高中数学选择性必修二 第四章 数列单元检测A尖子生同步培优题典(含答案)

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典第四章 数列单元检测B 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注：本检测满分150分。

其中8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题 一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =（ ） A ．-4 B ．-6 C ．-8 D ．-10【答案】B 【解析】 【分析】把3a ，4a 用1a 和公差2表示，根据1a ，3a ，4a 成等比数列，得到2314a a a =解得. 【详解】解：因为等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，2314a a a ∴=即()()211146a a a +=+ 解得18a =- 故选：B 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，与等比中项的性质，属于基础题.2．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，10103020102(21)0S S S -++=，则公比q 等于（ ）A ．12B ．13C ．14D ．2【答案】A 【解析】 【分析】 由条件可得302010201012S S S S -=-，即可求出q .【详解】因为10103020102(21)0S S S -++=，所以()()103020201020S S S S ---=所以302010201012S S S S -=-，即102122301011122012a a a q a a a +++==+++ 因为0n a >，所以12q = 故选：A 【点睛】本题考查的是等比数列的知识，考查了学生的转化能力，较简单. 3．已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A ．67B ．1211C ．1825 D ．1621【答案】A 【解析】 【分析】由条件可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-，然后计算出7a 和6b 即可. 【详解】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-， 所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-， 所以77618a S S k =-=，66521b T T k =-=，所以7667a b =. 故选：A 【点睛】本题考查的是等差数列前n 项和的特点，属于基础题.4．若数列{}n a 满足：()*1119,3n n a a a n +==-∈N ，而数列{}n a 的前n 项和最大时，n 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【解析】 方法一： ∵n 1n a a 3+=-，∴()*n 1n a a 3n N+-=-∈，∴数列{}n a 是首项为19，公差为-3的等差数列． 则()()22n n n 134********S 19n 3n n n 2222624-⎛⎫=+⨯-=-+=--+⎪⎝⎭． 所以n 7=时，n S 取最大值．选B ． 方法二：∵n 1n a a 3+=-， ∴()*n 1n a a 3n N+-=-∈，∴数列{}n a 是首项为19，公差为-3的等差数列． ∴193(1)322n a n n =--=-+，∴当7n ≤时，0n a >；当8n ≥时，0n a <． 所以n 7=时，n S 取最大值．选B ．点睛：求等差数列前n 项和最值的常用方法： ①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项； ②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前n 项和2n S An Bn ＝＋ (A 、B 为常数)看作关于项数n 的二次函数，根据二次函数的性质求最值．5．著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中1213,,,a a a ⋯表示这些半音的频率，它们满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋯ ⎪⎝⎭.若某一半音与#D 32，则该半音为（ ）频率1a2a 3a4a 5a6a7a 8a9a 10a11a 12a13a半音 C#CD#D EF#FG#GA #ABC （八度）A ．#FB ．GC ．#GD ．A【答案】B 【解析】【分析】利用对数与指数的转化，得到数列1213,,,a a a ⋯为等比数列，公比1122q =，然后求得所求半音对应的数列的项数，从而得到答案. 【详解】依题意可知()01,2,,13n a n >=⋯.由于1213,,,a a a ⋯满足()1212log 11,2,,12i i a i a +⎛⎫==⋯ ⎪⎝⎭，则12111122,2i i i i a a a a ++⎛⎫=∴= ⎪⎝⎭， 所以数列1213,,,a a a ⋯为等比数列，公比1122q =，#D 对应的频率为4a ，题目所求半音与#D 的频率41131222⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以所求半音对应的频率为4112482a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即对应的半音为G . 故选：B . 【点睛】本题考查等比数列的应用，涉及对数运算，等比数列的判定，等比数列的性质，属中档题. 6．若数列{}n a 满足：对任意的()3n Nn *∈≥，总存在,i j N *∈，使(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<，则称{}n a 是“F 数列”．现有以下数列{}n a ：①2n a n =；②2n a n=；③3n n a =；④112n n a -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭；其中是F 数列的有（ ）． A ．①③ B ．②④ C ．②③ D ．①④【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值的方法可以否定②③,再根据通项公式的特点证明①④即可 【详解】①2n a n =,则12a =,()12122n a n n -=-=-,则11n n a a a -=+()3n ≥,故①是“F 数列”；②2n a n =,则2339a ==,若(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<,则,i j 只能是1,2,但2111a ==,2224a ==,此时312a a a ≠+,故②不是“F 数列”；③3n n a =,则33327a ==,若(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<,则,i j 只能是1,2,但13a =,2239a ==,此时312a a a ≠+,故③不是“F 数列”；④1n n a -=⎝⎭,则1121n n n a ----==⎝⎭⎝⎭,2132n n n a ----==⎝⎭⎝⎭，则2312112n n n n n a a -------⎡⎤⎢⎥+=+=+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111n n n na ------⎡⎤⎢⎥=⨯⨯+=⨯⨯==⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()3n ≥,故④是“F 数列”故选：D 【点睛】本题考查数列的通项公式的应用,考查对新定义的理解,考查分析阅读能力,考查推理论证能力 7．已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、16、…，其中第一项是02，接下来的两项是02、12，再接下来的三项是02、12、22，以此类推，若100N >且该数列的前N 项和为2的整数幂，则N 的最小值为（ ） A ．440 B ．330C ．220D ．110【答案】A 【解析】 【分析】把题设中的数列分成如下的组：()()()()1,1,2,1,2,4,1,2,4,8, ，记前k 组的和为k T ，算出k T 后结合前N 项和为2的整数幂可得N 的最小值. 【详解】把题设中的数列分成如下的组：()()()()1,1,2,1,2,4,1,2,4,8, ，记前k 组的和为k T 。

人教A 版（2019）选择性必修第二册第四章数列单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题3x 2y 21．双曲线2-2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =x ，则该双曲线的离心率为4a b （）A ．43B ．53C ．54D ．2x 2y 22．若双曲线2-2=1(m >0)的离心率为2，则实数m 的值为（）m m +2A ．1B ．13C ．2D ．33．已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2=24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为60︒，则该双曲线的标准方程为（）x 2y 2A ．-=1927y 2x 2C ．-=1279y 2x 2B ．-=1927x 2y 2D ．-=12794．已知点F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点，若过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，交抛物线的准线于点P ，且PA =λ1AF ,，PB =λ2BF ，则λ1+λ2=（）A ．2B ．1C ．0D ．125．33)，已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F (0，直线4x +3y -13=0与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是（）y 2x 2A ．+=1325x 2y 2B ．+=1325y 2x 2C ．+=1369x 2y 2D ．+=1369y26．已知A、B分别是双曲线C:x-=1的左、右顶点，P为C上一点，且P在第22一象限．记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当2k1+k2取得最小值时，△PAB的重心坐标为（）A．(1,1)B． 1,⎛4⎫⎪⎝3⎭C．⎛4⎫,1⎪⎝3⎭D．⎛44⎫,⎪⎝33⎭x27．若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，2则OP⋅FP的最小值为A．2-2B．12C．2+2D．1x2y28．已知椭圆2+2=1(a>b>0)的左，右焦点是F1，F2，P是椭圆上一点，若a bPF1=2PF2，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． 0,⎪⎛⎝1⎫2⎭B．,⎛11⎫⎪⎝32⎭C．⎢,1⎪⎡1⎫⎣3⎭D．⎢,1⎪⎡1⎫⎣2⎭x2y29．直线过椭圆：2+2=1（a＞0，b＞0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的a b圆交于P，Q两点，若PF=3FQ，∠POQ=120°，则椭圆离心率为（）A．12B．33C．73D．217x2y2F2，10．已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，若PF2-PF1=2a，a bPF1⊥F1F2，过点F2作一条与双曲线C的渐近线垂直的直线，垂足为Q，若PF1=3QF2，则双曲线C的离心率为（）A．52B．2C．103D．10二、填空题11．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为2，过F1作直线l交C于A,B两点，且∆ABF2的周长为16，那么C的方程为2__________．12．已知双曲线C 的方程为x 2-y 2=1，则C 的右焦点到它的渐近线的距离为__________．213．抛物线y =4x 的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足AF=4，BF点O 为原点，则∆AOF 的面积为__________．三、双空题x 2y 214．已知椭圆2+2=1(a >b >0)，其上一点P (3,t )到两个焦点的距离分别为6.5a b 和3.5，则该椭圆的离心率为_____，方程为_______．x 2y 215．已知双曲线2-2=1(b >a >0)，焦距为2c ，直线l 经过点(a ,0)和(0,b )，若a b (-a ,0)到直线l 的距离为22c ，则离心率为__________．双曲线渐近线方程为3__________．x 2y 216．F 1，F 2分别为椭圆C :+=1的左、右焦点，P 是C 上的任意一点．则95PF 1⋅PF 2的最大值为__________；若A (0,46)，则AP -PF 2的最小值为__________．x 2y 217．=1，已知双曲线-则该双曲线的渐近线方程为________，焦点坐标为________.43四、解答题18．如图，抛物线x 2=y 与直线y =1交于M 、N 两点，Q 为该抛物线上异于M 、N 的任意一点，直线MQ 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，直线与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ．（1）求M 、N 两点的坐标；（2）证明：B 、D 两点关于原点O 对称；（3）设△QBD 、QCA 的面积分别为S 1，S 2，若点Q 在直线y =1的下方，求S 2-S1的最小值．x 2y 2519．已知椭圆C :2+2=1(a >b >0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距a b 3离为3．（1）求椭圆C 的方程；222（2）椭圆C 上是否存在点P ，使得过点P 引圆O :x +y =b 的两条切线PA 、PB 互相垂直？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．1x 2y 2F 1，F 2，20．已知椭圆2+2=1,a >0,b >0，分别为椭圆的左右焦点，离心率e =，2a b 上顶点P (0,3)．（1）求椭圆的方程；（2）是否存在过点F 2且斜率不为0的直线l 交椭圆于M ，N 两点，且|MN |=4F 2N满足，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由．2221．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1:2x -y =1．（1）过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；22OP ⊥OQ ；Q 两点．（2）设斜率为1的直线C 1交于P 、若l 与圆x +y =1相切，求证：x 2y 2x 2y 2F 2，22．椭圆2+2=1(a >b >0)与双曲线2-2=1(m >0,n >0)有公共焦点F 1、a b m n P 是它们的一个公共点．（1）用b 和n 表示cos ∠F 1PF 2；（2）设S∆F1PF2=f(b,n)，求f(b,n)．参考答案1．C 【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y =b b 3x 即y =x ，由此可得4a a3，4结合双曲线的平方关系可得c 与a 的比值，求出该双曲线的离心率．【详解】3x 2y 2解：双曲线2-2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =x ，4a b b 可得a解得e =故选：C 23c 2-a 29，即=，24a 16525，即e =．164【点睛】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．2．A 【分析】根据双曲线的离心率公式计算可得；【详解】x 2y 2解：因为2-2=1(m >0)m m +2所以a 2=m 2，b 2=m 2+2m 2+m 2+2由题意，得．=2，解得m =1（m =-1（舍去）m故选：A 【点睛】本题考查双曲线的几何性质的应用，属于基础题.3．C 【分析】求出抛物线的焦点坐标,利用双曲线的渐近线方程得到a ,b 关系,求解即可.【详解】抛物线x 2=24y 的焦点：(0,6),可得c =6,双曲线的渐近线的倾斜角为60︒,双曲线的焦点坐标在y 轴上.a b 21可得=3,即2=,36=a 2+b 2,解得a 2=27,b 2=9.b a 3y 2x 2所求双曲线方程为：-=1.279故选：C .【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用,考查计算能力.4．C 【分析】⎧x =my +12设直线AB 方程为x =my +1，点P (-1,-)，联立方程⎨2，y =4xm ⎩2整理得y -4my -4=0，根据韦达定理结合向量关系，即可得解.【详解】y 2=4x 的焦点为F (1,0)，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，直线AB 方程为x =my +1，P (-1,-2)，m联立方程⎨⎧x =my +12y -4my -4=0，，整理得2⎩y =4x2则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=-4，∆=(-4m )+16>0，由PA =λ1AF ，PB =λ2BF ，2)=λ1(1-x 1,-y 1)，m2(1+x 2,y 2+)=λ2(1-x 2,-y 2)，m 22得y 1+=-λ1y 1，y 2+=-λ2y 2，m m (1+x 1,y 1+λ1=-1-22，λ2=-1-，my 1my2∴λ1+λ2=-2-【点睛】2(y 1+y 2)2⨯4m =-2-=-2+2=0．my 1y 2m ⨯(-4)本题考查了抛物线和过焦点直线的位置关系，考查了利用韦达定理搭桥建立各个量之间的关系，同时考查了向量的运算，计算量相对较大，属于较难题.5．C 【解析】y 2x 2设椭圆方程为2+2=1(a >b >0)a b ⎧y 2x 2+=1⎪2222222联立方程：⎨a 2b 2，整理得：(16b +9a )x -104b x -169b -9a b =0,⎪4x +3y -13=0⎩x 1+x 2104b 2=1，即设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则=2，化简得：a 2=4b 2，22216b +9a 2⎧a =3622，又a -b =27，易得：⎨2b =9⎩y 2x 2∴此椭圆的方程是+=1369故选C点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.6．B 【分析】,)，设点P (x ,y ),(x >1,y >0)，则k 1k 2=2，再由双曲线的性质可得点A (-1,0)，B (10由基本不等式可得2k 1=k 2=2，进而可得点P (3,4)，即可求得重心坐标.【详解】,)，由题意点A (-1,0)，B (10设点P (x ,y ),(x >1,y >0)，y y y 22(x 2-1)则k 1>0，k 2>0，k 1k 2=⋅==2=2，x +1x -1x 2-1x -1所以2k 1+k 2≥22k 1k 2=4，当且仅当2k 1=k 2=2时取等号，⎧y=1⎪⎧x =3⎪x +1所以⎨，解得⎨，所以点P (3,4)，2⎩y =4⎪x 2-y =1⎪2⎩则△PAB 重心坐标为 故选：B.【点睛】本题考查了直线斜率的求解及双曲线的应用，考查了基本不等式的应用及运算求解能力，属于中档题.7．B 【详解】试题分析：设点，所以，由此可得⎛-1+1+30+0+4⎫⎛4⎫,⎪即 1,⎪．33⎝⎭⎝3⎭OP ⋅FP =(x ,y )⋅(x -1,y )，x ∈[-2,2]，所以OP ⋅FP 的最小值为考点：向量数量积以及二次函数最值．8．C 【分析】根据椭圆定义及PF 1=2PF 2求出PF 2，由a -c ≤PF 2即可求解.【详解】由椭圆的定义知：PF 1+PF 2=2a ，1.22a ，32a又因为a -c ≤PF 2，所以a -c ≤，3a所以有：≤c ，3因为PF 1=2PF 2，即PF 2=c 1∴≥，a 3故椭圆的离心率的取值范围是[,1)．故选：C 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆的简单几何性质，属于中档题.9．D 【分析】根据圆的性质结合PF =3FQ ,∠POQ =120︒求出直线PQ 的斜率，再根据A ,F 的坐标得出直线PQ 的斜率，从而得出b ,c 的关系，进而求出椭圆的离心率.【详解】13椭圆的焦点在x 轴上，∴a >b >0,∴F (-c ,0),A (0,b )，故直线FA 的方程为x y+=1，即bx -cy +bc =0，-c bb c，直线FA （即PQ ）的斜率为过O 作的垂线OM ，则M 为PQ 的中点，∠POQ =120,∴∠OPM =30，∴OM 3，=tan 30=PM 3PF =3FQ ,∴F 是MQ 的中点，∴直线PQ 的斜率k =tan ∠MFO =OM =2⨯OM =23，MF PM 3b 23，不妨令b =23t ,c =3t ，∴=c 3则a =b 2+c 2=21t ，∴椭圆的离心率e =c =21，故选D.a 7【点睛】本题主要考查直线的斜率、圆的性质以及椭圆的离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a ,c ，从而求出e ;②构造a ,c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.10．D 【分析】联立直线与椭圆方程，求出PF 再用点到直线的距离公式求出QF 2，由PF 1=3QF 2，1，可得b=3，从而求出离心率；a【详解】⎧x 2y 2⎪2-2=1b 2b 2解：联立⎨a ，解得y =±，故PF 1=．b a a ⎪x =-c⎩点F 2(c ,0)到渐近线bx ±ay =0的距离d =b b 2=3，=3QF 由PF 知，故=3b 12a a|bc |a +b 22=b ，故QF 2=b ，b 2故e =1+=10，2a 故选：D ．【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质的应用，属于中档题.x 2y 211．+=1168【解析】试题分析：依题意：4a ＝16，即a ＝4，又e ＝c 2＝，∴c ＝22，∴b 2＝8.a 2x 2y 2∴椭圆C 的方程为+=1168考点：椭圆的定义及几何性质12．1【分析】求出双曲线的焦点、渐近线方程，再利用点到直线的距离公式即可求解.【详解】由题得：其焦点坐标为(-2,0)，(2,0)．渐近线方程为y =±x ，所以焦点到其渐近线的距离d =故答案为：1【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查了基本运算能力，属于基础题.13．2.【解析】|±2|1+(±1)22=1．⎧AF=4，⎪⎪BF 1AF =5，A (4，4)，S =14=2p =2，.由题可得p =2，⎨2112⎪+==1，⎪⎩AF BF 2即答案为2.【点睛】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查了学生的计算能力，是中档题．1x 24y 214．+=122575【分析】设椭圆的左焦点为F 1(-c ,0)，右焦点F 2(c ,0)，由椭圆定义得PF 1+PF 2=2a =10，得16139t 216a =5；由+2=1⇒t 2=b 2，得PF 1=(3+c )2+b 2=，同理得25225b 25PF 2=(3-c )2+【详解】设椭圆的左焦点为F 1(-c ,0)，右焦点F 2(c ,0)，点P (3,t )在椭圆上，由椭圆定义可得51627b =，解得c =，从而解得离心率和方程.2252PF 1+PF 2=2a =6.5+3.5=10，9t 216∴a =5，∴PF 1=(3+c )+t ，且+2=1⇒t 2=b 2，于是得到25b 2522PF 1=(3+c )2+16213b =6.5=，252同理得PF 2=(3-c )2+75，4c 151627b =3.5=，联立两式可得到c =，∴e ==，2a 2252b 2=a 2-c 2=x 24y 2∴椭圆方程为+=1．25751x 24y 2故答案为：，+=1.22575【点睛】本题考查椭圆的标准方程及定义的应用，考查椭圆的离心率的求法，考查转化思想，属于中档题．15．3y =±2x【分析】求出直线的方程，运用点到直线的距离公式，得到方程，结合a ，b ，c 的关系和离心率公式，化简整理即可得到2e 4-9e 2+9=0，解方程即可得到离心率，注意条件0<a <b ，则有e 2>2，注意取舍，最后求出双曲线的渐近线．【详解】解：直线l的方程为x y+=1，即为bx+ay-ab=0，a b22c，3c2=a2+b2，(-a,0)到直线l的距离为可得：2aba2+b2=22c，即有3ab=2c2，32即9a2b2=2c4，即9a（c2-a2）=2c4，9a2c2-9a4-2c4=0，c，则2e4-9e2+9=0，a32解得e2=3，或e=．2由于e=由于0<a<b，即a2<b2，即有c2>2a2，即有e2>2，故e2=3，∴e=3故渐近线方程为y=±bx=±2x．a故答案为：3；y=±2x【点睛】本题考查双曲线的性质：离心率的求法，同时考查直线的方程和点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．16．94【分析】首先根据题意得到PF1⋅PF2的最大值.根据1+PF2=6，再利用基本不等式即可得到PF题意得到PF2=6-PF1，从而得到AP-PF2=AP+PF1-6，从而得到答案.【详解】x2y2由+=1可得：a=3，c=2，95由椭圆定义可知PF1+PF2=2a=6，PF1⋅PF2≤(PF1+PF22)2=9，当PF1=PF2时取等号．PF1+PF2=2a=6⇒PF2=6-PF1.AP -PF 2=AP -(6-PF 1)=AP +PF 1-6又AP +PF ，1上时取等号）1≥AF 1（当且仅当P 在线段AF (AP -PF )2min=AF 1-6=(0+2)2+(46-0)2-6=4.故答案为：9；4【点睛】本题主要考查椭圆的定义，同时考查了基本不等式求最值，属于简单题.17．y =±【分析】利用双曲线方程求解双曲线的渐近线方程；以及焦点坐标.【详解】3x(±7,0)2x 2y 2=1，可得a =2，b =解：双曲线-43则该双曲线的渐近线方程为：y =±焦点坐标为：(±7,0).3，c =7，3x .2故答案为：y =±【点睛】3x ，(±7,0).2本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，考查计算能力.18．（1）M (-1,1)，N (1,1)；（2）证明见解析；（3）22-3．【分析】⎧y =x 2（1）由⎨得M ，N 两点的坐标为M (-1,1)，N (1,1)⎩y =12（2）设点Q 的坐标为(x 0,x 0)，得点B 坐标为(0,x 0)，点D 坐标为(0,-x 0)，可得B ，D两点关于原点O 的对称．（3）由（2）得|BD |=2|x 0|，S 1=12|BD ||x 0|=x 0．在直线MQ 的方程中令y =0，得点A2x0x 0((0)NQ 坐标为，，在直线的方程中令y =0，得点C 坐标为，0)，1-x 01+xx 041122S 2==|AC ||x 0|=t ∈(0，1]，则S 2-S 1=2t +-322-3即可．2，令t =1-x 0，21-x 0t【详解】⎧y =x 2⎧x =-1⎧x =1解：（1）由⎨得⎨或，⎨，y =1y =1y =1⎩⎩⎩∴M 、N 两点的坐标为M (-1,1)，N (1,1)．（2）设点Q 的坐标为(x 0,x 0)，直线的方程为MQ ：y =(x 0-1)(x +1)+1，令x =0，得点B 坐标为(0,x 0)，直线的方程为NQ ：y =(x 0+1)(x -1)+1，令x =0，得点D 坐标为(0,-x 0)，2∴B 、D 两点关于原点的对称．（3）由（2）得|BD |=2x 0，S 1=12BD x 0=x 0．2x0,0)，1-x在直线MQ 的方程中令y =0，得点A 坐标为(x0(,0)，NQ 在直线的方程中令y =0，得点C 坐标为1+x24x 0x 02x 0x 012∴AC =-=S =AC x 0=2，22，1+x 01-x 01-x 021-x 0442x 02x 0-x 02∴S 2-S 1=-x 0=．221-x 01-x 02令t =1-x 0，-1<x 0<1，可得t ∈(0,1]，则S 2-S 1=2t +-3≥22-3，当且仅当t =1t 22-2时取等号．时，即x 0=22综上所述，S 2-S 1的最小值为22-3．【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，属于中档题．⎛6525⎫⎛6525⎫⎛65-25⎫x 2y 2-,,,19．（1）+（2）存在，，，，=1；P 的坐标是 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪55555⎭94⎝⎭⎝⎭⎝5⎛6525⎫-5,-5⎪⎪．⎝⎭【分析】（1）根据离心率为5，再由短轴一个端点到右焦点的距离为3可得a =3，联立即可得解；3（2）假设存在点P ，则四边形PAOB 是边长为b 的正方形，则点P 为以O 为圆心，2b 为⎧x 2y 2=1⎪+半径的圆与椭圆C 的交点，联立即⎨9即可得解.4⎪x 2+y 2=8⎩【详解】（1）e =1-()2=b a 5，a =3，b 2=4，3x 2y 2∴+=1．94（2）假设存在点P ，过点P 引圆O 的切线，连接OA ，OB ，则四边形PAOB 是边长为b 的正方形，点P 为以O 为圆心，2b 为半径的圆与椭圆C 的交点．⎧236⎧x 2y 2x =⎪=1⎪⎪+5即⎨9，解得⎨，44⎪y 2=⎪x 2+y 2=8⎩⎪5⎩所以点P 的坐标是(-【点睛】本题考查了椭圆基本能量的计算，考查了离心率和长轴等概念，同时考查了转化思想，有一定的计算量，属于较难题.65-25652565256525,)，(-,)，(,)，(,-)．55555555x 2y 220．（1）（2）不存在，理由见解析.+=1；43【分析】⎧c 1⎪a =2⎪⎪（1）首先根据题意列出方程组⎨b =3，再解方程组即可得到答案.⎪a 2=b 2+c 2⎪⎪⎩⎧x =ky +1⎪（2）首先设直线为l :x =ky +1，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，联立⎨x 2y 2得到=1⎪+3⎩4(3k 2+4)y 2+6ky -9=0，从而得到y 1+y 2=-6k -9y y =，，再根据123k 2+43k 2+4|MN |=4F 2N ，得到-y 1=3y 2，化简得到3k 2=3k 2+4，此方程无解，即可得到答案.【详解】⎧c 1⎪a =2⎪⎪（1）由题可得：⎨b =3，解得：a =2，b =3，c =1，⎪a 2=b 2+c 2⎪⎪⎩x 2y 2所以椭圆方程为：+=1．43（2）设直线为l :x =ky +1，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，⎧x =ky +1⎪22由⎨x 2y 2，化简得(3k +4)y +6ky -9=0，=1⎪+3⎩4y 1+y 2=-6k -9y y =，，123k 2+43k 2+4|MN |=4F 2N 即MF 2=3F 2N ，∴MF 2=3F 2N ，MF 2=(1-x 1,-y 1)，F 2N =(x 2-1,y 2)，∴-y 1=3y 2，∴y 1+y 2=-6k，3k 2+43k -9ky =，，1223k +43k +43k -9k -9∴y 1y 2=2⋅2=2，3k +43k +43k +4∴y 2=化简得3k 2=3k 2+4，此方程无解，所以不存在满足题意的直线l ．【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题.21．（1）【分析】（1）根据双曲线的标准方程可得左顶点A (-过点A 与渐近线y =求解.（2）设直线PQ 的方程是y =x +b ，利用点到直线的距离公式可得b 2=2，联立方程2；（2）证明见解析.82,0)，渐近线方程：y =±2x ，从而可得22x 平行的直线方程，将此直线与另一条渐近线联立求出交点，进而⎧y =x +b，设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，由OP ⋅OQ =x 1x 2+y 1y 2=0即证.⎨22⎩2x -y =1【详解】x 2C 1:-y 2=12（1）双曲线，左顶点A (-1,0)，渐近线方程：y =±2x ．22过点A 与渐近线y =2x 平行的直线方程为y =2(x +2)，即y =2x +1．2⎧2x =-⎪⎧⎪y =-2x ⎪4解方程组⎨得⎨⎪⎩y =2x +1⎪y =1⎪2⎩所以所求三角形的面积为S =12．|OA ‖y |=28（2）设直线PQ 的方程是y =x +b ，因直线PQ 与已知圆相切，故|b |=1，即b 2=2．2⎧y =x +b 由⎨2得x 2-2bx -b 2-1=0．2⎩2x -y =1⎧x 1+x 2=2b设P (x 1,y 1)，Q (x 2,y 2)，则⎨2x x =-1-b ⎩12又y 1y 2=(x 1+b )(x 2+b )，所以OP ⋅OQ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+b )(x 2+b )=2x 1x 2+b (x 1+x 2)+b 2=2(-1-b 2)+2b 2+b 2=b 2-2=0．故OP ⊥OQ ．【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质、直线与双曲线的位置关系，证明直线垂直可转化为向量的数量积等于零，考查了考生的基本运算能力，属于中档题.b 2-n 222．（1）2；（2）bn .2b +n 【分析】（1）先由余弦定理得到4c =(r 1+r 2)-2r 1r 2(1+cos α)和222b24c =(r 1-r 2)+2r 1r 2(1-cos α)，再由点P 在椭圆和双曲线上，得到r 1r 2=和1+cos α222n 22b 22n 2b 2-n 2，最后建立方程表示出cos α=2即可；r 1r 2==21-cos α1+cos α1-cos αb +n 2b 22bn r 1r 2==b 2+n 2222（2）由（1）整理得和sin α=1-cos α=2，最后直b -n 21+2b +n b +n 2接表示出S ∆F 1PF 2即可．【详解】∠F 1PF 2=α，（1）令PF 1=r 1，PF 2=r 2，在△F 1PF 2中，由余弦定理得：F 1F 22=r 12+r 22-2r 1⋅r 2⋅cos α，2222所以4c =(r 1+r 2)-2r 1r 2(1+cos α)和4c =(r 1-r 2)+2r 1r 2(1-cos α)，因为P 是椭圆上的点，则r 1+r 2=2a ，2b 2．r 1r 2=1+cos α因为P 是双曲线上的点，则r 1-r 2=2m ，2n 2．r 1r 2=1-cos α2b 22n 22b 22n 2b 2-n 2所以r 1r 2=，即，整理得：cos α=2==1+cos α1-cos α1+cos α1-cos αb +n 2⎧2b 2r 1r 2=2b 2⎪22⎪r 1r 2==b +n 1+cos α（2）由（1）可得⎨，整理得：，b 2-n 2221+2⎪cos α=b -n b +n 222⎪b +n ⎩2bn b 2-n 22sin α=1-cos α=由（1）可知cos α=2，所以，b 2+n 2b +n 2所以S ∆F 1PF 2=【点睛】本题考查同角三角函数关系、余弦定理、椭圆与双曲线的定义的几何意义、三角形的面积公式，是中档题.1r 1r 2sin α=bn ．2。

第四章 数 列 章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·山东泗水·期中（文））已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13C ．23D ．12【答案】B【解析】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++.故选：B. 2．（2020·四川阆中中学月考（理））等比数列{}n a 的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝（ ） A ．32 B ．31C ．64D ．63【答案】B【解析】依题意3264640n a a a a =⎧⎪⋅=⎨⎪>⎩，即2151114640,0a q a q a q a q ⎧⋅=⎪⋅=⎨⎪>>⎩，解得11,2a q ==，所以()551123112S ⨯-==-.故选：B3．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）在等比数列{}n a 中，5113133,4a a a a =+=，则122a a =（ ） A ．3 B ．13-C ．3或13D ．3-或13-【答案】C【解析】若{}n a 的公比为q ，∵3135113a a a a ==，又由3134a a +=，即有31313a a =⎧⎨=⎩或31331a a =⎧⎨=⎩, ∴1013q =或3，故有101223a q a ==或13故选：C 4．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在递减等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，若245a a +=，154a a ⋅=，则7S =（ ）．A ．1278B ．212C ．638D ．6332【答案】A【解析】则24152454a a a a a a +=⎧⎨==⎩，解得2414a a =⎧⎨=⎩或2441a a =⎧⎨=⎩，∵{}n a 是递减数列，则2441a a =⎧⎨=⎩，∴24214a q a ==，12q =（12q =-舍去）．∴218a a q ==，7717181(1)21112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭==--1278=． 故选：A ．5．（2020·重庆高一期末）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A ．53B ．103C ．56D ．116【答案】A【解析】设5人分到的面包数量从小到大记为{}n a ，设公差为d ，依题意可得，15535()51002a a S a +===， 33451220,7()a a a a a a ∴=++=+， 6037(403)d d ∴+=-，解得556d =， 1355522033a a d ∴=-=-=. 故选:A.6．（2020·贵州贵阳·为明国际学校其他（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比6121,24q S =-=，则数列{}n a 的前n 项积n T 的最大值为（ ） A ．16 B ．64C ．128D ．256【答案】B【解析】由12q =-，6214S =，得61112211412a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，解得18a =， 所以数列{}n a 为8，4-，2，1-，12，14-，……，前4项乘积最大为64. 故选：B .7．（2020·吉林市第二中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且675S S S >>，有下面4个结论： ①0d <；②110S >；③120S <；④数列{}n S 中的最大项为11S ， 其中正确结论的序号为（ ） A ．②③ B ．①②C ．①③D ．①④【答案】B【解析】由675S S S >>得760S S -<，750S S ->，则70a <，670a a +>，所以60a >，所以0d <，①正确；111116111102a a S a +=⨯=>，故②正确； 1126712126()02a a S a a +=⨯=+>，故③错误； 因为60a >，70a <，故数列{}n S 中的最大项为6S ，故④错误． 故选：B.8．（2020·上海市市西中学月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2415a a a ++是一个确定的常数，则数列{}n S 中是常数的项是（ ）A ．7S ；B ．8S ；C ．11S ；D ．13S【解析】由于题目所给数列为等差数列，根据等差数列的性质， 有()2415117318363a a a a d a d a ++=+=+=， 故7a 为确定常数，由等差数列前n 项和公式可知()11313713132a a S a+⋅==也为确定的常数.故选:D二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）9．（2020·鱼台县第一中学月考）设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值【答案】ABD【解析】由78S S <得12377812a a a a a a a a +++⋯+<++⋯++，即80a >， 又∵89S S =，1229188a a a a a a a ∴++⋯+=++⋯++，90a ∴=，故B 正确；同理由910S S >，得100a <，1090d a a =-<，故A 正确；对C ，117S S >，即8910110a a a a +++>，可得(9102)0a a +>， 由结论9100,0a a =<，显然C 是错误的；7898810,,S S S S S S <=>∴与9S 均为n S 的最大值，故D 正确；10．（2020·河北邯郸·高三月考）已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+【答案】ABD【解析】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确， 故选：ABD.11．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C ．此人第二天走的路程占全程的14D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【解析】由题意，此人每天所走路程构成以12为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为12q =，前n 项和为n S ， 则16611163237813212a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭===-，解得1192a =，所以此人第三天走的路程为23148a a q =⋅=，故A 错；此人第一天走的路程比后五天走的路程多()1611623843786a S a a S --=-=-=里，故B 正确；此人第二天走的路程为213789694.54a a q =⋅=≠=，故C 错； 此人前三天走的路程为31231929648336S a a a =++=++=，后三天走的路程为6337833642S S -=-=，336428=⨯，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D 正确；故选：BD.12．（2019·山东省招远第一中学高二期中）已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3393n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．14【答案】ACD【解析】由题意可得()()()()()()12121121212121221212n n n n n n n nn a a n a S a n b b T n b b -----+-===-+-，则()()21213213931815321311n n n n n a S n b T n n n ---++====+-+++，由于nna b 为整数，则1n +为15的正约数，则1n +的可能取值有3、5、15， 因此，正整数n 的可能取值有2、4、14. 故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题（每题5分，共20分）13．（2020·山东泗水·期中（文））已知{}n a 是等比数列，14a =，412a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=______. 【答案】321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，等比数列{}n a 中，14a =，412a =，可得34218a q a ==，解得12q =，又由2111114n n n n n n a a a q a a a ++--===，且21218a a a q ==， 即数列{}1n n a a +表示首项为8，公比为14的等比数列， 所以1223118[1()]3214113414n n n n a a a a a a +⨯-⎡⎤⎛⎫++⋅⋅⋅+==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 故答案为：321134n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.14．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校月考（理））在各项都是正数的等比数列{}n a 中，2a ，312a ，1a 成等差数列，则7856a a a a ++的值是________.【答案】32+【解析】设等比数列{}n a 的公比为()0q q >， 由321a a a =+， 得210q q --=，解得12q +=(负值舍)，则222278565656a a a q a q q a a a a ++====++⎝⎭.15．（2020·吉林市第二中学月考）各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________. 【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)， 即()()233307030S S -=⋅-. 解得S 3＝10或S 3＝90(舍)． 故答案为：1016．（2020·四川武侯·成都七中月考）已知等差数列{}n a 的公差2d =，前n 项之和为n S ，若对任意正整数n 恒有2n S S ≥，则1a 的取值范围是______.【答案】[]4,2--【解析】因为对任意正整数n 恒有2n S S ≥，所以2S 为n S 最小值，因此230,0a a ≤≥，即111+20,+4042a a a ≤≥∴-≤≤- 故答案为：[]4,2--四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）17．（2020·安徽省舒城中学月考（文））已知在等差数列{}n a 中，35a =，1763a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式：（2）设2(3)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【答案】（1）21n a n =-；（2）1n n +. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由317653a a a =⎧⎨=⎩，可得()111251635a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩ 解得1a 1,d 2，所以等差数列{}n a 的通项公式可得21n a n =-;（2） 由（1）可得211(3)22(1)1n n b n a n n n n ===-+++，所以111111 (22311)n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 18．（2020·湖南武陵·常德市一中月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()()()111,11,2n n a n S nS n n n N n -+=-=+-∈≥.（1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T 【答案】（1）证明见解析；（2）21n n T n =+. 【解析】（1）当2n ≥时，因为()()111n n n S nS n n --=+-， 所以()1121n n S S n n n --=≥-， 即n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭首项为1，公差为1的等差数列. （2）由（1）得n S n n=，2n S n =. 当2n ≥时，()22121n a n n n =--=-.当1n =时，11a =，符合题意，所以21n a n =-. 所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11122121n n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 19．（2021·黑龙江鹤岗一中月考（理））已知各项均为正数的等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=⋅；（2）5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又(52)(513)100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=，1(1)21n a a n d n ∴=+-⨯=+，又1125b a =+=，22510b a =+=，2q ∴=，152n n b -∴=⋅；（2）21535272(21)2n n T n -⎡⎤=+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，2325325272(21)2n n T n ⎡⎤=⨯+⨯+⨯+++⨯⎣⎦，两式相减得2153222222(21)25(12)21n n n n T n n -⎡⎤⎡⎤-=+⨯+⨯++⨯-+⨯=--⎣⎦⎣⎦， 则5(21)21n n T n ⎡⎤=-+⎣⎦.20．（2020·四川省绵阳南山中学月考（理））已知数列{}n a 为等差数列，11a =，0n a >，其前n 项和为n S ，且数列也为等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-；（2）222(1)n n n ++. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≥， 11S ===1∴=+2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=，n ==， 所以数列为等差数列，21na n ∴=-. （2）2(121)2n n n S n +-==，22222111(1)(1)n nb n n n n +∴==-⋅++， 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2222222221111111211223(1)(1)(1)n n n T n n n n ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 21．（2020·浙江月考）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13542a a a ++=，39a +是1a ，5a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：3n n n n a b a =+，设{}n b 的前n 项的和为n S ，求证：2113n S <. 【答案】（1）2n n a =；（2）证明见解析.【解析】（1）由39a +是1a ，5a 的等差中项得153218a a a +=+，所以135a a a ++331842a =+=，解得38a =，由1534a a +=，得228834q q +=，解得24q =或214q =， 因为1q >，所以2q. 所以2n n a =.（2）112()333()1()22n n n nb =<=+， 3412324222()()()513333n n n S b b b b ∴=++++<++++24688221()6599313n -=+-⋅≤在3n ≥成立， 又有1222146215136513S S =<=<，， 2113n S ∴<. 22．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期中（理））已知数列{}n a 中，n S 是{}n a 的前n 项和且n S 是2a 与2n na -的等差中项，其中a 是不为0的常数.（1）求123,,a a a .（2）猜想n a 的表达式，并用数学归纳法进行证明.【答案】（1）12a a =；26a a =；312a a =（2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+；证明见解析 【解析】（1）由题意知：222n n S a na =-即n n S a na =-，当1n =时，111S a a a ==-，解得12a a =.当2n =时，21222S a a a a =+=-，解得26a a =. 当3n =时，312333S a a a a a =++=-，解得312a a =. （2）猜想：()()*1n a a n N n n =∈+ 证明：①当1n =时，由（1）知等式成立.②假设当()*1,n k k k N =≥∈时等式成立，即()1k a a k k =+， 则当1n k =+时，又n n S a na =-则k k S a ka =-，11k k S a ka ++=-， ∴()()1111k k k k k a S S a k a a ka +++=-=-+--， 即()()1211k k a a k a ka k k k k ++==⨯=++ 所以()()()()112111k aa a k k k k +==+++++⎡⎤⎣⎦， 即当1n k =+时，等式成立.结合①②得()1n a a n n =+对任意*n N ∈均成立.。

第四章达标测试卷(时间：120分钟满分：150分)一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列的通项公式a n是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意，数列{an}的前几项为：a1＝＝；a2＝＝；a3＝＝；……则其通项公式a n＝．2．已知数列{a n}满足．若{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，3）C．[2，3）D．（1，3）【答案】B【解析】若{a n}是递增数列，则即，即，即2＜a＜3，即实数a的取值范围是（2，3），故选：B3．在等差数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣4x+3＝0的两根，则a6的值是（）A．B．C．2 D．﹣2【答案】C【解析】等差数列{a n}中，若a4，a8是方程x2﹣4x+3＝0的两根，∴a4+a8＝4＝2a6，∴a6＝2，故选：C4．已知数列a1，是首项为8，公比为的等比数列，则a4等于（）A．8 B．32 C．64 D．128【答案】C【解析】提示：数列a1，是首项为8，公比为的等比数列，则＝8×＝1．a4＝a1×××＝8×4×2×1＝64．故选：C5．首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15＝0．则d的取值范围（）A．d≤﹣2或d≥2B．﹣2≤d≤2C．d＜0D．d＞0【答案】A【解析】足S5S6+15＝0，则（5a1+10d）（6a1+15d）+15＝0，整理可得，有解，故△＝81d2﹣8（1+10d2）≥0，解可得，d或d．故选：A6．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈（1匹＝40尺，一丈＝10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为a n，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1＝6（尺），S30＝11×40+30＝470（尺），设公差为d（尺），则30×6+d＝470，解得d＝．则＝＝＝．7．设数列{a n}满足a n+1﹣a n＝2（n+1），a1＝2，则数列{（﹣1）n•a n}的前200项和是（）A．20100 B．20200 C．40200 D．40400【答案】B【解析】a n+1﹣a n＝2（n+1），a1＝2，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+…+（a n﹣a n﹣1）＝2+4+6+…+2n＝n（2+2n）＝n（n+1），（﹣1）n•a n＝（﹣1）n•n（n+1），数列{（﹣1）n•a n}的前200项和为﹣1×2+2×3﹣3×4+4×5﹣5×6+…﹣199×200+200×201＝2×（2+4+…+200）＝2××100×202＝20200，故选：B8．各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和为S n，，S2m﹣1＝38，则m等于（）A．38 B．20 C．10 D．9【答案】C【解析】由，利用等差数列的性质可得：2a m﹣＝0，a m＞0．解得a m＝2．∴S2m﹣1＝＝（2m﹣1）a m＝38，则m＝10．故选：C二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9．已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，且2a1+3a3＝S6，则下列结论正确的是（）A．a10＝0 B．S10最小C．S7＝S12D．S19＝0【答案】ACD【解析】A．因为数列{a n}为等差数列，2a1+3a3＝S6，即5a1+6d＝6a1+15d，即a1+9d＝a10＝0，故A正确；B．因为a10＝0，所以S9＝S10，但是无法推出数列{a n}的单调性，故无法确定S10是最大值还是最小值．故B错误；C．因为a8+a9+a10+a11+a12＝5a10＝0，所以S12＝S7+a8+a9+a10+a11+a12＝S7+0＝S7，故C正确；D．S19＝＝19a10＝0，所以D正确．故选：ACD10．下列关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题中真命题是（）A．数列{a n}是递增数列；B．数列{na n}是递增数列；C．数列是递增数列；D．数列{a n+3nd}是递增数列；【答案】AD【解析】A∵对于公差d＞0的等差数列{a n}，a n+1﹣a n＝d＞0，∴数列{a n}是递增数列成立，A是真命题．对于数列{na n}，第n+1项与第n项的差等于（n+1）a n+1﹣na n＝（n+1）d+a n，不一定是正实数，B是假命题．对于数列，第n+1项与第n项的差等于﹣＝＝，不一定是正实数，C是假命题．对于数列{a n+3nd}，第n+1项与第n项的差等于a n+1+3（n+1）d﹣a n﹣3nd＝4d＞0，数列{a n+3nd}是递增数列成立，D 是真命题．故选：AD11．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则（）A．数列{a n}为等差数列B．数列{a n}为等比数列C．a12+a22+…+a n2＝D．m+n为定值【答案】BD【解析】S n＝2a n﹣2，可得n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣2，即a1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2﹣2a n﹣1+2，化为a n＝2a n﹣1，则{a n}为首项为2，公比为2的等比数列，故A错，B对；由a n＝2n，可得a n2＝4n，则a12+a22+…+a n2＝4+16+…+4n＝＝，故C错；存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，可得2m+n＝26，即m+n＝6，故D对．故选：BD12．若数列{a n}满足：对任意正整数n，{a n+1﹣a n}为递减数列，则称数列{a n}为“差递减数列”．给出下列数列{a n}（n∈N*），其中是“差递减数列”的有（）A．a n＝3n B．a n＝n2+1 C．a n＝D．a n＝ln【答案】CD【解析】A∵a n+1﹣a n＝3（n+1）﹣3n＝3，∴数列{a n}不为“差递减数列”．同理可得：B不为“差递减数列”．C∵a n+1﹣a n＝＝，∴数列{a n}为“差递减数列”．同理可得：D为“差递减数列”．故选：CD三.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知等比数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2+a n+1，则a1＝．【答案】-2【解析】根据题意，等比数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2+a n+1，则有S n﹣1＝2+a n，两式相减可得：S n﹣S n﹣1＝a n+1﹣a n，即a n＝a n+1﹣a n，变形可得a n+1＝2a n，即等比数列{a n}的公比为2；在S n＝2+a n+1中，令n＝1可得：a1＝2+a2，即a1＝2+2a1，解可得a1＝﹣214．已知数列{a n}满足a n＞0，且lga n，lga n+1，lga n+2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝．【答案】【解析】由题意可得，lga n+lga n+2＝2lga n+1，即，即数列{a n}为等比数列，由等比数列的性质可得，a3a4a6a7＝＝4，∵a n＞0，则a5＝．15．已知正项数列{a n}中，若存在正实数p，使得对数列{a n}中的任意一项a k，也是数列{a n}中的一项，称数列{a n}为“倒置数列”，p是它的“倒置系数”，若等比数列{a n}的项数是m，数列{a n}所有项之积是T，则T＝（用m和p表示）．【答案】【解析】∵数列{a n}是项数为m的有穷正项等比数列，取p＝a1•a m＞0，对数列{a n}中的任意一项a i（1≤i≤m），＝也是数列{a n}中的一项，由“倒置数列”的定义可知，数列{a n}是“倒置数列”．又∵数列{a n}所有项之积是T，∴T 2＝（a 1a 2…a m ）（a m a m ﹣1…a 1）＝，则 16．已知正项等比数列{a n }满足a 2020＝2a 2018+a 2019，若存在两项a m ，a n 使得，则的最小值是 ，此时m 2+n 2＝ ． 【答案】，20 【解析】根据题意，设正项等比数列{a n }的公比为q ，若{a n }满足a 2020＝2a 2018+a 2019，则有q 2＝2+q ，解得q ＝2或q ＝﹣1（舍去），若存在两项a m ，a n 使得，即a m •a n ＝16a 12，变形可得2m +n ﹣2＝16＝24，则有m +n ＝6， 则＝+＝×（m +n ）×（+）＝×（5++）， 又由+≥2×＝4，当且仅当n ＝2m 即n ＝2m ＝4时，等号成立， 则＝×（5++）≥（5+4）＝，此时m 2+n 2＝20；三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .【解析】(1)设{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8， b 1＋4d ＝32， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12. 从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 18.（本小题满分12分）（2020•邵阳一模）已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ﹣a 1，且满足a 1，a 2+，a 3成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，求使|T n﹣2|＜成立的n的最小值．【解析】（1）由已知S n＝2a n﹣a1，有a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n＝2a n﹣1，（n≥2），从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又∵a1，a2+，a3成等差数列，∴a1+a3＝a2+1，∴a1+4a1＝4a1+1，解得a1＝1，∴{a n}的通项公式为：a n＝2n﹣1；（2）由（1）得＝，所以T n＝＝2﹣，由|T n﹣2|＜，即＜，∴2n﹣1＞500，即2n＞1000，∴n的最小值是10．19.（本小题满分12分）在①a4＝b4，②a2+b5＝2，③S6＝﹣24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k存在，求k的值；若k不存在，请说明理由．设S n为等差数列{a n}的前n项和，{b n}是等比数列，，b1＝a5，b3＝﹣9，b6＝243．是否存在k，使得S k＞S k﹣1且S k+1＜S k？【解析】选择①a4＝b4，又b1＝a5，b3＝﹣9，b6＝243．则b1﹣d＝﹣9q，﹣9q3＝243，b1q2＝﹣9，a1+3d＝b1﹣d．解得q＝﹣3，b1＝﹣1，d＝﹣28．a1＝111．∴a n＝111﹣28（n﹣1）＝139﹣28n．假设存在k使得S k＞S k﹣1且S k+1＜S k．则139﹣28k＞0，139﹣28（k+1）＜0，化为：＜k＜，解得k＝4．故答案为：4．20.（本小题满分12分）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝﹣7，公差d为大于0的整数，当且仅当n＝4时，S n取得最小值．（1）求公差d及数列{a n}的通项公式；（2）求数列{|a n |}的前20项和．【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，则 依题意，可知：，即， 即，解得．∵公差d 为大于0的整数，∴d ＝2．∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝﹣7+2（n ﹣1）＝2n ﹣9．（2）由题意，当n ≤4时，a n ＜0；当n ≥5时，a n ＞0． 故|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|+…+|a 20|＝﹣（a 1+a 2+a 3+a 4）+（a 5+a 6+…+a 20） ＝＝＝272． ∴数列{|a n |}的前20项和为272．21.（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1， S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n . 所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·)111(+-n n ， 所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1). 22.（本小题满分12分）数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a n a n ＋2n (n ∈N *)． (1)证明：数列{2na n}是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】(1)证明：由已知可得a n ＋12n ＋1＝a n a n ＋2n， 即2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n＝1. ∴数列{2na n}是公差为1的等差数列． (2)由(1)知2n a n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝2nn ＋1. (3)由(2)知b n ＝n ·2n .S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1， 相减得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1 ＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1，∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。

高中数学选择性必修二第四章《数列》单元测试卷注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列{}n a 的通项公式为()()132nn a n =--，则{}n a 的第5项是（ ）A ．13B ．13-C ．15-D ．152．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列” 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．如图，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得图（2），如此继续下去，得图（3）…，设第n 个图形的边长为n a ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A ．13nB ．131n - C ．13nD ．113n - 4．若数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-，则2018a 的值为（ ）A ．2B ．3-C ．12-D ．135．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为（ ） A ．100-B ．100C ．110-D ．1106．已知数列{}n a 的前n 项和1233n n S a =+，则{}n a 的通项公式n a =（ ）A ．12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．112n n a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭7．在数列{}n a 中，11a =-，20a =，21n n n a a a ++=+，则5a 等于（ ） A ．0B ．1-C ．2-D ．3-8．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：996斤棉花，分别赠送给个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1769．已知数列{}n a 的各项均为整数，82a =-，134a =，前12项依次成等差数列，从第11项起依次成等比数列，则15a =（ ） A ．8B ．16C ．64D ．12810．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2n S n n =--，则数列()21n n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前40项的和为（ ）A ．3940B ．3940-C ．4041D ．4041-11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n T ，34a =，627T =，数列{}n b 满足1123n n b b b b b +=+++⋅⋅⋅+，121b b ==，设n n n c a b =+，则数列{}n c 的前11项和为（ ）A ．1062B ．2124C ．1101D ．110012．已知数列{}n a 满足11a =，()12n n a a n +-≥∈*N ，则（ ） A ．21n a n ≥+B ．2n S n ≥C ．12n n a -≥D ．12n n S -≥二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．14．已知数列{}n a 的首项12a =，且()11122n n a a n +=+∈*N ，则数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前10项的和为_____．15．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，若22n n n S a =-，则=n S _________．16．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，10a =，若()()1112n nn n a a +⎡⎤=+-+-⎣⎦，则100S =_____．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足12n n n a b na ⋅=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18．（12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S ，52S ，4S 成等差数列，521322a a a =+-． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n b -=，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．19．（12分）已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a ，2a ，6a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．（12分）设正项数列{}n a 的前n 项和n S满足1n a +，()n ∈*N ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围．21．（12分）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n =-∈*N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若lg n n b a =，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．22．（12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足2n n S a λ=-（0n λ>∈*N ，）． （1）证明：数列{}n a 为等比数列，并求n a ；（2）若24,log n n n a n b a n λ⎧⎪==⎨⎪⎩，是奇，是偶，（n ∈*N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ．高中数学选择性必修二第四章《数列》单元测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】求数列{}n a 的某一项，只要把n 的值代入数列的通项即得该项． 2．【答案】A【解析】∵“0n a >”⇒“数列{}n S 是递增数列”， 所以“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的充分条件． 如数列{}n a 为1-，0，1，2，3，4，…，显然数列{}n S 是递增数列，但是n a 不一定大于零，还有可能小于等于零， 所以“数列{}n S 是递增数列”不能推出“0n a >”， ∴“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的不必要条件．∴“0n a >”是“数列{}n S 是递增数列”的充分不必要条件．故答案为A ． 3．【答案】D【解析】本题主要考查了等比数列的判定和等比数列的通项的求法，属于基础题． 4．【答案】B【解析】12a =由题，111n n n a a a ++=-，所以121131a a a +==--，2321112a a a +==--，3431113a a a +==-，454121a a a +==-，故数列{}n a 是以4为周期的周期数列，故20185044223a a a ⨯+===-．故选B ． 5．【答案】A【解析】由()11nn n a a n ++=-，得211a a +=-，343a a +=-，565a a +=-，…192019a a +=-， ∴n a 的前20A ． 6．【答案】B【解析】令1n =，11a =，代入选项，排除A ，D 选项．令2n =，解得212a =-，排除C 选项．故选B ． 7．【答案】C【解析】因为21n n n a a a ++=+，所以3121a a a =+=-，4321a a a =+=-，5432a a a =+=-．故选C ． 8．【答案】B【解析】由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=．即第八个孩子分得斤数为184．本题选择B 选项． 9．【答案】B【解析】设由前12项构成的等差数列的公差为d ，从第11项起构成的等比数列的公比为q ，由()2212131124d 423d a a a -+===-+，解得1d =或34d =， 又数列{}n a 的各项均为整数，故1d =，所以13122a q a ==， 所以111012213n n n n a n --≤⎧=⎨≥⎩，，，故415216a ==，故选B ．10．【答案】D【解析】根据2n S n n =--，可知当2n ≥时，()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-------=-⎣⎦，当1n =时，112a S ==-，上式成立，所以2n a n =-，所以()221112(+11nn a n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭），所以其前n 项和11111111234+111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=--+-++-=--=-⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以其前40项和为404041T =-．故选D ． 11．【答案】C【解析】设数列{}n a 的公差为d ，则112461527a d a d +=+=⎧⎨⎩，解得121a d ==⎧⎨⎩，数列{}n a 的通项公式为1n a n =+，当2n ≥时，1n n n b b b +-=，∴12n n b b +=，即{}n b 从第二项起为等比数列，∴()222n n b n -=≥，数列{}n b 的通项公式为：21,1 2,2n n n b n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩， 分组求和可得数列{}n c 的前11项和为()()29101123412112227721101S =+++++++++=+=+．本题选择C 选项．12．【答案】B【解析】由题得212a a -≥，322a a -≥，432a a -≥，432a a -≥， ∴()213243121n n a a a a a a a a n --+-+-++-≥-，∴()121n a a n -≥-，21n a n ∴≥-，∵123135a a a ≥≥≥，，，，21n a n ≥-，∴12313521n a a a a n ++++≥++++-，∴()21212n nS n n ≥+-=．故选B ． 二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上） 13．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+， 两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以1-为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--．故答案是63-．14．【答案】1023【解析】由11122n n a a +=+，得()11112n n a a +-=-，∴{}1n a -为等比数列，()111111122n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1121n n a -=-，101012102312S -==-，故答案为1023． 15．【答案】2n n ⋅【解析】∵1n n n a S S -=-，故()122n n n n S S S -=--，整理得到122n n n S S -=+，也即是11122n n n n S S --=+，故2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．又12a =，∴()11122n n S a n n =+-⨯=即·2n n S n =． 16．【答案】101223-【解析】由()()()1112n nn n a a n +⎡⎤=+-+-∈⎣⎦*N ，当n 为奇数时，有()12nn a +=-；当n 为偶数时，有122n n n a a +=+， ∴数列{}n a 的所有偶数项构成以2-为首项，以4为公比的等比数列，()()10013599246100S a a a a a a a a =+++⋯+++++⋯+()()()246982469824610022222a a a a a a a a =+++⋯+++++⋯+++++⋯+()()24698246100100322222a a a a a =+++⋯+-++++⋯+()()()5049101992144142232214143----=⨯-⨯-+=--． 故答案是101223-．三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】（1）12n n a -=；（2）21122n n T n n -++-=． 【解析】（1）由已知1，n a n S 成等差数列得21n n a S =+，① 当1n =时，111211a S a =+=+，∴11a =， 当 2n ≥时，1121n n a S --=+，② ①-②得122n n n a a a --=，∴12nn a a -=， ∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴1111122n n n n a a q ---==⨯=． （2）由12n n n a b na ⋅=+得12n nb n a =+， ∴1212111242n n nT b b b n a a a =+++=++++++()12111242nn a a a ⎛⎫=+++++++ ⎪⎝⎭()21112212212212n n n n n n --+=+=++--． 18．【答案】（1）21n a n =-，()n ∈*N ；（2）12362n n n T -+=-． 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由3S ，52S ，4S 成等差数列， 可知345S S S +=，由521322a a a =+-得：120a d -=，1420a d --= 解得:11a =，2d =，因此21n a n =-，()n ∈*N ． （2）令()11212n n n n a c n b -⎛⎫==- ⎪⎝⎭．则12n n T c c c =++⋯+，∴()21111113521222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①()23111111352122222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②，得()2111111122122222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1111212122n nn -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+---⋅⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2332n n +=-∴12362n n n T -+=-． 19．【答案】（1）32n a n =-；（2）31n nS n =+． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，∵1a ，2a ，6a 成等比数列，∴2216a a a =⋅∴()()21115a d a a d +=⋅+， ∵11a =，∴23d d =，∵0d ≠，∴3d =，∴32n a n =-．（2）由（1）知()()1111323133231bn n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，∴1211111111113447323133131n n n S b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 20．【答案】（1）21n a n =-，()n ∈*N ；（2）1132n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．【解析】（1）①1n =时，由11a +，得11a =，②2n ≥时，由已知，得()241n n S a =+，∴()21141n n S a --=+， 两式作差，得()()1120n n n n a a a a --+--=， 又∵{}n a 是正项数列，∴12n n a a --=，∴数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．∴21n a n =-，()n ∈*N ． （2）∵()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，∴12111111111111123235221212212n n T b b b n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 又因为数列{}n T 是递增数列，当1n =时n T 最小，113T =，∴1132n T ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．21．【答案】（1）12n n a -=；（2）()1lg2212n n n n T -=+-．【解析】（1）由()21n n S a n =-∈*N ，可得1121S a =-，∴1121a a =-，∴11a =． 又2221S a =-，∴12221a a a +=-，∴22a =． ∵数列{}n a 是等比数列，∴公比212a q a ==，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． （2）由（1）可知，()lg 1lg2n n b a n ==-，∴数列{}n n b a +的前n 项和()()()1122n n n T b a b a b a =++++++()()()-101lg221lg22n n ⎡⎤=+++++-+⎣⎦()()1lg22lg21lg2122n n -=+++-++++⎡⎤⎣⎦()1lg2212n n n -=+-． 22．【答案】（1）12n n a λ-=⨯；（2）()()()()()14214344211334n n n n n n T n n n +⎧-+⎪+⎪=⎨--+⎪+⎪⎩，是偶，是奇． 【解析】（1）由题意可知112S a λ=-，即1a λ=； 当2n ≥时，()()1112222n n n n n n n a S S a a a a λλ---=-=---=-，即12n n a a -=； ∴数列{}n a 是首项为λ，公比为2的等比数列，∴12n n a λ-=⨯．（2）由（1）可知当4λ=时12n n a +=，从而121n n n b n n +⎧⎪=⎨+⎪⎩，是奇，是偶， n 为偶数时，()2414312142n n n n T ⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+-； n 为奇数时，()()1211141431122142n n n n n n T T b n +++⎛⎫+- ⎪+++⎝⎭=-=+-+- ()()()142115234n n n n +-++=+-- ()()()14211334n n n +--+=+， 综上，()()()()()14214344211334n n n n n n T n n n +⎧-+⎪+⎪=⎨--+⎪+⎪⎩，是偶，是奇．。

第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若x+1与y-1的等差中项为5,则x+y等于()A.5B.10C.20D.不确定解析:∵x+1与y-1的等差中项为5,∴x+1+y-1=2×5,则x+y=10.答案:B2.若数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a4等于()A.11B.15C.17D.20解析:a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2+a8=15-a5,则S9等于()A.18B.36C.45D.60解析:∵a2+a8=15-a5,∴a5=5,∴S9=×2a5=45.答案:C4.在等差数列{a n}中,S n为它的前n项和,若a1>0,S20>0,S21<0,则当n=()时,S n最大.A.8B.9C.10D.11解析:等差数列{a n}中,前n项和为S n,且S20>0,S21<0,即a10+a11>0,并且a11<0,故a10>0,数列{a n}的前10项和最大.答案:C5.用数学归纳法证明+…+(n≥2,n∈N*)的过程中,设f(k)=+…+(k≥2,k∈N*),从n=k到n=k+1推理时,不等式的左边为()A.f(k)+B.f(k)+C.f(k)++…+D.f(k)+解析:当n=k(k≥2,k∈N*)时,左边=+…+,当n=k+1时,左边=+…++…+,故由n=k到n=k+1时不等式左边的改变是增加了+…+.答案:C6.已知数列{a n}是正项等比数列,且=1,则a5的值不行能是()A.3B.4C.5D.6解析:依据题意,数列{a n}是正项等比数列,设其公比为q,则q>0,则,当且仅当q=1时,等号成立,又由=1,则有1≥,变形可得a5≥4,分析选项可知A不符合.故选A.答案:A7.已知等差数列{a n}的首项为1,公差d≠0,若a2,a3,a6成等比数列,则数列{a n}的前10项和为()A.-80B.80C.-24D.24解析:∵等差数列{a n}的首项为1,公差不为0,a2,a3,a6成等比数列,∴=a2a6,∴(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2,∴数列{a n}的前10项的和S10=10×1+×(-2)=-80.故选A.答案:A8.已知正项等比数列{a n}满意a685=a684+2a683,若存在两项a m,a n,使得=2a1,则的最小值为()A.9B.C. D.解析:依题意,正项等比数列{a n}满意a685=a684+2a683,所以a1q684=a1q683+2a1q682,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1.因为数列{a n}是正项等比数列,所以q=2,所以a n=a1·2n-1.因为=2a1,所以m+n=4,即=1,所以+2,当且仅当n=2m=时等号成立,故等号不成立.当m=1,n=3时,,当m=n=2时,,当m=3,n=1时,,故选B.答案:B二、选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)9.已知数列{a n}的前n项、前2n项、前3n项的和分别为a,b,c,则下列说法正确的是()A.若{a n}是等差数列,则3b-3a=cB.若{a n}是等差数列,则a,b-a,c-b也为等差数列C.若{a n}是等比数列,且公比q≠-1,则a2+b2=ab+bcD.若{a n}是等比数列,且公比q≠-1,则a,b-a,c-b也为等比数列解析:依据题意,数列{a n}的前n项、前2n项、前3n项的和分别为a,b,c,由等差数列的前n项和的性质,可得a,b-a,c-b也成等差数列,则有2(b-a)=a+c-b,即3b-3a=c,故A,B正确;当公比q≠-1时,由等比数列的前n项和的性质,可得a,b-a,c-b也成等比数列,则(b-a)2=a(c-b),即a2+b2=ab+ac,故C错误,D正确.故选ABD.答案:ABD10.在数列{a n}中,若=k(k为常数),则称{a n}为“等差比数列”,下列对“等差比数列”的推断正确的为()A.k不行能为0B.等差数列肯定是“等差比数列”C.等比数列肯定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有多数项为0解析:对于A,k不行能为0,正确;对于B,a n=1时,{a n}为等差数列,但不是“等差比数列”,错误;对于C,a n=2时,{a n}为等比数列,但不是“等差比数列”,错误;对于D,数列0,1,0,1,0,1,…,0,1是“等差比数列”,且有多数项为0,正确.故选AD.答案:AD11.已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,其前n项和为S n,满意a1+5a3=S8,则下列选项正确的有()A.a10=0B.S10最小C.S7=S12D.S20=0解析:依据题意,数列{a n}是等差数列,设公差为d.若a1+5a3=S8,即a1+5a1+10d=8a1+28d,变形可得a1=-9d.由a n=a1+(n-1)d=(n-10)d,则有a10=0,故A肯定正确,不能确定a1和d的符号,不能确定S10最小,故B 不正确;由S n=na1+=-9nd+(n2-19n),则有S7=S12,故C肯定正确,则S20=20a1+d=-180d+190d=10d,S20≠0,则D不正确,故选AC.答案:AC12.已知S n是等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和,且S8>S9>S7,有下列说法,其中正确的是()A.公差d<0B.在全部S n<0中,S17最大C.a8>a9D.满意S n>0的n的个数为15解析:∵S8>S9,且S9=S8+a9,∴S8>S8+a9,即a9<0.又S8>S7,S8=S7+a8,∴S7+a8>S7,即a8>0,∴d=a9-a8<0,故选项A,C正确.∵S9>S7,S9=S7+a8+a9,∴S7+a8+a9>S7,即a8+a9>0.∵a1+a15=2a8,∴S15==15a8>0.又a1+a16=a8+a9,∴S16==8(a8+a9)>0.又a1+a17=2a9,∴S17==17a9<0.故选项B正确,选项D错误.答案:ABC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.已知中位数为1 012的一组数构成等差数列,其末项为2 020,则该数列的首项为. 解析:由题意知,1012为数列首项a1与2024的等差中项,故=1012,解得a1=4.答案:414.已知等比数列{a n}的各项均为正数,其前n项和为S n,若a2a4=1,S3=7,则S5=.解析:设等比数列{a n}的公比为q(q>0),∵a2a4=1,S3=7,∴q4=1,即a1q2=1,a1(1+q+q2)=7,解得a1=4,q=.则S5=.答案:15.如图所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有n(n>1,n∈N)个点,每个图形总的点数记为a n,则a6=;+…+=.(本题第一空2分,其次空3分)解析:每条边有n(n>1,n∈N)个点,把每条边的点数相加得3n,这样角上的点数被重复计算了一次,故a n=3n-3,a6=15;+…++…+=3×=3×.答案:1516.在数列{a n}中,已知a1=1,a2=5,且a n+2=a n+1-a n(n∈N*),则a2 022=.解析:(方法一)令n=1,则a3=a2-a1=5-1=4;令n=2,则a4=a3-a2=4-5=-1;令n=3,则a5=a4-a3=-1-4=-5;令n=4,则a6=a5-a4=-5-(-1)=-4;令n=5,则a7=a6-a5=-4-(-5)=1;令n=6,则a8=a7-a6=1-(-4)=5.故数列{a n}是周期为6的周期数列,a2024=a337×6=a6=-4.(方法二)∵a n+2=a n+1-a n(n∈N*),①∴a n+3=a n+2-a n+1.②①+②,得a n+3+a n+2=a n+1-a n+a n+2-a n+1,∴a n+3=-a n,∴a n+6=-a n+3=a n,数列{a n}的周期为6,∴a2024=a337×6=a6.又a1=1,a2=5,a n+2=a n+1-a n,∴a3=4,a4=-1,a5=-5,a6=-4.∴a2024=-4.答案:-4四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在等差数列{a n}中,已知a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{a n}的首项、公差及前n项和.解:设该数列的公差为d,前n项和为S n.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),所以a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即数列{a n}的首项为4,公差为0或首项为1,公差为3.故当a1=4,d=0时,数列{a n}的前n项和S n=4n;当a1=1,d=3时,数列{a n}的前n项和S n=.18.(12分)已知等差数列{a n}满意a1=1,a5=a2+6.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若{a n}的前n项和为S n,求数列与数列{a n}的前100项中的全部相同项的和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=1,a5=a2+6,∴a1+4d=a1+d+6,解得d=2.∴a n=1+2(n-1)=2n-1.(2)∵S n=1+3+5+…+(2n-1)==n2,∴=n.∴数列与数列{a n}的前100项中的全部相同的项为1,3,5,7, (99)故所要求的和T=1+3+…+99==2500.19.(12分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=16,2a3+3a2=32.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=3log2a n,求数列{b n}的前n项和S n,并求S n的最大值.解:(1)设{a n}的公比为q,因为a1=16,2a3+3a2=32,所以2q2+3q-2=0.解得q=-2(舍去)或q=.因此{a n}的通项公式为a n=16×=25-n.(2)由(1)得b n=3(5-n)log22=15-3n.当n≥2时,b n-b n-1=-3,故{b n}是首项b1=12,公差为-3的单调递减的等差数列.则S n=12n+n(n-1)(-3)=-(n2-9n).因为b5=0,所以数列{b n}的前4项为正数,所以当n=4或5时,S n取得最大值,且最大值为S4=S5=30.20.(12分)已知等比数列{a n}满意a n+1=λS n+1,其中λ≠-1,S n为数列{a n}的前n项和,n∈N*.(1)求a1;(2)设λ=4,∀n∈N*,+…+<m恒成立,求m的最小值.解:(1)由a n+1=λS n+1知a n=λS n-1+1(n≥2),两式相减,得a n+1=(λ+1)a n,于是公比q=λ+1,故a2=λa1+1=(λ+1)a1,解得a1=1.(2)由(1)可得q=5,a n+1=5a n,所以a n=5n-1.所以,所以+…+=1++…+.因为∀n∈N*,+…+<m恒成立,所以m的最小值为.21.(12分)已知函数f(x)满意f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=.(1)当n∈N*时,求f(n)的表达式;(2)设a n=n·f(n),n∈N*,求证:a1+a2+a3+…+a n<2.(1)解:已知函数f(x)满意f(x+y)=f(x)·f(y),且f(1)=,令x=n,y=1,得f(n+1)=f(n)·f(1)=f(n), ∴数列{f(n)}是以f(1)=为首项,为公比的等比数列,∴f(n)=.(2)证明:设T n=a1+a2+…+a n.∵a n=n·f(n)=n·(n∈N*),∴T n=+2×+3×+…+n·,①T n=+2×+3×+…+n·,②①②两式相减,得T n=+…+-n·-n·=1--n·=1-,∴T n=2-<2.22.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n-2a n+2=0,函数f(x)对随意的x∈R都有f(x)+f(1-x)=1,数列{b n}满意b n=f(0)+f+f+…+f+f(1).(1)求数列{a n},{b n}的通项公式.(2)若数列{c n}满意c n=a n·b n,T n是数列{c n}的前n项和,是否存在正实数k,对于随意n∈N*,不等式k(n2-9n+26)T n>4nc n恒成立?若存在,恳求出k的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)∵S n-2a n+2=0,即S n=2a n-2,当n=1时,a1=S1=2a1-2,∴a1=2.当n≥2时,S n-1=2a n-1-2,∴a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1,即a n=2a n-1,∴{a n}是等比数列,首项为a1=2,公比为2,∴a n=2n.∵f(x)+f(1-x)=1,b n=f(0)+f+f+…+f+f(1),b n=f(1)+f+f+…+f+f(0),∴2b n=n+1,∴b n=.(2)∵c n=a n·b n=(n+1)·2n-1,∴T n=2·20+3·21+4·22+…+(n+1)·2n-1,①2T n=2·21+3·22+4·23+…+n·2n-1+(n+1)·2n,②①-②,得-T n=2+21+22+…+2n-1-(n+1)·2n=1+-(n+1)·2n,即T n=n·2n.∵(n2-9n+26)T n>0恒成立,∴要使得不等式k(n2-9n+26)T n>4nc n恒成立,则k>对于一切的n∈N*恒成立,即k>对于一切的n∈N*恒成立,令g(n)=(n∈N*),则g(n)===2,当且仅当n=5时,等号成立,故g(n)max=2.故k的取值范围为(2,+∞).11。

第四章数列章末测试卷(A)【原卷版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．1422．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．83．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．424．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．105．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.109 33升6．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n＝4(a1＋a3＋…＋a2n－1)，a1·a2·a3＝27，则a6＝()A．27B．81C．243D．7297．数列{a n}中，a1＝1，对所有n≥2，都有a1a2a3…a n＝n2，则a3＋a5＝()A.61 16B.25 9C.25 16D.31 158．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <110．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <011．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为101112．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n －1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则an n的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.第四章数列章末测试卷(A)【解析版】[时间：120分钟满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．等差数列{a n}：－2，0，2，…的第15项为()A．112B．122C．132D．142答案C解析∵a1＝－2，d＝2，∴a n＝－2＋(n－1)×2＝2n－22.∴a15＝152－22＝132.2．公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8答案A解析因为a3a11＝a72＝16，又数列{a n}的各项都是正数，所以解得a7＝4，由a7＝a5·22＝4a5，得a5＝1.故选A.3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝2，S4＝10，则S6＝()A．12B．18C．24D．42答案C解析方法一：设数列{a n}的公差为d a1＋d＝2，a1＋6d＝10，解得a1＝14，d＝32.则S6＝6a1＋15d＝24.方法二：S2，S4－S2，S6－S4也成等差数列，则2(S4－S2)＝S6－S4＋S2，所以S6＝3S4－3S2＝24.故选C.4．若等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝8，则a2a7的最大值为()A．4B．6C．8D．10答案A解析已知等差数列{a n}满足a n>0，且a3＋a4＋a5＋a6＝2(a2＋a7)＝8，所以a2＋a7＝4.又因为a2＋a7≥2a2a7，所以a2a7≤4，当且仅当a2＝a7＝2时，等号成立．故选A.5．《九章算术》是我国古代的一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节、第3节、第8节竹子的容积之和为()A.176升 B.72升C.11366升 D.10933升答案A解析设自上而下各节竹子的容积依次为a 1，a 2，…，a 91＋a 2＋a 3＋a 4＝3，7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，所以a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.故选A.6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＝4(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)，a 1·a 2·a 3＝27，则a 6＝()A ．27B ．81C ．243D ．729答案C解析∵数列{a n }为等比数列，∴a 1a 2a 3＝a 23＝27，∴a 2＝3.又∵S 2＝4a 1，∴a 1＋a 2＝4a 1，∴3a 1＝a 2，∴a 1＝1，即公比q ＝3，首项a 1＝1，∴a 6＝a 1·q 6－1＝1×35＝35＝243.故选C.7．数列{a n }中，a 1＝1，对所有n ≥2，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝()A.6116B.259C.2516D.3115答案A解析a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2，n ≥3，∴a n ＝n 2（n －1）2，n ≥3，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.8．小李年初向银行贷款M 万元用于购房，购房贷款的年利率为p ，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，则每年应还()A.M10万元 B.Mp （1＋p ）10（1＋p ）10－1万元C.p （1＋p ）1010万元D.Mp （1＋p ）9（1＋p ）9－1万元答案B二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列命题不正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则数列{a n }是等差数列B ．若等差数列{a n }的公差d >0，则{a n }是递增数列C ．常数列{a n }既是等差数列，又是等比数列D ．若等比数列{a n }是递增数列，则{a n }的公比q <1答案ACD解析对于A ，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，故错误；对于B ，若d >0，则a n ＋1>a n ，故正确；对于C ，当a n ＝0时，该常数列不是等比数列，故错误；对于D ，若等比数列{a n }是递增数列，则当a 1>0时，q >1，故错误．故选ACD.10．将等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 1>0，S 10＝S 20，则()A ．d <0B ．a 16<0C ．S n ≤S 15D ．当且仅当n ≥32时，S n <0答案ABC解析由题意得，S 10＝S 20，则a 11＋a 12＋…＋a 20＝0，即a 15＋a 16＝0，也即2a 1＋29d ＝0(d为公差)，因为a 1>0，所以d <0，所以a 16<0，S n ≤S 15.所以A 、B 、C 正确．由于S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)，S 2n －1＝(2n －1)a n ，故S 30＝15(a 15＋a 16)＝0，S 31＝31a 16<0，所以D 不正确．11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝2a n －1，则下列结论正确的是()A ．S 2＝2B ．数列{a n }为等比数列C ．a n ＝2nD ．若b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2，则数列{b n }的前10项和为1011答案BD解析因为S n ＝2a n －1，①所以当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1；当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，②①②两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，所以a na n －1＝2(n ≥2)，所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列．所以a n ＝a 1q n －1＝1×2n －1＝2n －1，a 2＝2，所以S 2＝3，所以A 、C 错误，B 正确；因为b n ＝1log 2a n ＋1log 2a n ＋2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，设T n 为{b n }的前n 项和，则T 10…＝1011，故D 正确．故选BD.12．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则()A ．a n ＝－12n－1B ．a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *C D.1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－5050答案BCD解析由S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，得S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，又a 1＝－1，∴S 1＝a 1＝－1，从而S 2－S 1＝S 1S 2，即S 2＋1＝－S 2，得S 2＝－12，∴S 1S 2≠0，从而S n S n ＋1≠0，∴S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1，整理得1S n ＋1－1S n ＝－1(常数)，所以数是以1S 1＝－1为首项，－1为公差的等差数列，故C 正确；所以1S n ＝－1－(n －1)＝－n ，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S 100＝－(1＋2＋3＋…＋100)＝－5050，故D正确；由1S n ＝－n 得S n ＝－1n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1n －1－1n(首项不符合此式)，故a n n ＝1，－1n，n ≥2，n ∈N *，故B 正确，A 错误．故选BCD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知数列{a n }为等比数列，若a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，则公比q ＝________．答案2解析因为数列{a n }为等比数列，且a 1＋a 3＝5，a 2＋a 4＝10，所以由等比数列的通项公式可得a 2＋a 4＝(a 1＋a 3)q ，即10＝5q ，∴q ＝2.14．(2019·江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．答案16解析方法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 12＋4d 2＋5a 1d ＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，将以上两式联立，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.方法二：设等差数列{a n }的公差为d .由S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝27，得a 5＝3，又a 2a 5＋a 8＝0，则3(3－3d )＋3＋3d ＝0，得d ＝2，a 4＝1，则S 8＝8（a 1＋a 8）2＝4(a 4＋a 5)＝4×(1＋3)＝16.15．已知数列{a n }，若点(n ，a n )(n ∈N *)在直线y －3＝k (x －6)上，则数列{a n }的前11项和S 11＝________．答案33解析∵点(n ，a n )在直线y －3＝k (x －6)上，∴a n ＝3＋k (n －6)．∴a n ＋a 12－n ＝[3＋k (n －6)]＋[3＋k (6－n )]＝6，n ＝1，2，3，…，6，∴S 11＝a 1＋a 2＋…＋a 11＝5(a 1＋a 11)＋a 6＝5×6＋3＝33.16．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．答案212解析在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2，得a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝（2＋2n －2）（n －1）2＝n 2－n ，∴a n ＝n 2－n ＋33.∴a n n ＝n 2－n ＋33n ＝n ＋33n －1≥233－1，当且仅当n ＝33n ，即n ＝33时取等号，而n ∈N *，∴“＝”取不到．∵5＜33＜6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212，∵535＞212，∴a n n 的最小值是212.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解析(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设数列{b n }的公差为d ，1＋2d ＝8，1＋4d ＝32，1＝－16，＝12，所以b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28，n ∈N *.所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （－16＋12n －28）2＝6n 2－22n ，n ∈N *.18．(12分)在新城大道一侧A 处，运来20棵新树苗．一名工人从A 处起沿大道一侧路边每隔10m 栽一棵树苗，这名工人每次只能运一棵．要栽完这20棵树苗，并返回A 处，植树工人共走了多少路程？解析植树工人每种一棵树并返回A 处所要走的路程(单位：m)组成了一个数列0，20，40，60， (380)这是首项a 1＝0，公差d ＝20，项数n ＝20的等差数列，其和S 20＝20a 1＋20×（20－1）2d ＝0＋20×（20－1）2×20＝3800(m)．因此，植树工人共走了3800m 的路程．19．(12分)已知{a n }是公比为q 的无穷等比数列，其前n 项和为S n ，满足a 3＝12，________．是否存在正整数k ，使得S k >2020？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由．从①q ＝2；②q ＝12；③q ＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答评分．解析若选①，因为a 3＝12，q ＝2，所以a 1＝3.所以S n ＝3（1－2n ）1－2＝3(2n －1)．S k >2020，即3(2k －1)>2020，即2k >20233.当k ＝9时，29＝512＜20233，当k ＝10时，210＝1024＞20233，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为10.若选②，因为a 3＝12，q ＝12，所以a 1＝48.所以S n1－12因为S n <96<2020，所以不存在满足条件的正整数k .若选③，因为a 3＝12，q ＝－2，所以a 1＝3.所以S n ＝3×[1－（－2）n ]1－（－2）＝1－(－2)n .S k >2020，即1－(－2)k >2020，整理得(－2)k <－2019.当k 为偶数时，原不等式无解；当k 为奇数时，原不等式等价于2k >2019，当k ＝9时，29＝512＜2019，当k ＝11时，211＝2048＞2019，所以存在正整数k ，使得S k >2020，k 的最小值为11.20．(12分)设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{nS n }的前n 项和T n .解析(1)设数列{a n }的公比为q .由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10.∵a n ＞0，∴q ＝12，∴a n ＝a 1q n －1＝12n (n ∈N *)．(2)∵{a n }是首项a 1＝12，公比q ＝12的等比数列，∴S n ＝12×1－12＝1－12n ，nS n ＝n －n 2n .则数列{nS n }的前n 项和为T n ＝(1＋2＋…＋n )＋222＋…①则T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋223＋…＋n －12n ＋①－②，得T n 2＝12(1＋2＋…＋n )＋122＋…＋n 2n ＋1＝n （n ＋1）4－21－12＋n 2n ＋1，即T n ＝n （n ＋1）2＋12n －1＋n 2n －2.21．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝53，且3a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N *.(1)求证：数列{a n －1}为等比数列；(2)若a 1＋a 2＋…＋a n <100，求最大的正整数n .解析(1)证明：∵3a n ＋1＝a n ＋2，∴a n ＋1－1＝13(a n －1)，又a 1－1＝23，∴数列{a n －1}是以23为首项，13为公比的等比数列．(2)由(1)可得a n －1＝23×－1，∴a n ＝2＋1.则a 1＋a 2＋…＋a n ＝n ＋＋132＋…n ＋2×13－13n ＋11－13＝n ＋1－13n ，若n ＋1－13n <100，n ∈N *，则n max ＝99.22．(12分)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前4n ＋3项和T 4n ＋3.解析(1)由题意，设数列{a n }的公差为d ，由a 3＝5，a 1a 2＝2a 4，1＋2d ＝5，1·（a 1＋d ）＝2（a 1＋3d ），整理得(5－2d )(5－d )＝2(5＋d )，即2d 2－17d ＋15＝0，解得d ＝152或d ＝1，因为{a n }为整数数列，所以d ＝1，又a 1＋2d ＝5，所以a 1＝3，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2.(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋2，又数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，根据题意，新数列{c n }：b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，则T 4n ＋3＝b 1＋a 1＋a 2＋b 2＋b 3＋a 3＋a 4＋b 4＋…＋b 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋b 2n ＋b 2n ＋1＋a 2n ＋1＋a 2n ＋2＝(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n ＋1)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2n ＋2)＝2×（1－22n ＋1）1－2＋（a 1＋a 2n ＋2）（2n ＋2）2＝4n ＋1＋2n 2＋9n ＋5.。

2020-2021年高二数学选择性必修二尖子生同步培优题典4.1数列的概念 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。

一、单选题1．已知数列{}n a 中，13=4a ，111n n a a -=-（,2n N n +∈≥），那么2020a 等于（ ）A ．13- B ．34C ．2D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据13=4a ，111n n a a -=-，计算数列的前几项，得到数列{}n a 是以3为周期的数列求解.【详解】因为13=4a ，111n n a a -=-，所以211113a a =-=-， 32114a a =-=， 431314a a =-=， …所以数列{}n a 是以3为周期的数列， 所以202067331134a a a ⨯+===， 故选：B 【点睛】本题主要考查数列的周期性的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．数列1、1、2、3、5、8、13、21、34、称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2020项中，偶数的个数为（ ） A ．505 B ．673C ．674D ．1010【答案】B 【解析】 【分析】由斐波那契数列的特点可知，该数列只有第()3k k *∈N 项为偶数，再由202036731=⨯+可求得结果. 【详解】由斐波那契数列的特点，可得此数列只有第()3k k *∈N项为偶数，由于202036731=⨯+，所以前2020项中偶数的个数为673． 故选：B. 【点睛】本题考查斐波那契数列的应用，考查推理能力，属于基础题.3．“干支纪法”是我国记年、月、日、时的序号的传统方法，天干地支简称“干支”，天干指：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．“地支”指：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．如，农历1861年为辛酉年，农历1862年为壬戌年，农历1863年为癸亥年，则农历2068年为（ ） A ．丁亥年 B ．丁丑年C ．戊寅年D ．戊子年【答案】D 【解析】 【分析】由题意得天干是以10为周期的数列，地支是以12为周期的数列，以1861为首项，即可得答案. 【详解】记1a =辛，1b =酉（1861）；2a =壬，2b =戌（1862）；3a =癸，3b =亥（1863）， 所以记天干为数列{}n a ，且最小正周期为10，记地支为数列{}n b ，且最小正周期为12， 故20688a a ==戊，20684b b ==子（2068）， 故选：D ． 【点睛】本题考查数列的周期性，难点在于需将题目信息转化为所学数列的知识，考查逻辑推理，归纳分析的能力，属中档题.4．原始的蚊香出现在宋代.根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫.”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下:在水平直线l上取长度为1的线段AB，做一个等边三角形ABC，然后以点B为圆心，AB 为半径逆时针画圆弧，交线段BC的延长线于点D，再以点C为圆心，CD为半径逆时针画圆弧，交线段AC的延长线于点E，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为（）A．310πB．340πC．930πD．1020π【答案】A【解析】【分析】根据画圆弧的规律：分别以B，C，A 为圆心，抽象半径长度的数列，明确圆弧与直线的交点情况，再根据当“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，确定数列的项数，求得最后圆弧的半径即可.【详解】如图所示：当以B为圆心，半径为：1，4，7，10，…除起点外，与直线无交点，①当以C为圆心，半径为：2，5，8，11，…与直线有一个点，②当以A为圆心，半径为：3，6，9，12，…除终点（即①的起点，点A 除外）外，与直线无交点，③所以当“螺旋蚊香”与直线l恰有21个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，则完成整数个循环，所以以B 为圆心的弧与直线只有交点A ，以C 为圆心的弧与直线10个交点，以A 为圆心的弧与直线有10 个交点，即数列②有10项，数列③有10项，所以最后一个圆弧的半径为33(101)30r =+-= ，所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为()()30130112123 (302310332)l πππ+=⨯⨯++++=⨯= . 故选：A 【点睛】本题主要考查数列的抽象与等差数列的通项公式和前n 项和的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.5．衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50…，则该数列第16项为（ ） A ．152 B ．134 C ．128 D ．102【答案】C 【解析】 【分析】根据数据找出规律,依次写出来即可. 【详解】前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,偶数项分别为2,8,18,32,50,…,可得偶数项的通项公式: 222n a n =.所以该数列第16项为21628=128a =⨯. 故选:C. 【点睛】本题考查了数列递推关系、通项公式、归纳法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究.他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数.形数是联系算术和几何的纽带.如图所示，数列1，6，15，28，45，…，从第二项起每一项都可以用六边形表示出来，故称它们为六边形数，那么该数列的第11项对应的六边形数为（ ）A ．153B ．190C ．231D ．276【答案】C 【解析】 【分析】根据题中所给图与对应的六边形数，记第n 个六边形数为n a ，找出规律，相邻两项差构成等差数列，累加求得22n a n n =-，将11n =代入求得结果.【详解】记第n 个六边形数为n a ，由题意知：11a =，215141a a -==+⨯，32142a a -=+⨯，43143a a -=+⨯，，114(1)n n a a n --=+-，累加得21(1)[543]59[14(1)]212n n n a a n n n -+--=++++-==--，即22n a n n =-，所以21121111231a =⨯-=，故选：C. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有利用累加法求数列的通项公式，属于中档题目.二、多选题7．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确； 对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.8．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（ ）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()n nF n ⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦D ．()n nF n ⎡⎤⎥=+⎥⎝⎭⎝⎭⎦【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可； 【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥， 所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=-⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭为公比的等比数列， 所以()()1nF n n +=⎝⎭()11515()n F F n n -+=+， 令1nn n Fb -=⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +-=， 所以n b⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭32为公比的等比数列，所以1n n b -=+，所以()11152n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦； 即C 满足条件； 故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．9．对于数列{}n a ，若存在正整数k ()2k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98n a n n=+-，则数列{}n a 的“谷值点”为( ) A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】AD 【解析】 【分析】由数列的通项公式求出前七项各项的值，然后根据题意进行求解即可, 【详解】 因为98n a n n =+-，所以123456783761292,,2,,,,,245278a a a a a a a a ========， 当7,n n N ≥∈，9998088n n a n n n n n+->∴=+-=+-，此时数列单调递增， 21a a <，23a a <，76a a <，78a a <，所以数列{}n a 的“谷值点”为2，7. 故选：AD 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学运算能力，考查了数列的单调性，属于中档题.三、填空题10．在数列{}n a 中，11a =，()32122223n n a a a a a n n*++++=∈N ，则n a =______． 【答案】21nn + 【解析】 【分析】由已知得：当2n ≥时，()31211222231n n a a a a a n --++++=-，与原式相减得12n n n a a a n -=-，即11+1n n nn n a a n --=，递推可得答案. 【详解】由题意得：当2n ≥时，()31211222231n n a a a a a n --++++=-，所以12n n n a a a n -=-，即()2211n n na n a --=，也即是11+1n n n n n a a n --=，所以121+1221211n n n n n a n n n a a a n ---===-=-=， 所以21n na n =+，故答案为：21nn +. 【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的通项，属于中档题. 11．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【解析】 【分析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到na n的最小值． 【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞，则f （n ）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．又因为55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．12．已知数列{}n a 满足：12020a =，()2*11n n n a a a n N +=+-∈，若正整数k 使得2221212 (2) (2021)k k a a a a a a ++++=成立，则k =___________. 【答案】2019 【解析】 【分析】根据()2*11n n n a a a n N +=+-∈可得211n n n a a a +=-+且111n n n a a a ++=+，结合已知条件的等式成立，即可求k 的值； 【详解】()2*11n n n a a a n N +=+-∈知：211n n n a a a +=-+且111n n n a a a ++=+，则：22212213211...11...12020k k k k a a a a a a a a a a k +++++=-++-+++-+=-+， 311212121111......1112021k k k k a a a a a a a a a a ++++++=⋅⋅⋅=+++，而2221212...2 (2021)k k a a a a a a ++++=，∴112018120212021k k a k a +++-+=，即得2019k =.故答案为：2019 【点睛】本题考查了利用数列递推式，结合等式成立求数列的项数，注意结合已知等式中乘积形式、平方形式转化递推式求参数；四、解答题13．数列{}n a 中，254n a n n =-+.（1）18是数列中的第几项？（2）n 为何值时，n a 有最小值？并求最小值.【答案】（1）第7项；（2）2n =或3n =时，最小值为2- 【解析】【分析】（1）令25418n a n n =-+=且n *∈N ，解方程可得n 的值.（2）利用二次函数的单调性和最值可得n a 有最小值以及对应的n 的值.【详解】令25418n a n n =-+=，即25140n n --=，解得：7n =或2n =-（舍）（2）由254n a n n =-+，因为254y x x =-+，开口向上，对称轴52x =所以2n =或3n =时，n a 有最小值为2225242a =-⨯+=- . 【点睛】本题主要考查了判断数列中的项，以及求数列的最小项，属于基础题.14．下面图形都是由小正三角形构成的,设第n 个图形中的黑点总数为()f n .(1)求()()()()2,3,4,5f f f f 的值;(2)找出()f n 与()1f n +的关系,并求出()f n 的表达式.① ② ③ ④【答案】(1)见解析；(2)()23,*.f n n n N =∈ 【解析】【分析】（1）根据题意可直接写出结果；（2）分别计算出()()21f f -，()()32f f -，()()43f f -，()()54f f -，归纳出()()1f n f n +-，再由累加法即可求出()f n 的表达式.【详解】（1）由题意可得：()212f =，()327f =，()448f =，()575f =；（2）因为()()219f f -=； ()()3215f f -=； ()()4321f f -=； ()()5427f f -=； 观察猜想：()()1f n f n +-是一个首项为9公差为6的等差数列，即()()()191663f n f n n n +-=+-⨯=+．因为()()219f f -=；()()3215f f -=；()()4321f f -=；()()5427f f -=；()()163f n f n n --=-；把上述式子累加可得到：()()()()296311332n n f n f n +---==-； 又因为()13f =，所以()23f n n =. 【点睛】本题主要考查归纳推理以及累加法求数列的通项公式，属于常考题型.15．已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1))(2,3,4,n n n n a a n n a +-==-. （1）求3a 、4a 的值，（2）设*111()n n b n N a +=-∈试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式； （3）设*1sin 3()cos cos n n n c n N b b +=∈⋅，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）317a =，4110a =；（2）11n n n b b n++=，*n N ∈，3n b n =，*n N ∈；（3）()tan 33tan3n +-.【解析】【分析】（1）由数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,...)n n n n a n n a a +-==-，分别令2n =和3n =，求出3a 、4a 的值.（2）当2n ≥时，1(1)11111(1)(1)1n n n n n n n a n a n a n a n a n a +⎛⎫---=-==- ⎪---⎝⎭，即11n n n b b n -=-，则11n n n b b n++=，然后用累乘法求解.（3）由1sin 3tan(33)tan 3cos cos n n n c n n b b +==+-⋅，然后利用裂项相消法求解. 【详解】 （1）∵数列{}n a 中，11a =，214a =， 且1(1)(2,3,4,...)n n nn a n n a a +-==- ∴2321(21)1412724a a a -===--， 34312(31)17131037a a a ⨯-===--， ∴317a =，4110a =· （2）当2n ≥时，1(1)11111(1)(1)1n n n n n n n a n a n a n a n a n a +⎛⎫---=-==- ⎪---⎝⎭, ∴当2n ≥时，11n n n b b n -=-， 故11n n n b b n++=，*n N ∈， 累乘得111232...12341n n n n n b b nb n n n n ---=⨯⨯⨯⨯=----， ∵13b =，∴3n b n =，*n N ∈.（3）∵1sin 3cos cos n n n c b b +=⋅ sin(333)tan(33)tan 3cos(33)cos3n n n n n n+-==+-+⋅， ∴12n n S c c c =++⋯+()(tan6tan3)(tan9tan6)tan(33)tan3n n =-+-+++-()tan 33tan3n =+-·【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n 项和的求法以及累乘法和裂项求和法、两角差的正弦公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题..16．已知数列{}n a 满足1a t =，111n na a +=+，数列{}n a 可以是无穷数列，也可以是有穷数列，如取1t =时，可得无穷数列：1，2，32，53，...；取12t =-时，可得有穷数列：12-，1-，0. （1）若50a =，求t 的值； （2）若12n a <<对任意2n ≥，*n N ∈恒成立.求实数t 的取值范围；（3）设数列{}n b 满足11b =-，()*111n n b n N b +=-∈，求证：t 取数列{}n b 中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .【答案】（1）35t =-；（2）1t >；（3）证明见解析. 【解析】【分析】（1）根据题意，得到111n n a a +=-，逐项计算，求出1a ，即可得出结果； （2）根据()*122,n a n n N <<≥∈，得出131122n na a +<=+<，因此只需212a <<即可，由题中条件，求出2a ，得出不等式求解，即可得出结果；（3）由题意，得到111n n b b +=+，设1k a t b ==，()*k N ∈，逐项计算，得出10k a +=，即可证明结论成立.【详解】（1）由111n n a a +=+得111n n a a +=-， ∴41101a ==--，311112a ==---，2121312a ==---，1132513t a ===---； （2）若()*122,n a n n N <<≥∈，则1112n a <<，131122n n a a +<=+<，即112n a +<<，故只要212a <<即可，因为1a t =，所以21t a t +=，∴112t t+<<，解得1t >； （3）由111n n b b +=-得111n n b b +=+， 设1k a t b ==，()*k N ∈，则2111k ka b b -=+= 32111k k a b b --=+=，12111k a b b =+==-，11101k a +=+=-， 故{}n a 有1k +项，为有穷数列.即t 取数列{}n b 中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .【点睛】本题主要考查由递推公式求数列中的项，考查由数列不等式恒成立求参数的问题，考查有穷数列的证明，属于常考题型.。

2021-2022学年人教A版（2019）选择性必修第二册第四章数列单元检测一．选择题（共12小题）1．（2021秋•青浦区期末）已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，则“S n﹣na n＜0，对n＞1，n∈N*恒成立”是“d＞0”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分也非必要条件2．（2021秋•新乡期中）设数列{a n}为等比数列，且a2a18＝6a7，则必有（）A．B．a7＝6C．a12＝6D．a13＝6 3．（2021秋•响水县校级期中）在等差数列{a n}中，若a5+a6+a7+a8+a9＝5，则S13的值等于（）A．8B．10C．13D．264．（2021秋•新乡期中）设数列{a n+n}是等比数列，且a1＝3，a2＝6，则a8＝（）A．246B．504C．512D．10145．（2021秋•虹口区期末）设等差数列{a n}的前n项和为S n，如果﹣a1＜a9＜﹣a2，则（）A．S9＞0且S10＞0B．S9＞0且S10＜0C．S9＜0且S10＞0D．S9＜0且S10＜06．（2021秋•宁德期中）已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a3a7＝21，a2+a8＝10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．30B．35C．40D．457．（2021秋•田家庵区校级月考）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝3，S6﹣S2＝12，则S8＝（）A．B．C．51D．8．（2021秋•宁德期中）等比数列{a n}的前n项和为S n，首项，若数列{S n﹣1}也为等比数列，则数列{a n}的公比q＝（）A．﹣2B．2C．D．9．（2021秋•宝山区校级期中）正项等比数列{a n}中，存在两项a m、a n使得，且a6＝2a5+3a4，则的最小值为（）A．B．C．D．210．（2021秋•10月份月考）已知数列{a n}的前n项和为S n，q为常数，则“数列{a n}是等比数列”为“S n+1＝qS n+a1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（2021春•抚州期末）已知正项等比数列{a n}的公比为3，且，则a4a8a12a16a20＝（）A．B．C．310D．3512．（2021春•杨浦区校级期末）已知数列{a n}的通项公式为，a5是数列{a n}的最小项，则实数a的取值范围是（）A．[﹣40，﹣25]B．[﹣40，0]C．[﹣25，25]D．[﹣25，0]二．多选题（共4小题）13．（2021秋•广东月考）已知等差数列{a n}中，a1＝﹣12，a4+a10＝0，该数列的前n项和为S n，则下列说法正确的为（）A．a7＝0B．S6或S7最小C．公差d＝3D．|a5|＝a9 14．（2021秋•荔湾区校级月考）已知公差为d的等差数列{a n}，S n为其前n项和，下列说法正确的是（）A．若S9＜0，S10＞0，则a6是数列{a n}中绝对值最小的项B．若，则C．若a1＝8，a4＝2，则|a1|+|a2|+⋯+|a8|＝32D．若|a4|＝|a8|，d≠0，则S11＝015．（2021秋•三元区校级期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，下列说法正确的是（）A．若点（n，a n）在函数y＝kx+b（k，b为常数）的图象上，则{a n}为等差数列B．若{a n}为等差数列，则为等比数列C．若{a n}为等差数列，a1＞0，S11＝0，则当n＝10时，S n最大D．若，则{a n}为等比数列16．（2021秋•江苏期中）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d．已知a3＝6，S16＞0，a9＜0，则（）A．﹣＜d＜﹣1B．数列{}的最大项为第9项C．S n＜0时，n的最小值为17D．a8＞0三．解答题（共6小题）17．（2021秋•金安区校级期中）已知在递增的等差数列{a n}中，a3a6＝55，a4+a5＝16．（1）求a3和a6；（2）求{a n}的通项公式．18．（2021春•赤峰期末）已知数列{a n}为等比数列，首项为a1，公比为q，前n项和为S n，请写出数列{a n}的前n项和S n的表达式，并用错位相减法加以证明．19．（2021秋•河北期中）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3+a5＝26，S5＝45．（1）求{a n}的通项公式；（2）若S n＞240，求n的最小值．20．（2021秋•玉溪月考）已知数列{a n+3}为等比数列，且a2＝6，a3＝24．（1）求a n；（2）若3（b n+1﹣b n）＝a n，且b1＝，求b n．21．（2021秋•昌江区校级月考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三个内角B，A，C成等差数列．（1）若sin B，sin A，sin C成等差数列，试判断三角形的形状；（2）若△ABC为钝角三角形，且b＞c，求的取值范围．22．（2021•南通四模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a6＝2，a4+a5＝12．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a1a3a5…a2n﹣1，n∈N*，求数列{b n}的最大项．。

人教版高中数学选择性必修第二册第4章数列质量评估(原卷版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝()A ．－1B ．0C ．1D ．62．已知等比数列{a n }的公比为－2，且a 2＋a 5＝1，则a 4＋a 7＝()A ．－8B ．8C ．－4D ．43．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10－S 3＝14，则S 13的值为()A ．12B ．18C ．22D ．264．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且9S 3＝S 6，a 2＝1，则a 1＝()A ．12B ．22C ．2D ．25．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a n 等于()A ．2n －1B ．2n ＋1－3C ．2n －1D ．2n －1－16．已知数列212，414，618，8116，…，则其前n 项和S n 为()A ．n 2＋n ＋1－12nB ．n 2＋n －12nC ．n 2＋1－12n－1D ．n 2＋n ＋2－12n －17．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 4a 6－2a 24＋a 2a 4＝144，则a 5－a 3＝()A ．6B ．8C ．10D ．128．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2＋1n ＋4＋…＋时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要再证()A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，下列数列中一定是等比数列的有()A ．{a 2n }B ．{a n a n ＋1}C ．{lg a n }D ．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n10．在等差数列{a n }中，a 66<0，a 67>0，且a 67>|a 66|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则()A ．公差d <0B ．a 66＋a 67<0C ．S 131<0D ．使S n >0的n 的最小值为13211．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝3n ＋39n ＋3，则使得a n b n 为整数的正整数n 的值为()A ．2B ．3C ．4D ．1412．对于数列{a n }，若存在正整数k (k ≥2)，使得a k <a k －1，a k <a k ＋1，则称a k 是数列{a n }的“谷值”，k 是数列{a n}的“谷值点”．在数列{a n}中，若a n＝|n ＋9n－8|，下面不能作为数列{a n}的“谷值点”的是()A ．3B ．2C ．7D ．5三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且S 2＝3，S 4＝15，则a 3＝________.14.已知等差数列{a n }共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则公差是________．15.已知数列{a n }满足a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 5＝________，b 4b 6＝________.16.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝－2，公积为5，那么这个数列的前41项的和为________．四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)数列{a n}的前n项和为S n，已知a n＝5S n－3(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式．18.(12分)已知S n为等差数列{a n}的前n项和，a1＝8，S10＝－10.(1)求a n，S n；(2)设T n＝|a1|＋|a2|＋…＋|a n|，求T n .19.(12分)已知数列{a n}满足2a n＋1＝1a n＋1a n＋2(n∈N*)，且a3＝15，a2＝3a5.(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n＝3a n a n＋1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和S n .20.(12分)某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%.因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b，设a n为n年后该地区森林木材存量．(1)求{a n}的表达式．(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于79a.如果b＝1972a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(lg2≈0.30)21.(12分)已知数列{a n}的前n项和S n＝2a n－2n.(1)求a1，a2；(2)设c n＝a n＋1－2a n，证明：数列{c n}是等比数列；(3)n项和T n.22.(12分)已知数列{a n}的前n项和S n＝a n＋12n2＋32n－2(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b nn为奇数，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n.人教版高中数学选择性必修第二册第4章数列质量评估(解析版)(时间：120分钟，分值：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝()A ．－1B ．0C ．1D ．6B解析：在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 4＝12(a 2＋a 6)＝12(4＋a 6)＝2，解得a 6＝0.故选B.2．已知等比数列{a n }的公比为－2，且a 2＋a 5＝1，则a 4＋a 7＝()A ．－8B ．8C ．－4D ．4D解析：由题意可知a 4＋a 7＝(a 2＋a 5)×(－2)2＝4.3．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10－S 3＝14，则S 13的值为()A ．12B ．18C ．22D ．26D解析：根据题意得S 10－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝7a 7＝14，所以a 7＝2，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.故选D ．4．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且9S 3＝S 6，a 2＝1，则a 1＝()A ．12B ．22C ．2D ．2A解析：∵9S 3＝S 6，∴9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q，∴9(1－q 3)＝1－q 6，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2.∴a 1＝a 2q ＝12.5．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a n 等于()A ．2n －1B ．2n ＋1－3C ．2n －1D ．2n －1－1A解析：∵a n ＋1＝a n ＋2n ，∴a n ＋1－a n ＝2n .∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，a 4－a 3＝23，…，a n －a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋23＋…＋2n －1＝2(1－2n －1)1－2＝2n －2.∴a n ＝2n －1.6．已知数列212，414，618，8116，…，则其前n 项和S n 为()A ．n 2＋n ＋1－12nB ．n 2＋n －12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2＋n ＋2－12n －1A解析：∵a n ＝2n ＋12n ，∴S n ＝n (2n ＋2)2＋21－12＝n 2＋n ＋1－12n .7．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 4a 6－2a 24＋a 2a 4＝144，则a 5－a 3＝()A ．6B ．8C ．10D ．12D解析：∵{a n }是递增的等比数列，∴a 5－a 3>0.∵a 4a 6＝a 25，a 24＝a 3a 5，a 2a 4＝a 23，∴a 4a 6－2a 24＋a 2a 4＝144可化为a 25－2a 3a 5＋a 23＝144，即(a 5－a 3)2＝144，∴a 5－a 3＝12.故选D ．8．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝2＋1n ＋4＋…＋时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时等式成立，则还需要再证()A ．n ＝k ＋1时等式成立B ．n ＝k ＋2时等式成立C ．n ＝2k ＋2时等式成立D ．n ＝2(k ＋2)时等式成立B解析：根据数学归纳法的步骤可知，n ＝k (k ≥2且k 为偶数)的下一个偶数为n ＝k ＋2.故选B.二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，下列数列中一定是等比数列的有()A ．{a 2n }B ．{a n a n ＋1}C ．{lg a n }D ．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2nAB解析：由数列{a n }为等比数列可知，a n a n －1＝q (q ≠0)，对于A ，a 2na 2n －1＝q 2，故A 项中的数列是等比数列；对于B ，a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q 2≠0，故B 项中的数列是等比数列；对于C ，lg a nlg a n －1不一定为常数，即{lg a n }不一定为等比数列；对于D ，若a n ＝(－1)n ，为等比数列，公比为－1，则S n 有可能为0，即S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定成等比数列．故选AB.10．在等差数列{a n }中，a 66<0，a 67>0，且a 67>|a 66|，S n 为数列{a n }的前n 项和，则()A ．公差d <0B ．a 66＋a 67<0C ．S 131<0D ．使S n >0的n 的最小值为132CD解析：∵a 66<0，a 67>0，且a 67>|a 66|，∴d >0，a 67>－a 66，即a 67＋a 66>0，∴S 132＝66(a 1＋a 132)＝66(a 66＋a 67)>0，S 131＝131(a 1＋a 131)2＝131a 66<0，∴使S n >0的n 的最小值为132.11．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且S n T n ＝3n ＋39n ＋3，则使得an b n 为整数的正整数n 的值为()A ．2B ．3C ．4D ．14ACD解析：由题意可得S 2n －1T 2n －1＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2(2n －1)(b 1＋b 2n －1)2＝(2n －1)a n (2n －1)b n ＝a n b n，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1＝3(2n －1)＋39(2n －1)＋3＝3n ＋18n ＋1＝3＋15n ＋1.由于an b n 为整数，则n ＋1为15的正约数，则n ＋1的可能取值有3,5,15，因此，正整数n 的可能取值有2,4,14.故选ACD ．12．对于数列{a n }，若存在正整数k (k ≥2)，使得a k <a k －1，a k <a k ＋1，则称a k 是数列{a n }的“谷值”，k 是数列{a n}的“谷值点”．在数列{a n}中，若a n＝|n ＋9n－8|，下面不能作为数列{a n}的“谷值点”的是()A ．3B ．2C ．7D ．5AD解析：a n ＝|n ＋9n－8|，故a 1＝2，a 2＝32，a 3＝2，a 4＝74，a 5＝65，a 6＝12，a 7＝27，a 8＝98.故a 2<a 3,3不是“谷值点”；a 1>a 2，a 3>a 2，故2是“谷值点”；a 6>a 7，a 8>a 7，故7是“谷值点”；a 4<a 5,5不是“谷值点”．故选AD ．三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知{a n }是各项都为正数的等比数列，其前n 项和为S n ，且S 2＝3，S 4＝15，则a 3＝________.4解析：∵S 2＝3，S 4＝15，∴a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝S 4－S 2＝12.∴a 3＋a 4a 1＋a 2＝4＝q 2.∵a n >0，∴q ＝2.∴a 1＋a 1q ＝3a 1＝3.∴a 1＝1.∴a 3＝a 1q 2＝4.14.已知等差数列{a n }共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则公差是________．4解析：∵S 偶－S 奇＝5d ＝20，∴d ＝4.15.已知数列{a n }满足a n －a n ＋1＝3a n a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 5＝________，b 4b 6＝________.1091解析：由题意可得1a n ＋1－1a n＝3，即数列{b n }是公差为3的等差数列，由b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，得b 5＝10，所以b 4＝7，b 6＝13，b 4b 6＝91.16.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝－2，公积为5，那么这个数列的前41项的和为________．－92解析：由题意可得，a 1＝－2，a 2＝－52，a 3＝－2，a 4＝－52，…，a 39＝－2，a 40＝－52，a 41＝－2，∴S 41＝21×(－2)＋2092.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解：当n ＝1时，a 1＝5S 1－3＝5a 1－3，得a 1＝34.当n ≥2时，由已知a n ＝5S n －3，得a n －1＝5S n －1－3.两式作差得a n －a n －1＝5(S n －S n －1)＝5a n ，∴a n ＝－14a n －1，∴数列{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－14的等比数列．∴a n ＝a 1qn －1＝34×－1.18.(12分)已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝8，S 10＝－10.(1)求a n ，S n ；(2)设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .解：(1)∵S 10＝10a 1＋45d ＝80＋45d ＝－10，∴d ＝－2.∴a n ＝8－2(n －1)＝10－2n ，S n ＝n (8＋10－2n )2＝9n －n 2.(2)令a n ＝0，得n ＝5.当n ≤5时，T n ＝S n ＝9n －n 2；当n ≥6时，T n ＝－S n ＋2S 5＝n 2－9n ＋40，∴T nn －n 2，n ≤5，2－9n ＋40，n ≥6.19.(12分)已知数列{a n }满足2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，且a 3＝15，a 2＝3a 5.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3a n a n ＋1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)解：由2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)为等差数列．由已知得1a 3＝5，1a 2＝13×1a 5.设其公差为d ，则1a 1＋2d ＝5，1a 1＋d4解得1a 1＝1，d ＝2，于是1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，整理得a n ＝12n －1.(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3(2n －1)(2n ＋1)＝所以S n －13＋13－15＋…＋12n －1－＝3n 2n ＋1.20.(12分)某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%.因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b ，设a n 为n 年后该地区森林木材存量．(1)求{a n }的表达式．(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于79a .如果b ＝1972a ，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(lg 2≈0.30)解：(1)设第一年后的森林木材存量为a 1，第n 年后的森林木材存量为a n ，∴a 1＝b ＝54a －b ，a 2＝54a 1－b－ba，a 3＝54a 2－ba＋54＋1b .由上面的a 1，a 2，a 3推测a na－1－2＋…＋54＋1ba －－1b (其中n ∈N *)．证明如下：①当n ＝1时，a 1＝54a －b ，结论成立．②假设当n ＝k 时，a ka －－1b 成立，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝54a k －b ＝a －－1b b＋1a －＋1－1b .也就是说，当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，a na －－1b 对一切n ∈N *成立．(2)当b ＝1972a 时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须小于79a ，a －－1×1972a <79a ，即>5.两边取对数得nlg 54>lg 5，即n >lg 5lg 5－2lg 2＝1－lg 21－3lg 2≈7.∴经过8年后该地区就会发生水土流失.21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －2n .(1)求a 1，a 2；(2)设c n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{c n }是等比数列；(3)n 项和T n .(1)解：∵a 1＝S 1,2a 1＝S 1＋2，∴a 1＝S 1＝2.由2a n ＝S n ＋2n ，知2a n ＋1＝S n ＋1＋2n ＋1＝a n ＋1＋S n ＋2n ＋1，∴a n ＋1＝S n ＋2n ＋1，①∴a 2＝S 1＋22＝2＋22＝6.(2)证明：由题设和①式知a n ＋1－2a n ＝(S n ＋2n ＋1)－(S n ＋2n )＝2n ＋1－2n ＝2n ，即c n ＝2n ，∴c n ＋1c n＝2(常数)．∵c 1＝21＝2，∴{c n }是首项为2，公比为2的等比数列．(3)解：∵c n ＝2n ，∴n ＋12c n ＝n ＋12n ＋1.n 项和T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1，12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2，两式相减，得12T n ＝222＋123＋124＋125＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×1－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2＝34－n ＋32n ＋2.∴T n ＝32－n ＋32n ＋1.22.(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋12n 2＋32n －2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b nn 为奇数，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解：(1)由于S n ＝a n ＋12n 2＋32n －2，所以当n ≥2时，S n －1＝a n －1＋12(n －1)2＋32(n －1)－2，两式相减得a n ＝a n －a n －1＋n ＋1，于是a n －1＝n ＋1，所以a n ＝n ＋2.(2)由(1)得b nn 为奇数，所以T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(b 1＋b 3＋…＋b 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )．因为b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n ×(2n ＋2)＝1411×2＋12×3＋…＋1n ×(n ＋1)－12＋12－13＋…＋1n －＝n 4(n ＋1)，b 2＋b 4＋…＋b 2n＋…n ＝1411－14＝131于是T 2n ＝n 4(n ＋1)＋131。

高一数学选择性必修第二册第四章《数列》章末复习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设数列{a n}的前n项和S n=n2，则a8的值为( )A．64B．16C．49D．152.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列{1a n a n+1}的前100项和为( )A．100101B．99101C．99100D．1011003.已知函数f(x)=xα的图象过点(4,2)，令a n=1(f n+1)+(f n)，n∈N∗．记数列{a n}的前n项和为S n，则S2020=( )A．√2019−1B．√2020−1C．√2021−1D．√2021+14.等比数列{a n}的前n项和为S n=32n−1+r，则r的值为( )A．13B．−13C．19D．−195.已知x2+y2=4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为( )A．2√10B．12√10C．√10D．32√106.在等比数列{a n}中，若a2，a9是方程x2−x−6=0的两根，则a5⋅a6的值为( )A．6B．−6C．−1D．17.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d>0”是“S3+S5>2S4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件8.记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S6=−33，a1=2，则a5=( )A．12B．−10C．10D．129.下列说法正确的是( )A．数列1，−2，3，−4，⋯，是一个摆动数列B．数列−2，3，6，8可以表示为{−2,3,6,8}C．{a n}跟a n是同一个数列D．每一个数列的通项公式都是唯一确定的10.数列{a n}的通项公式为a n=2n+1，其前n项和为T n，若不等式nlog2(T n+4)−λ(n+1)+7≥3n对任意n∈N∗恒成立，则实数λ的取值范围为( )A．λ≤3B．λ≤4C．2≤λ≤3D．3≤λ≤4二、填空题（共6题）11.定义＂等和数列＂：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n}是等和数列，且a1=2，公和为5，那么a18的值为，这个数列的前n 项和S n的计算公式为．12.已知无穷等比数列{a n}满足：对任意的n∈N∗，sina n=1，则数列{a n}公比q的取值集合为．13.若等比数列{a n}的通项公式是a n=24−n(n∈N∗)，则这个数列的前5项之和为．14.已知数列{a n}满足：a1=12，a n+1=a n2+a n，用[x]表示不超过x的最大整数，则[1a1+1+1 a2+1+⋯+1a2017+1]的值等于．15.设等比数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，若a1=1，a3=4，S k=63，则k=．16.已知等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=81，则log3a7=．三、解答题（共6题）17.已知{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6=55，a2+a7=16．求数列{a n}的通项公式．18.已知数列{a n}满足a1=4，a n=4−4a n−1(n∈N∗,n≥2)，设b n=1a n−2．(1) 求证数列{b n}是等差数列；(2) 求数列{a n}的通项公式．19.已知{a n}为等差数列，且a3=−6，a6=0．(1) 求{a n}的通项公式；(2) 若等比数列{b n}满足b1=−8，b2=a1+a2+a3，求{b n}的前n项和公式．20.本市某区大力开展民心工程，近几年来对全区a m2的老房子进行平改坡（“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅平屋面改建成坡屋顶，并对外墙面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为），且每年平改坡面积的百分比相等．若改造到面积的一半时，所用时间需10年．已知到今年为止，平改坡剩余面积为原来的√2．2(1) 求每年平改坡的百分比；(2) 问到今年为止，该平改坡工程已进行了多少年？21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2=4，2S n=na n+n，n∈N∗．(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若取出数列{a n}中的部分项a2，a6，a22，⋯依次组成一个等比数列{c n}，若数列{b n}．满足a n=b n⋅c n，求证：数列{b n}的前n项和T n<2322.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1(n∈N∗)，求证：(1) 数列{a n+1}是等比数列；(2) 数列{a n}的通项公式是a n=2n−1．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =n 2， 所以 S 8=64=a 1+a 2+a 3+⋯+a 7+a 8， S 7=49=a 1+a 2+a 3+⋯+a 6+a 7， 所以 S 8−S 7=a 8=15．【知识点】根据n 项和式和n 项积式求通项2. 【答案】D【知识点】裂项相消法、等差数列的前n 项和3. 【答案】C【解析】由 f (4)=2，可得 4α=2，解得 α=12， 则 f (x )=√x ． 所以 a n =1(f n+1)+(f n )=√n+1+√n=√n +1−√n ，所以S 2020=a 1+a 2+a 3+⋯+a 2020=(√2−√1)+(√3−√2)+(√4−√3)+⋯+(√2021−√2020)=√2021−1.【知识点】裂项相消法4. 【答案】B【解析】当 n =1 时，a 1=S 1=3+r ， 当 n ≥2 时， a n =S n −S n−1=32n−1−32n−3=32n−3(32−1)=8⋅32n−3=8⋅32n−2⋅3−1=83⋅9n−1,所以 3+r =83，即 r =−13． 【知识点】等比数列的前n 项和5. 【答案】D【解析】因为在实数 x ，y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，所以设中间三项为 a ，b ，c ，由等差数列的性质可得 2b =x +y ， 所以 b =x+y 2，同理可得 c =x+3y 4， 所以后三项的和为 b +c +y =x+y 2+x+3y 4+y =3x+9y 4，又因为 x 2+y 2=4，所以可令 x =2cosθ，y =2sinθ， 所以3x+9y 4=32(cosθ+3sinθ)=3√102sin (θ+φ)≤3√102． 【知识点】等差数列的前n 项和6. 【答案】B【知识点】等比数列的基本概念与性质7. 【答案】C【知识点】等差数列的前n 项和、充分条件与必要条件8. 【答案】B【解析】因为 S 6=−33，a 1=2，S 6=6a 1+6×52×d ，所以 −33=12+15d ， 所以 d =−3，所以 a 5=a 1+4d =2+4×(−3)=−10． 【知识点】等差数列的前n 项和9. 【答案】A【解析】摆动数列是指从第二项开始，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，故A 正确；数列与数集是两个不同的概念，故B 错；{a n } 表示的是 a 1，a 2，a 3，⋯，a n ，而 a n 表示的是数列 {a n } 的第 n 项，故C 错；数列的通项并不都是唯一确定的，比如数列“−1，1，−1，1，⋯”即可以用 a n =(−1)n 表示，还可以用 a n ={−1, n 为奇数,1, n 为偶数表示，故D 错．【知识点】数列的基本概念10. 【答案】A【解析】依题意得，T n =4(1−2n )1−2=2n+2−4，所以不等式 nlog 2(T n +4)−λ(n +1)+7≥3n 可化为 nlog 22n+2−λ(n +1)+7≥3n ， 即 n 2−n +7≥λ(n +1)． 又 n ∈N ∗， 所以 λ≤n 2−n+7n+1对任意 n ∈N ∗ 恒成立．只需满足 λ≤(n 2−n+7n+1)min即可．设 n +1=t ，则 t ∈N ∗，t ≥2， 所以 λ≤n 2−n+7n+1=t +9t −3．因为 t +9t −3≥2√t ⋅9t −3=3， 当且仅当 t =3，即 n =2 时等号成立， 所以 (n 2−n+7n+1)min=3．所以 λ≤3．【知识点】等比数列的前n 项和二、填空题（共6题）11. 【答案】3；S n ={5n2,n 为偶数5n 2−12,n 为奇数【知识点】分组求和法12. 【答案】 {q∣ q =4k +1,k ∈Z }【知识点】等比数列的基本概念与性质13. 【答案】312【知识点】等比数列的前n 项和14. 【答案】 1【解析】因为 a n+1=a n 2+a n ，故 a n+1−a n =a n 2>0，即数列 {a n } 是递增数列，由 a n+1=a n 2+a n 可得 a n+1=a n (a n +1)，所以1a n+1=1a n−1a n +1，从而 1a n +1=1a n−1a n+1，所以 1<1a 1+1+1a 2+1+⋯+1a 2017+1=1a 1−1a 2018<1a 1=2，故 [1a 1+1+1a2+1+⋯+1a 2017+1]=1．【知识点】裂项相消法15. 【答案】 6【知识点】等比数列的前n 项和16. 【答案】 2【解析】因为等比数列 {a n } 各项都是正数，且 a 3a 11=81，所以 a 3a 11=a 72=81，因此 a 7=9，所以 log 3a 7=log 39=2．【知识点】等比数列的基本概念与性质三、解答题（共6题） 17. 【答案】 a n =2n −1．【知识点】等差数列的基本概念与性质18. 【答案】(1) 略．(2) a n =2n +2．【知识点】等差数列的基本概念与性质19. 【答案】(1) 在等差数列 {a n } 中，由 a 3=−6，a 6=0， 得 d =a 6−a 36−3=0−(−6)3=2，所以 a n =a 6+(n −6)d =2n −12．(2) 在等比数列 {b n } 中，b 1=−8，b 2=a 1+a 2+a 3=−10+(−8)+(−6)=−24， 所以 q =b 2b 1=−24−8=3，所以 {b n } 的前 n 项和公式 S n =−8(1−3n )1−3=4(1−3n )．【知识点】等差数列的基本概念与性质、等比数列的前n 项和20. 【答案】(1) 设每年平改坡的百分比为 x （0<x <1），则 a (1−x)10=12a ，即 1−x =(12)110,解得 x =1−(12)110≈0.0670=6.70%，(2) 设到今年为止，该工程已经进行了 n 年，则 a (1−x )n =√22a ，即 (12)n10=(12)12，解得 n =5，所以到今年为止，该工程已经进行了 5 年．【知识点】数列模型的实际应用问题21. 【答案】(1) 因为2S n=na n+n, ⋯⋯①当n≥2时，2S n−1=(n−1)a n−1+(n+1). ⋯⋯②由①−②：2a n=na n−(n−1)a n−1+1，所以(n−2)a n−(n−1)a n−1+1=0．所以(n−2)a n−(n−1)a n−1+(n−1)−(n−2)=0．所以(n−2)(a n−1)=(n−1)(a n−1−1)．所以a n−1n−1=a n−1−1n−2对n≥3，n∈N∗成立．所以a n−1n−1=a2−13−2=3，所以a n=3n−2对n≥3，n∈N∗成立．又a1=S1=1，a2=4，也都适合上式，所以a n=3n−2．(2) 因为a2=4，a6=16，所以c n=4n，所以b n=(3n−2)⋅14n．T n=1⋅14+4⋅142+7⋅143+⋯+(3n−2)⋅14n, ⋯⋯①1 4T n=1⋅142+4⋅143+⋯+(3n−5)⋅14n+(3n−2)⋅14n+1. ⋯⋯②由①−②得：3 4T n=14−(3n−2)⋅14n+1+3(142+143+⋯+14n)=14−(3n−2)⋅14n+1+316(1−14n−1)1−14=12−3n+24n+1.所以T n=23−3n+23⋅4n<23．【知识点】根据n项和式和n项积式求通项、错位相减法22. 【答案】(1) 因为a n+1=2a n+1(n∈N∗)，所以a n+1+1=2(a n+1)，所以{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．(2) 由（1）可得a n+1=2n，即a n=2n−1(n∈N∗)．【知识点】等比数列的基本概念与性质。

专题4.3 等比数列知识储备知识点一 等比数列的概念思考1 观察下列4个数列，归纳它们的共同特点. ①1,2,4,8,16，…； ②1，12，14，18，116，…； ③1,1,1,1，…； ④－1,1，－1,1，…【答案】从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数. 思考2 类比等差数列，归纳出等比数列的概念和特点.(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0). (2)递推公式形式的定义1n n a a -＝q (n >1).(或1n naa +＝q ，n ∈N *) (3)等比数列各项均不能为0；故只有非零常数列才是等比数列. 知识点二 等比中项的概念思考1 在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？ 【答案】设这个数为G .则82G G=，G 2＝16，G ＝±4.这样的数有2个. 思考2 对比等差中项与等比中项的异同，完成表格 知识点三 等比数列的通项公式思考 类比等差数列通项公式的推导过程，推导首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式. 【答案】根据等比数列的定义得：21a a ＝q ，32a a ＝q ，43aa ＝q ，…，1n n a a -＝q (n ≥2). 将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘， 得21a a ·32a a ·43a a ·…·1n n a a -＝q n －1，化简得1n a a ＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1(n ≥2). 当n ＝1时，上面的等式也成立. ∴a n ＝a 1q n －1(n ∈N *).知识点四 等比数列通项公式的推广思考1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . 等比数列也有类似变形吗？【答案】在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1qn －1，得n m a a ＝1111n m a q a q--＝q n －m ，所以a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *). 思考2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定；你能用等比数列的通项公式研究其单调性吗？ 【答案】设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .则a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，差的正负由a 1，q ，q －1的正负共同决定. 当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{a n }是递增数列； 当101a q <⎧⎨>⎩或1001a q >⎧⎨<<⎩时，{a n }是递减数列；q ＜0时，{a n }是摆动数列， q ＝1时，{a n }是常数列.知识点五 由等比数列衍生的等比数列思考1 等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是： (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列； (3){1na }是等比数列；(4){a 2n }是等比数列. 【答案】由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确. 思考2 试把思考1推广到一般的等比数列.【答案】(1)在等比数列{a n }中按序号从小到大取出若干项：ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n ，…，若k 1，k 2，k 3，…，k n ，…成等差数列，那么ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n ，…是等比数列.(2)如果{a n }，{b n }均为等比数列，那么数列{1n a }，{a n ·b n }，{n nb a }，{|a n |}仍是等比数列. 知识点六 等比数列的性质思考1 在等比数列{a n }中，a 25＝a 1a 9是否成立？a 25＝a 3a 7是否成立？a 2n ＝a n －2a n ＋2(n >2)是否成立？【答案】∵a 5＝a 1q 4，a 9＝a 1q 8，∴a 1a 9＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝a 25，a 25＝a 1a 9成立. 同理a 25＝a 3a 7成立，a 2n ＝a n －2·a n ＋2也成立.思考2 由思考1你能得到等比数列更一般的结论吗？该结论如何证明？【答案】一般地，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝s ＋t ，则有a m ·a n ＝a s ·a t (m ，n ，s ，t ∈N *).若m ＋n ＝2k ，则a m ·a n ＝a 2k (m ，n ，k ∈N *).证明：∵a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，∴a m ·a n ＝a 21qm ＋n －2， 同理，a s ·a t ＝a 21qs ＋t －2，∵m ＋n ＝s ＋t ，∴a m ·a n ＝a s ·a t . 若m ＋n ＝2k ，则a m ·a n ＝a 2k .知识点七 等比数列的前n 项和公式的推导思考1 对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?【答案】比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝641212--＝264－1≈1.84×1019.思考2 类比思考1中求和的方法，如何求等比数列{a n }的前n 项和S n? 【答案】设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n . S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① 则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .② 由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .当q ≠1时，S n ＝1(1)1n a q q--.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1. 思考3 等比数列前n 项和公式：S n ＝111(1)=(1)11(1)n n a a qa q q q qna q ⎧--≠⎪--⎨⎪=⎩ 知识点八 等比数列的前n 项和公式的应用 思考1 怎样求等比数列前8项的和：(1)若已知前三项12，14，18，用哪个公式比较合适？ (2)若已知a 1＝27，a 9＝1243，q ＝－13.用哪个公式比较合适？ 【答案】(1)用S n ＝1(1)1n a q q --；(2)用S n ＝11n a a qq--.思考2 一般地，使用等比数列求和公式时需注意什么？ 【答案】(1) 一定不要忽略q ＝1的情况；(2) 知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用1(1)1n a q q --；知道首尾两项a 1、a n 和q ，可以用11n a a q q--；(3) 在通项公式和前n 项和公式中共出现了5个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余. 知识点九 等比数列前n 项和公式的函数特征思考1 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，那么数列{a n }是不是等比数列？ 若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－1呢？ 【答案】当S n ＝2n －1时，a n ＝11,1,,2,nn S n S S n -=⎧⎨-≥⎩＝11,1,2,2,n n n -=⎧⎨≥⎩n ∈N *，是等比数列； 当S n ＝2n ＋1－1时， a n ＝11,1,,2,n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩＝3,1,2,2,n n n =⎧⎨≥⎩不是等比数列.思考2 对于一般的等比数列，前n 项和有什么特征？ 【答案】当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝1(1)1n a q q --＝1(1)1n a q q --.设A ＝11a q -，则上式可以写为S n ＝A (q n －1).当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数. 知识点十 错位相减法思考1 在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 的？ 【答案】在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可.思考2 如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，上述方法还能不能用？ 【答案】 能用.S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，① qS n ＝a 1b 1q ＋a 2b 2q ＋…＋a n b n q＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b n ＋1，②①－②：(1－q )S n ＝a 1b 1＋(a 2－a 1)b 2＋(a 3－a 2)b 3＋…＋(a n －a n －1)b n －a n b n ＋1， ＝a 1b 1＋d (b 2＋b 3＋…＋b n )－a n b n ＋1＝a 1b 1＋d 12(1)1n b q q---－a n b n ＋1，∴S n ＝()111122(1)11n n n a b a b b q d q q -+--+--能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、单选题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24【答案】A【解析】由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则57a a 等于( ) A.56 D ．65 C.23D ．32【答案】D【解析】公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6. ∴a 5，a 4＋a 6＝qq ＝5. 解得q57a a ＝21q＝2⎝⎭＝32. 3．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000【答案】C【解析】∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.4．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1 D ．a 5＝1【答案】B【解析】由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又因为a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】C【解析】等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8. 6．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( ) A ．190 B ．191 C ．192 D ．193 【答案】C【解析】设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由71112112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-＝381，解得a 1＝192.7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则52S S 等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－11【答案】D【解析】设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以52S S ＝5121(1)1(1)1a q q a q q----＝5211q q --＝13214+-＝333-＝－11.故选D.8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( )A ．8B ．12C ．16D ．24【解析】选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q n S n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16. 二、多选题9．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7a 8>1，7811a a -- <0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7a 9<1C ．T n 的最大值为T 7D ．S n 的最大值为S 7【答案】ABC【解析】 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，7811a a --<0，∴a 7>1,0<a 8<1， ∴0<q <1，故A 正确．a 7a 9＝a 28<1，故B 正确； T 7是数列{T n }中的最大项，故C 正确；因为a 7>1，0<a 8<1，S n 的最大值不是S 7，故D 不正确；故选A 、B 、C.10．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( ) A ．数列{a n }的公比为2 B ．数列{a n }的公比为8 C.63S S ＝8 D ．63S S ＝9 【答案】AD【解析】因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，所以63a a ＝q 3＝8，解得q ＝2，所以63S S ＝611q q--＝1＋q 3＝9，故选A 、D. 11．下列说法正确的是（ ）A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *∈B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，仍为等比数列()k N*∈C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n n n a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<--- 【答案】ACD【解析】对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =+++，2122k k k k k S S a a a ++-=+++，3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，，可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，所以kS ，2k k S S -，32k k S S -，构成等差数列，故A 正确；对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；对于D 中，由2159n nn a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则()()1111132332n n n n n a a a a a +==------，所以1111233n n n a a a +=----， 所以1212231111111111222333333n n n a a a a a a a a a ++++=-+-++---------- 1111111333n n a a a ++=-=----. 因为14a =，所以2159n nn n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113n a +-<-，故D 正确.故选：ACD12．在数列{}n a 中，2a 和6a 是关于x 的一元二次方程240x bx -+=的两个根，下列说法正确的是（ ）A ．实数b 的取值范围是4b ≤-或4b ≥B ．若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a 的前7项和为4bC ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则42a =±D ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则26a a +的最小值为4【答案】AD 【解析】对A ，240x bx -+=有两个根，24140b ∴∆=-⨯⨯≥，解得：4b ≤-或4b ≥，故A 正确； 对B ，若数列{}n a 为等差数列，2a 和6a 是关于x 的一元二次方程240x bx -+=的两个根， 26a a b ∴+=，则()()76712777222a a a S a b++===，故B 错误； 对C ，若数列{}n a 为等比数列且0b >，由韦达定理得：26264a a ba a +=⎧⎨⋅=⎩，可得：20a >，60a >，40a ∴>，由等比数列的性质得：2426a a a =⋅，即42a ===，故C 错误；对D ，由C 可知：24264a a a =⋅=，且20a >，60a >，264a a ∴+≥=，当且仅当262a a ==时，等号成立，故D 正确.故选AD.三、填空题13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________． 【答案】3或27【解析】设此三数为3，a ，b ，则223(6)3a ba b =+⎧⎨-=⎩解得33a b =⎧⎨=⎩或15,27,a b =⎧⎨=⎩所以这个未知数为3或27. 14．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 【答案】18【解析】由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝54a a ＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝1322⎛⎫+⎪⎝⎭×32＝18. 15．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米． 【答案】2048【解析】这10个正方形的边长构成以2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝21122⎛⎫ ⎪⎝⎭＝211＝2 048.16．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________． 【答案】450 【解析】由241001399a a a a a a ++++++＝q ，q ＝2，得24100150a a a +++＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450. 四、解答题17．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13. (1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝12na -； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 【解析】(1)证明：因为a n ＝13×13⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1＝13n ， S n ＝111113331213nn ⎛⎫--⎪⎝⎭=-，所以S n ＝12n a -.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－(1)2n n +.所以{b n }的通项公式为b n ＝－(1)2n n +. 18．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b )，先将A 中农药的14倒入B 中，混合均匀后，再由B 倒入一部分到A中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?【解析】设第n 次操作后，A 中农药的浓度为a n ，B 中农药的浓度为b n ，则a 0＝a %，b 0＝b %. b 1＝15(a 0＋4b 0)，a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0)； b 2＝15(a 1＋4b 1)，a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1)；…； b n ＝15(a n －1＋4b n －1)，a n ＝15(4a n －1＋b n －1)． ∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝… ＝35(a 0－b 0)·35⎛⎫ ⎪⎝⎭n －1. ∵a 0－b 0＝15，∴a n －b n ＝15·35⎛⎫ ⎪⎝⎭n . 依题意知15·35⎛⎫ ⎪⎝⎭n <1%，n ∈N *，解得n ≥6. 故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.19．已知等差数列{}n a 中，22a =，156a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22a =，156a a +=，所以112246a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得11a d ==，所以1(1)n a n n ； （2）由（1）可得，22n a n nb ==，即数列{}n b 为等比数列，所以数列{}n b 的前n 项和()12122212n n n S +-==--.20．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*n S n n N =∈，数列{}n b 满足12b =，()*1322,n n b b n n N -=+≥∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}1n b +是等比数列；（3）设数列{}n c 满足1n n n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <. 【解析】（1）当1n =时，111a S ==.当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-.检验，当1n =时11211a ==⨯-符合.所以()*21n a n n N=-∈. （2）当2n ≥时，()111113113213111n n n n n n b b b b b b -----++++===+++， 而113b +=，所以数列{}1n b +是等比数列，且首项为3，公比为3.（3）由（1）（2）得11333-+=⋅=n n n b ， 211(21)133n n n n n a n c n b -⎛⎫===- ⎪+⎝⎭， 所以1231n n n T c c c c c -=+++++ 23111111135(23)(21)33333n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭① 2341111111135(23)(21)333333n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①由①-①得 12342111111(21)23333333n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2111113311(21)213313n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=--⋅+ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭11111(21)3333n nn +⎛⎫⎛⎫=--⋅+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2221333n n +⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以11(1)3n n T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 因为1(1)03n n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭， 所以1n T <.21．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n a S -=. （1）求n a 与n S ；（2）记21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【解析】（1）由21n n a S -=，得21n n S a =-， 当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；当2n ≥时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---，得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以12n n a .所以2121n n n S a =-=-.（2）由（1）可得1212n n n b --=， 则()2121135211111135211222222n n n n T n ---=++++=⨯+⨯+⨯++-⋅， ()23111111352122222n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅， 两式相减得()2311111111221222222n n nT n -⎛⎫=+++++--⋅ ⎪⎝⎭，所以()31111111242122222n n n T n 2--⎛⎫=+++++--⋅ ⎪⎝⎭ ()1111123222421612212n n n n n ---+=+⋅--⋅=--. 22．已知数列{}n a 满足：114a =，11230n n n n a a a a ++-+=. （①）证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （①）记()221n n n b a n =++，求使[][][][]1232020n b b b b ++++≤成立的最大正整数n 的值.（其中，符号[]x 表示不超过x 的最大整数）【解析】①11230n n n n a a a a ++-+=，显然10n n a a +≠ ①1132n n a a +=-，111131n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1113a -=为首项，3为公比的等比数列 即113n n a -=，所以131n n a =+. （2）212131n n n b n ⎛⎫=+= ⎪++⎝⎭()2221(1)31n n n n n ++++ ()222(1)1(1)31n n n n n =-+++++()22322(1)(1)31n n n n n ⨯++=-+++. 因为n ≥2时，1223(12)1C 2C 212n n n n n =+=+⨯+⨯+>+，()()22(1)31232(1)31n n n n n n n n ++-⨯++=-⨯-+- 2(1)(12)1n n n n >-+-+-220n =->. 所以n ≥2时，()223201(1)31n n n n ⨯++<<++. 又n =1时，()22326129248(1)31n n n n ⨯++++==⨯++，所以[]11b =；2n ≥时， []2(1)n b n =-，所以2n ≥时， [][][][]123121222(1)n b b b b n ++++=+⨯+⨯++-21(1)1n n n n =+-=-+. 由212020n n -+≤，及n ∈+N ，得45n ≤. 所以使[][][][]1232020n b b b b ++++≤成立的最大正整数n 的值为45.。

第四章数列训练题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在等差数列{}n a 中，13a =，55a =-，则公差d =().A.1B.2C.-1D.-22.若数列的前4项分别是12-，13，14-，15，则此数列一个通项公式为().A.(1)1n n -+ B.(1)n n- C.1(1)1n n +-+ D.1(1)n n--3.设数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，记数列{}n a 前n 项之积为n T ，则2022T 的值为().A.2B.1C.-1D.-24.在等比数列{}n a 中，1478a a a ++=，36932a a a ++=，则71013a a a ++=()A.512B.1024C.512或-512D.1024或-10245.等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若231n n a nb n =+，则2121S T 的值为().A.1315B.2335C.1117D.496.已知等比数列{}n a 中，2392a a +=，25272a a +=，则公比q =()A.3B.2C.3或2D.2或-17.已知在等比数列{}n a 中，前n 项和54n S =，260n S =，则3n S =().A.64B.66C.2603D.26638.已知在等差数列{}n a 中，11a =，321a a =+，532a a =+，若12n n S a a a =+++ ，且66k S =，则k 的值为().A.9B.10C.11D.12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列命题中正确的是().A.数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列B.数列1，2，4，7，…的一个通项公式是(1)12n n n a -=+C.数列0，1，0，1，…没有通项公式D.设数列{}n a ，n naa nb c=+，其中a ，b ，c 均为正数，则此数列为递增数列10.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则().A.2n S n =B.223n S n n =-C.21n a n =- D.35n a n =-11.已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则()A.2q = B.2nn a = C.102047S = D.12n n n a a a +++<12.已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是().A.1n n a a d +=+(d 为常数)B.数列{}n a -是等差数列C.数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列D.1n a +是n a 与2n a +的等差中项三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，则数列{}n a 的第4项是___________.14.在等比数列{}n a 中，设前n 项和为n S ，若3221a S =+，4321a S =+，则公比q =___________.15.已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，77S =，1575S =，则21S 的值为___________.16.已知等比数列{}n a 和等差数列{}n b ，其中10b =，公差0d ≠.将这两个数列的对应项相加，得到新数列1，1，2，…，则这个新数列的前10项和为___________.四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为2230n S n n =-.（1）当n S 取最小值时，求n 的值；（2）求出{}n a 的通项公式.18.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，511a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若120n S =，求n .19.已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间()*(0,]m m ∈N 上的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S .20.已知数列{}n a 的前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)若()()21nn n n b c b b =--，求数列{}n c 的前n 项和n T .答案以及解析1.答案：D解析：因为()n m a a n m d -=-，所以51(5)32514a a d ---===--.故选D.2.答案：A解析：设所求数列为{}n a ，可得出11(1)11a -=+，22(1)21a -=+，33(1)31a -=+，44(1)41a -=+，因此该数列的一个通项公式为(1)1nn a n -=+.故选A.3.答案：B解析：因为12a =，111n n a a +=-，所以211112a a =-=，32111a a =-=-，43112a a =-=，即数列{}n a 是周期为3的周期数列，且1231a a a ⋅⋅=-，故67420226743(1)1T T ⨯==-=.故选B.4.答案：A解析：设等比数列{}n a 的公比为q ，所以23691473248a a a q a a a ++===++，所以66637101314784512a a a a q a q a q ++=++=⨯=.故选A.5.答案：C 解析：因为231n n a n b n =+，所以211111211111212111121311117S a a T b b ⨯====⨯+.故选C.6.答案：B解析：因为2329(1)2a a a q +=+=，()()322522271(1)12a a a q a q q q +=+=+-+=，所以213q q -+=，解得2q =或1q =-(舍去).7.答案：C解析：因为2600n S =≠，所以1q ≠-，从而n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，即54，6，360n S -成等比数列，所以32603n S =.8.答案：C解析：由等差中项得2(21)132a a +=++，解得1a =，所以公差3131122a a d --===，则(1)11662k k k S k -=⨯+⨯=，解得12k =-(舍去)或11k =.故选B.9.答案：BD解析：A ，C 显然错误，B 显然正确.对于D ，由题意知1(1)0(1)()[(1)]n n n a na aca a nbc nb c nb c n b c ++-=-=>++++++，正确.10.答案：AC解析：因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，39S =，47a =，所以31413239,237,S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩解得11a =，2d =，则1(1)221n a n n =+-⨯=-，2(121)2n n nS n +-==.故选AC.11.答案：ABD解析：A 项，由4232a a a =+两端同除以2a ，得22q q =+，解得2q =或-1.又{}n a 是正项等比数列，所以2q =，故A 项正确；B 项，112n n n a a q -==，故B 项正确；C 项，()10111021222204612S ⨯-==-=-，故C 项错误；D 项，()()2121n n n n a a a a q q +++-=+-120n n n n a a a a ++=-<⇒+<，故D 项正确.12.答案：ABD解析：A ：因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确.B ：因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确.C ：111111n n n n n n n n a a da a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确.D ：根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确.故选ABD.13.答案：16解析：由题可得()()2244344336a S S =-=---=.14.答案：3解析：3221a S =+，4321a S =+，两式相减得4332a a a -=，433a q a ==.15.答案：168解析：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d .由已知可得717S =，15515S =，则514115782d -===-，所以15211653821152S S =+⨯=+=，即21821168S =⨯=.16.答案：978解析：由已知得1122331,1,2,a b a b a b +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩因为10b =，所以11211,1,22,a a q d a q d =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩得11,2,1.a q d =⎧⎪=⎨⎪=-⎩故这个新数列的前10项之和为()102145978S =--=.17、（1）答案：7n =或8n =解析：()22215225230215222n S n n n n n ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭，因为*n ∈N ，所以当7n =或8n =时，n S 取最小值.（2）答案：432n a n =-解析：当1n =时，1123028a S ==-=-.当2n ≥时，221230[2(1)30(1)]432n n n a S S n n n n n -=-=----=-.验证得当1n =时，128a =-满足上式，所以432n a n =-.18.答案：(1)21n a n =+(2)10解析：(1)设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，因为25a =，511a =，所以15a d +=，1411a d +=，解得13a =，2d =，则1(1)32(1)21n a a n d n n =+-=+-=+，*n ∈N ，故{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n ∈N .(2)由(1)知13a =，21n a n =+，因为120n S =，所以()11202n n a a +=，即(321)1202n n++=，化简得221200n n +-=，解得10n =.19.答案：(1)2n n a =(2)480解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得31120a q a q +=，218a q =，解得12q =-(舍去)或2q =.由题设得12a =.所以{}n a 的通项公式为2n n a =.(2)由题设和(1)知10b =，且当122n n m +≤<时，m b n =.所以()()()()10012345673233536465100S b b b b b b b b b b b b b =+++++++++++++++ 2345012223242526(10063)480=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=.20.答案：(1)63n a n =-+，12n n b +=(2)11121n n T +=--解析：(1)当2n ≥时，22133(1)63n n n a S S n n n -⎡⎤=-=----=-+⎣⎦，当1n =时，113a S ==-，符合上式，所以63n a n =-+.因为{}n b 为等比数列，所以31232512b b b b ==，解得28b =.设{}n b 的公比为q ，则218b b q q==，328b b q q ==，而315a =-，由1133a b a b +=+得83158q q-+=-+，解得2q =或12q =-.因为{}n b 单调递增，所以2q =，从而21222n n n b b -+=⋅=.(2)因为()()()()111112211212122212121n n n n n n n n n c +++++===-------，所以1212231111111212121212121n n n n T c c c +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111212121n n ++=-=----.。