高中数学选择性必修二 4 2 等差数列尖子生同步培优题典(含答案)

人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时同步作业（原卷版）1．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝4，则公差d＝()A．1 B.53C．2D．32．等差数列{a n}中，a1＋a4＝10，a2－a3＝2.则其前n项和S n＝()A．8＋n－n2B．9n－n2C．5n－n2 D.9n－n223．数列{a n}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和S20＝()A．160B．180C．200D．2204．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a3＝()A．17B．29C．23D．355．等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是()A．S7B．S8C．S13D．S156．已知等差数列的公差为－57，其中某连续7项的和为0，则这7项中的第1项是()A．137B．217C ．267D ．3477．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a1d ＝()A.12B ．2C.14D ．48．(高考真题·全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝()A ．5B ．7C ．9D ．119．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝()A ．72B ．54C ．36D ．1810．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n .若A n B n ＝3n －12n ＋3，则a13b 13的值为________．11．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m ＝()A ．38B ．2012．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．13．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．14．在等差数列{a n }中．(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n.15．(高考真题·全国Ⅰ)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．616．甲、乙两人分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？1．已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且S nT n＝2n＋14n－2(n∈N*)，则a10b3＋b18＋a11b6＋b15＝________．2．等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a10＝30，a20＝50.(1)求{a n}的通项公式；(2)若S n＝242，求n.人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时同步作业（解析版）1．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝4，则公差d＝()A．1 B.53C．2D．3答案C解析6，解得d＝2.2．等差数列{a n}中，a1＋a4＝10，a2－a3＝2.则其前n项和S n＝()A．8＋n－n2B．9n－n2C．5n－n2 D.9n－n22答案B解析∵a2－a3＝2，∴公差d＝a3－a2＝－2.又a1＋a4＝a1＋(a1＋3d)＝2a1－6＝10，∴a1＝8，∴S n＝9n－n2.3．数列{a n}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和S20＝()A．160B．180C．200D．220答案B解析∵{a n}是等差数列，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54.∴3(a1＋a20)＝54，∴a1＋a20＝18，∴S20＝20（a1＋a20）2＝180.4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a3＝()A．17B．29C．23D．35答案B解析依题意{a n}为等差数列，且d＝－3，S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝207，∴a5＝23，∴a3＝a5－2d＝29.故选B.5．等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是()A．S7B．S8C．S13D．S15答案C解析由已知a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为定值，则S13＝13（a1＋a13）2＝13a7也为定值．故选C.6．已知等差数列的公差为－57，其中某连续7项的和为0，则这7项中的第1项是()A．137B．217C．267D．347答案B解析记某连续7项分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝0，∴a4＝0.∴a1＝a4－3d＝0－3＝157，即a1＝217.7．等差数列{a n}中，S10＝4S5，则a1d＝()A.12B．2C.14D ．4答案A8．(高考真题·全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝()A ．5B ．7C ．9D ．11答案A解析∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，得3a 3＝3，则a 3＝1，∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5.故选A.9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝()A ．72B ．54C ．36D ．18答案A10．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n .若A n B n ＝3n －12n ＋3，则a13b 13的值为________．答案745311．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m ＝()A ．38B ．20C ．10D ．9答案C解析由条件得2a m ＝a m －1＋a m ＋1＝a m 2，从而有a m ＝0或2.又由S 2m －1＝a 1＋a 2m －12×(2m －1)＝38且2a m ＝a 1＋a 2m －1，得(2m －1)a m ＝38.故a m ≠0，则有2m －1＝19，m ＝10.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．答案13解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d)＝2，所以a 4＝13.13．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知a n ＝3－2n.所以S n ＝n[1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35.又k ∈N *，故k ＝7.14．在等差数列{a n }中．(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n.解析(1)方法一：由已知条件，得5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，1＝3，＝4.∴S 10＝10×3＋10×9×42＝210.方法二：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50，得d ＝4.由a 4＋a 9＝50，即2a 1＋11d ＝50，得a 1＝3.故S 10＝10×3＋10×9×42＝210.(2)∵S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝42，∴a 4＝6.∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （a 4＋a n －3）2＝n （6＋45）2＝510.∴n ＝20.15．(高考真题·全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋m （m －1）2×1＝0，∴a 1＝－m －12.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴－m －12＋m ＝3.∴m ＝5.故选C.16．甲、乙两人分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解析(1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n （n －1）2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0，解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n （n －1）2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．1．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________．答案4178解析∵S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，∴a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝S 20T 20＝40＋180－2＝4178.2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求{a n }的通项公式；(2)若S n ＝242，求n.解析(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 20－a 10＝10d.∴d ＝a 20－a 1010＝2.∴a n ＝a 10＋(n －10)d ＝30＋2(n －10)＝2n ＋10.(2)由(1)可得a 1＝12，代入等差数列前n项和公式得S n＝n（a1＋a n）2＝n（12＋2n＋10）2＝n(n＋11)．又S n＝242，∴n(n＋11)＝242，解得n＝11.。

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第四章数列单元检测A 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注：本检测满分150分。

其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。

一、单选题1，2，，4，…，则是这个数列的（）A．第8项B．第9项C．第10项D．第11项【答案】B【解析】【分析】将数列中的每一项都写成n，即可判断.【详解】，2，3，4，... ，由此可归纳该数列的通项公式为nna=，又9=，则其为该数列的第9项.故选：B.【点睛】本题考查了由数列的前几项归纳出其通项公式，属于基础题.2．记等差数列{}n a的前n项和为n S，若52a=，25468a a a a-=，则20S=（）A．180B．180-C．162D．162-【答案】B【解析】【分析】先利用等差数列的通项公式，求出等差数列的首项和公差，再根据前n项和公式即可求出20S. 【详解】52a =，24628a a a-=，11114226840a da d a d a d+=⎧∴⎨+--=+⎩,解得11114226840a d a d a d a d +=⎧⎨+--=+⎩，2d ∴=-，110a =，201019228a ，()12020201802a a S +⋅∴==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质和前n 项和公式，考查学生的运算求解能力，属于基础题. 3．在数列{}n a 中，112a =，111n n a a -=-（2n ≥，n ∈+N ），则2020a =（ ）A ．12B ．1C ．1-D ．2【答案】A 【解析】 【分析】通过递推式求出数列前几项可得数列为周期数列，利用数列的周期性可得答案. 【详解】2111121a a =-=-=-，3211112a a =-=+=，431111122a a =-=-=， 可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，202036731112a a a ⨯+∴===. 故选：A. 【点睛】本题考查数列的周期性，关键是通过递推式求出前几项观察出周期，是基础题.4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，352620,64a a a a +==，则5S =（ ） A ．B ．C ．42D ．【答案】D 【解析】 【分析】根据2664a a =，利用等比数列的性质得到3564a a =,结合3520a a +=，利用根与系数的关系构造二次方程求解得到35,a a 的值，进而得到等比数列的首项和公比，然后利用求和公式计算即得所求. 【详解】由于在等比数列{}n a 中，由2664a a =可得：352664a a a a ==， 又因为3520a a +=，所以有：35,a a 是方程220640x x -+=的二实根，又0,1n a q >>，所以35a a <， 故解得：354,16a a ==，从而公比3122,1,a q a q ==== 那么55213121S -==-，故选：D ． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，等比数列的求和，属中档题. 5．两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且723n n S n T n +=+，则220715a ab b ++的值为（ ） A ．14924B ．7914C ．165 D ．5110【答案】A 【解析】 【分析】在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以结合此性质可得：2202171521a a Sb b T +=+，再根据题意得到答案．【详解】解：在{}n a 为等差数列中，当(m n p q m +=+，n ，p ，)q N +∈时，m n p q a a a a +=+．所以1212202171521121121()2121()2a a a a Sb b T b b ⨯+⨯+==+⨯+⨯，又因为723n n S n T n +=+，所以22071514924a ab b +=+．故选：A ． 【点睛】本题主要考查等差数列的下标和性质，属于中档题． 6．等比数列{}n a 中（ ） A ．若12a a <，则45a a < B ．若12a a <，则34a a < C ．若32S S >，则12a a < D ．若32S S >，则12a a >【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式及求和公式，等比数列的公比分析即可求出答案. 【详解】等比数列{}n a 中，20q >，∴当12a a <时，可得2212a q a q <，及34a a <，故B 正确；但341a a q =和352a a q =不能判断大小（3q 正负不确定），故A 错误；当32S S >时，则12312+++a a a a a >，可得30a >，即210a q >，可得10a >，由于q 不确定，不能确定12,a a 的大小，故CD 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式的应用，属于基础题.7．函数()2cos 2f x x x =--{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 【答案】B 【解析】 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭再解函数零点得4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可.【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题. 8．已知函数()cos lnxf x x x ππ=+-，若22018201920192019f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1009ln 0,0)a b a b π+>>（，则11a b+的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】 根据()()2ln f x fx ππ+-=，采用倒序相加的方法可得2018ln S π=，从而得到2a b +=，根据基本不等式求得最小值. 【详解】由题可知：()()()()2cos lncos ln ln 2ln x xf x f x x x x xππππππππ-+-=++-+==- 令22018201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又20182017201920192019S f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是有22ln 2ln 2ln 22018ln S ππππ=++⋅⋅⋅+=⨯ 2018ln S π⇒= 因此2a b += 所以()()11111112222222a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1a b ==时取等号本题正确选项：A 【点睛】本题考查倒序相加法求和、利用基本不等式求解和的最小值问题.关键是能够通过函数的规律求得a 与b 的和，从而能够构造出基本不等式的形式.二、多选题9．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c 时，{}n a 是等差数列，不可能是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：AC 【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．10．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，()*12n n a S n N +=∈，则有（ ） A ．13n n S -=B ．{}n S 为等比数列C ．123n n a -=⋅D ．21,1,23,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【分析】根据,n n a S 的关系，求得n a ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项和满足()*12n n a S n N +=∈，当2n ≥时，12n n a S -=，两式相减，可得112()2n n n n n a a S S a +-=-=-， 可得13n n a a +=，即13,(2)n na a n +=≥， 又由11a =，当1n =时，211222a S a ===，所以212a a =， 所以数列的通项公式为21,1232n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；当2n ≥时，11123322n n n n a S --+⋅===，又由1n =时，111S a ==，适合上式，所以数列的{}n a 的前n 项和为13n n S -=；又由11333nn n n S S +-==，所以数列{}n S 为公比为3的等比数列， 综上可得选项,,A B D 是正确的. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用,n n a S 关系求数列的通项公式，以及等比数例的证明和判断，属综合基础题. 11．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误； 而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题.12．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假． 【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )11121131313131313nn n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．三、填空题13．已知数列{}n a 的通项公式是246n a n =-，那么n S 达到最小值时n 为________. 【答案】22或23. 【解析】 【分析】利用数列的单调性求得满足题意的n 即可. 【详解】246n a n =-，∴数列{}n a 是递增数列.令()1246021460n n a n a n +=-≤⎧⎨=+-≥⎩，解得：2223n ≤≤，∴22n =或23n =，则可知n S 达到最小值时n 为22或23. 故答案为：22或23. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.14．我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圆丘的底面由扇环形的石板铺成（如图），最高一层是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈，则前9圈的石板总数是__________．【答案】405 【解析】 【详解】 【分析】前9圈的石板数依次组成一个首项为9，公差为9的等差数列，9989994052S ⨯=⨯+⨯= 15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”.将数列1，4进行“扩展”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；……；第n 次得到数列1，1x ，2x ，…，i x ，4，并记()212log 14n i a x x x =⋅⋅⋅⋅⋅，其中21n t =-，*n ∈N .则{}n a 的通项n a =___________. 【答案】31n + 【解析】 【分析】先由()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，结合题意得到132n n a a +=-，再设13()n n a t a t ++=+求出1t =-，得到数列{}1n a -是首项为3，公比为3的等比数列，进而可求出结果.【详解】由题意，根据()212log 14n t a x x x =⋅⋅⋅⋅，可得()1211122log 1(1)((4)4)t t n a x x x x x x x +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅3333312214log 324n t x x x a ⎛⎫⋅⋅⋅⋅==-⎪⎝⎭， 设13()n n a t a t ++=+，即132n n a a t +=+，可得1t =-，则数列{}1n a -是首项为2121log 413a -=-=，公比为3的等比数列，故13n n a -=，所以31,n n a n N +=+∈.故答案为：31n +.【点睛】本题主要考查数列的应用，熟记等比数列的性质以及通项公式即可，属于常考题型.16．如图，互不相同的点12,,,n A A A 和12,,,,n B B B 分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设n n OA a =.若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是________.【答案】32n a n =-【解析】【分析】根据三角形相似和所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，找到与n a 相关的递推公式，再由递推公式求得通项公式.【详解】由于11//,n n n n A B A B ++ 所以11,n n n n OA B OA B ++梯形11n n n n A B B A ++ 的面积为11n n OA B ++∆的面积減去n n OA B △的面积，2222i i j j OA B i i OA B j jSOA a S OA a == 则可得 222211,n n n n a a a a +--=- 即递推公式为222112,n n n a a a +-=+故2{}n a 为等差数列，且公差d =2221a a -3=，故21(1)332n a n n =+-⨯=-，得32n a n =-故答案为: 32n a n =-【点睛】本题主要考查数列在平面几何中的应用，根据几何关系寻找递推有关系是解决问题的关键，属于中档题.四、解答题17．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的n S 存在最大值，则求出最大值；若问题中的n S 不存在最大值，请说明理由.问题：设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且14a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】答案见解析【解析】【分析】若选①，求出数列{}n a 是首项为4，公比为12-的等比数列，求出通项公式和前n 项和，通过讨论n 的奇偶性，求出其最大值即可；若选②，求出数列{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列，求出通项公式和前n 项和，求出其最大值即可； 若选③，求出217242n n n a -+=，当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【详解】解：选① 因为112n n a a +=-，14a =，所以{}n a 是首项为4.公比为12-的等比数列， 所1211422n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当n 为奇数时，141281113212n n n S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为81132n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增加而减少，所以此时n S 的最大值为14S =. 当n 为偶数时，81132n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且81814323n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭ 综上，n S 存在最大值，且最大值为4.选② 因为116n n a a +-=-，14a =.所以{}n a 是首项为4，公差为16-的等差数列， 所以11254(1)666n a n n ⎛⎫=+--=-+ ⎪⎝⎭. 由125066n -+≥得25n ≤， 所以n S 存在最大值.且最大值为25S （或24S ）， 因为25252412545026S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为50. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…19n n a a n --=-， 则2121321(79)(1)171622n n n n n n n a a a a a a a a --+---+=-+-+=-+-=， 又14a =，所以217242n n n a -+=. 当16n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值.【点睛】此题考查数列的通项公式和求和公式，考查等差数列和等比数列的性质，属于基础题 18．数列{}n a 的前n 项和()2=1003n S n n n N *-+∈.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1) ()()102110122n n a nn ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩ (2) ()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩【解析】【分析】(1) 当1n =时，1102a =，利用1n n n a S S -=-得到通项公式，验证1a 得到答案.(2)根据{}n a 的正负将和分为两种情况，50n ≤和51n ≥，分别计算得到答案.【详解】(1)当1n =时，11=10013=102a s =-+，当2n ≥时，()()221=10010011=1012n n n a S S n n n n n -=-------. 综上所述()()102110122n n a n n ⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩. (2)当50n ≤时，n n b a =，所以123n n T a a a a =+++⋅⋅⋅+39997951012n =++++⋅⋅⋅+-()()991012331002n n n n +-=+=+-， 当51n ≥时，n n b a =-，123505152n n T a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+---⋅⋅⋅-()5012312n n T a a a a a -=-+++⋅⋅⋅++()50063100n n =---21005003n n =-+.综上所述()()22100350100500351n n n n T n n n ⎧-++≤⎪=⎨-+≥⎪⎩. 【点睛】本题考查了利用1n n n a S S -=-求通项公式，数列的绝对值和，忽略1n =时的情况是容易犯的错误.19．已知数列{}n a 满足12a =，1122n n n a a ++=+.（1）证明：数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）设2n n na b =，证明：122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+，可得证明. （2）由（1）知：2n n n ab n ==,∴()1111111n n b b n n n n +==-++,用裂项相消可求和,从而可证明. 【详解】 （1）由1122n n n a a ++=+变形得：11122n n n na a ++=+ 又12a =，故112a = ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项1为公差的等差数列. （2）由（1）知：2n n n a b n == ∴()1111111n n b b n n n n +==-++ ∴122311111111112231n n b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111n =-<+ ∴122311111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+< 【点睛】本题考查根据数列的递推公式证明数列为等差数列，考查用裂项相消法求和，属于基础题. 20．设{}n a 是公比大于1的等比数列，12314++=a a a ，且21a +是1a ，3a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log 2n n n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）()1122n n T n +=-⋅-.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >，根据题中条件列出方程组，求出首项和公比，即可得出通项公式；（2）先由（1）得到2nn b n =-⋅，再由错位相减法，即可得出结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为()1q q >.依题意，有()21321a a a +=+，将()13221a a a +=+代入12314++=a a a 得()222114a a ++=，得24a =.联立1232144a a a a ++=⎧⎨=⎩得21111144a a q a q a q ⎧++=⎨=⎩ 两式两边相除消去1a 得22520q q -+=， 解得2q 或12q =（舍去）， 所以1422a ==， 所以，111222n n n n a a q --==⨯=，（2）因为21log 22n n n n b a n ⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭所以，231222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯①23412122232(1)22n n n T n n +-=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯② ①-②，得23122222n n n T n +=++++-⨯()111212222212n n n n n n +++-=-⨯=-⋅--.所以，数列{}n b 的前n 项和11222n n n T n ++=-⋅-.【点睛】 本题主要考查求等比数列的通项公式，考查错位相减法求数列的和，涉及等差中项的应用，属于常考题型.21．已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T .【答案】（1）32n a n =-；（2）10002631T =.【解析】【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可求出；（2）根据数列特点采用分组求和法求解.【详解】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 将1n =代入上式验证显然适合，所以32n a n =-.（2）因为410a =，34100a =，3341000a =，333410000a =，所以0,131,4332,343333,3341000n n n b n n ≤≤⎧⎪≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩， 所以100003130230036672631T =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查分组求和法，属于基础题.22．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n n n n n n n a b n a a c a n b +-+⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．【答案】（Ⅰ）n a n =，12n nb -=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）465421949n n n n +--+⨯. 【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列{}n a 前n 项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算211n k k c-=∑和21n k k c =∑的值，据此进一步计算数列{}n c 的前2n 项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由11a =，()5435a a a =-，可得d =1.从而{}n a 的通项公式为n a n =.由()15431,4b b b b ==-，又q ≠0，可得2440q q -+=，解得q =2，从而{}n b 的通项公式为12n nb -=. (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得(1)2n n n S +=， 故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()()22211124n S n n +=++， 从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<， 所以221n n n S S S ++<. (Ⅲ)当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n n n n a b n c a a n n n n-+-+--===-++， 当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==， 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nn n k k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和223111211352321444444n n k k n n k k k n n c-==---==+++++∑∑ ① 由①得22314111352321444444n k n n k n n c +=--=+++++∑ ②由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑， 由于11211121221121156544144334444123414nn n n n n n n ++⎛⎫- ⎪--+⎝⎭--=-⨯--⨯=-⨯-， 从而得：21565994n k n k n c =+=-⨯∑. 因此，2212111465421949n nn n k k k n k k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑. 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n n n n +--+⨯. 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.。

2021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典专题4.2 数列求和姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：一、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·全国专题练习（文））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l，95，则该数列的第8项为( )A．99 B．131 C．139 D．1412．（2020·湖北宜昌·其他（文））我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（）A．五寸B．二尺五寸C．五尺五寸D．四尺五寸3．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））等差数列{}n a前项和为n S，若4a，10a是方程2x8x1=0-+ S=（）的两根，则134．（2020·赤峰二中高一月考（文））等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，对一切自然数n ，都有231n n S nT n =+，则55a b = （ ） A ．23B ．914C ．2031D ．11175．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模（文））已知数列{}n a ，2sin2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为（ ） A ．5000B ．5000-C ．5050D ．5050-6．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校二模（文））对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列(2)n n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．20206069B ．40406069C ．20202023D ．404020237．（2020·湖南邵阳·三模（文））已知函数()2f x x ax =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ） A ．20182019B ．20192020C ．20202021D ．202120228．（2020·岳麓·湖南师大附中高三月考（文））数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想221(0,1,2,)nn F n =+=是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =*，不是质数．现设n a =()2log 1,(1,2,)n F n -=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和．则使不等式221231222n n n S S S S S S +++⋯+<22020n成立的最小正整数n 的值是（提示1021024=）（ ）9．（2020·全国高三其他（文））已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，313a b ==，15715a b ==，设11(1)n nn n n b c a a -+=-，则数列{}n c 的前2020项和为（ ） A ．20192020-B ．20192020C ．20202021-D ．2020202110．（2020·山东青州·高三三模（文））已知数列{}n a ，定义数列{}12n n a a +-为数列{}n a 的“2倍差数列”，若{}n a 的“2倍差数列”的通项公式为1122n n n a a ++-=，且12a =，若函数{}n a 的前n 项和为n S ，则33S =（ ）A ．3821+B ．3922+C ．3822+D ．39211．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他（文））设数列{}n a 满足123(21)n a a n a n ++⋯+-=，若不等式1223127log n n a a a a a a n λ+++⋯+对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的最小值是_____．12．（2020·山西其他（文））设函数22()log xf x =，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则124039a a a ++⋅⋅⋅+=______.14．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（文））在数列{}n a 中，已知11a =，11n n a a n +=++，则122020111a a a +++=______．15．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高三二模（文））已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足()2*42n n n S a a n N =+∈，设()11nn n n b a a +=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则20T =______．16．（2020·全国高三其他（文））数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a S n +=，则n S =________.17．（2020·福建其他（文））已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =，且1S 、2S 、4S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .18．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且430S =，2a ，4a 的等差中项为10.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求212231222n n n n T S S S S S S +=+++. 19．（2020·荆州市北门中学期末（文））已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+（*n N ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .20．（2020·全国专题练习（文））设122,4a a ==，数列{b n }满足：b n +1＝2b n +2，且a n +1﹣a n ＝b n ； （1）求证：数列{b n +2}是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式．21．（2020·湖南邵阳·三模（文））设数列{}n a 满足：11a =，1340n n a a +-+=，*n ∈N . （1）求证：数列{}2n a +为等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若()3log 2n n n b a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S .22．（2020·广西高三其他（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1102n n n n S S S S n ---+=≥. （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若1,32,nn n S n C n n -⎧⎪=+⎨⎪⎩奇偶为数为数，设数列{}n C 的前n 项和为n T ，求2n T .解析附后2021学年高考数学（文）尖子生同步培优题典专题4.2 数列求和姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：二、选择题（在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（2020·全国专题练习（文））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，6l ，95，则该数列的第8项为( ) A ．99 B ．131C ．139D ．141【答案】D 【解析】所给数列为高阶等差数列设该数列的第8项为x根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列， 得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列 即得到了一个等差数列，如图：根据图象可得：3412y -=，解得46y =9546x y -==解得：141x =故选：D ．2．（2020·湖北宜昌·其他（文））我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长）．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈四尺五寸，夏至晷长二尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是（ ）A ．五寸B ．二尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸【答案】C【解析】设晷影长为等差数列{}n a ，公差为d ，1145a =，1325a =， 则1451225d +=，解得10d =-． 1014510955a ∴=-⨯=∴夏至之后的第三个节气（立秋）晷长是五尺五寸．故选：C ．3．（2020·四川省南充高级中学高三月考（文））等差数列{}n a 前项和为n S ，若4a ，10a 是方程2x 8x 1=0-+的两根，则13S =（ ） A ．58 B ．54 C ．52 D ．56【答案】C【解析】410,a a 是方程2810x x -+=的两根，4108a a ∴+=， 410728a a a ∴+==，1131371313522a a S a +∴=⨯==，故选C. 4．（2020·赤峰二中高一月考（文））等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，对一切自然数n ，都有231n n S nT n =+，则55a b = （ ） A ．23B ．914C ．2031D ．1117【答案】B 【解析】1955199195519992299223911492a a a a a a Sb b b b b b T +⨯+⨯======++⨯+⨯ ,选B. 5．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中三模（文））已知数列{}n a ，2sin2n na n π=，则数列{}n a 的前100项和为（ ） A ．5000 B ．5000- C ．5050 D ．5050-【答案】B【解析】由题意知， 当2,n k k N *=∈时，()222sin 0k a k k π==；当21,n k k N *=-∈时，()2212121sin2k k a k π--=-，所以数列{}n a 的前100项和 2222210012310013599......1357...9799S a a a a a a a a =++++=++++=-+-++-()()()()()()13135757...97999799=-⨯++-⨯+++-⨯+()504921357...9799250250002⨯⎛⎫=-⨯++++++=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭.故选:B6．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校二模（文））对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第n 层货物的个数为n a ，则数列(2)n nn a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前2020项和为（ ）A ．20206069B ．40406069C ．20202023D ．40402023【答案】B【解析】由题意可知12a =，213a a -=，324a a -=，，11n n a a n --=+，累加可得()(3)23412n n n a n +=+++++=， 2112()(2)(2)(3)23n n n a n n n n ∴==-+++++，1111111122()2()2()2()3445233339n nS n n n n ∴=-+-++-=-=++++. 2020220204040=3202096069S ⨯∴=⨯+ 故选：B.7．（2020·湖南邵阳·三模（文））已知函数()2f x x ax =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（ ）A ．20182019B ．20192020C ．20202021D ．20212022【答案】C【解析】()2f x x ax =-，()2f x x a '∴=-，由题意可知()123f a '=-=，得1a =-.()2f x x x ∴=+，()()21111111f n n n n n n n ===-+++， 20201111112020112232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：C.8．（2020·岳麓·湖南师大附中高三月考（文））数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想221(0,1,2,)nn F n =+=是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =*，不是质数．现设n a =()2log 1,(1,2,)n F n -=，n S 表示数列{}n a 的前n 项和．则使不等式221231222n n n S S S S S S +++⋯+<22020n成立的最小正整数n 的值是（提示1021024=）（ ） A ．11 B ．10 C ．9 D ．8【答案】C【解析】把221nn F =+代入()2log 1n n a F =-），得()22log 2112nn n a =+-=，故()()21222112n nnS -==--，则11211142121n n n n n S S ++⎛⎫=- ⎪--⎝⎭， 则不等式211223122211214212020n nn n n S S S S S S ++⎛⎫++⋯+=-< ⎪-⎝⎭成立，代入计算可得，当不等式成立时．n 的最小值为9． 故选C ．9．（2020·全国高三其他（文））已知数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，313a b ==，15715a b ==，设11(1)n nn n n b c a a -+=-，则数列{}n c 的前2020项和为（ ） A ．20192020-B ．20192020C ．20202021-D ．20202021【答案】D【解析】设等差数列{}n a 的公差为1d ，等差数列{}n b 的公差为2d 因为33a =，1515a =所以315112a a d =+，解得11d = 所以()313n a a n d n =+-=因为13b =，715b =所以7126b b d =+，解得22d = 所以()12121n b b n d n =+-=+所以()112111(1)(1)11n n n n c n n n n --+⎛⎫=-=-+ ⎪++⎝⎭所以122020111111111+c 1223342019202020202021c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+-++++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12020120212021=-=故选：D10．（2020·山东青州·高三三模（文））已知数列{}n a ，定义数列{}12n n a a +-为数列{}n a 的“2倍差数列”，若{}n a 的“2倍差数列”的通项公式为1122n n n a a ++-=，且12a =，若函数{}n a 的前n 项和为n S ，则33S =（ ） A ．3821+ B ．3922+C ．3822+D ．392【答案】B 【解析】分析：由1122n n n a a ++-=可得11122n nn n a a ++-=，从而得数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1，公差1d =的等差数列，求得2n n a n =⋅，再根据错位相减法即可得结果.详解：根据题意得11122,2n n n a a a ++-==，11122n nn na a ++∴-=， ∴数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭表示首项为1，公差1d =的等差数列， ()11,22nn n na n n a n ∴=+-=∴=⋅， 123122232...2n n S n ∴=⨯+⨯+⨯++⋅， 23412122232...2n n S n +∴=⨯+⨯+⨯++⋅， 23412222...22n n n S n +∴-=++++-⋅()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=-+-⋅-，()1212n n +=-+-，()()133133122,33122n n S n S ++∴=-+=-+3922=+，故选B.11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高三其他（文））设数列{}n a 满足123(21)n a a n a n ++⋯+-=，若不等式1223127log n n a a a a a a n λ+++⋯+对任意*n N ∈恒成立，则实数λ的最小值是_____．【答案】3【解析】解：数列{}n a 满足123(21)n a a n a n ++⋯+-=，①可得11a =，2n 时，1213(23)1n a a n a n -++⋯+-=-，② ①-②可得(21)1n n a -=，即有121n a n =-，对1n =也成立， 则11111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+，1223127log n n a a a a a a n λ+++⋯+即为2711111111(1)(1)log 2335212122121nn n n n n λ-+-+⋯+-=-=-+++，可得271log 21n λ+对任意*n N ∈恒成立， 显然1()21f n n =+为递减数列， ()1f 取得最大值13， 可得271log 3λ，解得3λ， 实数λ的最小值为3． 故答案为：3．12．（2020·山西其他（文））设函数2()log 42f x x=-，数列{}n a 满足2020n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则124039a a a ++⋅⋅⋅+=______.【答案】40392-【解析】由题得4039124039S a a a =++⋅⋅⋅+,4039403921S a a a =+⋅⋅⋅++，两式相加得40391403924038403912()()()S a a a a a a =++++++，考虑一般情况，设k *∈N ,则404022404022404020202020log log 404020202020424220202020k kk kk k a a f f k k --⨯⨯-⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-⨯-⨯ ()22404021=log log 12404022k kk k ⎡⎤-⨯==-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以40394039403924039,.2S S =-∴=-故答案为：40392-13．（2020·全国专题练习（文））在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝____．【答案】676 【解析】当n 为偶数时，22,2(1)22n n n na a a n +-==+-⨯= ； 当n 为奇数时，20,1n n n a a a +-== ；所以12511261(24650)26125(250)6762a a a +++=⨯+++++=⨯+⨯⨯+=14．（2020·河北桃城·衡水中学高三月考（文））在数列{}n a 中，已知11a =，11n n a a n +=++，则122020111a a a +++=______．【答案】40402021【解析】因为11n n a a n +=++，故可得213212;3;;n n a a a a a a n --=-=-=，累加可得123n a a n -=++，又因为11a =，则()11232n n n a n +=++++=， 故可得()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 则122020111a a a +++111112122320202021⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦140402*********⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 故答案为：40402021. 15．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高三二模（文））已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足()2*42n n n S a a n N =+∈，设()11nn n n b a a +=-⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和，则20T =______．【答案】880【解析】由于正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242n n n S a a =+.当1n =时，21111442a S a a ==+，得21120a a -=，10a >，解得12a =；当2n ≥时，由242n n n S a a =+得211142n n n S a a ---=+，两式作差得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，可得2211220n n n n a a a a -----=，()()1120n n n n a a a a --∴+--=，对任意的n *∈N ，0n a >，则10n n a a ->+，12n n a a -∴-=，所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列，()2212n a n n ∴=+-=.()()()11141n nn n n b a a n n +=-⋅=-⋅+，()()2124212422116n n b b n n n n n -∴+=--⨯+⨯+=，所以，20T 可视为数列{}212n n b b -+的前10项和，因此，()20101616108802T ⨯+⨯==.故答案为：880.16．（2020·全国高三其他（文））数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a S n +=，则n S =________.【答案】11()2nn -+【解析】因为n n a S n +=，所以当1n =时，121a =，解得112a =， 当2n ≥时，111n n a S n --+=-所以111n n n n a a S S ---+-=，即11(1)2n n a a -=+，2n ≥ 所以111(1)2n n a a --=-，即11112n n a a --=-，2n ≥ 所以{1}na -是以12-为首项，12为公比的等比数列，所以11111()()()222n n n a --=-⨯=-，即11()2n n a =-，2n ≥又112a =满足上式，所以11()2nn a =-，*n N ∈所以23123111111()1()1()2222n n n S a a a a =+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- =231111[()()()]2222n n -+++⋅⋅⋅+=11[1()]1221()1212n n n n --=-+- 故答案为：11()2nn -+17．（2020·福建其他（文））已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，11a =，且1S 、2S 、4S 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令2n nn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()*21n a n n N=-∈（2）16(23)2n nTn +=+-⋅【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S =，所以()()21211234a a a a a a a +=+++， 那么()()2111246a d a a d +=+， 所以2d =或0d =（舍去） 又因为11a =，则()*21n a n n N=-∈（2）由（1）得2(21)2n nn n b a n =⋅=-⋅，所以数列{}n b 的前n 项和23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅①，所以23121232(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯++-⋅+-⋅②，由①②相减得2312222222(21)2nn n T n +-=+⨯+⨯+⋯+⨯--⋅()231222222(21)2n n n +=-++++⋯+--⋅()212122(21)212n n n +-=-+--⋅-21162(21)26(23)2n n n n n +++=-+--⋅=---⋅.所以16(23)2n n T n +=+-⋅.18．（2020·湖北东西湖·华中师大一附中其他（文））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且430S =，2a ，4a 的等差中项为10.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求212231222n n n n T S S S S S S +=+++. 【答案】（1）2nn a =；（2）()121221n n +--.【解析】（1）()()23143241130302020a q q q S a a a q q ⎧⎧+++==⎪⎪⇒⎨⎨+=+=⎪⎪⎩⎩，解得12a =，2q.所以1222n nn a -=⋅=.（2）由（1）可知2nn a =，所以()()21222112nnnS-==--，又()()1112211142121221221n n n n n n n n S S +++⎛⎫==⋅- ⎪⋅--⎝-⋅-⎭，则2231111111142212121211n n n T +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎝⎭⎣-⎭⎦()111111122211421421221n n n n n ++++--⎛⎫=⋅-=⋅= ⎪---⎝⎭. 19．（2020·荆州市北门中学期末（文））已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+（*n N ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）12362n n -+-. 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()1212234,{12,a a a a a a +=+++=即12234,{8,a a a a +=+=所以()()()11114,{28,a a d a d a d ++=+++=解得11,{2,a d == 所以21n a n =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）得112122n n n a n ---=，所以122135232112222nn n n n S ----=+++⋯++，① 23111352321222222n n n n n S ---=+++⋯⋯++，② -①②得：2211112123113222222n n n nn n S --+=++++⋯+-=- 所以4662n nn S +=-． 20．（2020·全国专题练习（文））设122,4a a ==，数列{b n }满足：b n +1＝2b n +2，且a n +1﹣a n ＝b n ； （1）求证：数列{b n +2}是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式． 【答案】（1）见解析（2）122n n +﹣【解析】（1）证明：a 1＝2，a 2＝4，且a n +1﹣a n ＝b n ；∴b 1＝a 2﹣a 1＝4﹣2＝2． 由b n +1＝2b n +2，变形为： ()1222+n n b b +=+， ∴数列{b n +2}是等比数列，首项为4，公比为2．（2）解：由（1）可得：b n +2＝4×2n ﹣1，可得b n ＝2n +1﹣2． ∴a n +1﹣a n ＝b n ＝2n +1﹣2．∴()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯+-+()()()122222222n n -=-+-+⋯+-+1222222(1)n n n -=++⋯++--()22121n -=--2n +2＝2n +1﹣2n ．21．（2020·湖南邵阳·三模（文））设数列{}n a 满足：11a =，1340n n a a +-+=，*n ∈N . （1）求证：数列{}2n a +为等比数列，并求出{}n a 的通项公式； （2）若()3log 2n n n b a a =++，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析，2123n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()1992322+=--+⨯n n n n S .【解析】（1）∵11a =，1340n n a a +-+= ∴11433n n a a +=-． ∴1122033n n a a ++=+≠． ∴12123n n a a ++=+．∴{}2n a +是首项为3，公比为13的等比数列． ∴11233n n a -⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，故2123n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（2）由（1）得22231112log 333n n n n b n ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴()102111...12...333n n S n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()1311199312232213n n n n n n ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=-=--+⨯-． 22．（2020·广西高三其他（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1102n n n n S S S S n ---+=≥. （1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（2）若1,32,n n n S n C n n -⎧⎪=+⎨⎪⎩奇偶为数为数，设数列{}n C 的前n 项和为n T ，求2n T . 【答案】（1）证明见解析；（2）2125131244n n +--+ 【解析】（1）证明：因为112a =，()1102n n n n S S S S n +-+-=≥，所以216a =-，所以10n n S S -≠， 所以1111n n S S --=. 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112S =为首项，以1为公差的等差数列. （2）由（1）可得()1211n n n S =+-=+，所以11n S n =+. ∴()()()()11132n n n n n c n -⎧⎪++=⎨⎪⎩为奇数为偶数 ∴()132121111111...22...222446222n n T n n -⎛⎫=-+-++-++++ ⎪+⎝⎭2121111222512222331244n n n n ++-⎛⎫=-+=-- ⎪++⎝⎭．。

专题4.2 等差数列知识储备知识点一 等差数列的概念 思考1 给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20. (2)4,4,4,4，…. (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？【答案】从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数. 思考2 你能从上面几个具体例子中抽象出一般等差数列的定义吗？【答案】如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零. 知识点二 等差中项的概念思考1 观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)a ，b ；(4)0,0. 【答案】插入的数分别为3,2，a ＋b2，0.思考2 如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 和y 的等差中项，试用x ，y 表示A . 【答案】∵x ，A ，y 组成等差数列， ∴A －x ＝y －A ，∴2A ＝x ＋y ， ∴A ＝x ＋y 2.知识点三 等差数列的通项公式思考1 对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋d ＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋d ＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 【答案】n －1思考2 若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，你能用a 1和d 表示a n 吗？ 【答案】a n ＝a 1＋(n －1)d .知识点四 等差数列通项公式的推广思考1 已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 能表示出通项a n ＝a 1＋(n －1)d ，如果已知第m 项a m 和公差d ，又如何表示通项a n?【答案】设等差数列的首项为a 1，则a m ＝a 1＋(m －1)d ， 变形得a 1＝a m －(m －1)d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m －(m －1)d ＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .思考2 由思考1可得d ＝a n －a 1n －1，d ＝a n －a mn －m ，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？【答案】等差数列通项公式可变形为a n ＝dn ＋(a 1－d )，其图象为一条直线上孤立的一系列点，(1，a 1)，(n ，a n )，(m ，a m )都是这条直线上的点.d 为直线的斜率，故两点(1，a 1)，(n ，a n )连线的斜率d ＝a n －a 1n －1.当两点为(n ，a n )，(m ，a m )时，有d ＝a n －a mn －m . 知识点五 等差数列的性质思考1 还记得高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100的吗？ 【答案】利用1＋100＝2＋99＝….思考2 推广到一般的等差数列，你有什么猜想？【答案】在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….注意到上式中的序号1＋n ＝2＋(n －1)＝…，有：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .知识点六 由等差数列衍生的新数列思考 利用等差数列的定义，尝试证明下列结论： 若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有此处以{a n ＋a n ＋k (a n ＋1＋a n ＋k ＋1)－(a n ＋a n ＋k )＝a n ＋1－a n ＋a n ＋k ＋1－a n ＋k ＝2d . ∴{a n ＋a n ＋k }是公差为2d 的等差数列.能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】B 【解析】∵1=S n S n+奇偶，∴1651=150n n +.∴n ＝10，故选B. 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．1【答案】B【解析】等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1200OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( ) A ．100 B ．101 C ．200 D ．201【答案】A【解析】由A ，B ，C 三点共线得a 1＋a 200＝1， ∴S 200＝2002(a 1＋a 200)＝100. 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( ) A ．15 B ．35 C ．66 D ．100【答案】C 【解析】易得a n ＝1,1,25, 2.n n n -=⎧⎨-≥⎩|a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1， 令a n ＞0则2n －5＞0，∴n ≥3. ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10| ＝1＋1＋a 3＋…＋a 10 ＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.5．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( ) A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】C【解析】∵a 1＋a 3＋a 5＝105＝3a 3， ∴a 3＝35，∵a 2＋a 4＋a 6＝99＝3a 4， ∴a 4＝33， ∴d ＝a 4－a 3＝－2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝41－2n ， 令a n ＞0，∴41－2n ＞0， ∴n ＜412， ∴n ≤20.6.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝1()2m m a a +＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.7．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( ) A ．9 B ．10 C ．19 D ．29 【答案】B【解析】钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝(1)2n n +. 当n ＝19时，S 19＝190.当n ＝20时，S 20＝210＞200.∴n ＝19时，剩余钢管根数最少，为10根． 8．已知命题：“在等差数列{a n }中，若4a 2＋a 10＋a ( )＝24，则S 11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( ) A ．15 B ．24 C ．18 D ．28【答案】C【解析】设括号内的数为n ，则4a 2＋a 10＋a (n )＝24， 即6a 1＋(n ＋12)d ＝24.又因为S 11＝11a 1＋55d ＝11(a 1＋5d )为定值， 所以a 1＋5d 为定值． 所以126n +＝5，解得n ＝18. 二、多选题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .已知a 3＝12，S 12>0，a 7<0，则( ) A ．a 6>0 B ．－247<d <－3 C ．S n <0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 【答案】ABCD【解析】依题意得a 3＝a 1＋2d ＝12，a 1＝12－2d ，S 12＝1122a a +×12＝6(a 6＋a 7)．而a 7<0，所以a 6>0，a 1>0，d <0，A 选项正确．且716167161240,51230,2112470,a a d d a a d d a a a d d =+=+<⎧⎪=+=+>⎨⎪+=+=+>⎩ 解得－247<d <－3，B 选项正确． 由于S 13＝1132a a +×13＝13a 7<0，而S 12>0，所以S n <0时，n 的最小值为13.由上述分析可知，n ∈[1,6]时，a n >0，n ≥7时，a n <0；当n ∈[1,12]时，S n >0，当n ≥13时，S n <0.所以当n ∈[7,12]时，a n <0，S n >0，nnS a <0，且当n ∈[7,12]时，|a n |为递增数列，S n 为正数且为递减数列，所以数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项．故选A 、B 、C 、D.10.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7＝a 4，则( ) A ．a 1＋a 3＝0 B ．a 3＋a 5＝0 C ．S 3＝S 4 D ．S 4＝S 5【答案】BC 【解析】由S 7＝177()2a a +＝7a 4＝a 4，得a 4＝0，所以a 3＋a 5＝2a 4＝0，S 3＝S 4，故选B 、C. 11．等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选项正确的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为8【答案】ABD【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得1163(4)a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故A 、B 正确； 因为2217()2222n d d d d S n a n n n =+-=-， 由7722dn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误，令27022n d d S n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确． 故选：ABD ．12．在等差数列{}n a 中每相邻两项之间都插入()*k k ∈N个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}n b .若9b 是数列{}n a 的项，则k 的值可能为（ ） A ．1 B ．3C ．5D ．7【答案】ABD【解析】由题意得：插入()*k k ∈N个数，则11ab =，22k a b +=，323k a b +=，434k a b +=⋅⋅⋅所以等差数列{}n a 中的项在新的等差数列{}n b 中间隔排列，且角标是以1为首项，k +1为公差的等差数列，所以1(1)(1)n n k a b +-+=， 因为9b 是数列{}n a 的项，所以令**1(1)(1)9,,n k n N k N +-+=∈∈，当2n =时，解得7k =， 当3n =时，解得3k =， 当5n =时，解得1k =，故k 的值可能为1,3,7，故选：ABD三、填空题13．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________.【答案】5【解析】∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5. 14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝________. 【答案】8 【解析】∵a n ＝11(1),(2),nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩∴a n ＝2n －10.由5＜2k －10＜8，得7.5＜k ＜9，又k ∈N *，∴k ＝8.15．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________． 【答案】405【解析】由a 203＋a 204>0知a 1＋a 406>0，即S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.16. 已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)则数列{a n }的通项公式为a n ＝________； (2)若b n ＝nS n c+ (c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，则c ＝________. 【答案】(1)4n －3 (2)－12【解析】(1)∵S 4＝28，∴14()42a a +⨯＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又∵a 2a 3＝45，公差d >0， ∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9， ∴115,29,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,4,a d =⎧⎨=⎩∴a n ＝4n －3.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝n S n c+＝22n nn c -+，∴b 1＝11c +，b 2＝62c+，b 3＝153c +.又∵{b n }也是等差数列， ∴b 1＋b 3＝2b 2， 即2×62c +＝11c+＋153c +，解得c ＝－12(c ＝0舍去)． 四、解答题17．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n . 【解析】∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n . 当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝13n ＋(1)2n n -×(－4) ＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n ) ＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n ＝2×(131)42+⨯－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝22152(4),21556(5).n n n n n n ⎧-≤⎪⎨-+≥⎪⎩18．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n . 【解析】(1)由11923,2422,a d a d +=⎧⎨+=-⎩得150,3,a d =⎧⎨=-⎩∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53. 令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0； 当n ≥18，n ∈N *时，a n <0， ∴{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋(1)2n n -d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2223103310317172222n n ⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n ＝223103,17,*,223103884,18,*,22n n n n N n n n n N ⎧-+≤∈⎪⎪⎨⎪-+≥∈⎪⎩19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2. (1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项； (3){S n }有多少项大于零？ 【解析】(1)S n ＝na 1＋(1)2n n - d ＝12n ＋(1)2n n -×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－2132n ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1694，n ∈N *，∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42. (3)由图象得{S n } 中有12项大于零．20．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，求a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6. 【解析】∵S n ＝n 2－2n ， ∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝n 2－2n －[(n －1)2－2(n －1)]＝n 2－2n －(n －1)2＋2(n －1)＝2n －3， ∴a 2＋a 3－a 4＋a 5＋a 6 ＝(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)－a 4 ＝2a 4＋2a 4－a 4＝3a 4 ＝3×(2×4－3)＝15.21．设S n是数列{a n}的前n项和且n∈N*，所有项a n＞0，且S n＝14a2n＋12a n－34.(1)证明：{a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．【解析】(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝14a21＋12a1－34，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝14(a2n＋2a n－3)－14(a2n－1＋2a n－1－3)．所以4a n＝a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0，因为a n＋a n－1＞0，所以a n－a n－1＝2(n≥2)．所以数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.22．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．【解析】由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得2,31,m tn t=⎧⎨=-⎩(t∈N*且23≤t≤67)．则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且23≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且23≤t≤67)，各项之和为67×9＋67662⨯×12＝27 135.。

4.2.1 等差数列的概念考点一 判断是否为等差数列【例1】（2020·上海高二课时练习）下列数列中，不是等差数列的是（ ） A ．1，4，7，10B ．lg2,lg4,lg8,lg16C ．54322,2,2,2D ．10，8，6，4，2【答案】C【解析】根据等差数列的定义，可得：A 中，满足13n n a a +-=（常数），所以是等差数列；B 中，lg 4lg 2lg8lg 4lg16lg8lg 2---=-=（常数），所以是等差数列；C 中，因为453423222222-≠--≠，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；D 中，满足12n n a a +-=-（常数），所以是等差数列.故选：C.【一隅三反】1．（2019·山西应县一中期末（理））若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是( )A ．{}2naB ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n aD ．{}n a【答案】C 【解析】A:22n+1n a -a =（a n +a n+1）（a n+1﹣a n ）=d[2a 1+（2n ﹣1）d]，与n 有关系，因此不是等差数列．B:n+1n 11-a a =n+1n -da a ⨯=[]11-d a +nd a +n-1d ⨯（）（） 与n 有关系，因此不是等差数列.C:3a n+1﹣3a n =3（a n+1﹣a n ）=3d 为常数，仍然为等差数列；D: 当数列{a n }的首项为正数、公差为负数时，{|a n |}不是等差数列；故选：C 2．（2020·全国高一课时练习）已知下列各数列，其中为等差数列的个数为（ ） ① 4，5，6，7，8，… ② 3，0，-3，0，-6，… ③ 0，0，0，0，… ④ 1234,,,,10101010… A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】第一个数列是公差为1的等差数列.第二个数列是摆动数列，不是等差数列.第三个是公差为0的等差数列.第四个是公差为110的等差数列.故有3个等差数列，所以选C. 3．（2020·全国课时练习）已知数列{}n a ，c 为常数，那么下列说法正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列时，不一定是等差数列B ．若{}n a 不是等差数列时，一定不是等差数列C ．若是等差数列时，{}n a 一定是等差数列 D ．若不是等差数列时，{}n a 一定不是等差数列【答案】D【解析】当{}n a 是等差数列时，由等差数列的性质可知，一定是等差数列，A 错；对于数列{}n a ：1，2，4，5，令，则为等差数列，B 错；当c 为0时， 0，0，0，0是等差数列，但{}n a 不是等差数列，C 错．故选D ．考点二 求等差数列的项或通项【例2】（1）（2020·兴安县第三中学期中）由1a =4，3d =确定的等差数列{}n a ，当a n =28时，序号n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．12（2）（2020·广西南宁三中开学考试）在单调递增的等差数列{}n a 中，若31a =，2434a a =，则1a =（ ） A ．1-B ．12-C ．0D ．12【答案】（1）A （2）C【解析】（1）因为14a =，3d =，所以()1131n a a n d n =+-=+，所以3128n a n =+=，解得9n = 故选：A（2）因为{}n a 是等差数列，所以3121a a d =+=，()()11334a d a d ++=， 解得：12d =，10a =故选：C【一隅三反】1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）等差数列{}n a 中，37158a a a ++=，83a =，则9a =（ ）A ．2B ．5C ．11D ．13【答案】A【解析】因为37158a a a ++=，得13228a d +=①，又83a =，得173a d +=②，由①②得：1101a d =⎧⎨=-⎩，故9181082a a d =+=-=.故选：A.2．（2020·兴安县第三中学期中）在数列{}n a 中，1a =2，12n n a a +-=，则51a 的值为（ ） A ．96 B ．98 C ．100 D ．102【答案】D【解析】因为1a =2，12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以2n a n =，所以51251102a =⨯=故选：D3．（2020·广西南宁三中开学考试）数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（ ） A ．31n - B ．32n + C ．32n - D ．31n +【答案】B【解析】因为13n n a a +-=，所以数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列，则()*53132,n a n n n N =+-=+∈.故选：B考点三 等差中项【例2】（1）（2020·全国高一课时练习）已知a =，b =a,b 的等差中项为（ ）A BCD （2）（2020·昆明市官渡区第一中学开学考试（文））已知0,0a b >>，并且111,,2a b成等差数列，则9a b +的最小值为_________. 【答案】（1）A （2）16【解析】（1）13a ==+，b ==,a b ∴的等差中项为122a b A +==⨯12=⨯= A.（2）由题可得：111a b +=，故1199(9)()1916a ba b a b a b b a+=++=+++≥ 【一隅三反】1.（2020·广东濠江·金山中学高一月考）在等差数列{} n a 中，若288a a +=，则()2375a a a +-=___________．【答案】60；【解析】在等差数列{}n a 中，288a a +=，28528a a a ∴+==，解得54a =，2237555()(2)64460a a a a a +-=-=-=．故答案为：602．（2020·全国其他（理））已知数列{}n a 为等差数列，若2533a a a +=，且4a 与72a 的等差中项为6，则5a =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】设{}n a 的公差为d .数列{}n a 为等差数列，2533a a a +=，且4a 与72a 的等差中项为6，∴1111143(2)32(6)12a d a d a d a d a d +++=+⎧⎨+++=⎩，解得11a =-，1d =，5143a ∴=-+=．故选：D ．3．（2019·兴安县第三中学期中）已知等差数列{}n a 的前三项为1,1,23a a a -++，则此数列的首项1a=______ ． 【答案】1-【解析】依题意可得()()()12321a a a -++=+，解得0a =，故等差数列{}n a 的前三项为1,1,3-，所以11a =-故答案为：1-考点四 证明数列为等差数列【例4】（2019·全国高一课时练习）设数列{a n }满足当n ＞1时，a n ＝1114n n a a --+，且a 1＝15.(1)求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；(2)a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见证明；(2) a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项．【解析】(1)证明：根据题意a 1＝15及递推关系a n ≠0.因为a n ＝1114n n a a --+.取倒数得111n n a a -=＋4， 即111n n a a --＝4(n ＞1)，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为5，公差为4的等差数列． (2)解：由(1)，得1n a ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1，141n a n =+. 又121111594541a a n =⨯==+，解得n ＝11. 所以a 1a 2是数列{a n }中的项，是第11项． 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）已知2()2x f x x =+，在数列{}n a 中，113a =，1()n n a f a -=*2,n n N ≥∈。

4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关．(3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列．因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.故选C. 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________． 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【答案】(1)2n (2)－314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12a 1＋17d ＝36，⎩⎪⎨⎪⎧解得d ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)法一：(方程组法)由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【解析】∵a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15， ∴100是这个数列的第15项．探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53，故选D.【方法归纳】(1)已知a n ，a 1，n ，d 中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝aa 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷． 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47 【答案】A【解析】由题得2a 1＋5d ＝4，将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50.(2)等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31. ①求a 20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5＝10，a 12＝31，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 即a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，则a 20＝3×20－5＝55. ②令3n －5＝85，得n ＝30，所以85是该数列{a n }的第30项． 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1＝4且a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12又b 1＝1a 1－2＝12∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ∵b n ＝1a n －2∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.要证{b n }是等差数列，只需证b n ＋1－b n ＝常数或b n －b n －1＝常数(n ≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1”改为“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”，求a n .【解析】∵a n ＋1＝2a na n ＋2∴取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ∴1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n 2－12＝n 2，∴a n ＝2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤： (1)作差a n ＋1－a n ，将差变形；(2)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *.又b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列，其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1，经检验，n ＝1时a 1＝1也满足上式． 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________． 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝15(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．【解析】设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73.当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列的项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以2d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1解得875<d ≤325，故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ，只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C ，误认为a 9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前2n 项2n S =（ ）． A ．3(21)n n - B ．3(21)n n + C ．3(1)2n n + D ．3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3，且2a ，4a ，8a 成等比数列，2428a a a ∴=，()()2222618a a a ∴+=+，解得26a =，1233a a ∴=-=，{}∴n a 的前2n 项， 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+．故选：B ．2．已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=，下列结论正确的是（ ） A ．当11a =时，10a 的最大值258 B ．当11a =时，9a 的最小值384- C ．当101a =时，1a 的最小值17- D ．当91a =时，1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：12n n a a +-=或120n n a a ++=，即{}n a 是等差数列或等比数列，A 选项分别把两种情况下的10a 算出来，比较大小，求出10a 的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()9102512a =-=-，10a 的最大值为19，故A 选项错误；B 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()892256a =-=，9a 的最小值为17，故B 选项错误；C 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当101a =时，即1192a +⨯=，解得：117a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当101a =时，即()9112a -=，解得：11512a =-，117512<--，故1a 的最小值为17-，故选项C 正确 D 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当91a =时，1161a += ，解得：115a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当91a =时，即()8112a -=，解得：11256a =，此时1a 的最大值为1256，D 选项错误 故选：C3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若235a a +=，728S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】C 【分析】由等差数列性质，747S a =求得44a =，根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知，74728S a ==，则44a =，设数列公差为d ，则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=， 解得1d =， 故选：C4．在等差数列{}n a 中，前9项和918S =，266a a +=，则3n a =（ ） A ．33-n B ．35n + C ．73n - D ．213n -【答案】C 【分析】根据918S =，266a a +=，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解：()199599182a a S a ===+，52a ∴=，又26426a a a +==，43a ∴=，∴公差541d a a =-=-，()447n a a n d n =+-⋅=-，373n a n ∴=-．故选：C.5．在ABC ∆中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =，则2π23AC B +==，若A ，B ，C 成等差数列，则π3B =，得到答案. 【解析】在ABC ∆中，若π3B =，则2ππ23A CB B +=-==，所以A ，B ，C 成等差数列，充分性成立. 反之，若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，因为3πA B C B ++==，所以π3B =，必要性成立.所以“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的充要条件. 故选：C.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=， 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3724a a +=，840S =，则29a a +等于（ ） A ．44- B ．14C ．24D ．38【答案】D 【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3724a a +=，840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选：D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43a =，1224S =，若i 0j a a +=（i ，j N *∈，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4,5C ．{}6,7,8D ．{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ，由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=，解得19a =-，2d =， 所以数列为9-，7-，5-，3-，1-，1，3，5，7，9，11，…，故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图： 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1()313j ij a i -=⨯-D ． (13)131(4)n S n n =-＋ 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+，，可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+，，所以22251m m =++，解得3m =或12m =- (舍去)，所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-，所以选项D 是正确的； 故选：ACD.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ）A ．S n ＝2n 2－6nB ．S n ＝n 2－3nC ．a n ＝4n －8D ．a n ＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项，【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩， 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩， 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC11．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n －1)d ，即有n ＝2018d ＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.故选：BCD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +，则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时，求得114a =；当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减得到112n n a a --=，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+，当1n =114a =+，可得2111()4a a =+，解得114a =， 当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减，可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 所以数列{n a }是以12为公差，以14为首项的等差数列， 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为：21()4n n N +-∈. 13．在等差数列{a n }中，a 3＝0．如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∈a 1＝－2d ．又∈a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，266k k a a a +∴=，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去)． 故答案为：914．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.【答案】32【分析】由a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，所以(a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，解得d ＝32， 所以a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32. 故答案为：32四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；（2）若3n n S a =+2 ，求n .【答案】（1）21n a n =+（2）4n =【分析】（1）设公差为d ，根据28S =，9411S a =，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案； （2）利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再根据3n n S a =+2 ，即可的解. （1）解：设公差为d ，由已知294811S S a =⎧⎨=⎩， 得：()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =+；（2）解：()232122n n n S n n ++==+， 因为3n n S a =+2 ，即()223212n n n +=++，得2450n n --=，解得4n =，或1n =-（舍去）， 所以4n =.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（1）102n a n =-（2）当4n =或5n =时，n S 有最大值是20【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. （1）在等差数列{}n a 中，∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得182a d =⎧⎨=-⎩， ∈1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∈18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ， ∈当4n =或5n =时，n S 有最大值是20。

4.2.1 等差数列的概念（2） -B 提高练一、选择题1．（2021·江苏高二期末）在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5＝6，则a 1+a 7＝（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【详解】由等差数列的性质，得a 3+a 4+a 5＝3a 4＝6，解得a 4＝2，∴a 1+a 7＝2a 4＝4，故选：C ． 2．（2021·云南楚雄高二期末）在等差数列{}n a 中，2510a a +=，3614a a +=，则58a a +=（ ） A ．12 B ．22C ．24D ．34【答案】B【详解】设数列{}n a 的公差为,d 则()362514102,22a a a a d =+-+-==故58526106222a a a a d +=++=+⨯=.故选：B3．（2021·江苏扬州市·高二期末）《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ） A ．113尺 B ．10529尺 C ．6529尺 D ．73尺 【答案】B【详解】设女子每天的织布数构成的数列为{}n a ，由题设可知{}n a 为等差数列，且1305,1a a ==，故公差15430129d -==--，故()1114401051115292929a a ⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪⎝⎭，故选：B. 4．（2020·周口市中英文学校高二月考）设数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且125a =，175b =，22100a b +=，则3737a b +等于（ ）A ．0B ．37C ．100D ．37-【答案】C【详解】解：因为数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，所以数列{}n n a b +是等差数列， 因为125a =，175b =，22100a b +=，所以数列{}n n a b +的公差为0，首项为100， 所以100n n a b +=，所以3737100a b +=，故选：C5．（多选题）（2021·福建三明一中高二期末）设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ）A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅【答案】ABC【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩，()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.6. （多选题）（2021·广东佛山高二期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ） A ．甲得钱是戊得钱的2倍B ．乙得钱比丁得钱多12钱C ．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍D ．丁、戊得钱的和比甲得钱多13钱 【答案】AC【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2a d -，a d -，a ，a d +，2a d +，且22a d a d a a d a d -+-=++++，即6a d =-，又2255a d a d a a d a d a -+-+++++==， ∴1a =，16d =-，即1421263a d ⎛⎫-=-⨯-= ⎪⎝⎭，17166a d ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，15166a d ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭，1221263a d ⎛⎫+=+⨯-= ⎪⎝⎭，∴甲得43钱，乙得76钱，丙得1钱，丁得56钱，戊得23钱，则有如下结论： 甲得钱是戊得钱的2倍，故A 正确；乙得钱比丁得钱多751663-=钱，故B 错误；甲、丙得钱的和是乙得钱的413276+=倍，故C 正确； 丁、戊得钱的和比甲得钱多52416336+-=钱，故D 错误．故选：AC ． 二、填空题7．（2020·吴起高级中学高二月考）等差数列{}n a 中，284166a a a +==，，则公差d =_____________. 【答案】2【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以285216a a a =+=，所以58a =，所以公差54862d a a =-=-=.8．（2020·丰县华山中学高二月考）若2､a ､b ､c ､8成等差数列，则ca=___________. 【答案】137【详解】2､a ､b ､c ､8成等差数列,所以82342d -==，所以37222a =+=,3132322c =+⨯=, 所以137c a =，故答案为：1379．（2021·江苏扬州仪征中学高二期末）等差数列n a 中，若2a ，2020a 为方程210160x x -+=的两根，则110112021a a a ++等于__________. 【答案】15【详解】2a ，2020a 为方程210160x x -+=的两根，2022010a a ∴+=，由等差数列的性质得1011210a =，即10115a =， 1101120211011315a a a a ∴++==.10．（2021·天津高二期末）已知函数()f x 在()1,-+∞上单调，且函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()5051f a f a =，则1100a a +等于________. 【答案】2-【详解】由题意函数()2y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于1x =-对称，且在()1,-+∞上单调，因为()()5051f a f a =，所以50512a a +=- 因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以110050512a a a a ++=-= 三、解答题11．（2021·上海高二课时练）方程220,0x x a x x b -+=-+=的四个根组成首项为14的等差数列，求其公差d 及,a b 的值．【详解】设20x x a -+=的两根为2,,0m n x x b -+=的两根为,g h ，它们组成的等差数列为{}n x . 根据等差数列的性质，可设（1）12341,,,4x m x g x h x n =====， 则有4411,41.4x x a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和23231,.x x x x b +=⎧⎨=⎩ 14113,+3444x x d ===，∴公差16d =，所以14232335735,,,161212144a x x x xb x x ======. ∴公差1335,,.616144d a b === （2）12341,,,4x g x m x n x h =====， 有4411,41.4x x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和23231,.x x x x a +=⎧⎨=⎩ 14113,+3444x x d ===，∴公差16d =，所以14232335735,,,161212144b x x x x a x x ====== ∴公差1353,,614416d a b ===. 综上所述，公差1335,,.616144d a b ===或公差1353,,614416d a b ===. 12．（2021·全国高二课时练）在正项无穷等差数列{}n a 中，已知5721012,=7a a a a =+. （1）求通项公式n a .（2）设n n b a t =+，且对一切*n ∈N ，恒有22n n b b =，求t 的值.对一切*,k n ∈N ，是否恒有kn n b kb =？请说明理由.【详解】（1）∵210577a a a a +=+=，又∵5712a a =，∴5734a a =⎧⎨=⎩，，或5743.a a =⎧⎨=⎩，当5743.a a =⎧⎨=⎩，时，11322n a n =-+，不恒为正，舍去.∴5734a a =⎧⎨=⎩，，∴1122n a n =+（2）2111,222n n n b a t n t b n t =+=++=++，∴1+212n t n t ++=+. ∴12t =-，∴12n b n =.因为12kn n b kn kb ==，所以恒有kn n b kb =.。

人教A 版（2019）选择性必修第二册《4.2.1 等差数列的概念》提升训练一 、单选题（本大题共13小题，共65分）1.（5分）已知f(x)={x log 23,(x ⩽5)f(x −2),(x >5)，则f(2012)=( )A. 81B. 9C. 3D. √32.（5分）已知函数f(x)是定义在[1−2m ,m]上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0,m]，当x 1≠x 2时，[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)<0，则不等式f(x −1)⩽f(2x )的解集是( )A. [−1,13] B. [−12,13] C. [0,13]D. [0,12]3.（5分）已知集合A ={x|2x⩾1}，B ={−1,0,1,2,3}，则A −∩B =()A. {0,1,2}B. {1,2}C. {−1,0,3}D. {−1,3}4.（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．为了纪念数学家高斯，人们把函数y =[x]，x ∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[−2.1]=−3，[3.1]=3.那么函数f(x)=[2sinx ⋅cosx]+[sinx +cosx]的值域内元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 55.（5分）[2021 石家庄二中高一期中]函数f(x)=√−x +1x+3的定义城为( )A. (-3,0]B. (-3,1]C. (-∞,-3)∪(-3,0]D. (-∞,-3)∪(-3,1]6.（5分）若函数f(x)=3sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象过点(2π3,−3)，相邻两条对称轴间的距离是π2，则下列四个结论中，错误的结论是()A. ω=2B. φ=π6C. f(x +π6)为偶函数 D. f(x +π12)为奇函数7.（5分）等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39，a 6=9则数列{a n }的前9项的和S 9等于( )A. 96B. 99C. 144D. 1988.（5分）设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中：①a ⊂α，b//β，α⊥β；②a ⊥α，b ⊥β，α⊥β；③a ⊂α，b ⊥β，α//β；④a ⊥α，b//β，α//β.能推得a ⊥b 的条件有( )组．A. 1B. 2C. 3D. 49.（5分）已知f(x)=2sin 2(ωx +π3)−1(ω>0)，给出下列结论： ①若f(x 1)=1，f(x 2)=−1，且|x 1−x 2|min =π，则ω=1；②存在ω∈(0,2)，使得f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于y 轴对称；③若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[4124,4724]；④若f(x)在[−π6,π4]上单调递增，则ω的取值范围为(0,23]. 其中，所有错误结论的编号是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④10.（5分）下面大小关系恒成立的一组是( )A. a 0.1>a 0(0<a <1)B. ln 2<≶1C. sinα<α(0<α<π2)D. sinα<cosα(0<α<π2)11.（5分）分层抽样适合的总体是()A. 总体容量较多B. 样本容量较多C. 总体中个体有差异D. 任何总体12.（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(chumeng )是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍．四边形ABCD 为矩形，ΔADE 与ΔBCF 都是等边三角形，AB =4，AD =EF =2，则此“刍甍”的表面积为( )A. 8+8√3B. 8+7√3C. 8+5√3D. 8+4√313.（5分）若A ，B 是互斥事件，则( )A. P(A)+P(B)<1B. P(A)+P(B)>1C. P(A)+P(B)=1D. P(A)+P(B)⩽1二 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）执行如图所示的流程图，则输出的S 的值为 ______ ．15.（5分）如果x ，y ∈R ，且2x =18y =6xy ，那么x +y 的值为______． 16.（5分）函数f(x)=log 2(x −3)定义域是 ______ .17.（5分）平行四边形ABCD 中，A(2,−1)，B(3,1)，C(0,3)，则CD →的坐标为 ______. 18.（5分）若两平行直线2x +y −4=0与y =−2x −k −2的距离不大于√5，则k 的取值范围是______．三 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bsinA =acos(B −π6).(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin 2A +sin 2B +sin 2C 的取值范围．20.（12分）在等差数列{a n }中，a 1+a 3=8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{ {a n }的首项、公差及前n 项和．21.（12分）已知f(x)=2sin(x +π3)cosx +sin(2x +π3)−√32. (1)求f(x)的值域；(2)若函数g(x)=f(x)−k 在[0,π4]上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围. 22.（12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度(单位：厘米)，按数据分成[10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]，(30,35]5组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．(1)估计该工厂生产的这批零件长度的平均值(同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；(2)若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．23.（12分）如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C =AC =2，AB =BC ，且AB ⊥BC ，O 为AC 中点． (1)求证AC ⊥平面A 1OB ；(2)在BC 1上是否存在一点E ，使得OE//平面A 1AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．答案和解析1.【答案】B;【解析】解：∵x >5时，f(x)=f(x −2)，∴f(2012)=f(2×1003+6)=f(2×1003+6−2)=f(4)， ∵4<5，∴f(4)=4log 23=22log 23=32． ∴f(2012)=9． 故选B ．利用分段函数在不同区间内的解析式不同即可计算出函数值． 正确理解分段函数的意义是解答该题的关键．2.【答案】B;【解析】解：根据题意，f(x)为定义在[1−2m ,m]上的偶函数，则(1−2m )+m =0，解可得m =1，即函数的定义域为[−1,1]；又由f(x)满足∀x 1，x 2∈[0,m]，当x 1≠x 2时，[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)<0， 则f(x)在[0,1]上为减函数，则f(x −1)⩽f(2x )⇒f(|x −1|)⩽f(|2x |)⇒{−1⩽x −1⩽1−1⩽2x ⩽1|x −1|⩾|2x |，解可得：−12⩽x ⩽13；故选：B ．根据题意，由函数奇偶性的定义可得(1−2m )+m =0，解可得m =1，即函数的定义域为[−1,1]，又由单调性的定义分析可得f(x)在[0,m]上为减函数，进而可得f(x −1)⩽f(2x )⇒f(|x −1|)⩽f(|2x |)⇒{−1⩽x −1⩽1−1⩽2x ⩽1|x −1|⩾|2x |，解可得x 的取值范围，即可得答案．该题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的单调性，属于基础题．3.【答案】C;【解析】解：集合A ={x|2x ⩾1}={x|0<x ⩽2}，则A −={x|x >2或x ⩽0}， B ={−1,0,1,2,3}， 则A −∩B ={−1,0,3}. 故选：C.根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 此题主要考查交集、补集的运算，属于基础题．4.【答案】C;【解析】解：令sinx+cosx=t(−√2⩽t⩽√2)，则g(t)=f(x)=[2sinx⋅cosx]+[sinx+cosx]=[t2−1]+[t]，①当t=−√2时，t2−1=1，故g(−√2)=1−2=−1；②当−√2<t<−1时，0<t2−1<1，g(t)=0−2=−2；③当t=−1时，t2−1=0，g(−1)=0−1=−1；④当−1<t<0时，−1<t2−1<0，g(t)=−1−1=−2；⑤当t=0时，g(0)=−1+0=−1；⑥当0<t<1时，−1<t2−1<0，g(t)=0−1=−1；⑦当t=1时，g(1)=0+1=1；⑧当1<t<√2时，0<t2−1<1，g(t)=0+1=1；⑨当t=√2时，g(√2)=1+1=2；故共有4个值−2，−1，1，2；故选：C.令sinx+cosx=t(−√2⩽t⩽√2)，从而化简g(t)=f(x)=[2sinx⋅cosx]+[sinx+ cosx]=[t2−1]+[t]，再分类讨论求值即可．此题主要考查了函数性质，以及新定义的应用，应用了分类讨论的思想方法，属于中档题．5.【答案】C;【解析】因为{−x⩾0x+3≠0，所以x⩽0且x≠−3，所以函数f(x)=√−x+1x+3的定义域为(−∞,−3)∪(−3,0]，故选C.6.【答案】D;【解析】解：∵函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象过点(2π3,−3)，相邻两条对称轴间的距离是π2，∴12×2πω=π2，3sin(ω×2π3+φ)=−3，∴ω=2，sin(4π3+φ)=−1，∴φ=π6，故f(x)=3sin(2x+π6)，故AB正确；∵f(x+π6)=3sin(2x+π2)=cos2x，为偶函数，故C正确；由于f(x+π12)=3sin(2x+π3)，为非奇非偶函数，故D错误，故选：D.由周期求出ω，由特殊点点作图求出φ，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．此题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，由周期求出ω，由特殊点求出φ，正弦函数的图象和性质，属于中档题．7.【答案】B;【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，∴a4=13，∵a6=9，∴a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，∴数列{a n}的前9项之和S9=9(a1+a9)2=99故选：B．由等差数列的性质可求得a4，=13，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．该题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于中档题．8.【答案】C;【解析】解：①∵b//β，∴过b与β相交的直线c//b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立；②在α内作直线c垂直于α，β的交线，∵α⊥β，∴c⊥β，∵a⊥α，∴a⊥c，∵b⊥β，∴b//c，∴a⊥b，故结论成立；③∵b⊥β，α//β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，故结论成立；④∵a⊥α，α//β，∴a⊥β，∵b//β，∴过b与β相交的直线c//b，a⊥c，∴a⊥b，故结论成立故选：C．①利用线面平行的性质，可得过b与β相交的直线c//b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立；②在α内作直线c垂直于α，β的交线，则可得c⊥β，由a⊥α，可得a⊥c，由b⊥β，可得b//c，从而a⊥b；③由b⊥β，α//β，可得b⊥α，利用线面垂直的性质可得a⊥b；④由a⊥α，α//β，可得a⊥β，由b//β，可得过b与β相交的直线c//b，从而可得结论．此题主要考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9.【答案】B;【解析】解：∵f(x)=2sin 2(ωx +π3)−1=−cos(2ωx +2π3)=sin(2ωx +π6)，∴f(x)的最小正周期为2π2ω=πω.对于①：因为f(x 1)=1，f(x 2)=−1，且|x 1−x 2|min =π， 所以f(x)的最小正周期为 T =2π， ∴πω=2π，∴ω=12.故①错误；对于②：图像变换后所得函数为y =sin(2ωx +ωπ3+π6)，若其图像关于 y 轴对称， 则ωπ3+π6=π2+kπ， k ∈Z ，解得 ω=1+3k ， k ∈Z ，当 k =0时，ω=1∈(0,2).故②正确； 对于③：设t =2ωx +π6，当x ∈[0,2π]时，t =2ωx +π6∈[π6,4ωπ+π6]. f(x)在∈[0,2π]上有7个零点，即y =sint 在t ∈[π6,4ωπ+π6]上有7个零点． 则7π⩽4ωπ+π6<8π，解得4124⩽ω<4724.故③错误； 对于④：由−π2+2kπ⩽2ωx +π6⩽π2+2kπ，k ∈Z ，得−π3ω+kπω⩽x ⩽π6ω+kπω，k ∈Z ，取 k =0，可得−π3ω⩽x ⩽π6ω， 若 f(x)在[−π6,π4]上单调递增，则{−π3ω⩽−π6π6ω⩾π4，解得0<ω⩽23.故④正确．故选：B.把已知函数解析式变形，求得函数的最小正周期为πω.由已知条件可得函数的最小正周期，求得ω值判断①；求出图象变换后的函数解析式，由对称性求得ω值判断②；求出函数的零点，再由已知列关于ω的不等式，求出ω范围判断③；求出函数的增区间，由题意列关于ω的不等式组，求得ω范围判断④．此题主要考查命题的真假判断与应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．10.【答案】C;【解析】解：对于A ：a 0.1<a 0(0<a <1)，故A 不正确， 对于B ：ln 2>≶1=0，故B 不正确， 对于C ：sinα<α，(0<α<π2)恒成立，故C 正确，对于D ：当0<α<π4时，sinα<cosα，当π4<α<π2时，sinα>cosα， 当α=π4时，sinα=cosα，故D 不正确，故选：C ．根据指数函数判断A ，根据对数函数判断B ，根据三角函数判断D ． 该题考查了指数函数，对数函数，三角函数的图象和性质，属于基础题．11.【答案】C;【解析】解：分层抽样适合的总体是总体中个体存在差异的情况， 故选：C.根据分层抽样的适用范围，可得答案．此题主要考查的知识点是抽样方法的适用范围，熟练掌握三种抽样方法的适用范围，是解答的关键．12.【答案】A;【解析】解：过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连结PF ， 过F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ，连结OQ ，如图所示； ∵ΔADE 和ΔBCF 都是边长为2的等边三角形， ∴OP =12(AB −EF )=1，PF =√3，OQ =12BC =1，∴OF =√PF 2−OP 2=√2，FQ =√OF 2+OQ 2=√3， ∴S 梯形EFBA =S 梯形EFCB =12×(2+4)×√3=3√3， 又S ΔBCF =S ΔADE =√34×22=√3，S 矩形ABCD =4×2=8，∴几何体的表面积为S =2×3√3+2×√3+8=8+8√3． 故选：A ．利用勾股定理求出梯形ABFE 的高，再计算出各个面的面积，从而求得表面积． 该题考查了线面距离的计算问题，也考查了多面体表面积的计算问题，是中档题．13.【答案】D;【解析】此题主要考查互斥事件的概率的性质，属于基础题. 当A ，B 对立时，P(A)+P(B)=1;当A ，B 互斥不对立时，P(A)+P(B)<1.由此即可得到答案. 解：当A ，B 对立时，P(A)+P(B)=1;当A，B互斥不对立时，P(A)+P(B)<1.14.【答案】20162017;【解析】解：模拟执行程序框图，可得其功能是计算并输出S=11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017的值．由于S=11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017=1−12+12−13+⋯+12016−12017=1−12017=20162017．故答案为：20162017．模拟执行程序框图，可得其功能是计算并输出S=11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017的值，用裂项法即可求值得解．此题主要考查了循环结构的程序框图，用裂项法求解是解答该题的关键，属于基础题．15.【答案】0或2;【解析】解：因为2x=6xy，所以xlo g22=xylo g26，则y=1lo g26，同理因为18y=6xy，所以ylo g218=xylo g26，则x=lo g218lo g26，所以x+y=lo g218lo g26+1lo g26=lo g2(18×2)lo g26=lo g262lo g26=2；另当x=0或y=0时则一定有x=y=0，此时x+y=0，故答案为：0或2．考虑x=0和x≠0时的情况，利用对数运算法则即可得到答案该题考查指数幂运算，利用指数幂的运算法则以及对数运算法则进行解答即可，注意不要漏解16.【答案】;【解析】解：要使函数有意义，则x−3>0，即x>3，故函数的定义域为(3,+∞)，故答案为：(3,+∞).根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．此题主要考查函数定义域的求法，根据函数成立的条件是解决此类问题的关键．17.【答案】（-1，-2）;【解析】解：根据题意，平行四边形ABCD 中，必有CD →=BA →，又由A(2,−1)，B(3,1)，则BA →=(−1,−2)，则有CD →=(−1,−2)，故答案为：(−1,−2).根据题意，由平行四边形的性质可得CD →=BA →，求出BA →的坐标，即可得答案． 此题主要考查向量的坐标计算，涉及向量的相等，属于基础题．18.【答案】-11≤k≤-1且k≠-6;【解析】解：∵两平行直线2x +y −4=0与y =−2x −k −2的距离不大于√5，即两平行直线2x +y −4=0与2x +y +k +2=0的距离不大于√5，∴k +2≠−4，且√4+1⩽√5，求得−11⩽k ⩽−1且k ≠−6，故答案为：−11⩽k ⩽−1且k ≠−6．根据两条直线平行的条件，两条平行直线间的距离公式，求得k 的取值范围．这道题主要考查两条直线平行的条件，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．19.【答案】解：（1）在△ABC 中，由正弦定理a sinA =b sinB ，可得bsinA=asinB ，又由bsinA =acos(B −π6)， 得asinB =acos(B −π6)，即sinB =cos(B −π6)， 进而有sinB =√32cosB +12sinB ，即sinB =√3cosB 可得tanB =√3， 又因为B ∈（0，π），可得B =π3；（2）sin 2A +sin 2B +sin 2C =34+12(1−cos2A +1−cos2C)=74−12(cos2A +cos2C)=74−12[cos2A +cos2(2π3−A)]=74−12(12cos2A −√32sin2A)=74+12sin(2A −π6)， 由题意得{0＜A ＜π2，解得π6＜A ＜π2， 所以π6＜2A −π6＜5π6， 所以12＜sin(2A −π6)≤1，2＜74+12sin(2A −π6)≤94．故si n 2A+si n 2B+si n 2C 的取值范围为(2，94]．; 【解析】(1)由正弦定理与三角恒等变换以及同角三角函数基本关系求解即可；(2)用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，转化为三角函数值域求解即可．此题主要考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.【答案】解：设该数列的公差为d，前n项和为S n．由已知可得2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d），所以a1+d=4，d（d-3a1）=0，解得a1=4，d=0或a1=1，d=3，即数列{a n}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3．所以数列的前n项和S n=4n或S n=3n2−n2．;【解析】设该数列的公差为d，前n项和为S n.由已知求出首项与公差，然后求解通项公式．该题考查数列的应用，数列求和公式以及通项公式的应用，考查计算能力．21.【答案】null;【解析】此题主要考查了正弦函数的图像性质的综合应用，属于中档题．(1)先结合两角和差三角函数以及二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；(2)由已知可转化为y=k与y=f(x)的交点问题，然后结合正弦函数的图像性质即可求解．22.【答案】解：（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12，则这批零件长度的平均值为−x=12.5×0.08+17.5×0.18+22.5×0.4+27.5×0.22+32.5×0.12=23.1．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，则应从第1组中抽取2个零件，记为A，B；应从第5组中抽取3个零件，记为c，d，e．从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共10种，其中符合条件的情况有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，共6种．故抽取的零件中恰有1个是第1组的概率P=610=35．;【解析】(1)由频率分布直方图能求出这批零件长度的平均值．(2)由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，应从第1组中抽取2个零件，记为A，B；应从第5组中抽取3个零件，记为c，d，e.从这5个零件中随机抽取2个，利用列举法能求出抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．该题考查平均值、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】(1)证明：因为AA1=A1C=AC=2，所以△AA1C为等边三角形，连接OB，∵O为AC中点，AB=BC，∴AC⊥A1O，AC⊥OB，且A1O∩OB=O，A1O,OB⊂面A1OB，∴AC⊥平面A1OB；(2)解：取BC的中点M，取B1C1的中点N，又O为AC中点，连接MN交BC1于点E，则E为BC1的中点，连接OM，ON，OE，则易知OM//AB，且MN//BB1，因为OM⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以OM//平面ABB1A1，同理可得MN//平面ABB1A1，又OM∩MN=M，OM⊂平面OMN，MN⊂平面OMN，∴平面OMN//平面ABB1A1，又OE⊂平面OMN，∴OE//平面ABB1A1，即OE//平面A1AB，故存在BC1的中点E，满足题意．;【解析】此题主要考查线面垂直的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质定理，属于中档题．(1)连接OB，根据题意可得AC⊥A1O，AC⊥OB，再由线面垂直的判定定理即可证明；(2)取BC的中点M，取B1C1的中点N，连接MN交BC1于点E，则E为BC1的中点，再由面面平行的判定定理证明平面OMN//平面ABB1A1，从而得OE//平面ABB1A1，即得OE//平面A1AB.。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！4.2.1 等差数列（2）重点练一、单选题1．在等差数列{}n a 中，652a a =，则17a a +=（ ）A ．0B ．1C ．2-D ．32．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱3．在数列{}n a 中，若11a =，212a =，()*12211n n n n N a a a ++=+Î，则该数列的通项为（ ）A ．1n a n =B ．21n a n =+C ．22n a n =+D ．3n a n=4．已知等差数列{}n a 满足225910a a +=，则12345a a a a a ++++的最大值为（ ）A．B ．20C ．25D ．100二、填空题5．已知{}n a 、{}n b 都是等差数列，若110+=9a b ，38+=15a b ，则56+=a b ______．6．已知数列{}n a 满足11a =，且点()()1,2n n a a n +ÎN å在直线1102x y -+=上．若对任意的*n ÎN ，1231111nn a n a n a n a l +++¼+³++++恒成立，则实数l 的取值范围为______．三、解答题7．已知数列{}n a 与{}n b 满足()()112n n n n a a b b n N*++-=-Î.（1）若11,35n a b n ==+,求数列{}n a 的通项公式；（2）若()16,2n n a b n N *==Î且22n n a n l l >++对一切n *ÎN 恒成立,求实数l 的取值范围.参考答案1．【答案】A【解析】设等差数列公差为d由652a a =得：()11524a d a d +=+，即130a d += 40a \=17420a a a \+==故选A2．【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a æö-=-´-==ç÷èø,故选B.3．【答案】A 【解析】∵()*12211n n n n N a a a ++=+Î，∴数列1{}n a 是等差数列，又2111211a a -=-=，∴11(1)n n n a =+-=，∴1n a n=．故选A ．4．【答案】C【解析】因为225910a a +=，所以令59,([0,2))a a a a a p ==Î，因此公差cos )d a a =-，123453555(2)a a a a a a a d ++++==-，因此有55(2)cos )]25cos()2a d a a a a q -=--=+，其中1tan 3q =，因为25cos()25a q +£，所以12345a a a a a ++++的最大值为25.故选C5．【答案】21.【解析】∵{}n a 、{}n b 都是等差数列，若110+=9a b ，38+=15a b ，又∵()1561038230a a b b a b +=+=++，()561103030921a b a b \+=-+=-=，故填21.6．【答案】12l £【解析】数列{a n }满足a 1＝1，且点()()*12n n a a n N +Î，在直线x 12-y +1＝0上，可得a n ﹣a n +1+1＝0，即a n +1﹣a n ＝1，可得a n ＝n ，对任意的n ∈N *，1231111nn a n a n a n a L l ++++³++++恒成立，即为λ111122n n n£+++++L 的最小值，由f （n ）111122n n n =+++++L ，f （n ）﹣f （n +1）11112122n n n =--+++()()11122212122n n n n =-=-++++＜0，即f （n ）＜f （n +1），可得f （n ）递增，即有f （1）为最小值，且为12，可得λ12£，则实数λ的取值范围为（﹣∞，12]．故填（﹣∞，12]．7．【答案】（1）65n a n =-；（2）3,4æö+¥ç÷èø．【解析】（1）()()()11112,35,2238356n n n n n n n n n a a b b b n a a b b n n ++++-=-=+\-=-=+--=Q ,所以{}n a ,是等差数列,首项为11a =,公差为6,即65n a n =-.（2）()1112,2222n n n n n n n b a a +++=\-=-=Q , 当2n ³时,()()()121112211...22...2622n n n n n n n n a a a a a a a a -+---=-+-++-+=++++=+, 当1n =时,16a =,符合上式,122n n a +\=+, 由22n n a n l l >++得112122111, 0222222n n n n n n n n n n n l +++++++->=+-=£，所以，当1,2n =时，122n n n ++取最大值34，故l 的取值范围为3,4æö+¥ç÷èø.。

人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1等差数列的性质及综合问题同步作业（原卷版）1．已知在等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝()A．15B．30C．31D．642．在等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0() A．无实根B．有两个相等的实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根3．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．354．设{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝() A．0B．37C．100D．－375．在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12＝()A．20B．22C．24D．286．在等差数列{a n}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，则()A．a n＝10n＋45B．a n＝6n－24C．a n＝10n－45D．a n＝6n＋247．【多选题】已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列结论中，不正确的有()A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0D．a51＝08．等差数列{a n}的前三项依次为x，2x＋1，4x＋2，则它的第5项为________．9．在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________．10．已知{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________．11．设数列{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为() A．1B．2C ．4D ．612．无穷等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则它有且仅有有限个负项的条件是()A ．a 1＞0，d ＞0B ．a 1＞0，d ＜0C ．a 1＜0，d ＞0D ．a 1<0，d<013．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．14．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．15．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0与x 2－x ＋b ＝0(a ≠b)的四个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值是()A.38B.1124C.1324D.317216．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)＝()A.3B ．±3C ．－33D ．－317．设公差为－2的等差数列{a n }满足a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝()A ．－182B ．－78C ．－148D ．－8218．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________．1．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为()A ．3B ．－1C ．2D ．3或－12．已知数列{a n }对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为()A ．公差为2的等差数列B ．公差为1的等差数列C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1等差数列的性质及综合问题同步作业（解析版）1．已知在等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝()A．15B．30C．31D．64答案A解析a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.2．在等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0() A．无实根B．有两个相等的实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根答案A解析∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实根．3．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35答案C解析由等差数列的性质知，a3＋a4＋a5＝3a4＝12⇒a4＝4，故a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.4．设{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝() A．0B．37C．100D．－37答案C解析∵{a n}，{b n}都是等差数列，∴{a n＋b n}也是等差数列．∵a1＋b1＝25＋75＝100,a2＋b2＝100，∴{a n＋b n}的公差为0，∴a37＋b37＝100.5．在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12＝()A．20B．22C．24D．28答案C解析∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，∴a8＝24.又a8，a10，a12成等差数列，∴2a10－a12＝a8＝24.6．在等差数列{a n}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，则()A．a n＝10n＋45B．a n＝6n－24C．a n＝10n－45D．a n＝6n＋24答案C解析∵a6＋a7＋a8＝3a7＝75，∴a7＝25.∴a3＋a12＝a7＋a8＝60，∴a8＝60－25＝35.∴公差d＝a8－a7＝10.∴a n＝a7＋(n－7)d＝25＋(n－7)·10＝10n－45.7．【多选题】已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列结论中，不正确的有()A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0D．a51＝0答案ABC8．等差数列{a n}的前三项依次为x，2x＋1，4x＋2，则它的第5项为________．答案4解析2(2x＋1)＝x＋(4x＋2)，∴x＝0，∴a1＝0，a2＝1，d＝a2－a1＝1，∴a5＝a1＋4d＝4.9．在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________．答案13解析由等差数列的性质有a2＋a6＝a3＋a5，则a6＝a3＋a5－a2＝7＋6＝13.10．已知{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________．答案24解析a15，a30，a45，a60，a75成等差数列，公差d＝20－84－1＝4，∴a75＝8＋(5－1)×4＝24.11．设数列{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为() A．1B．2C．4D．6答案B解析设前三项为a－d，a，a＋d，则由a －d ＋a ＋a ＋d ＝12知a ＝4.又由(4－d)×4×(4＋d)＝48知d 2＝4，∵{a n }为递增数列，∴d ＝2.∴首项为4－2＝2.12．无穷等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则它有且仅有有限个负项的条件是()A ．a 1＞0，d ＞0B ．a 1＞0，d ＜0C ．a 1＜0，d ＞0D ．a 1<0，d<0答案C13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．答案6766解析设竹子自上而下各节的容积依次为a 1，a 2，…，a 9，由题意可得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，设等差数列{a n }的公差为d ，则有4a 1＋6d ＝3①，3a 1＋21d ＝4②，由①②可得d ＝766，a 1＝1322，所以a 5＝6766.14．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解析设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d，则由题意，得a －3d ）＋（a －d ）＋（a ＋d ）＋（a ＋3d ）＝26，a －d ）（a ＋d ）＝40，＝132，＝32＝132，＝－32.故所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.15．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0与x 2－x ＋b ＝0(a ≠b)的四个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值是()A.38B.1124C.1324D.3172答案D16．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)＝()A.3B ．±3C．－33D．－3答案D解析由题意可得3a7＝4π，∴a7＝4π3，∴tan(a2＋a12)＝tan2a7＝tan8π3＝tan2π3＝－ 3.17．设公差为－2的等差数列{a n}满足a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99＝()A．－182B．－78C．－148D．－82答案D18．已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________．答案27解析a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.1．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列{a n}的第四项为()A．3B．－1C．2D．3或－1答案D解析∵x2－2x－3<0，∴－1<x<3，∴a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝3或a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1.2．已知数列{a n}对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，则{a n}为() A．公差为2的等差数列B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列D．非等差数列答案A解析a n＝2n＋1，∴a n＋1－a n＝2.故选A.。