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§2.3,4卷积积分及其性质

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第二章 连续系统的时域分析

第二章 连续系统的时域分析
c2 du 2 (t ) u1 (t ) − u 2 (t ) = R2 dt
du (t ) 整理方程组得：d 2u2 (t ) + 7 2 + 6u2 (t ) = 6e(t ) dt 2 dt 特征方程：a2+7a+6=0 特征根：a=-1, a=-6 齐次解：rh(t) = A1e-t +A2e-6t
5
第二章 连续系统的时域分析
② 选定特解后，将它代入到原微分方程，即得到一个由 yh(t)及其各阶导数以及激励共同组成的一个非齐次微 分方程，依据此方程求出待定系数，然后可确定方程 的特解。
3. 求系统的全响应y(t)
y(t)＝方程的全解y(t)＝齐次解yh(t) + 特解 yP(t)
＝自由响应+强迫响应 将上面方程的全解代入系统的初始条件即可得齐次解中 的待定系数，从而进一步得到系统的全响应。此时， 方程的齐次解yh(t)为系统的自由响应，特解yP(t)为系 统的强迫响应（固有响应）。
解: 由原方程可得
dh 2 (t ) dh(t ) +3 + 2h(t ) = 2δ ′(t ) + 3δ (t ) 2 dt dt
(t ≥ 0)
特征方程: λ2+3λ+2 = 0 特征根: λ1= -1，λ2= -2，且n > m
h (t ) = Ae − t u (t ) + e −2 t (t ) u(t)
20
第二章 连续系统的时域分析
式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程 式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激 响应为 h(t ) = e − t u(t ) + e −2 t (t )
21
第二章 连续系统的时域分析

§2.4 卷积积分

§2.4 卷积积分

形脉冲信号分量x( )[ (t )d ]叠加起来构成的。 3. 是积分变量，t是积分参变量（在积分过程中可视为常数）， 该积分公式也可以直接从单位冲激函数的取样特性得到。 3
一．卷积（Convolution）的引入
(t ) (t - )
LTI
h(t )
LTI LTI
h(t - )
t 0(即 t )时， (t ) 0 原式

t

e
( t )
d e e
t
t
1
12
五．对卷积积分的几点认识
r t

f ht d
(1)t：观察响应的时刻，是积分的参变量； : 信号作用的时刻，积分变量 从因果关系看，必定有 t (2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容
y f (t )


f ( )h(t ) d f (t ) * h(t )
5
例2-4-1：f (t) = e t,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)， 求yf(t)。 yf(t) = f (t) * h(t)

y f (t )
e e
f H t d
f t f t d


f h t d


(t-)的响应
即LTI系统在信号激励f(t)下产生的零状态响应．
rzs t f t h t f t h t
f()是h(t-)的加权，求和
即df()是h(t-)的加权，积分

第二章 (4)卷积积分的性质

第二章 (4)卷积积分的性质

f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广

§2.4 卷积积分的性质

§2.4 卷积积分的性质
▲ ■ 第 4页
二、与冲激或阶跃信号的卷积
1. f (t ) (t ) (t ) f (t ) f (t )
证： f (t ) (t )


南航电子信息



f (t ) (t t0 )dt f (t0 ) f (t ) (t ) f (t )
注意：当 f1(t)=1 ， f2(t) = e – tε(t)时
套用 f1 (t ) f 2 (t ) f1(t ) f ( 1) (t ) 0 f ( 1) (t ) 0 显然是错误的 f1 () 0
▲ ■ 第 7页
四、卷积的时移特性
若 f(t) = f1(t)* f2(t)， 则 f1(t –t1)* f2(t –t2) = f1(t –t1 –t2)* f2(t) = f1(t)* f2(t –t1 –t2) = f(t –t1 –t2)
f1 (t ) f 2 (t ) f (t ) f 2
(i ) 1 ( i )
(t )
f
(i )
(t ) f
▲
( j) 1
(t ) f 2
(i j )
(t )
第 6页
■
例1: f1(t) 如图, f2(t) = e – tε(t)，求f1(t)* f2(t) 南航电子信息
( 1) 解： f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 2 (t )
f1 (t ) (t ) (t 2)
f1(t ) (t ) (t 2)
t 0
f
( 1) 2
(t ) e ( )d [ e d ] (t )

2.4 卷积积分的性质

2.4 卷积积分的性质
1. f t t t f t f t




(t ) f (t ) d t f (0)
证： f (t )* (t ) (t )* f (t ) ( ) f (t ) d f (t )
f t t t0 f t t0

两种运算的不同之处仅在于，卷积运算需将 f2 进行反折
为 f 2 ，而相关运算不需反折，仍为 f2 。其他的移位、相乘 和积分的运算方法相同。
通信与信息工程学院基础教学部
小结： 求卷积是本章的重点与难点。
• 求解卷积的方法可归纳为： • （1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比 较有效。如指数函数，多项式函数等。 • （2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 • （3）利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。
( ) f (t ) f (t ) ( ) d f (t )

f t
n
t f
n
t
3. f t t f ( ) (t ) d f ( ) d 对函数积分
t t t t
通信与信息工程学院基础教d n f1 (t ) d n f 2 (t ) dn f (t ) * f 2 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * 1. n 1 n dt dt d tn dn f1 t f 2 t 证： n f1 (t )* f 2 (t ) n t dt n f2 t t f t 1
t 0
(t ) (1 e t ) (t )

2-3-卷积积分

2-3-卷积积分
− 2t
= 6∫ e
0
t
− 2τ
dτ ε (t ) = 3(1 − e
) ε (t )
f1 (t ) ∗ f 3 (t ) = =
∫
∞
−∞
f1 (τ ) f 3 (t − τ )dτ
∫
∞
−∞
3e ε (τ ) ⋅ 2ε (t − τ − 2)dτ
− 2τ
=6
∫
t −2
e
− 2τ
0
dτ = 3(1 − e
问：
y2 (t ) = [ f (t − t1 )ε (t − t1 )]∗ [h(t − t 2 )ε (t − t 2 )]
y1 (t ) = [ f (t − t0 )ε (t − t0 )]∗ [h(t )ε (t )]
2）反因果信号 ）
=
t
y (t ) = [ f (t )ε (− t )]∗ [h(t )ε (t )]
∫
（1）翻转 ） （2）平移 ） （3）相乘 ） （4）积分 ）
f1 (τ ) → f1 (−τ )或 : f2 (τ ) → f2 (−τ )
f1(−τ ) → f1(t −τ )或f2 (−τ ) → f2 (t −τ )
f1 ( t − τ ) f 2 (τ )或f 2 ( t − τ ) f1 (τ )
(1)
＝
－1 0
1 t o t0 t o t 0－1 t 0 t 0＋1 t
图 2.2 – 3 例2.2 - 3图 图
例2.4-3 周期性单位冲激序列
δ T (t ) =
试求
f (t ) = f0 (t ) ∗ δ T (t )
∞ m = −∞
m = −∞

信号与系统 卷积积分的性质

P47 2-8(1)(3)(5) ， 2-10(2)(4) P48 2-11(1)(3)(4)
信号与系统
d x t dt
h d
t
2
1
1 0
2
c
1
t
0
4
t
d
dxt t h d 15 dt 8
t
9 8
2
dxt t h d dt
3
1 0
2
2
6
1 0
2 3
6
t
f
e
信号与系统
t t t
[ 1 d ]u (t 1) [ 1 d ]u (t 2)
1 2
t
t
(t 1)u (t 1) (t 2)u (t 2)
(t 1)[u (t 1) u (t 2)] 3u (t 2) 0 t 1 3
0 t a 1 e d 1 e at 0 a
f t
1
1 d ]u(t ) 1 e at u t a
t 0
f d
t 0

t
e at
1 a
0
a
t
0
b
t
信号与系统
作业 13-4-16

t

y( )d f (t ) h( )d h(t ) f ( )d

t
y(t)的一重积分
y ( 1) (t ) f (t ) h( 1) (t ) f ( 1) (t ) h(t )
推广：
y ( m) (t ) f (t ) h( m) (t ) f ( m) (t ) h(t )

信号系统 卷积积分


∞ f (τ )H[δ(t −τ )]dτ = ∫ −∞
( = ∫ f (τ )h t −τ ) dτ
∞ −∞
这就是系统的零状态响应。 这就是系统的零状态响应。
( ( yzs (t) = f (t) ⊗h t) = f (t) ∗h t)
三．卷积的计算
卷积的一般步骤
f (t) = ∫ f1(τ ) f2(t −τ ) dτ
0
f 1 (τ )
t
f1 (τ )
2
f 2 ( −τ )
2
f 2 (t − τ )
f1 (τ )
2
1
f 2 (t − τ )
1
1
0
1
t
τ
0
0 t
1
τ
0
1 t
τ
0 < t ≤ 1, f (t ) = ∫ 2 × e − (t −τ ) dτ = 2(1 − e − t )ε (t ) t > 1, f (t ) = ∫ 2 × e − (t −τ ) dτ = 2(e − (t −1) − e −t )ε (t − 1)
二．利用卷积求系统的零状态响应
任意信号f(t)可表示为冲激序列之和 任意信号 可表示为冲激序列之和
f (t) = ∫ f (τ )δ(t −τ ) dτ
∞ −∞
把 作 于 激 应h L IS, 响 为 若 它 用 冲 响 为 (t)的 T 则 应
∞ f (τ )δ(t −τ ) dτ y(t) = H[ f (t)] = H ∫ −∞
§2.3卷积积分 2.3卷积积分
•卷积 卷积 •利用卷积积分求系统的零状态响应 利用卷积积分求系统的零状态响应 •卷积图解说明 卷积图解说明 •卷积积分的几点认识 卷积积分的几点认识 卷积积分的

信号与系统信号的时域分解与卷积积分


28
三、卷积的性质及卷积计算
(2) (t-t0 ) 是卷积的延迟器
y(t) f (t) (t t0 )=f (t t0 )
物理意义
f (t)
有用推论
(t t0 )
f (t t0 )
f (t t1) (t t2 ) f (t t1 t2 )
若：f1(t) f2 (t) y(t) 则： f1(t t1) f2(t t2) y(t t1 t2)
s 平面和z平面的对应关系
×
衰减振荡信号
j
×虚指数信号 ×
增长振荡信号
指数×衰减信号
×
直流信号
×
指数增长信号
jIm[z]
z esT rej r eT , T
× 虚指数信号
衰减振荡信号
×
×
× 指×数增长
指数衰减信号 直流 Re[z]
增长振荡信号
× 2
温故知新，上讲回顾
信号波形的翻转、展缩与平移
)
f3 (t
)]d
f1( )
f2 (t
)d
f1 (
)
f3 (t
)d
f1(t) f2 (t) f1(t) f3 (t)
物理意义：两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等
于各个子系统的单位冲激响应之和。也可通过交换律/
线性系统性质证明
f1 (t )
f2 (t) f3 (t)
f1(t) [ f2 (t) f3 (t)]
f1(t) f2 (t ) f3 (t) yzs (t) f1 (t) [ f2 (t) f3 (t)]
表明:两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激响 应等于各个子系统单位冲激响应的卷积。

卷积积分(Convolution)的定义(精)


e(t) r(t) r ( t ) e ( t ) * h( t )
即
线性网络 零状态
t
h(t)
r (t ) e( )h(t )d
0
物理解释: 将激励 e(t)看成一系列宽度为 ，高度为 e(k )矩形脉冲叠加的。
e( t )
e(0)
o
2
k (k+1)
性质4筛分性性质3时刻观察到的响应应为0时间内所有激励产生的响应的和冲激响应积分参变量观察响应时刻解
6.10 卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义 定义： 设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
f1 (t ) f 2 ( )d f 2 ( t ) * f1 ( t )
性质2
f1 (t ) *[ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) f1 (t ) * f 3 (t )
性质3
[ f1 (t ) * f 2 (t )]* f 3 (t ) f1 (t ) *[ f 2 (t ) * f 3 (t )]
0
t
二、卷积积分的性质 性质1
f1 ( t ) * f 2 ( t ) f 2 ( t ) * f 1 ( t )
t
证明 f1 (t ) * f 2 (t ) 0 f1 ( ) f 2 (t )d
f1 ( t ) f 2 ( )(d )
t
t 0
0
令 = t ：0 t : t 0
f (t ) 2e d 2e ( t 1) 2e t
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第2-12页
■
- ?
f 2 (l ) ? f1 (t l ) d l = f 2 (t ) * f1 (t )
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信号与系统 电子教案
2.4
卷积积分的性质
系统并联
系统并联，框图表示：
h( t )
f (t ) f (t )
f (t )
h1 ( t )
f (t ) * h1 (t )
2 f 2( τt )
τ t
-2 1 -1 -1 1
3
τ t
（1）换元 （2） f1(τ)得f1(–τ) （3） f1(–τ)右移2得f1(2–τ) （4） f1(2–τ)乘f2(τ) （5）积分，得f(2) = 0（面积为0）
第2-10页
■
f 1(2-τ ) f 2(τ ) 2 2 τ
-2
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第2-7页
■
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信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
二、卷积的图解法
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d

用图解法计算卷积积分步骤：
（1）换元： t换为τ→得 f1(τ)， f2(τ) （2）反转平移： 由f2(τ)反转→ f2(–τ)，然后右移t → f2(t-τ) （3）乘积： f1(τ) f2(t-τ) （4）积分： τ从 –∞到∞对乘积项积分。 注意：t为参变量。
第2-8页
■
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信号与系统 电子教案
解：采用图解法卷积。 f(t)函数形式复杂 换元为f(τ)。 h(t)换元 h ( τ)
h (-τ)平移t ① t < 0时 , h ( t -τ)向左移 h( t -τ) f(τ) = 0，故 yzs(t) = 0 ② 0≤t ≤1 时, h ( t -τ)向右移 ③ 1≤t ≤2时 h(τ)反折 h ( t -τ)
信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
3 .卷积积分的定义
已知定义在区间（ – ∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)， 则定义积分
f (t ) f1 ( ) f 2 (t )d


为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为 f(t)= f1(t)*f2(t) 注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量， t为参变量。结果仍为t 的函数。
f ( t ) h1 ( t )
f (t ) h( t )
y (t )
f ( t ) h1 ( t ) h2 ( t )
ht h1 ( t ) h2 ( t )
结论：子系统级联时，总的冲激响应等于 子系统冲激响应的卷积。
第2-14页
■
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信号与系统 电子教案
1
A
f1 (t ) A p (t )
2

2
0 (a)
t

2
0 (b)
■
2
t
第2-2页
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信号与系统 电子教案 (2) 任意信号分解 “0”号脉冲高度f(0) ,宽度为△， 用p(t)表示为：f(0) △ p(t) “1”号脉冲高度f(△) ,宽度为 △，用p(t - △)表示为： f(△ ) △ p(t - △ )
…
2.3
卷积积分
f (t )
f ()
f ()
fˆ (t )
…
f(0)
-1
2
0 1
2
3 2
0
2
t
“-1”号脉冲高度f(-△) 、宽度为△，用p(t +△)表示为：
ˆ (t ) f
lim 0
第2-3页
ˆ (t ) f ( t ) f
■
n

f ( - △) △ p(t + △)
∑
y (t )
h2 ( t )
h( t )
f (t ) * h1 (t ) + f (t ) * h2 (t ) = f (t ) * h (t ) f (t ) * h2 (t )
y (t )
f (t )
ht h1 t h2 t
结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于 各子系统冲激响应之和。
f1(-τ) 图解法一般比较繁琐，但 若只求某一时刻卷积值时 还是比较方便的。确定积 分的上下限是关键。 例：f1(t)、 f2(t)如图所示，已知 f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) =？ 解： f (2) f 2 ( ) f1 (2 ) d

f1(2-τ)
h ( t -τ) f(τ) = 0，故
第2-9页
ò
t 0
1 1 2 t ? dt t 12 1 4 1
f(τ)h(t－τ)
3 4 1 4
0
t t-11 t t-1 2 yzs (t )
0

3τ
yzs(t) = 0
■
1
2
3
t
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2.3
卷积积分
2 f 1( τt )
t
t ?
(6 e e - e ) d t
- 2 t 3t
t
e e
第2-6页

(6 e ) d e d
3
2e
3 t
e
■
t
2e
2t
e e e
3t t
t
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2.3
卷积积分
用定义法计算卷积积分步骤：
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§2.3 卷积积分
• 信号的时域分解与卷积积分 • 卷积的图解法
第2-1页
■
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信号与系统 电子教案
2.3
卷积积分
2.3
1 .信号的时域分解
(1) 预备知识
卷积积分
问 f1(t) = ? p(t)
f1(t)
一、信号的时域分解与卷积积分
直观看出
p (t )
(t )是奇函数 [ ( x t )] f ( x) d x [ f (t )] f (t )


第2-15页
■
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2.4

卷积积分的性质
t
3. f(t)*ε(t)
f ( ) (t ) d f ( ) d


f ( ) (t ) d
(t )为偶函数 f ( ) ( t ) d f (t )


2. f(t)*δ’(t) = f’(t)

f(t)*δ(n)(t) = f (n)(t)
证： 令t-＝x (t )* f (t ) ( ) f (t ) d (t x) f ( x) d x d dx
f1 (t ) * f 2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d

（1）换元： f1(t) → f1(τ)， f2(t) → f2(t－τ) （2）视情况变积分限： f1(τ) f2(t-τ) 中是否含有 ε(τ ) 或ε (t－τ)，如果有ε(τ ) ，则将积分下限换 为0，如果有ε (t－τ)，则将积分上限换为t(注意： t为参变量，τ为自变量) 。 （3）积分： 与普通函数积分一致。
卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。
一、卷积代数
满足乘法的三律： 1. 交换律： f 1 ( t ) f 2 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) 证明： f1 (t ) * f 2 (t ) =
令t-τ=λ，
f1 (t ) * f 2 (t ) =
则 : :






(t t0 ) f (t ) d t f (t0 )
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2.4
卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
d n f 1 (t ) d n f 2 (t ) dn * f 2 (t ) f 1 (t ) * 1. n f1 (t ) * f 2 (t ) n dt dt dtn 证：上式= δ(n)(t) *[f1(t)* f2(t)] = [δ(n)(t) *f1(t)] * f2(t) = f1(n)(t) * f2(t)
y zs (t ) =
第2-5页
ò
¥ - ?
f (t )h (t - t ) d t = f (t ) * h (t )
■
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2.3
卷积积分
例：f (t) = e t,（-∞<t<∞)，h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)，求yzs(t)。
2.3
卷积积分
1 2
例：f (t) ,h(t) 如图，求yzs(t)= f (t) * h(t) 。 h(－τ)
0
h (τt )
h(t－τ)
t-1 t
t-1
0
1 f ( tτ )
t τ 2
t t-1
t 2
tτ
y zs (t ) =
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