高中数学选择性必修二 专题4 2 等差数列(含答案)同步培优专练

4.2.2.1等差数列的前n 项和要点一 等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝11()(1)22n n a a n n na d +-=+ 【重点总结】(1)等差数列前n 项和公式的推导：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，倒序得S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋a 1.相加得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)．由等差数列性质，得2S n ＝n(a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2.我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列求和常常会用到这种方法．(2)在求等差数列前n 项和时，若已知a 1和a n 及项数n ，则使用S n ＝n (a 1＋a n )2；若已知首项a 1和公差d 及项数n ，则采用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 来求．要点二 等差数列前n 项和的主要性质 1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列．2．若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ，①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝1n n aa+；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝n a ，S 奇S 偶＝1n n -.S 2n －1＝（2n -1）a n . 【重点总结】关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S 奇与S偶的关系是不相同的．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．( ) (2)数列{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2，S 4，S 6成等差数列．( ) (3)在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .( ) (4)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.( ) 【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 9＝10，则S 9等于( ) A ．45 B ．52 C ．108 D ．54 【答案】D【解析】S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×122＝54.故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则S 12＝( ) A ．28 B ．32 C ．36 D ．40 【答案】C【解析】∵数列{a n }为等差数列， ∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，∴2(S 8－S 4)＝S 4＋S 12－S 8，解得：S 12＝36.4．已知数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，那么数列{a n }的前11项和等于________. 【答案】22【解析】∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 9＝a 1＋a 11＝4.∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝112×4＝22.题型一 等差数列前n 项和的基本运算【例1】在等差数列{a n }中，(1)已知a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【解析】(1)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.∴n ＝15，d ＝－16.(2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. ∴a 8＝39，d ＝5.(3)∵a n ＝11，d ＝2，S n ＝35，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)×2＝11na 1＋n (n －1)2×2＝35解得n ＝5，a 1＝3或n ＝7，a 1＝－1. 【方法归纳】a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．【跟踪训练】在等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S m ＝－15，求m 及a m ；(2)a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10. (3)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【解析】(1)∵S m ＝m ×32＋m (m －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得m 2－7m －60＝0解得m ＝12或m ＝－5(舍去)∴a m ＝a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(3)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.题型二 等差数列前n 项和性质的应用【例2】(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】利用等差数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列． 所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即30＋(S 9－100)＝2(100－30)，解得S 9＝210.(2)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.【答案】53【解析】由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. (3)已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝________. 【答案】14【解析】 S n －S n －4＝a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝80， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40.两式相加得4(a 1＋a n )＝120，∴a 1＋a n ＝30，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝15n ＝210，∴n ＝14.【笔记小结】(1)中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等差数列． (2)中a 5b 5＝qa 5qb 5＝S 9T 9.(3)中S n －S n －4为末4项和，S 4为前4项和，倒序相加可得 4(a 1＋a n )． 【方法归纳】等差数列前n 项和的常用性质(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是等差数列．(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，公差为数列{a n }的公差的12.(3)涉及两个等差数列的前n 项和之比时，一般利用公式a m b n ＝2n －12m －1·S 2m －1T 2n －1进行转化，再利用其他知识解决问题．(4)用公式S n ＝n (a 1＋a n )2时常与等差数列的性质a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…相结合．【跟踪训练2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14等于( ) A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 【答案】A【解析】设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.故选A.(2)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝( )A.1941B.1737C.715D.2041 【答案】A【解析】a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝a 9b 3＋b 9＋a 3b 2＋b 10＝a 9＋a 3b 2＋b 10＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝22－344－3＝1941.故选A.(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.【解析】(3)方法一：因为S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设公差为d ，前10项的和为：10×100＋10×92d ＝10，所以d ＝－22，所以前11项的和S 110＝11×100＋11×102d ＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n n ＝d 2(n －1)＋a 1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列． 所以S 100100－S 1010100－10＝S 110110－S 100100110－100，即10100－10010100－10＝S 110110－1010010，所以S 110＝－110.方法三：设等差数列{a n }的公差为d ，S 110＝a 1＋a 2＋…＋a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋[(a 1＋10d )＋(a 2＋10d )＋…＋(a 100＋10d )]＝S 10＋S 100＋100×10d ，又S 100－10S 10＝100×992d －100×92d ＝10－10×100，即100d ＝－22，所以S 110＝－110. 题型三 求数列{|a n |}的前n 项和【例3】在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和． 【解析】等差数列{a n }的公差 d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)16＝3，∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋3(n －1)＝3n －63， 令a n <0，即3n －63<0，则n <21.∴等差数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项是非负数，设S n 和S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和．当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋3n (n －1)2＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋3n (n －1)2－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3＝32n 2－1232n ＋1 260， ∴数列{|a n |}的前n 项和为S ′n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.【方法归纳】已知{a n }为等差数列，求数列{|a n |}的前n 项和的步骤 第一步，解不等式a n ≥0(或a n ≤0)寻找{a n }的正负项分界点．第二步，求和：①若a n 各项均为正数(或均为负数)，则{|a n |}各项的和等于{a n }的各项的和(或其相反数)；②若a 1>0，d <0(或a 1<0，d >0)，这时数列{a n }只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【跟踪训练3】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .【解析】a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n － ⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1)＝－3n ＋104.∵n ＝1也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)． 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7. 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n ；②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.【易错辨析】混淆等差数列的性质致误【例4】已知等差数列{a n }的前n 项之和记为S n ，S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 【答案】120【解析】由题意知⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝1030a 1＋30×292d ＝70得⎩⎨⎧a 1＝25，d ＝215.所以S 40＝40×25＋40×392×215＝120.【易错警示】 1. 出错原因将等差数列中S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列误认为S m ，S 2m ，S 3m 成等差数列. 2. 纠错心得本题可用等差数列的性质：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列求解；还可以由S 10＝10，S 30＝70联立方程组解得a 1和d ，再求S 40.一、单选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若21S =，13n n a a -+=，则n 的值为（ ）A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】B 【分析】由已知得()121124n n n a a a a a a -+++=+=，得12n a a +=，再由等差数列求和公式可求得答案. 【解析】解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为18，21S =，13n n a a -+=，∵121a a +=， ∵()121124n n n a a a a a a -+++=+=，解得12n a a +=， 又()1182n n n a a S +==，∵2182n ⨯=，∵18n =.故选：B.2．已知在等比数列{}n a 中，3544a a a =，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且74b a =，则13S =（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B 【分析】利用等比中项的性质可求得4a 的值，即为7b 的值，再利用等差数列的求和公式可求得13S 的值. 【解析】因为在等比数列{}n a 中，3544a a a =，可得2444a a =，40a ≠，解得44a =，又因为数列{}n b 是等差数列，744b a ==，则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选：B.3．已知数列{}n a 的各项均不为零，1a a =，它的前n 项和为n S ．且n a1n a +（*N n ∈）成等比数列，记1231111n nT S S S S =+++⋅⋅⋅+，则（ ） A ．当1a =时，202240442023T < B ．当1a =时，202240442023T > C ．当3a =时，202210111012T > D ．当3a =时，202210111012T <【答案】C 【分析】结合等比性质处理得22n n a a +-=，再分1a =和3a =分类讨论，1a =时较为简单，结合裂项法直接求解，当3a =时，放缩后再采用裂项即可求解.【解析】由n a1n a +成等比数列可得，12n n n S a a +=⋅①，也即1122n n n S a a +++=⋅②，②-①得()1122n n n n a a a a +++=-，因为0n a ≠，所以，22n n a a +-=，即数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，当1a a =时，1122a a a =⋅，即22a =，对A 、B ，当1a =时，12341,2,3,4,n a a a a a n =====，此时数列为等差数列，前n 项和为()12n n n S +=，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 故12311111111112121223+11n n T S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 当2022n =时，2022140442120232023T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故A 、B 错误； 对C 、D ，当3a =时，1352021202113,5,7,3+220232a a a a -====⨯=， 2420222,4,,2022a a a ===,当n 为偶数时，232n n nS +=， 当n 为奇数时，()()()2213132122n n n n n S n +++++=-+=， 所以()()12,2n n n S n N *++≤∈,()()121121212n S n n n n ⎛⎫≥=- ⎪++++⎝⎭, 此时202212320221111T S S S S =+++⋅⋅⋅+ 111111110112123342023202410121012⎛⎫>-+-++-=-= ⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误. 故选：C4．数列{}n a 中，12a =，且112n n n n n a a a a --+=+-（2n ≥），则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为（ ） A ．20211010B ．20211011C ．20191010D ．40402021【答案】B 【分析】由已知可得221(1)(1)n n a a n ----=，从而得221(1)(1)(1)2n a a n n ---=+-+⋅⋅⋅+，再由12a =得2(1)(1)2n n n a +-=，所以212112(1)(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，然后利用裂项相消求和法可求得结果【解析】因为112n n n n na a a a --+=+-（2n ≥），所以22112()n n n n a a a a n -----=，整理得，221(1)(1)n n a a n ----=，所以221(1)(1)(1)2n a a n n ---=+-+⋅⋅⋅+，因为12a =，所以2(1)(1)2n n n a +-=， 所以212112(1)(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，所以数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为2021111111202121212232021202220221011S ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B5．有一个三人报数游戏：首先甲报数字1，然后乙报两个数字2、3，接下来丙报三个数字4、5、6，然后轮到甲报四个数字7、8、9、10，依次循环，则甲报出的第2028个数字为（ ） A ．5986 B ．5987 C ．5988 D ．以上都不对【答案】C 【分析】首先分析出甲第n 次报数的个数，得到甲第n 次报完数后总共报数的个数，计算出甲是第0n 次报数中会报到第2020个数字，再计算当甲第0n 次报数时，3人总的报数次数m ， 再推算出此时报数的最后一个数m S ，再推出甲报出的第2028个数字. 【解析】由题可得甲第n *()n N ∈次报数的个数为32n -， 则甲第n 次报完数后总共报数的个数为[1(32)](31)22n n n n n T +--==，再代入正整数n ，使2020,n T n ≥的最小值为37，得372035T =， 而甲第37次报时，3人总共报数为3631109⨯+=次， 当甲第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952m S +=++++==， 即甲报出的第2035个数字为5995， 所以甲报出的第2028个数字为5988. 故选：C.6．已知数列{}n a 满足()112nn n a a n +=-+，*n N ∈，则10S =（ ）A ．32B ．50C ．72D ．90【答案】B 【分析】由递推关系式，求得12a a +，34a a +，56a a +，78a a +，910a a +，然后相加可得10S ． 【解析】由已知212a a =-+，122a a +=，436a a =-+，346a a +=，同理5610a a +=，7814a a +=，91018a a +=， 所以102610141850S =++++=． 故选：B ．7．庑殿是古代传统建筑中的一种屋顶形式，其可近似看作由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成，如图所示.若在等腰梯形与等腰三角形侧面中需铺瓦6层，等腰梯形中下一层铺的瓦数比上一层铺的瓦数多2,等腰三角形中下一层铺的瓦数是上一层铺的瓦数的2倍.两个等腰梯形与两个等腰三角形侧面同一层全部铺上瓦，其瓦数视作同一层的总瓦数.若顶层需铺瓦82块，整个屋顶需铺瓦666块，则最底层需铺瓦块数为（ ）A ．82B ．114C ．164D ．228【答案】C 【分析】由题意得等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为2的等差数列{}n a ，等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为2的等比数列{}n b ，故得到()()11611282,1265262666,212a b b a ⎧+=⎪⎪⎡⎤-⨯⎨⎢⎥+⨯+=⎪-⎢⎥⎪⎣⎦⎩，进而可求得两个数列的通项公式，再分别求每个数列的第6项，()()56622502164a b +=+=可得到最终结果.【解析】由题意等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为2的等差数列{}n a ， 等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为2的等比数列{}n b ， 由条件可知，()()11611282,1265262666,212a b b a ⎧+=⎪⎪⎡⎤-⨯⎨⎢⎥+⨯+=⎪-⎢⎥⎪⎣⎦⎩解之得1140,1ab ==，所以()14021238,2n n n a n n b -=+-=+=，所以()()56622502164a b +=+=，故最底层需铺瓦块数为164，故选：C.8．设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，已知数列{}n b 的等差数列，且2n n na nb a +=，33a =，4511b b +=，则n n S T +=（ ） A ．22n n - B ．22n n -C ．22n n +D ．22n n +【答案】D 【分析】设等差数列{}n b 的公差为d ，进而根据等差数列的通项公式计算得121b d =⎧⎨=⎩，故1n b n =+，n a n =，再根据等差数列前n 项和公式求解即可。

4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关．(3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列．因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.故选C. 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________． 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【答案】(1)2n (2)－314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12a 1＋17d ＝36，⎩⎪⎨⎪⎧解得d ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)法一：(方程组法)由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【解析】∵a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15， ∴100是这个数列的第15项．探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53，故选D.【方法归纳】(1)已知a n ，a 1，n ，d 中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝aa 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷． 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47 【答案】A【解析】由题得2a 1＋5d ＝4，将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50.(2)等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31. ①求a 20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5＝10，a 12＝31，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 即a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，则a 20＝3×20－5＝55. ②令3n －5＝85，得n ＝30，所以85是该数列{a n }的第30项． 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1＝4且a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12又b 1＝1a 1－2＝12∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ∵b n ＝1a n －2∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.要证{b n }是等差数列，只需证b n ＋1－b n ＝常数或b n －b n －1＝常数(n ≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1”改为“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”，求a n .【解析】∵a n ＋1＝2a na n ＋2∴取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ∴1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n 2－12＝n 2，∴a n ＝2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤： (1)作差a n ＋1－a n ，将差变形；(2)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *.又b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列，其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1，经检验，n ＝1时a 1＝1也满足上式． 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________． 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝15(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．【解析】设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73.当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列的项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以2d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1解得875<d ≤325，故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ，只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C ，误认为a 9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前2n 项2n S =（ ）． A ．3(21)n n - B ．3(21)n n + C ．3(1)2n n + D ．3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3，且2a ，4a ，8a 成等比数列，2428a a a ∴=，()()2222618a a a ∴+=+，解得26a =，1233a a ∴=-=，{}∴n a 的前2n 项， 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+．故选：B ．2．已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=，下列结论正确的是（ ） A ．当11a =时，10a 的最大值258 B ．当11a =时，9a 的最小值384- C ．当101a =时，1a 的最小值17- D ．当91a =时，1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：12n n a a +-=或120n n a a ++=，即{}n a 是等差数列或等比数列，A 选项分别把两种情况下的10a 算出来，比较大小，求出10a 的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()9102512a =-=-，10a 的最大值为19，故A 选项错误；B 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()892256a =-=，9a 的最小值为17，故B 选项错误；C 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当101a =时，即1192a +⨯=，解得：117a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当101a =时，即()9112a -=，解得：11512a =-，117512<--，故1a 的最小值为17-，故选项C 正确 D 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当91a =时，1161a += ，解得：115a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当91a =时，即()8112a -=，解得：11256a =，此时1a 的最大值为1256，D 选项错误 故选：C3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若235a a +=，728S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】C 【分析】由等差数列性质，747S a =求得44a =，根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知，74728S a ==，则44a =，设数列公差为d ，则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=， 解得1d =， 故选：C4．在等差数列{}n a 中，前9项和918S =，266a a +=，则3n a =（ ） A ．33-n B ．35n + C ．73n - D ．213n -【答案】C 【分析】根据918S =，266a a +=，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解：()199599182a a S a ===+，52a ∴=，又26426a a a +==，43a ∴=，∴公差541d a a =-=-，()447n a a n d n =+-⋅=-，373n a n ∴=-．故选：C.5．在ABC ∆中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =，则2π23AC B +==，若A ，B ，C 成等差数列，则π3B =，得到答案. 【解析】在ABC ∆中，若π3B =，则2ππ23A CB B +=-==，所以A ，B ，C 成等差数列，充分性成立. 反之，若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，因为3πA B C B ++==，所以π3B =，必要性成立.所以“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的充要条件. 故选：C.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=， 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3724a a +=，840S =，则29a a +等于（ ） A ．44- B ．14C ．24D ．38【答案】D 【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3724a a +=，840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选：D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43a =，1224S =，若i 0j a a +=（i ，j N *∈，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4,5C ．{}6,7,8D ．{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ，由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=，解得19a =-，2d =， 所以数列为9-，7-，5-，3-，1-，1，3，5，7，9，11，…，故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图： 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1()313j ij a i -=⨯-D ． (13)131(4)n S n n =-＋ 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+，，可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+，，所以22251m m =++，解得3m =或12m =- (舍去)，所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-，所以选项D 是正确的； 故选：ACD.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ）A ．S n ＝2n 2－6nB ．S n ＝n 2－3nC ．a n ＝4n －8D ．a n ＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项，【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩， 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩， 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC11．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n －1)d ，即有n ＝2018d ＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.故选：BCD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +，则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时，求得114a =；当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减得到112n n a a --=，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+，当1n =114a =+，可得2111()4a a =+，解得114a =， 当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减，可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 所以数列{n a }是以12为公差，以14为首项的等差数列， 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为：21()4n n N +-∈. 13．在等差数列{a n }中，a 3＝0．如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∈a 1＝－2d ．又∈a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，266k k a a a +∴=，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去)． 故答案为：914．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.【答案】32【分析】由a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，所以(a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，解得d ＝32， 所以a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32. 故答案为：32四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；（2）若3n n S a =+2 ，求n .【答案】（1）21n a n =+（2）4n =【分析】（1）设公差为d ，根据28S =，9411S a =，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案； （2）利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再根据3n n S a =+2 ，即可的解. （1）解：设公差为d ，由已知294811S S a =⎧⎨=⎩， 得：()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =+；（2）解：()232122n n n S n n ++==+， 因为3n n S a =+2 ，即()223212n n n +=++，得2450n n --=，解得4n =，或1n =-（舍去）， 所以4n =.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（1）102n a n =-（2）当4n =或5n =时，n S 有最大值是20【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. （1）在等差数列{}n a 中，∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得182a d =⎧⎨=-⎩， ∈1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∈18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ， ∈当4n =或5n =时，n S 有最大值是20。

第四章数列4.2 等差数列4.2.2 等差数列的前n 项和公式第1课时 等差数列的前n 项和课后篇巩固提升基础达标练1.已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 2+a 5=4,S 7=21,则a 7的值为( )A.6B.7C.8D.9{a n }的公差为d ,则{a 1+d +a 1+4d =4,7a 1+7×62d =21,解得{a 1=-3,d =2,所以a 7=a 1+6d=-3+6×2=9,故选D .2.(多选)(2020山东高三月考)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则下列正确的是( )A.a 1=-2B.a 1=2C.d=4D.d=-4{a 4+a 5=2a 1+7d =24,S 6=6a 1+15d =48,所以{a 1=-2,d =4.故选AC .3.已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a n 等于( )A.nB.n 2C.2n+1D.2n-1n=1时,a 1=S 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2-(n-1)2=2n-1,且a 1=1适合上式,故a n =2n-1(n ∈N *).4.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驽马多行( ) A.1 125里 B.920里 C.820里 D.540里{a n },则{a n }是以103为首项,以13为公差的等差数列,其前n 项和为A n ,驽马每天所行路程为{b n },则{b n }是以97为首项,以-12为公差的等差数列,其前n 项和为B n ,设共用n 天二马相逢,则A n +B n =2×1 125,所以103n+n (n -1)2×13+97n+n (n -1)2(-12)=2 250, 化简得n 2+31n-360=0,解得n=9.A 9=103×9+9×82×13=1 395,B 9=2 250-1 395=855,A 9-B 9=1 395-855=540.5.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n+1,令b n =1n (a 1+a 2+…+a n ),则数列{b n }的前10项和T 10=( )A.70B.75C.80D.85a n =2n+1, ∴数列{a n }是等差数列,首项a 1=3,其前n 项和S n =n (a 1+a n )2=n (3+2n+1)2=n 2+2n ,∴b n =1n S n =n+2,∴数列{b n }也是等差数列,首项b 1=3,公差为1.∴其前10项和T 10=10×3+10×92×1=75,故选B .6.已知等差数列{a n}中,a10=13,S9=27,则公差d=,a100=.9=9a5=27⇒a5=3,d=a10-a55=13-35=2,∴a100=a10+90d=13+90×2=193.1937.(2019全国Ⅲ,理14)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=.{a n}的公差为d.∵a1≠0,a2=3a1,∴a1+d=3a1,即d=2a1.∴S10S5=10a1+10×92d5a1+5×42d=100a125a1=4.8.已知数列{a n}的前n项和为S n=n·2n-1,则a3+a4+a5=.3+a4+a5=S5-S2=(5×25-1)-(2×22-1)=152.9.设数列{a n}的前n项和为S n,点(n,S nn)(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{a n}的通项公式.,得S nn=3n-2,即S n=3n2-2n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.因为a1=S1=1,满足a n=6n-5,所以a n=6n-5(n∈N*).10.已知数列{a n}满足a1=1,a2=2,a n+2=2a n+1-a n+2.(1)设b n=a n+1-a n,证明{b n}是等差数列;(2)求{a n}的通项公式.∵a n+2=2a n+1-a n+2,∴a n+2-a n+1=a n+1-a n+2,即b n+1=b n+2.又b1=a2-a1=2-1=1,∴数列{b n}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)可知,a n+1-a n=1+2(n-1)=2n-1,∴a n-a n-1=2(n-1)-1,a n-1-a n-2=2(n-2)-1,……a2-a1=2×1-1,累加,得a n-a1=2×n(n-1)-(n-1)=n2-2n+1,2∴a n=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,∴数列{a n}的通项公式为a n=n2-2n+2.能力提升练1.在等差数列{a n}中,2a4+a7=3,则数列{a n}的前9项和S9等于()A.3B.6C.9D.12{a n}的公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,即a5=1,所以S 9=9(a 1+a 9)2=9a 5=9.2.若公差不为0的等差数列{a n }的前21项的和等于前8项的和,且a 8+a k =0,则正整数k 的值为( )A.20B.21C.22D.23{a n }的前n 项和为S n ,由题意,得S 21=S 8,即a 9+a 10+…+a 21=0.根据等差数列的性质,得13a 15=0,即a 15=0.故a 8+a 22=2a 15=0,即k=22.故选C .3.已知等差数列{a n },a 2=6,a 5=15,若b n =a 2n ,则数列{b n }的前5项和等于( )A .30B .45C .90D .186{a n }易得公差d 1=3.又b n =a 2n ,所以{b n }也是等差数列,公差d 2=6.故S 5=b 1+b 2+b 3+b 4+b 5=a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=5×6+5×42×6=90.4.(2020河北正定中学高一月考)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,已知S 14>0,S 15<0,下列选项正确的是( ) A.a 1>0,d<0B.a 7+a 8>0C.S 6与S 7均为S n 的最大值D.a 8<0,有S 14=14×(a 1+a 14)2=7(a 1+a 14)=7(a 7+a 8)>0,即a 7+a 8>0,S 15=15×(a 1+a 15)2=15a 8<0,即a 8<0,则a 7>0;故等差数列{a n }的前7项为正数,从第8项开始为负数,则a 1>0,d<0.则有S7为S n的最大值.故A,B,D正确.故选ABD.5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1(n∈N*),则a5=.n≥2时,由S n=2a n-1,得S n-1=2a n-1-1.两式相减,得a n=2a n-2a n-1,所以a n=2a n-1.因为a1=2a1-1,所以a1=1,故a5=2a4=22a3=23a2=24a1=16.6.(2019北京,理10)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为.{a n}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差数列{a n}的性质得当n≤5时,a n≤0,当n≥6时,a n大于0,所以S n的最小值为S4或S5,即为-10.-107.已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+2S n·S n-1=0(n≥2),a1=12.(1)求证:{1S n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.-a n=2S n S n-1(n≥2),∴-S n+S n-1=2S n S n-1(n≥2).又S n≠0(n=1,2,3,…),∴1S n −1S n-1=2.又1S1=1a1=2,∴{1S n}是以2为首项,2为公差的等差数列.(1)可知1S n =2+(n-1)·2=2n,∴S n=12n.当n ≥2时,a n =S n -S n-1=12n −12(n -1)=-12n (n -1)或当n ≥2时,a n =-2S n S n-1=-12n (n -1);当n=1时,S 1=a 1=12.故a n ={12,n =1,-12n (n -1),n ≥2. 素养培优练设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =λa n -1(λ为常数,n=1,2,3,…).(1)若a 3=a 22,求λ的值.(2)是否存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.因为S n =λa n -1,所以a 1=λa 1-1,a 2+a 1=λa 2-1,a 3+a 2+a 1=λa 3-1. 由a 1=λa 1-1,可知λ≠1,所以a 1=1λ-1,a 2=λ(λ-1)2,a 3=λ2(λ-1)3. 因为a 3=a 22,所以λ2(λ-1)3=λ2(λ-1)4,解得λ=0或λ=2.(2)假设存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列,则2a 2=a 1+a 3,由(1)可得2λ(λ-1)2=1λ-1+λ2(λ-1)3, 所以2λ(λ-1)2=2λ2-2λ+1(λ-1)3=2λ(λ-1)2+1(λ-1)3,即1(λ-1)3=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{a n }是等差数列.。

人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1等差数列的性质及综合问题同步作业（原卷版）1．已知在等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝()A．15B．30C．31D．642．在等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0() A．无实根B．有两个相等的实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根3．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．354．设{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝() A．0B．37C．100D．－375．在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12＝()A．20B．22C．24D．286．在等差数列{a n}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，则()A．a n＝10n＋45B．a n＝6n－24C．a n＝10n－45D．a n＝6n＋247．【多选题】已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列结论中，不正确的有()A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0D．a51＝08．等差数列{a n}的前三项依次为x，2x＋1，4x＋2，则它的第5项为________．9．在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________．10．已知{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________．11．设数列{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为() A．1B．2C ．4D ．612．无穷等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则它有且仅有有限个负项的条件是()A ．a 1＞0，d ＞0B ．a 1＞0，d ＜0C ．a 1＜0，d ＞0D ．a 1<0，d<013．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．14．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．15．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0与x 2－x ＋b ＝0(a ≠b)的四个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值是()A.38B.1124C.1324D.317216．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)＝()A.3B ．±3C ．－33D ．－317．设公差为－2的等差数列{a n }满足a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，那么a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝()A ．－182B ．－78C ．－148D ．－8218．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 2＋a 5＋a 8＝33，则a 3＋a 6＋a 9＝________．1．已知不等式x 2－2x －3<0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为()A ．3B ．－1C ．2D ．3或－12．已知数列{a n }对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为()A ．公差为2的等差数列B ．公差为1的等差数列C ．公差为－2的等差数列D ．非等差数列人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1等差数列的性质及综合问题同步作业（解析版）1．已知在等差数列{a n}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12＝()A．15B．30C．31D．64答案A解析a7＋a9＝a4＋a12，∴a12＝16－1＝15.2．在等差数列{a n}中，a2＋a5＋a8＝9，那么关于x的方程x2＋(a4＋a6)x＋10＝0() A．无实根B．有两个相等的实根C．有两个不等实根D．不能确定有无实根答案A解析∵a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，即3a5＝9，∴a5＝3，方程为x2＋6x＋10＝0，无实根．3．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝()A．14B．21C．28D．35答案C解析由等差数列的性质知，a3＋a4＋a5＝3a4＝12⇒a4＝4，故a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.4．设{a n}，{b n}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，则a37＋b37＝() A．0B．37C．100D．－37答案C解析∵{a n}，{b n}都是等差数列，∴{a n＋b n}也是等差数列．∵a1＋b1＝25＋75＝100,a2＋b2＝100，∴{a n＋b n}的公差为0，∴a37＋b37＝100.5．在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，则2a10－a12＝()A．20B．22C．24D．28答案C解析∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝5a8＝120，∴a8＝24.又a8，a10，a12成等差数列，∴2a10－a12＝a8＝24.6．在等差数列{a n}中，a3＋a12＝60，a6＋a7＋a8＝75，则()A．a n＝10n＋45B．a n＝6n－24C．a n＝10n－45D．a n＝6n＋24答案C解析∵a6＋a7＋a8＝3a7＝75，∴a7＝25.∴a3＋a12＝a7＋a8＝60，∴a8＝60－25＝35.∴公差d＝a8－a7＝10.∴a n＝a7＋(n－7)d＝25＋(n－7)·10＝10n－45.7．【多选题】已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则下列结论中，不正确的有()A．a1＋a101>0B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0D．a51＝0答案ABC8．等差数列{a n}的前三项依次为x，2x＋1，4x＋2，则它的第5项为________．答案4解析2(2x＋1)＝x＋(4x＋2)，∴x＝0，∴a1＝0，a2＝1，d＝a2－a1＝1，∴a5＝a1＋4d＝4.9．在等差数列{a n}中，a3＝7，a5＝a2＋6，则a6＝________．答案13解析由等差数列的性质有a2＋a6＝a3＋a5，则a6＝a3＋a5－a2＝7＋6＝13.10．已知{a n}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝________．答案24解析a15，a30，a45，a60，a75成等差数列，公差d＝20－84－1＝4，∴a75＝8＋(5－1)×4＝24.11．设数列{a n}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为() A．1B．2C．4D．6答案B解析设前三项为a－d，a，a＋d，则由a －d ＋a ＋a ＋d ＝12知a ＝4.又由(4－d)×4×(4＋d)＝48知d 2＝4，∵{a n }为递增数列，∴d ＝2.∴首项为4－2＝2.12．无穷等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则它有且仅有有限个负项的条件是()A ．a 1＞0，d ＞0B ．a 1＞0，d ＜0C ．a 1＜0，d ＞0D ．a 1<0，d<0答案C13．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．答案6766解析设竹子自上而下各节的容积依次为a 1，a 2，…，a 9，由题意可得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，设等差数列{a n }的公差为d ，则有4a 1＋6d ＝3①，3a 1＋21d ＝4②，由①②可得d ＝766，a 1＝1322，所以a 5＝6766.14．已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．解析设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d，则由题意，得a －3d ）＋（a －d ）＋（a ＋d ）＋（a ＋3d ）＝26，a －d ）（a ＋d ）＝40，＝132，＝32＝132，＝－32.故所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2.15．若关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0与x 2－x ＋b ＝0(a ≠b)的四个根可组成首项为14的等差数列，则a ＋b 的值是()A.38B.1124C.1324D.3172答案D16．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)＝()A.3B ．±3C．－33D．－3答案D解析由题意可得3a7＝4π，∴a7＝4π3，∴tan(a2＋a12)＝tan2a7＝tan8π3＝tan2π3＝－ 3.17．设公差为－2的等差数列{a n}满足a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，那么a3＋a6＋a9＋…＋a99＝()A．－182B．－78C．－148D．－82答案D18．已知等差数列{a n}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________．答案27解析a3＋a6＋a9＝2(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝2×33－39＝27.1．已知不等式x2－2x－3<0的整数解构成等差数列{a n}的前三项，则数列{a n}的第四项为()A．3B．－1C．2D．3或－1答案D解析∵x2－2x－3<0，∴－1<x<3，∴a1＝0，a2＝1，a3＝2，a4＝3或a1＝2，a2＝1，a3＝0，a4＝－1.2．已知数列{a n}对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y＝2x＋1上，则{a n}为() A．公差为2的等差数列B．公差为1的等差数列C．公差为－2的等差数列D．非等差数列答案A解析a n＝2n＋1，∴a n＋1－a n＝2.故选A.。

课时同步练4.2.1 等差数列（2）一、单选题1．在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．6【答案】B【解析】在等差数列{}n a 中，若244,2a a ==，则()()4266114222a a a a =+=+=，解得60a =， 故选B.2．在等差数列{}n a 中，157913100a a a a a ++++=，6212a a -=，则1a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为157913100a a a a a ++++=，所以75100a =，即720a =， 设等差数列{}n a 的公差为d ，又6212a a -=，所以412d =，故3d =，所以17620182a a d =-=-= 故选B ．3．在数列{a n }=，a 1＝8，则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．a n ＝2(n +1)2B ．a n ＝4（n +1）C ．a n ＝8n 2D ．a n ＝4n （n +1）【答案】A=,=所以==的等差数列,(1)n =-(n =+所以22(1)n a n =+.故选A.4．等差数列{a n }中，a 4+a 8=10，a 10=6，则公差d 等于（ ）A ．14B ．12C ．2D ．-12【答案】A【解析】在等差数列{a n }中，由a 4+a 8=10，得2a 6=10，a 6=5． 又a 10=6，则10665110644a a d --===-．故选A ．5．在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为（ ）A ．52B ．51C ．50D ．49【答案】A【解析】由题意，数列{}n a 满足1221n n a a +-=，即112n n a a +-=，又由12a =，所以数列{}n a 首项为2，公差为12的等差数列， 所以101111002100522a a d =+=+⨯=， 故选A ．6．等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ） A ．{}1B ．112⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】设公差为d ，211n n n n na a n a a nd d a ==++ 显然d =0时，是一个与n 无关的常数，等于1；0d ≠时，需使n n a 是一个与n 无关的常数；即对于任意n ∈+N n na 等于同一个常数；则必有,n a dn =212n n a a =． 故选B7．下列说法中正确的是（ ）A ．若a ，b ，c 成等差数列，则222,,a b c 成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则222log ,log ,log a b c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a +2，b +2，c +2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2,2,2a b c 成等差数列【答案】C【解析】对于A 选项，1,2,3成等差数列，但1,4,9不成等差数列；对于B 选项，1,2,3成等差数列，但222log 1,log 2,log 3为20,1,log 3不成等差数列.对于D 选项， 1,2,3成等差数列，但232,2,2不成等差数列. 故选C.8．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则ab等于（ ） A ．14B ．12C ．13D ．23【答案】C【解析】∵等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，∴b x x a +=+2，解得a b x -=． 又()()a b a b a x a a x a b 32222-=-+-=+-=-+=．∴a b 3=，∴31=b a ． 故选C ．9．已知无穷数列{}n a 和{}n b 都是等差数列，其公差分别为k 和h ，若数列{}n n a b 也是等差数列，则（ ）A ．220h k +=B ．0hk =C ．h k ，可以是任何实数D ．不存在满足条件的实数h 和k【答案】B【解析】因为无穷数列{}n a 和{}n b 都是等差数列，其公差分别为k 和h ，且数列{}n n a b 也是等差数列，所以2211332a b a b a b =+，即1111112()()(2)(2)a k b h a b a k b h ++=+++，整理得111111112222224a b a h b k kh a b a h b k hk +++=+++，即0hk =， 故选B ．10．在等差数列{}n a 中，如果123440,60a a a a +=+=，那么78a a +=（ ）A ．95B ．100C ．135D ．80【答案】B【解析】由等差数列的性质可知：1234a a a a ++，，56a a +，78a a +构成新的等差数列，()()()()781234124140320100a a a a a a a a ⎡⎤∴+=++-+-+=+⨯=⎣⎦故选B11．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是（ ）①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x ＋1；④y ＝sin44x ππ+（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数；④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.故选C.12．已知数列{}n a 中，11a =，230a =，1122n n n a a a +-=++（*n N ∈且2n ≥），则数列{}n a 的最大项的值是（ ）A ．225B ．226C ．75D ．76【答案】B【解析】1122n n n a a a +-=++，∴11()()2n n n n a a a a +----=-，数列1{}n n a a +-是公差为2-的等差数列，121,30a a ==，2129a a ∴-=，161529(151)(2)10a a ∴-=+-⨯-=>，1716a a -=29(161)(2)10+-⨯-=-<，又数列1{}n n a a +-是单调递减数列，∴数列1{}n n a a +-的前15项和最大，即2132161516()()()1a a a a a a a -+-++-=-最大，∴数列{}n a 的最大项是第16项16a ，又16151411529(2)2252a ⨯-=⨯+⨯-=，16226a ∴=， ∴数列{}n a 的最大项的值是226，故选B ．二、填空题13．ABC 的三个内角A ，B ，C 的大小成等差数列，则B =______．【答案】60︒【解析】因为三角形三内角,,A B C 成等差数列，所以218060A C B B B ︒︒+==-⇒= ， 故填60︒.14．在等差数列{}n a 中，已知311a =，85a =，则n a =______．【答案】67355n -+ 【解析】依题意得1121175a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1676,55a d ==-，故数列的通项公式为67355n a n =-+. 故填67355n -+ 15．设数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，且110a =，190b =，22100a b +=，那么数列{}n n a b +的第2018项为______。

4.2 等差数列4.2.1等差数列的概念例1（1）已知等差数列*a n+的通项公式为a n=5−2n，求*a n+的公差和首项；（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由a n−a n;1=d即可求出公差d；（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.解：（1）当n⩾2时，由*a n+的通项公式a n=5−2n，可得a n;1=5−2(n−1)=7−2n.于是d=a n−a n;1=(5−2n)−(7−2n)=−2.把n=1代入通项公式a n=5−2n，得a1=5−2×1=3.所以，*a n+的公差为−2，首项为3.（2）由已知条件，得d=5−8=−3.把a1=8，d=−3代入a n=a1+(n−1)d，得a n=8−3(n−1)=11−3n.把n=20代入上式，得a20=11−3×20=−49.所以，这个数列的第20项是−49.例2 −401是不是等差数列−5，−9，−13，……的项？如果是，是第几项？分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看−401是否能使这个方程有正整数解.解：由a1=−5，d=−9−(−5)=−4，得这个数列的通项公式为a n=−5−4(n−1)=−4n−1.令−4n−1=−401，解这个关于n的方程，得n=100.所以，−401是这个数列的项，是第100项.练习1．判断下列数列是否是等差数列．如果是，写出它的公差．（1）95，82，69，56，43，30；（2）1，1.1，1.11，1.111，1．1111，1.11111；（3）1，－2，3，－4，5，－6；（4）1，1112，56，34，23，712，12．【答案】（1）是等差数列，公差为−13；（2）不是等差数列；（3）不是等差数列；（4）是等差数列，公差为−112.【分析】根据等差数列的定义对（1）、（2）、（3）、（4）逐个分析即可求解.【详解】解：（1）由82−95=69−82=56−69=43−56=30−43=−13，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数−13，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为−13；（2）通过观察可知，1.1−1=0.1，1.11−1.1=0.01，⋯该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（3）通过观察可知，−2−1=−3，3−(−2)=5，⋯该数列从第二项起，每一项与前一项之差不是同一个常数，所以由等差数列的定义知该数列不是等差数列；（4）由1112−1=56−1112=34−56=23−34=712−23=12−712=−112，即该数列从第二项起，每一项与前一项之差为同一个常数−112，所以由等差数列的定义知该数列为等差数列，公差为−112.2．求下列各组数的等差中项：（1）647和895；（2）−1213和2435.【答案】（1）771；（2）9215.【分析】由等差中项的定义直接求解即可.【详解】（1）设647和895的等差中项为a，则a=647:8952=771，故647和895的等差中项为771；（2）设−1213和2435的等差中项为b，则b=;1213:24352=9215，故−1213和2435的等差中项为9215.3．已知在等差数列*a n+中，a4+a8=20，a7=12．求a4．【答案】a4=6【分析】设等差数列的公差为d，由等差数列通项公式性质知a4+a8=2a6，求得a6=10，进而求得公差d，即可得解.【详解】设等差数列的公差为d，则在等差数列*a n+中，a 4+a 8=2a 6=20，∴a 6=10∴d =a 7−a 6=12−10=2 ∴a 4=a 7−3d =12−6=64．在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 【答案】10.5，14，17.5【分析】利用等差数列通项公式能求出插入的这3个数．【详解】解：∵在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列， ∴ {a 1=7a 5=a 1+4d =21 ，解得d =3.5， ∴a 2=7+3.5=10.5， a 3=7+2×3.5=14， a 4=7+3×3.5=17.5，∴插入的这3个数为10.5，14，17.5．例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d （d 为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d 的取值范围.分析：这台设备使用n 年后的价值构成一个数列*a n +.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于(220×5%=)11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.可以利用*a n +的通项公式列不等式求解.解：设使用n 年后，这台设备的价值为a n 万元，则可得数列*a n +.由已知条件，得 a n =a n;1−d(n ⩾2).由于d 是与n 无关的常数，所以数列*a n +是一个公差为−d 的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以a 1=220−d ，于是 a n =a 1+(n −1)(−d)=220−nd . 根据题意，得{a 10⩾11,a 11<11,即{220−10d ⩾11,220−11d <11,解这个不等式组，得19<d⩽20.9.所以，d的取值范围为19<d⩽20.9.例4已知等差数列*a n+的首项a1=2，公差d=8，在*a n+中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列*b n+.（1）求数列*b n+的通项公式.（2）b29是不是数列*a n+的项？若是，它是*a n+的第几项？若不是，说明理由.分析：（1）*a n+是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为*b n+中的项，就可以利用等差数列的定义得出*b n+的通项公式；（2）设*a n+中的第n项是*b n+中的第c n项，根据条件可以求出n 与c n的关系式，由此即可判断b29是否为*a n+的项.解：（1）设数列*b n+的公差为d′.由题意可知，b1=a1，b5=a2，于是b5−b1=a2−a1=8.因为b5−b1=4d′，所以4d′=8，所以d′=2.所以b n=2+(n−1)×2=2n.所以，数列*b n+的通项公式是b n=2n.（2）数列*a n+的各项依次是数列*b n+的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列*c n+，则c n=4n−3.令4n−3=29，解得n=8.所以，b29是数列*a n+的第8项.例5 已知数列*a n+是等差数列，p，q，s，t∈N∗，且p+q=s+t.求证a p+a q=a s+a t. 分析：只要根据等差数列的定义写出a p，a q，a s，a t，再利用已知条件即可得证.证明：设数列*a n+的公差为d，则a p=a1+(p−1)d，a q=a1+(q−1)d，a s=a1+(s−1)d，a t=a1+(t−1)d.所以a p+a q=2a1+(p+q−2)d，a s+a t=2a1+(s+t−2)d.因为p+q=s+t，所以a p+a q=a s+a t.练习5．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位．你能用a n表示第n排的座位数吗？第10排有多少个座位？【答案】a n=2n+13；a10=33【分析】可将每排座位数看成等差数列，列出通项公式.【详解】由条件可知，每排的座位数，看成等差数列，首项a1=15，d=2，则a n=15+(n−1)×2=2n+13，a10=2×10+13=33.综上可知，a n=2n+13，第10排的座位数a10=33个.6．画出数列a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率. 【答案】图象见解析，−3【分析】由递推关系a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6，求出a n(1≤n≤6)值，然后再作出图象，在根据斜率公式即可求出通过图象上所有点的直线的斜率.【详解】根据递推关系a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6，可知a1=18,a2=15,a3=12,a4= 9,a5=6,a6=3，作出数列a n={18,n=1a n;1−3,1<n≤6的图象，如下图所示：通过图象上所有点的直线的斜率a6;a16;1=3;185=−3.7．在等差数列*a n+中，a n=m，a m=n，且n≠m，求a m;n．【答案】2n【分析】利用等差数列的通项公式，解出a1、d，代入a m;n即可. 【详解】设等差数列*a n+的公差为d则{a n=a1+(n−1)d=ma m=a1+(m−1)d=n ⇒{a1=m+n−1d=−1所以a m;n=a1+(m−n−1)d=m+n−1−m+n+1=2n8．已知数列*a n+，*b n+都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列*c n+满足c n=a n+2b n．（1）数列*c n+是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由．（2）若*a n+，*b n+的公差都等于2，a1=b1=1，求数列*c n+的通项公式．【答案】（1）数列*c n+是等差数列，证明见解析；（2）c n=6n−3.【分析】（1）根据等差数列的定义即可证得结论；（2）由等差数列的通项公式运算即可得解.【详解】（1）数列*c n+是等差数列，证明：因为数列*a n+，*b n+都是等差数列，公差分别为d1，d2，所以a n=a1+(n−1)d1,b n=b1+(n−1)d2，又因为c n=a n+2b n=(a1+2b1)+(n−1)(d1+2d2)，故c n:1−c n=,(a1+2b1)+n(d1+2d2)-−,(a1+2b1)+(n−1)(d1+2d2)-=d1+2d2，而c1=a1+2b1，所以数列*c n+是以a1+2b1为首项，d1+2d2为公差的等差数列.（2）由（1）知：数列*c n+是以a1+2b1为首项，d1+2d2为公差的等差数列，而c1=a1+2b1=3，d1+2d2=6，所以c n=3+6(n−1)=6n−3.9．已知一个无穷等差数列*a n+的首项为a1，公差为d．（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？【答案】（1）是等差数列，首项为a1+md，公差为d；（2）是等差数列，首项为首项为a1，公差为2d；（3）是等差数列，首项为a1+6d，公差为7d；猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.【分析】（1）由题意可知，新的数列为：a m:1, a m:2, a m:3,⋯，可知新等差数列的首项及公差；（2）由题意可知，新的数列为：a1, a3, a5,⋯,a2n:1,⋯，可知新等差数列的首项及公差；（3）由题意可知，新的数列为：a7, a14, a21,⋯,a7n,⋯，可知新等差数列的首项及公差，进而得到猜想.【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列*a n+的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为：a m:1, a m:2, a m:3,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a m:1=a1+md，公差为d.（2）由题意可知，取出无穷等差数列*a n+中的所有奇数项，组成一个新的数列为：a1, a3, a5,⋯,a2n:1,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a1，公差为2d.（3）由题意可知，取出无穷等差数列*a n+中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为：a7, a14, a21,⋯,a7n,⋯，这个新数列是等差数列，首项为a7=a1+6d，公差为a14−a7=7d. 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列.4.2.2等差数列的前n项和公式例6 已知数列*a n+是等差数列.（1）若a1=7，a50=101，求S50；（2）若a1=2，a2=52，求S10；（3）若a1=12，d=−16，S n=−5，求n.分析：对于（1），可以直接利用公式S n=n(a1:a n)2求和；在（2）中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式S n=na1+n(n;1)2d求和；（3）已知公式S n=na1+n(n;1)2d中的a1，d和S n，解方程即可求得n.解：（1）因为a1=7，a50=101，根据公式S n=n(a1:a n)2，可得S50=50×(7:101)2=2700.（2）因为a1=2，a2=52，所以d=12.根据公式S n=na1+n(n;1)2d，可得S10=10×2+10×(10;1)2×12=852.（3）把a1=12，d=−16，S n=−5代入S n=na1+n(n;1)2d，得−5=12n+n(n;1)2×.−16/.整理，得n2−7n−60=0.解得n=12，或n=−5（舍去）.所以n=12.例7已知一个等差数列*a n+前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式（2）后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程.解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d.解：由题意，知S10=310，S20=1240.。

4．2.1 第一课时等差数列的概念及通项公式[A级基础巩固]1．在等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16 D．18解析：选D由题意知，公差d＝4－2＝2，则a1＝0，所以a10＝a1＋9d＝18.故选D.2．若等差数列{a n}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，a n＝35，则n＝()A．50 B．51 C．52 D．53解析：选D依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝13，得d＝23.所以a n＝a1＋(n－1)d＝13＋(n－1)×23＝23n－13，令a n＝35，解得n＝53.3．(多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是() A．a＝－b B．a＝3bC．a＝b或a＝－3b D．a＝b＝0解析：选AB由等差中项的定义知：x＝a＋b 2，x2＝a2－b2 2，∴a2－b22＝⎝⎛⎭⎫a＋b22，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.4．数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a2 021的值是() A．1 000 B．1 013C ．1 011D ．1 012解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 021＝2 021＋32＝1 012.5．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…，那么81是数列的( ) A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项D ．第15项解析：选C a n ＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 6．已知等差数列{a n }，a n ＝2－3n ，则数列的公差d ＝________. 解析：根据等差数列的概念，d ＝a n ＋1－a n ＝－3. 答案：－37．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 1＝________，a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：3 138．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6， 令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：59．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， 所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ， 所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列． 证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c.进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2， 所以a 2，b 2，c 2成等差数列．[B 级 综合运用]11．(多选)如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6＝a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选BC 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B 、C.12．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( ) A.m n D ．m ＋1n ＋1 C.n mD ．n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2， 则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项， ∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －xn ＋1. 这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1.13．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i ，j (i ，j ∈N *)，则a 9,9＝______，数82共出现______次．解析：根据题意得，第i 行的等差数列的公差为i ，第j 列等差数列的公差为j ，所以数列{a 1，j }是以2为首项，1为公差的等差数列，可得a 1，j ＝2＋(j －1)×1＝j ＋1，又因为第j 列数组成的数列{a i ，j }是以a 1，j 为首项，j 为公差的等差数列，所以a i ，j ＝a 1，j ＋(i －1)j ＝(j ＋1)＋(i －1)×j ＝ij ＋1，所以a 9,9＝9×9＋1＝82.因为a i ，j ＝ij ＋1＝82，所以ij ＝81，所以i ＝81且j ＝1或i ＝1且j ＝81或i ＝3且j ＝27或i ＝27且j ＝3或i ＝j ＝9，所以可得数82共出现5次．答案：82 514．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)， 即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n . [C 级 拓展探究]15．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由． 解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)不存在λ的值，理由如下： ∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4.a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{a n}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n}成等差数列．。

人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n 项和公式第3课时同步作业（原卷版）1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18＝()A ．36B ．18C ．72D ．92．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ＝()A ．－2B ．－1C ．0D ．13．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是()A ．3B ．－3C ．－2D ．－14．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝()A ．1B ．－1C ．2D.125．(高考真题·全国Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝()A.172B.192C ．10D ．126．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝()A ．9B ．8C ．7D ．67．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13＝()A ．24B ．25C ．26D ．278．已知等差数列{a n }中，a 32＋a 82＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10＝()A ．－1B ．－11C ．－13D ．－159．已知等差数列{a n}中，a2＝6，a5＝15.若b n＝a2n，则数列{b n}的前5项和T n＝() A．30B．45C．90D．18610．已知{a n}是等差数列，S n是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9＝________．11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A．765B．665C．763D．66312．【多选题】已知在等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，S n是数列{a n}的前n项和，则()A．S5>S6B．S5<S6C．a6＝0D．S5＝S613．设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n值最大的n的值．14．数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求S n.15．等差数列{a n}的首项a1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽出的是()A．a6B．a8C．a9D．a1016．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛(如图所示)，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9B．10C．19D．2917．设a1，d为实数，首项为a1公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6＋15＝0，则d的取值范围是________．1．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4＝1，S5＝10，则当S n取得最大值时，n的值是________．2．已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝2n2－30n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求S n的最小值及对应的n值．人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n 项和公式第3课时同步作业（解析版）1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝－6，S 18－S 15＝18，则S 18＝()A ．36B ．18C ．72D ．9答案A解析由S 3，S 6－S 3，…，S 18－S 15成等差数列知S 18＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋…＋(S 18－S 15)＝6×（－6＋18）2＝36.2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ＝()A ．－2B ．－1C ．0D ．1答案B3．一个等差数列的项数为2n ，若a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝90，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝72，且a 1－a 2n ＝33，则该数列的公差是()A ．3B ．－3C ．－2D ．－1答案B4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S9S 5＝()A ．1B ．－1C ．2 D.12答案A5．(高考真题·全国Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝()A.172B.192C ．10D ．12答案B解析由S 8＝4S 4得8a 1＋8×72×1＝4×(4a 1＋4×32×1)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝192.故选B.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6答案B7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13＝()A ．24B ．25C ．26D ．27答案C8．已知等差数列{a n }中，a 32＋a 82＋2a 3a 8＝9，且a n <0，则S 10＝()A ．－1B ．－11C ．－13D ．－15答案D9．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15.若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和T n ＝()A ．30B ．45C ．90D ．186答案C解析2＝a 1＋d ＝6，5＝a 1＋4d ＝15，∴a 1＝3，d ＝3，又b n ＝a 2n ＝a 1＋(2n －1)d ＝6n ，故S 5＝5（b 1＋b 5）2＝5（6＋6×5）2＝90.选C.10．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9＝________．答案20解析设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋a 22＝a 1＋(a 1＋d)2＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝10，解得a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋24＝20.11．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()A ．765B ．665C ．763D ．663答案B12．【多选题】已知在等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d<0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则()A ．S 5>S 6B ．S 5<S 6C ．a 6＝0D ．S 5＝S 6答案CD解析∵d<0，|a3|＝|a9|，∴a3>0，a9<0，且a3＋a9＝2a6＝0.∴a6＝0，a5>0，a7<0.∴S5＝S6.故选CD.13．设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n值最大的n的值．解析(1)由a n＝a1＋(n－1)d及a3＝5，a10＝－9，得1＋2d＝5，1＋9d＝－9，1＝9，＝－2.所以数列{a n}的通项公式为a n＝11－2n.(2)由(1)知，S n＝na1＋n（n－1）2d＝10n－n2.因为S n＝－(n－5)2＋25，所以当n＝5时，S n取得最大值．14．数列{a n}中，a1＝8，a4＝2，且满足a n＋2－2a n＋1＋a n＝0(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求S n.解析(1)由题意，得a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n.∴{a n}为等差数列．设公差为d，由题意得2＝8＋3d⇒d＝－2.∴a n＝8－2(n－1)＝10－2n.(2)若10－2n≥0，则n≤5，当n≤5时，S n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|＝a1＋a2＋…＋a n＝8＋10－2n2×n＝9n－n2；当n≥6时，S n＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－a n＝S5－(S n－S5)＝2S5－S n＝n2－9n＋40.故S n－n2，n≤5，2－9n＋40，n≥6.15．等差数列{a n}的首项a1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽出的是()A．a6B．a8C．a9D．a10答案B解析方法一：据题意S11＝55＝11a6，∴a6＝5.又a 1＝－5，∴公差d ＝5－（－5）6－1＝2.设抽出的一项为a n ，则a n ＝55－46＝9.由9＝－5＋(n －1)·2，得n ＝8.方法二：∵S 11＝5×11＝55，又∵S 11＝11a 1＋11×102d ＝55d －55，∴55d －55＝55，∴d ＝2，由S 11－a n ＝4.6×10，得a n ＝9，又a 1＝－5，∴9＝－5＋2(n －1)，得n ＝8.16.现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛(如图所示)，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A ．9B ．10C ．19D ．29答案B17．设a 1，d 为实数，首项为a 1公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，则d 的取值范围是________．答案(－∞，－22]∪[22，＋∞)解析∵S 5S 6＋15＝0，∴(5a 1＋10d)·(6a 1＋15d)＋15＝0，即2a 12＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d)2＝d 2－8，∴d 2≥8.则d 的取值范围是(－∞，－22]∪[22，＋∞)．1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＝1，S 5＝10，则当S n 取得最大值时，n 的值是________．答案4或52．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝2n 2－30n.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求S n 的最小值及对应的n 值．解析(1)∵S n ＝2n 2－30n ，∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝－28；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－30n)－[2(n －1)2－30(n －1)]＝4n －32.又a 1＝－28满足上式，∴a n ＝4n －32，n ∈N ＋.(2)S n ＝2n 2－30n ＝－2252，∴当n ＝7或8时，S n 最小，且最小值为S 7＝S 8＝－112.。

人教A 版（2019）选择性必修第二册《4.2.1 等差数列的概念》提升训练一 、单选题（本大题共13小题，共65分）1.（5分）已知f(x)={x log 23,(x ⩽5)f(x −2),(x >5)，则f(2012)=( )A. 81B. 9C. 3D. √32.（5分）已知函数f(x)是定义在[1−2m ,m]上的偶函数，∀x 1，x 2∈[0,m]，当x 1≠x 2时，[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)<0，则不等式f(x −1)⩽f(2x )的解集是( )A. [−1,13] B. [−12,13] C. [0,13]D. [0,12]3.（5分）已知集合A ={x|2x⩾1}，B ={−1,0,1,2,3}，则A −∩B =()A. {0,1,2}B. {1,2}C. {−1,0,3}D. {−1,3}4.（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．为了纪念数学家高斯，人们把函数y =[x]，x ∈R 称为高斯函数，其中[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[−2.1]=−3，[3.1]=3.那么函数f(x)=[2sinx ⋅cosx]+[sinx +cosx]的值域内元素的个数为()A. 2B. 3C. 4D. 55.（5分）[2021 石家庄二中高一期中]函数f(x)=√−x +1x+3的定义城为( )A. (-3,0]B. (-3,1]C. (-∞,-3)∪(-3,0]D. (-∞,-3)∪(-3,1]6.（5分）若函数f(x)=3sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象过点(2π3,−3)，相邻两条对称轴间的距离是π2，则下列四个结论中，错误的结论是()A. ω=2B. φ=π6C. f(x +π6)为偶函数 D. f(x +π12)为奇函数7.（5分）等差数列{a n }中，a 1+a 4+a 7=39，a 6=9则数列{a n }的前9项的和S 9等于( )A. 96B. 99C. 144D. 1988.（5分）设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则下列4组条件中：①a ⊂α，b//β，α⊥β；②a ⊥α，b ⊥β，α⊥β；③a ⊂α，b ⊥β，α//β；④a ⊥α，b//β，α//β.能推得a ⊥b 的条件有( )组．A. 1B. 2C. 3D. 49.（5分）已知f(x)=2sin 2(ωx +π3)−1(ω>0)，给出下列结论： ①若f(x 1)=1，f(x 2)=−1，且|x 1−x 2|min =π，则ω=1；②存在ω∈(0,2)，使得f(x)的图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于y 轴对称；③若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为[4124,4724]；④若f(x)在[−π6,π4]上单调递增，则ω的取值范围为(0,23]. 其中，所有错误结论的编号是()A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④10.（5分）下面大小关系恒成立的一组是( )A. a 0.1>a 0(0<a <1)B. ln 2<≶1C. sinα<α(0<α<π2)D. sinα<cosα(0<α<π2)11.（5分）分层抽样适合的总体是()A. 总体容量较多B. 样本容量较多C. 总体中个体有差异D. 任何总体12.（5分）我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”(chumeng )是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体．如图，五面体ABCDEF 是一个刍甍．四边形ABCD 为矩形，ΔADE 与ΔBCF 都是等边三角形，AB =4，AD =EF =2，则此“刍甍”的表面积为( )A. 8+8√3B. 8+7√3C. 8+5√3D. 8+4√313.（5分）若A ，B 是互斥事件，则( )A. P(A)+P(B)<1B. P(A)+P(B)>1C. P(A)+P(B)=1D. P(A)+P(B)⩽1二 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）执行如图所示的流程图，则输出的S 的值为 ______ ．15.（5分）如果x ，y ∈R ，且2x =18y =6xy ，那么x +y 的值为______． 16.（5分）函数f(x)=log 2(x −3)定义域是 ______ .17.（5分）平行四边形ABCD 中，A(2,−1)，B(3,1)，C(0,3)，则CD →的坐标为 ______. 18.（5分）若两平行直线2x +y −4=0与y =−2x −k −2的距离不大于√5，则k 的取值范围是______．三 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bsinA =acos(B −π6).(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，求sin 2A +sin 2B +sin 2C 的取值范围．20.（12分）在等差数列{a n }中，a 1+a 3=8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{ {a n }的首项、公差及前n 项和．21.（12分）已知f(x)=2sin(x +π3)cosx +sin(2x +π3)−√32. (1)求f(x)的值域；(2)若函数g(x)=f(x)−k 在[0,π4]上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围. 22.（12分）某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度(单位：厘米)，按数据分成[10,15]，(15,20]，(20,25]，(25,30]，(30,35]5组，得到如图所示的频率分布直方图．以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率．(1)估计该工厂生产的这批零件长度的平均值(同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替)；(2)若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．23.（12分）如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1=A 1C =AC =2，AB =BC ，且AB ⊥BC ，O 为AC 中点． (1)求证AC ⊥平面A 1OB ；(2)在BC 1上是否存在一点E ，使得OE//平面A 1AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．答案和解析1.【答案】B;【解析】解：∵x >5时，f(x)=f(x −2)，∴f(2012)=f(2×1003+6)=f(2×1003+6−2)=f(4)， ∵4<5，∴f(4)=4log 23=22log 23=32． ∴f(2012)=9． 故选B ．利用分段函数在不同区间内的解析式不同即可计算出函数值． 正确理解分段函数的意义是解答该题的关键．2.【答案】B;【解析】解：根据题意，f(x)为定义在[1−2m ,m]上的偶函数，则(1−2m )+m =0，解可得m =1，即函数的定义域为[−1,1]；又由f(x)满足∀x 1，x 2∈[0,m]，当x 1≠x 2时，[f(x 1)−f(x 2)](x 1−x 2)<0， 则f(x)在[0,1]上为减函数，则f(x −1)⩽f(2x )⇒f(|x −1|)⩽f(|2x |)⇒{−1⩽x −1⩽1−1⩽2x ⩽1|x −1|⩾|2x |，解可得：−12⩽x ⩽13；故选：B ．根据题意，由函数奇偶性的定义可得(1−2m )+m =0，解可得m =1，即函数的定义域为[−1,1]，又由单调性的定义分析可得f(x)在[0,m]上为减函数，进而可得f(x −1)⩽f(2x )⇒f(|x −1|)⩽f(|2x |)⇒{−1⩽x −1⩽1−1⩽2x ⩽1|x −1|⩾|2x |，解可得x 的取值范围，即可得答案．该题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的单调性，属于基础题．3.【答案】C;【解析】解：集合A ={x|2x ⩾1}={x|0<x ⩽2}，则A −={x|x >2或x ⩽0}， B ={−1,0,1,2,3}， 则A −∩B ={−1,0,3}. 故选：C.根据已知条件，结合交集的定义，即可求解． 此题主要考查交集、补集的运算，属于基础题．4.【答案】C;【解析】解：令sinx+cosx=t(−√2⩽t⩽√2)，则g(t)=f(x)=[2sinx⋅cosx]+[sinx+cosx]=[t2−1]+[t]，①当t=−√2时，t2−1=1，故g(−√2)=1−2=−1；②当−√2<t<−1时，0<t2−1<1，g(t)=0−2=−2；③当t=−1时，t2−1=0，g(−1)=0−1=−1；④当−1<t<0时，−1<t2−1<0，g(t)=−1−1=−2；⑤当t=0时，g(0)=−1+0=−1；⑥当0<t<1时，−1<t2−1<0，g(t)=0−1=−1；⑦当t=1时，g(1)=0+1=1；⑧当1<t<√2时，0<t2−1<1，g(t)=0+1=1；⑨当t=√2时，g(√2)=1+1=2；故共有4个值−2，−1，1，2；故选：C.令sinx+cosx=t(−√2⩽t⩽√2)，从而化简g(t)=f(x)=[2sinx⋅cosx]+[sinx+ cosx]=[t2−1]+[t]，再分类讨论求值即可．此题主要考查了函数性质，以及新定义的应用，应用了分类讨论的思想方法，属于中档题．5.【答案】C;【解析】因为{−x⩾0x+3≠0，所以x⩽0且x≠−3，所以函数f(x)=√−x+1x+3的定义域为(−∞,−3)∪(−3,0]，故选C.6.【答案】D;【解析】解：∵函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象过点(2π3,−3)，相邻两条对称轴间的距离是π2，∴12×2πω=π2，3sin(ω×2π3+φ)=−3，∴ω=2，sin(4π3+φ)=−1，∴φ=π6，故f(x)=3sin(2x+π6)，故AB正确；∵f(x+π6)=3sin(2x+π2)=cos2x，为偶函数，故C正确；由于f(x+π12)=3sin(2x+π3)，为非奇非偶函数，故D错误，故选：D.由周期求出ω，由特殊点点作图求出φ，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．此题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求函数的解析式，由周期求出ω，由特殊点求出φ，正弦函数的图象和性质，属于中档题．7.【答案】B;【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a1+a4+a7=39，∴a4=13，∵a6=9，∴a4+a6=22，又a4+a6=a1+a9，∴数列{a n}的前9项之和S9=9(a1+a9)2=99故选：B．由等差数列的性质可求得a4，=13，从而有a4+a6=22，由等差数列的前n项和公式即可求得答案．该题考查等差数列的性质，掌握等差数列的性质与前n项和公式是解决问题的关键，属于中档题．8.【答案】C;【解析】解：①∵b//β，∴过b与β相交的直线c//b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立；②在α内作直线c垂直于α，β的交线，∵α⊥β，∴c⊥β，∵a⊥α，∴a⊥c，∵b⊥β，∴b//c，∴a⊥b，故结论成立；③∵b⊥β，α//β，∴b⊥α，∵a⊂α，∴a⊥b，故结论成立；④∵a⊥α，α//β，∴a⊥β，∵b//β，∴过b与β相交的直线c//b，a⊥c，∴a⊥b，故结论成立故选：C．①利用线面平行的性质，可得过b与β相交的直线c//b，若c⊥α，则结论成立，否则不成立；②在α内作直线c垂直于α，β的交线，则可得c⊥β，由a⊥α，可得a⊥c，由b⊥β，可得b//c，从而a⊥b；③由b⊥β，α//β，可得b⊥α，利用线面垂直的性质可得a⊥b；④由a⊥α，α//β，可得a⊥β，由b//β，可得过b与β相交的直线c//b，从而可得结论．此题主要考查空间线面位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9.【答案】B;【解析】解：∵f(x)=2sin 2(ωx +π3)−1=−cos(2ωx +2π3)=sin(2ωx +π6)，∴f(x)的最小正周期为2π2ω=πω.对于①：因为f(x 1)=1，f(x 2)=−1，且|x 1−x 2|min =π， 所以f(x)的最小正周期为 T =2π， ∴πω=2π，∴ω=12.故①错误；对于②：图像变换后所得函数为y =sin(2ωx +ωπ3+π6)，若其图像关于 y 轴对称， 则ωπ3+π6=π2+kπ， k ∈Z ，解得 ω=1+3k ， k ∈Z ，当 k =0时，ω=1∈(0,2).故②正确； 对于③：设t =2ωx +π6，当x ∈[0,2π]时，t =2ωx +π6∈[π6,4ωπ+π6]. f(x)在∈[0,2π]上有7个零点，即y =sint 在t ∈[π6,4ωπ+π6]上有7个零点． 则7π⩽4ωπ+π6<8π，解得4124⩽ω<4724.故③错误； 对于④：由−π2+2kπ⩽2ωx +π6⩽π2+2kπ，k ∈Z ，得−π3ω+kπω⩽x ⩽π6ω+kπω，k ∈Z ，取 k =0，可得−π3ω⩽x ⩽π6ω， 若 f(x)在[−π6,π4]上单调递增，则{−π3ω⩽−π6π6ω⩾π4，解得0<ω⩽23.故④正确．故选：B.把已知函数解析式变形，求得函数的最小正周期为πω.由已知条件可得函数的最小正周期，求得ω值判断①；求出图象变换后的函数解析式，由对称性求得ω值判断②；求出函数的零点，再由已知列关于ω的不等式，求出ω范围判断③；求出函数的增区间，由题意列关于ω的不等式组，求得ω范围判断④．此题主要考查命题的真假判断与应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查逻辑思维能力与运算求解能力，是中档题．10.【答案】C;【解析】解：对于A ：a 0.1<a 0(0<a <1)，故A 不正确， 对于B ：ln 2>≶1=0，故B 不正确， 对于C ：sinα<α，(0<α<π2)恒成立，故C 正确，对于D ：当0<α<π4时，sinα<cosα，当π4<α<π2时，sinα>cosα， 当α=π4时，sinα=cosα，故D 不正确，故选：C ．根据指数函数判断A ，根据对数函数判断B ，根据三角函数判断D ． 该题考查了指数函数，对数函数，三角函数的图象和性质，属于基础题．11.【答案】C;【解析】解：分层抽样适合的总体是总体中个体存在差异的情况， 故选：C.根据分层抽样的适用范围，可得答案．此题主要考查的知识点是抽样方法的适用范围，熟练掌握三种抽样方法的适用范围，是解答的关键．12.【答案】A;【解析】解：过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取BC 的中点P ，连结PF ， 过F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ，连结OQ ，如图所示； ∵ΔADE 和ΔBCF 都是边长为2的等边三角形， ∴OP =12(AB −EF )=1，PF =√3，OQ =12BC =1，∴OF =√PF 2−OP 2=√2，FQ =√OF 2+OQ 2=√3， ∴S 梯形EFBA =S 梯形EFCB =12×(2+4)×√3=3√3， 又S ΔBCF =S ΔADE =√34×22=√3，S 矩形ABCD =4×2=8，∴几何体的表面积为S =2×3√3+2×√3+8=8+8√3． 故选：A ．利用勾股定理求出梯形ABFE 的高，再计算出各个面的面积，从而求得表面积． 该题考查了线面距离的计算问题，也考查了多面体表面积的计算问题，是中档题．13.【答案】D;【解析】此题主要考查互斥事件的概率的性质，属于基础题. 当A ，B 对立时，P(A)+P(B)=1;当A ，B 互斥不对立时，P(A)+P(B)<1.由此即可得到答案. 解：当A ，B 对立时，P(A)+P(B)=1;当A，B互斥不对立时，P(A)+P(B)<1.14.【答案】20162017;【解析】解：模拟执行程序框图，可得其功能是计算并输出S=11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017的值．由于S=11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017=1−12+12−13+⋯+12016−12017=1−12017=20162017．故答案为：20162017．模拟执行程序框图，可得其功能是计算并输出S=11×2+12×3+13×4+⋯+12016×2017的值，用裂项法即可求值得解．此题主要考查了循环结构的程序框图，用裂项法求解是解答该题的关键，属于基础题．15.【答案】0或2;【解析】解：因为2x=6xy，所以xlo g22=xylo g26，则y=1lo g26，同理因为18y=6xy，所以ylo g218=xylo g26，则x=lo g218lo g26，所以x+y=lo g218lo g26+1lo g26=lo g2(18×2)lo g26=lo g262lo g26=2；另当x=0或y=0时则一定有x=y=0，此时x+y=0，故答案为：0或2．考虑x=0和x≠0时的情况，利用对数运算法则即可得到答案该题考查指数幂运算，利用指数幂的运算法则以及对数运算法则进行解答即可，注意不要漏解16.【答案】;【解析】解：要使函数有意义，则x−3>0，即x>3，故函数的定义域为(3,+∞)，故答案为：(3,+∞).根据函数成立的条件，即可求函数的定义域．此题主要考查函数定义域的求法，根据函数成立的条件是解决此类问题的关键．17.【答案】（-1，-2）;【解析】解：根据题意，平行四边形ABCD 中，必有CD →=BA →，又由A(2,−1)，B(3,1)，则BA →=(−1,−2)，则有CD →=(−1,−2)，故答案为：(−1,−2).根据题意，由平行四边形的性质可得CD →=BA →，求出BA →的坐标，即可得答案． 此题主要考查向量的坐标计算，涉及向量的相等，属于基础题．18.【答案】-11≤k≤-1且k≠-6;【解析】解：∵两平行直线2x +y −4=0与y =−2x −k −2的距离不大于√5，即两平行直线2x +y −4=0与2x +y +k +2=0的距离不大于√5，∴k +2≠−4，且√4+1⩽√5，求得−11⩽k ⩽−1且k ≠−6，故答案为：−11⩽k ⩽−1且k ≠−6．根据两条直线平行的条件，两条平行直线间的距离公式，求得k 的取值范围．这道题主要考查两条直线平行的条件，两条平行直线间的距离公式，属于基础题．19.【答案】解：（1）在△ABC 中，由正弦定理a sinA =b sinB ，可得bsinA=asinB ，又由bsinA =acos(B −π6)， 得asinB =acos(B −π6)，即sinB =cos(B −π6)， 进而有sinB =√32cosB +12sinB ，即sinB =√3cosB 可得tanB =√3， 又因为B ∈（0，π），可得B =π3；（2）sin 2A +sin 2B +sin 2C =34+12(1−cos2A +1−cos2C)=74−12(cos2A +cos2C)=74−12[cos2A +cos2(2π3−A)]=74−12(12cos2A −√32sin2A)=74+12sin(2A −π6)， 由题意得{0＜A ＜π2，解得π6＜A ＜π2， 所以π6＜2A −π6＜5π6， 所以12＜sin(2A −π6)≤1，2＜74+12sin(2A −π6)≤94．故si n 2A+si n 2B+si n 2C 的取值范围为(2，94]．; 【解析】(1)由正弦定理与三角恒等变换以及同角三角函数基本关系求解即可；(2)用二倍角公式降幂，然后利用辅助角公式合并，转化为三角函数值域求解即可．此题主要考查的知识要点：正弦定理和三角函数关系式的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．20.【答案】解：设该数列的公差为d，前n项和为S n．由已知可得2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d），所以a1+d=4，d（d-3a1）=0，解得a1=4，d=0或a1=1，d=3，即数列{a n}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3．所以数列的前n项和S n=4n或S n=3n2−n2．;【解析】设该数列的公差为d，前n项和为S n.由已知求出首项与公差，然后求解通项公式．该题考查数列的应用，数列求和公式以及通项公式的应用，考查计算能力．21.【答案】null;【解析】此题主要考查了正弦函数的图像性质的综合应用，属于中档题．(1)先结合两角和差三角函数以及二倍角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；(2)由已知可转化为y=k与y=f(x)的交点问题，然后结合正弦函数的图像性质即可求解．22.【答案】解：（1）由频率分布直方图可得各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12，则这批零件长度的平均值为−x=12.5×0.08+17.5×0.18+22.5×0.4+27.5×0.22+32.5×0.12=23.1．（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，则应从第1组中抽取2个零件，记为A，B；应从第5组中抽取3个零件，记为c，d，e．从这5个零件中随机抽取2个的情况有AB，Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，cd，ce，de，共10种，其中符合条件的情况有Ac，Ad，Ae，Bc，Bd，Be，共6种．故抽取的零件中恰有1个是第1组的概率P=610=35．;【解析】(1)由频率分布直方图能求出这批零件长度的平均值．(2)由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，应从第1组中抽取2个零件，记为A，B；应从第5组中抽取3个零件，记为c，d，e.从这5个零件中随机抽取2个，利用列举法能求出抽取的零件中恰有1个是第1组的概率．该题考查平均值、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23.【答案】(1)证明：因为AA1=A1C=AC=2，所以△AA1C为等边三角形，连接OB，∵O为AC中点，AB=BC，∴AC⊥A1O，AC⊥OB，且A1O∩OB=O，A1O,OB⊂面A1OB，∴AC⊥平面A1OB；(2)解：取BC的中点M，取B1C1的中点N，又O为AC中点，连接MN交BC1于点E，则E为BC1的中点，连接OM，ON，OE，则易知OM//AB，且MN//BB1，因为OM⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以OM//平面ABB1A1，同理可得MN//平面ABB1A1，又OM∩MN=M，OM⊂平面OMN，MN⊂平面OMN，∴平面OMN//平面ABB1A1，又OE⊂平面OMN，∴OE//平面ABB1A1，即OE//平面A1AB，故存在BC1的中点E，满足题意．;【解析】此题主要考查线面垂直的判定定理，面面平行的判定定理，面面平行的性质定理，属于中档题．(1)连接OB，根据题意可得AC⊥A1O，AC⊥OB，再由线面垂直的判定定理即可证明；(2)取BC的中点M，取B1C1的中点N，连接MN交BC1于点E，则E为BC1的中点，再由面面平行的判定定理证明平面OMN//平面ABB1A1，从而得OE//平面ABB1A1，即得OE//平面A1AB.。

人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时同步作业（原卷版）1．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝4，则公差d＝()A．1 B.53C．2D．32．等差数列{a n}中，a1＋a4＝10，a2－a3＝2.则其前n项和S n＝()A．8＋n－n2B．9n－n2C．5n－n2 D.9n－n223．数列{a n}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和S20＝()A．160B．180C．200D．2204．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a3＝()A．17B．29C．23D．355．等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是()A．S7B．S8C．S13D．S156．已知等差数列的公差为－57，其中某连续7项的和为0，则这7项中的第1项是()A．137B．217C ．267D ．3477．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a1d ＝()A.12B ．2C.14D ．48．(高考真题·全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝()A ．5B ．7C ．9D ．119．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝()A ．72B ．54C ．36D ．1810．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n .若A n B n ＝3n －12n ＋3，则a13b 13的值为________．11．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m ＝()A ．38B ．2012．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．13．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．14．在等差数列{a n }中．(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n.15．(高考真题·全国Ⅰ)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m－1＝－2，S m＝0，S m＋1＝3，则m＝()A．3B．4C．5D．616．甲、乙两人分别从相距70m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续每分钟走5m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？1．已知S n，T n分别是等差数列{a n}，{b n}的前n项和，且S nT n＝2n＋14n－2(n∈N*)，则a10b3＋b18＋a11b6＋b15＝________．2．等差数列{a n}的前n项和记为S n，已知a10＝30，a20＝50.(1)求{a n}的通项公式；(2)若S n＝242，求n.人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式第2课时同步作业（解析版）1．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3＝6，a3＝4，则公差d＝()A．1 B.53C．2D．3答案C解析6，解得d＝2.2．等差数列{a n}中，a1＋a4＝10，a2－a3＝2.则其前n项和S n＝()A．8＋n－n2B．9n－n2C．5n－n2 D.9n－n22答案B解析∵a2－a3＝2，∴公差d＝a3－a2＝－2.又a1＋a4＝a1＋(a1＋3d)＝2a1－6＝10，∴a1＝8，∴S n＝9n－n2.3．数列{a n}是等差数列，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列的前20项和S20＝()A．160B．180C．200D．220答案B解析∵{a n}是等差数列，∴a1＋a20＝a2＋a19＝a3＋a18，又a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，∴a1＋a20＋a2＋a19＋a3＋a18＝54.∴3(a1＋a20)＝54，∴a1＋a20＝18，∴S20＝20（a1＋a20）2＝180.4．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为a n，则a3＝()A．17B．29C．23D．35答案B解析依题意{a n}为等差数列，且d＝－3，S9＝9（a1＋a9）2＝9a5＝207，∴a5＝23，∴a3＝a5－2d＝29.故选B.5．等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，当首项a1和d变化时，a2＋a8＋a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是()A．S7B．S8C．S13D．S15答案C解析由已知a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为定值，则S13＝13（a1＋a13）2＝13a7也为定值．故选C.6．已知等差数列的公差为－57，其中某连续7项的和为0，则这7项中的第1项是()A．137B．217C．267D．347答案B解析记某连续7项分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝7a4＝0，∴a4＝0.∴a1＝a4－3d＝0－3＝157，即a1＝217.7．等差数列{a n}中，S10＝4S5，则a1d＝()A.12B．2C.14D ．4答案A8．(高考真题·全国Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝()A ．5B ．7C ．9D ．11答案A解析∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，得3a 3＝3，则a 3＝1，∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5.故选A.9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＝18－a 5，则S 8＝()A ．72B ．54C ．36D ．18答案A10．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n .若A n B n ＝3n －12n ＋3，则a13b 13的值为________．答案745311．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m ＝()A ．38B ．20C ．10D ．9答案C解析由条件得2a m ＝a m －1＋a m ＋1＝a m 2，从而有a m ＝0或2.又由S 2m －1＝a 1＋a 2m －12×(2m －1)＝38且2a m ＝a 1＋a 2m －1，得(2m －1)a m ＝38.故a m ≠0，则有2m －1＝19，m ＝10.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________．答案13解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d)＝2，所以a 4＝13.13．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d.由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2.从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知a n ＝3－2n.所以S n ＝n[1＋（3－2n ）]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35.又k ∈N *，故k ＝7.14．在等差数列{a n }中．(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10；(2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n.解析(1)方法一：由已知条件，得5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，1＝3，＝4.∴S 10＝10×3＋10×9×42＝210.方法二：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50，得d ＝4.由a 4＋a 9＝50，即2a 1＋11d ＝50，得a 1＝3.故S 10＝10×3＋10×9×42＝210.(2)∵S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝42，∴a 4＝6.∴S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （a 4＋a n －3）2＝n （6＋45）2＝510.∴n ＝20.15．(高考真题·全国Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋m （m －1）2×1＝0，∴a 1＝－m －12.又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴－m －12＋m ＝3.∴m ＝5.故选C.16．甲、乙两人分别从相距70m 的两处同时相向运动，甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解析(1)设n 分钟后第1次相遇，依题意，有2n ＋n （n －1）2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0，解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)．第1次相遇是在开始运动后7分钟．(2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有2n ＋n （n －1）2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0.解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)．第2次相遇是在开始运动后15分钟．1．已知S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________．答案4178解析∵S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，且S n T n ＝2n ＋14n －2(n ∈N *)，∴a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 10＋b 11＝S 20T 20＝40＋180－2＝4178.2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求{a n }的通项公式；(2)若S n ＝242，求n.解析(1)∵数列{a n }为等差数列，∴a 20－a 10＝10d.∴d ＝a 20－a 1010＝2.∴a n ＝a 10＋(n －10)d ＝30＋2(n －10)＝2n ＋10.(2)由(1)可得a 1＝12，代入等差数列前n项和公式得S n＝n（a1＋a n）2＝n（12＋2n＋10）2＝n(n＋11)．又S n＝242，∴n(n＋11)＝242，解得n＝11.。

人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n 项和公式第2课时同步作业（原卷版）1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8＝()A ．15B ．16C ．49D ．642．等差数列{a n }中，S 15＝90，则a 8＝()A ．3B ．4C ．6D ．123．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值的整数n 是()A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在4．数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，则由b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n (n ∈N *)所确定的数列{b n }的前n 项和T n ＝()A ．n(n ＋1) B.n （n ＋1）2C.n （n ＋5）2D.n （n ＋7）25．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝()A ．99B ．66C ．33D ．06．等差数列{a n }中共有奇数个项，且该数列的奇数项之和为77，偶数项之和为66，若a 1＝1，则其中间项为()A ．7B ．8C ．11D ．167．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S6S 12＝()A.310B.13C.18D.198．【多选题】等差数列{a n}是递增数列，满足a7＝3a5，前n项和为S n，下列选项正确的是()A．d>0B．a1<0C．当n＝5时S n最小D．S n>0时n的最小值为89．在等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝15，a n＋a n－1＋a n－2＝78，S n＝155，则n＝________．10．首项为正数的等差数列，前n项和为S n，且S3＝S8，当n＝________时，S n取到最大值．11．等差数列{a n}中，前n项和S n＝an2＋(a－1)·n＋(a＋2)，则a n＝()A．－4n＋1B．－2an－1C．－2an＋1D．－4n－112．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝() A．8B．7C．6D．513．(2016·山东)已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1.求数列{b n}的通项公式．14．在等差数列{a n}中，S10＝100，S100＝10.求S110.15．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，且S17＜0，则当S n最大时n的值为()A．16B．8C．9D．1016．记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝3，且数列{S n}也为等差数列，则a11＝________．17．设等差数列的前n项和为S n，已知a3＝12，S12>0，S13<0.(1)求公差d的取值范围；(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n 项和公式第2课时同步作业（解析版）1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8＝()A ．15B ．16C ．49D ．64答案A解析a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15.2．等差数列{a n }中，S 15＝90，则a 8＝()A ．3B ．4C ．6D ．12答案C解析∵S 15＝15a 8＝90,∴a 8＝6.3．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d ＜0，则使前n 项和S n 取得最大值的整数n 是()A ．4或5B ．5或6C ．6或7D ．不存在答案B解析∵d ＜0，∴a 3＝－a 9，∴a 3＋a 9＝0.又a 3＋a 9＝2a 6,∴a 6＝0.又d ＜0，∴S 5或S 6最大．4．数列{a n }的通项a n ＝2n ＋1，则由b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n (n ∈N *)所确定的数列{b n }的前n 项和T n ＝()A ．n(n ＋1) B.n （n ＋1）2C.n （n ＋5）2D.n （n ＋7）2答案C 解析∵b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝a 1＋a n 2＝3＋2n ＋12＝n ＋2，∴{b n }为等差数列．∴{b n }的前n 项和T n ＝n （3＋n ＋2）2＝n （n ＋5）2.5．已知等差数列{a n }的公差为1，且a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 96＋a 99＝()A ．99B ．66C ．33D ．0答案B解析由a 1＋a 2＋…＋a 98＋a 99＝99，得99a 1＋99×982＝99.∴a 1＝－48，∴a 3＝a 1＋2d ＝－46.又∵{a 3n }是以a 3为首项，以3为公差的等差数列，∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝33a 3＋33×322×3＝33(48－46)＝66.6．等差数列{a n }中共有奇数个项，且该数列的奇数项之和为77，偶数项之和为66，若a 1＝1，则其中间项为()A ．7B ．8C ．11D ．16答案C7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S6S 12＝()A.310B.13C.18D.19答案A解析据等差数列前n 项和性质可知：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9仍成等差数列，设S 3＝k ，则S 6＝3k ，S 6－S 3＝2k ，∴S 9－S 6＝3k ，S 12－S 9＝4k ，∴S 9＝S 6＋3k ＝6k ，S 12＝S 9＋4k ＝10k ，∴S 6S 12＝3k 10k ＝310.8．【多选题】等差数列{a n }是递增数列，满足a 7＝3a 5，前n 项和为S n ，下列选项正确的是()A ．d>0B ．a 1<0C ．当n ＝5时S n 最小D ．S n >0时n 的最小值为8答案ABD解析由题意，设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 7＝3a 5，可得a 1＋6d ＝3(a 1＋4d)，解得a 1＝－3d ，又由等差数列{a n }是递增数列，可知d>0，则a 1<0，故A 、B 正确；因为S n ＝d 2n 21＝d 2n 2－7d2n ，由n＝－－7d2nd＝72可知，当n＝3或4时S n最小，故C错误，令S n＝d2n2－7d2n>0，解得n<0或n>7，即S n>0时n的最小值为8，故D正确．故选ABD.9．在等差数列{a n}中，a1＋a2＋a3＝15，a n＋a n－1＋a n－2＝78，S n＝155，则n＝________．答案10解析1＋a2＋a3＝15，n＋a n－1＋a n－2＝78，可得3(a1＋a n)＝93.∴a1＋a n＝31.又S n＝n（a1＋a n）2，∴155＝31n2，∴n＝10.10．首项为正数的等差数列，前n项和为S n，且S3＝S8，当n＝________时，S n取到最大值．答案5或611．等差数列{a n}中，前n项和S n＝an2＋(a－1)·n＋(a＋2)，则a n＝()A．－4n＋1B．－2an－1C．－2an＋1D．－4n－1答案D解析∵{a n}为等差数列，且S n＝an2＋(a－1)·n＋(a＋2)，∴a＋2＝0，a＝－2，∴S n＝－2n2－3n.∴a n＝－4n－1.12．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝() A．8B．7C．6D．5答案D解析∵S k＋2－S k＝a k＋1＋a k＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.13．(2016·山东)已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1.求数列{b n}的通项公式．解析由题意知当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝6n＋5，当n＝1时，a1＝S1＝11，满足上式，所以a n＝6n＋5.设数列{b n}的公差为d，1＝b 1＋b 2，2＝b 2＋b 3，＝2b 1＋d ，＝2b 1＋3d ，可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.14．在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10.求S 110.解析(基本量法)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d，则1＋10（10－1）2d ＝100，1＋100（100－1）2d ＝10，1＝1099100，＝－1150.∴S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝110×1099100＋110×1092×110.15．已知等差数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若S 16＞0，且S 17＜0，则当S n 最大时n 的值为()A ．16B ．8C ．9D ．10答案B 解析S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 8＋a 9)＞0，S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17a 9＜0，∴a 8＞0且d ＜0，∴S 8最大．16．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝3，且数列{S n }也为等差数列，则a 11＝________．答案63解析可设S n ＝An 2＋Bn ＝an ＋b ，平方比较系数得，b ＝0，B ＝0，故S n ＝An 2，结合S 1＝a 1＝3，得S n ＝3n 2，则a 11＝S 11－S 10＝63.17．设等差数列的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．解析(1)12＝12a 1＋12×112d>0，13＝13a 1＋13×122d<0，1＋11d>0，①1＋6d<0.②由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③将③分别代入①＋7d>0，＋d<0，解得－247<d<－3.(2)S 6的值最大，理由如下：由d<0可知数列{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大．由S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．。

第四章数列 4.2 等差数列一、选择题（共40小题；共200分）1. 等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=11，S12=186，则a8=( )A. 18B. 20C. 21D. 222. 在等差数列{a n}中，已知a4+a8=16，则该数列的前11项和S11=( )A. 58B. 88C. 143D. 1763. 等差数列{a n}中，已知a1=13，a2+a5=4，a n=33，则n为( )A. 48B. 49C. 50D. 514. 设{a n}是等差数列，a1+a3+a5=9，a6=9，则这个数列的前6项和等于( )A. 12B. 24C. 36D. 485. 设{a n}是首项为a1，公差为−1的等差数列，S n为其前n项和，若S1,S2,S4成等比数列，则a1=( )A. 2B. −2C. 12D. −126. 已知数列{a n}，那么"对任意的n∈N∗，点P n(n,a n)都在直线y=2x+1上"是" {a n}为等差数列"的( )A. 必要而不充分条件B. 充分而不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在等差数列{a n}中，a1=1，a4+a7=20，其前n项和S n=100，则n等于( )A. 9B. 10C. 11D. 128. 已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，则a20等于( )A. 1B. −1C. 3D. 79. 已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n．若a3，a4，a8成等比数列，则( )A. a1d>0，dS4>0B. a1d<0，dS4<0C. a1d>0，dS4<0D. a1d<0，dS4>010. 设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S5=7a4，则3S7a3=( )A. 15B. 17C. 19D. 2111. 不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a，b的等比中项，y是b，c的等比中项，则x2，b2，y2三数( )A. 成等比数列而不成等差数列B. 成等差数列而不成等比数列C. 既成等差数列又成等比数列D. 既不成等差数列又不成等比数列12. 设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=( )A. 2B. 4C. 6D. 813. 设{a n}是等差数列．下列结论中正确的是( )A. 若a1+a2>0，则a2+a3>0B. 若a1+a3<0，则a1+a2<0C. 若0<a1<a2，则a2>√a1a3D. 若a1<0，则(a2−a1)(a2−a3)>014. 已知等差数列1、m、n，等比数列3、m+2、n+5，则该等差数列的公差为( )A. −3B. 3C. 3或−1D. 3或−315. 已知等差数列{a n}前n项和为S n．a5=5，S5=15，则数列{1a n a n+1}的前100项和为( )A. 100101B. 99101C. 99100D. 10110016. 将正奇数1，3，5，7，⋯排成五列（如下表），按此表的排列规律，2017所在的位置是( )A. 第一列B. 第二列C. 第三列D. 第四列17. 数列{a n}为等差数列，满足a2+a4+a6+⋯+a20=10，则数列{a n}前21项的和等于( )A. 212B. 21C. 42D. 8418. 等差数列{a n}的前项和为S n，若6a3+2a4−3a2=5，则S7=( )A. 28B. 21C. 14D. 719. 已知等差数列{a n}中，a7+a9=16，S11=992，则a12的值是( )A. 15B. 30C. 31D. 6420. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1=−2016，S20162016−S20102010=6，则S2014等于( )A. 2013B. −6042C. −4026D. 402621. 在等差数列{a n}中，若前10项的和S10=60，且a7=7，则a4=( )A. 4B. −4C. 5D. −522. 如图为某算法的程序框图，该算法的程序运行后输出的结果为299，则实数M的取值范围是( )A. 296<M <299B. 296≤M <299C. 296<M ≤299D. 296≤M ≤29923. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，如果 a ，b ，c 三边成等差数列，B =30∘，△ABC 的面积为 32，那么 b = ( )A.1+√32B. 1+√3C.2+√32D. 2+√324. 若数列 {a n } 满足1a n+1−1a n=d （n ∈N ∗，d 为常数），则称数列 {a n } 为调和数列．已知数列{1x n} 为调和数列，且 x 1+x 2+⋯+x 20=200，则 x 5+x 16= ( ) A. 10B. 20C. 30D. 4025. 已知正项数列 {a n } 的前 n 项的乘积等于 T n =(14)n 2−6n(n ∈N ∗)，b n =log 2a n ，则数列 {b n } 的前 n 项和 S n 中最大值是 ( ) A. S 6 B. S 5C. S 4D. S 326. 数列 {a n } 的首项为 3，{b n } 为等差数列，且 b n =a n+1−a n (n ∈N ∗)．若则 b 2=−4，b 5=2，则 a 8= ( ) A. 0B. 3C. 8D. 1127. 已知等比数列 {a n } 的首项为 1，若 4a 1，2a 2，a 3 成等差数列，则数列 {1a n} 的前 5 项和为( ) A. 3116B. 2C. 3316D. 163328. 已知函数 f (x )={2x −1,x ≤0f (x −1)+1,x >0把函数 g (x )=f (x )−x 的零点按照从小到大的顺序排成一个数列 {a n }，则该数列的通项公式为 ( ) A. a n =n (n−1)2(n ∈N ∗)B. a n =n (n −1)(n ∈N ∗)C. a n =n −1(n ∈N ∗)D. a n =2n −2(n ∈N ∗)29. 已知方程 (x 2−2x +m)(x 2−2x +n)=0 的四个根组成的一个首项为 14 的等差数列，则 ∣m −n ∣= ( )A. 1B. 34C. 12D. 3830. 若等差数列{a n}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7=( )A. 12B. 13C. 14D. 1531. 已知数列{a n}、{b n}都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1，且a1+b1=5，a1,b1∈N∗．设c n=a bn（n∈N∗），则数列{c n}的前10项和等于( )A. 55B. 70C. 85D. 10032. 已知{a n}为等差数列，其公差为−2，且a7是a3与a9的等比中项，S n为{a n}的前n项和，n∈N∗，则S10的值为( )A. −110B. −90C. 90D. 11033. 观察下列事实：∣x∣+∣y∣=1的不同整数解(x,y)的个数为4,∣x∣+∣y∣=2的不同整数解(x,y)的个数为8，∣x∣+∣y∣=3的不同整数解(x,y)的个数为12,⋯，则∣x∣+∣y∣= 20的不同整数解(x,y)的个数为( )A. 76B. 80C. 86D. 9234. 在等差数列{a n}中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，则数列{a n}的前9项和S9=( )A. −11B. 13C. 45D. 11735. 设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是( )A. 若a1+a2>0，则a2+a3>0B. 若a1+a3<0，则a1+a2<0C. 若0<a1<a2，则a2>√a1a3D. 若a1<0，则(a2−a1)(a2−a3)>036. 某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始"不满意度"均为0，乘客每向下步行1层的"不满意度"增量为1，每向上步行1层的"不满意度"增量为2，10人的"不满意度"之和记为S，则S的最小值是( )A. 42B. 41C. 40D. 3937. 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A. (1)和(20)B. (9)和(10)C. (9)和(11)D. (10)和(11)38. 设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则下列命题错误的是( )A. 若d<0，则数列{S n}有最大项B. 若数列{S n}有最大项，则d<0C. 若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N∗，均有S n>0D. 若对任意n∈N∗，均有S n>0，则数列{S n}是递增数列39. 若a，b是函数f(x)=x2−px+q（p>0，q>0）的两个不同的零点，且a，b，−2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于( )A. 6B. 7C. 8D. 940. 设函数f(x)=2x−cosx，{a n}是公差为π8的等差数列，f(a1)+f(a2)+⋯+f(a5)=5π，则[f(a3)]2−a1a5=( )A. 0B. 116π2 C. 18π2 D. 1316π2二、填空题（共40小题；共200分）41. 等差数列{a n}满足3a8=5a13，a1>0，则使数列前n项和S n最大的n是．42. 已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和．若a1+a3+a5+a7=−4，S8=−16，则公差d=；数列{a n}的前项和最大．43. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7=．44. 已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，n∈N∗，若a3=16，S20=20，则S10的值为．45. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．46. 等差数列{a n}中，a1=2，公差不为零，且a1，a3，a11恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于．47. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3+a8=3，S3=1，则通项公式为a n=．48. 在△ABC中，三边a，b，c成等比数列，a2，b2，c2成等差数列，则三边a，b，c的关系为．49. 在数列{a n}中，a1=1，a n+2+(−1)n a n=2，记S n是数列{a n}的前n项和，则S60=．50. 观察数表：1234⋯第一行2345⋯第二行3456⋯第三行4567⋯第四行⋯第一列第二列第三列第四列根据数表中所反映的规律，第n+1行与第m列的交叉点上的数应该是．51. 将正整数排成下表：12345678910111213141516则数表中的2008出现在第行．52. 已知各项均为正数的等比数列{a n}中，3a1，12a3，2a2成等差数列，则a11+a13a8+a10=．53. 两个正数a，b的等差中项是92，一个等比中项是2√5，且a>b，则椭圆x2a2+y2b2=1的焦点坐标为．54. 已知实数a,b>0，a，b的等差中项为12，设m=a+1a，n=b+1b，则m+n的最小值为．55. 已知数列{a n}的前n项和为S n=n2−9n，第k项满足5<a k<8，则k=．56. 等差数列{a n}中，公差d=2，且a1+a2+⋯+a100=200，则a5+a10+a15+⋯+a100=．57. 设等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n若对任意自然数n都有S nT n =2n−34n−3，则a9b5+b7+a3b8+b4的值为．58. 已知向量序列：a1⃗⃗⃗⃗ ，a2⃗⃗⃗⃗ ，a3⃗⃗⃗⃗ ，⋯，a n⃗⃗⃗⃗ ，⋯满足如下条件：∣a1⃗⃗⃗⃗ ∣=4∣∣d∣∣=2，2a1⃗⃗⃗⃗ ⋅d=−1且a n⃗⃗⃗⃗ −a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d（n=2,3,4,⋯）．若a1⃗⃗⃗⃗ ⋅a k⃗⃗⃗⃗ =0，则k=；∣a1⃗⃗⃗⃗ ∣，∣a2⃗⃗⃗⃗ ∣，∣a3⃗⃗⃗⃗ ∣，⋯，∣a n⃗⃗⃗⃗ ∣，⋯中第项最小．59. 已知{a n}，{b n}都为等差数列，其前n项和分别为A n，B n，且A nB n =7n+45n+3，则使得a nb n为整数的正整数n的个数是．60. 在等差数列{a n}中，若a n+a n+2=4n+6(n∈N∗)，则该数列的通项公式a n=．61. 设S n是数列{a n}的前n项和，且a1=−1，a n+1=S n S n+1，则S n=．62. 已知等差数列{a n}中，a4+a6=10，前5项和S5=5，则其公差为63. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，S5=3(a2+a8)，则a5a3的值为．64. 若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0，a7+a10<0，则当n=时，{a n}的前n项和最大．65. 在数列{a n}中，a1=1，a2=2，且a n+2−a n=1+(−1)n(n∈N∗)，则S100=．66. 记等差数列{a n}的前n项和为S n．若S k−1=8，S k=0，S k+1=−10，则正整数k=．67. 在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取最大值，则d的取值范围．68. 已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a2:a4=7:6，则S7:S3等于．69. 等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为．70. 设数列{a n}的前n项和为S n，令T n=S1+S2+⋯+S nn，称T n为数列a1,a2,⋯,a n的"理想数"，已知数列a1,a2,⋯,a100的"理想数"为101，那么数列2,a1,a2,⋯,a100的"理想数"为．71. 已知等差数列{a n}的首项为4，公差为2，前n项和为S n．若S k−a k+5=44(k∈N∗)，则k的值为．72. 等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=0,S15=25，则nS n的最小值为．73. 已知6，a，b，48成等差数列，6，c，d，48成等比数列，则a+b+c+d的值为．74. 记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且数列{√S n}也为等差数列，则a13的值为．75. 在等差数列{a n}中，a1=7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=8时S n取最大值，则d的取值范围为．76. 若数列{a n}是正项数列，且√a1+√a2+⋯+√a n=n2+3n(n∈N∗)，则a12+a23+⋯+a nn+1=．77. 已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且A nB n =7n+45n+3，则使得a nb n为整数的正整数n的个数是．78. 在等差数列{a n}中，已知首项a1>0，公差d>0．若a1+a2≤60，a2+a3≤100，则5a1+a5的最大值为．79. 记数列{a n}的前n项和为S n，若不等式a n2+S n2n2≥2ma12对任意等差数列{a n}及任意正整数n 都成立，则实数m的范围为．80. 若a，b是函数f(x)=x2−px+q（p>0，q>0）的两个不同的零点，且a，b，−2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于．三、解答题（共20小题；共260分）81. 已知等差数列{a n}中，a2=1，a5=7，（1）求{a n}的通项公式a n；（2）求{a n}的前n项和S n．82. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若1a+b +1b+c=3a+b+c，求证：A，B，C成等差数列．83. 已知各项均不相等的等差数列{a n}的前四项和为S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求{a n}的通项公式；（2）设T n为数列{1a n a n+1}的前n项和，若 ∀n∈N∗使T n≥λ恒成立，求实数λ的最大值．84. 已知{a n}是等比数列，前n项和为S n(n∈N∗)，且1a1−1a2=2a3，S6=63．（1）求{a n}的通项公式；（2）若对任意的n∈N∗，b n是log2a n和log2a n+1的等差中项，求数列{(−1)n b n2}的前2n项和．85. 设{a n}是等差数列，其前n项和为S n(n∈N∗)，{b n}是等比数列，公比大于0，其前n项和为T n(n∈N∗)．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6．（1）求S n和T n；（2）若S n+(T1+T2+⋯+T n)=a n+4b n，求正整数n的值．86. 已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{1a n⋅a n+1}的前n项和为n2n+1，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=(a n+1)⋅2a n，求数列{b n}的前n项和T n．87. 已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n+1．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令 c n =(a n +1)n+1(b n +2)n，求数列 {c n } 的前 n 项和 T n ．88. 已知 {a n } 是各项均为正数的等差数列，公差为 d ，对任意的 n ∈N ∗，b n 是 a n 和 a n+1 的等比中项．（1）设 c n =b n+12−b n 2，n ∈N ∗，求证：数列 {c n } 是等差数列； （2）设 a 1=d ，T n =∑(−1)k 2n k=1b k 2，n ∈N ∗，求证：∑1T kn k=1<12d 2．89. 已知 {a n } 是等比数列，前 n 项和为 S n (n ∈N ∗)，且1a 1−1a 2=2a 3，S 6=63．（1）求数列 {a n } 的通项公式；（2）若对任意的 n ∈N ∗，b n 是 log 2a n 和 log 2a n+1 的等差中项，求数列 {(−1)n b n 2} 的前 2n 项和．90. 已知 {a n } 为等差数列，前 n 项和为 S n (n ∈N +)，{b n } 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b 2+b 3=12，b 3=a 4−2a 1，S 11=11b 4． （1）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（2）求数列 {a 2n b 2n−1} 的前 n 项和 (n ∈N +)．91. 已知 {a n } 为等差数列，前 n 项和为 S n (n ∈N ∗)，{b n } 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0，b 2+b 3=12，b 3=a 4−2a 1，S 11=11b 4． （1）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（2）求数列 {a 2n b n } 的前 n 项和 (n ∈N ∗)．92. 在等差数列 {a n } 中，a 1=3，其前 n 项和为 S n ，等比数列 {b n } 的各项均为正数，b 1=1，公比为 q ，且 b 2+S 2=12，q =S2b 2．（1）求 a n 与 b n ； （2）设数列 {c n } 满足 c n =1S n，求 {c n } 的前 n 项和 T n ．93. 在等差数列 {a n } 中，a 1=1，前 n 项和 S n 满足条件 S 2S 1=4．（1）求数列 {a n } 的通项公式和 S n ；（2）记 b n =a n ⋅2n−1，求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ．94. 在等差数列 a n 中，已知 a 1+a 4+a 7=9，a 3+a 6+a 9=21．（1）求数列 a n 的通项 a n ； （2）求数列 a n 的前 9 项和 S 9；（3）若 c n =2a n +3，求数列 c n 的前 n 项和 T n ．95. 设 {a n } 是一个公差为 d (d ≠0) 的等差数列，它的前 10 项和 S 10=110 且 a 1 ， a 2 ， a 4 成等比数列．（1）证明 a 1=d ；（2）求公差 d 的值和数列 {a n } 的通项公式．96. 设 {a n } 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 S n (n ∈N ∗)，{b n } 是等差数列．已知 a 1=1，a 3=a 2+2，a 4=b 3+b 5，a 5=b 4+2b 6． （1）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（2）设数列 {S n } 的前 n 项和为 T n (n ∈N ∗)．（i ）求 T n ；（ii ）证明 ∑(T k +b k+2)b k(k+1)(k+2)n k=1=2n+2n+2−2(n ∈N ∗)．97. 已知数列 {a n } 与 {b n } 满足 a n+1−a n =2(b n+1−b n )，n ∈N ∗．（1）若 b n =3n +5，且 a 1=1，求数列 {a n } 的通项公式；（2）设 {a n } 的第 n 0 项是最大项，即 a n 0≥a n (n ∈N ∗)，求证：数列 {b n } 的第 n 0 项是最大项； （3）设 a 1=λ<0，b n =λn (n ∈N ∗)，求 λ 的取值范围，使得 {a n } 有最大值 M 与最小值 m ，且 Mm ∈(−2,2)．98. （1）等差数列 {a n } 的前 n 项和是 S n ，已知 a m−1+a m+1−a m 2=0，S 2m−1=38，求 m ；（2）设等差数列 {a n } 的前 n 项和是 S n ，若 S 3=9，S 6=36，求 a 7+a 8+a 9；（3）若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，求这个数列的项数；（4）已知数列 {a n } 的通项公式是 a n =4n −25，求数列 {∣ a n ∣} 的前 n 项和并说出判断数列是等差数列的基本方法．99. 已知数列 {a n } 满足 a n+2=qa n （q 为实数，且 q ≠1），n ∈N ∗，a 1=1，a 2=2，且 a 2+a 3，a 3+a 4，a 4+a 5 成等差数列． （1）求 q 的值和 {a n } 的通项公式； （2）设b n =log 2a 2n a 2n−1，n ∈N ∗，求数列 {b n } 的前 n 项和．100. 在数列 {a n } 中，a 1=2，a n+1=λa n +λn+1+(2−λ)2n (n ∈N ∗)，其中 λ>0．（1）求数列 {a n } 的通项公式； （2）求数列 {a n } 的前 n 项和 S n ； （3）证明存在 k ∈N ∗，使得a n+1a n≤a k+1a k对任意 n ∈N ∗ 均成立．答案第一部分 1. B 2. B 3. C 4. B 5. D【解析】解析：由题意知=S_{1}·S_{4}，则（a_{1}+a_{1}-1）^2=a_{1}（4a_{1}-6），解得a_{1}=-．故选D ． 答案：D 6. B 7. B 8. A9. B【解析】因为 {a n } 为等差数列，且 a 3，a 4，a 8 成等比数列，所以 (a 1+3d )2=(a 1+2d )(a 1+7d )⇒a 1=−53d ， 所以 S 4=2(a 1+a 4)=2(a 1+a 1+3d )=−23d ， 所以 a 1d =−53d 2<0，dS 4=−23d 2<0．10. A【解析】由 5a 1+5×42d =7(a 1+3d )，解得，2a 1+11d =0，所以3S 7a 3=3(7a 1+7×62d)a 1+2d=1511. B 【解析】由已知条件，可得 {a +c =2b, ⋯⋯①x 2=2b, ⋯⋯②y 2=bc. ⋯⋯③由②③得 {a =x 2b ,c =y 2b.代入①，得 x 2b +y 2b+=2b ， 即 x 2+y 2=2b 2，故 x 2，b 2，y 2 成等差数列（ x 2，b 2，y 2 不成等比数列）． 12. B 【解析】因为 a k 是 a 1 与 a 2k 的等比中项，则 a k 2=a 1⋅a 2k ，[9d +(k −1)d ]2=9d ⋅[9d +(2k −1)d ]，又 d ≠0，则 k 2−2k −8=0，解得 k =4 或 k =−2（舍去）． 13. C 【解析】因为 {a n } 为等差数列， 所以 2a 2=a 1+a 3．当 a 2>a 1>0 时，得公差 d >0， 所以 a 3>0，所以 a 1+a 3>2√a 1a 3，所以 2a 2>2√a 1a 3，即 a 2>√a 1a 3．14. B 【解析】由题意 {2m =1+n,(m +2)2=3(n +5), 解得 {m =4,n =7, 或 {m =−2,n =−5. 因为等比数列的项不能为零，故 m ≠−2．所以公差为3．15. A【解析】由a5=5，S5=15，得a1=1，d=1，所以a n=1+(n−1)=n，所以1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1．S n=1a1a2+⋯+1a100a101=(11−12)+(12−13)+⋯+(1100−1101)=1−1101=100101．16. B17. B 【解析】由a2+a4+⋯+a20=10，得5(a2+a20)=10，即10a11=10，a11=1．又S21=21a11，所以S21=21．18. D 【解析】因为6a3+2a4−3a2=5，所以6(a1+2d)+2(a1+3d)−3(a1+d)=5，所以a1+3d=1，即a4=1．又S7=7a4，所以S7=7．19. A 【解析】等差数列{a n}中，因为a7+a9=16=2a8，所以a8=8．所以S11=992=11(a1+a11)2=11a6，所以a6=92．设公差等于d，则有8=92+2d，故d=74．所以a12=a8+4d=15．20. B【解析】因为S n是等差数列{a n}的前n项和，所以数列{S nn}是等差数列．因为a1=−2016，S20162016−S20102010=6，所以公差d=66=1，首项为−2016，所以S20142014=−2016+2014−1=−3，所以S2014=−6042．21. C 【解析】S10=10(a1+a10)2=10(a4+a7)2=60，a4=5．22. B 【解析】该程序表达的是以−1为首项，公差为3的等差数列，若输出a=299，则a上一步为a=296，所以296≤M<299．23. B 【解析】由题意a+c=2b，cos30∘=a2+c2−b22ac ，32=12a⋅csin30∘，所以ac=6，a2+c2=(a+c)2−2ac=4b2−12，解得b2=4+2√3，所以b=√3+1．24. B 【解析】由题意知：因为数列{1x n}为调和数列，所以11x n+1−11x n=x n+1−x n=d，所以 {x n } 是等差数列，又因为 x 1+x 2+⋯+x 20=200=20(x 1+x 20)2，所以 x 1+x 20=20， 又因为 x 1+x 20=x 5+x 16， 所以 x 5+x 16=20． 25. D【解析】因为 a n =T nT n−1=(14)2n−7，所以 b n =−4n +14 .26. B27. A 【解析】由题意 2×2q =4+q 2， 所以 q =2， 所以 a n =2n−1． 因为 {a n } 为等比数列， 所以 {1a n } 也为等比数列，且 1a 1=1，qʹ=12，所以 S 5=1[1−(12)5]1−12=3116．28. C 29. C 30. B【解析】设公差为 d ，首项为 a 1，则 {a 1+d =3,5a 1+5×42d =25,所以 {a 1=1,d =2, 所以 a 7=13． 31. C32. D 【解析】由 a 72=a 3⋅a 9，d =−2，得(a 1−12)2=(a 1−4)(a 1−16),解得 a 1=20，从而S 10=10×20+10×92(−2)=110.33. B34. C 【解析】设等差数列 {a n } 的公差为 d ， 因为 a 1+a 4+a 7=9，a 3+a 6+a 9=21，所以 {3a 1+9d =9,3a 1+15d =21, 解得 d =2，a 1=−3．所以 S 9=9×(−3)+9×82×2=45．35. C【解析】数列 {a n } 是等差数列，如数列 3,1,−1,−3,⋯，满足 a 1+a 2>0，则 a 2+a 3=0；如数列 2,−1,−4,−7,⋯，满足 a 1+a 3<0，则 a 1+a 2>0；所以A ，B 不正确；对于等差数列 (a 2−a 1)(a 2−a 3)=−d 2≤0，所以D 不正确；等差数列若 0<a 1<a 2，则数列 {a n } 是单调递增数列，有 2a 2=a 1+a 3>2√a 1a 3，所以C 正确．36. C 【解析】设在第 x 层停电梯时乘客的“不满意度”之和 S 最小，则向下走的人数有 x −2 人，向上走的人数有 12−x 人，所以S=1+2+3+⋯+(x −2)+2(1+2+3+⋯+12−x )=(1+x −2)(x −2)2+2×(1+12−x )(12−x )2=3x 22−53x 2+157,当 x =9 时，S 最小，最小值为 40．37. D 【解析】提示：设放在第 n 个坑时取走树苗的路程之和为 S n ，则 S n =10(n 2−21n +210)，当 n =10 或 11 时，S n 取最小值． 38. C 【解析】因为 S n =na 1+n (n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n ，所以A ，B 均正确．若 S n >0 对任意 n 成立，则 a n >0，即 S n −S n−1=a n >0，故 D 正确． 选项 C 显然是错的，举出反例：若数列 {a n } 为 −1，0，1，2，3，⋯． 满足数列 {S n } 是递增数列，但是 S n >0 不恒成立． 39. D 【解析】由已知得 a +b =p ，ab =q ， ∵ p >0,q >0，∴ a >0,b >0．又 a ，b ，−2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， ∴ {2b =a −2ab =4 ⋯⋯① 或 {2a =b −2ab =4 ⋯⋯②解①得 {a =4b =1;解②得 {a =1b =4.∴ p =a +b =5，q =1×4=4． 40. D【解析】因为 {a n } 是公差为 π8 的等差数列，当 a 3=π2 时，a 1=π2−π4，a 2=π2−π8，a 4=π2+π8，a 5=π2+π4，所以 2(a 1+a 2+a 3+a 4+a 5)=5π，cosa 1+cosa 5=cosa 2+cosa 4=cosa 3=0，所以 f (a 1)+f (a 2)+f (a 3)+f (a 4)+f (a 5)=5π，又 fʹ(x )=2+sinx 是单调递增函数，所以 a 3=π2 是满足条件的唯一值． 第二部分 41. 20 42. −2，3【解析】因为 a 1+a 3+a 5+a 7=−4， 所以 a 2+a 4+a 6+a 8=−4+4d ， 所以 S 8=−4+(−4+4d )=−16， 所以 d =−2．又 a 1+a 3+a 5+a 7=4a 1+12d ，所以a1=5，所以等差数列{a n}的通项公式为a n=5−2(n−1)=7−2n．令a n=7−2n≤0，可得n≥72，所以等差数列{a n}的前3项为正数，从第4项起为负数，所以数列{a n}的前3项和最大．43. 49【解析】S7=7(a1+a7)2=7(a2+a6)2=49．44. 110【解析】首项a1=20，公差d=−2．45. 5【解析】提示：设数列的首项为a1，则a1+2015=2×1010．46. 4【解析】公差d=3．47. n−13【解析】设等差数列的公差为d，则a3+a8=2a1+9d=3，S3=3a1+3d=1，解得a1=0，d=13，所以数列的通项公式为a n=a1+(n−1)×d=n−13．48. a=b=c【解析】由题意知，b2=ac，a2+c2=2b2，所以a2+c2=2ac，所以a=c，又b2=ac，所以a=b=c．49. 930【解析】因为a n+2+(−1)n a n=2，所以当n为奇数时，a n+2−a n=2，即数列{a n}的奇数项构成一个首项为1，公差为2的等差数列，当n为偶数时，a n+2+a n=2．所以S60=(a1+a3+a5+⋯+a59)+(a2+a4+a6+⋯+a60)=30+30×292×2+2×15=930.50. m+n【解析】由数表看出，第n+1行的第一个数为n+1，且每一行中的数构成以1为公差的等差数列，则第n+1行与第m列的交叉点上的数应该是a(n+1,m)=n+1+1×(m−1)=m+n．51. 45【解析】由表可知：第1行1个数；第2行3个数；第3行5个数；⋯所以第n行2n−1个数．所以不妨令n(1+2n−1)2≥2008，解得n≥45，所以应为第45行．52. 27【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由3a1，12a3，2a2成等差数列，可得a3=3a1+2a2，所以a1q2=3a1+2a1q，即q2=3+2q．解得q=3，或q=−1（舍去）．所以a11+a13a8+a10=(a8+a10)q3a8+a10=q3=27．53. (3,0)，(−3,0)54. 555. 8【解析】因为数列{a n}的前n项和为S n=n2−9n，所以数列{a n}是等差数列，所以a n=2n−10(n∈N∗)，所以{a n}是以−8为首项，2为公差的等差数列．要满足5<a k<8，只需5<2k−10<8，即152<k<9，而k为正整数，所以k=8．56. 120【解析】由题意可知100a1+100×992×2=200，解得a1=−97由等差数列的性质可知a5,a10,a15,⋯,a100仍成等差数列，且首项为a5=a1+4d=−89，公差为5d=10，共20项，所以a5+a10+a15+⋯+a100=20a5+20(20−1)2×5d=20×(−89)+20×192×10=12057. 1941【解析】由等差数列的性质和求和公式可得：a9 b5+b7+a3b8+b4=a9b1+b11+a3b1+b11=a9+a3b1+b11=a1+a11b1+b11=11(a1+a11)211(b1+b11)2=S11T11=2×11−34×11−3=194158. 9，3【解析】由∣a1⃗⃗⃗⃗ ∣=4∣∣d∣∣=2，得∣a1⃗⃗⃗⃗ ∣=2，∣∣d∣∣=12，又2a1⃗⃗⃗⃗ ⋅d=−1，所以⟨a1⃗⃗⃗⃗ ,d⟩=120∘．根据题意作出下图，可得k=9，第三项∣a3⃗⃗⃗⃗ ∣最小．其他解法：由题意得 a k ⃗⃗⃗⃗ =a 1⃗⃗⃗⃗ +(k −1)d ，因为 a 1⃗⃗⃗⃗ ⋅a k ⃗⃗⃗⃗ =0，所以 a 1⃗⃗⃗⃗ ⋅a 1⃗⃗⃗⃗ +(k −1)d ⋅a 1⃗⃗⃗⃗ =0，又因为 ∣a 1⃗⃗⃗⃗ ∣=2，2a 1⃗⃗⃗⃗ ⋅d =−1，所以 k =9；因为 a n ⃗⃗⃗⃗ =a 1⃗⃗⃗⃗ +(n −1)d ，所以∣a n ⃗⃗⃗⃗ ∣2=∣a 1⃗⃗⃗⃗ ∣2+2(n −1)a 1⃗⃗⃗⃗ ⋅d +(n −1)2∣∣d ∣∣2=14n 2−32n +214, 当 n =3 时，∣a n ⃗⃗⃗⃗ ∣ 最大． 59. 5【解析】因为 a n b n=A 2n−1B 2n−1=7×(2n−1)+452n−1+3=7n+19n+1=7+12n+1 ，所以当 n =1,2,3,5,11 时，an b n为整数． 60. 2n +1【解析】设首项为 a 1，公差为 d ．则 a n +a n+2=2a 1+2nd =4n +6．可知 a 1=3，d =2．所以 a n =2n +1． 61. −1n【解析】由 a n+1=S n S n−1 得，S n+1−S n =S n S n+1， 所以1S n+1−1S n=−1，所以 {1S n } 是首项为 −1 公差为 −1 的等差数列，所以 1S n=−n ，所以 S n =−1n ． 62. 2【解析】由等差数列及其性质：a 4+a 6=2a 5=10，得 a 5=5．又 S 5=5(a 1+a 5)2=5 得 5a 3=5，a 3=1，所以 2d =a 5−a 3=4，d =2． 63. 56【解析】因为 S 5=5a 3，3(a 2+a 8)=6a 5，所以 5a 3=6a 5，即 a 5a 3=56．64. 8【解析】由已知 {3a 1+21d >0,2a 1+15d <0,⇒{a 1>0,d <0,−152<a 1d<−7.S n =na 1+n (n−1)2d =d 2[n −(12−a 1d)]2−d 2(12−a 1d)2．因为 152<12−a 1d<8，n ∈N ∗，所以当 n =8 时，S n 有最大值．65. 2600【解析】由递推公式，得 a 2k+1−a 2k−1=0,a 2k+2−a 2k =2, 则奇数项是常数列；偶数项是公差为 2 的等差数列，所以，S 100=50×1+50×2+50×492×2=2600.66. 9【解析】因为 a k =S k −S k−1=−8，a k+1=S k+1−S k =−10，所以公差 d =−2．又因为 S k =k (a 1+a k )2=0，所以 a 1=−a k =8，所以 k =9．67. (−1,−78)【解析】因为 a 1=7>0 ，当且仅当 n =8 时 S n 取最大值，可知 d <0 且同时满足 a 8>0,a 9<0,即{a 8=7+7d >0,a 9=7+8d <0,解得 −1<d <−78. 68. 2:1【解析】因为数列 {a n } 是等差数列，所以 S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4，S 3=3(a 1+a 3)2=3a 2，所以 S 7:S 3=7a 4:3a 2=2:1． 69. 210【解析】因为 S m ，S 2m −S m ，S 3m −S 2m 成等差数列，所以 30，70，S 3m −100 成等差数列，所以 S 3m =210． 70. 102【解析】根据题意数列 a 1,a 2,⋯,a 100 的"理想数"为 101，即 S 1+S 2+⋯+S 100=101×100，其中 S 1=a 1，S 2=a 1+a 2，⋯，S 100=a 1+a 2+⋯+a 100，那么数列 2,a 1,a 2,⋯,a 100 的"理想数" Sʹ1=2，Sʹ2=2+a 1，⋯，Sʹ101=2+a 1+a 2+⋯+a 100，Tʹ101=Sʹ1+Sʹ2+⋯+Sʹ101101=2+2+S 1+2+S 2+⋯+2+S 100101=2×101+100×101101=102．所以数列 2,a 1,a 2,⋯,a 100 的"理想数"为 102．71. 7【解析】提示：S k =k 2+3k ，a k+5=2k +12，所以 S k −a k+5=k 2+k −12=44．因为 k ∈N ∗．所以 k =7． 72. −49【解析】先根据已知条件求出首项和公差，代入 nS n 再运用导数知识进行求解． 设等差数列 {a n } 的首项为 a 1，公差为 d ，由等差数列前 n 项和公式可得{10a 1+10×92d =0,15a 1+15×142d =25,解得{a 1=−3,d =23.所以nS n=n 2a 1+n 2(n −1)2d=−3n 2+13(n 3−n 2)=13n 3−10n 23,令 f (x )=13x 3−103x 2，则 fʹ(x )=x 2−203x =13x (3x −20)．当 x >203时，f (x ) 是单调递增的；当 0<x <203时，f (x ) 是单调递减的．又 6S 6=−48,7S 7=−49，故当 n =7 时，nS n 取最小值，为 −49． 73. 90【解析】因为 6，a ，b ，48 成等差数列，所以 a +b =54． 因为 6，c ，d ，48 成等比数列，所以 c =12，d =24． 所以 a +b +c +d =54+12+24=90． 74. 50【解析】设等差数列 {a n } 的公差为 d ，则 S 1=2，S 2=4+d ，S 3=6+3d ，因为数列 {√S n } 也为等差数列，所以 2√4+d =√2+√6+3d ，解得 d =4，所以 a 13=a 1+12d =2+48=50． 75. (−1,−78) 【解析】S n =7n +n (n−1)d2，由题意知 {S 7<S 8,S 9<S 8, 即 {49+21d <56+28d,63+36d <56+28d, 解得 −1<d <−78．76. 2n 2+6n【解析】令 n =1，得 √a 1=4，即 a 1=16．因为√a 1+√a 2+⋯+√a n =n 2+3n (n ∈N ∗) ⋯⋯①,所以当 n ≥2 时，√a 1+√a 2+⋯+√a n−1=(n −1)2+3(n −1) ⋯⋯②.①−②，得a n =4(n +1)2 ⋯⋯③.当 n =1 时，a 1=16 适合 ③，所以 a n =4(n +1)2．因此，a n n+1=4n +4，故数列 {ann+1} 为等差数列，公差为 4，首项为 8，因此，原式等于 2n 2+6n ．77. 5 【解析】a nb n=2a n 2b n=a 1+a 2n−1b 1+b 2n−1=(2n −1)(a 1+a 2n−1)2(2n −1)(b 1+b 2n−1)2=A 2n−1B 2n−1=7(2n −1)+45(2n −1)+3=7+12n +1.当 n =1,2,3,,5,11 时 ，an b n为正整数 ．78. 200【解析】由 a 1+a 2≤60，a 2+a 3≤100 得，{2a 1+d ≤60,2a 1+3d ≤100,a 1>0,d >0.将 a 1 看作自变量，d 看作因变量，可得可行域如图所示：由图象知，z =5a 1+a 5=6a 1+4d 在 (20,20) 取得最大值，此最大值为 z =200． 79. (−∞,110] 80. 9【解析】由已知得 a +b =p ，ab =q ， ∵ p >0,q >0，∴ a >0,b >0．又 a ，b ，−2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列， ∴ {2b =a −2ab =4 ⋯⋯① 或 {2a =b −2ab =4 ⋯⋯②解①得 {a =4b =1;解②得 {a =1b =4.∴ p =a +b =5，q =1×4=4． 第三部分81. （1） 因为 {a 1+d =1,a 1+4d =7,所以 {a 1=−1,d =2.所以 a n =a 1+(n −1)d =−1+2(n −1)=2n −3． （2） 因为S n =n (a 1+a n )2=n⋅[(−1)+(2n−3)]2.所以 S n =n 2−2n ． 82. 因为 1a+b +1b+c =3a+b+c ， 所以 a+2b+c(a+b )(b+c )=3a+b+c ，即 (a +2b +c )(a +b +c )=3(ab +b 2+ac +bc )，化简得 a 2+c 2−b 2=ac ， 由余弦定理得 cosB =a 2+c 2−b 22ac =12，又 0<B <π，所以 B =π3， 所以 A +C =2π3=2B ，即 A ，B ，C 成等差数列．83. （1） 设 {a n } 的公差为 d ，由 a 1，a 3，a 7 成等比数列得 a 1(a 1+6d )=(a 1+2d )2， 又因为 S 4=4a 1+4×32d =14，解得 a 1=2，d =1，所以 a n =n +1．（2）T n=12×3+13×4+⋯+1(n+1)(n+2)=(12−13+⋯+1n+1−1n+2)=12−1n+2,因为 T n+1>T n (n ≥1)， 所以 {T n } 递增，T n ≥T 1=16， 所以 λ≤16，所以实数 λ 的最大值为 16．84. （1） 设数列 {a n } 的公比为 q ．由已知，有 1a 1−1a1q=2a 1q2，解得 q =2 或 q =−1．又由 S 6=a 1⋅1−q 61−q=63，知 q ≠−1，所以 a 1⋅1−261−2=63．解得 a 1=1，所以 a n =2n−1．（2） 由题意得，b n =12(log 2a n +log 2a n+1)=12(log 22n−1+log 22n)=n −12，即 {b n } 是首项为 12，公差为 1 的等差数列．设数列 {(−1)n b n 2} 的前 n 项和为 T n ，则T 2n =(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n2)=b 1+b 2+b 3+b 4+⋅⋅⋅+b 2n−1+b 2n =2n (b 1+b 2n )2=2n 2.85. （1） 设等比数列 {b n } 的公比为 q ， 由 b 1=1，b 3=b 2+2，可得 q 2−q −2=0， 因为 q >0，可得 q =2，故 b n =2n−1， 所以 T n =1−2n 1−2=2n −1．设等差数列 {a n } 的公差为 d ． 由 b 4=a 3+a 5，可得 a 1+3d =4． 由 b 5=a 4+2a 6，可得 3a 1+13d =16， 从而 a 1=1，d =1，故 a n =n ， 所以 S n =n (n+1)2．（2） 由（1），知 T 1+T 2+⋯+T n =(21+23+⋯+2n )−n =2n+1−n −2， 由 S n +(T 1+T 2+⋯+T n )=a n +4b n 可得 n (n+1)2+2n+1−n −2=n +2n+1，整理得 n 2−3n −4=0，解得 n =−1（舍）或 n =4，所以 n 的值为 4．86. （1） 设数列 {a n } 的公差为 d ，令 n =1，得 1a 1a 2=13，所以 a 1a 2=3. ⋯⋯① 令 n =2，得1a 1a 2+1a 2a 3=25，所以 a 2a 3=15. ⋯⋯② 由 ①② 得{a 12+a 1d =3a 12+3a 1d +2d 2=15解得 a 1=1，d =2，所以 a n =2n −1．经检验，符合题意． （2） 由（1）知 b n =2n ⋅22n−1=n ⋅4n ， 所以 T n =1⋅41+2⋅42+⋯+n ⋅4n ， 所以 4T n =1⋅42+2⋅43+⋯+n ⋅4n+1， 两式相减，得−3T n=41+42+⋯+4n −n ⋅4n+1=4(1−4n )1−4−n ⋅4n+1=1−3n 3×4n+1−43,所以 T n =3n−19×4n+1+49=4+(3n−1)4n+19．87. （1） 当 n ≥2 时，a n =S n −S n−1=6n +5． 当 n =1 时，a 1=S 1=11，代入上式适合， 所以 a n =6n +5(n ∈N ∗)；设数列 {b n } 的公差为 d ，则 {a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3,即 {11=2b 1+d,17=2b 1+3d,解得 {b 1=4,d =3,所以 b n =3n +1． （2） 由 (1) 知 c n =(a n +1)n+1(b n +2)n=3(n +1)⋅2n+1．由 T =c 1+c 2+c 3+⋯+c n ，得T n =3[2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)2n+1]， 所以 2T n =3[2×23+3×24+4×25+⋯+(n +1)2n+2]． 以上两式两边相减，得−T n=3[2×22+23+24+⋯+2n+1−(n +1)2n+2]=3[4+4(2n −1)2−1−(n +1)2n+2]=−3n ⋅2n+2.所以 T n =3n ⋅2n+2．88. （1） c n =b n+12−b n 2=a n+1a n+2−a n a n+1=2d ⋅a n+1，c n+1−c n =2d (a n+2−a n+1)=2d 2 为定值． 所以 {c n } 为等差数列．（2） T n =∑(−1)k 2n k=1b k 2=c 1+c 3+⋯+c 2n−1=nc 1+n (n−1)2⋅4d 2=nc 1+2d 2n (n −1)(∗)，由已知 c 1=b 22−b 12=a 2a 3−a 1a 2=2d ⋅a 2=2d (a 1+d )=4d 2，将 c 1=4d 2 代入 (∗) 式得 T n =2d 2n (n +1)， 所以 ∑1T k2n k=1=12d2∑1k (k+1)n k=1=12d 2(1−12+12−13+⋯+1k −1k+1)<12d 2，得证． 89. （1） 设数列 {a n } 的公比为 q ，由已知有 1a 1−1a 1q=2a 1q 2，解得 q =2，或 q =−1． 由 S 6=a 1(1−q 6)1−q=63，得 q ≠−1．由 q =2，得a 1(1−26)1−2=63，解得 a 1=1，所以数列 {a n } 的通项公式为 a n =2n−1．（2） b n =12(log 2a n +log 2a n+1)=12(log 22n−1+log 22n )=n −12， 则数列 {b n } 是首项为 12，公差为 1 的等差数列．设数列 {(−1)n b n 2} 的前 n 项和为 T n ，则T 2n=(−b 12+b 22)+(−b 32+b 42)+⋯+(−b 2n−12+b 2n2)=(b 1+b 2)+(b 3+b 4)+⋯+(b 2n−1+b 2n )=b 1+b 2+b 3+b 4+⋯+b 2n−1+b 2n=2n (b 1+b 2n )2=2n 2.90. （1） 设等差数列 {a n } 的公差为 d ，等比数列 {b n } 的公比为 q ． 由已知 b 2+b 3=12，得 b 1(q +q 2)=12，而 b 1=2， 所以 q +q 2−6=0． 又因为 q >0，解得 q =2． 所以，b n =2n ．由 b 3=a 4−2a 1，可得 3d −a 1=8, ⋯⋯① 由 S 11=11b 4，可得 a 1+5d =16, ⋯⋯②联立 ①②，解得 a 1=1，d =3，由此可得 a n =3n −2．所以，数列 {a n } 的通项公式为 a n =3n −2，数列 {b n } 的通项公式为 b n =2n ． （2） 设数列 {a 2n b 2n−1} 的前 n 项和为 T n ，由 a 2n =6n −2，b 2n−1=12×4n ，有 a 2n b 2n−1=(3n −1)4n ，故 T n =2×4+5×42+8×43+⋯+(3n −1)4n ， 4T n =2×42+5×43+8×44+⋯+(3n −1)4n+1， 上述两式相减，得−3T n =2×4+3×42+3×43+⋯+3×4n −(3n −1)4n+1=12×(1−4n )1−4−4−(3n −1)4n+1=−(3n −2)4n+1−8.得 T n =3n−23×4n+1+83．所以，数列 {a 2n b 2n−1} 的前 n 项和为3n−23×4n+1+83．91. （1） 设等差数列 {a n } 的公差为 d ，等比数列 {b n } 的公比为 q ． 由已知 b 2+b 3=12，得 b 1(q +q 2)=12，而 b 1=2， 所以 q 2+q −6=0． 又因为 q >0，解得 q =2． 所以，b n =2n ．由 b 3=a 4−2a 1，可得 3d −a 1=8 ⋯ ①， 由 S 11=11b 4，可得 a 1+5d =16 ⋯ ②，联立①②，解得 a 1=1，d =3，由此可得 a n =3n −2．所以，{a n } 的通项公式为 a n =3n −2，{b n } 的通项公式为 b n =2n ．（2） 设数列 {a 2n b n } 的前 n 项和为 T n ，由 a 2n =6n −2，有 T n =4×2+10×22+16×23+⋯+(6n −2)×2n ，2T n =4×22+10×23+16×24+⋯+(6n −8)×2n +(6n −2)×2n+1，上述两式相减，得−T n =4×2+6×22+6×23+⋯+6×2n −(6n −2)×2n+1=12×(1−2n )1−2−4−(6n −2)×2n+1=−(3n −4)2n+2−16,得 T n =(3n −4)2n+2+16．所以，数列 {a 2n b n } 的前 n 项和为 (3n −4)2n+2+16． 92. （1） 设 {a n } 的公差为 d ．因为 {b 2+S 2=12,q =S 2b 2, 所以 {q +6+d =12,q =6+d q.解得 q =3 或 q =−4 （舍），d =3． 故 a n =3+3(n −1)=3n ，b n =3n−1． （2） 由（1）可知，S n =n (3+3n )2，所以 c n =1S n=2n (3+3n )=23(1n −1n+1)． 故T n=23[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n+1)]=23(1−1n+1)=2n3(n+1).93. （1） 设等差数列 {a n } 的公差为 d ，由 S2S 1=4 得a 1+a 2a 1=4，所以 a 2=3a 1=3．。

专题4.2等差数列（A 卷基础篇）（人教A 版第二册,浙江专用）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）1．（2020·山东省济南回民中学高二期中）在等差数列{}n a 中，11a =，公差2d =，则8a 等于（ ） A ．13 B ．14C ．15D ．16【答案】C 【解析】81717215a a d =+=+⨯=,故选：C.2．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高一期末）在等差数列{}n a 中，824a =，168a =，则24a =（ ） A ．24- B ．16-C ．8-D ．0【答案】C 【解析】{}n a 是等差数列，824162a a a ，248a .故选：C.3．（2020·福建厦门双十中学高三月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244,2a a ==，则5S ＝（ ） A ．0 B ．10C ．15D ．30【答案】C 【解析】由等差数列性质可知：1524426a a a a +=+=+=()1555561522a a S +⨯∴===本题正确选项：C4．（2020·云南昆明·期末）已知公差为2的等差数列{}n a 满足140a a +=，则7a =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】C 【解析】由题意知141230a a a d +=+=，因为2d =，可得13a =- 所以7163129a a d =+=-+=. 故选：C5．（2020·四川绵阳·期末）在等差数列{a n }中，若a 4＝5，则数列{a n }的前7项和S 7＝（ ） A ．15 B ．20 C ．35 D ．45【答案】C 【解析】因为数列{}n a 是等差数列，故可得74735S a ==. 故选：C .6．（2020·广西南宁三中开学考试）数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（ ） A ．31n - B ．32n + C ．32n - D ．31n +【答案】B 【解析】因为13n n a a +-=，所以数列{}n a 是以5为首项，3为公差的等差数列，则()*53132,n a n n n N =+-=+∈.故选：B7．（2020·河南开学考试（文））已知等差数列{}n a 的前5项和为25，且11a =，则7a =（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】D 【解析】因为123453525a a a a a a ++++==，所以35a =，则公差5122d -==， 故73413a a d =+=． 故选：D8．（2020·河北运河·沧州市一中月考）有穷等差数列5，8，11，…，()*311n n N +∈的项数是（ ）A ．nB ．311n +C ．4n +D ．3n +【答案】D 【解析】由等差数列中125,8a a ==，知3d =，5(1)332n a n n ∴=+-⨯=+，设()*311n n N+∈为数列中的第k 项，则31132n k +=+， 解得3k n =+， 故选：D9.（2020·全国）我国古代数学名著《算法统宗》中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次第，孝和休惹外人传．”意为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话．”在这个问题中，第8个孩子分到的棉花为（ ） A ．184斤 B ．176斤C ．65斤D ．60斤【答案】A 【解析】依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为{}n a ，公差为d ，前n 项和为n S ，第一个孩子所得棉花斤数为1a ， 则由题意得，818717,8179962d S a ⨯==+⨯=， 解得165a =，()8181184a a d ∴=+-=． 故选：A10．（2020·陕西宝鸡市·高二期中）已知{}n a 为等差数列，d 为公差，n S 为前n 项和，545676,,S S S S S S <=>，则下列说法错误的是（ ）A ．0d >B ．60a =C ．5S 和6S 均为n S 的最大值D ．84S S >【答案】C 【解析】由5454500S S S S a <⇒-<⇒<，由5665600S S S S a =⇒-=⇒=，故选项B 说法正确；因为650a a d =+=，50a <，所以0d >，因此选项A 说法正确；因为0d >，所以等差数列{}n a 是单调递增数列，因此n S 没有最大值，故选项C 说法错误； 由7676700S S S S a >⇒->⇒>，因为8487657672()20S S a a a a a a a -=+++=+=>，所以84S S >，因此选项D 说法正确. 故选：C第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）11．（2020·1的等差中项是____________.【解析】1=12．（2020·四川三台中学实验学校高一月考）数列{}n a 为等差数列，已知公差2d =-，110a =，则1a =_______.【答案】20 【解析】因为数列{}n a 为等差数列，公差2d =-， 所以111100a a d =+=， 解得120a =， 故答案为：2013．（2020·江西赣州·高一期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若65210,6S a a =+=，则d =_________.【答案】1 【解析】由266a a +=有43a =，而510S =∴结合等差数列的前n 项和公式及通项公式113322a d a d +=⎧⎨+=⎩即可得1d = 故答案为：114．（2019·浙江高二学业考试）.已知等差数列{}n a 中，11a =，35a =，则公差d =________，5a =________. 【答案】2 9 【解析】等差数列{}n a 中，11a =，35a =， 则公差3122a a d -==， 所以514189a a d =+=+=. 故答案为：2；915.（2020·浙江高一期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，511a =-，则3a =______，5S =______．【答案】4- 20- 【解析】由题得15333112,42a a a a -+=∴==-； 51555()(311)20.22S a a =+=-=-故答案为：4;20--.16．（2020·浙江平阳·高三其他）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______. 【答案】9566 20122【解析】设由下到上九节容量分别记为129,,...,a a a ，则129,,...,a a a 成等差数列，设公差为d ，且1234a a a ++=，67893a a a a +++=，即1231334a a a a d ++=+=，678914263a a a a a d +++=+=，所以19566a =，766d =-，故91982019222S a d ⨯=+=故答案为：9566；2012217．（2020·全国高三专题练习（文））中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{}n a ，则1a =______；n a =______.（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”） 【答案】8 157n -. 【解析】三三数之余二的正整数从小到大排列得到数列为：{}8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38；五五数之余三的正整数，从小到大排列，构成数列为：{}8,13,18,23,28,33,38.所以三三数之余二，五五数之余三的正整数，从小到大排列得到数列{}n a 为：{}8,23,38，数列{}n a 是以首项为8，公差为15的等差数列.空1：18a =；空2：1(1)8(1)15157n a a n d n n =+-=+-⋅=-. 故答案为：8；157n -三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）18．（2020·甘肃武威市·武威十八中高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，511a =.（1）求{}n a 的通项公式； （2）若120n S =，求n .【答案】（1）21n a n =+；（2）10. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 因为25a =，511a =， 所以15a d +=，1411a d +=， 解得13a =，2d =.所以()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+，*n ∈N ， 所以{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n ∈N . （2）由（1）知13a =，21n a n =+， 因为120n S =，所以()11202n n a a +=， 即()3211202n n ++=，化简得221200n n +-=， 解得10n =.19.（2020·辽源市田家炳高级中学校高一期末（文））在等差数列{}n a 中，（1）已知25121536a a a a +++=，求16S 的值；（2）已知620a =，求11S 的值. 【答案】（1）144；（2）220. 【解析】（1）由等差数列的性质可得()()()251215215512116236a a a a a a a a a a +++=+++=+=，解得11618a a +=，因此，()1161616161814422a a S ⨯+⨯===；（2）由等差中项的性质和等差数列的求和公式得()11161161111211112022022a a a S a ⨯+⨯====⨯=.20．（2020·上海市进才中学）数列{a n }是首项为23，公差为整数的等差数列，且第6项为正，第7项为负． (1)求数列的公差；(2)求前n 项和S n 的最大值． 【答案】（1）4d =-；（2）78 【解析】(1)由已知，得6152350a a d d =+=+>，7162360a a d d =+=+<.解得232356d -<<-. 又d Z ∈，∴4d =-.(2)∵0d <，∴数列{}n a 是递减数列． 又∵60a >，70a <，∴当6n =时， n S 取得最大值，为()6656234782S ⨯=⨯+⨯-=. 21．（2020·宜城市第二高级中学期中）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最小值．【答案】（1）29n a n =-；（2）16-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-． 由17a =-得2d =．所以{}n a 的通项公式为29n a n =-． （2）由（1)得()228416nS n n n =-=--．所以当4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-．22．（2019·云南高一期末）在等差数列{}n a 中，38a =，724a a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）22n a n =+（2）22nn +【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11n a a n d +-=.因为37248,a a a a =⎧⎨=+⎩所以11112863a d a d a d a d +=⎧⎨+=+++⎩，解得14a =，2d =，所以数列{}n a 的通项公式为22n a n =+. （2）由题意知()1121n n b na n n ==+11121n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 所以111111122231n S n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪+⎝⎭1112122n n n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭.。

4.2 等差数列同步提升训练一．选择题1．在等差数列{a n}中，若a2+a3+a4＝6，a6＝4，则公差d＝（）A．1B．2C．D．2．在等差数列{a n}中，a1＝1，a8+a10＝10，则a5＝（）A．2B．3C．4D．53．某文具店开业期间，用100根相同的圆柱形铅笔堆成横截面为“等腰梯形垛”的装饰品，其中最下面一层铅笔数为16根，从最下面一层开始，每一层的铅笔数比上一层的铅笔数多1根，则该“等腰梯形垛”最上面一层堆放的铅笔数为（）A．8B．9C．10D．114．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a5+a6＝a2+4，则S17＝（）A．4B．17C．68D．1365．已知x，a，b，c，y成等差数列，d，y，e，x也成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．6．若等差数列{a n}和{b n}的前n项的和分别是S n和T n，且，则＝（）A．B．C．D．7．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B ＝60°，△ABC的面积为，那么b的值是（）A．3B．3+C．2D．2+8．在数列{a n}中，若a n+12﹣a n2＝p（n∈N*，p是常数），则{a n}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（）A．若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列B．若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等方差数列C．{（﹣1）n}是等方差数列D．若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列二．多选题9．已知公差为d的等差数列{a n}中，a2＝7，a9＝35，其前n项和为S n，则（）A．a5＝19B．d＝3C．a n＝4n﹣1D．10．已知等差数列{a n}的首项为，若{a n}从第6项起出现正数，则公差d的值可能为（）A．B．C．D．11．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+3a3＝S6，则以下结论正确的是（）A．S10最小B．a10＝0C．S7＝S12D．S19＝012．公差为d的等差数列{a n}，其前n项和为S n，S11＞0，S12＜0，下列说法正确的有（）A．d＜0B．a7＞0C．{S n}中S6最大D．|a4|＞|a9|三．填空题13．已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1（n∈N*），那么它的前n项和S n＝．14．设数列{a n}为等差数列，若a2+a5+a8＝15，则a5＝．15．已知数列{a n}中，a3＝2，a7＝1，且数列{}为等差数列，则a5＝．16．已知数列{a n}是等差数列，a1＞0，公差d＜0，S n为其前n项和，满足a1+5a3＝S8，则当S n取得最大值时，n＝．四．解答题17．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，a1＝﹣5，a3+a4＝0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S n＝40，求n的值．18．已知数列{a n}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝﹣5．（1）求{a n}的通项a n；（2）求{a n}前n项和S n的最大值．19．等差数列{a n}中，a1＝8，a4＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设T n＝|a1|+|a2|+…+|a n|，求T20．20．已知数列{a n}满足a1＝2a，a n＝2a﹣（n≥2），其中a是不为0的常数，令b n ＝．（1）求证：数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式．21．在数列{a n}中，，，记．（1）求证：数列{b n}为等差数列，并求出数列{b n}的通项公式；（2）试判断数列{a n}的增减性，并说明理由．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，把满足条件a n+1≤S n（n∈N*）的所有数列{a n}构成的集合记为M．（1）若数列{a n}的通项为a n＝，则{a n}是否属于M？（2）若数列{a n}是等差数列，且{a n+n}∈M，求a1的取值范围；（3）若数列{a n}的各项均为正数，且{a n}∈M，数列{}中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{a n}的通项：若不存在，说明理由．。

2022版人教A 版高中数学选择性必修第二册--4.2 等差数列4.2.1 等差数列的概念基础过关练题组一 等差数列的概念及其应用1.下列数列不是等差数列的是 ( ) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16C.13,23,1,43,53D.-3,-2,-1,1,22.若数列{a n }满足3a n +1=3a n +1,则数列{a n } ( ) A.是公差为1的等差数列B.是公差为13的等差数列C.是公差为-13的等差数列D.不是等差数列3.(多选)下列命题中,正确的是 ( ) A.若a ,b ,c 成等差数列,则2a ,2b ,2c 成等差数列 B.若a ,b ,c 成等差数列,则log 2a ,log 2b ,log 2c 成等差数列 C.若a ,b ,c 成等差数列,则a +2,b +2,c +2成等差数列 D.若a ,b ,c 成等差数列,则2a ,2b ,2c 成等差数列 题组二 等差中项4.若a =√3+√2,b =√3-√2,则a ,b 的等差中项为 ( )A.√3B.√2C.√32 D.√225.已知在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 成等差数列,则角B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120°6.若x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是()A.a=-bB.a=3bC.a=-b或a=3bD.a=b=07.(2020浙江嘉兴高一下期末)已知等差数列{a n}的前3项依次是-1,a-1,1,则a=;通项公式a n=.题组三等差数列的通项公式及其应用8.(2020山东淄博一中高二上期中)在数列{a n}中,a1=1,a n+1-a n=2,n∈N*,则a25的值为 ()A.49B.50C.89D.999.(2021全国百强名校领军考试高二上期末)在等差数列{a n}中,若a2=3+m,a6=15+m,其中m为实数,则该等差数列的公差d= ()A.3B.2C.1D.m10.已知{a n}是等差数列,且a4=4,a7=10,则a10= ()A.13B.14C.15D.1611.(2020河南郑州高二上期末)设数列{a n}是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则{a n}的通项公式为.题组四等差数列的性质及其应用12.(2021江苏无锡一中高二上期中)在等差数列{a n}中,a3+a4+a5=6,则a1+a7=()A.2B.3C.4D.513.(2020河南新乡高二上期末)在等差数列{a n}中,a2+a6=3,a3+a7=7,则公差d=()A.1B.2C.3D.414.已知数列{a n},{b n}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2a n-3b n}的公差为()A.7B.5C.3D.115.(2021河南信阳高二上期末)已知{a n},{b n}均为等差数列,且a1+b1=1,a2+b2=3,则a2 020+b2 020= ()A.4 043B.4 041C.4 039D.4 03716.已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若a m=8,则m的值为()A.12B.8C.6D.417.已知数列{a n}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为()D.-√3A.√3B.±√3C.-√3318.在等差数列{a n}中,公差为d.(1)已知a2+a3+a23+a24=48,求a13;(2)已知a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.能力提升练题组一等差数列的通项公式及其应用1.(2021江苏无锡高二上期末,)已知数列{a n }是等差数列,若a 3+a 5+a 7=15,a 8-a 2=12,则a 10等于 ( )A.10B.12C.15D.18 2.(2020山东招远一中高二上月考,)在一个首项为23,公差为整数的等差数列中,前6项均为正数,从第7项起为负数,则公差为( ) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 3.()已知等差数列{a n }的首项为a ,公差为1,b n =a n +1a n,若对任意的正整数n 都有b n ≥b 5,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,-4)∪(-3,+∞)B.(-4,-3)C.(-∞,-5)∪(-4,+∞)D.(-5,-4) 4.()已知数列{a n }满足a 1=1,若点(a n n,a n+1n+1)在直线x -y +1=0上,则a n = .5.(2020辽宁沈阳东北育才实验学校高二上月考,)已知数列{a n }满足a n +1=6a n -4a n +2,且a 1=3. (1)证明:数列{1a n -2}是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式. 6.()若数列{b n }对于任意n ∈N *,都有b n +2-b n =d (d 为常数),则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列.例如c n ={4n -1,n 为奇数,4n +9,n 为偶数,则数列{c n }是公差为8的准等差数列.设数列{a n }满足:a 1=a ,对于任意n ∈N *,都有a n +a n +1=2n.(1)求证:数列{a n}为准等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.题组二等差数列的性质及其应用7.(多选)()已知单调递增的等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有()A.a1+a101>0B.a2+a100=0C.a3+a100≤0D.a51=08.(2020河南濮阳高二上期末,)已知各项都为正数的等差数列{a n}中,a5=3,则a3a7的最大值为.题组三等差数列的综合应用9.(2020山东日照高二上期末,)我国古代著作《周髀算经》中记载:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷长一丈三尺五寸;夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为991分;且冬6至时日影长度最大,为1 350分;夏至时日影长度最小,为160分.则立春时日影长度为 ( )A.95313分 B.1 05212分 C.1 15123分 D.1 25056分 10.(2021江苏无锡江阴一中高二上期中,)中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题:“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金箠,长五尺,一头粗一头细.在粗的一端截下一尺,重四斤;在细的一端截下一尺,重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,则中间三尺的质量为 ( ) A.3斤 B.6斤 C.9斤 D.12斤 11.(2020浙江宁波高一下期末,)已知等差数列{a n }中,a 2=3,a 4=5,则1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a 9a 10= ( )A.25B.922C.910D.101112.(2021湖南三湘名校教育联盟高二上期中,)南宋数学家杨辉《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出垛积公式,其所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,7,15,27,45,71,107,则该数列的第8项为 ()A.161B.155C.141D.13913.(多选)()已知数列{a n}的前n项和为S n(S n≠0),且满足a n+4S n-1S n=0(n≥2,n,则下列说法中正确的是()∈N*),a1=14A.数列{a n}的前n项和为S n=14nB.数列{a n}的通项公式为a n=14n(n+1)C.数列{a n}为递增数列}为递增数列D.数列{1S n14.(2020山东青岛高三上期末,)在下面的数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列.第1列第2列第3列…第1行123…第2行246…第3行369………………那么位于表中的第n行第(n+1)列的数是.15.()数列{a n}满足a1=1,a n+1=(n2+n-λ)a n(n∈N*),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;(2)判断是否存在实数λ使得数列{a n}为等差数列,并说明理由.16.()在数列{a n }中,a 1=1,3a n a n -1+a n -a n -1=0(n ≥2,n ∈N *).(1)证明:数列{1a n}是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式;(3)若λa n +1a n≥λ对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立,求实数λ的取值范围.答案全解全析基础过关练1.D 根据等差数列的定义可知,选项D 中的数列不是等差数列.故选D.2.B 由3a n +1=3a n +1,得3a n +1-3a n =1,即a n +1-a n =13,所以数列{a n }是公差为13的等差数列.3.AC A 选项中,∵a ,b ,c 成等差数列,∴b -a =c -b ,∴2b =a +c ,∴2×(2b )=2a +2c ,即2b -2a =2c -2b ,∴2a ,2b ,2c 成等差数列,故A 正确;B 选项中,取a =1,b =2,c =3,得log 2a ,log 2b ,log 2c 分别为0,1,log 23,不成等差数列,故B 错误;C 选项中,∵a ,b ,c 成等差数列,∴2b =a +c ,∴2(b +2)=(a +2)+(c +2),∴a +2,b +2,c +2成等差数列,故C 正确;D 选项中,取a =1,b =2,c =3,得21=2,22=4,23=8,不成等差数列,选项D 错误.故AC .4.A 设a ,b 的等差中项为x , 则2x =a +b =√3+√2+√3-√2=2√3, 所以x =√3.5.B 因为A ,B ,C 成等差数列,所以B 是A ,C 的等差中项,则有A +C =2B , 又因为A +B +C =180°,所以3B =180°,即B =60°.6.C 由等差中项的定义知x =a+b 2,x 2=a 2-b 22,∴a 2-b 22=(a+b 2)2,即a 2-2ab -3b 2=0,可得a =-b 或a =3b.7.答案 1;n -2解析 因为-1,a -1,1构成等差数列,所以2(a -1)=-1+1=0,解得a =1.所以公差d =1.因为a 1=-1,所以a n =n -2.8.A 由a n +1-a n =2得数列{a n }是公差为d =2的等差数列,又a 1=1,所以a 25=a 1+24d =1+24×2=49.故选A.9.A 由等差数列的通项公式得a 2=a 1+d =3+m ,a 6=a 1+5d =15+m , 两式相减得4d =12,即d =3.故选A . 10.D 设{a n }的公差为d. 由题意得{a 4=a 1+3d =4,a 7=a 1+6d =10,解得{a 1=-2,d =2,∴a 10=a 1+9d =-2+18=16,故选D . 11.答案 a n =6n -3(n ∈N *) 解析 设等差数列{a n }的公差为d , 则a 2+a 5=a 1+d +a 1+4d =36, 即6+5d =36,解得d =6,∴a n =a 1+(n -1)d =3+(n -1)×6=6n -3(n ∈N *). 即{a n }的通项公式为a n =6n -3(n ∈N *). 12.C 依题意,得3a 4=6,所以a 4=2, 所以a 1+a 7=2a 4=4,故选C .13.B 解法一:∵a 3+a 7=2a 5=7,a 2+a 6=2a 4=3, ∴a 5=72,a 4=32,∴d =a 5-a 4=2.故选B . 解法二:∵(a 3+a 7)-(a 2+a 6)=2d , 且a 3+a 7=7,a 2+a 6=3, ∴d =7-32=2.故选B.14.D 由于{a n },{b n }为等差数列,故数列{2a n -3b n }的公差d =(2a n +1-3b n +1)-(2a n -3b n )=2(a n +1-a n )-3(b n +1-b n )=2d 1-3d 2=1. 15.C 易得数列{a n +b n }是以1为首项,2为公差的等差数列, ∴a 2 020+b 2 020=1+2 019×2=4 039,故选C .16.B 由等差数列的性质,得a 3+a 6+a 10+a 13=(a 3+a 13)+(a 6+a 10)=2a 8+2a 8=4a 8=32, ∴a 8=8,∴a m =a 8,又d ≠0,∴m =8.17.D 由等差数列的性质,得a 1+a 7+a 13=3a 7=4π,∴a 7=4π3.∴tan(a 2+a 12)=tan(2a 7)=tan 8π3=tan 2π3=-√3.18.解析 解法一:(1)由a 2+a 3+a 23+a 24=48,得4a 13=48,∴a 13=12. (2)由a 2+a 3+a 4+a 5=34, 得2(a 2+a 5)=34,即a 2+a 5=17,由{a 2a 5=52,a 2+a 5=17,解得{a 2=4,a 5=13或{a 2=13,a 5=4.由d =a 5-a 25-2得d =3或d =-3.解法二:(1)由题意得(a 1+d )+(a 1+2d )+(a 1+22d )+(a 1+23d )=48, 即4(a 1+12d )=48, ∴4a 13=48, ∴a 13=12. (2)由题意得{(a 1+d )+(a 1+2d )+(a 1+3d )+(a 1+4d )=34,(a 1+d )·(a 1+4d )=52,解得{a 1=1,d =3或{a 1=16,d =-3.∴d =3或d =-3.能力提升练1.C 设{a n }的公差为d. 由a 3+a 5+a 7=15,得3a 5=15,则a 5=5, ∵a 8-a 2=12,∴6d =12,解得d =2, ∴a 10=a 5+5d =5+10=15,故选C .2.C 设该等差数列为{a n },公差为d (d ∈Z),则a 1=23,a n =23+(n -1)d , 由题意可知{a 6>0,a 7<0,即{23+(6-1)d >0,23+(7-1)d <0,解得-235<d <-236.因为d 是整数,所以d =-4. 解题模板解决与等差数列的项有关的问题,用通项公式将已知条件化为关于首项、公差的式子,进而解决问题,这是解决等差数列问题的基本手段. 3.D 解法一:依题意得,a n =a +(n -1)×1=n +a -1,∴b n =n+a n+a -1=1+1n+a -1. 设函数y =1x+a -1+1,画出图象,如图.结合题意知,1-a ∈(5,6), ∴5<1-a <6,解得-5<a <-4, 故选D .解法二:∵等差数列{a n }的首项为a ,公差为1,∴a n =a +n -1,∴b n =a n +1a n =1+1a n =1+1a+n -1,若对任意的正整数n 都有b n ≥b 5, 则有(b n )min =b 5=1+1a+4, 结合数列{b n }的单调性可知, {b 5<b 4,b 5<b 6,即{1+1a+4<1+1a+3,1+1a+4<1+1a+5,解得-5<a <-4.故选D . 4.答案 n 2(n ∈N *)解析 由题设可得a n n -a n+1n+1+1=0, 即a n+1n+1-a n n =1,又a 11=1, 所以数列{an n }是以1为首项,1为公差的等差数列,故通项公式为a n n=n ,所以a n =n 2(n ∈N *). 5.解析 (1)证明:由已知得,1a 1-2=13-2=1, 1a n+1-2=16a n -4a n +2-2=a n +2(6a n -4)-2(a n +2)=a n +24a n -8=(a n -2)+44(a n -2)=1a n -2+14,因此1a n+1-2-1a n -2=14,n ∈N *,故数列{1an -2}是首项为1,公差为14的等差数列. (2)由(1)知1a n -2=1+(n -1)×14=n+34,所以a n =2n+10n+3,n ∈N *.6.解析 (1)证明:因为a n +a n +1=2n (n ∈N *),① 所以a n +1+a n +2=2(n +1),② ②-①得a n +2-a n =2(n ∈N *),所以数列{a n }是公差为2的准等差数列. (2)因为a 1=a ,a n +a n +1=2n (n ∈N *), 所以a 1+a 2=2×1,即a 2=2-a.因为a 1,a 3,a 5,…是以a 为首项,2为公差的等差数列,a 2,a 4,a 6,…是以2-a 为首项,2为公差的等差数列,所以当n 为奇数时,a n =a +(n+12-1)×2=n +a -1, 当n 为偶数时,a n =2-a +(n 2-1)×2=n -a , 所以a n ={n +a -1,n 为奇数,n -a ,n 为偶数.7.BD 设等差数列{a n }的公差为d ,易知d >0,∵等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B,D正确,A错误.又∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d =d>0,故C错误.故选BD.8.答案9解析因为等差数列{a n}的各项都为正数,所以a3>0,a7>0,所以a3a7≤(a3+a72)2=a52=9,当且仅当a3=a7=3时,等号成立.所以a3a7的最大值为9.9.B由题意可知,从冬至到夏至,每个节气的日影长度(单位:分)构成等差数列,设该等差数列为{a n},公差为d,则冬至时日影长度为a1=1 350分,d=-9916,∴立春时日影长度为a4=1 350+(-9916)×3=1 05212(分).故选B.10.答案 C信息提取①粗的一端截下一尺,重四斤;②细的一端截下一尺,重二斤;③金箠由粗到细均匀变化.数学建模根据金箠由粗到细是均匀变化的,可知金箠每尺的质量(单位:斤)成等差数列,由等差数列知识解决问题.解析由题意可知金箠每尺的质量(单位:斤)构成等差数列{a n},设细的一端一尺的质量为a1斤,粗的一端一尺的质量为a5斤,则a1=2,a5=4,根据等差数列的性质可知a1+a5=2a3=6,解得a3=3,所以中间三尺的质量为a 2+a 3+a 4=3a 3=9斤.故选C . 11.B 设等差数列{a n }的公差为d ,由1a n a n+1=1d (1a n -1a n+1)知,1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a 9a 10=1d1a 1-1a 2+1a 2-1a 3+1a 3-1a 4+…+1a 9-1a 10=1d (1a 1-1a10),由{a 2=3,a 4=5,即{a 1+d =3,a 1+3d =5,解得{a 1=2,d =1, ∴a 10=a 1+9d =11, ∴1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a 9a 10=922,故选B .12.B 设该高阶等差数列的第8项为x ,根据所给定义,用数列的后一项减去前一项得到一个新数列,得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列,即得到了一个等差数列,如图:由图可得{y -36=12,x -107=y ,解得{x =155,y =48,故选B .解题模板数列中的新定义问题,准确把握新定义的含义是解题的关键,对数列问题依次列出各项,按要求作阶差,直到找出等差数列为止,再依题意解决问题.13.AD 由a n =S n -S n -1,a n +4S n -1S n =0,n ≥2,n ∈N *,得S n -S n -1=-4S n -1S n ,n ≥2,n ∈N *,又S n≠0,∴1S n -1S n -1=4(n ≥2,n ∈N *). ∵a 1=14,∴1S 1=4,∴{1S n}是以4为首项,4为公差的等差数列,∴1S n=4+4(n -1)=4n ,n ∈N *,∴数列{1S n}为递增数列,S n =14n,n ∈N *, ∴当n ≥2时,a n =S n -S n -1=14n -14(n -1)=-14n (n -1),经检验,当n =1时,不符合上式,∴a n ={14,n =1,-14n (n -1),n ≥2,n ∈N *,∴B、C 错误.故选AD. 解题模板解决项、和共存的递推关系问题,要么将和化为项,要么将项化为和,具体视递推公式的形式而定,如本题中将a n +4S n -1S n =0化为S n -S n -1=-4S n -1S n (n ≥2),整理得到{1Sn}是一个等差数列,然后利用等差数列的知识解题. 14.答案 n 2+n解析 由题表可得,第n 行的第一个数是n ,第n 行的数构成以n 为首项,n 为公差的等差数列,其中第(n +1)项为n +n ·n =n 2+n.所以题表中的第n 行第(n +1)列的数是n 2+n.15.解析 (1)因为a n +1=(n 2+n -λ)a n (n ∈N *),且a 1=1, 所以当a 2=-1时,得-1=2-λ,∴λ=3. 从而a 3=(22+2-3)×(-1)=-3.(2)不存在实数λ使得{a n }为等差数列. 理由如下:由a 1=1,a n +1=(n 2+n -λ)a n , 得a 2=2-λ,a 3=(6-λ)(2-λ),a 4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在实数λ,使得{a n }为等差数列, 则a 3-a 2=a 2-a 1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a 2-a 1=1-λ=-2,a 4-a 3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24, a 2-a 1≠a 4-a 3,这与{a n }为等差数列矛盾.所以不存在实数λ使得{a n }为等差数列.16.解析 (1)证明:由3a n a n -1+a n -a n -1=0(n ≥2,n ∈N *),得1a n -1a n -1=3(n ≥2,n ∈N *), 又1a 1=1, 所以数列{1an}是以1为首项,3为公差的等差数列.(2)由(1)可得1a n=1+3(n -1)=3n -2,所以a n =13n -2(n ∈N *).(3)因为λa n +1a n≥λ对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立,即λ3n -2+3n -2≥λ对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立,所以只需λ≤(3n -2)23n -3对任意的n ≥2,n ∈N *恒成立即可.令f (n )=(3n -2)23n -3(n ≥2,n ∈N *),则只需满足λ≤f (n )min 即可.因为f (n +1)-f (n )=(3n+1)23n -(3n -2)23n -3=9n 2-9n -13n (n -1)=3-13n (n -1), 所以当n ≥2时, f (n +1)-f (n )>0, 即f (2)<f (3)<f (4)<…, 所以f (n )min =f (2). 又f (2)=163,所以λ≤163.所以实数λ的取值范围为(-∞,163].。