苏教高中数学必修二培优新方案课件：2.1.3第一课时两条直线的平行
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高中数学2.1直线与方程2.1.3两条直线的平行与垂直第一课时两条直线的平行课件苏教版必修2
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1) 不 重 合 的 两 条 直 线 的 倾 斜 角 相 等 ， 则 它 们 一 定 互 相 平
行．
(√ )
(2) 如 果 两 条 直 线 互 相 平 行 ， 那 么 它 们 的 斜 率 一 定 相 等 ．
(×)
(3)直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x＋ay＋2＝0 互相平行，则
[活学活用] 1．若直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x两直线平行，所以 a2－1＝0，解得 a＝±1.
答案：±1
2．直线 l1 经过 A(3,4)，B(5,8)，直线 l2 经过点 M(1，－2)，N(0， b)，且 l1∥l2，则实数 b＝________. 解析：∵k1＝85－ －43＝2，k2＝b－＋12＝－(b＋2)， 又∵l1∥l2，∴k1＝k2， 即－b－2＝2，∴b＝－4. 答案：－4
应用两直线平行求参数值
[典例] 已知直线 l1：mx＋y－(m＋1)＝0，l2：x＋my－2m ＝0，当 m 为何值时，
(1)直线 l1 与 l2 互相平行？ (2)直线 l1 与 l2 重合？ [解] (1)若 l1∥l2，需满足
m2－1＝0， －2m2＋m＋1≠0，
解得 m＝－1.
[解] (1)k1＝1，k2＝33－ －11＝1，k1＝k2， ∴l1 与 l2 重合或 l1∥l2. (2)l1 与 l2 都与 x 轴垂直，通过数形结合知 l1∥l2. (3)k1＝01－ －10＝－1，k2＝2－0－－31＝－1，k1＝k2，数形结合 知 l1∥l2.
判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线 l1，l2 的斜率都存在，将它们的方程都化成 斜截式．如：l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2； 则kb11＝ ≠kb22， ⇒l1∥l2. ②若两条直线 l1，l2 的斜率都不存在，将方程化成 l1：x＝x1， l2：x＝x2，则 x1≠x2⇒l1∥l2. (2)若直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1 不全为 0)，l2：A2x＋ B2y＋C2＝0(A2，B2 不全为 0)，由 A1B2－A2B1＝0 得到 l1∥l2 或 l1， l2 重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行．
苏教版高中数学必修二2.1.3两条直线的平行与垂直(2).docx
高中数学学习材料唐玲出品2.1.3两条直线的平行与垂直（2）1.过点()3,2,且与直线420x y +-=平行的直线为4140x y +-=;与之垂直的直线为450x y -+=2.四条直线210,210,2410,4210x y x y x y x y +-=--=++=-+=围成的四边形是矩形3.以()()()1,1,32,,5,4A B C 为顶点的三角形AB 边上的高所在直线方程是2140x y +-=4.以B 为直角顶点的Rt ABC ∆的两个顶点坐标为()()3,2,3,3A B --,则BC 边所在直线方程为65330x y -+=5.已知三条直线2,1,10y x y x kx y k ==--+-=围成直角三角形,则k =1,12-- 6.过点(),m n 且与直线0nx my mn -+=平行的直线一定还过点()0,0 7.过点()00,P x y 且与直线0Ax By C ++=垂直的直线方程为00B 0x Ay Ay Bx -+-=8.如果直线2310,10x y ax y --=+-=不平行,则a 的取值是 2a -3≠ 9.分别过点()()1,2,2,4A B 的两条直线互相平行,当它们之间的距离达到最大时,过点A 的直线方程为250x y +-=10.(1)已知平行于直线2510x y +-=的直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求l 的方程(2)求与直线230x y -+=垂直,且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大2的直线方程 解: (1)设直线方程为()2501x y c c ++=≠-,与坐标轴的交点是,0,0,25c c ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 25,1020c S c ===±则解得,直线方程为25100x y +±= (2) 设直线方程为20x y c ++=,与坐标轴的交点是(),0,0,2c c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,则22c c -=-+ ,4c =-解得,直线方程为240x y +-=11.已知两条直线()12:60;:2320l x my l m x y m ++=-++=,求m 的值,使得直线12l l 与(1)平行(2)相交(3)重合解当120,,:6;:230m l x l x y ==--+=时,则12l l 与相交; 当126220,:,:33x m m m l y l y m m -≠=--=--时 (1)当123,1623m m m m m-⎧-=-⎪⎪=-⎨⎪-≠-⎪⎩解得12l l 与平行; (3) 123,3623m m m m m -⎧-=-⎪⎪=⎨⎪-=-⎪⎩解得12l l 与重合 (2) 12,0,1,33m m m m m --≠-≠≠-≠解得,又当0,m =12l l 与相交,则当13m m ≠-≠且时12l l 与相交12.将直线l 向上平移2个单位后得到直线1l 经过点()2,2P ,再将直线1l 绕点P 旋转90后得到的直线2l 过点()4,2-,求直线l 的方程解:由题意可知: 22,l k =-又12l l ⊥,则112l k =,由点斜式方程得, 1:12x l y =+,将其向下平移2个单位得直线l 的方程是12x y =-13.已知矩形ABCD 的周长为18,,E F 分别是边,AB BC 上的点,且1AE BF ==.若EF BD ⊥,求这个矩形的面积.(建立关于矩形ABCD 的坐标系,合理利用线线垂直,求解长,宽)解:以AB 所在直线为x 轴,以AD 所在直线为y 轴,建立直角坐标系 设AB=a,BC=b则()()()()1,0,,1,,0,0,E F a B a D b ,由EF BD ⊥,得1119EF BD bk k a a a b ⎧∙=∙=-⎪--⎨⎪+=⎩,解得a=3,b=6,S=ab=18A B C D E F。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.3 两条直线的平行与垂直》2
两条直线平行与垂直的判定素材〔1〕设置问题，归纳结论设两条直线与的斜率分别为与〔注：两条直线与的一般是指两条不重合的直线〕活动二：1、当时，与满足怎样的关系？给学生约30秒的时间思考、整理，请学生表述推导过程，教师板演。
归纳：。
2、反之，当时，两条直线与有怎样的位置关系？学生通过思考，很快能利用三角函数知识得出直线。
归纳：结论：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即设计意图：〔1〕培养学生运用已有知识解决新问题的能力；〔2〕培养学生自主探究问题的习惯。
〔2〕应用举例：例1、A〔2，3〕，B〔－4，0〕P〔－3，2〕，Q〔－1，3〕，试判断直线AB与直线PQ的位置关系,并证明你的结论给学生约1分钟的时间思考，然后老师进行简要的分析，最后由师生共同完成证明过程。
设计意图：⑴应用新知解决问题。
⑵体会用代数方法解决几何问题的思想方法。
变式训练1：四边形ABCD的四个顶点分别为A〔-7，0〕、B〔2，－3〕、C〔5，6〕、D〔-4，9〕，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导在做完此题时，细心的学生会发现它可能还是一个正方形，如何判断呢？引出下一个探究的问题：斜率之间有何关系时两条直线垂直？设计意图：为了发现问题，提出问题。
也为下一环节做好铺垫。
2、两条直线垂直的判定：〔1〕设置问题，归纳结论活动三：1、当时，它们的斜率1与2有何关系？探究：1直线且的倾斜角为300，的倾斜角为12021，1与2的关系2直线且的倾斜角为600，的倾斜角为1500，1与2的关系由学生自主探究，得出猜测：任意两条直线垂直时。
提出问题：我们能否证明上述结论3该结论的证明过程涉及到三角函数的相关知识，学生独立完成有困难，教师通过分析、讲解，完成证明过程。
归纳：2、反之，当时，直线与有怎样的位置关系？学生思考后得出与是垂直的。
《2.1.3 两条直线的平行与垂直》课件-优质公开课-苏教必修2精品
y
B
l1 E
l2
l1 B
y
E l2
A
C
A
D
F
C
F
O
x
O
D
x
图1-1
反图之1-,2如何?
当两直线斜率都存在时,
L1∥L2 K1 K2
K1 K2
L1∥L2
【合作探究2】
l1
y
l2
l1
y
l2
O
图1
x
图2
O
x
当两直线斜率都不存在时, L1 ∥ L2
当一直线斜率不存在,另一直线斜率存在时,
L1 ∥ L2
【课堂小结】
二.数学思想方法:
1 分类讨论
2 数形结合
几何问题 代数问题
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ’＝０ (C≠C’)
（待定系数法）
【数学应用】例3
已知平行四边形 ABCD 的 三个顶点
A(1,0),B(1,2),C(5,3)
，求 AD、CD 边所在的直 线方程.
【分析】例3
C（-5,3）
y
B（-1,2）
D
O
x
A（-1,0）
【课堂练习1】
分析判断下列直线AB与CD是否平 行.
（1） A(3,1), B(1,1),C(3,5), D(5,1) 是
（2）A(2,4), B( 3,4), C(0,1), D(4,1) 是
【课堂练习2】
2、过点 A（2，3）且平行于直线
2x 5y 3 0 的直线方程是
__２_ｘ_＋__５_ｙ__-１__９_＝__０_.
证明： 1 2 1
51 3
kAB 1 4 5 ,kBC 5 1 2 ,
苏教版必修2两直线的平行教学课件
yl1
b1
l2
01 2
x
b2
l1
yl 2
0
x
已知l1 直 :2 x 4 y 线 7 0 ,方 l2:x 2 程 y 5 0 , 证l1 明 /l/2 。 ：
证：
把
l
、
1
l
的方程写成斜截式
2
l1
:
y
1 2
x
7 4
, l2
:
y
1 2
x
5 2
k1 k 2 , b1 b2
l1
//
l
。
2
1)求过 (1点 ,2)且 , 与x直 2y线 50平行的直线方 2
1
l2 : x 1
y
l1
l2
0
x
y
0 l1 l2
x
y l2
l1
yl 2
0
x
0
x
l1
1)
2)
3)
4)
二、探究引入:
y
B
l1
l2
E 它们的倾斜角如何?
A
D
C
F
o
x
那他们的斜率呢?
y
l1 B
l2
E
A
D
C
F
o
右图中是否仍有斜率相等?
k1
BC AC
x
EF k2 DF
k1 k2
三、讲授新知:
当直线 l1和直线 l2 有斜截式方程 l1:yk1xb1 l2:yk2xb2
平行, 求实数a的值。
例4 求过点A(1，-4)，且与直线2x+3y+5=0平行 的直线方程.
分析：求直线的方程需要哪些条件？ 还差什么条件？ 可以怎么求？
2021-2022数学苏教版必修2 第2章2.1.3 两条直线的平行与垂直 课件(40张)
方法归纳 (1)判断两直线是否平行时，若两直线的斜率都存在，则依 据斜率是否相等来判断(注意重合这种情形)；若两条直线的 斜率都不存在，则需考虑直线上点的情况，再判断． (2)判断不重合两条直线是否平行的步骤
1．判断下列各题中的直线 l1，l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(－1， －1)； (2)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5， 5)； (3)l1 的倾斜角为 60°，l2 经过点 A(1， 3)，B(－2，－2 3)．
第2章 平面解析几何初步
2．1.3 两条直线的平行与垂直
学习导航
第2章 平面解析几何初步
1.了解两条直线平行与垂直的几何表示．
学习 目标
2.理解两条直线平行与垂直的判定条件及其推导 过程．(难点) 3.掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法．
(重点)
学法 指导
通过把两条直线的平行与垂直问题，转化为研究 两条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识 解决新问题的能力，以及数形结合能力.
4．过点 A(2,3)且和直线 x－2y＋3＝0 平行的直线方程为 ____x_－__2_y_＋__4_＝__0____． 解析：因为直线 x－2y＋3＝0 的斜率为12， 故所求直线斜率为12. 又所求直线过点 A(2,3)， 由点斜式得：y－3＝12(x－2)， 即 x－2y＋4＝0
两条直线平行的判定
解：(1)直线 l1 的斜率 k1＝12－－－－21＝1； 直线 l2 的斜率 k2＝－ －11－ －43＝54. 因为 k1≠k2，所以 l1 与 l2 不平行． (2)因为 l1，l2 都与 x 轴垂直且 l1，l2 不重合，所以 l1∥l2. (3)由题意可知直线 l1 的斜率 k1＝tan 60°＝ 3； 直线 l2 的斜率 k2＝－－2 23－－1 3＝ 3. 因为 k1＝k2，所以 l1∥l2 或 l1，l2 重合．
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.3 两条直线的平行与垂直》0
两条直线的平行和垂直教材分析：本节内容选自苏教版高中教材必修二第二章第一节，是用坐标系研究平面内基本图形点、线之后，进一步通过坐标系，利用代数方程精确研究线与线的位置关系。
在教学中要突出坐标法思想，即建立坐标系，把几何对象转化为代数对象，把几何问题转化为代数问题，利用代数的工具、方法研究并获得结论；然后再解释几何现象。
学情分析：本节内容蕴含了数形结合、分类讨论、坐标法等重要的数学思想方法，对思维的严谨性有较高要求。
学生易于掌握线线平行垂直的斜率关系，但是对于直线平行问题中的重合和斜率不存在问题容易考虑全面。
教学目标：1掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法，能够判断简单的线线位置关系；2让学生进一步感受坐标法思想在研究几何问题的重要作用；3通过分类讨论和数形结合的思想方法的运用，培养学生思维的严谨性教学重点：掌握两条直线平行和垂直时斜率的关系。
教学难点：直线平行时需要考虑直线重合和斜率不存在情况；直线垂直需要考虑斜率不存在。
教学过程设计：【引入】问题1：前面我们已经利用坐标系研究了平面几何中的基本图形点、线，把几何对象点、线转为代数对象有序实数对，方程表示。
研究完基本图形后，那接下来我们可以研究那些内容？（在立体几何中我们研究了点线面的位置关系，那在平面里我们可以研究什么？学生说：点线的位置关系，提醒比如点与点的位置关系）生：可以研究点与线的位置关系，线与线的位置关系。
设计意图：平面几何是学生初中研究的内容，学习完基本图形点、线后，就研究点线的位置、线线的位置关系。
学生能够类比指出可以在坐标系中研究的内容。
让学生提出本节课的课题，能够引起学生学习的兴趣。
师：这些都是我们接下来要研究的内容，本节课我们首先研究线与线的位置关系。
线与线的位置关系有哪些？生：线线平行，线线相交，线线重合。
师：本节课我们主要研究线线平行，垂直。
（书写课题：两条直线的平行与垂直）【建构概念】师：观察图像，直线AB和直线CD的位置关系是什么？生：平行。
高中数学 2.1.3两条直线的平行与垂直(1)课件 苏教版必修2
(2)若直线l与直线2x+y－5＝0平行，并且在两坐标轴截距之和为6．求
直线l的方程．
(3)若直线l平行于直线2x＋y－5＝0，且与坐标轴围成的三角形面积为9， 求直线l的方程．
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8
数学应用
例3．已知两条直线：(3＋m)x＋4y＝5－3m与2x＋(5＋m)y＝8，m为何值 时，两直线平行．
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
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2
情境问题
我们研究直线的方程，最主要的目的是想利用直线的方程，研究 直线的性质！
对于平面内的直线，我们研究它的什么性质呢？
平行与相交，相交中的垂直关系与交点坐标
判断两条直线平行或垂直，能从方程出发吗？
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3
数学建构
两直线平行 已知直线l1∥l2， ①若l1，l2的斜率存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2 则k1＝k2，且b1≠b2； ②l1，l2的斜率均不存在．
y
l2
y l2
l1
y l2
O
x
O
x
O
x
l1
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l1
4
数学应用
7
例1．求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－ 所得的四边形是梯形．
2
)，C(2，3)，D(－4，4)四点
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5
数学建构
两直线平行． 已知直线l1∥l2， ③若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0．
已知直线l1∥l2，若l1的方程为Ax＋By＋C＝0，则l2的方程可 设为Ax＋By＋C＝0(C ≠C) ．
直线l的方程．
(3)若直线l平行于直线2x＋y－5＝0，且与坐标轴围成的三角形面积为9， 求直线l的方程．
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8
数学应用
例3．已知两条直线：(3＋m)x＋4y＝5－3m与2x＋(5＋m)y＝8，m为何值 时，两直线平行．
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
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2
情境问题
我们研究直线的方程，最主要的目的是想利用直线的方程，研究 直线的性质！
对于平面内的直线，我们研究它的什么性质呢？
平行与相交，相交中的垂直关系与交点坐标
判断两条直线平行或垂直，能从方程出发吗？
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数学建构
两直线平行 已知直线l1∥l2， ①若l1，l2的斜率存在，设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2 则k1＝k2，且b1≠b2； ②l1，l2的斜率均不存在．
y
l2
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x
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数学应用
7
例1．求证：顺次连接A(2，－3)，B(5，－ 所得的四边形是梯形．
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)，C(2，3)，D(－4，4)四点
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数学建构
两直线平行． 已知直线l1∥l2， ③若l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，
则A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0或B1C2－B2C1≠0．
已知直线l1∥l2，若l1的方程为Ax＋By＋C＝0，则l2的方程可 设为Ax＋By＋C＝0(C ≠C) ．
数学：第2章2.1.3两条直线的平行与垂直 课件(苏教版必修2)
只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但 是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直
线是否重合．
(2)一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线 可设为Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，若直线A1x＋ B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0平行，则必有 A1B2－A2B1＝0，反之也成立．
变式训练 1.(1)当 m 为何值时，直线 l1：mx＋y－(m＋1) ＝0 与 l2：x＋my－2m＝0 互相平行？ (2)求与直线 3x＋4y＋1＝0 平行且在两坐标轴 7 上截距之和为 的直线 l 的方程． 3
重点难点
重点：两条直线平行与垂直的条
件及应用． 难点：应用两条直线平行与垂直的条件求参
数的值．
新知初探思维启动
1.两条直线平行与斜率的关系
设两条不重合的直线l1，l2，斜率存在且分别为k1， k2，倾斜角分别为α1，α2.则对应关系如下：
前提条件
α1＝α2≠90°
α1＝α2＝90°
l1∥l2 k1＝k2 ______⇔两直线斜率都 对应关系 l1∥l2⇔______ 不存在
(3)一般地，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线
系方程可设为Bx－Ay＋m＝0(m为参数)．若直 线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直，
则必有A1A2＋B1B2＝0，反之也成立．
变式训练
2.(1)已知直线(a－1)x＋ay＝2和直线ax＋(a－ 5)y＝1互相垂直，求实数a的值．
(2)法一： 设直线 l 的方程为 3x＋4y＋m＝0， 令 m x＝0，得 l 在 y 轴上截距 b＝－ ； 4 m m 令 y＝0，得 l 在 x 轴上截距 a＝－ ，∴－ ＋ 3 3 m 7 (－ )＝ ，解得 m＝－4. 4 3 ∴所求直线 l 的方程为 3x＋4y－4＝0. x y 法二：设直线 l 的方程为 ＋ ＝1， a b 7 4 a＋b＝3， a＝ ， 则 解得 3 b＝1. －b＝－3， a 4 ∴所求直线 l 的方程为 3x＋4y－4＝0.
高中数学 第二章 2.1.3 第一课时 两条直线平行课件 苏教版必修2
第二十五页，共26页。
1．判断(pànduàn)两不重合直线平行的方法 (1)利用斜率判断(pànduàn)： l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在． (2)利用方程中系数来判断(pànduàn)： l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0. 2．求与已知直线平行的直线方程的求法 (1)利用平行直线系方程求解，这是常用方法． (2)利用平行关系求斜率，进而求解．
直线(zhíxiàn)l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线 (zhíxiàn)l的方
程． 解：∵直线(zhíxiàn)l与l1平行， ∴kl＝kl1＝－2. 又∵直线(zhíxiàn)l与直线(zhíxiàn)l2在y轴上的截距相同， ∴直线(zhíxiàn)l的方程为y＝－2x－2， 即2x＋y＋2＝0.
m2－1＝0， －2m2＋m＋1＝0，
解得 m＝1.
即当 m＝1 时，l1 与 l2 重合．
第十七页，共26页。
[一点通] (1)此类问题需依据直线平行的条件，列关于参数的方 程或方程组求解． (2)若两直线方程中含有参数，判断两直线平行或重合 时，为避免讨论，有如下方法： l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2⇔AA11BC22－－AA22BC11＝≠00，； l1 与 l2 重合⇔AA11BC22－－AA22BC11＝＝00，.
第
第
二
一
章
2.1
2.1.3
课
平 面
直 线 (zhí
两条 直线 的平
解
xià
行
析 几
n)
(píng
与
xíng)
1．判断(pànduàn)两不重合直线平行的方法 (1)利用斜率判断(pànduàn)： l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在． (2)利用方程中系数来判断(pànduàn)： l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0. 2．求与已知直线平行的直线方程的求法 (1)利用平行直线系方程求解，这是常用方法． (2)利用平行关系求斜率，进而求解．
直线(zhíxiàn)l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线 (zhíxiàn)l的方
程． 解：∵直线(zhíxiàn)l与l1平行， ∴kl＝kl1＝－2. 又∵直线(zhíxiàn)l与直线(zhíxiàn)l2在y轴上的截距相同， ∴直线(zhíxiàn)l的方程为y＝－2x－2， 即2x＋y＋2＝0.
m2－1＝0， －2m2＋m＋1＝0，
解得 m＝1.
即当 m＝1 时，l1 与 l2 重合．
第十七页，共26页。
[一点通] (1)此类问题需依据直线平行的条件，列关于参数的方 程或方程组求解． (2)若两直线方程中含有参数，判断两直线平行或重合 时，为避免讨论，有如下方法： l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2⇔AA11BC22－－AA22BC11＝≠00，； l1 与 l2 重合⇔AA11BC22－－AA22BC11＝＝00，.
第
第
二
一
章
2.1
2.1.3
课
平 面
直 线 (zhí
两条 直线 的平
解
xià
行
析 几
n)
(píng
与
xíng)
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2・1.3两条直线的平行与垂直
第一课时两条直线的平行
课前自主学习，基稳才能楼高
预习课本P89〜90,思考并完成以下问题
1.如果两条直线互相平行，那么这两条直线的斜率一定相等么?
2.如何判断平面内两条直线互相平行?
3.如何证明坐标系中的平面图形中的边之间的平行关系?
两条直线的平行
斜率存在时两条直线
的平行h： y = fei 兀 + bi 9
则h // h-y=◎工+ S，
斜率不存在时
则h // 0工1丰工2
乜，
［点睛］两直线平行与斜率的关系
(l)l1//l2^k l=k2成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；®h与11不重合.
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，h与12的倾斜角都是90°,贝弭〃仏.
(3)两条不重合的直线平行的判定的一般结论是:
I\〃l20k\=k2或G仏斜率都不存在.
［小试身孚］
1.判断下列命题是否正确•(正确的打“ J"，错误的打“X”)
(1)不重合的两条直线的倾斜角相等，则它们一定互相平行. (V ) (2)如果两条直线互相平行，那么它们的斜率一定相等.
(X ) (3)直线人：＜tv+y+2«=0与(z： x+«j+2=0互相平行，则实数a = ±l
［点睛］两直线平行与斜率的关系
・(X )
绪台逋技法课堂讲练设计，举一能通类题2.平行于直线兀+丿一1=0且过原点的直线方程为 ______ •
答案：x+j=O
3.两直线2x—丁+花=0和4x— 2y + l = 0的位置关系是
答案：平行或重合
4.若两直线2x—ky-\~l=0和4x—2y + l = 0不平行，则花应
当满足的条件是_______ •
答案：心1
课堂讲练设计，举一能通类题
［典例］判断下列各题中直线厶与?2是否平行?
⑴人的斜率为1,仏经过点Q(3,3)；
(2“i 经过点A(-3,2), B(—3,10), ?2经过点C(5, —2), P(5, 5)；(3"i 经过点A(O，1), 经过点C(—l，3), D(2,0).
[解](1)^ = 1, k2=~~=l f k\=k2, •"与仏重合或li//12.
(2”1与＜2都与兀轴垂直，通过数形结合知h//l2.
0—1 0—3
(3)斛=]_0=_1,层=2_(_])=_1, k x=k2f数形结合
知21〃仏・
判断两条直线平行的方法
(1)①若两条直线Z1，h的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式.如：li： y=3+〃i，Z2：y=k2x-\-b2\
k\=k2,
则k刊2 ②若两条直线G仏的斜率都不存在，将方程化成h：X=Xx，
【2： X=X29则兀1工兀2 3/1 〃?2・
（2）若直线Z1： Aix+〃u+Ci=O（Ai，Bi 不全为0）, Z2：A/+ B^+C2=O（A2,园不全为0）,由A1B2-A1B X=0 得到h//l2或b
仏重合；排除两直线重合，就能判定两直线平行.
［活学活用］
1.判定下列直线的位置关系.
(1)Zi： 3x—4y—2=0, 6x—8y + l=0；
(2)Zj: 3x~F2y —1=0，?2： 6xd~4y—2=0；
(3)Zi: 4x+2y —1=0^ 心 2x—y—2=0.
解：⑴因为3X(—8)—(一4)X6=0,而3X1_(_2)X6HO, 所以l\//lz，
(2)因为3X4—2X6=0,而3X(-2)—(一l)X6=0,所以厶, <2重合•
⑶ 因为4X( —1)—2X2H0,所以仏相交.
2. 已知B(2,3), C(1,O), D(-2, _2),判定四边形
ABCD 的形状•
同理可计算得呛c=3, kcD=），kAD=3,
2
故 kAD = kBC = 3, kAB=kcD = m
所以 4D//BC 9 AB//CD,
故四边形4BCD 为平行四边形.
因为R AB = 3-1 2 2-(-l)=?
题型二V 应用两直线平行求参数值
7
［典例］已知直线 h /MX +J —(wz4-l)=0, l 2z x+my —2m =0,当加
为何值时，
⑴直线人与仏互相平行？
(2)直线人与乙重合？
［解］⑴若Zi 〃b 需满足
m 2一1=0,
—2/»2+(/^ + 1)#=0, 即当加=—1时，h//l 2.
(2)若1\与仏重合，需满足
m 1_1=0,
—2/M 2+(/W + 1)=0, 即当加=1时，1\与〔2重合•
解得m =
— l.
解得m = l.
(1)解决此类问题的方法：需依据直线平行的条件，研究斜率是否存在；斜率存在，再根据斜率相等，截距不等；列关于参数的方
程或方程组求解.若斜率都不存在，排除重合.
(2)若两直线方程中含有参数，判断两直线平行或重合时, 为避免讨论，有如下方法：
Zi： Aix+Bjj+Ci=O, I2：A2X+B M+C2=0.
旳〃2 —人2〃1 = 0,
A1C1-A2C1^.
[A 1^2 —人2〃1 = 0‘
\A X C2-A1C1=^.
［活学活用］
1.若直线厶：ax+y+2a=0与仏：x+«j+3=0互相平行，则实数a = .
解析：由于两直线平行，所以/ —1=0,解得a=±l.
答案：±1
2.直线人经过A(3,4), 5(5,8),直线仏经过点M(l, 一2), N(0,
b),且li//h则实数方= __________ •
解析:•: k、=免=些;=一(〃+2),
又•••/］〃:・k\=k2,
即_方_2=2,・・』=_4・
答案：一4
题型三由平行关系求直线方程
求过点(2, —1)且与直线3x-4y-2=0平行的直［典例］
线方程.
［解］法一：由题意设所求直线方程为y^l=k(x-2)9 又它与直
线3x-4j-2=0平行，所以两直线斜率相等，即k 3 3
=/故所求直线方程为丿+ 1=尹一2),即3x—4y —10=0.
法二：因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为3x-4y+C=0(CH-2). 又过点(2, —1), 所以3X2-4X(-l)+C=0, 即C=-10.
所以所求直线方程为3x-4j-10=0.
与已知直线平行的直线方程的求法
⑴若直线/与已知直线y=kx+b平行，则可设？的方程为丿=也+加(加工方)，然后利用待定系数法求参数加，从而求出直线I的方程.
⑵若直线2与已知直线Ax+By+C=0平行，则可设2的方程为：Ax +By +m = O(TW C),然后用待定系数法求参数加, 从而求出直线？的方程.
［活学活用］
求与直线3x+4j+9=0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围
成的三角形面积是24的直线方程.
3
解：法一：•••直线3x+4y+9=0的斜率为一 "•••设所求直
3
4b 线方程为丿=—尹+方，令x=0,得y=b ；令j=0,得兀=了
,
.•・；XbX 譽=24, ・・.b=6,故所求直线方程为尸—|x+6,
即 3x+4y-24=0.
由题意，方＞0, 4b
>0,
法二：与3x + 4j + 9 = 0平行的直线也可设为3兀+4丁+加= 0（加工9）,则令兀=0, ^y=——;
所以珂-訓一鸟=24,
解得加= —24,
故所求直线方程为3x+4j-24=0.
令y=0,得X=—y 由题意，知“
tn.小 一4>0, 故加V0,
一亍＞0
“多练提能•熟生巧”见“课时跟踪检测（十六）”
（单击进入电子文档）。