，而其余的根都为单数，则
r
n
yh (t) cit rie1t c je jt
i0
j r 1
ci、cj的值由初始条件确定。 ➢特解
特解的函数形式与激励函数形式有关。
微分方程的特解形式：
输入信号x(t) 常数C
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient)
重点： ❖理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； ❖掌握LTI系统的性质； 难点： ❖深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
2.1 线性时不变连续系统的时域解法
连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分 方程来描述系统。
❖微分方程的经典解。
解步骤，以x(t)*h(t)为例：
1、将h(τ）反折，得h(-τ）
2、将h(-τ）沿τ轴时延t秒，得得h(t－τ）
3、将x(τ）与 h(t－τ）相乘 ，得x(τ） h(t－τ） 4、沿τ轴对x (τ） h(t－τ）积分
h(t)
1 1
x(t) t
2 1
2 4t
h(t-)
t=0
x()
t-1 t
t<1
h(t) L[{0}, (t)] cetu(t)的形式。 这里，＝－2。即h(t) ce－2tu(t)代入方程中： －2ce－2tu(t)＋c (t) 2ce－2tu(t) 3 (t)
c3 h(t) 3e－2tu(t)
注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。
2.3 卷积积分
对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单 信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应， 那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系 统的响应。
1<t<2
2<t<3
3<t<4
4<t<5
例：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t)
x(t)
h(t)
1
1
1 2
反折：
01t
h( )
1
-2
0
0
时移
2t
h(t )
1
-2+t
t 0
（1）
h(t )
x( )
1
（2）
-2+t
1
t2
0
1
h(t )
1
x( )
-2+t
1 2
0
当： d,k 求和符号改为积分符号
x(t) x( ) (t )d
y f (t)
x( )h(t )d
上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
y(t) x(t)*h(t) x( )h(t )d
❖卷积积分的图解法 卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求
微分方程
n
m
ai y(i) (t) bj x( j) (t)
i0
j0
其有无数个解；若已知初始条件：
y(0 ), y (1) (0 ), y (2) (0 ) y (n1) (0 )
其解唯一。
y(t) yh (t)＋ yp (t)
齐次解
特解
➢齐次解
n
齐次解是满足
ai y (i) (t) 0 的解
若： 0
0 t1
tn t
n1
x(t) (t t1) (t t2 ) (t tn1) (t ti ) i 1
n1
y(t) h(t t1) h(t t2 ) h(t tn1) h(t ti ) i 1
设x(t)为无时限的信号，将它分解为一系列宽度为 的