高中数学选择性必修二 4 2 等差数列尖子生同步培优题典(含答案)
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人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时同步作业(原卷版)1.等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=6,a3=4,则公差d=()A.1 B.53C.2D.32.等差数列{a n}中,a1+a4=10,a2-a3=2.则其前n项和S n=()A.8+n-n2B.9n-n2C.5n-n2 D.9n-n223.数列{a n}是等差数列,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列的前20项和S20=()A.160B.180C.200D.2204.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:“一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”这首歌诀的大意是:“一位老公公有九个儿子,九个儿子从大到小排列,相邻两人的年龄差三岁,并且儿子们的年龄之和为207岁,请问大儿子多少岁,其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为a n,则a3=()A.17B.29C.23D.355.等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数中也为定值的是()A.S7B.S8C.S13D.S156.已知等差数列的公差为-57,其中某连续7项的和为0,则这7项中的第1项是()A.137B.217C .267D .3477.等差数列{a n }中,S 10=4S 5,则a1d =()A.12B .2C.14D .48.(高考真题·全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=()A .5B .7C .9D .119.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4=18-a 5,则S 8=()A .72B .54C .36D .1810.等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n .若A n B n =3n -12n +3,则a13b 13的值为________.11.等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m -1+a m +1-a m 2=0,S 2m -1=38,则m =()A .38B .2012.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且6S 5-5S 3=5,则a 4=________.13.已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值.14.在等差数列{a n }中.(1)已知a 5+a 10=58,a 4+a 9=50,求S 10;(2)已知S 7=42,S n =510,a n -3=45,求n.15.(高考真题·全国Ⅰ)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.616.甲、乙两人分别从相距70m的两处同时相向运动,甲第1分钟走2m,以后每分钟比前1分钟多走1m,乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1m,乙继续每分钟走5m,那么开始运动几分钟后第二次相遇?1.已知S n,T n分别是等差数列{a n},{b n}的前n项和,且S nT n=2n+14n-2(n∈N*),则a10b3+b18+a11b6+b15=________.2.等差数列{a n}的前n项和记为S n,已知a10=30,a20=50.(1)求{a n}的通项公式;(2)若S n=242,求n.人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时同步作业(解析版)1.等差数列{a n}的前n项和为S n,且S3=6,a3=4,则公差d=()A.1 B.53C.2D.3答案C解析6,解得d=2.2.等差数列{a n}中,a1+a4=10,a2-a3=2.则其前n项和S n=()A.8+n-n2B.9n-n2C.5n-n2 D.9n-n22答案B解析∵a2-a3=2,∴公差d=a3-a2=-2.又a1+a4=a1+(a1+3d)=2a1-6=10,∴a1=8,∴S n=9n-n2.3.数列{a n}是等差数列,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列的前20项和S20=()A.160B.180C.200D.220答案B解析∵{a n}是等差数列,∴a1+a20=a2+a19=a3+a18,又a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54.∴3(a1+a20)=54,∴a1+a20=18,∴S20=20(a1+a20)2=180.4.《算法统宗》是中国古代数学名著,由明代数学家程大位编著,它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中,许多数学问题都是以歌诀形式呈现的,“九儿问甲歌”就是其中一首:“一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”这首歌诀的大意是:“一位老公公有九个儿子,九个儿子从大到小排列,相邻两人的年龄差三岁,并且儿子们的年龄之和为207岁,请问大儿子多少岁,其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中,记这位公公的第n个儿子的年龄为a n,则a3=()A.17B.29C.23D.35答案B解析依题意{a n}为等差数列,且d=-3,S9=9(a1+a9)2=9a5=207,∴a5=23,∴a3=a5-2d=29.故选B.5.等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数中也为定值的是()A.S7B.S8C.S13D.S15答案C解析由已知a2+a8+a11=3a1+18d=3(a1+6d)=3a7为定值,则S13=13(a1+a13)2=13a7也为定值.故选C.6.已知等差数列的公差为-57,其中某连续7项的和为0,则这7项中的第1项是()A.137B.217C.267D.347答案B解析记某连续7项分别为a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,则a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=7a4=0,∴a4=0.∴a1=a4-3d=0-3=157,即a1=217.7.等差数列{a n}中,S10=4S5,则a1d=()A.12B.2C.14D .4答案A8.(高考真题·全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=()A .5B .7C .9D .11答案A解析∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 5=2a 3,得3a 3=3,则a 3=1,∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5.故选A.9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 4=18-a 5,则S 8=()A .72B .54C .36D .18答案A10.等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n .若A n B n =3n -12n +3,则a13b 13的值为________.答案745311.等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m -1+a m +1-a m 2=0,S 2m -1=38,则m =()A .38B .20C .10D .9答案C解析由条件得2a m =a m -1+a m +1=a m 2,从而有a m =0或2.又由S 2m -1=a 1+a 2m -12×(2m -1)=38且2a m =a 1+a 2m -1,得(2m -1)a m =38.故a m ≠0,则有2m -1=19,m =10.12.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且6S 5-5S 3=5,则a 4=________.答案13解析设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,则由6S 5-5S 3=5,得6(a 1+3d)=2,所以a 4=13.13.已知等差数列{a n }中,a 1=1,a 3=-3.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{a n }的前k 项和S k =-35,求k 的值.解析(1)设等差数列{a n }的公差为d ,则a n =a 1+(n -1)d.由a 1=1,a 3=-3,可得1+2d =-3.解得d =-2.从而,a n =1+(n -1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知a n =3-2n.所以S n =n[1+(3-2n )]2=2n -n 2.进而由S k =-35,可得2k -k 2=-35.又k ∈N *,故k =7.14.在等差数列{a n }中.(1)已知a 5+a 10=58,a 4+a 9=50,求S 10;(2)已知S 7=42,S n =510,a n -3=45,求n.解析(1)方法一:由已知条件,得5+a 10=2a 1+13d =58,4+a 9=2a 1+11d =50,1=3,=4.∴S 10=10×3+10×9×42=210.方法二:由(a 5+a 10)-(a 4+a 9)=2d =58-50,得d =4.由a 4+a 9=50,即2a 1+11d =50,得a 1=3.故S 10=10×3+10×9×42=210.(2)∵S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=42,∴a 4=6.∴S n =n (a 1+a n )2=n (a 4+a n -3)2=n (6+45)2=510.∴n =20.15.(高考真题·全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m =()A .3B .4C .5D .6答案C解析∵S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,∴a m =S m -S m -1=2,a m +1=3.∴d =a m +1-a m =3-2=1.∵S m =ma 1+m (m -1)2×1=0,∴a 1=-m -12.又∵a m +1=a 1+m ×1=3,∴-m -12+m =3.∴m =5.故选C.16.甲、乙两人分别从相距70m 的两处同时相向运动,甲第1分钟走2m ,以后每分钟比前1分钟多走1m ,乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回,甲继续每分钟比前1分钟多走1m ,乙继续每分钟走5m ,那么开始运动几分钟后第二次相遇?解析(1)设n 分钟后第1次相遇,依题意,有2n +n (n -1)2+5n =70,整理得n 2+13n -140=0,解之得n =7,n =-20(舍去).第1次相遇是在开始运动后7分钟.(2)设n 分钟后第2次相遇,依题意,有2n +n (n -1)2+5n =3×70,整理得n 2+13n -420=0.解之得n =15,n =-28(舍去).第2次相遇是在开始运动后15分钟.1.已知S n ,T n 分别是等差数列{a n },{b n }的前n 项和,且S n T n =2n +14n -2(n ∈N *),则a 10b 3+b 18+a 11b 6+b 15=________.答案4178解析∵S n ,T n 分别是等差数列{a n },{b n }的前n 项和,且S n T n =2n +14n -2(n ∈N *),∴a 10b 3+b 18+a 11b 6+b 15=a 10+a 11b 10+b 11=S 20T 20=40+180-2=4178.2.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 10=30,a 20=50.(1)求{a n }的通项公式;(2)若S n =242,求n.解析(1)∵数列{a n }为等差数列,∴a 20-a 10=10d.∴d =a 20-a 1010=2.∴a n =a 10+(n -10)d =30+2(n -10)=2n +10.(2)由(1)可得a 1=12,代入等差数列前n项和公式得S n=n(a1+a n)2=n(12+2n+10)2=n(n+11).又S n=242,∴n(n+11)=242,解得n=11.。
2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第四章数列单元检测A 解析版学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注:本检测满分150分。
其中8道单选题,4道多选题,4道填空题,6道解答题。
一、单选题1,2,,4,…,则是这个数列的()A.第8项B.第9项C.第10项D.第11项【答案】B【解析】【分析】将数列中的每一项都写成n,即可判断.【详解】,2,3,4,... ,由此可归纳该数列的通项公式为nna=,又9=,则其为该数列的第9项.故选:B.【点睛】本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式,属于基础题.2.记等差数列{}n a的前n项和为n S,若52a=,25468a a a a-=,则20S=()A.180B.180-C.162D.162-【答案】B【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式,求出等差数列的首项和公差,再根据前n项和公式即可求出20S. 【详解】52a =,24628a a a-=,11114226840a da d a d a d+=⎧∴⎨+--=+⎩,解得11114226840a d a d a d a d +=⎧⎨+--=+⎩,2d ∴=-,110a =,201019228a ,()12020201802a a S +⋅∴==-.故选:B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n 项和公式,考查学生的运算求解能力,属于基础题. 3.在数列{}n a 中,112a =,111n n a a -=-(2n ≥,n ∈+N ),则2020a =( )A .12B .1C .1-D .2【答案】A 【解析】 【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列,利用数列的周期性可得答案. 【详解】2111121a a =-=-=-,3211112a a =-=+=,431111122a a =-=-=, 可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列,202036731112a a a ⨯+∴===. 故选:A. 【点睛】本题考查数列的周期性,关键是通过递推式求出前几项观察出周期,是基础题.4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若0n a >,1q >,352620,64a a a a +==,则5S =( ) A .B .C .42D .【答案】D 【解析】 【分析】根据2664a a =,利用等比数列的性质得到3564a a =,结合3520a a +=,利用根与系数的关系构造二次方程求解得到35,a a 的值,进而得到等比数列的首项和公比,然后利用求和公式计算即得所求. 【详解】由于在等比数列{}n a 中,由2664a a =可得:352664a a a a ==, 又因为3520a a +=,所以有:35,a a 是方程220640x x -+=的二实根,又0,1n a q >>,所以35a a <, 故解得:354,16a a ==,从而公比3122,1,a q a q ==== 那么55213121S -==-,故选:D . 【点睛】本题考查等比数列的通项公式,等比数列的性质,等比数列的求和,属中档题. 5.两等差数列{}n a 和{}n b ,前n 项和分别为n S ,n T ,且723n n S n T n +=+,则220715a ab b ++的值为( ) A .14924B .7914C .165 D .5110【答案】A 【解析】 【分析】在{}n a 为等差数列中,当(m n p q m +=+,n ,p ,)q N +∈时,m n p q a a a a +=+.所以结合此性质可得:2202171521a a Sb b T +=+,再根据题意得到答案.【详解】解:在{}n a 为等差数列中,当(m n p q m +=+,n ,p ,)q N +∈时,m n p q a a a a +=+.所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯,又因为723n n S n T n +=+,所以22071514924a ab b +=+.故选:A . 【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质,属于中档题. 6.等比数列{}n a 中( ) A .若12a a <,则45a a < B .若12a a <,则34a a < C .若32S S >,则12a a < D .若32S S >,则12a a >【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式,等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中,20q >,∴当12a a <时,可得2212a q a q <,及34a a <,故B 正确;但341a a q =和352a a q =不能判断大小(3q 正负不确定),故A 错误;当32S S >时,则12312+++a a a a a >,可得30a >,即210a q >,可得10a >,由于q 不确定,不能确定12,a a 的大小,故CD 错误. 故选:B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用,属于基础题.7.函数()2cos 2f x x x =--{}n a ,则3a =( ) A .1312πB .54π C .1712πD .76π 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再解函数零点得4x k ππ=+或512x k ππ=+,k Z ∈,再求3a 即可.【详解】解:∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得:2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+,k Z ∈, ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+,k Z ∈,∴ 正数零点从小到大构成数列为:12355,,,4124a a a πππ===故选:B. 【点睛】本题考查三角函数的性质,数列的概念,考查数学运算求解能力,是中档题. 8.已知函数()cos lnxf x x x ππ=+-,若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1009ln 0,0)a b a b π+>>(,则11a b+的最小值为( )A .2B .4C .6D .8【答案】A 【解析】 【分析】 根据()()2ln f x fx ππ+-=,采用倒序相加的方法可得2018ln S π=,从而得到2a b +=,根据基本不等式求得最小值. 【详解】由题可知:()()()()2cos lncos ln ln 2ln x xf x f x x x x xππππππππ-+-=++-+==- 令22018201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又20182017201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是有22ln 2ln 2ln 22018ln S ππππ=++⋅⋅⋅+=⨯ 2018ln S π⇒= 因此2a b += 所以()()11111112222222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1a b ==时取等号本题正确选项:A 【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得a 与b 的和,从而能够构造出基本不等式的形式.二、多选题9.无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++,其中a ,b ,c 为实数,则( )A .{}n a 可能为等差数列B .{}n a 可能为等比数列C .{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D .{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式,利用定义判定得出答案.【详解】当1n =时,11a S a b c ==++.当2n ≥时,()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+. 当1n =时,上式=+a b .所以若{}n a 是等差数列,则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时,{}n a 是等差数列,不可能是等比数列;当0c ≠时,{}n a 从第二项开始是等差数列. 故选:AC 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系,利用n S 求通项公式,属于基础题.10.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若11a =,()*12n n a S n N +=∈,则有( ) A .13n n S -=B .{}n S 为等比数列C .123n n a -=⋅D .21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【分析】根据,n n a S 的关系,求得n a ,结合等比数列的定义,以及已知条件,即可对每个选项进行逐一分析,即可判断选择. 【详解】由题意,数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈,当2n ≥时,12n n a S -=,两式相减,可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-, 可得13n n a a +=,即13,(2)n na a n +=≥, 又由11a =,当1n =时,211222a S a ===,所以212a a =, 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩;当2n ≥时,11123322n n n n a S --+⋅===,又由1n =时,111S a ==,适合上式,所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=;又由11333nn n n S S +-==,所以数列{}n S 为公比为3的等比数列, 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选:ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式,以及等比数例的证明和判断,属综合基础题. 11.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =C .95S S >D .6S 与7S 均为n S 的最大值【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,依次分析选项:{}n a 是等差数列,若67S S =,则7670S S a -==,故B 正确;又由56S S <得6560S S a -=>,则有760d a a =-<,故A 错误; 而C 选项,95S S >,即67890a a a a +++>,可得()7820a a +>, 又由70a =且0d <,则80a <,必有780a a +<,显然C 选项是错误的. ∵56S S <,678S S S =>,∴6S 与7S 均为n S 的最大值,故D 正确; 故选:BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质,需熟记公式,属于基础题.12.将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵,如图:该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中m >0).已知a 11=2,a 13=a 61+1,记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有( )A .m =3B .767173a =⨯C .()1313j ij a i -=-⨯D .()()131314n S n n =+- 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据第一列成等差,第一行成等比可求出1361,a a ,列式即可求出m ,从而求出通项ij a , 再按照分组求和法,每一行求和可得S ,由此可以判断各选项的真假. 【详解】∵a 11=2,a 13=a 61+1,∴2m 2=2+5m +1,解得m =3或m 12=-(舍去), ∴a ij =a i 1•3j ﹣1=[2+(i ﹣1)×m ]•3j ﹣1=(3i ﹣1)•3j ﹣1,∴a 67=17×36,∴S =(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1+a n2+a n 3+……+a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---()()() 12=(3n ﹣1)•2312n n +-() 14=n (3n +1)(3n ﹣1) 故选:ACD. 【点睛】本题主要考查等差数列,等比数列的通项公式的求法,分组求和法,等差数列,等比数列前n 项和公式的应用,属于中档题.三、填空题13.已知数列{}n a 的通项公式是246n a n =-,那么n S 达到最小值时n 为________. 【答案】22或23. 【解析】 【分析】利用数列的单调性求得满足题意的n 即可. 【详解】246n a n =-,∴数列{}n a 是递增数列.令()1246021460n n a n a n +=-≤⎧⎨=+-≥⎩,解得:2223n ≤≤,∴22n =或23n =,则可知n S 达到最小值时n 为22或23. 故答案为:22或23. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的求法,属于基础题.14.我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成(如图),最高一层是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈,则前9圈的石板总数是__________.【答案】405 【解析】 【详解】 【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9,公差为9的等差数列,9989994052S ⨯=⨯+⨯= 15.在数列的每相邻两项之间插入此两项的积,形成新的数列,这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1,4进行“扩展”,第一次得到数列1,4,4;第二次得到数列1,4,4,16,4;……;第n 次得到数列1,1x ,2x ,…,i x ,4,并记()212log 14n i a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅,其中21n t =-,*n ∈N .则{}n a 的通项n a =___________. 【答案】31n + 【解析】 【分析】先由()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅,结合题意得到132n n a a +=-,再设13()n n a t a t ++=+求出1t =-,得到数列{}1n a -是首项为3,公比为3的等比数列,进而可求出结果.【详解】由题意,根据()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅,可得()1211122log 1(1)((4)4)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3333312214log 324n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==-⎪⎝⎭, 设13()n n a t a t ++=+,即132n n a a t +=+,可得1t =-,则数列{}1n a -是首项为2121log 413a -=-=,公比为3的等比数列,故13n n a -=,所以31,n n a n N +=+∈.故答案为:31n +.【点睛】本题主要考查数列的应用,熟记等比数列的性质以及通项公式即可,属于常考题型.16.如图,互不相同的点12,,,n A A A 和12,,,,n B B B 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设n n OA a =.若11a =,22a =,则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】32n a n =-【解析】【分析】根据三角形相似和所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等,找到与n a 相关的递推公式,再由递推公式求得通项公式.【详解】由于11//,n n n n A B A B ++ 所以11,n n n n OA B OA B ++梯形11n n n n A B B A ++ 的面积为11n n OA B ++∆的面积減去n n OA B △的面积,2222i i j j OA B i i OA B j jSOA a S OA a == 则可得 222211,n n n n a a a a +--=- 即递推公式为222112,n n n a a a +-=+故2{}n a 为等差数列,且公差d =2221a a -3=,故21(1)332n a n n =+-⨯=-,得32n a n =-故答案为: 32n a n =-【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用,根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键,属于中档题.四、解答题17.在①112n n a a +=-,②116n n a a +-=-,③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的n S 存在最大值,则求出最大值;若问题中的n S 不存在最大值,请说明理由.问题:设n S 是数列{}n a 的前n 项和,且14a =,__________,求{}n a 的通项公式,并判断n S 是否存在最大值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】若选①,求出数列{}n a 是首项为4,公比为12-的等比数列,求出通项公式和前n 项和,通过讨论n 的奇偶性,求出其最大值即可;若选②,求出数列{}n a 是首项为4,公差为16-的等差数列,求出通项公式和前n 项和,求出其最大值即可; 若选③,求出217242n n n a -+=,当16n ≥时,0n a >,故n S 不存在最大值. 【详解】解:选① 因为112n n a a +=-,14a =,所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列, 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时,141281113212n n n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+, 因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增加而减少,所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时,81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ 综上,n S 存在最大值,且最大值为4.选② 因为116n n a a +-=-,14a =.所以{}n a 是首项为4,公差为16-的等差数列, 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤, 所以n S 存在最大值.且最大值为25S (或24S ), 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭,所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-,所以18n n a a n +-=-,所以217a a -=-,326a a -=-,…19n n a a n --=-, 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=, 又14a =,所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时,0n a >,故n S 不存在最大值.【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式,考查等差数列和等比数列的性质,属于基础题 18.数列{}n a 的前n 项和()2=1003n S n n n N *-+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) ()()102110122n n a nn ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩ (2) ()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩【解析】【分析】(1) 当1n =时,1102a =,利用1n n n a S S -=-得到通项公式,验证1a 得到答案.(2)根据{}n a 的正负将和分为两种情况,50n ≤和51n ≥,分别计算得到答案.【详解】(1)当1n =时,11=10013=102a s =-+,当2n ≥时,()()221=10010011=1012n n n a S S n n n n n -=-------. 综上所述()()102110122n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩. (2)当50n ≤时,n n b a =,所以123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+39997951012n =++++⋅⋅⋅+-()()991012331002n n n n +-=+=+-, 当51n ≥时,n n b a =-,123505152n n T a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-()5012312n n T a a a a a -=-+++⋅⋅⋅++()50063100n n =---21005003n n =-+.综上所述()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩. 【点睛】本题考查了利用1n n n a S S -=-求通项公式,数列的绝对值和,忽略1n =时的情况是容易犯的错误.19.已知数列{}n a 满足12a =,1122n n n a a ++=+.(1)证明:数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列; (2)设2n n na b =,证明:122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)由1122n n n a a ++=+变形得:11122n n n na a ++=+,可得证明. (2)由(1)知:2n n n ab n ==,∴()1111111n n b b n n n n +==-++,用裂项相消可求和,从而可证明. 【详解】 (1)由1122n n n a a ++=+变形得:11122n n n na a ++=+ 又12a =,故112a = ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项1为公差的等差数列. (2)由(1)知:2n n n a b n == ∴()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴122311111111112231n n b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n =-<+ ∴122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+< 【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列,考查用裂项相消法求和,属于基础题. 20.设{}n a 是公比大于1的等比数列,12314++=a a a ,且21a +是1a ,3a 的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若21log 2n n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)2n n a =;(2)()1122n n T n +=-⋅-.【解析】【分析】(1)设等比数列{}n a 的公比为()1q q >,根据题中条件列出方程组,求出首项和公比,即可得出通项公式;(2)先由(1)得到2nn b n =-⋅,再由错位相减法,即可得出结果.【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为()1q q >.依题意,有()21321a a a +=+,将()13221a a a +=+代入12314++=a a a 得()222114a a ++=,得24a =.联立1232144a a a a ++=⎧⎨=⎩得21111144a a q a q a q ⎧++=⎨=⎩ 两式两边相除消去1a 得22520q q -+=, 解得2q 或12q =(舍去), 所以1422a ==, 所以,111222n n n n a a q --==⨯=,(2)因为21log 22n n n n b a n ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭所以,231222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯①23412122232(1)22n n n T n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯② ①-②,得23122222n n n T n +=++++-⨯()111212222212n n n n n n +++-=-⨯=-⋅--.所以,数列{}n b 的前n 项和11222n n n T n ++=-⋅-.【点睛】 本题主要考查求等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和,涉及等差中项的应用,属于常考题型.21.已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)数列[]lg n n b a =,[]x 表示不超过x 的最大整数,求{}n b 的前1000项和1000T .【答案】(1)32n a n =-;(2)10002631T =.【解析】【分析】(1)利用1n n n a S S -=-可求出;(2)根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】(1)当1n =时,111a S ==,当2n ≥时,()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦, 将1n =代入上式验证显然适合,所以32n a n =-.(2)因为410a =,34100a =,3341000a =,333410000a =,所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩, 所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系,考查分组求和法,属于基础题.22.已知{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列,()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)记{}n a 的前n 项和为n S ,求证:()2*21n n n S S S n ++<∈N ;(Ⅲ)对任意的正整数n ,设()21132,,,.n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和.【答案】(Ⅰ)n a n =,12n nb -=;(Ⅱ)证明见解析;(Ⅲ)465421949n n n n +--+⨯. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比,然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和,然后利用作差法证明即可;(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式,然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c-=∑和21n k k c =∑的值,据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q .由11a =,()5435a a a =-,可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-,又q ≠0,可得2440q q -+=,解得q =2,从而{}n b 的通项公式为12n nb -=. (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=, 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++,()()22211124n S n n +=++, 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<, 所以221n n n S S S ++<. (Ⅲ)当n 为奇数时,()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++, 当n 为偶数时,1112n n n n a n c b -+-==, 对任意的正整数n ,有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑, 和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c-==---==+++++∑∑ ① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑, 由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-, 从而得:21565994n k n k n c =+=-⨯∑. 因此,2212111465421949n nn n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以,数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解,分组求和法,指数型裂项求和,错位相减求和等,属于中等题.。
2021学年高考数学(文)尖子生同步培优题典专题4.2 数列求和姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________注意事项:一、选择题(在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2020·全国专题练习(文))南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,6l,95,则该数列的第8项为( )A.99 B.131 C.139 D.1412.(2020·湖北宜昌·其他(文))我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(gui)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈四尺五寸,夏至晷长二尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的第三个节气(立秋)晷长是()A.五寸B.二尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸3.(2020·四川省南充高级中学高三月考(文))等差数列{}n a前项和为n S,若4a,10a是方程2x8x1=0-+ S=()的两根,则134.(2020·赤峰二中高一月考(文))等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,对一切自然数n ,都有231n n S nT n =+,则55a b = ( ) A .23B .914C .2031D .11175.(2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模(文))已知数列{}n a ,2sin2n na n π=,则数列{}n a 的前100项和为( ) A .5000B .5000-C .5050D .5050-6.(2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校二模(文))对于等差数列和等比数列,我国古代很早就有研究成果,北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”,就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆,从上向下查,第一层有2个货物,第二层比第一层多3个,第三层比第二层多4个,以此类推,记第n 层货物的个数为n a ,则数列(2)n n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前2020项和为( )A .20206069B .40406069C .20202023D .404020237.(2020·湖南邵阳·三模(文))已知函数()2f x x ax =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直,若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ,则2020S 的值为( ) A .20182019B .20192020C .20202021D .202120228.(2020·岳麓·湖南师大附中高三月考(文))数学家也有许多美丽的错误,如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想221(0,1,2,)nn F n =+=是质数.直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =*,不是质数.现设n a =()2log 1,(1,2,)n F n -=,n S 表示数列{}n a 的前n 项和.则使不等式221231222n n n S S S S S S +++⋯+<22020n成立的最小正整数n 的值是(提示1021024=)( )9.(2020·全国高三其他(文))已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,313a b ==,15715a b ==,设11(1)n nn n n b c a a -+=-,则数列{}n c 的前2020项和为( ) A .20192020-B .20192020C .20202021-D .2020202110.(2020·山东青州·高三三模(文))已知数列{}n a ,定义数列{}12n n a a +-为数列{}n a 的“2倍差数列”,若{}n a 的“2倍差数列”的通项公式为1122n n n a a ++-=,且12a =,若函数{}n a 的前n 项和为n S ,则33S =( )A .3821+B .3922+C .3822+D .39211.(2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他(文))设数列{}n a 满足123(21)n a a n a n ++⋯+-=,若不等式1223127log n n a a a a a a n λ+++⋯+对任意*n N ∈恒成立,则实数λ的最小值是_____.12.(2020·山西其他(文))设函数22()log xf x =,数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则124039a a a ++⋅⋅⋅+=______.14.(2020·河北桃城·衡水中学高三月考(文))在数列{}n a 中,已知11a =,11n n a a n +=++,则122020111a a a +++=______.15.(2020·黑龙江让胡路·铁人中学高三二模(文))已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和n S 满足()2*42n n n S a a n N =+∈,设()11nn n n b a a +=-⋅,n T 为数列{}n b 的前n 项和,则20T =______.16.(2020·全国高三其他(文))数列{}n a 的前n 项和为n S ,若n n a S n +=,则n S =________.17.(2020·福建其他(文))已知公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,11a =,且1S 、2S 、4S 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令2n nn b a =⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他(文))已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且430S =,2a ,4a 的等差中项为10.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求212231222n n n n T S S S S S S +=+++. 19.(2020·荆州市北门中学期末(文))已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+(*n N ∈).(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .20.(2020·全国专题练习(文))设122,4a a ==,数列{b n }满足:b n +1=2b n +2,且a n +1﹣a n =b n ; (1)求证:数列{b n +2}是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.21.(2020·湖南邵阳·三模(文))设数列{}n a 满足:11a =,1340n n a a +-+=,*n ∈N . (1)求证:数列{}2n a +为等比数列,并求出{}n a 的通项公式;(2)若()3log 2n n n b a a =++,求数列{}n b 的前n 项和n S .22.(2020·广西高三其他(文))已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,()1102n n n n S S S S n ---+=≥. (1)求证:数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列;(2)若1,32,nn n S n C n n -⎧⎪=+⎨⎪⎩奇偶为数为数,设数列{}n C 的前n 项和为n T ,求2n T .解析附后2021学年高考数学(文)尖子生同步培优题典专题4.2 数列求和姓名:__________________ 班级:______________ 得分:_________________注意事项:二、选择题(在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2020·全国专题练习(文))南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,5,11,21,37,6l ,95,则该数列的第8项为( ) A .99 B .131C .139D .141【答案】D 【解析】所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为x根据所给定义:用数列的后一项减去前一项得到一个新数列, 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列,如图:根据图象可得:3412y -=,解得46y =9546x y -==解得:141x =故选:D .2.(2020·湖北宜昌·其他(文))我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷(gui )长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长).二十四个节气及晷长变化如图所示,相邻两个晷长的变化量相同,周而复始.若冬至晷长一丈四尺五寸,夏至晷长二尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则夏至之后的第三个节气(立秋)晷长是( )A .五寸B .二尺五寸C .五尺五寸D .四尺五寸【答案】C【解析】设晷影长为等差数列{}n a ,公差为d ,1145a =,1325a =, 则1451225d +=,解得10d =-. 1014510955a ∴=-⨯=∴夏至之后的第三个节气(立秋)晷长是五尺五寸.故选:C .3.(2020·四川省南充高级中学高三月考(文))等差数列{}n a 前项和为n S ,若4a ,10a 是方程2x 8x 1=0-+的两根,则13S =( ) A .58 B .54 C .52 D .56【答案】C【解析】410,a a 是方程2810x x -+=的两根,4108a a ∴+=, 410728a a a ∴+==,1131371313522a a S a +∴=⨯==,故选C. 4.(2020·赤峰二中高一月考(文))等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ,对一切自然数n ,都有231n n S nT n =+,则55a b = ( ) A .23B .914C .2031D .1117【答案】B 【解析】1955199195519992299223911492a a a a a a Sb b b b b b T +⨯+⨯======++⨯+⨯ ,选B. 5.(2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模(文))已知数列{}n a ,2sin2n na n π=,则数列{}n a 的前100项和为( ) A .5000 B .5000- C .5050 D .5050-【答案】B【解析】由题意知, 当2,n k k N *=∈时,()222sin 0k a k k π==;当21,n k k N *=-∈时,()2212121sin2k k a k π--=-,所以数列{}n a 的前100项和 2222210012310013599......1357...9799S a a a a a a a a =++++=++++=-+-++-()()()()()()13135757...97999799=-⨯++-⨯+++-⨯+()504921357...9799250250002⨯⎛⎫=-⨯++++++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选:B6.(2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校二模(文))对于等差数列和等比数列,我国古代很早就有研究成果,北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”,就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆,从上向下查,第一层有2个货物,第二层比第一层多3个,第三层比第二层多4个,以此类推,记第n 层货物的个数为n a ,则数列(2)n nn a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前2020项和为( )A .20206069B .40406069C .20202023D .40402023【答案】B【解析】由题意可知12a =,213a a -=,324a a -=,,11n n a a n --=+,累加可得()(3)23412n n n a n +=+++++=, 2112()(2)(2)(3)23n n n a n n n n ∴==-+++++,1111111122()2()2()2()3445233339n nS n n n n ∴=-+-++-=-=++++. 2020220204040=3202096069S ⨯∴=⨯+ 故选:B.7.(2020·湖南邵阳·三模(文))已知函数()2f x x ax =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直,若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ,则2020S 的值为( )A .20182019B .20192020C .20202021D .20212022【答案】C【解析】()2f x x ax =-,()2f x x a '∴=-,由题意可知()123f a '=-=,得1a =-.()2f x x x ∴=+,()()21111111f n n n n n n n ===-+++, 20201111112020112232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选:C.8.(2020·岳麓·湖南师大附中高三月考(文))数学家也有许多美丽的错误,如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想221(0,1,2,)nn F n =+=是质数.直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =*,不是质数.现设n a =()2log 1,(1,2,)n F n -=,n S 表示数列{}n a 的前n 项和.则使不等式221231222n n n S S S S S S +++⋯+<22020n成立的最小正整数n 的值是(提示1021024=)( ) A .11 B .10 C .9 D .8【答案】C【解析】把221nn F =+代入()2log 1n n a F =-),得()22log 2112nn n a =+-=,故()()21222112n nnS -==--,则11211142121n n n n n S S ++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭, 则不等式211223122211214212020n nn n n S S S S S S ++⎛⎫++⋯+=-< ⎪-⎝⎭成立,代入计算可得,当不等式成立时.n 的最小值为9. 故选C .9.(2020·全国高三其他(文))已知数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,313a b ==,15715a b ==,设11(1)n nn n n b c a a -+=-,则数列{}n c 的前2020项和为( ) A .20192020-B .20192020C .20202021-D .20202021【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为1d ,等差数列{}n b 的公差为2d 因为33a =,1515a =所以315112a a d =+,解得11d = 所以()313n a a n d n =+-=因为13b =,715b =所以7126b b d =+,解得22d = 所以()12121n b b n d n =+-=+所以()112111(1)(1)11n n n n c n n n n --+⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭所以122020111111111+c 1223342019202020202021c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12020120212021=-=故选:D10.(2020·山东青州·高三三模(文))已知数列{}n a ,定义数列{}12n n a a +-为数列{}n a 的“2倍差数列”,若{}n a 的“2倍差数列”的通项公式为1122n n n a a ++-=,且12a =,若函数{}n a 的前n 项和为n S ,则33S =( ) A .3821+ B .3922+C .3822+D .392【答案】B 【解析】分析:由1122n n n a a ++-=可得11122n nn n a a ++-=,从而得数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1,公差1d =的等差数列,求得2n n a n =⋅,再根据错位相减法即可得结果.详解:根据题意得11122,2n n n a a a ++-==,11122n nn na a ++∴-=, ∴数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1,公差1d =的等差数列, ()11,22nn n na n n a n ∴=+-=∴=⋅, 123122232...2n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅, 23412122232...2n n S n +∴=⨯+⨯+⨯++⋅, 23412222...22n n n S n +∴-=++++-⋅()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=-+-⋅-,()1212n n +=-+-,()()133133122,33122n n S n S ++∴=-+=-+3922=+,故选B.11.(2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他(文))设数列{}n a 满足123(21)n a a n a n ++⋯+-=,若不等式1223127log n n a a a a a a n λ+++⋯+对任意*n N ∈恒成立,则实数λ的最小值是_____.【答案】3【解析】解:数列{}n a 满足123(21)n a a n a n ++⋯+-=,①可得11a =,2n 时,1213(23)1n a a n a n -++⋯+-=-,② ①-②可得(21)1n n a -=,即有121n a n =-,对1n =也成立, 则11111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+,1223127log n n a a a a a a n λ+++⋯+即为2711111111(1)(1)log 2335212122121nn n n n n λ-+-+⋯+-=-=-+++,可得271log 21n λ+对任意*n N ∈恒成立, 显然1()21f n n =+为递减数列, ()1f 取得最大值13, 可得271log 3λ,解得3λ, 实数λ的最小值为3. 故答案为:3.12.(2020·山西其他(文))设函数2()log 42f x x=-,数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则124039a a a ++⋅⋅⋅+=______.【答案】40392-【解析】由题得4039124039S a a a =++⋅⋅⋅+,4039403921S a a a =+⋅⋅⋅++,两式相加得40391403924038403912()()()S a a a a a a =++++++,考虑一般情况,设k *∈N ,则404022404022404020202020log log 404020202020424220202020k kk kk k a a f f k k --⨯⨯-⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⨯-⨯ ()22404021=log log 12404022k kk k ⎡⎤-⨯==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以40394039403924039,.2S S =-∴=-故答案为:40392-13.(2020·全国专题练习(文))在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),则a 1+a 2+…+a 51=____.【答案】676 【解析】当n 为偶数时,22,2(1)22n n n na a a n +-==+-⨯= ; 当n 为奇数时,20,1n n n a a a +-== ;所以12511261(24650)26125(250)6762a a a +++=⨯+++++=⨯+⨯⨯+=14.(2020·河北桃城·衡水中学高三月考(文))在数列{}n a 中,已知11a =,11n n a a n +=++,则122020111a a a +++=______.【答案】40402021【解析】因为11n n a a n +=++,故可得213212;3;;n n a a a a a a n --=-=-=,累加可得123n a a n -=++,又因为11a =,则()11232n n n a n +=++++=, 故可得()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 则122020111a a a +++111112122320202021⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦140402*********⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 故答案为:40402021. 15.(2020·黑龙江让胡路·铁人中学高三二模(文))已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和n S 满足()2*42n n n S a a n N =+∈,设()11nn n n b a a +=-⋅,n T 为数列{}n b 的前n 项和,则20T =______.【答案】880【解析】由于正项数列{}n a 的前n 项和为n S ,且242n n n S a a =+.当1n =时,21111442a S a a ==+,得21120a a -=,10a >,解得12a =;当2n ≥时,由242n n n S a a =+得211142n n n S a a ---=+,两式作差得2211422n n n n n a a a a a --=-+-,可得2211220n n n n a a a a -----=,()()1120n n n n a a a a --∴+--=,对任意的n *∈N ,0n a >,则10n n a a ->+,12n n a a -∴-=,所以,数列{}n a 是以2为首项,以2为公差的等差数列,()2212n a n n ∴=+-=.()()()11141n nn n n b a a n n +=-⋅=-⋅+,()()2124212422116n n b b n n n n n -∴+=--⨯+⨯+=,所以,20T 可视为数列{}212n n b b -+的前10项和,因此,()20101616108802T ⨯+⨯==.故答案为:880.16.(2020·全国高三其他(文))数列{}n a 的前n 项和为n S ,若n n a S n +=,则n S =________.【答案】11()2nn -+【解析】因为n n a S n +=,所以当1n =时,121a =,解得112a =, 当2n ≥时,111n n a S n --+=-所以111n n n n a a S S ---+-=,即11(1)2n n a a -=+,2n ≥ 所以111(1)2n n a a --=-,即11112n n a a --=-,2n ≥ 所以{1}na -是以12-为首项,12为公比的等比数列,所以11111()()()222n n n a --=-⨯=-,即11()2n n a =-,2n ≥又112a =满足上式,所以11()2nn a =-,*n N ∈所以23123111111()1()1()2222n n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- =231111[()()()]2222n n -+++⋅⋅⋅+=11[1()]1221()1212n n n n --=-+- 故答案为:11()2nn -+17.(2020·福建其他(文))已知公差不为0的等差数列{}n a ,其前n 项和为n S ,11a =,且1S 、2S 、4S 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令2n nn b a =⋅,求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)()*21n a n n N=-∈(2)16(23)2n nTn +=+-⋅【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0,因为1S ,2S ,4S 成等比数列,所以2214S S S =,所以()()21211234a a a a a a a +=+++, 那么()()2111246a d a a d +=+, 所以2d =或0d =(舍去) 又因为11a =,则()*21n a n n N=-∈(2)由(1)得2(21)2n nn n b a n =⋅=-⋅,所以数列{}n b 的前n 项和23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅①,所以23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅②,由①②相减得2312222222(21)2nn n T n +-=+⨯+⨯+⋯+⨯--⋅()231222222(21)2n n n +=-++++⋯+--⋅()212122(21)212n n n +-=-+--⋅-21162(21)26(23)2n n n n n +++=-+--⋅=---⋅.所以16(23)2n n T n +=+-⋅.18.(2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他(文))已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且430S =,2a ,4a 的等差中项为10.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求212231222n n n n T S S S S S S +=+++. 【答案】(1)2nn a =;(2)()121221n n +--.【解析】(1)()()23143241130302020a q q q S a a a q q ⎧⎧+++==⎪⎪⇒⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩,解得12a =,2q.所以1222n nn a -=⋅=.(2)由(1)可知2nn a =,所以()()21222112nnnS-==--,又()()1112211142121221221n n n n n n n n S S +++⎛⎫==⋅- ⎪⋅--⎝-⋅-⎭,则2231111111142212121211n n n T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎝⎭⎣-⎭⎦()111111122211421421221n n n n n ++++--⎛⎫=⋅-=⋅= ⎪---⎝⎭. 19.(2020·荆州市北门中学期末(文))已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+(*n N ∈).(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】(1)21n a n =-;(2)12362n n -+-. 【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,由已知得()()1212234,{12,a a a a a a +=+++=即12234,{8,a a a a +=+=所以()()()11114,{28,a a d a d a d ++=+++=解得11,{2,a d == 所以21n a n =-.(Ⅱ)由(Ⅰ)得112122n n n a n ---=,所以122135232112222nn n n n S ----=+++⋯++,① 23111352321222222n n n n n S ---=+++⋯⋯++,② -①②得:2211112123113222222n n n nn n S --+=++++⋯+-=- 所以4662n nn S +=-. 20.(2020·全国专题练习(文))设122,4a a ==,数列{b n }满足:b n +1=2b n +2,且a n +1﹣a n =b n ; (1)求证:数列{b n +2}是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式. 【答案】(1)见解析(2)122n n +﹣【解析】(1)证明:a 1=2,a 2=4,且a n +1﹣a n =b n ;∴b 1=a 2﹣a 1=4﹣2=2. 由b n +1=2b n +2,变形为: ()1222+n n b b +=+, ∴数列{b n +2}是等比数列,首项为4,公比为2.(2)解:由(1)可得:b n +2=4×2n ﹣1,可得b n =2n +1﹣2. ∴a n +1﹣a n =b n =2n +1﹣2.∴()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+()()()122222222n n -=-+-+⋯+-+1222222(1)n n n -=++⋯++--()22121n -=--2n +2=2n +1﹣2n .21.(2020·湖南邵阳·三模(文))设数列{}n a 满足:11a =,1340n n a a +-+=,*n ∈N . (1)求证:数列{}2n a +为等比数列,并求出{}n a 的通项公式; (2)若()3log 2n n n b a a =++,求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)证明见解析,2123n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭;(2)()1992322+=--+⨯n n n n S .【解析】(1)∵11a =,1340n n a a +-+= ∴11433n n a a +=-. ∴1122033n n a a ++=+≠. ∴12123n n a a ++=+.∴{}2n a +是首项为3,公比为13的等比数列. ∴11233n n a -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭,故2123n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)由(1)得22231112log 333n n n n b n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()102111...12...333n n S n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()1311199312232213n n n n n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=-=--+⨯-. 22.(2020·广西高三其他(文))已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,112a =,()1102n n n n S S S S n ---+=≥. (1)求证:数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列;(2)若1,32,n n n S n C n n -⎧⎪=+⎨⎪⎩奇偶为数为数,设数列{}n C 的前n 项和为n T ,求2n T . 【答案】(1)证明见解析;(2)2125131244n n +--+ 【解析】(1)证明:因为112a =,()1102n n n n S S S S n +-+-=≥,所以216a =-,所以10n n S S -≠, 所以1111n n S S --=. 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112S =为首项,以1为公差的等差数列. (2)由(1)可得()1211n n n S =+-=+,所以11n S n =+. ∴()()()()11132n n n n n c n -⎧⎪++=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ∴()132121111111...22...222446222n n T n n -⎛⎫=-+-++-++++ ⎪+⎝⎭2121111222512222331244n n n n ++-⎛⎫=-+=-- ⎪++⎝⎭.。
专题4.2 等差数列知识储备知识点一 等差数列的概念 思考1 给出以下三个数列: (1)0,5,10,15,20. (2)4,4,4,4,…. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征?【答案】从第2项起,每项与它的前一项的差是同一个常数. 思考2 你能从上面几个具体例子中抽象出一般等差数列的定义吗?【答案】如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示,可正可负可为零. 知识点二 等差中项的概念思考1 观察如下的两个数之间,插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列: (1)2,4;(2)-1,5;(3)a ,b ;(4)0,0. 【答案】插入的数分别为3,2,a +b2,0.思考2 如果三个数x ,A ,y 组成等差数列,那么A 叫做x 和y 的等差中项,试用x ,y 表示A . 【答案】∵x ,A ,y 组成等差数列, ∴A -x =y -A ,∴2A =x +y , ∴A =x +y 2.知识点三 等差数列的通项公式思考1 对于等差数列2,4,6,8,…,有a 2-a 1=2,即a 2=a 1+2;a 3-a 2=2,即a 3=a 2+d =a 1+2×2;a 4-a 3=2,即a 4=a 3+d =a 1+3×2. 试猜想a n =a 1+( )×2. 【答案】n -1思考2 若一个等差数列{a n },首项是a 1,公差为d ,你能用a 1和d 表示a n 吗? 【答案】a n =a 1+(n -1)d .知识点四 等差数列通项公式的推广思考1 已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 能表示出通项a n =a 1+(n -1)d ,如果已知第m 项a m 和公差d ,又如何表示通项a n?【答案】设等差数列的首项为a 1,则a m =a 1+(m -1)d , 变形得a 1=a m -(m -1)d ,则a n =a 1+(n -1)d =a m -(m -1)d +(n -1)d =a m +(n -m )d .思考2 由思考1可得d =a n -a 1n -1,d =a n -a mn -m ,你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗?【答案】等差数列通项公式可变形为a n =dn +(a 1-d ),其图象为一条直线上孤立的一系列点,(1,a 1),(n ,a n ),(m ,a m )都是这条直线上的点.d 为直线的斜率,故两点(1,a 1),(n ,a n )连线的斜率d =a n -a 1n -1.当两点为(n ,a n ),(m ,a m )时,有d =a n -a mn -m . 知识点五 等差数列的性质思考1 还记得高斯怎么计算1+2+3+…+100的吗? 【答案】利用1+100=2+99=….思考2 推广到一般的等差数列,你有什么猜想?【答案】在有穷等差数列中,与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=….注意到上式中的序号1+n =2+(n -1)=…,有:在等差数列{a n }中,若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则a m +a n =a p +a q .特别地,若m +n =2p ,则a n +a m =2a p .知识点六 由等差数列衍生的新数列思考 利用等差数列的定义,尝试证明下列结论: 若{a n }、{b n }分别是公差为d ,d ′的等差数列,则有此处以{a n +a n +k (a n +1+a n +k +1)-(a n +a n +k )=a n +1-a n +a n +k +1-a n +k =2d . ∴{a n +a n +k }是公差为2d 的等差数列.能力检测注意事项:本试卷满分100分,考试时间45分钟,试题共16题.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置. 一、单选题1.在项数为2n +1的等差数列中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n 等于( ) A .9 B .10 C .11 D .12【答案】B 【解析】∵1=S n S n+奇偶,∴1651=150n n +.∴n =10,故选B. 2.数列{a n }为等差数列,它的前n 项和为S n ,若S n =(n +1)2+λ,则λ的值是( ) A .-2 B .-1 C .0 D .1【答案】B【解析】等差数列前n 项和S n 的形式为S n =an 2+bn ,∴λ=-1.3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若1200OB a OA a OC =+,且A ,B ,C 三点共线(该直线不过点O ),则S 200等于( ) A .100 B .101 C .200 D .201【答案】A【解析】由A ,B ,C 三点共线得a 1+a 200=1, ∴S 200=2002(a 1+a 200)=100. 4.若数列{a n }的前n 项和为S n =n 2-4n +2,则|a 1|+|a 2|+…+|a 10|等于( ) A .15 B .35 C .66 D .100【答案】C 【解析】易得a n =1,1,25, 2.n n n -=⎧⎨-≥⎩|a 1|=1,|a 2|=1,|a 3|=1, 令a n >0则2n -5>0,∴n ≥3. ∴|a 1|+|a 2|+…+|a 10| =1+1+a 3+…+a 10 =2+(S 10-S 2)=2+[(102-4×10+2)-(22-4×2+2)]=66.5.设数列{a n }是等差数列,若a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使S n 达到最大值的n 是( ) A .18B .19C .20D .21【答案】C【解析】∵a 1+a 3+a 5=105=3a 3, ∴a 3=35,∵a 2+a 4+a 6=99=3a 4, ∴a 4=33, ∴d =a 4-a 3=-2,∴a n =a 3+(n -3)d =41-2n , 令a n >0,∴41-2n >0, ∴n <412, ∴n ≤20.6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则m 等于( ) A .3 B .4 C .5 D .6【答案】C【解析】a m =S m -S m -1=2,a m +1=S m +1-S m =3,所以公差d =a m +1-a m =1,由S m =1()2m m a a +=0,得a 1=-2,所以a m =-2+(m -1)·1=2,解得m =5,故选C.7.现有200根相同的钢管,把它们堆成一个正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( ) A .9 B .10 C .19 D .29 【答案】B【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个.∴钢管总数为:1+2+3+…+n =(1)2n n +. 当n =19时,S 19=190.当n =20时,S 20=210>200.∴n =19时,剩余钢管根数最少,为10根. 8.已知命题:“在等差数列{a n }中,若4a 2+a 10+a ( )=24,则S 11为定值”为真命题,由于印刷问题,括号处的数模糊不清,可推得括号内的数为( ) A .15 B .24 C .18 D .28【答案】C【解析】设括号内的数为n ,则4a 2+a 10+a (n )=24, 即6a 1+(n +12)d =24.又因为S 11=11a 1+55d =11(a 1+5d )为定值, 所以a 1+5d 为定值. 所以126n +=5,解得n =18. 二、多选题9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d .已知a 3=12,S 12>0,a 7<0,则( ) A .a 6>0 B .-247<d <-3 C .S n <0时,n 的最小值为13 D .数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 【答案】ABCD【解析】依题意得a 3=a 1+2d =12,a 1=12-2d ,S 12=1122a a +×12=6(a 6+a 7).而a 7<0,所以a 6>0,a 1>0,d <0,A 选项正确.且716167161240,51230,2112470,a a d d a a d d a a a d d =+=+<⎧⎪=+=+>⎨⎪+=+=+>⎩ 解得-247<d <-3,B 选项正确. 由于S 13=1132a a +×13=13a 7<0,而S 12>0,所以S n <0时,n 的最小值为13.由上述分析可知,n ∈[1,6]时,a n >0,n ≥7时,a n <0;当n ∈[1,12]时,S n >0,当n ≥13时,S n <0.所以当n ∈[7,12]时,a n <0,S n >0,nnS a <0,且当n ∈[7,12]时,|a n |为递增数列,S n 为正数且为递减数列,所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项.故选A 、B 、C 、D.10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 7=a 4,则( ) A .a 1+a 3=0 B .a 3+a 5=0 C .S 3=S 4 D .S 4=S 5【答案】BC 【解析】由S 7=177()2a a +=7a 4=a 4,得a 4=0,所以a 3+a 5=2a 4=0,S 3=S 4,故选B 、C. 11.等差数列{}n a 是递增数列,满足753a a =,前n 项和为n S ,下列选项正确的是( )A .0d >B .10a <C .当5n =时n S 最小D .0n S >时n 的最小值为8【答案】ABD【解析】由题意,设等差数列{}n a 的公差为d ,因为753a a =,可得1163(4)a d a d +=+,解得13a d =-,又由等差数列{}n a 是递增数列,可知0d >,则10a <,故A 、B 正确; 因为2217()2222n d d d d S n a n n n =+-=-, 由7722dn d -=-=可知,当3n =或4时n S 最小,故C 错误,令27022n d d S n n =->,解得0n <或7n >,即0n S >时n 的最小值为8,故D 正确. 故选:ABD .12.在等差数列{}n a 中每相邻两项之间都插入()*k k ∈N个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}n b .若9b 是数列{}n a 的项,则k 的值可能为( ) A .1 B .3C .5D .7【答案】ABD【解析】由题意得:插入()*k k ∈N个数,则11ab =,22k a b +=,323k a b +=,434k a b +=⋅⋅⋅所以等差数列{}n a 中的项在新的等差数列{}n b 中间隔排列,且角标是以1为首项,k +1为公差的等差数列,所以1(1)(1)n n k a b +-+=, 因为9b 是数列{}n a 的项,所以令**1(1)(1)9,,n k n N k N +-+=∈∈,当2n =时,解得7k =, 当3n =时,解得3k =, 当5n =时,解得1k =,故k 的值可能为1,3,7,故选:ABD三、填空题13.已知等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,已知S 3=9,a 4+a 5+a 6=7,则S 9-S 6=________.【答案】5【解析】∵S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等差数列,而S 3=9,S 6-S 3=a 4+a 5+a 6=7,∴S 9-S 6=5. 14.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-9n ,第k 项满足5<a k <8,则k =________. 【答案】8 【解析】∵a n =11(1),(2),nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩∴a n =2n -10.由5<2k -10<8,得7.5<k <9,又k ∈N *,∴k =8.15.若数列{a n }是等差数列,首项a 1<0,a 203+a 204>0,a 203·a 204<0,则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________. 【答案】405【解析】由a 203+a 204>0知a 1+a 406>0,即S 406>0,又由a 1<0且a 203·a 204<0,知a 203<0,a 204>0,所以公差d >0,则数列{a n }的前203项都是负数,那么2a 203=a 1+a 405<0,所以S 405<0,所以使前n 项和S n <0的最大自然数n =405.16. 已知等差数列{a n }的公差d >0,前n 项和为S n ,且a 2a 3=45,S 4=28. (1)则数列{a n }的通项公式为a n =________; (2)若b n =nS n c+ (c 为非零常数),且数列{b n }也是等差数列,则c =________. 【答案】(1)4n -3 (2)-12【解析】(1)∵S 4=28,∴14()42a a +⨯=28,a 1+a 4=14,a 2+a 3=14,又∵a 2a 3=45,公差d >0, ∴a 2<a 3,∴a 2=5,a 3=9, ∴115,29,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,4,a d =⎧⎨=⎩∴a n =4n -3.(2)由(1),知S n =2n 2-n ,∴b n =n S n c+=22n nn c -+,∴b 1=11c +,b 2=62c+,b 3=153c +.又∵{b n }也是等差数列, ∴b 1+b 3=2b 2, 即2×62c +=11c++153c +,解得c =-12(c =0舍去). 四、解答题17.若等差数列{a n }的首项a 1=13,d =-4,记T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |,求T n . 【解析】∵a 1=13,d =-4,∴a n =17-4n . 当n ≤4时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =a 1+a 2+…+a n =na 1+(1)2n n -d =13n +(1)2n n -×(-4) =15n -2n 2;当n ≥5时,T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =(a 1+a 2+a 3+a 4)-(a 5+a 6+…+a n ) =S 4-(S n -S 4)=2S 4-S n =2×(131)42+⨯-(15n -2n 2) =2n 2-15n +56.∴T n =22152(4),21556(5).n n n n n n ⎧-≤⎪⎨-+≥⎪⎩18.在等差数列{a n }中,a 10=23,a 25=-22. (1)数列{a n }前多少项和最大? (2)求{|a n |}的前n 项和S n . 【解析】(1)由11923,2422,a d a d +=⎧⎨+=-⎩得150,3,a d =⎧⎨=-⎩∴a n =a 1+(n -1)d =-3n +53. 令a n >0,得n <533, ∴当n ≤17,n ∈N *时,a n >0; 当n ≥18,n ∈N *时,a n <0, ∴{a n }的前17项和最大. (2)当n ≤17,n ∈N *时,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =na 1+(1)2n n -d =-32n 2+1032n . 当n ≥18,n ∈N *时,|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 17-a 18-a 19-…-a n =2(a 1+a 2+…+a 17)-(a 1+a 2+…+a n ) =2223103310317172222n n ⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=32n 2-1032n +884. ∴S n =223103,17,*,223103884,18,*,22n n n n N n n n n N ⎧-+≤∈⎪⎪⎨⎪-+≥∈⎪⎩19.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a n }为等差数列,a 1=12,d =-2. (1)求S n ,并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象;(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围,并求{S n }的最大(或最小)的项; (3){S n }有多少项大于零? 【解析】(1)S n =na 1+(1)2n n - d =12n +(1)2n n -×(-2)=-n 2+13n .图象如图.(2)S n =-n 2+13n =-2132n ⎛⎫- ⎪⎝⎭+1694,n ∈N *,∴当n =6或n =7时,S n 最大;当1≤n ≤6时,{S n }单调递增;当n ≥7时,{S n }单调递减.{S n }有最大值,最大项是S 6,S 7,S 6=S 7=42. (3)由图象得{S n } 中有12项大于零.20.已知等差数列{a n }的前n 项和S n =n 2-2n ,求a 2+a 3-a 4+a 5+a 6. 【解析】∵S n =n 2-2n , ∴当n ≥2时,a n =S n -S n -1 =n 2-2n -[(n -1)2-2(n -1)]=n 2-2n -(n -1)2+2(n -1)=2n -3, ∴a 2+a 3-a 4+a 5+a 6 =(a 2+a 6)+(a 3+a 5)-a 4 =2a 4+2a 4-a 4=3a 4 =3×(2×4-3)=15.21.设S n是数列{a n}的前n项和且n∈N*,所有项a n>0,且S n=14a2n+12a n-34.(1)证明:{a n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)证明:当n=1时,a1=S1=14a21+12a1-34,解得a1=3或a1=-1(舍去).当n≥2时,a n=S n-S n-1=14(a2n+2a n-3)-14(a2n-1+2a n-1-3).所以4a n=a2n-a2n-1+2a n-2a n-1,即(a n+a n-1)(a n-a n-1-2)=0,因为a n+a n-1>0,所以a n-a n-1=2(n≥2).所以数列{a n}是以3为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知a n=3+2(n-1)=2n+1.22.求等差数列{4n+1}(1≤n≤200)与{6m-3}(1≤m≤200)的公共项之和.【解析】由4n+1=6m-3(m,n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200),可得2,31,m tn t=⎧⎨=-⎩(t∈N*且23≤t≤67).则等差数列{4n+1}(1≤n≤200),{6m-3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t-1)+1}(t∈N*且23≤t≤67),即{12t-3}(t∈N*且23≤t≤67),各项之和为67×9+67662⨯×12=27 135.。
4.2.1 等差数列的概念考点一 判断是否为等差数列【例1】(2020·上海高二课时练习)下列数列中,不是等差数列的是( ) A .1,4,7,10B .lg2,lg4,lg8,lg16C .54322,2,2,2D .10,8,6,4,2【答案】C【解析】根据等差数列的定义,可得:A 中,满足13n n a a +-=(常数),所以是等差数列;B 中,lg 4lg 2lg8lg 4lg16lg8lg 2---=-=(常数),所以是等差数列;C 中,因为453423222222-≠--≠,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列;D 中,满足12n n a a +-=-(常数),所以是等差数列.故选:C.【一隅三反】1.(2019·山西应县一中期末(理))若{}n a 是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是( )A .{}2naB .1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C .{}3n aD .{}n a【答案】C 【解析】A:22n+1n a -a =(a n +a n+1)(a n+1﹣a n )=d[2a 1+(2n ﹣1)d],与n 有关系,因此不是等差数列.B:n+1n 11-a a =n+1n -da a ⨯=[]11-d a +nd a +n-1d ⨯()() 与n 有关系,因此不是等差数列.C:3a n+1﹣3a n =3(a n+1﹣a n )=3d 为常数,仍然为等差数列;D: 当数列{a n }的首项为正数、公差为负数时,{|a n |}不是等差数列;故选:C 2.(2020·全国高一课时练习)已知下列各数列,其中为等差数列的个数为( ) ① 4,5,6,7,8,… ② 3,0,-3,0,-6,… ③ 0,0,0,0,… ④ 1234,,,,10101010… A .1 B .2C .3D .4【答案】C【解析】第一个数列是公差为1的等差数列.第二个数列是摆动数列,不是等差数列.第三个是公差为0的等差数列.第四个是公差为110的等差数列.故有3个等差数列,所以选C. 3.(2020·全国课时练习)已知数列{}n a ,c 为常数,那么下列说法正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列时,不一定是等差数列B .若{}n a 不是等差数列时,一定不是等差数列C .若是等差数列时,{}n a 一定是等差数列 D .若不是等差数列时,{}n a 一定不是等差数列【答案】D【解析】当{}n a 是等差数列时,由等差数列的性质可知,一定是等差数列,A 错;对于数列{}n a :1,2,4,5,令,则为等差数列,B 错;当c 为0时, 0,0,0,0是等差数列,但{}n a 不是等差数列,C 错.故选D .考点二 求等差数列的项或通项【例2】(1)(2020·兴安县第三中学期中)由1a =4,3d =确定的等差数列{}n a ,当a n =28时,序号n 等于( ) A .9B .10C .11D .12(2)(2020·广西南宁三中开学考试)在单调递增的等差数列{}n a 中,若31a =,2434a a =,则1a =( ) A .1-B .12-C .0D .12【答案】(1)A (2)C【解析】(1)因为14a =,3d =,所以()1131n a a n d n =+-=+,所以3128n a n =+=,解得9n = 故选:A(2)因为{}n a 是等差数列,所以3121a a d =+=,()()11334a d a d ++=, 解得:12d =,10a =故选:C【一隅三反】1.(2020·江苏江都·邵伯高级中学月考)等差数列{}n a 中,37158a a a ++=,83a =,则9a =( )A .2B .5C .11D .13【答案】A【解析】因为37158a a a ++=,得13228a d +=①,又83a =,得173a d +=②,由①②得:1101a d =⎧⎨=-⎩,故9181082a a d =+=-=.故选:A.2.(2020·兴安县第三中学期中)在数列{}n a 中,1a =2,12n n a a +-=,则51a 的值为( ) A .96 B .98 C .100 D .102【答案】D【解析】因为1a =2,12n n a a +-=,所以数列{}n a 是以2为首项,2为公差的等差数列,所以2n a n =,所以51251102a =⨯=故选:D3.(2020·广西南宁三中开学考试)数列{}n a 中,15a =,13n n a a +=+,那么这个数列的通项公式是( ) A .31n - B .32n + C .32n - D .31n +【答案】B【解析】因为13n n a a +-=,所以数列{}n a 是以5为首项,3为公差的等差数列,则()*53132,n a n n n N =+-=+∈.故选:B考点三 等差中项【例2】(1)(2020·全国高一课时练习)已知a =,b =a,b 的等差中项为( )A BCD (2)(2020·昆明市官渡区第一中学开学考试(文))已知0,0a b >>,并且111,,2a b成等差数列,则9a b +的最小值为_________. 【答案】(1)A (2)16【解析】(1)13a ==+,b ==,a b ∴的等差中项为122a b A +==⨯12=⨯= A.(2)由题可得:111a b +=,故1199(9)()1916a ba b a b a b b a+=++=+++≥ 【一隅三反】1.(2020·广东濠江·金山中学高一月考)在等差数列{} n a 中,若288a a +=,则()2375a a a +-=___________.【答案】60;【解析】在等差数列{}n a 中,288a a +=,28528a a a ∴+==,解得54a =,2237555()(2)64460a a a a a +-=-=-=.故答案为:602.(2020·全国其他(理))已知数列{}n a 为等差数列,若2533a a a +=,且4a 与72a 的等差中项为6,则5a =( ) A .0 B .1C .2D .3【答案】D【解析】设{}n a 的公差为d .数列{}n a 为等差数列,2533a a a +=,且4a 与72a 的等差中项为6,∴1111143(2)32(6)12a d a d a d a d a d +++=+⎧⎨+++=⎩,解得11a =-,1d =,5143a ∴=-+=.故选:D .3.(2019·兴安县第三中学期中)已知等差数列{}n a 的前三项为1,1,23a a a -++,则此数列的首项1a=______ . 【答案】1-【解析】依题意可得()()()12321a a a -++=+,解得0a =,故等差数列{}n a 的前三项为1,1,3-,所以11a =-故答案为:1-考点四 证明数列为等差数列【例4】(2019·全国高一课时练习)设数列{a n }满足当n >1时,a n =1114n n a a --+,且a 1=15.(1)求证:数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列;(2)a 1a 2是否是数列{a n }中的项?如果是,求出是第几项;如果不是,请说明理由. 【答案】(1)见证明;(2) a 1a 2是数列{a n }中的项,是第11项.【解析】(1)证明:根据题意a 1=15及递推关系a n ≠0.因为a n =1114n n a a --+.取倒数得111n n a a -=+4, 即111n n a a --=4(n >1),所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为5,公差为4的等差数列. (2)解:由(1),得1n a =5+4(n -1)=4n +1,141n a n =+. 又121111594541a a n =⨯==+,解得n =11. 所以a 1a 2是数列{a n }中的项,是第11项. 【一隅三反】1.(2020·全国高一课时练习)已知2()2x f x x =+,在数列{}n a 中,113a =,1()n n a f a -=*2,n n N ≥∈。
4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d_表示. (2)符号语言:a n +1-a n =d (d 为常数,n ∈N *). 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.(2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,即该常数与n 无关.(3)求公差d 时,可以用d =a n -a n -1来求,也可以用d =a n +1-a n 来求.注意公差是每一项与其前一项的差,且用a n -a n -1求公差时,要求n ≥2,n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件:如果a ,A ,b 成等差数列. (2)结论:那么A 叫做a 与b 的等差中项. (3)满足的关系式是________. 【重点概要】在等差数列{a n }中,任取相邻的三项a n -1,a n ,a n +1(n ≥2,n ∈N *),则a n 是a n -1与a n +1的等差中项. 反之,若a n -1+a n +1=2a n 对任意的n ≥2,n ∈N *均成立,则数列{a n }是等差数列.因此,数列{a n }是等差数列⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2,n ∈N *).用此结论可判断所给数列是不是等差数列,此方法称为等差中项法.要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项,d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n =1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列,首项为a 1,公差为d ,则a n =f(n)=a 1+(n -1)d =nd +(a 1-d). (1)点(n ,a n )落在直线y =dx +(a 1-d)上; (2)这些点的横坐标每增加1,函数值增加d. 【基础自测】1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关.( )(3)若三个数a ,b ,c 满足2b =a +c ,则a ,b ,c 一定是等差数列.( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列,公差仍然与原数列相等.( ) 【答案】(1)×(2)√(3)√(4)×2.(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A .1,1,1,1,1 B .4,7,10,13,16 C.13,23,1,43,53 D .-3,-2,-1,1,2 【答案】ABC3.已知等差数列{a n }的通项公式a n =3-2n ,则它的公差d 为( )A .2B .3C .-2D .-3 【答案】C【解析】由等差数列的定义,得d =a 2-a 1=-1-1=-2.故选C. 4.在△ABC 中,三内角A 、B 、C 成等差数列,则B 等于________. 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列, 所以2B =A +C ,又因为A +B +C =180°, 所以3B =180°,所以B =60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中,已知a 6=12,a 18=36,则a n =________. (2)已知数列{a n }为等差数列,a 3=54,a 7=-74,则a 15=________.【答案】(1)2n (2)-314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+5d =12a 1+17d =36,⎩⎪⎨⎪⎧解得d =2,a 1=2,∴a n =2+(n -1)×2=2n .(2)法一:(方程组法)由⎩⎨⎧a 3=54,a 7=-74,得⎩⎨⎧a 1+2d =54,a 1+6d =-74,解得⎩⎨⎧a 1=114,d =-34,∴a 15=a 1+(15-1)d =114+14×⎝⎛⎭⎫-34=-314. 法二:(利用a m =a n +(m -n )d 求解)由a 7=a 3+(7-3)d ,即-74=54+4d ,解得d =-34,∴a 15=a 3+(15-3)d =54+12×⎝⎛⎭⎫-34=-314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 【解析】∵a n =2+(n -1)×7=7n -5, 由7n -5=100,得n =15, ∴100是这个数列的第15项.探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的题目:把100个面包分给五个人,使每个人所得成等差数列,最大的三份之和的17是最小的两份之和,则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包, 设最小的一份为a 1,公差为d ,由题意可得[20+(a 1+3d )+(a 1+4d )]×17=a 1+(a 1+d ),解得a 1=53,故选D.【方法归纳】(1)已知a n ,a 1,n ,d 中的任意三个量,求出第四个量.(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ,运用了方程的思想.一般地,可由a m =a ,a n =b ,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+(m -1)d =aa 1+(n -1)d =b ,求出a 1和d ,从而确定通项公式.(3)若已知等差数列中的任意两项a m ,a n ,求通项公式或其它项时,则运用a m =a n +(m -n )d 较为简捷. 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中,a 1=13,a 2+a 5=4,a n =33,则n 等于( )A .50B .49C .48D .47 【答案】A【解析】由题得2a 1+5d =4,将a 1=13代入得,d =23,则a n =13+23(n -1)=33,故n =50.(2)等差数列{a n }中,已知a 5=10,a 12=31. ①求a 20;②85是不是该数列中的项?若不是,说明原因;若是,是第几项? 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5=10,a 12=31,由a n =a 1+(n -1)d 得,⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+4d =10,a 1+11d =31,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-2,d =3. 即a n =-2+3(n -1)=3n -5,则a 20=3×20-5=55. ②令3n -5=85,得n =30,所以85是该数列{a n }的第30项. 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1=4且a n =4-4a n -1(n >1),记b n =1a n -2.(1)求证:数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.【解析】(1)证明:∵b n +1-b n =1a n +1-2-1a n -2=1⎝⎛⎭⎫4-4a n -2-1a n -2=a n 2(a n -2)-1a n -2=a n -22(a n -2)=12又b 1=1a 1-2=12∴数列{b n }是首项为12,公差为12的等差数列.(2)由(1)知,b n =12+(n -1)×12=12n ∵b n =1a n -2∴a n =1b n +2=2n+2.要证{b n }是等差数列,只需证b n +1-b n =常数或b n -b n -1=常数(n ≥2).【变式探究1】将本例中的条件“a 1=4,a n =4-4a n -1”改为“a 1=2,a n +1=2a na n +2”,求a n .【解析】∵a n +1=2a na n +2∴取倒数得:1a n +1=a n +22a n =12+1a n ∴1a n +1-1a n =12,又1a 1=12,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12,公差为12的等差数列, ∴1a n =1a 1+(n -1)×12=12+n 2-12=n 2,∴a n =2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤: (1)作差a n +1-a n ,将差变形;(2)当a n +1-a n 是一个与n 无关的常数时,数列{a n }是等差数列;当a n +1-a n 不是常数,是与n 有关的代数式时,数列{a n }不是等差数列.【跟踪训练】已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1=2a n +2n .(1)设b n =a n2n -1,证明:数列{b n }是等差数列.(2)求数列{a n }的通项公式.【解析】(1)证明:因为a n +1=2a n +2n ,所以a n +12n =2a n +2n 2n =a n2n -1+1,所以a n +12n -a n2n -1=1,n ∈N *.又b n =a n2n -1,所以b n +1-b n =1.所以数列{b n }是等差数列,其首项b 1=a 1=1,公差为1. (2)由(1)知b n =1+(n -1)×1=n ,所以a n =2n -1b n =n ·2n -1,经检验,n =1时a 1=1也满足上式. 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列,其和为15,其平方和为83,则这三个数为________. 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x -d ,x ,x +d , 则⎩⎪⎨⎪⎧(x -d )+x +(x +d )=15(x -d )2+x 2+(x +d )2=83 解得x =5,d =±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数. 【解析】法一:(设四个变量)设这四个数分别为a ,b ,c ,d ,根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧b -a =c -b =d -c ,a +b +c +d =26,bc =40,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,b =5,c =8,d =11或⎩⎪⎨⎪⎧a =11,b =8,c =5,d =2,∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二:(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1,公差为d ,根据题意,得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1+(a 1+d )+(a 1+2d )+(a 1+3d )=26,(a 1+d )(a 1+2d )=40,化简,得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1+6d =26,a 21+3a 1d +2d 2=40, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=2,d =3,或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=11,d =-3,∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三:(灵活设元)设这四个数分别为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d ,根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ (a -3d )+(a -d )+(a +d )+(a +3d )=26,(a -d )(a +d )=40,化简,得⎩⎪⎨⎪⎧4a =26,a 2-d 2=40,解得⎩⎨⎧a =132,d =±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d【变式探究3】已知五个数成等差数列,它们的和为5,平方和为859,求这5个数.【解析】设第三个数为a ,公差为d ,则这5个数分别为a -2d ,a -d ,a ,a +d ,a +2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a -2d )+(a -d )+a +(a +d )+(a +2d )=5,(a -2d )2+(a -d )2+a 2+(a +d )2+(a +2d )2=859, 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a =5,5a 2+10d 2=859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,d =±23. 当d =23时,这5个分数分别是-13,13,1,53,73.当d =-23时,这5个数分别是73,53,1,13,-13.综上,这5个数分别是-13,13,1,53,73或73,53,1,13,-13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时,可设中间的一项为a ,再以d 为公差向两边分别设项,即设为…,a -2d ,a -d ,a ,a +d ,a +2d ,…;当等差数列的项数n 为偶数时,可设中间两项分别为a -d ,a +d ,再以2d 为公差向两边分别设项,即设为…,a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d ,….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列,首项为125,它从第10项开始比1大,那么公差d 的取值范围是( )A .d >875B .d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1=125,且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125+9d >1125+8d ≤1解得875<d ≤325,故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ,只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1,是审题不仔细而致误; (2)错选C ,误认为a 9<1,是由不会读题,马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题,充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1.等差数列{}n a 的公差为3,若2a ,4a ,8a 成等比数列,则{}n a 的前2n 项2n S =( ). A .3(21)n n - B .3(21)n n + C .3(1)2n n + D .3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式,进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3,且2a ,4a ,8a 成等比数列,2428a a a ∴=,()()2222618a a a ∴+=+,解得26a =,1233a a ∴=-=,{}∴n a 的前2n 项, 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+.故选:B .2.已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=,下列结论正确的是( ) A .当11a =时,10a 的最大值258 B .当11a =时,9a 的最小值384- C .当101a =时,1a 的最小值17- D .当91a =时,1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得:12n n a a +-=或120n n a a ++=,即{}n a 是等差数列或等比数列,A 选项分别把两种情况下的10a 算出来,比较大小,求出10a 的最大值,同样的道理,其他选项也可以判断出来,进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项,当120n n a a +--=时,{}n a 是等差数列,公差为2,当11a =时,101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时,12n na a +=-,{}n a 是等比数列,公比为-2,当11a =时,()9102512a =-=-,10a 的最大值为19,故A 选项错误;B 选项,当120n n a a +--=时,{}n a 是等差数列,公差为2,当11a =时,91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时,12n na a +=-,{}n a 是等比数列,公比为-2,当11a =时,()892256a =-=,9a 的最小值为17,故B 选项错误;C 选项,当120n n a a +--=时,{}n a 是等差数列,公差为2,当101a =时,即1192a +⨯=,解得:117a =- 当120n n a a ++=时,12n n a a +=-,{}n a 是等比数列,公比为-2,当101a =时,即()9112a -=,解得:11512a =-,117512<--,故1a 的最小值为17-,故选项C 正确 D 选项,当120n n a a +--=时,{}n a 是等差数列,公差为2,当91a =时,1161a += ,解得:115a =- 当120n n a a ++=时,12n n a a +=-,{}n a 是等比数列,公比为-2,当91a =时,即()8112a -=,解得:11256a =,此时1a 的最大值为1256,D 选项错误 故选:C3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若235a a +=,728S =,则数列{}n a 的公差为( ) A .1- B .2-C .1D .2【答案】C 【分析】由等差数列性质,747S a =求得44a =,根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知,74728S a ==,则44a =,设数列公差为d ,则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=, 解得1d =, 故选:C4.在等差数列{}n a 中,前9项和918S =,266a a +=,则3n a =( ) A .33-n B .35n + C .73n - D .213n -【答案】C 【分析】根据918S =,266a a +=,可求得公差,再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解:()199599182a a S a ===+,52a ∴=,又26426a a a +==,43a ∴=,∴公差541d a a =-=-,()447n a a n d n =+-⋅=-,373n a n ∴=-.故选:C.5.在ABC ∆中,“π3B =”是“角A ,B ,C 成等差数列”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =,则2π23AC B +==,若A ,B ,C 成等差数列,则π3B =,得到答案. 【解析】在ABC ∆中,若π3B =,则2ππ23A CB B +=-==,所以A ,B ,C 成等差数列,充分性成立. 反之,若A ,B ,C 成等差数列,则2B A C =+,因为3πA B C B ++==,所以π3B =,必要性成立.所以“π3B =”是“角A ,B ,C 成等差数列”的充要条件. 故选:C.6.已知数列{}n a 的前n 项和n S ,且{}n a 满足122n n n a a a ++=+,532a a -=,若424S S =,则9a =( ) A .9 B .172C .10D .192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列,然后将条件化为基本量,进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知,{}n a 是等差数列,设公差为d ,所以53221a a d d -==⇒=, 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==,所以9117822a =+=. 故选:B.7.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3724a a +=,840S =,则29a a +等于( ) A .44- B .14C .24D .38【答案】D 【分析】根据条件,列出方程组,求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,由3724a a +=,840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选:D8.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,43a =,1224S =,若i 0j a a +=(i ,j N *∈,且1i j ≤<),则i 的取值集合是( )A .{}1,2,3B .{}1,2,3,4,5C .{}6,7,8D .{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ,结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差,即可写出数列中的项,从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ,由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=,解得19a =-,2d =, 所以数列为9-,7-,5-,3-,1-,1,3,5,7,9,11,…,故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9.将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵,如下图: 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列,每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+,记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有( ) A .3m =B .767173a =⨯C .1()313j ij a i -=⨯-D . (13)131(4)n S n n =-+ 【答案】ACD 【分析】根据题意,利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式,对各选项进行判断,即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+,,可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+,,所以22251m m =++,解得3m =或12m =- (舍去),所以选项A 是正确的; 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯,所以选项B 不正确;又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯,所以选项C 是正确的;又由这2n 个数的和为S ,则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-,所以选项D 是正确的; 故选:ACD.10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3=0,a 4=8,则( )A .S n =2n 2-6nB .S n =n 2-3nC .a n =4n -8D .a n =2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ,由此求得,n n a S ,从而确定正确选项,【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩, 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩, 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选:AC11.已知等差数列{a n }中,a 1=3,公差为d (d ∈N *),若2021是该数列的一项,则公差d 不可能是( ) A .2B .3C .4D .5【答案】BCD【分析】由已知得2021=3+(n -1)d ,即有n =2018d +1,因为d ∈N *,所以d 是2 018的约数,故d 不可能是3,4和5.由此可得选项.【解析】解:由2021是该数列的一项,即2021=3+(n -1)d ,所以n =2018d+1,因为d ∈N *,所以d 是2 018的约数,故d 不可能是3,4和5.故选:BCD.第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12.设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +,则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时,求得114a =;当2n ≥时,可得21()4n n S a =+,则2111()4n n S a --=+, 两式相减得到112n n a a --=,结合等差数列的定义,即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+,当1n =114a =+,可得2111()4a a =+,解得114a =, 当2n ≥时,可得21()4n n S a =+,则2111()4n n S a --=+, 两式相减,可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=, 因为0n a >,所以112n n a a --=, 所以数列{n a }是以12为公差,以14为首项的等差数列, 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为:21()4n n N +-∈. 13.在等差数列{a n }中,a 3=0.如果a k 是a 6与a k +6的等比中项,那么k =________.【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得a 3=a 1+2d =0,∈a 1=-2d .又∈a k 是a 6与a k +6的等比中项,266k k a a a +∴=,即[a 1+(k -1)d ]2=(a 1+5d )·[a 1+(k +5)d ],[(k -3)d ]2=3d ·(k +3)d ,解得k =9或k =0(舍去). 故答案为:914.在等差数列{a n }中,a 1+a 5=2,a 3+a 7=8,则a 11+a 15=________.【答案】32【分析】由a 1+a 5=2,a 3+a 7=8,两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1+a 5=2,a 3+a 7=8,所以(a 3+a 7)-(a 1+a 5)=4d =6,解得d =32, 所以a 11+a 15=(a 1+a 5)+20d =2+20×32=32. 故答案为:32四、解答题15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且28S =,9411S a =. (1)求n a ;(2)若3n n S a =+2 ,求n .【答案】(1)21n a n =+(2)4n =【分析】(1)设公差为d ,根据28S =,9411S a =,列出方程组,求得首项跟公差,即可得出答案; (2)利用等差数列前n 项和的公式求得n S ,再根据3n n S a =+2 ,即可的解. (1)解:设公差为d ,由已知294811S S a =⎧⎨=⎩, 得:()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩,解得:132a d =⎧⎨=⎩, 所以21n a n =+;(2)解:()232122n n n S n n ++==+, 因为3n n S a =+2 ,即()223212n n n +=++,得2450n n --=,解得4n =,或1n =-(舍去), 所以4n =.16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1646,2a a a +==. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】(1)102n a n =-(2)当4n =或5n =时,n S 有最大值是20【分析】(1)用等差数列的通项公式即可. (2)用等差数列的求和公式即可. (1)在等差数列{}n a 中,∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩, 解得182a d =⎧⎨=-⎩, ∈1(1)102n a n d a n ==--+;(2)∈18,2a d ==-,1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ , ∈当4n =或5n =时,n S 有最大值是20。
4.2.1 等差数列的概念(2) -B 提高练一、选择题1.(2021·江苏高二期末)在等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=6,则a 1+a 7=( ) A .2 B .3C .4D .5【答案】C【详解】由等差数列的性质,得a 3+a 4+a 5=3a 4=6,解得a 4=2,∴a 1+a 7=2a 4=4,故选:C . 2.(2021·云南楚雄高二期末)在等差数列{}n a 中,2510a a +=,3614a a +=,则58a a +=( ) A .12 B .22C .24D .34【答案】B【详解】设数列{}n a 的公差为,d 则()362514102,22a a a a d =+-+-==故58526106222a a a a d +=++=+⨯=.故选:B3.(2021·江苏扬州市·高二期末)《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今三十织迄……”其大意为:有一女子不善于织布,每天比前一天少织同样多的布,第一天织5尺,最后一天织一尺,三十天织完…….则该女子第11天织布( ) A .113尺 B .10529尺 C .6529尺 D .73尺 【答案】B【详解】设女子每天的织布数构成的数列为{}n a ,由题设可知{}n a 为等差数列,且1305,1a a ==,故公差15430129d -==--,故()1114401051115292929a a ⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪⎝⎭,故选:B. 4.(2020·周口市中英文学校高二月考)设数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,且125a =,175b =,22100a b +=,则3737a b +等于( )A .0B .37C .100D .37-【答案】C【详解】解:因为数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,所以数列{}n n a b +是等差数列, 因为125a =,175b =,22100a b +=,所以数列{}n n a b +的公差为0,首项为100, 所以100n n a b +=,所以3737100a b +=,故选:C5.(多选题)(2021·福建三明一中高二期末)设d 为正项等差数列{}n a 的公差,若0d >,32a =,则( )A .244a a ⋅<B .224154a a +≥C .15111a a +> D .1524a a a a ⋅>⋅【答案】ABC【详解】由题知,只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩,()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<,A 正确;()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥,B 正确; 21511111122221a a d d d +=+=>-+-,C 正确; ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<,所以1524a a a a ⋅<⋅,D 错误.6. (多选题)(2021·广东佛山高二期末)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).关于这个问题,下列说法正确的是( ) A .甲得钱是戊得钱的2倍B .乙得钱比丁得钱多12钱C .甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D .丁、戊得钱的和比甲得钱多13钱 【答案】AC【详解】依题意,设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -,a d -,a ,a d +,2a d +,且22a d a d a a d a d -+-=++++,即6a d =-,又2255a d a d a a d a d a -+-+++++==, ∴1a =,16d =-,即1421263a d ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭,17166a d ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭,15166a d ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭,1221263a d ⎛⎫+=+⨯-= ⎪⎝⎭,∴甲得43钱,乙得76钱,丙得1钱,丁得56钱,戊得23钱,则有如下结论: 甲得钱是戊得钱的2倍,故A 正确;乙得钱比丁得钱多751663-=钱,故B 错误;甲、丙得钱的和是乙得钱的413276+=倍,故C 正确; 丁、戊得钱的和比甲得钱多52416336+-=钱,故D 错误.故选:AC . 二、填空题7.(2020·吴起高级中学高二月考)等差数列{}n a 中,284166a a a +==,,则公差d =_____________. 【答案】2【详解】因为数列{}n a 是等差数列,所以285216a a a =+=,所以58a =,所以公差54862d a a =-=-=.8.(2020·丰县华山中学高二月考)若2、a 、b 、c 、8成等差数列,则ca=___________. 【答案】137【详解】2、a 、b 、c 、8成等差数列,所以82342d -==,所以37222a =+=,3132322c =+⨯=, 所以137c a =,故答案为:1379.(2021·江苏扬州仪征中学高二期末)等差数列n a 中,若2a ,2020a 为方程210160x x -+=的两根,则110112021a a a ++等于__________. 【答案】15【详解】2a ,2020a 为方程210160x x -+=的两根,2022010a a ∴+=,由等差数列的性质得1011210a =,即10115a =, 1101120211011315a a a a ∴++==.10.(2021·天津高二期末)已知函数()f x 在()1,-+∞上单调,且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且()()5051f a f a =,则1100a a +等于________. 【答案】2-【详解】由题意函数()2y f x =-的图象关于1x =对称,则函数()f x 的图象关于1x =-对称,且在()1,-+∞上单调,因为()()5051f a f a =,所以50512a a +=- 因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列,所以110050512a a a a ++=-= 三、解答题11.(2021·上海高二课时练)方程220,0x x a x x b -+=-+=的四个根组成首项为14的等差数列,求其公差d 及,a b 的值.【详解】设20x x a -+=的两根为2,,0m n x x b -+=的两根为,g h ,它们组成的等差数列为{}n x . 根据等差数列的性质,可设(1)12341,,,4x m x g x h x n =====, 则有4411,41.4x x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和23231,.x x x x b +=⎧⎨=⎩ 14113,+3444x x d ===,∴公差16d =,所以14232335735,,,161212144a x x x xb x x ======. ∴公差1335,,.616144d a b === (2)12341,,,4x g x m x n x h =====, 有4411,41.4x x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和23231,.x x x x a +=⎧⎨=⎩ 14113,+3444x x d ===,∴公差16d =,所以14232335735,,,161212144b x x x x a x x ====== ∴公差1353,,614416d a b ===. 综上所述,公差1335,,.616144d a b ===或公差1353,,614416d a b ===. 12.(2021·全国高二课时练)在正项无穷等差数列{}n a 中,已知5721012,=7a a a a =+. (1)求通项公式n a .(2)设n n b a t =+,且对一切*n ∈N ,恒有22n n b b =,求t 的值.对一切*,k n ∈N ,是否恒有kn n b kb =?请说明理由.【详解】(1)∵210577a a a a +=+=,又∵5712a a =,∴5734a a =⎧⎨=⎩,,或5743.a a =⎧⎨=⎩,当5743.a a =⎧⎨=⎩,时,11322n a n =-+,不恒为正,舍去.∴5734a a =⎧⎨=⎩,,∴1122n a n =+(2)2111,222n n n b a t n t b n t =+=++=++,∴1+212n t n t ++=+. ∴12t =-,∴12n b n =.因为12kn n b kn kb ==,所以恒有kn n b kb =.。
人教A 版(2019)选择性必修第二册《4.2.1 等差数列的概念》提升训练一 、单选题(本大题共13小题,共65分)1.(5分)已知f(x)={x log 23,(x ⩽5)f(x −2),(x >5),则f(2012)=( )A. 81B. 9C. 3D. √32.(5分)已知函数f(x)是定义在[1−2m ,m]上的偶函数,∀x 1,x 2∈[0,m],当x 1≠x 2时,[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)<0,则不等式f(x −1)⩽f(2x )的解集是( )A. [−1,13] B. [−12,13] C. [0,13]D. [0,12]3.(5分)已知集合A ={x|2x⩾1},B ={−1,0,1,2,3},则A −∩B =()A. {0,1,2}B. {1,2}C. {−1,0,3}D. {−1,3}4.(5分)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯,人们把函数y =[x],x ∈R 称为高斯函数,其中[x]表示不超过x 的最大整数,例如:[−2.1]=−3,[3.1]=3.那么函数f(x)=[2sinx ⋅cosx]+[sinx +cosx]的值域内元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 55.(5分)[2021 石家庄二中高一期中]函数f(x)=√−x +1x+3的定义城为( )A. (-3,0]B. (-3,1]C. (-∞,-3)∪(-3,0]D. (-∞,-3)∪(-3,1]6.(5分)若函数f(x)=3sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象过点(2π3,−3),相邻两条对称轴间的距离是π2,则下列四个结论中,错误的结论是()A. ω=2B. φ=π6C. f(x +π6)为偶函数 D. f(x +π12)为奇函数7.(5分)等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 6=9则数列{a n }的前9项的和S 9等于( )A. 96B. 99C. 144D. 1988.(5分)设a ,b 是两条直线,α,β是两个平面,则下列4组条件中:①a ⊂α,b//β,α⊥β;②a ⊥α,b ⊥β,α⊥β;③a ⊂α,b ⊥β,α//β;④a ⊥α,b//β,α//β.能推得a ⊥b 的条件有( )组.A. 1B. 2C. 3D. 49.(5分)已知f(x)=2sin 2(ωx +π3)−1(ω>0),给出下列结论: ①若f(x 1)=1,f(x 2)=−1,且|x 1−x 2|min =π,则ω=1;②存在ω∈(0,2),使得f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于y 轴对称;③若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点,则ω的取值范围为[4124,4724];④若f(x)在[−π6,π4]上单调递增,则ω的取值范围为(0,23]. 其中,所有错误结论的编号是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④10.(5分)下面大小关系恒成立的一组是( )A. a 0.1>a 0(0<a <1)B. ln 2<≶1C. sinα<α(0<α<π2)D. sinα<cosα(0<α<π2)11.(5分)分层抽样适合的总体是()A. 总体容量较多B. 样本容量较多C. 总体中个体有差异D. 任何总体12.(5分)我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(chumeng )是底面为矩形,顶部只有一条棱的五面体.如图,五面体ABCDEF 是一个刍甍.四边形ABCD 为矩形,ΔADE 与ΔBCF 都是等边三角形,AB =4,AD =EF =2,则此“刍甍”的表面积为( )A. 8+8√3B. 8+7√3C. 8+5√3D. 8+4√313.(5分)若A ,B 是互斥事件,则( )A. P(A)+P(B)<1B. P(A)+P(B)>1C. P(A)+P(B)=1D. P(A)+P(B)⩽1二 、填空题(本大题共5小题,共25分)14.(5分)执行如图所示的流程图,则输出的S 的值为 ______ .15.(5分)如果x ,y ∈R ,且2x =18y =6xy ,那么x +y 的值为______. 16.(5分)函数f(x)=log 2(x −3)定义域是 ______ .17.(5分)平行四边形ABCD 中,A(2,−1),B(3,1),C(0,3),则CD →的坐标为 ______. 18.(5分)若两平行直线2x +y −4=0与y =−2x −k −2的距离不大于√5,则k 的取值范围是______.三 、解答题(本大题共5小题,共60分)19.(12分)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知bsinA =acos(B −π6).(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,求sin 2A +sin 2B +sin 2C 的取值范围.20.(12分)在等差数列{a n }中,a 1+a 3=8,且a 4为a 2和a 9的等比中项,求数列{ {a n }的首项、公差及前n 项和.21.(12分)已知f(x)=2sin(x +π3)cosx +sin(2x +π3)−√32. (1)求f(x)的值域;(2)若函数g(x)=f(x)−k 在[0,π4]上有两个不同的零点,求实数k 的取值范围. 22.(12分)某工厂生产了一批零件,从中随机抽取100个作为样本,测出它们的长度(单位:厘米),按数据分成[10,15],(15,20],(20,25],(25,30],(30,35]5组,得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.(1)估计该工厂生产的这批零件长度的平均值(同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替);(2)若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件,再从这5个零件中随机抽取2个,求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率.23.(12分)如图,在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中,侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ,AA 1=A 1C =AC =2,AB =BC ,且AB ⊥BC ,O 为AC 中点. (1)求证AC ⊥平面A 1OB ;(2)在BC 1上是否存在一点E ,使得OE//平面A 1AB ,若不存在,说明理由;若存在,确定点E的位置.答案和解析1.【答案】B;【解析】解:∵x >5时,f(x)=f(x −2),∴f(2012)=f(2×1003+6)=f(2×1003+6−2)=f(4), ∵4<5,∴f(4)=4log 23=22log 23=32. ∴f(2012)=9. 故选B .利用分段函数在不同区间内的解析式不同即可计算出函数值. 正确理解分段函数的意义是解答该题的关键.2.【答案】B;【解析】解:根据题意,f(x)为定义在[1−2m ,m]上的偶函数,则(1−2m )+m =0,解可得m =1,即函数的定义域为[−1,1];又由f(x)满足∀x 1,x 2∈[0,m],当x 1≠x 2时,[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)<0, 则f(x)在[0,1]上为减函数,则f(x −1)⩽f(2x )⇒f(|x −1|)⩽f(|2x |)⇒{−1⩽x −1⩽1−1⩽2x ⩽1|x −1|⩾|2x |,解可得:−12⩽x ⩽13;故选:B .根据题意,由函数奇偶性的定义可得(1−2m )+m =0,解可得m =1,即函数的定义域为[−1,1],又由单调性的定义分析可得f(x)在[0,m]上为减函数,进而可得f(x −1)⩽f(2x )⇒f(|x −1|)⩽f(|2x |)⇒{−1⩽x −1⩽1−1⩽2x ⩽1|x −1|⩾|2x |,解可得x 的取值范围,即可得答案.该题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,注意分析函数的单调性,属于基础题.3.【答案】C;【解析】解:集合A ={x|2x ⩾1}={x|0<x ⩽2},则A −={x|x >2或x ⩽0}, B ={−1,0,1,2,3}, 则A −∩B ={−1,0,3}. 故选:C.根据已知条件,结合交集的定义,即可求解. 此题主要考查交集、补集的运算,属于基础题.4.【答案】C;【解析】解:令sinx+cosx=t(−√2⩽t⩽√2),则g(t)=f(x)=[2sinx⋅cosx]+[sinx+cosx]=[t2−1]+[t],①当t=−√2时,t2−1=1,故g(−√2)=1−2=−1;②当−√2<t<−1时,0<t2−1<1,g(t)=0−2=−2;③当t=−1时,t2−1=0,g(−1)=0−1=−1;④当−1<t<0时,−1<t2−1<0,g(t)=−1−1=−2;⑤当t=0时,g(0)=−1+0=−1;⑥当0<t<1时,−1<t2−1<0,g(t)=0−1=−1;⑦当t=1时,g(1)=0+1=1;⑧当1<t<√2时,0<t2−1<1,g(t)=0+1=1;⑨当t=√2时,g(√2)=1+1=2;故共有4个值−2,−1,1,2;故选:C.令sinx+cosx=t(−√2⩽t⩽√2),从而化简g(t)=f(x)=[2sinx⋅cosx]+[sinx+ cosx]=[t2−1]+[t],再分类讨论求值即可.此题主要考查了函数性质,以及新定义的应用,应用了分类讨论的思想方法,属于中档题.5.【答案】C;【解析】因为{−x⩾0x+3≠0,所以x⩽0且x≠−3,所以函数f(x)=√−x+1x+3的定义域为(−∞,−3)∪(−3,0],故选C.6.【答案】D;【解析】解:∵函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象过点(2π3,−3),相邻两条对称轴间的距离是π2,∴12×2πω=π2,3sin(ω×2π3+φ)=−3,∴ω=2,sin(4π3+φ)=−1,∴φ=π6,故f(x)=3sin(2x+π6),故AB正确;∵f(x+π6)=3sin(2x+π2)=cos2x,为偶函数,故C正确;由于f(x+π12)=3sin(2x+π3),为非奇非偶函数,故D错误,故选:D.由周期求出ω,由特殊点点作图求出φ,可得函数的解析式,再利用正弦函数的图象和性质,得出结论.此题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式,由周期求出ω,由特殊点求出φ,正弦函数的图象和性质,属于中档题.7.【答案】B;【解析】解:∵在等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,∴a4=13,∵a6=9,∴a4+a6=22,又a4+a6=a1+a9,∴数列{a n}的前9项之和S9=9(a1+a9)2=99故选:B.由等差数列的性质可求得a4,=13,从而有a4+a6=22,由等差数列的前n项和公式即可求得答案.该题考查等差数列的性质,掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键,属于中档题.8.【答案】C;【解析】解:①∵b//β,∴过b与β相交的直线c//b,若c⊥α,则结论成立,否则不成立;②在α内作直线c垂直于α,β的交线,∵α⊥β,∴c⊥β,∵a⊥α,∴a⊥c,∵b⊥β,∴b//c,∴a⊥b,故结论成立;③∵b⊥β,α//β,∴b⊥α,∵a⊂α,∴a⊥b,故结论成立;④∵a⊥α,α//β,∴a⊥β,∵b//β,∴过b与β相交的直线c//b,a⊥c,∴a⊥b,故结论成立故选:C.①利用线面平行的性质,可得过b与β相交的直线c//b,若c⊥α,则结论成立,否则不成立;②在α内作直线c垂直于α,β的交线,则可得c⊥β,由a⊥α,可得a⊥c,由b⊥β,可得b//c,从而a⊥b;③由b⊥β,α//β,可得b⊥α,利用线面垂直的性质可得a⊥b;④由a⊥α,α//β,可得a⊥β,由b//β,可得过b与β相交的直线c//b,从而可得结论.此题主要考查空间线面位置关系,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.9.【答案】B;【解析】解:∵f(x)=2sin 2(ωx +π3)−1=−cos(2ωx +2π3)=sin(2ωx +π6),∴f(x)的最小正周期为2π2ω=πω.对于①:因为f(x 1)=1,f(x 2)=−1,且|x 1−x 2|min =π, 所以f(x)的最小正周期为 T =2π, ∴πω=2π,∴ω=12.故①错误;对于②:图像变换后所得函数为y =sin(2ωx +ωπ3+π6),若其图像关于 y 轴对称, 则ωπ3+π6=π2+kπ, k ∈Z ,解得 ω=1+3k , k ∈Z ,当 k =0时,ω=1∈(0,2).故②正确; 对于③:设t =2ωx +π6,当x ∈[0,2π]时,t =2ωx +π6∈[π6,4ωπ+π6]. f(x)在∈[0,2π]上有7个零点,即y =sint 在t ∈[π6,4ωπ+π6]上有7个零点. 则7π⩽4ωπ+π6<8π,解得4124⩽ω<4724.故③错误; 对于④:由−π2+2kπ⩽2ωx +π6⩽π2+2kπ,k ∈Z ,得−π3ω+kπω⩽x ⩽π6ω+kπω,k ∈Z ,取 k =0,可得−π3ω⩽x ⩽π6ω, 若 f(x)在[−π6,π4]上单调递增,则{−π3ω⩽−π6π6ω⩾π4,解得0<ω⩽23.故④正确.故选:B.把已知函数解析式变形,求得函数的最小正周期为πω.由已知条件可得函数的最小正周期,求得ω值判断①;求出图象变换后的函数解析式,由对称性求得ω值判断②;求出函数的零点,再由已知列关于ω的不等式,求出ω范围判断③;求出函数的增区间,由题意列关于ω的不等式组,求得ω范围判断④.此题主要考查命题的真假判断与应用,考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质,考查逻辑思维能力与运算求解能力,是中档题.10.【答案】C;【解析】解:对于A :a 0.1<a 0(0<a <1),故A 不正确, 对于B :ln 2>≶1=0,故B 不正确, 对于C :sinα<α,(0<α<π2)恒成立,故C 正确,对于D :当0<α<π4时,sinα<cosα,当π4<α<π2时,sinα>cosα, 当α=π4时,sinα=cosα,故D 不正确,故选:C .根据指数函数判断A ,根据对数函数判断B ,根据三角函数判断D . 该题考查了指数函数,对数函数,三角函数的图象和性质,属于基础题.11.【答案】C;【解析】解:分层抽样适合的总体是总体中个体存在差异的情况, 故选:C.根据分层抽样的适用范围,可得答案.此题主要考查的知识点是抽样方法的适用范围,熟练掌握三种抽样方法的适用范围,是解答的关键.12.【答案】A;【解析】解:过F 作FO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,取BC 的中点P ,连结PF , 过F 作FQ ⊥AB ,垂足为Q ,连结OQ ,如图所示; ∵ΔADE 和ΔBCF 都是边长为2的等边三角形, ∴OP =12(AB −EF )=1,PF =√3,OQ =12BC =1,∴OF =√PF 2−OP 2=√2,FQ =√OF 2+OQ 2=√3, ∴S 梯形EFBA =S 梯形EFCB =12×(2+4)×√3=3√3, 又S ΔBCF =S ΔADE =√34×22=√3,S 矩形ABCD =4×2=8,∴几何体的表面积为S =2×3√3+2×√3+8=8+8√3. 故选:A .利用勾股定理求出梯形ABFE 的高,再计算出各个面的面积,从而求得表面积. 该题考查了线面距离的计算问题,也考查了多面体表面积的计算问题,是中档题.13.【答案】D;【解析】此题主要考查互斥事件的概率的性质,属于基础题. 当A ,B 对立时,P(A)+P(B)=1;当A ,B 互斥不对立时,P(A)+P(B)<1.由此即可得到答案. 解:当A ,B 对立时,P(A)+P(B)=1;当A,B互斥不对立时,P(A)+P(B)<1.14.【答案】20162017;【解析】解:模拟执行程序框图,可得其功能是计算并输出S=11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017的值.由于S=11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017=1−12+12−13+⋯+12016−12017=1−12017=20162017.故答案为:20162017.模拟执行程序框图,可得其功能是计算并输出S=11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017的值,用裂项法即可求值得解.此题主要考查了循环结构的程序框图,用裂项法求解是解答该题的关键,属于基础题.15.【答案】0或2;【解析】解:因为2x=6xy,所以xlo g22=xylo g26,则y=1lo g26,同理因为18y=6xy,所以ylo g218=xylo g26,则x=lo g218lo g26,所以x+y=lo g218lo g26+1lo g26=lo g2(18×2)lo g26=lo g262lo g26=2;另当x=0或y=0时则一定有x=y=0,此时x+y=0,故答案为:0或2.考虑x=0和x≠0时的情况,利用对数运算法则即可得到答案该题考查指数幂运算,利用指数幂的运算法则以及对数运算法则进行解答即可,注意不要漏解16.【答案】;【解析】解:要使函数有意义,则x−3>0,即x>3,故函数的定义域为(3,+∞),故答案为:(3,+∞).根据函数成立的条件,即可求函数的定义域.此题主要考查函数定义域的求法,根据函数成立的条件是解决此类问题的关键.17.【答案】(-1,-2);【解析】解:根据题意,平行四边形ABCD 中,必有CD →=BA →,又由A(2,−1),B(3,1),则BA →=(−1,−2),则有CD →=(−1,−2),故答案为:(−1,−2).根据题意,由平行四边形的性质可得CD →=BA →,求出BA →的坐标,即可得答案. 此题主要考查向量的坐标计算,涉及向量的相等,属于基础题.18.【答案】-11≤k≤-1且k≠-6;【解析】解:∵两平行直线2x +y −4=0与y =−2x −k −2的距离不大于√5,即两平行直线2x +y −4=0与2x +y +k +2=0的距离不大于√5,∴k +2≠−4,且√4+1⩽√5,求得−11⩽k ⩽−1且k ≠−6,故答案为:−11⩽k ⩽−1且k ≠−6.根据两条直线平行的条件,两条平行直线间的距离公式,求得k 的取值范围.这道题主要考查两条直线平行的条件,两条平行直线间的距离公式,属于基础题.19.【答案】解:(1)在△ABC 中,由正弦定理a sinA =b sinB ,可得bsinA=asinB ,又由bsinA =acos(B −π6), 得asinB =acos(B −π6),即sinB =cos(B −π6), 进而有sinB =√32cosB +12sinB ,即sinB =√3cosB 可得tanB =√3, 又因为B ∈(0,π),可得B =π3;(2)sin 2A +sin 2B +sin 2C =34+12(1−cos2A +1−cos2C)=74−12(cos2A +cos2C)=74−12[cos2A +cos2(2π3−A)]=74−12(12cos2A −√32sin2A)=74+12sin(2A −π6), 由题意得{0<A <π2,解得π6<A <π2, 所以π6<2A −π6<5π6, 所以12<sin(2A −π6)≤1,2<74+12sin(2A −π6)≤94.故si n 2A+si n 2B+si n 2C 的取值范围为(2,94].; 【解析】(1)由正弦定理与三角恒等变换以及同角三角函数基本关系求解即可;(2)用二倍角公式降幂,然后利用辅助角公式合并,转化为三角函数值域求解即可.此题主要考查的知识要点:正弦定理和三角函数关系式的应用,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于中档题.20.【答案】解:设该数列的公差为d,前n项和为S n.由已知可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),所以a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即数列{a n}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以数列的前n项和S n=4n或S n=3n2−n2.;【解析】设该数列的公差为d,前n项和为S n.由已知求出首项与公差,然后求解通项公式.该题考查数列的应用,数列求和公式以及通项公式的应用,考查计算能力.21.【答案】null;【解析】此题主要考查了正弦函数的图像性质的综合应用,属于中档题.(1)先结合两角和差三角函数以及二倍角公式进行化简,然后结合正弦函数的性质即可求解;(2)由已知可转化为y=k与y=f(x)的交点问题,然后结合正弦函数的图像性质即可求解.22.【答案】解:(1)由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08,0.18,0.4,0.22,0.12,则这批零件长度的平均值为−x=12.5×0.08+17.5×0.18+22.5×0.4+27.5×0.22+32.5×0.12=23.1.(2)由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12,则应从第1组中抽取2个零件,记为A,B;应从第5组中抽取3个零件,记为c,d,e.从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB,Ac,Ad,Ae,Bc,Bd,Be,cd,ce,de,共10种,其中符合条件的情况有Ac,Ad,Ae,Bc,Bd,Be,共6种.故抽取的零件中恰有1个是第1组的概率P=610=35.;【解析】(1)由频率分布直方图能求出这批零件长度的平均值.(2)由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12,应从第1组中抽取2个零件,记为A,B;应从第5组中抽取3个零件,记为c,d,e.从这5个零件中随机抽取2个,利用列举法能求出抽取的零件中恰有1个是第1组的概率.该题考查平均值、概率的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.23.【答案】(1)证明:因为AA1=A1C=AC=2,所以△AA1C为等边三角形,连接OB,∵O为AC中点,AB=BC,∴AC⊥A1O,AC⊥OB,且A1O∩OB=O,A1O,OB⊂面A1OB,∴AC⊥平面A1OB;(2)解:取BC的中点M,取B1C1的中点N,又O为AC中点,连接MN交BC1于点E,则E为BC1的中点,连接OM,ON,OE,则易知OM//AB,且MN//BB1,因为OM⊄平面ABB1A1,AB⊂平面ABB1A1,所以OM//平面ABB1A1,同理可得MN//平面ABB1A1,又OM∩MN=M,OM⊂平面OMN,MN⊂平面OMN,∴平面OMN//平面ABB1A1,又OE⊂平面OMN,∴OE//平面ABB1A1,即OE//平面A1AB,故存在BC1的中点E,满足题意.;【解析】此题主要考查线面垂直的判定定理,面面平行的判定定理,面面平行的性质定理,属于中档题.(1)连接OB,根据题意可得AC⊥A1O,AC⊥OB,再由线面垂直的判定定理即可证明;(2)取BC的中点M,取B1C1的中点N,连接MN交BC1于点E,则E为BC1的中点,再由面面平行的判定定理证明平面OMN//平面ABB1A1,从而得OE//平面ABB1A1,即得OE//平面A1AB.。
答卷时应注意事项1、拿到试卷,要认真仔细的先填好自己的考生信息。
2、拿到试卷不要提笔就写,先大致的浏览一遍,有多少大题,每个大题里有几个小题,有什么题型,哪些容易,哪些难,做到心里有底;3、审题,每个题目都要多读几遍,不仅要读大题,还要读小题,不放过每一个字,遇到暂时弄不懂题意的题目,手指点读,多读几遍题目,就能理解题意了;容易混乱的地方也应该多读几遍,比如从小到大,从左到右这样的题;4、每个题目做完了以后,把自己的手从试卷上完全移开,好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题;试卷第1页和第2页上下衔接的地方一定要注意,仔细看看有没有遗漏的小题;5、中途遇到真的解决不了的难题,注意安排好时间,先把后面会做的做完,再来重新读题,结合平时课堂上所学的知识,解答难题;一定要镇定,不能因此慌了手脚,影响下面的答题;6、卷面要清洁,字迹要清工整,非常重要;7、做完的试卷要检查,这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题,检查的时候,用手指点读题目,不要管自己的答案,重新分析题意,所有计算题重新计算,判断题重新判断,填空题重新填空,之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友,你们好!经过两个月的学习,你们一定有不小的收获吧,用你的自信和智慧,认真答题,相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的!4.2.1 等差数列(2)重点练一、单选题1.在等差数列{}n a 中,652a a =,则17a a +=( )A .0B .1C .2-D .32.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为()A .54钱B .43钱C .32钱D .53钱3.在数列{}n a 中,若11a =,212a =,()*12211n n n n N a a a ++=+Î,则该数列的通项为( )A .1n a n =B .21n a n =+C .22n a n =+D .3n a n=4.已知等差数列{}n a 满足225910a a +=,则12345a a a a a ++++的最大值为( )A.B .20C .25D .100二、填空题5.已知{}n a 、{}n b 都是等差数列,若110+=9a b ,38+=15a b ,则56+=a b ______.6.已知数列{}n a 满足11a =,且点()()1,2n n a a n +ÎN å在直线1102x y -+=上.若对任意的*n ÎN ,1231111nn a n a n a n a l +++¼+³++++恒成立,则实数l 的取值范围为______.三、解答题7.已知数列{}n a 与{}n b 满足()()112n n n n a a b b n N*++-=-Î.(1)若11,35n a b n ==+,求数列{}n a 的通项公式;(2)若()16,2n n a b n N *==Î且22n n a n l l >++对一切n *ÎN 恒成立,求实数l 的取值范围.参考答案1.【答案】A【解析】设等差数列公差为d由652a a =得:()11524a d a d +=+,即130a d += 40a \=17420a a a \+==故选A2.【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a æö-=-´-==ç÷èø,故选B.3.【答案】A 【解析】∵()*12211n n n n N a a a ++=+Î,∴数列1{}n a 是等差数列,又2111211a a -=-=,∴11(1)n n n a =+-=,∴1n a n=.故选A .4.【答案】C【解析】因为225910a a +=,所以令59,([0,2))a a a a a p ==Î,因此公差cos )d a a =-,123453555(2)a a a a a a a d ++++==-,因此有55(2)cos )]25cos()2a d a a a a q -=--=+,其中1tan 3q =,因为25cos()25a q +£,所以12345a a a a a ++++的最大值为25.故选C5.【答案】21.【解析】∵{}n a 、{}n b 都是等差数列,若110+=9a b ,38+=15a b ,又∵()1561038230a a b b a b +=+=++,()561103030921a b a b \+=-+=-=,故填21.6.【答案】12l £【解析】数列{a n }满足a 1=1,且点()()*12n n a a n N +Î,在直线x 12-y +1=0上,可得a n ﹣a n +1+1=0,即a n +1﹣a n =1,可得a n =n ,对任意的n ∈N *,1231111nn a n a n a n a L l ++++³++++恒成立,即为λ111122n n n£+++++L 的最小值,由f (n )111122n n n =+++++L ,f (n )﹣f (n +1)11112122n n n =--+++()()11122212122n n n n =-=-++++<0,即f (n )<f (n +1),可得f (n )递增,即有f (1)为最小值,且为12,可得λ12£,则实数λ的取值范围为(﹣∞,12].故填(﹣∞,12].7.【答案】(1)65n a n =-;(2)3,4æö+¥ç÷èø.【解析】(1)()()()11112,35,2238356n n n n n n n n n a a b b b n a a b b n n ++++-=-=+\-=-=+--=Q ,所以{}n a ,是等差数列,首项为11a =,公差为6,即65n a n =-.(2)()1112,2222n n n n n n n b a a +++=\-=-=Q , 当2n ³时,()()()121112211...22...2622n n n n n n n n a a a a a a a a -+---=-+-++-+=++++=+, 当1n =时,16a =,符合上式,122n n a +\=+, 由22n n a n l l >++得112122111, 0222222n n n n n n n n n n n l +++++++->=+-=£,所以,当1,2n =时,122n n n ++取最大值34,故l 的取值范围为3,4æö+¥ç÷èø.。
人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1等差数列的性质及综合问题同步作业(原卷版)1.已知在等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=()A.15B.30C.31D.642.在等差数列{a n}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0() A.无实根B.有两个相等的实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根3.如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()A.14B.21C.28D.354.设{a n},{b n}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37=() A.0B.37C.100D.-375.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12=()A.20B.22C.24D.286.在等差数列{a n}中,a3+a12=60,a6+a7+a8=75,则()A.a n=10n+45B.a n=6n-24C.a n=10n-45D.a n=6n+247.【多选题】已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列结论中,不正确的有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a100≤0D.a51=08.等差数列{a n}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为________.9.在等差数列{a n}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.10.已知{a n}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=________.11.设数列{a n}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项为() A.1B.2C .4D .612.无穷等差数列{a n }的公差为d ,首项为a 1,则它有且仅有有限个负项的条件是()A .a 1>0,d >0B .a 1>0,d <0C .a 1<0,d >0D .a 1<0,d<013.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.14.已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.15.若关于x 的方程x 2-x +a =0与x 2-x +b =0(a ≠b)的四个根可组成首项为14的等差数列,则a +b 的值是()A.38B.1124C.1324D.317216.已知数列{a n }为等差数列且a 1+a 7+a 13=4π,则tan(a 2+a 12)=()A.3B .±3C .-33D .-317.设公差为-2的等差数列{a n }满足a 1+a 4+a 7+…+a 97=50,那么a 3+a 6+a 9+…+a 99=()A .-182B .-78C .-148D .-8218.已知等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9=________.1.已知不等式x 2-2x -3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项,则数列{a n }的第四项为()A .3B .-1C .2D .3或-12.已知数列{a n }对任意的n ∈N *,点P n (n ,a n )都在直线y =2x +1上,则{a n }为()A .公差为2的等差数列B .公差为1的等差数列C .公差为-2的等差数列D .非等差数列人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1等差数列的性质及综合问题同步作业(解析版)1.已知在等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12=()A.15B.30C.31D.64答案A解析a7+a9=a4+a12,∴a12=16-1=15.2.在等差数列{a n}中,a2+a5+a8=9,那么关于x的方程x2+(a4+a6)x+10=0() A.无实根B.有两个相等的实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根答案A解析∵a4+a6=a2+a8=2a5,即3a5=9,∴a5=3,方程为x2+6x+10=0,无实根.3.如果等差数列{a n}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=()A.14B.21C.28D.35答案C解析由等差数列的性质知,a3+a4+a5=3a4=12⇒a4=4,故a1+a2+a3+…+a7=(a1+a7)+(a2+a6)+(a3+a5)+a4=7a4=28.4.设{a n},{b n}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则a37+b37=() A.0B.37C.100D.-37答案C解析∵{a n},{b n}都是等差数列,∴{a n+b n}也是等差数列.∵a1+b1=25+75=100,a2+b2=100,∴{a n+b n}的公差为0,∴a37+b37=100.5.在等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则2a10-a12=()A.20B.22C.24D.28答案C解析∵a4+a6+a8+a10+a12=5a8=120,∴a8=24.又a8,a10,a12成等差数列,∴2a10-a12=a8=24.6.在等差数列{a n}中,a3+a12=60,a6+a7+a8=75,则()A.a n=10n+45B.a n=6n-24C.a n=10n-45D.a n=6n+24答案C解析∵a6+a7+a8=3a7=75,∴a7=25.∴a3+a12=a7+a8=60,∴a8=60-25=35.∴公差d=a8-a7=10.∴a n=a7+(n-7)d=25+(n-7)·10=10n-45.7.【多选题】已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列结论中,不正确的有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a100≤0D.a51=0答案ABC8.等差数列{a n}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为________.答案4解析2(2x+1)=x+(4x+2),∴x=0,∴a1=0,a2=1,d=a2-a1=1,∴a5=a1+4d=4.9.在等差数列{a n}中,a3=7,a5=a2+6,则a6=________.答案13解析由等差数列的性质有a2+a6=a3+a5,则a6=a3+a5-a2=7+6=13.10.已知{a n}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=________.答案24解析a15,a30,a45,a60,a75成等差数列,公差d=20-84-1=4,∴a75=8+(5-1)×4=24.11.设数列{a n}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项为() A.1B.2C.4D.6答案B解析设前三项为a-d,a,a+d,则由a -d +a +a +d =12知a =4.又由(4-d)×4×(4+d)=48知d 2=4,∵{a n }为递增数列,∴d =2.∴首项为4-2=2.12.无穷等差数列{a n }的公差为d ,首项为a 1,则它有且仅有有限个负项的条件是()A .a 1>0,d >0B .a 1>0,d <0C .a 1<0,d >0D .a 1<0,d<0答案C13.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共为3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为________升.答案6766解析设竹子自上而下各节的容积依次为a 1,a 2,…,a 9,由题意可得a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,设等差数列{a n }的公差为d ,则有4a 1+6d =3①,3a 1+21d =4②,由①②可得d =766,a 1=1322,所以a 5=6766.14.已知成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数.解析设这四个数为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d,则由题意,得a -3d )+(a -d )+(a +d )+(a +3d )=26,a -d )(a +d )=40,=132,=32=132,=-32.故所求四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.15.若关于x 的方程x 2-x +a =0与x 2-x +b =0(a ≠b)的四个根可组成首项为14的等差数列,则a +b 的值是()A.38B.1124C.1324D.3172答案D16.已知数列{a n }为等差数列且a 1+a 7+a 13=4π,则tan(a 2+a 12)=()A.3B .±3C.-33D.-3答案D解析由题意可得3a7=4π,∴a7=4π3,∴tan(a2+a12)=tan2a7=tan8π3=tan2π3=- 3.17.设公差为-2的等差数列{a n}满足a1+a4+a7+…+a97=50,那么a3+a6+a9+…+a99=()A.-182B.-78C.-148D.-82答案D18.已知等差数列{a n}中,a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,则a3+a6+a9=________.答案27解析a3+a6+a9=2(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=2×33-39=27.1.已知不等式x2-2x-3<0的整数解构成等差数列{a n}的前三项,则数列{a n}的第四项为()A.3B.-1C.2D.3或-1答案D解析∵x2-2x-3<0,∴-1<x<3,∴a1=0,a2=1,a3=2,a4=3或a1=2,a2=1,a3=0,a4=-1.2.已知数列{a n}对任意的n∈N*,点P n(n,a n)都在直线y=2x+1上,则{a n}为() A.公差为2的等差数列B.公差为1的等差数列C.公差为-2的等差数列D.非等差数列答案A解析a n=2n+1,∴a n+1-a n=2.故选A.。
2022版人教A 版高中数学选择性必修第二册--4.2 等差数列4.2.1 等差数列的概念基础过关练题组一 等差数列的概念及其应用1.下列数列不是等差数列的是 ( ) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16C.13,23,1,43,53D.-3,-2,-1,1,22.若数列{a n }满足3a n +1=3a n +1,则数列{a n } ( ) A.是公差为1的等差数列B.是公差为13的等差数列C.是公差为-13的等差数列D.不是等差数列3.(多选)下列命题中,正确的是 ( ) A.若a ,b ,c 成等差数列,则2a ,2b ,2c 成等差数列 B.若a ,b ,c 成等差数列,则log 2a ,log 2b ,log 2c 成等差数列 C.若a ,b ,c 成等差数列,则a +2,b +2,c +2成等差数列 D.若a ,b ,c 成等差数列,则2a ,2b ,2c 成等差数列 题组二 等差中项4.若a =√3+√2,b =√3-√2,则a ,b 的等差中项为 ( )A.√3B.√2C.√32 D.√225.已知在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 成等差数列,则角B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120°6.若x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是()A.a=-bB.a=3bC.a=-b或a=3bD.a=b=07.(2020浙江嘉兴高一下期末)已知等差数列{a n}的前3项依次是-1,a-1,1,则a=;通项公式a n=.题组三等差数列的通项公式及其应用8.(2020山东淄博一中高二上期中)在数列{a n}中,a1=1,a n+1-a n=2,n∈N*,则a25的值为 ()A.49B.50C.89D.999.(2021全国百强名校领军考试高二上期末)在等差数列{a n}中,若a2=3+m,a6=15+m,其中m为实数,则该等差数列的公差d= ()A.3B.2C.1D.m10.已知{a n}是等差数列,且a4=4,a7=10,则a10= ()A.13B.14C.15D.1611.(2020河南郑州高二上期末)设数列{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.题组四等差数列的性质及其应用12.(2021江苏无锡一中高二上期中)在等差数列{a n}中,a3+a4+a5=6,则a1+a7=()A.2B.3C.4D.513.(2020河南新乡高二上期末)在等差数列{a n}中,a2+a6=3,a3+a7=7,则公差d=()A.1B.2C.3D.414.已知数列{a n},{b n}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2a n-3b n}的公差为()A.7B.5C.3D.115.(2021河南信阳高二上期末)已知{a n},{b n}均为等差数列,且a1+b1=1,a2+b2=3,则a2 020+b2 020= ()A.4 043B.4 041C.4 039D.4 03716.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m的值为()A.12B.8C.6D.417.已知数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()D.-√3A.√3B.±√3C.-√3318.在等差数列{a n}中,公差为d.(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.能力提升练题组一等差数列的通项公式及其应用1.(2021江苏无锡高二上期末,)已知数列{a n }是等差数列,若a 3+a 5+a 7=15,a 8-a 2=12,则a 10等于 ( )A.10B.12C.15D.18 2.(2020山东招远一中高二上月考,)在一个首项为23,公差为整数的等差数列中,前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差为( ) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 3.()已知等差数列{a n }的首项为a ,公差为1,b n =a n +1a n,若对任意的正整数n 都有b n ≥b 5,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,-4)∪(-3,+∞)B.(-4,-3)C.(-∞,-5)∪(-4,+∞)D.(-5,-4) 4.()已知数列{a n }满足a 1=1,若点(a n n,a n+1n+1)在直线x -y +1=0上,则a n = .5.(2020辽宁沈阳东北育才实验学校高二上月考,)已知数列{a n }满足a n +1=6a n -4a n +2,且a 1=3. (1)证明:数列{1a n -2}是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式. 6.()若数列{b n }对于任意n ∈N *,都有b n +2-b n =d (d 为常数),则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列.例如c n ={4n -1,n 为奇数,4n +9,n 为偶数,则数列{c n }是公差为8的准等差数列.设数列{a n }满足:a 1=a ,对于任意n ∈N *,都有a n +a n +1=2n.(1)求证:数列{a n}为准等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.题组二等差数列的性质及其应用7.(多选)()已知单调递增的等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有()A.a1+a101>0B.a2+a100=0C.a3+a100≤0D.a51=08.(2020河南濮阳高二上期末,)已知各项都为正数的等差数列{a n}中,a5=3,则a3a7的最大值为.题组三等差数列的综合应用9.(2020山东日照高二上期末,)我国古代著作《周髀算经》中记载:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈三尺五寸;夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为991分;且冬6至时日影长度最大,为1 350分;夏至时日影长度最小,为160分.则立春时日影长度为 ( )A.95313分 B.1 05212分 C.1 15123分 D.1 25056分 10.(2021江苏无锡江阴一中高二上期中,)中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,则中间三尺的质量为 ( ) A.3斤 B.6斤 C.9斤 D.12斤 11.(2020浙江宁波高一下期末,)已知等差数列{a n }中,a 2=3,a 4=5,则1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a 9a 10= ( )A.25B.922C.910D.101112.(2021湖南三湘名校教育联盟高二上期中,)南宋数学家杨辉《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,其所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为 ()A.161B.155C.141D.13913.(多选)()已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+4S n-1S n=0(n≥2,n,则下列说法中正确的是()∈N*),a1=14A.数列{a n}的前n项和为S n=14nB.数列{a n}的通项公式为a n=14n(n+1)C.数列{a n}为递增数列}为递增数列D.数列{1S n14.(2020山东青岛高三上期末,)在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第(n+1)列的数是.15.()数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n∈N*),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(2)判断是否存在实数λ使得数列{a n}为等差数列,并说明理由.16.()在数列{a n }中,a 1=1,3a n a n -1+a n -a n -1=0(n ≥2,n ∈N *).(1)证明:数列{1a n}是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)若λa n +1a n≥λ对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立,求实数λ的取值范围.答案全解全析基础过关练1.D 根据等差数列的定义可知,选项D 中的数列不是等差数列.故选D.2.B 由3a n +1=3a n +1,得3a n +1-3a n =1,即a n +1-a n =13,所以数列{a n }是公差为13的等差数列.3.AC A 选项中,∵a ,b ,c 成等差数列,∴b -a =c -b ,∴2b =a +c ,∴2×(2b )=2a +2c ,即2b -2a =2c -2b ,∴2a ,2b ,2c 成等差数列,故A 正确;B 选项中,取a =1,b =2,c =3,得log 2a ,log 2b ,log 2c 分别为0,1,log 23,不成等差数列,故B 错误;C 选项中,∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b =a +c ,∴2(b +2)=(a +2)+(c +2),∴a +2,b +2,c +2成等差数列,故C 正确;D 选项中,取a =1,b =2,c =3,得21=2,22=4,23=8,不成等差数列,选项D 错误.故AC .4.A 设a ,b 的等差中项为x , 则2x =a +b =√3+√2+√3-√2=2√3, 所以x =√3.5.B 因为A ,B ,C 成等差数列,所以B 是A ,C 的等差中项,则有A +C =2B , 又因为A +B +C =180°,所以3B =180°,即B =60°.6.C 由等差中项的定义知x =a+b 2,x 2=a 2-b 22,∴a 2-b 22=(a+b 2)2,即a 2-2ab -3b 2=0,可得a =-b 或a =3b.7.答案 1;n -2解析 因为-1,a -1,1构成等差数列,所以2(a -1)=-1+1=0,解得a =1.所以公差d =1.因为a 1=-1,所以a n =n -2.8.A 由a n +1-a n =2得数列{a n }是公差为d =2的等差数列,又a 1=1,所以a 25=a 1+24d =1+24×2=49.故选A.9.A 由等差数列的通项公式得a 2=a 1+d =3+m ,a 6=a 1+5d =15+m , 两式相减得4d =12,即d =3.故选A . 10.D 设{a n }的公差为d. 由题意得{a 4=a 1+3d =4,a 7=a 1+6d =10,解得{a 1=-2,d =2,∴a 10=a 1+9d =-2+18=16,故选D . 11.答案 a n =6n -3(n ∈N *) 解析 设等差数列{a n }的公差为d , 则a 2+a 5=a 1+d +a 1+4d =36, 即6+5d =36,解得d =6,∴a n =a 1+(n -1)d =3+(n -1)×6=6n -3(n ∈N *). 即{a n }的通项公式为a n =6n -3(n ∈N *). 12.C 依题意,得3a 4=6,所以a 4=2, 所以a 1+a 7=2a 4=4,故选C .13.B 解法一:∵a 3+a 7=2a 5=7,a 2+a 6=2a 4=3, ∴a 5=72,a 4=32,∴d =a 5-a 4=2.故选B . 解法二:∵(a 3+a 7)-(a 2+a 6)=2d , 且a 3+a 7=7,a 2+a 6=3, ∴d =7-32=2.故选B.14.D 由于{a n },{b n }为等差数列,故数列{2a n -3b n }的公差d =(2a n +1-3b n +1)-(2a n -3b n )=2(a n +1-a n )-3(b n +1-b n )=2d 1-3d 2=1. 15.C 易得数列{a n +b n }是以1为首项,2为公差的等差数列, ∴a 2 020+b 2 020=1+2 019×2=4 039,故选C .16.B 由等差数列的性质,得a 3+a 6+a 10+a 13=(a 3+a 13)+(a 6+a 10)=2a 8+2a 8=4a 8=32, ∴a 8=8,∴a m =a 8,又d ≠0,∴m =8.17.D 由等差数列的性质,得a 1+a 7+a 13=3a 7=4π,∴a 7=4π3.∴tan(a 2+a 12)=tan(2a 7)=tan 8π3=tan 2π3=-√3.18.解析 解法一:(1)由a 2+a 3+a 23+a 24=48,得4a 13=48,∴a 13=12. (2)由a 2+a 3+a 4+a 5=34, 得2(a 2+a 5)=34,即a 2+a 5=17,由{a 2a 5=52,a 2+a 5=17,解得{a 2=4,a 5=13或{a 2=13,a 5=4.由d =a 5-a 25-2得d =3或d =-3.解法二:(1)由题意得(a 1+d )+(a 1+2d )+(a 1+22d )+(a 1+23d )=48, 即4(a 1+12d )=48, ∴4a 13=48, ∴a 13=12. (2)由题意得{(a 1+d )+(a 1+2d )+(a 1+3d )+(a 1+4d )=34,(a 1+d )·(a 1+4d )=52,解得{a 1=1,d =3或{a 1=16,d =-3.∴d =3或d =-3.能力提升练1.C 设{a n }的公差为d. 由a 3+a 5+a 7=15,得3a 5=15,则a 5=5, ∵a 8-a 2=12,∴6d =12,解得d =2, ∴a 10=a 5+5d =5+10=15,故选C .2.C 设该等差数列为{a n },公差为d (d ∈Z),则a 1=23,a n =23+(n -1)d , 由题意可知{a 6>0,a 7<0,即{23+(6-1)d >0,23+(7-1)d <0,解得-235<d <-236.因为d 是整数,所以d =-4. 解题模板解决与等差数列的项有关的问题,用通项公式将已知条件化为关于首项、公差的式子,进而解决问题,这是解决等差数列问题的基本手段. 3.D 解法一:依题意得,a n =a +(n -1)×1=n +a -1,∴b n =n+a n+a -1=1+1n+a -1. 设函数y =1x+a -1+1,画出图象,如图.结合题意知,1-a ∈(5,6), ∴5<1-a <6,解得-5<a <-4, 故选D .解法二:∵等差数列{a n }的首项为a ,公差为1,∴a n =a +n -1,∴b n =a n +1a n =1+1a n =1+1a+n -1,若对任意的正整数n 都有b n ≥b 5, 则有(b n )min =b 5=1+1a+4, 结合数列{b n }的单调性可知, {b 5<b 4,b 5<b 6,即{1+1a+4<1+1a+3,1+1a+4<1+1a+5,解得-5<a <-4.故选D . 4.答案 n 2(n ∈N *)解析 由题设可得a n n -a n+1n+1+1=0, 即a n+1n+1-a n n =1,又a 11=1, 所以数列{an n }是以1为首项,1为公差的等差数列,故通项公式为a n n=n ,所以a n =n 2(n ∈N *). 5.解析 (1)证明:由已知得,1a 1-2=13-2=1, 1a n+1-2=16a n -4a n +2-2=a n +2(6a n -4)-2(a n +2)=a n +24a n -8=(a n -2)+44(a n -2)=1a n -2+14,因此1a n+1-2-1a n -2=14,n ∈N *,故数列{1an -2}是首项为1,公差为14的等差数列. (2)由(1)知1a n -2=1+(n -1)×14=n+34,所以a n =2n+10n+3,n ∈N *.6.解析 (1)证明:因为a n +a n +1=2n (n ∈N *),① 所以a n +1+a n +2=2(n +1),② ②-①得a n +2-a n =2(n ∈N *),所以数列{a n }是公差为2的准等差数列. (2)因为a 1=a ,a n +a n +1=2n (n ∈N *), 所以a 1+a 2=2×1,即a 2=2-a.因为a 1,a 3,a 5,…是以a 为首项,2为公差的等差数列,a 2,a 4,a 6,…是以2-a 为首项,2为公差的等差数列,所以当n 为奇数时,a n =a +(n+12-1)×2=n +a -1, 当n 为偶数时,a n =2-a +(n 2-1)×2=n -a , 所以a n ={n +a -1,n 为奇数,n -a ,n 为偶数.7.BD 设等差数列{a n }的公差为d ,易知d >0,∵等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B,D正确,A错误.又∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d =d>0,故C错误.故选BD.8.答案9解析因为等差数列{a n}的各项都为正数,所以a3>0,a7>0,所以a3a7≤(a3+a72)2=a52=9,当且仅当a3=a7=3时,等号成立.所以a3a7的最大值为9.9.B由题意可知,从冬至到夏至,每个节气的日影长度(单位:分)构成等差数列,设该等差数列为{a n},公差为d,则冬至时日影长度为a1=1 350分,d=-9916,∴立春时日影长度为a4=1 350+(-9916)×3=1 05212(分).故选B.10.答案 C信息提取①粗的一端截下一尺,重四斤;②细的一端截下一尺,重二斤;③金箠由粗到细均匀变化.数学建模根据金箠由粗到细是均匀变化的,可知金箠每尺的质量(单位:斤)成等差数列,由等差数列知识解决问题.解析由题意可知金箠每尺的质量(单位:斤)构成等差数列{a n},设细的一端一尺的质量为a1斤,粗的一端一尺的质量为a5斤,则a1=2,a5=4,根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=6,解得a3=3,所以中间三尺的质量为a 2+a 3+a 4=3a 3=9斤.故选C . 11.B 设等差数列{a n }的公差为d ,由1a n a n+1=1d (1a n -1a n+1)知,1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a 9a 10=1d1a 1-1a 2+1a 2-1a 3+1a 3-1a 4+…+1a 9-1a 10=1d (1a 1-1a10),由{a 2=3,a 4=5,即{a 1+d =3,a 1+3d =5,解得{a 1=2,d =1, ∴a 10=a 1+9d =11, ∴1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a 9a 10=922,故选B .12.B 设该高阶等差数列的第8项为x ,根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得{y -36=12,x -107=y ,解得{x =155,y =48,故选B .解题模板数列中的新定义问题,准确把握新定义的含义是解题的关键,对数列问题依次列出各项,按要求作阶差,直到找出等差数列为止,再依题意解决问题.13.AD 由a n =S n -S n -1,a n +4S n -1S n =0,n ≥2,n ∈N *,得S n -S n -1=-4S n -1S n ,n ≥2,n ∈N *,又S n≠0,∴1S n -1S n -1=4(n ≥2,n ∈N *). ∵a 1=14,∴1S 1=4,∴{1S n}是以4为首项,4为公差的等差数列,∴1S n=4+4(n -1)=4n ,n ∈N *,∴数列{1S n}为递增数列,S n =14n,n ∈N *, ∴当n ≥2时,a n =S n -S n -1=14n -14(n -1)=-14n (n -1),经检验,当n =1时,不符合上式,∴a n ={14,n =1,-14n (n -1),n ≥2,n ∈N *,∴B、C 错误.故选AD. 解题模板解决项、和共存的递推关系问题,要么将和化为项,要么将项化为和,具体视递推公式的形式而定,如本题中将a n +4S n -1S n =0化为S n -S n -1=-4S n -1S n (n ≥2),整理得到{1Sn}是一个等差数列,然后利用等差数列的知识解题. 14.答案 n 2+n解析 由题表可得,第n 行的第一个数是n ,第n 行的数构成以n 为首项,n 为公差的等差数列,其中第(n +1)项为n +n ·n =n 2+n.所以题表中的第n 行第(n +1)列的数是n 2+n.15.解析 (1)因为a n +1=(n 2+n -λ)a n (n ∈N *),且a 1=1, 所以当a 2=-1时,得-1=2-λ,∴λ=3. 从而a 3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)不存在实数λ使得{a n }为等差数列. 理由如下:由a 1=1,a n +1=(n 2+n -λ)a n , 得a 2=2-λ,a 3=(6-λ)(2-λ),a 4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在实数λ,使得{a n }为等差数列, 则a 3-a 2=a 2-a 1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a 2-a 1=1-λ=-2,a 4-a 3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24, a 2-a 1≠a 4-a 3,这与{a n }为等差数列矛盾.所以不存在实数λ使得{a n }为等差数列.16.解析 (1)证明:由3a n a n -1+a n -a n -1=0(n ≥2,n ∈N *),得1a n -1a n -1=3(n ≥2,n ∈N *), 又1a 1=1, 所以数列{1an}是以1为首项,3为公差的等差数列.(2)由(1)可得1a n=1+3(n -1)=3n -2,所以a n =13n -2(n ∈N *).(3)因为λa n +1a n≥λ对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立,即λ3n -2+3n -2≥λ对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立,所以只需λ≤(3n -2)23n -3对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立即可.令f (n )=(3n -2)23n -3(n ≥2,n ∈N *),则只需满足λ≤f (n )min 即可.因为f (n +1)-f (n )=(3n+1)23n -(3n -2)23n -3=9n 2-9n -13n (n -1)=3-13n (n -1), 所以当n ≥2时, f (n +1)-f (n )>0, 即f (2)<f (3)<f (4)<…, 所以f (n )min =f (2). 又f (2)=163,所以λ≤163.所以实数λ的取值范围为(-∞,163].。
课时同步练4.2.1 等差数列(2)一、单选题1.在等差数列{}n a 中,若2a =4,4a =2,则6a =( )A .-1B .0C .1D .6【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中,若244,2a a ==,则()()4266114222a a a a =+=+=,解得60a =, 故选B.2.在等差数列{}n a 中,157913100a a a a a ++++=,6212a a -=,则1a =( )A .1B .2C .3D .4【答案】B【解析】因为157913100a a a a a ++++=,所以75100a =,即720a =, 设等差数列{}n a 的公差为d ,又6212a a -=,所以412d =,故3d =,所以17620182a a d =-=-= 故选B .3.在数列{a n }=,a 1=8,则数列{a n }的通项公式为( )A .a n =2(n +1)2B .a n =4(n +1)C .a n =8n 2D .a n =4n (n +1)【答案】A=,=所以==的等差数列,(1)n =-(n =+所以22(1)n a n =+.故选A.4.等差数列{a n }中,a 4+a 8=10,a 10=6,则公差d 等于( )A .14B .12C .2D .-12【答案】A【解析】在等差数列{a n }中,由a 4+a 8=10,得2a 6=10,a 6=5. 又a 10=6,则10665110644a a d --===-.故选A .5.在数列{}n a 中,12a =,1221n n a a +-=,则101a 的值为( )A .52B .51C .50D .49【答案】A【解析】由题意,数列{}n a 满足1221n n a a +-=,即112n n a a +-=,又由12a =,所以数列{}n a 首项为2,公差为12的等差数列, 所以101111002100522a a d =+=+⨯=, 故选A .6.等差数列{}n a 中,2nna a 是一个与n 无关的常数,则该常数的可能值的集合为( ) A .{}1B .112⎧⎫⎨⎬⎩⎭,C .12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D .10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】设公差为d ,211n n n n na a n a a nd d a ==++ 显然d =0时,是一个与n 无关的常数,等于1;0d ≠时,需使n n a 是一个与n 无关的常数;即对于任意n ∈+N n na 等于同一个常数;则必有,n a dn =212n n a a =. 故选B7.下列说法中正确的是( )A .若a ,b ,c 成等差数列,则222,,a b c 成等差数列B .若a ,b ,c 成等差数列,则222log ,log ,log a b c 成等差数列C .若a ,b ,c 成等差数列,则a +2,b +2,c +2成等差数列D .若a ,b ,c 成等差数列,则2,2,2a b c 成等差数列【答案】C【解析】对于A 选项,1,2,3成等差数列,但1,4,9不成等差数列;对于B 选项,1,2,3成等差数列,但222log 1,log 2,log 3为20,1,log 3不成等差数列.对于D 选项, 1,2,3成等差数列,但232,2,2不成等差数列. 故选C.8.一个等差数列的前4项是a ,x ,b ,2x ,则ab等于( ) A .14B .12C .13D .23【答案】C【解析】∵等差数列的前4项是a ,x ,b ,2x ,∴b x x a +=+2,解得a b x -=. 又()()a b a b a x a a x a b 32222-=-+-=+-=-+=.∴a b 3=,∴31=b a . 故选C .9.已知无穷数列{}n a 和{}n b 都是等差数列,其公差分别为k 和h ,若数列{}n n a b 也是等差数列,则( )A .220h k +=B .0hk =C .h k ,可以是任何实数D .不存在满足条件的实数h 和k【答案】B【解析】因为无穷数列{}n a 和{}n b 都是等差数列,其公差分别为k 和h ,且数列{}n n a b 也是等差数列,所以2211332a b a b a b =+,即1111112()()(2)(2)a k b h a b a k b h ++=+++,整理得111111112222224a b a h b k kh a b a h b k hk +++=+++,即0hk =, 故选B .10.在等差数列{}n a 中,如果123440,60a a a a +=+=,那么78a a +=( )A .95B .100C .135D .80【答案】B【解析】由等差数列的性质可知:1234a a a a ++,,56a a +,78a a +构成新的等差数列,()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B11.若函数y =f (x )满足:集合A ={f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列,则称函数f (x )是“等差源函数”,则下列四个函数中,“等差源函数”的个数是( )①y =2x +1;②y =log 2x ;③y =2x +1;④y =sin44x ππ+() A .1B .2C .3D .4【答案】C【解析】①y =2x +1,n ∈N *,是等差源函数;②因为log 21,log 22,log 24构成等差数列,所以y =log 2x 是等差源函数;③y =2x +1不是等差源函数,因为若是,则2(2p +1)=(2m +1)+(2n +1),则2p +1=2m +2n ,所以2p +1-n =2m -n +1,左边是偶数,右边是奇数,故y =2x +1不是等差源函数;④y =sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数,显然是等差源函数.故选C.12.已知数列{}n a 中,11a =,230a =,1122n n n a a a +-=++(*n N ∈且2n ≥),则数列{}n a 的最大项的值是( )A .225B .226C .75D .76【答案】B【解析】1122n n n a a a +-=++,∴11()()2n n n n a a a a +----=-,数列1{}n n a a +-是公差为2-的等差数列,121,30a a ==,2129a a ∴-=,161529(151)(2)10a a ∴-=+-⨯-=>,1716a a -=29(161)(2)10+-⨯-=-<,又数列1{}n n a a +-是单调递减数列,∴数列1{}n n a a +-的前15项和最大,即2132161516()()()1a a a a a a a -+-++-=-最大,∴数列{}n a 的最大项是第16项16a ,又16151411529(2)2252a ⨯-=⨯+⨯-=,16226a ∴=, ∴数列{}n a 的最大项的值是226,故选B .二、填空题13.ABC 的三个内角A ,B ,C 的大小成等差数列,则B =______.【答案】60︒【解析】因为三角形三内角,,A B C 成等差数列,所以218060A C B B B ︒︒+==-⇒= , 故填60︒.14.在等差数列{}n a 中,已知311a =,85a =,则n a =______.【答案】67355n -+ 【解析】依题意得1121175a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得1676,55a d ==-,故数列的通项公式为67355n a n =-+. 故填67355n -+ 15.设数列{}n a ,{}n b 都是等差数列,且110a =,190b =,22100a b +=,那么数列{}n n a b +的第2018项为______。
2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典4.2 等比数列 解析版学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项:本卷共16小题,6道单选题,3道多选题,3道填空题,4道解答题。
一、单选题1.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和,()*3log n S n n N =∈,则数列{}na 是( )A .公比为3的等比数列B .公差为3的等差数列C .公比为13的等比数列 D .既非等差数列,也非等比数列【答案】D 【解析】 【分析】由3log n S n =得3nn S =,然后利用n a 与n S 的关系即可求出n a【详解】因为3log n S n =,所以3nn S =所以当1n =时,113a S ==2n ≥时,1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⋅所以13,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩故数列{}n a 既非等差数列,也非等比数列 故选:D 【点睛】要注意由n S 求n a 要分两步:1. 1n =时11a S =,2. 2n ≥时1n n n a S S -=-. 2.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若存在*m N ∈,满足228m m S S =,22212m m a m a m +=-,则数列{}n a 的公比为( ) A .12B .13C .2D .3【答案】D 【解析】【分析】 先判断1q ≠,由228m m S S =,利用等比数列求和公式可得27m q =,结合22212m m a m a m +=-可得3m =,从而根据327q =可得结果.【详解】设等比数列公比为q 当1q =时,2228mmS S =≠,不符合题意, 当1q ≠时,()()21211128,12811m mm m m a q S q q S q a q--=∴⋅=+=--, 得27mq =,又2221221,22m m m a m m q a m m ++=∴=--, 由221272m m +=-,得3m =, 327,3q q ∴=∴=,故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式的应用,意在考查对基本公式的掌握与应用,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题.解有关等比数列求和的题的过程中,如果公比是参数一定要讨论1q ≠与1q =两种情况,这是易错点.3.音乐与数学有着密切的联系,我国春秋时期有个著名的“三分损益法”:以“宫”为基本音,“宫”经过一次“损”,频率变为原来的32,得到“微”,“微”经过一次“益”,频率变为原来的34,得到“商”……依此规律损益交替变化,获得了“宫”“微”“商”“羽”“角”五个音阶.据此可推得( ) A .“商”“羽”“角”的频率成公比为34的等比数列 B .“宫”“微”“商”的频率成公比为32的等比数列 C .“宫”“商”“角”的频率成公比为98的等比数列 D .“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据文化知识,分别求出相对应的频率,即可判断出结果.【详解】设“宫”的频率为a,由题意经过一次“损”,可得“徵”的频率为32 a,“徵”经过一次“益”,可得“商”的频率为98 a,“商”经过一次“损”,可得“羽”频率为2716a,最后“羽”经过一次“益”,可得“角”的频率是8164a,由于a,98a,8164a成等比数列,所以“宫、商、角”的频率成等比数列,且公比为98,故选:C.【点睛】本题考查等比数列的定义,考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.4.设,.若p:成等比数列;q:,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【答案】A【解析】对命题p:成等比数列,则公比且;对命题,①当时,成立;②当时,根据柯西不等式,等式成立,则,所以成等比数列,所以是的充分条件,但不是的必要条件.考点:等比数列的判定,柯西不等式,充分条件与必要条件.5.已知数列{}n a :12,212,222,232,312,.322.,332,342,352,362,372,412,422…的前n 项和为n S ,正整数1n ,2n 满足:①11111212n a -=,②2n 是满足不等式1019n S >的最小正整数,则12n n +=( ) A .6182 B .6183C .6184D .6185【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知,数列{}n a 的规律为:分母为2k 的项有21k -项.将数列{}n a 中的项排成杨辉三角数阵且使得第k 行每项的分母为2k,该行有21k-项,那么1111212-位于数阵第11行最后一项,通过计算得1n ;设数阵中第k 行各项之和为k b ,则212k k b -=,故通过计算可得满足1019n S >的最小正整数2n ,即可得出最后结果. 【详解】由题意可知,数列{}n a 的规律为:分母为2k 的项有21k -项.将数列{}n a 中的项排成杨辉三角数阵且使得第k 行每项的分母为2k ,该行有21k -项,如下所示:对于①,1111212-位于数阵第11行最后一项,对应于数列{}n a 的项数为()()()()11121121221212111408312--+-++-=-=-,∴14083n =;对于②,数阵中第k 行各项之和为k b ,则()12121222122k kk k k k b ⎛⎫-+- ⎪-⎝⎭==, 且数列{}k b 的前k 项之和()121212212121221222222k k k k kk T +--------=+++==, 11102102101810192T --==<,而121121124083101922T --==>,故恰好满足1019n S >的项n a 位于第11行. 假设n a 位于第m 项,则有()1011111112112101810192222m m mT +++++=+>, 可得出()14096m m +>.由于64634032⨯=,64454160⨯=, 则636440966465⨯<<⨯,∴64m =. 因为前10行最后一项位于{}n a 的第()()()()10121021221212110203612--+-++-=-=-项,因此,满足1019n S >的最小正整数22036642100n =+=, 所以12408321006183n n +=+=. 故选:B 【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式,考查了学生的归纳推理能力和运算求解能力.6.已知函数2()2f x x =,()()()1122,0,,0,,,0n n A x A x A x ,*n N ∈为x 轴上的点,且满足11x =,112n n x x -=,过点12,,,n A A A 分别作x 轴垂线交()y f x =于点12,,,n B B B ,若以1,,p p p A B A +为顶点的三角形与以1,,q q q A B A +为顶点的三角形相似,其中p q <,则满足条件的p ,q 共有( ) A .0对 B .1对 C .2对 D .无数对【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得11(,0)2n n A -,12311(,)22n n n B --,+11(,0)2n nA ,23131112tan 122n n n n n n n n n nA B A A B A A -+-+∠===,由1p p p A B A +△与1q q q A B A +△相似得到11tan =tan p p p q q q A A B A A B ++∠∠或11tan =tan()2p p p q q q A A B A A B π++∠-∠,再分情况讨论即可得到答案.【详解】如图,由题意,11112n n n x x q--==,n B 的纵坐标为223122nn x -⨯=, 所以11(,0)2n n A -,12311(,)22n n n B --,+11(,0)2n n A ,23131112tan 122n n n n n nn n n nA B A A B A A -+-+∠===, 1p p p A B A +△与1q q q A B A +△均为直角三角形,故1p p p A B A +△与1q q q A B A +△相似 11tan =tan p p p q q q A A B A A B ++⇔∠∠或11tan =tan()2p p p q q q A A B A A B π++∠-∠.当11tan =tan p p p q q q A A B A A B ++∠∠时,3311()22p q p q --=<,无解;当11tan =tan()2p p p q q q A A B A A B π++∠-∠时,11tan tan 1p p p q q q A A B A A B ++∠⋅∠=,所以61162p q p q +-=⇔+=.故存在两对满足条件的p ,q ,分别为1p =,5q =或2p =,4q =.故选:C 【点睛】本题考查数列与函数的应用,考查学生分类讨论思想,数学运算能力,是一道中档题.二、多选题7.数列{}n a 为等比数列( ). A .{}1n n a a ++为等比数列 B .{}1n n a a +为等比数列 C .{}221n n a a ++为等比数列D .{}n S 不为等比数列(n S 为数列{}n a 的前n 项) 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例,反证,或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解:设{}n a 的公比为q ,A. 设()1nn a =-,则10n n a a ++=,显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=,所以{}1n n a a +为等比数列.C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++,所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时,n S np =,{}n S 显然不是等比数列; 当1q ≠时,若{}n S 为等比数列,则()222112n n n S S n S -+=≥,即()()()211111111111n n n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1q =,与1q ≠矛盾,综上,{}n S 不是等比数列. 故选:BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析,基础题.8.设等比数列{}n a 的公比为q ,其前n 项和为n S ,前n 项积为n T ,并且满足条件11a >,671a a >,67101a a -<-,则下列结论正确的是( ) A .01q << B .8601a a << C .n S 的最大值为7S D .n T 的最大值为6T【答案】ABD 【解析】 【分析】先分析公比取值范围,即可判断A ,再根据等比数列性质判断B,最后根据项的性质判断C,D. 【详解】若0q <,则67670,00a a a a <>∴<与671a a >矛盾; 若1q ≥,则11a >∴671,1a a >>∴67101a a ->-与67101a a -<-矛盾; 因此01q <<,所以A 正确;667710101a a a a -<∴>>>-,因此2768(,1)0a a a =∈,即B 正确; 因为0n a >,所以n S 单调递增,即n S 的最大值不为7S ,C 错误;因为当7n ≥时,(0,1)n a ∈,当16n ≤≤时,(1,)n a ∈+∞,所以n T 的最大值为6T ,即D 正确; 故选:ABD 【点睛】本题考查等比数列相关性质,考查综合分析判断能力,属中档题. 9.已知数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,*n N ∈, n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和,则下列结论中正确的是( ) A .()21121n nS n a -=-⋅ B .212n n S S =C .2311222n n n S S ≥-+ D .212n n S S ≥+【答案】CD 【解析】【分析】根据数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,得到1223+++=+n n a a n ,两式相减得:22n n a a +-=,然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式,再逐项判断. 【详解】因为数列{} n a 满足11a =,121++=+n n a a n ,*n N ∈, 所以1223+++=+n n a a n , 两式相减得:22n n a a +-=,所以奇数项为1,3,5,7,….的等差数列; 偶数项为2,4,6,8,10,….的等差数列; 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =,A. 令2n =时, 311111236S =++=,而 ()1322122⨯-⋅=,故错误; B. 令1n =时, 213122S =+=,而 11122S =,故错误;C. 当1n =时, 213122S =+=,而 31132222-+=,成立,当2n ≥时,211111...23521n n S S n =++++--,因为221n n >-,所以11212n n >-,所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--,故正确;D. 因为21111...1232n n S S n n n n -=+++++++,令()1111...1232f n n n n n =+++++++,因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++,所以()f n 得到递增,所以()()112f n f ≥=,故正确;故选:CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义,等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用,还考查了转化求解问题的能力,属于较难题.三、填空题10.若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点,且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p q +的值等于________. 【答案】9 【解析】 【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p ,ab=q ,再由a ,b ,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列列关于a ,b 的方程组,求得a ,b 后得答案. 【详解】由题意可得:a+b=p ,ab=q , ∵p>0,q >0, 可得a >0,b >0,又a ,b ,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列, 也可适当排序后成等比数列, 可得①或②. 解①得:;解②得:.∴p=a+b=5,q=1×4=4, 则p+q=9. 故答案为9.点评:本题考查了一元二次方程根与系数的关系,考查了等差数列和等比数列的性质,是基础题. 【思路点睛】解本题首先要能根据韦达定理判断出a ,b 均为正值,当他们与-2成等差数列时,共有6种可能,当-2为等差中项时,因为,所以不可取,则-2只能作为首项或者末项,这两种数列的公差互为相反数;又a,b 与-2可排序成等比数列,由等比中项公式可知-2必为等比中项,两数列搞清楚以后,便可列方程组求解p ,q .11.等比数列{}n a 的公比01q <<,21724a a =,则使12312111n na a a a a a a ++++>+++成立的正整数n 的最大值为______ 【答案】18 【解析】 【分析】求出数列前n 项的和,根据不等式之间的关系求解可得答案.【详解】解:由等比数列{}n a 的公比01q <<,21724a a =,可得()2162311a q a q =,可得:911a q =,则10a >,且91a q -=,由{}n a 为等比数列,可得1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项,公比为1q 的等比数列, 则原不等式等价为:1111[1()](1)111n n a q a q q q-->--, 因为01q <<,把91a q -=,2181a q -=代入整理得:181(1)(1)n n n q q q q --->-,可得:181n q q -->,181n -<-,即:19n <,由n ∈+N ,故答案为:18.【点睛】本题主要考查数列与不等式的综合,计算量大,属于中档题型.12.平面直角坐标系中,已知点()()013,1,5,2P P .且()*1112n n n n P P P P n N +-=-∈,当n →+∞时,点n P 无限趋近于点M ,则点M 的坐标是____________. 【答案】135,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】先计算01P P 的坐标,再求出1n n P P -的坐标,利用向量的和可求点n P 的坐标,利用基本极限可求M 的坐标.【详解】因为()012,1P P =,故1101111112,222n n n n n P P P P ----=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为011210n n n P P PP P P P P -+++=,故()1001121111112,2,222212,n n n n n P P P P PP P P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝=++++⎭=01121122441221,,113323321122n n n n n P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭==---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪++ ⎪⎝⎭, 故n P 的坐标为1341521,332332n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为1lim 02n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭,故135,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故答案为:135,33⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查向量的和、等比数列的通项、等比数列的前n 项和以及数列的极限,注意根据基本极限来求M 的坐标,本题综合度高,为难题.四、解答题13.设数列{}n a 、{}n b 都有无穷项,{}n a 的前n 项和为()21352n S n n =+,{}n b 是等比数列,34b =且632b =.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(2)记n n na cb =,求数列{}nc 的前n 项和为n T . 【答案】(1)31n a n =+;()1*,2n n b n N -=∈(2)137142n n -+- 【解析】【分析】(1)由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求出n a ,根据定义求出数列{}n b 的公比,从而可求出n b ; (2)由题意得1312n n n c -+=,再用错位相减法求和即可. 【详解】解:(1)当1n =时,1a =1S =4;当2n ≥时,()22111353(1)5(1)22n n n a S S n n n n -⎡⎤=-=+--+-⎣⎦1[3(21)5]312n n =-+=+,且14a =亦满足此关系,∴{}n a 的通项为()*31,n a n n N=+∈, 设{}n b 的公比为q ,则3638b q b ==,则2q , ∴()31*32n n n b b q n N --=⋅=∈;(2)由题意,1312n n n n a n c b -+==, 而214710323112422n n n n n T ---+=+++⋯++, 27101331281242n n n T -+=++++, 两式相减,有21111318312422n n n n T --+⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭, 2111313783214222n n n n n ---++⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列的通项公式的求法,考查错位相减法求和,属于中档题. 14.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足233n n S a =-.(1)证明数列{}n a 是等比数列;(2)若数列{}n b 满足3log n n b a =,记数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭前n 项和为n T ,证明112n T ≤<. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据233n n S a =-,利用数列通项与前n 项和关系,得到13n n a a -=,再利用等比数列的定义求解.(2)由(1)得到3n n a =,则()1111111n n b b n n n n +==-⋅++,然后利用裂项相消法求得n T 1111n n n =-=++,再根据{}n T 为递增数列求解.【详解】(1)由题意得,当()*2n n N ≥∈时,1222n n n a S S -=-,()11333333n n n n a a a a --=---=-∴13n n a a -=,即13n n a a -=, 当1n =时,1112233a S a ==-,∴130a =≠故{}n a 是以3为首项,3为公比的等比数列(2)由(1)可知3n n a =,∴33l 3log og n n n b a n ===, ∴()1111111n n b b n n n n +==-⋅++ ∴()()1111112233411n T n n n n =+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯-+11111111112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n n n =-=++ 因为()*2n n N ≥∈时,()111101n n n n T T b b n n -+-==>⋅+, 所以{}n T 为递增数列,故112n T T ≥=因为*n N ∈,则101n >+,故1111n T n =-<+ 所以112n T ≤< 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系,等比数列的定义,裂项相消法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.15.已知数列{}n a 满足12a =,210a =,212n n n a a a ++=+,n *∈N .(1)证明:数列{}1n n a a ++是等比数列;(2)求数列{}n a 的通项公式;(3)证明:1211134n a a a +++<. 【答案】(1)证明见解析;(2)()1221n n n a +=+⋅-;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)由212n n n a a a ++=+,得2112n n n na a a a ++++=+,即可得到本题答案;(2)由1132n n n a a +++=⋅,得11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭,即可得到本题答案;(3)当1n =时,满足题意;若n 是偶数,由12123111111111n n n a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫+++<+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得1211134n a a a ++⋯+<;当n 是奇数,且3n ≥时,由1211231111111111n n n n a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫++++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,可得1211134n a a a ++⋯+<,综上,即可得到本题答案. 【详解】(1)因为212n n n a a a ++=+,所以()2112n n n n a a a a ++++=+,因为12120a a +=≠,所以2112n n n n a a a a ++++=+, 所以数列{}1n n a a ++是等比数列; (2)因为1132n n n a a +++=⋅,所以1113222n n n na a +++⋅=, 所以11122222n n n n a a ++⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭, 又因为12a =,所以1212a -=-,所以22n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1-为首项, 12-为公比的等比数列,所以11222n n n a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,所以()1221n n n a +=+⋅-;(3)①当1n =时,11324n a =<; ②若n 是偶数, 则1213211113122222242142n n n n n nn n a a +++⋅+=+=<⋅+-⋅+-, 所以当n 是偶数时,121211111111n n n a a a a a a a ++++<++++ 123111111n n a a a a a +⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 241311124222n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 11334124414<+⋅=-; ③当n 是奇数,且3n ≥时, 121211111111n n na a a a a a a -+++=++++ 123111111n n a a a a a -⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2411311124222n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+⋅+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11334124414<+⋅=-; 综上所述,当n *∈N 时,1211134n a a a +++<. 【点睛】本题主要考查利用构造法证明等比数列并求通项公式,以及数列与不等式的综合问题.16.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3a ,232a ,12a 成等差数列,且1152a ≠,430S =. (1)求等比数列{}n a 的通项公式(2)若2log n n b a =,111(1)n n n n c b b +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,求n c 前2020项和2020T ; (3)若112(1)n n n n d d a -+=-,13521m m P d d d d -=++++,2462m m Q d d d d =++++,m G 是m P 与m Q 的等比中项且0m G >,对任意*,s t ∈N ,s t G G ρ-≤ ,求ρ取值范围.【答案】(1)2n n a =;(2)20202021-;(3)1[2,)+∞.. 【解析】【分析】(1)设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠.可知若1q =时,原题意不成立;当1q ≠时,由已知列关于首项与公比的方程组,求得首项与公比,则等比数列的通项公式可求;(2)2log n n b a n ==,11111(1)()(1)()1n n n n n c b b n n +=-+=-++,由裂项相消法求和; (3)由已知可得,212n n d d +=-,利用等比数列的求和公式分别求得m P 与m Q ,得到m G ,再由数列的函数特性分类求出m G 的范围,则答案可求.【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为(0)q q ≠.若1q =,由430S =,求得1152a =,与1152a ≠矛盾; 若1q ≠,由已知有21114132(1)301a q a q a a q q ⎧=+⎪⎨-=⎪-⎩,解得122a q =⎧⎨=⎩. ∴2n n a =;(2)2log n n b a n ==,11111(1)()(1)()1n n n n n c b b n n +=-+=-++, 则20201232020T c c c c =+++⋯+11111112020(1)()()()22334202020212021=-+++-+-⋯++=-; (3)由已知可得,11121()21()2n n n nn n d d d d -+++⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则212n n d d +=-.111[1()]212[1()]1321()2m m m d P d --==----,221[1()]212[1()]1321()2m m m d Q d --==----.21[1()]32m m G ==--. 当m 为偶数时,21(1)32m m G =-单调递增,1()2m min G =,1[2m G ∈,2)3; 当m 为奇数时,21(1)32m m G =+单调递减,()1m max G =,2(3m G ∈,1]. 故11()()122m max m min G G ρ-=-=. ρ∴取值范围为1[2,)+∞. 【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等比数列的通项公式与前n 项和的求法,训练了裂项相消法求数列的前n 项和以及数列的单调性与最值,是难题.。
最新高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典4.1数列的概念 详细解析版学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________注意事项:本卷共16小题,6道单选题,3道多选题,3道填空题,4道解答题。
一、单选题1.已知数列{}n a 中,13=4a ,111n n a a -=- (,2n N n +∈≥),那么2020a 等于 ( )A .13-B .34C .2D .4【答案】B 【详细解析】 【分析】 根据13=4a ,111n n a a -=-,计算数列的前几项,得到数列{}n a 是以3为周期的数列求解.【详解】因为13=4a ,111n n a a -=-,所以211113a a =-=-, 32114a a =-=, 431314a a =-=, …所以数列{}n a 是以3为周期的数列, 所以202067331134a a a ⨯+===, 故选:B 【点睛】本题主要考查数列的周期性的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题. 2.数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、称为斐波那契数列,是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的,该数列的特点是:从第三项起,每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中,偶数的个数为 ( ) A .505 B .673C .674D .1010【答案】B 【详细解析】 【分析】由斐波那契数列的特点可知,该数列只有第()3k k *∈N 项为偶数,再由202036731=⨯+可求得结果.【详解】由斐波那契数列的特点,可得此数列只有第()3k k *∈N 项为偶数,由于202036731=⨯+,所以前2020项中偶数的个数为673. 故选:B. 【点睛】本题考查斐波那契数列的应用,考查推理能力,属于基础题.3.“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法,天干地支简称“干支”,天干指:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.“地支”指:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.如,农历1861年为辛酉年,农历1862年为壬戌年,农历1863年为癸亥年,则农历2068年为 ( ) A .丁亥年 B .丁丑年C .戊寅年D .戊子年【答案】D 【详细解析】 【分析】由题意得天干是以10为周期的数列,地支是以12为周期的数列,以1861为首项,即可得答案. 【详解】记1a =辛,1b =酉 (1861);2a =壬,2b =戌 (1862);3a =癸,3b =亥 (1863), 所以记天干为数列{}n a ,且最小正周期为10,记地支为数列{}n b ,且最小正周期为12, 故20688a a ==戊,20684b b ==子 (2068), 故选:D . 【点睛】本题考查数列的周期性,难点在于需将题目信息转化为所学数列的知识,考查逻辑推理,归纳分析的能力,属中档题.4.原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载:“端午时,贮浮萍,阴干,加雄黄,作纸缠香,烧之,能祛蚊虫.”如图,为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”,画法如下:在水平直线l上取长度为1的线段AB,做一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧,交线段BC的延长线于点D,再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧,交线段AC的延长线于点E,以此类推,当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时,“螺旋蚊香”的总长度的最小值为()A.310πB.340πC.930πD.1020π【答案】A【详细解析】【分析】根据画圆弧的规律:分别以B,C,A 为圆心,抽象半径长度的数列,明确圆弧与直线的交点情况,再根据当“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时,若使“螺旋蚊香”的总长度最小,确定数列的项数,求得最后圆弧的半径即可.【详解】如图所示:当以B为圆心,半径为:1,4, 7,10,…除起点外,与直线无交点,①当以C为圆心,半径为:2,5, 8,11,…与直线有一个点,②当以A为圆心,半径为:3,6, 9,12,…除终点(即①的起点,点A 除外)外,与直线无交点,③所以当“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时,若使“螺旋蚊香”的总长度最小,则完成整数个循环,所以以B为圆心的弧与直线只有交点A,以C 为圆心的弧与直线10个交点,以A为圆心的弧与直线有10 个交点,即数列②有10项,数列③有10项,所以最后一个圆弧的半径为33(101)30r =+-= ,所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为()()30130112123 (302310332)l πππ+=⨯⨯++++=⨯= . 故选:A 【点睛】本题主要考查数列的抽象与等差数列的通项公式和前n 项和的应用,还考查了分析求解问题的能力,属于中档题.5.衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50…,则该数列第16项为 ( ) A .152 B .134 C .128 D .102【答案】C 【详细解析】 【分析】根据数据找出规律,依次写出来即可. 【详解】前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,偶数项分别为2,8,18,32,50,…,可得偶数项的通项公式: 222n a n =.所以该数列第16项为21628=128a =⨯. 故选:C. 【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6.公元前四世纪,毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形 (或格点)来表示数,称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示,数列1,6,15,28,45,…,从第二项起每一项都可以用六边形表示出来,故称它们为六边形数,那么该数列的第11项对应的六边形数为 ( )A .153B .190C .231D .276【答案】C 【详细解析】 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数,记第n 个六边形数为n a ,找出规律,相邻两项差构成等差数列,累加求得22n a n n =-,将11n =代入求得结果. 【详解】记第n 个六边形数为n a ,由题意知:11a =,215141a a -==+⨯,32142a a -=+⨯,43143a a -=+⨯,,114(1)n n a a n --=+-,累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--,即22n a n n =-,所以21121111231a =⨯-=, 故选:C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式,属于中档题目.二、多选题7.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,….,其中从第三项起,每个数等于它前面两个数的和,后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则下列结论正确的是 ( ) A .68a =B .733S =C .135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D .22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 【答案】ABCD 【详细解析】 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥,对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ,写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8,故A 正确; 对B ,71123581333S =++++++=,故B 正确;对C ,由12a a =,342a a a =-,564a a a =-,……,201920202018a a a =-,可得:135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项. 对D,斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+,则2121a a a =,()222312321a a a a a a a a =-=-,()233423423a a a a a a a a =-=-,……,()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-,220192019202020192018a a a a a =- 2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=,故D 正确;故选:ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景,考查数列的递推关系及性质,考查方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意递推关系的灵活转换.8.斐波那契数列,又称黄金分割数列、兔子数列,是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……,此数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和,记该数列为(){}F n ,则(){}F n 的通项公式为 ( )A .(1)1()2n n F n -+=B .()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C .()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦D .()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦【答案】BC 【详细解析】 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式,再验证即可; 【详解】解:斐波那契数列为1,1,2,3,5,8,13,21,……, 显然()()11,21F F ==,()()()3122F F F =+=,()()()4233F F F =+=,,()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==,即B 满足条件;由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥,所以()()()()11F n n F n n ⎤+-⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭为首项为公比的等比数列, 所以()()1nF n n +=⎝⎭()1115()n F F n n -+=++, 令1nn n F b-=⎝⎭,则11n n b +=+,所以1n n b b +-=-, 所以n b ⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭为公比的等比数列,所以1n n b -=+, 所以()11152n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦; 即C 满足条件; 故选:BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式,数列递推公式的应用,本题运算量较大,难度较大,要求由较高的逻辑思维能力,属于中档题.9.对于数列{}n a ,若存在正整数k ()2k ≥,使得1k k a a -<,1k k a a +<,则称k a 是数列{}n a 的“谷值,k 是数列{}n a 的“谷值点”,在数列{}n a 中,若98na n n=+-,则数列{}n a 的“谷值点”为( ) A .2 B .3C .5D .7【答案】AD 【详细解析】 【分析】由数列的通项公式求出前七项各项的值,然后根据题意进行求解即可, 【详解】 因为98n a n n=+-,所以123456783761292,,2,,,,,245278a a a a a a a a ========,当7,n n N ≥∈,9998088n n a n n n n n+->∴=+-=+-,此时数列单调递增, 21a a <,23a a <,76a a <,78a a <,所以数列{}n a 的“谷值点”为2,7. 故选:AD 【点睛】本题考查了数学阅读能力,考查了数学运算能力,考查了数列的单调性,属于中档题.三、填空题10.在数列{}n a 中,11a =,()32122223nn a a a a a n n*++++=∈N ,则n a =______. 【答案】21nn + 【详细解析】 【分析】由已知得:当2n ≥时,()31211222231n n a a a a a n --++++=-,与原式相减得12n n n a a a n -=-,即11+1n n nn n a a n --=,递推可得答案. 【详解】由题意得:当2n ≥时,()31211222231n n a a a a a n --++++=-,所以12n n n a a a n -=-,即()2211n n na n a --=,也即是11+1n n n n n a a n --=,所以121+1221211n n n n n a n n n a a a n ---===-=-=, 所以21n na n =+,故答案为:21nn +. 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的通项,属于中档题. 11.已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【详细解析】 【分析】先利用累加法求出a n =33+n 2﹣n ,所以331n a n n n =+-,设f (n )331n n=+-,由此能导出n =5或6时f (n )有最小值.借此能得到na n的最小值. 【详解】解:∵a n +1﹣a n =2n ,∴当n ≥2时,a n = (a n ﹣a n ﹣1)+ (a n ﹣1﹣a n ﹣2)+…+ (a 2﹣a 1)+a 1=2[1+2+…+ (n ﹣1)]+33=n 2﹣n +33且对n =1也适合,所以a n =n 2﹣n +33.从而331n a n n n=+- 设f (n )331n n =+-,令f ′ (n )23310n-=+>,则f (n )在)+∞上是单调递增,在(0上是递减的,因为n ∈N +,所以当n =5或6时f (n )有最小值.又因为55355a =,66321662a ==, 所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式,考查了累加法.还考查函数的思想,构造函数利用导数判断函数单调性.12.已知数列{}n a 满足:12020a =,()2*11n n n a a a n N+=+-∈,若正整数k 使得2221212 (2) (2021)k k a a a a a a ++++=成立,则k =___________. 【答案】2019 【详细解析】 【分析】根据()2*11n n n a a a n N +=+-∈可得211n n n a a a +=-+且111n n n a a a ++=+,结合已知条件的等式成立,即可求k 的值; 【详解】()2*11n n n a a a n N +=+-∈知:211n n n a a a +=-+且111n n n a a a ++=+,则:22212213211...11...12020k k k k a a a a a a a a a a k +++++=-++-+++-+=-+, 311212121111......1112021k k k k a a a a a a a a a a ++++++=⋅⋅⋅=+++,而2221212...2 (2021)k k a a a a a a ++++=,∴112018120212021k k a k a +++-+=,即得2019k =.故答案为:2019 【点睛】本题考查了利用数列递推式,结合等式成立求数列的项数,注意结合已知等式中乘积形式、平方形式转化递推式求参数;四、解答题13.数列{}n a 中,254n a n n =-+.(1)18是数列中的第几项?(2)n 为何值时,n a 有最小值?并求最小值.【答案】 (1)第7项; (2)2n =或3n =时,最小值为2- 【详细解析】 【分析】(1)令25418n a n n =-+=且n *∈N ,解方程可得n 的值.(2)利用二次函数的单调性和最值可得n a 有最小值以及对应的n 的值. 【详解】令25418n a n n =-+=,即25140n n --=,解得:7n =或2n =- (舍)(2)由254n a n n =-+,因为254y x x =-+,开口向上,对称轴52x =所以2n =或3n =时,n a 有最小值为2225242a =-⨯+=- .【点睛】本题主要考查了判断数列中的项,以及求数列的最小项,属于基础题.14.下面图形都是由小正三角形构成的,设第n 个图形中的黑点总数为()f n .(1)求()()()()2,3,4,5f f f f 的值;(2)找出()f n 与()1f n +的关系,并求出()f n 的表达式.① ② ③ ④【答案】(1)见详细解析;(2)()23,*.f n n n N =∈ 【详细解析】【分析】(1)根据题意可直接写出结果;(2)分别计算出()()21f f -,()()32f f -,()()43f f -,()()54f f -,归纳出()()1f n f n +-,再由累加法即可求出()f n 的表达式.【详解】(1)由题意可得:()212f =,()327f =,()448f =,()575f =;(2)因为()()219f f -=; ()()3215f f -=; ()()4321f f -=; ()()5427f f -=; 观察猜想:()()1f n f n +-是一个首项为9公差为6的等差数列,即()()()191663f n f n n n +-=+-⨯=+.因为()()219f f -=;()()3215f f -=;()()4321f f -=;()()5427f f -=;()()163f n f n n --=-;把上述式子累加可得到:()()()()296311332n n f n f n +---==-; 又因为()13f =,所以()23f n n =. 【点睛】本题主要考查归纳推理以及累加法求数列的通项公式,属于常考题型.15.已知数列{}n a 中,11a =,214a =,且1(1))(2,3,4,n n n n a a n n a +-==-. (1)求3a 、4a 的值,(2)设*111()n n b n N a +=-∈试用n b 表示1n b +,并求{}n b 的通项公式; (3)设*1sin 3()cos cos n n n c n N b b +=∈⋅,求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】 (1)317a =,4110a =; (2)11n n n b b n++=,*n N ∈,3n b n =,*n N ∈; (3)()tan 33tan3n +-.【详细解析】【分析】(1)由数列{}n a 中,11a =,214a =,且1(1)(2,3,4,...)n n n n a n n a a +-==-,分别令2n =和3n =,求出3a 、4a 的值.(2)当2n ≥时,1(1)11111(1)(1)1n n n n n n n a n a n a n a n a n a +⎛⎫---=-==- ⎪---⎝⎭,即11n n n b b n -=-,则11n n n b b n++=,然后用累乘法求解. (3)由1sin 3tan(33)tan 3cos cos n n n c n n b b +==+-⋅,然后利用裂项相消法求解. 【详解】 (1)∵数列{}n a 中,11a =,214a =,且1(1)(2,3,4,...)n n nn a n n a a +-==- ∴2321(21)1412724a a a -===--, 34312(31)17131037a a a ⨯-===--, ∴317a =,4110a =· (2)当2n ≥时,1(1)11111(1)(1)1n n n n n n n a n a n a n a n a n a +⎛⎫---=-==- ⎪---⎝⎭, ∴当2n ≥时,11n n n b b n -=-, 故11n n n b b n++=,*n N ∈, 累乘得111232 (12341)n n n n n b b nb n n n n ---=⨯⨯⨯⨯=----, ∵13b =,∴3n b n =,*n N ∈.(3)∵1sin 3cos cos n n n c b b +=⋅ sin(333)tan(33)tan 3cos(33)cos3n n n n n n+-==+-+⋅, ∴12n n S c c c =++⋯+()(tan6tan3)(tan9tan6)tan(33)tan3n n =-+-+++-()tan 33tan3n =+-·【点睛】 本题主要考查数列的通项公式和前n 项和的求法以及累乘法和裂项求和法、两角差的正弦公式的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题..16.已知数列{}n a 满足1a t =,111n na a +=+,数列{}n a 可以是无穷数列,也可以是有穷数列,如取1t =时,可得无穷数列:1,2,32,53,...;取12t =-时,可得有穷数列:12-,1-,0. (1)若50a =,求t 的值;(2)若12n a <<对任意2n ≥,*n N ∈恒成立.求实数t 的取值范围;(3)设数列{}n b 满足11b =-,()*111n n b n N b +=-∈,求证:t 取数列{}n b 中的任何一个数,都可以得到一个有穷数列{}n a .【答案】 (1)35t =-; (2)1t >; (3)证明见详细解析. 【详细解析】【分析】(1)根据题意,得到111n n a a +=-,逐项计算,求出1a ,即可得出结果;(2)根据()*122,n a n n N <<≥∈,得出131122n na a +<=+<,因此只需212a <<即可,由题中条件,求出2a ,得出不等式求解,即可得出结果;(3)由题意,得到111n n b b +=+,设1k a t b ==,()*k N ∈,逐项计算,得出10k a +=,即可证明结论成立.【详解】(1)由111n n a a +=+得111n n a a +=-, ∴41101a ==--,311112a ==---,2121312a ==---,1132513t a ===---; (2)若()*122,n a n n N <<≥∈,则1112n a <<,131122n na a +<=+<, 即112n a +<<,故只要212a <<即可,因为1a t =,所以21t a t +=,∴112t t +<<,解得1t >; (3)由111n n b b +=-得111n n b b +=+,设1k a t b ==,()*k N ∈,则2111k ka b b -=+= 32111k k a b b --=+=,12111k a b b =+==-,11101k a +=+=-, 故{}n a 有1k +项,为有穷数列.即t 取数列{}n b 中的任何一个数,都可以得到一个有穷数列{}n a .【点睛】本题主要考查由递推公式求数列中的项,考查由数列不等式恒成立求参数的问题,考查有穷数列的证明,属于常考题型.。
专题4.2等差数列(A 卷基础篇)(人教A 版第二册,浙江专用)参考答案与试题解析第Ⅰ卷(选择题)一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分)1.(2020·山东省济南回民中学高二期中)在等差数列{}n a 中,11a =,公差2d =,则8a 等于( ) A .13 B .14C .15D .16【答案】C 【解析】81717215a a d =+=+⨯=,故选:C.2.(2020·黑龙江让胡路·铁人中学高一期末)在等差数列{}n a 中,824a =,168a =,则24a =( ) A .24- B .16-C .8-D .0【答案】C 【解析】{}n a 是等差数列,824162a a a ,248a .故选:C.3.(2020·福建厦门双十中学高三月考(文))已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244,2a a ==,则5S =( ) A .0 B .10C .15D .30【答案】C 【解析】由等差数列性质可知:1524426a a a a +=+=+=()1555561522a a S +⨯∴===本题正确选项:C4.(2020·云南昆明·期末)已知公差为2的等差数列{}n a 满足140a a +=,则7a =( )A .5B .7C .9D .11【答案】C 【解析】由题意知141230a a a d +=+=,因为2d =,可得13a =- 所以7163129a a d =+=-+=. 故选:C5.(2020·四川绵阳·期末)在等差数列{a n }中,若a 4=5,则数列{a n }的前7项和S 7=( ) A .15 B .20 C .35 D .45【答案】C 【解析】因为数列{}n a 是等差数列,故可得74735S a ==. 故选:C .6.(2020·广西南宁三中开学考试)数列{}n a 中,15a =,13n n a a +=+,那么这个数列的通项公式是( ) A .31n - B .32n + C .32n - D .31n +【答案】B 【解析】因为13n n a a +-=,所以数列{}n a 是以5为首项,3为公差的等差数列,则()*53132,n a n n n N =+-=+∈.故选:B7.(2020·河南开学考试(文))已知等差数列{}n a 的前5项和为25,且11a =,则7a =( ) A .10 B .11C .12D .13【答案】D 【解析】因为123453525a a a a a a ++++==,所以35a =,则公差5122d -==, 故73413a a d =+=. 故选:D8.(2020·河北运河·沧州市一中月考)有穷等差数列5,8,11,…,()*311n n N +∈的项数是( )A .nB .311n +C .4n +D .3n +【答案】D 【解析】由等差数列中125,8a a ==,知3d =,5(1)332n a n n ∴=+-⨯=+,设()*311n n N+∈为数列中的第k 项,则31132n k +=+, 解得3k n =+, 故选:D9.(2020·全国)我国古代数学名著《算法统宗》中说:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次第,孝和休惹外人传.”意为:“996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第1个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第8个孩子为止.分配时一定要按照次序分,要顺从父母,兄弟间和气,不要引得外人说闲话.”在这个问题中,第8个孩子分到的棉花为( ) A .184斤 B .176斤C .65斤D .60斤【答案】A 【解析】依题意得,八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列,设该等差数列为{}n a ,公差为d ,前n 项和为n S ,第一个孩子所得棉花斤数为1a , 则由题意得,818717,8179962d S a ⨯==+⨯=, 解得165a =,()8181184a a d ∴=+-=. 故选:A10.(2020·陕西宝鸡市·高二期中)已知{}n a 为等差数列,d 为公差,n S 为前n 项和,545676,,S S S S S S <=>,则下列说法错误的是( )A .0d >B .60a =C .5S 和6S 均为n S 的最大值D .84S S >【答案】C 【解析】由5454500S S S S a <⇒-<⇒<,由5665600S S S S a =⇒-=⇒=,故选项B 说法正确;因为650a a d =+=,50a <,所以0d >,因此选项A 说法正确;因为0d >,所以等差数列{}n a 是单调递增数列,因此n S 没有最大值,故选项C 说法错误; 由7676700S S S S a >⇒->⇒>,因为8487657672()20S S a a a a a a a -=+++=+=>,所以84S S >,因此选项D 说法正确. 故选:C第Ⅱ卷(非选择题)二.填空题(共7小题,单空每小题4分,两空每小题6分,共36分)11.(2020·1的等差中项是____________.【解析】1=12.(2020·四川三台中学实验学校高一月考)数列{}n a 为等差数列,已知公差2d =-,110a =,则1a =_______.【答案】20 【解析】因为数列{}n a 为等差数列,公差2d =-, 所以111100a a d =+=, 解得120a =, 故答案为:2013.(2020·江西赣州·高一期末)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若65210,6S a a =+=,则d =_________.【答案】1 【解析】由266a a +=有43a =,而510S =∴结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为:114.(2019·浙江高二学业考试).已知等差数列{}n a 中,11a =,35a =,则公差d =________,5a =________. 【答案】2 9 【解析】等差数列{}n a 中,11a =,35a =, 则公差3122a a d -==, 所以514189a a d =+=+=. 故答案为:2;915.(2020·浙江高一期末)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若13a =,511a =-,则3a =______,5S =______.【答案】4- 20- 【解析】由题得15333112,42a a a a -+=∴==-; 51555()(311)20.22S a a =+=-=-故答案为:4;20--.16.(2020·浙江平阳·高三其他)我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升,问五、六两节欲均容各多少?意思是下三节容量和为4升,上四节容量和为3升,且每一节容量变化均匀,问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中,最下面一节容量是______,九节总容量是______. 【答案】9566 20122【解析】设由下到上九节容量分别记为129,,...,a a a ,则129,,...,a a a 成等差数列,设公差为d ,且1234a a a ++=,67893a a a a +++=,即1231334a a a a d ++=+=,678914263a a a a a d +++=+=,所以19566a =,766d =-,故91982019222S a d ⨯=+=故答案为:9566;2012217.(2020·全国高三专题练习(文))中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”,将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{}n a ,则1a =______;n a =______.(注:三三数之余二是指此数被3除余2,例如“5”) 【答案】8 157n -. 【解析】三三数之余二的正整数从小到大排列得到数列为:{}8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38;五五数之余三的正整数,从小到大排列,构成数列为:{}8,13,18,23,28,33,38.所以三三数之余二,五五数之余三的正整数,从小到大排列得到数列{}n a 为:{}8,23,38,数列{}n a 是以首项为8,公差为15的等差数列.空1:18a =;空2:1(1)8(1)15157n a a n d n n =+-=+-⋅=-. 故答案为:8;157n -三.解答题(共5小题,满分64分,18--20每小题12分,21,22每小题14分)18.(2020·甘肃武威市·武威十八中高二期中)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且25a =,511a =.(1)求{}n a 的通项公式; (2)若120n S =,求n .【答案】(1)21n a n =+;(2)10. 【解析】(1)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 因为25a =,511a =, 所以15a d +=,1411a d +=, 解得13a =,2d =.所以()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+,*n ∈N , 所以{}n a 的通项公式为21n a n =+,*n ∈N . (2)由(1)知13a =,21n a n =+, 因为120n S =,所以()11202n n a a +=, 即()3211202n n ++=,化简得221200n n +-=, 解得10n =.19.(2020·辽源市田家炳高级中学校高一期末(文))在等差数列{}n a 中,(1)已知25121536a a a a +++=,求16S 的值;(2)已知620a =,求11S 的值. 【答案】(1)144;(2)220. 【解析】(1)由等差数列的性质可得()()()251215215512116236a a a a a a a a a a +++=+++=+=,解得11618a a +=,因此,()1161616161814422a a S ⨯+⨯===;(2)由等差中项的性质和等差数列的求和公式得()11161161111211112022022a a a S a ⨯+⨯====⨯=.20.(2020·上海市进才中学)数列{a n }是首项为23,公差为整数的等差数列,且第6项为正,第7项为负. (1)求数列的公差;(2)求前n 项和S n 的最大值. 【答案】(1)4d =-;(2)78 【解析】(1)由已知,得6152350a a d d =+=+>,7162360a a d d =+=+<.解得232356d -<<-. 又d Z ∈,∴4d =-.(2)∵0d <,∴数列{}n a 是递减数列. 又∵60a >,70a <,∴当6n =时, n S 取得最大值,为()6656234782S ⨯=⨯+⨯-=. 21.(2020·宜城市第二高级中学期中)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,已知17a =-,315S =-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S 的最小值.【答案】(1)29n a n =-;(2)16-. 【解析】(1)设{}n a 的公差为d ,由题意得13315a d +=-. 由17a =-得2d =.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-. (2)由(1)得()228416nS n n n =-=--.所以当4n =时,n S 取得最小值,最小值为16-.22.(2019·云南高一期末)在等差数列{}n a 中,38a =,724a a a =+. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设1n nb na =,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】(1)22n a n =+(2)22nn +【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为d ,则()11n a a n d +-=.因为37248,a a a a =⎧⎨=+⎩所以11112863a d a d a d a d +=⎧⎨+=+++⎩,解得14a =,2d =,所以数列{}n a 的通项公式为22n a n =+. (2)由题意知()1121n n b na n n ==+11121n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭, 所以111111122231n S n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪+⎝⎭1112122n n n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭.。
4.2.1 第一课时等差数列的概念及通项公式[A级基础巩固]1.在等差数列{a n}中,a2=2,a3=4,则a10=()A.12B.14C.16 D.18解析:选D由题意知,公差d=4-2=2,则a1=0,所以a10=a1+9d=18.故选D.2.若等差数列{a n}中,已知a1=13,a2+a5=4,a n=35,则n=()A.50 B.51 C.52 D.53解析:选D依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4,代入a1=13,得d=23.所以a n=a1+(n-1)d=13+(n-1)×23=23n-13,令a n=35,解得n=53.3.(多选)设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系正确的是() A.a=-b B.a=3bC.a=b或a=-3b D.a=b=0解析:选AB由等差中项的定义知:x=a+b 2,x2=a2-b2 2,∴a2-b22=⎝⎛⎭⎫a+b22,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.4.数列{a n}中,a1=2,2a n+1=2a n+1,则a2 021的值是() A.1 000 B.1 013C .1 011D .1 012解析:选D 由2a n +1=2a n +1,得a n +1-a n =12,所以{a n }是等差数列,首项a 1=2,公差d =12,所以a n =2+12(n -1)=n +32,所以a 2 021=2 021+32=1 012.5.已知数列3,9,15,…,3(2n -1),…,那么81是数列的( ) A .第12项 B .第13项 C .第14项D .第15项解析:选C a n =3(2n -1)=6n -3,由6n -3=81,得n =14. 6.已知等差数列{a n },a n =2-3n ,则数列的公差d =________. 解析:根据等差数列的概念,d =a n +1-a n =-3. 答案:-37.在等差数列{a n }中,a 3=7,a 5=a 2+6,则a 1=________,a 6=________. 解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =7,a 1+4d =a 1+d +6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =2.∴a n =a 1+(n -1)d =3+(n -1)×2=2n +1. ∴a 6=2×6+1=13. 答案:3 138.数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,数列{b n }是首项为-2,公差为4的等差数列.若a n =b n ,则n 的值为________.解析:a n =2+(n -1)×3=3n -1,b n =-2+(n -1)×4=4n -6, 令a n =b n ,得3n -1=4n -6,∴n =5. 答案:59.已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=2a na n +2,则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列?说明理由.解:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列,理由如下:因为a 1=2,a n +1=2a na n +2, 所以1a n +1=a n +22a n =12+1a n , 所以1a n +1-1a n =12(常数).所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1=12为首项,公差为12的等差数列.10.若1b +c ,1a +c ,1a +b是等差数列,求证:a 2,b 2,c 2成等差数列. 证明:由已知得1b +c +1a +b =2a +c ,通分有2b +a +c (b +c )(a +b )=2a +c.进一步变形有2(b +c )(a +b )=(2b +a +c )(a +c ),整理,得a 2+c 2=2b 2, 所以a 2,b 2,c 2成等差数列.[B 级 综合运用]11.(多选)如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,且公差d ≠0,则( ) A .a 3a 6>a 4a 5 B .a 3a 6<a 4a 5 C .a 3+a 6=a 4+a 5D .a 3a 6=a 4a 5解析:选BC 由通项公式,得a 3=a 1+2d ,a 6=a 1+5d ,那么a 3+a 6=2a 1+7d ,a 3a 6=(a 1+2d )(a 1+5d )=a 21+7a 1d +10d 2,同理a 4+a 5=2a 1+7d ,a 4a 5=a 21+7a 1d +12d 2,显然a 3a 6-a 4a 5=-2d 2<0,故选B 、C.12.已知x ≠y ,且两个数列x ,a 1,a 2,…,a m ,y 与x ,b 1,b 2,…,b n ,y 各自都成等差数列,则a 2-a 1b 2-b 1等于( ) A.m n D .m +1n +1 C.n mD .n +1m +1解析:选D 设这两个等差数列公差分别是d 1,d 2, 则a 2-a 1=d 1,b 2-b 1=d 2.第一个数列共(m +2)项, ∴d 1=y -x m +1;第二个数列共(n +2)项,∴d 2=y -xn +1. 这样可求出a 2-a 1b 2-b 1=d 1d 2=n +1m +1.13.下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”,其特点是每行每列都成等差数列,记第i 行第j 列的数为a i ,j (i ,j ∈N *),则a 9,9=______,数82共出现______次.解析:根据题意得,第i 行的等差数列的公差为i ,第j 列等差数列的公差为j ,所以数列{a 1,j }是以2为首项,1为公差的等差数列,可得a 1,j =2+(j -1)×1=j +1,又因为第j 列数组成的数列{a i ,j }是以a 1,j 为首项,j 为公差的等差数列,所以a i ,j =a 1,j +(i -1)j =(j +1)+(i -1)×j =ij +1,所以a 9,9=9×9+1=82.因为a i ,j =ij +1=82,所以ij =81,所以i =81且j =1或i =1且j =81或i =3且j =27或i =27且j =3或i =j =9,所以可得数82共出现5次.答案:82 514.已知数列{a n }满足a 1=1,且a n =2a n -1+2n (n ≥2,且∈N *). (1)求a 2,a 3;(2)证明:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列;(3)求数列{a n }的通项公式a n .解:(1)a 2=2a 1+22=6,a 3=2a 2+23=20. (2)证明:∵a n =2a n -1+2n (n ≥2,且n ∈N *), ∴a n 2n =a n -12n -1+1(n ≥2,且n ∈N *), 即a n 2n -a n -12n -1=1(n ≥2,且n ∈N *), ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121=12,公差d =1的等差数列.(3)由(2),得a n 2n =12+(n -1)×1=n -12,∴a n =⎝⎛⎭⎫n -12·2n . [C 级 拓展探究]15.数列{a n }满足a 1=2,a n +1=(λ-3)a n +2n (n ∈N *). (1)当a 2=-1时,求λ及a 3的值;(2)是否存在λ的值,使数列{a n }为等差数列?若存在求其通项公式;若不存在说明理由. 解:(1)∵a 1=2,a 2=-1,a 2=(λ-3)a 1+2,∴λ=32.∴a 3=-32a 2+22,∴a 3=112.(2)不存在λ的值,理由如下: ∵a 1=2,a n +1=(λ-3)a n +2n ,∴a2=(λ-3)a1+2=2λ-4.a3=(λ-3)a2+4=2λ2-10λ+16.若数列{a n}为等差数列,则a1+a3=2a2.即λ2-7λ+13=0.∵Δ=49-4×13<0,∴方程无实数解.∴λ值不存在.∴不存在λ的值使{a n}成等差数列.。
4.2 等差数列同步提升训练一.选择题1.在等差数列{a n}中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=()A.1B.2C.D.2.在等差数列{a n}中,a1=1,a8+a10=10,则a5=()A.2B.3C.4D.53.某文具店开业期间,用100根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品,其中最下面一层铅笔数为16根,从最下面一层开始,每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多1根,则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为()A.8B.9C.10D.114.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5+a6=a2+4,则S17=()A.4B.17C.68D.1365.已知x,a,b,c,y成等差数列,d,y,e,x也成等差数列,则的值为()A.B.C.D.6.若等差数列{a n}和{b n}的前n项的和分别是S n和T n,且,则=()A.B.C.D.7.在△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a、b、c成等差数列,∠B =60°,△ABC的面积为,那么b的值是()A.3B.3+C.2D.2+8.在数列{a n}中,若a n+12﹣a n2=p(n∈N*,p是常数),则{a n}称为“等方差数列”,下列对“等方差数列”的判断,其中不正确的为()A.若{a n}是等方差数列,则{a n2}是等差数列B.若{a n}是等方差数列,则{a n2}是等方差数列C.{(﹣1)n}是等方差数列D.若{a n}是等方差数列,则{a2n}是等方差数列二.多选题9.已知公差为d的等差数列{a n}中,a2=7,a9=35,其前n项和为S n,则()A.a5=19B.d=3C.a n=4n﹣1D.10.已知等差数列{a n}的首项为,若{a n}从第6项起出现正数,则公差d的值可能为()A.B.C.D.11.已知{a n}为等差数列,其前n项和为S n,且2a1+3a3=S6,则以下结论正确的是()A.S10最小B.a10=0C.S7=S12D.S19=012.公差为d的等差数列{a n},其前n项和为S n,S11>0,S12<0,下列说法正确的有()A.d<0B.a7>0C.{S n}中S6最大D.|a4|>|a9|三.填空题13.已知等差数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1(n∈N*),那么它的前n项和S n=.14.设数列{a n}为等差数列,若a2+a5+a8=15,则a5=.15.已知数列{a n}中,a3=2,a7=1,且数列{}为等差数列,则a5=.16.已知数列{a n}是等差数列,a1>0,公差d<0,S n为其前n项和,满足a1+5a3=S8,则当S n取得最大值时,n=.四.解答题17.已知S n是等差数列{a n}的前n项和,a1=﹣5,a3+a4=0.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若S n=40,求n的值.18.已知数列{a n}是一个等差数列,且a2=1,a5=﹣5.(1)求{a n}的通项a n;(2)求{a n}前n项和S n的最大值.19.等差数列{a n}中,a1=8,a4=2.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=|a1|+|a2|+…+|a n|,求T20.20.已知数列{a n}满足a1=2a,a n=2a﹣(n≥2),其中a是不为0的常数,令b n =.(1)求证:数列{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.21.在数列{a n}中,,,记.(1)求证:数列{b n}为等差数列,并求出数列{b n}的通项公式;(2)试判断数列{a n}的增减性,并说明理由.22.已知数列{a n}的前n项和为S n,把满足条件a n+1≤S n(n∈N*)的所有数列{a n}构成的集合记为M.(1)若数列{a n}的通项为a n=,则{a n}是否属于M?(2)若数列{a n}是等差数列,且{a n+n}∈M,求a1的取值范围;(3)若数列{a n}的各项均为正数,且{a n}∈M,数列{}中是否存在无穷多项依次成等差数列,若存在,给出一个数列{a n}的通项:若不存在,说明理由.。
2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典4.2 等差数列 解析版学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 注意事项:本卷共16小题,6道单选题,3道多选题,3道填空题,4道解答题。
一、单选题1.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若10420S a =,则94a a =( ) A .13B .3C .133 D .313【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列式,即可得123a d =-,再将4a 、9a 用通项表示出来,即可求解. 【详解】因为10420S a =,所以()11109102032a d a d ⨯+=⨯+,即123a d =-, 所以91413138813223333322d d a a d a a d d d -++====+-+, 故选:C 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式,属于基础题. 2.数列{}n a 为非常数列,满足:39511,48a a a +==,且1223111n n n a a a a a a na a +++++=对任何的正整数n 都成立,则1250111a a a ++的值为( ) A .1475 B .1425C .1325D .1275【答案】B 【解析】因为1223111n n n a a a a a a na a +++++=,所以122312121n n n a a a a a a n a a ++++++=+(),即1212111?n n n n a a n a a na a ++++=+-,所以()1112111n n a a n n na n a ++=-++,叠加得112211?11n a a n a n a +-=-++,112211? 11n a a n a n a +-=-++,2211n 1n n a a a ++=-,即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭从第三项起成等差数列,设公差为()d d ≠0 ,因为39511,48a a a +==,所以111,82844d d +=-+解得1d =,即18(5)3(3)n n n n a =+-=+≥ ,所以2121122132116,74,5a a a a a a -=-=⇒== ,满足13n n a =+,1250111a a a ++15045049114252=⨯+⨯⨯⨯= ,选B. 3.设数列{}n a 满足12a =,26a =,312a =,数列{}n a 前n 项和为n S ,且211131n n n n S S S S +-+-+=-+(n *∈N 且2n ≥).若[]x 表示不超过x 的最大整数,()21n n n b a ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,数列{}n b 的前n 项和为n T ,则2020T =( ) A .2019 B .2020 C .2021 D .2022【答案】C 【解析】 【分析】根据递推公式,可知{}1n n a a +-从第2项起是等差数列,可得122n n a a n +-=+,再根据累加法,可得()1n a n n =+,由此可得当2n ≥时,()211n n n b a ⎡⎤+==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,又()211112b a +==,由此即可求出n T .【详解】当2n ≥时,211131n n n n S S S S +-+-+=-+, 211131n n n n a a a a ++++++∴=+,2122n n n a a a ++∴-+=,()2112n n n n a a a a +++∴---=,{}1n n a a +∴-从第2项起是等差数列.又12a =,26a =,312a =,()()32212a a a a ∴---=,()142122n n a a n n +∴-=+-=+,当2n ≥时,()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()()1221222212n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+,()211nn n a n++∴=(2n ≥), ∴当2n ≥时,()2111n n n n b a n ⎡⎤++⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 又()211112b a +==,2222020122020232021220192021T a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴=+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了数列的递推公式、等差数列的概念,以及累加法在求通项公式中的应用,属于中档题.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,6350=-≠S S ,则93=S S ( ) A .18 B .13C .-13D .-18【答案】D 【解析】 【分析】通过等差数列的性质,可得S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列,设635,=-=S a S a ,即可得出结果. 【详解】由635S S =-,可设635,=-=S a S a∵{}n a 为等差数列,∴S 3,S 6-S 3,S 9-S 6为等差数列,即a ,-6a ,96-S S 成等差数列,∴96=13--S S a ,即9=18-S a∴9318=-S S 故选:D. 【点睛】本题考查了等差数列的性质,考查了运算求解能力,属于基础题目.5.在等差数列{}n a 中,35710133()2()24a a a a a ++++=,则此数列前13项的和是( ). A .13 B .26C .52D .56【答案】B 【解析】分析:利用等差数列的下标性质,结合等差数列的求和公式即可得结果. 详解:由等差数列的性质可得:3542a a a +=,713102a a a +=, 代入已知可得410322324a a ⨯+⨯=,即4104a a +=, 故数列的前13项之和()11313132a a S +=()410131342622a a +⨯===. 故选B .点睛:等差数列的常用性质有:(1)通项公式的推广:();n m a a n m d =+- (2)若{}n a 为等差数列,且2p q m n r +=+= 2p q m n r a a a a a +=+= ;(3)若{}n a 是等差数列,公差为d ,2,,...k k m k m a a a ++,则是公差md 的等差数列;(4)数列232,,...m m m m m S S S S S --也是等差数列.6.设等差数列满足:22223535317cos cos sin sin cos 2sin()a a a a a a a ,4,2k a k Z 且公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当8n =时,数列的前项和n S 取得最大值,则首项1a 的取值范围是( ) A .3[,2]2ππ B .3(,2)2ππ C .7[,2]4ππ D .7(,2)4ππ 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】 ∵,∴,即,即,即,即,即,∵,∴,∴.∵,∴,则.由()()1111224 nn n n nS na d naπ--⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭2188n a nππ⎛⎫=-++⎪⎝⎭,对称轴方程为,由题意当且仅当时,数列的前项和取得最大值,∴,解得:.∴首项的取值范围是,故选D.【点晴】本题考查了等差数列的通项公式,考查了三角函数的有关公式,考查了等差数列的前项和,训练了二次函数取得最值得条件,考查了计算能力.二、多选题7.已知两个等差数列{}n a和{}n b的前n项和分别为n S和n T,且3393nnS nT n+=+,则使得nnab为整数的正整数n的值为()A.2B.3C.4D.14【答案】ACD【解析】【分析】由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出31815311nna nb n n+==+++,进而可得出1n+为15的正约数,由此可得出正整数n的可能取值. 【详解】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-,则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++, 由于nna b 为整数,则1n +为15的正约数,则1n +的可能取值有3、5、15, 因此,正整数n 的可能取值有2、4、14. 故选:ACD. 【点睛】本题考查两个等差数列前n 项和比值的计算,涉及数的整除性质的应用,考查计算能力,属于中等题.8.设正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+,则( )A .29a a 的最大值为10B .29a a +的最大值为C .222911a a +的最大值为15D .4429a a +的最小值为200【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质,求得29,a a 的关系式,由此结合基本不等式,判断出正确选项. 【详解】因为正项等差数列{}n a 满足()211029220a a a a +=+,所以()22929220a a a a +=+,即222920a a +=.①222929201022a a a a +≤==,当且仅当29a a =A 选项正确.②由于22229291022a a a a ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,所以29292a a a a +≤+≤当且仅当29a a =成立,故B 选项正确.③22292222222222292929291120202011052a a a a a a a a a a ++==≥==⋅⋅⎛⎫+ ⎪⎝⎭,当且仅当29a a = 所以222911a a +的最小值为15,故C 选项错误. ④结合①的结论,有()24422222222929292924002400210200a a a aa a a a +=+-⋅=-⋅≥-⨯=,当且仅当29a a ==D 选项正确. 故选:ABD 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质,考查基本不等式求最值,属于中档题.9.设等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,若a 3=12,S 12>0,S 13<0,则下列结论正确的是( )A .数列{a n }是递增数列B .S 5=60C .2437d --<< D .S 1,S 2,…,S 12中最大的是S 6 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式可得a 7<0,a 6>0,再结合等差数列的通项公式和求和公式依次判断即得解. 【详解】依题意,有S 12=12a 112112⨯+•d >0, S 13=13a 113122⨯+•d <0,化为:2a 1+11d >0,a 1+6d <0, 即a 6+a 7>0,a 7<0, ∴a 6>0.由a 3=12,得a 1=12﹣2d ,联立解得247-<d <﹣3.等差数列{a n }是单调递减的. S 1,S 2,…,S 12中最大的是S 6. S 5()1552a a +==5a 3=60.综上可得:BCD 正确. 故选:BCD 【点睛】本题考查了等差数列综合,考查了等差数列通项、求和公式和性质,考查了学生概念理解,综合分析,数学运算的能力,属于中档题.三、填空题10.稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质,比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘,它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物,长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式:名称 萘蒽并四苯… 并n 苯 结构简式……分子式 108C H 1410C H 1812C H… …由此推断并十苯的分子式为________. 【答案】4224C H 【解析】 【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中C 、H 的下标分别成等差数列,结合等差数列的通项公式可以求出并n 苯的分子式,最后求出并十苯的分子式即可. 【详解】因为稠环芳香烃的分子式中C 下标分别是:10,14,18,H 的下标分别是:8,10,12所以稠环芳香烃的分子式中C 下标成等差数列,首项为10,公差为4,所以通项公式为:10(1)446n C n n =+-⋅=+,稠环芳香烃的分子式中H 下标成等差数列,首项为8,公差为2,所以通项公式为:8(1)226n H n n =+-⋅=+,所以并n 苯的分子式为:42n C +24(2,)n H n n N *+≥∈,因此当10n =时,得到并十苯的分子式为:4224C H . 故答案为:4224C H 【点睛】本题考查了等差数列的定义,考查了等差数列的通项公式的应用,考查了数学运算能力和推理论证能力.11.数列{a n },{b n }满足b n =a n +1+(-1)n a n (n ∈N *),且数列{b n }的前n 项和为n 2,已知数列{a n -n }的前2018项和为1,那么数列{a n }的首项a 1=________. 【答案】32【解析】 【分析】先根据数列{b n }的前n 项和为n 2,可求得n b ,再分n 为奇数,得22n n a a ++=,分n 为偶数,得24n n a a n ++=,将{}n a 的前2018项和化为()()()()()2018135792015201724620162018S a a a a a a a a a a a a =+++++⋯++++++⋯++代入已知条件可得值. 【详解】数列{b n }的前n 项和为n 2,所以221(1)21(2),1n b n n n n b =--=-≥=也符合,故21n b n =-,故1(1)21nn n a a n ++-=-,设{}n a 的前n 项和为21,1n S a a -=.若n 为奇数,则()1212121121n n n n a a n a a n n +++-=-⎧⎨+=+-=+⎩,解得22n n a a ++=,若n 为偶数,则()1212121121n n n n a a n a a n n ++++=-⎧⎨-=+-=+⎩,解得24n n a a n ++=,()()()()()2018135792015201724620162018S a a a a a a a a a a a a =+++++⋯++++++⋯++()1120171124(482016)4a a -=+++⨯+⨯++⋯+ 112110084(482016)210094a a =+++⨯++⋯+=++×504(42016)2⨯+12110082021a =++⨯.又20182018201912S ⨯-=,所以12110082021110092019a ++⨯=+⨯,得132a =.故答案为:32. 【点睛】本题考查数列的前n 项和与通项的关系,以及数列分项数为奇数和偶数分别反应规律的相关问题,解决的关键是根据规律构造出所需的式子,属于中档题. 12.已知等差数列{}n a 的前n 项和0n S >,且满足()()()2222323n nS S S n a t a t at ⋅=---,(2n ≥且*n N ∈),若12n n a +≤(*n N ∈),则实数t 的取值范围是______. 【答案】(]0,1 【解析】 【分析】先利用已知条件解得nS n,再利用等差数列公式构建关系,得到1,,a d t 之间的关系,解得参数,再计算t 的取值范围即可. 【详解】 当2n ≥时,()()()2222323n nS S S n a t a t at ⋅=---①()()()222231231(1)n n S S S n a t a t at --⋅=----②设1(1)n a a n d =+-,因为0n S >,所以①÷②得 []221(1)11n n a n d t S a t n n n +---==-- 2221121a t d n a d d n -=+-+-,又因为111(1)1222n na n n d S d dn a n n +-==+-, 故22211112221a t d dn a d n a d d n -+-=+-+-, 2112212212d a a d d d d a t ⎧-=-⎪⎪⎪∴=⎨⎪⎪-=⎪⎩112a d ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或210a t d ⎧=⎨=⎩,若0d =时,由()2222S a t =-知 ()211220a a t =-=,则 10a =,0n S =,与已知矛盾,因此0d =不符合题意,舍去,111(1)22n n n a a n d -+∴=+-=≤,得1t ≤,又10a >01t ∴<≤. 故答案为:(]0,1. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前前n 项和公式的综合应用,属于难题.四、解答题13.在①414S =-,②515=-S ,③615S =-三个条件中任选两个,补充到下面问题中,并解答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足: ,*N n ∈. (1)求n S 的最小值; (2)设数列671{}n n a a ++的前n 项和n T ,证明:1n T <.【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)选择②③、①②、①③条件中的一组,利用等差数列的性质及条件,求得{}n a 的通项公式,利用通项公式的单调性,结合题意,即可求得n S 的最小值;(2)由(1)可得数列{}n a 的通项公式,利用裂项相消求和法,化简整理,即可得证. 【详解】(1)若选择②③; 由题知:6650a S S =-=, 又因为()155355152a a S a +===-,解得33a =-所以6333d a a =-=,解得1d =,所以16(1)(6)6n a a n d a n d n =+-=+-=-, 所以125670a a a a a <<<<=<<,所以6515n S S S ≥==-; 若选择①②;由题知:5541a S S =-=-, 又因为15535()5152a a S a +===-,解得33a =-, 所以5322d a a =-=,解得1d =,所以13(1)(3)6n a a n d a n d n =+-=+-=-,所以125670a a a a a <<<<=<<,所以6515n S S S ≥==- ; 若选择①③;由题知:1666()152a a S +==-,所以161255a a a d +=+=- , 由题知:1444()142a a S +==-,所以141237a a a d +=+=- 联立解得:15,1a d =-=, 所以6n a n =-, 所以125670a a a a a <<<<=<<,所以6515n S S S ≥==-. (2)由(1)可得6n a n =-,所以671111(1)1n n a a n n n n ++==-++,所以111111111122311n T n n n =-+-++-=-<++. 【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的求法、数列单调性的应用、裂项相消法求数列的和,考查分析理解,计算求值的能力,属中档题.14.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足44a =,525S =. (1)求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ; (2)求数列{}n a 的前n 项和n T ; (3)若242nn n a a b -=()1,2,3...n =,如果对任意*n N ∈,都有2122n b t t +≤,求实数t 的取值范围. 【答案】(1)8n a n =-,2152n n n S -+= (2)2215,821556>82n n nn T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨-⎪+⎪⎩, (3)11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】(1)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由已知建立方程组113451025a d a d +=⎧⎨+=⎩,解之可得首项和公差,从而得出数列的通项和前n 项和;(2)分当8n ≤时和当8n >时,分别求和可得数列{}n a 的前n 项和n T ;(3)由(1)得81222n n n b --=,作差得18822n n nnb b +---=,讨论n 可得出n b 的最大值,再由恒等式思想,建立关于t 的不等式,可求得实数t 的取值范围. 【详解】(1)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由已知可得113451025a d a d +=⎧⎨+=⎩得171a d =⎧⎨=-⎩, 所以,()118n a a n d n =+-=-,2152n n nS -+=;(2)当8n ≤时,0n a ≥,∴2152n n n nT S -+==,当8n >时,0n a <,∴()()21289815 (2562)n n n n nT a a a a a S S -=+++-++=-=+;(3)82412222n n n a n a n b ---==,则由18822n n nnb b +---=, ①当14n ≤<时,10n n b b +->, ②当4n =时,1n n b b +=. ③当4n >时,10nnb b ,所以123456...n b b b b b b b <<<=>>>,所以数列{}n b 的最大值为4514b b ==, 又因为2122n b t t +≤恒成立,所以211242t t ≤-,所以14t ≤-或12t ≥. 所以实数t 的取值范围是11,,42⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查等差数列的基本量的求解,绝对值项的求和,以及不等式的恒成立问题,关键在于得出数列的单调性,得出数列的最大项,属于难度题.15.已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34117a a =,2522a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 是等差数列,且nn S b n c=+,求非零常数c 的值. (3)设11n n n C a a +=,n T 为数列{}n C 的前n 项和,是否存在正整数M ,使得8n M T >对任意的*n N ∈均成立?若存在,求出M 的最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)43n a n =-;(2)12-;(3)存在,M 的最小值为2. 【解析】 【分析】(1)由2221170x x -+=解得19x =,213x =,得到数列{}n a 满足39a =,413a =,列出方程组,求得11,4a d ==,即可求解数列的通项公式;(2)由(1)可得22n S n n =-,所以22n n S n nb nc n c-==++,求得123,,b b b 的值,又由数列{}n b 是等差数列,所以2132b b b =+,求得12c =-,即可得到结论; (3)由题可得111()44341n C n n =--+,利用裂项相消法可得111(1)4414n T n =-<+,即82n T <,即可得到答案.【详解】(1)因为数列{}n a 为等差数列,2522a a +=,所以342522a a a a +=+=, 又34117a a =,所以3a ,4a 是方程2221170x x -+=的两个根, 由2221170x x -+=解得19x =,213x =,设等差数列{}n a 的公差为d ,由题意可得0d >,所以34a a <, 所以39a =,413a =,所以1129313a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得114a d =⎧⎨=⎩, 所以()14143n a n n =+-=-,故数列{}n a 的通项公式为43n a n =-. (2)由(1)知,()214322n n n S n n +-==-,所以22n n S n nb nc n c-==++, 所以111b c =+,262b c =+,3153b c=+, 因为数列{}n b 是等差数列,所以2132b b b =+,即12115213c c c=++++,即220c c +=,解得12c =-(0c =舍去), 当12c =-时,2n b n =,易知数列{}n b 是等差数列,满足题意. 故非零常数c 的值为12-.(3)由题可得()()111111434144341n n n C a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭, 利用裂项相消法可得11114414n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭,故82n T <, 所以存在正整数2M ≥,使得8n M T >对任意的*n N ∈均成立,M 的最小值为2. 【点睛】(1)常见的求数列通项的方法:①公式法:当已知数列{}n a 为等差或等比数列时;②叠加法:当已知数列{}n a 满足()+1n n a a f n -=,且()()()12f f f n ++⋅⋅⋅+可求时; ③累乘法:当已知数列{}n a 满足()+1n na f n a =,且()()()12f f f n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅可求时; ④由11,1=,2n nn S n a S S n -=⎧⎨-≥⎩求数列通项,当已知条件给出n S 关于n 的代数式时.(2)常见的数列求和方法:①公式法:当已知数列{}n a 为等差或等比数列时;②错位相减法:当已知数列{}n c 满足n n n c a b =⋅,且{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列; ③分组求和法:当已知数列{}n c 满足+n n n c a b =,且{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列; ④裂项相消法:当已知数列{}n a 满足()()1n a f n f n =--时. (3)数列与函数的综合问题主要有以下两类:①已知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题;②已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.16.设等差数列{}n a 的首项为0,公差为a ,N a *∈;等差数列{}n b 的首项为0,公差为b ,b *∈N .由数列{}n a 和{}n b 构造数表M ,与数表M *;记数表M 中位于第i 行第j 列的元素为ij c ,其中ij i j c a b =+,(i ,j =1,2,3,…).记数表M *中位于第i 行第j 列的元素为ij d ,其中1ij i j d a b +=-(1i b ≤≤,i *∈N ,j *∈N ).如:1,212c a b =+,1,213d a b =-.(1)设5a =,9b =,请计算2,6c ,396,6c ,2,6d ;(2)设6a =,7b =,试求ij c ,ij d 的表达式(用i ,j 表示),并证明:对于整数t ,若t 不属于数表M ,则t 属于数表M *;(3)设6a =,7b =,对于整数t ,t 不属于数表M ,求t 的最大值. 【答案】(1)50,2020,49-(2)详见解析(3)29 【解析】 【分析】(1)将5a =,9b =代入,可求出n a ,n b ,可代入求,i j c ,,i j d ,可求结果. (2)可求,i j c ,,i j d ,通过反证法证明,(3)可推出t M ∉,*t M ∈,t 的最大值,就是集合*M 中元素的最大值,求出. 【详解】(1)由题意知等差数列{}n a 的通项公式为:55n a n =-; 等差数列{}n b 的通项公式为:99n b n =-, 得,(55)(99)5914i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-, 则2,650c =,396,62020c =,得,1(55)[9(1)9]595i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--, 故2,649d =-.(2)证明:已知6a =.7b =,由题意知等差数列{}n a 的通项公式为:66n a n =-; 等差数列{}n b 的通项公式为:77n b n =-,得,(66)(77)6713i j i j c a b i i i j =+=-+-=+-,(*i N ∈,*)j N ∈.得,1(66)[7(1)7]676i j i j d a b i j i j +=-=--+-=--,17i ,*i ∈N ,*)j N ∈. 所以若t M ∈,则存在u N ∈,v N ∈,使67t u v =+, 若*t M ∈,则存在u N ∈,6u ,*v N ∈,使67t u v =-,因此,对于正整数t ,考虑集合0{|6M x x t u ==-,u N ∈,6}u ,即{t ,6t -,12t -,18t -,24t -,30t -,36}t -. 下面证明:集合0M 中至少有一元素是7的倍数.反证法:假设集合0M 中任何一个元素,都不是7的倍数,则集合0M 中每一元素关于7的余数可以为1,2,3,4,5,6,又因为集合0M 中共有7个元素,所以集合0M 中至少存在两个元素关于7的余数相同, 不妨设为16t u -,2t u -,其中1u ,2u N ∈,126u u <.则这两个元素的差为7的倍数,即2112()(6)6()t u t u u u ---=-,所以120u u -=,与12u u <矛盾,所以假设不成立,即原命题成立.即集合0M 中至少有一元素是7的倍数,不妨设该元素为06t u -,06u ,0u N ∈, 则存在s Z ∈,使067t u s -=,0u N ∈,06u ,即067t u s =+,0u N ∈,s Z ∈,由已证可知,若t M ∈,则存在u N ∈,v N ∈,使67t u v =+,而t M ∉,所以S 为负整数, 设V s =-,则*v N ∈,且067t u v =-,0u N ∈,06u ,*v N ∈, 所以,当6a =,7b =时,对于整数t ,若t M ∉,则*t M ∈成立.(3)下面用反证法证明:若对于整数t ,*t M ∈,则t M ∉,假设命题不成立,即*t M ∈,且t M ∈. 则对于整数t ,存在n N ∈,m N ∈,u N ∈,6u ,*v N ∈,使6767t u v n m =-=+成立, 整理,得6()7()u n m v -=+, 又因为m N ∈,*v N ∈,所以7()06u n m v -=+>且u n -是7的倍数,因为u N ∈,6u ,所以6u n -,所以矛盾,即假设不成立. 所以对于整数t ,若*t M ∈,则t M ∉, 又由第二问,对于整数t M ∉,则*t M ∈, 所以t 的最大值,就是集合*M 中元素的最大值, 又因为67t u v =-,u N ∈,*v N ∈,6u , 所以(*)667129max max t M ==⨯-⨯=. 【点睛】本题考查数列的综合应用,以及反证法,求最值,属于难题.。