人教版高中数学必修二新教材培优辅导6.1.3 相等向量与共线向量(解析版)

人教版高中数学必修第二册6.1.3相等向量与共线向量同步练习(含答案)人教版高中数学必修第二册6.1.3相等向量与共线向量同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.下列说法中正确的是()A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同B.向量与向量的长度相等C.向量就是有向线段D.零向量是没有方向的2.如图L6-1-1,在平行四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则图中与平行的向量有()图L6-1-1A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列说法中正确的个数是()①温度含零上和零下温度,所以温度是向量;②向量a与b不共线,则a与b都是非零向量;③若|a|>|b|,则a>b.A.0B.1C.2D.34.下列命题中为真命题的是()A.若|a|=|b|,则a=bB.若|a|>|b|,则a>bC.若a=b,则a∥bD.若|a|=0,则a=05.若四边形ABCD满足=,则四边形ABCD的形状一定是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形6.已知D为平行四边形ABPC的两条对角线的交点,则的值为()A. B.C.1D.27.已知O是∥ABC内一点,若||=||=||,则O一定是∥ABC的()A.重心B.内心C.外心D.垂心8.如图L6-1-2所示,四边形ABCD,CEFG,DCGH是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列结论不一定成立的是()图L6-1-2A.||=||B.与共线C.与共线D.与共线二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.如图L6-1-3所示,四边形ABCD为正方形,∥BCE为等腰直角三角形.图L6-1-3(1)图中与共线的向量有;(2)图中与相等的向量有;(3)图中与相等的向量有.10.在四边形ABCD中,若∥且||≠||,则四边形ABCD的形状是.11.给出下列说法:①两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;②若|a|≠|b|,则a≠b;③若a≠b,则a一定不与b共线;④共线向量是在一条直线上的向量.其中正确的是.(填序号)12.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)如图L6-1-4,EF是∥ABC的中位线,AD是BC边上的中线,在以A,B,C,D,E,F为端点的有向线段表示的向量中,请分别写出:(1)与向量共线的向量;(2)与向量的模相等的向量;(3)与向量相等的向量.图L6-1-414.(10分)已知飞机从A地沿北偏东30°的方向飞行2000 km到达B地,再从B地沿南偏东30°的方向飞行2000 km到达C地,再从C地沿西南方向飞行1000 km到达D地.(1)作出向量,,,.(2)D地在A地的什么方向D地距A地多远15.(5分)把同一平面内所有模不小于1且不大于2的向量的起点移到同一点O,则这些向量的终点构成的图形的面积为.16.(15分)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向向前行进1米,逆时针转变α(0°<α<180°),继续按直线向前行进1米,再逆时针转变α度,按直线向前行进1米,按此方法继续操作下去.(1)作示意图说明当α=45°时,操作几次后赛车的位移为零向量.(2)按此操作方法使赛车行进一周后能回到出发点,α应满足什么条件参考答案与解析1.B[解析] 单位向量的方向是任意的,所以当两个单位向量的起点相同时,其终点在以起点为圆心的单位圆上,终点不一定相同,所以选项A不正确;向量与向量方向相反,长度相等,所以选项B正确;向量是既有大小,又有方向的量,可以用有向线段表示,但不能说向量就是有向线段,所以选项C不正确;规定零向量的方向任意,而不是没有方向,所以选项D不正确.故选B.2.C[解析] 与平行的向量有,,,共3个.3.B[解析] ①温度没有方向,所以不是向量,故①错误;③向量不可以比较大小,故③错误;②若a,b中有一个为零向量,则a与b必共线,故由a与b不共线,得a与b均为非零向量,故②正确.4.C[解析] 若两向量相等,则两向量共线.5.A[解析] 由=知AB∥CD且AB=CD,故四边形ABCD为平行四边形.故选A.6.C[解析] 因为四边形ABPC是平行四边形,D为对角线BC与AP的交点,所以D为PA的中点,所以的值为1.7.C[解析] 由条件知点O到∥ABC的三个顶点的距离相等,所以O一定是∥ABC的外心.8.C[解析] ∥三个四边形是全等的菱形,∥||=||,AB∥CD∥FH,故与共线,又D,C,E三点共线,∥与共线,∥A,B,D中的结论一定成立.故选C.9.(1),,,,,,(2),(3)[解析] 结合图形及向量的有关概念来解答问题.10.梯形[解析] ∥∥且||≠||,∥AB∥DC,但AB≠DC,∥四边形ABCD是梯形.11.②[解析] ①错误,两个向量相等,它们的起点和终点不一定相同.②正确.③错误,a≠b时,a与b可能共线.④错误,共线向量所在的直线也可能平行.12.0[解析] 因为A,B,C三点不共线,所以与不共线,又m∥且m∥,所以m=0.13.解:(1)与向量共线的向量有,,,,,,.(2)与向量的模相等的向量有,,,,.(3)与向量相等的向量有,.14.解:(1)向量,,,如图所示.(2)由图知,D地在A地的东南方向,D地距A地1000 km.15.3π[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环,其面积为π·22-π·12=3π.16.解:(1)如图所示,操作8次后赛车的位移为零向量.(2)要使赛车行进一周后能回到出发点,只需赛车的位移为零向量,按(1)的方式作图,则所作图形是内角为180°-α的正n边形,故有n(180°-α)=(n-2)180°,得α=,n为不小于3的整数.。

第六章 平面向量及其应用6.1.1向量的实际背景与概念一、基础巩固1．给出下列结论:①数轴上相等的向量,它们的坐标相等;反之,若数轴上两个向量的坐标相等,则这两个向量相等;②对于任何一个实数,数轴上存在一个确定的点与之对应;③数轴上向量AB 的坐标是一个实数,实数的绝对值为线段AB 的长度,若起点指向终点的方向与数轴同方向,则这个实数取正数,反之取负数;④数轴上起点和终点重合的向量是零向量,它的方向不确定,它的坐标是0.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【正确答案】D【详细解析】①向量相等,则它们的坐标相等,坐标相等,则向量相等,①正确;②实数和数轴上的点是一一对应的关系,即有一个实数就有一个点跟它对应,有一个点也就有一个实数与它对应,②正确;③数轴用一个实数来表示向量AB ,正负决定其方向,绝对值决定其长度,③正确;④数轴上零向量其起点和终点重合,方向不确定,大小为0,其坐标也为0,④正确.2．以下说法正确的是（ ）A ．空间异面直线的夹角取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．直线与平面的夹角的取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．二面角的取值范围是[]0,πD ．向量与向量夹角的取值范围是0,【正确答案】C【详细解析】A 项:空间异面直线的夹角取值范围是0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦,A 错误;B 项:直线与平面的夹角的取值范围是0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,B 错误; C 项:二面角的取值范围是[]0,π,C 正确;D 项:向量与向量夹角的取值范围是[]0,π,D 错误,3．下列说法中,正确的个数是（ ）①时间、摩擦力、重力都是向量;②向量的模是一个正实数;③相等向量一定是平行向量;④向量a →与b →不共线,则a →与b →都是非零向量（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【正确答案】B【详细解析】①时间没有方向,不是向量,摩擦力,重力都是向量,故①错误;②零向量的模为零,故②错;③相等向量的方向相同,模相等,所以一定是平行向量,故③正确;④零向量与任意向量都共线,因此若向量a →与b →不共线,则a →与b →都是非零向量,即④正确.4．下列关于向量的命题正确的是（ ）A ．若||||a b =,则a b =B ．若||||a b =,则//a bC ．若a b =,b c =,则a c =D ．若//a b ,//b c ,则//a c 【正确答案】C【详细解析】A. 若||||a b =,则,a b 不一定相等,因为向量是既有大小,又有方向的,||||a b =只能说明向量的大小相等,不能说明方向相同,所以该选项错误;B. 若||||a b =,则,a b 不一定平行,所以该选项错误;C. 若a b =,b c =,则a c =,所以该选项是正确的;D. 若//a b ,//b c ,则//a c 错误,如:=0b ,,a c 都是非零向量,显然满足已知,但是不一定满足//a c ,所以该选项错误.5．下列结论正确的是( )A ．单位向量的方向相同或相反B ．对任意向量a ,0a >总是成立的C ．AB BA =D ．若//AB CD ,则一定有直线//AB CD【正确答案】C【详细解析】单位向量的长度为1,方向任意,故A 错;零向量的模为零,故B 错;AB 与BA 方向相反,但模相等,故C 正确;直线AB 与CD 可能重合,故D 错,6．下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【正确答案】A【详细解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;②向量不能比较大小,故②错误;③由零向量方向的任意性知③错误;④向量相等是向量模相等,且方向相同,故④错误.7．给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量．②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小．③若0a λ= ( λ为实数),则λ必为零．④λ,μ为实数,若a b λμ=,则a b ，共线．其中错误的命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4 【正确答案】C【详细解析】①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小． ③错误,当0a =时,不论λ为何值,0a λ=.④错误,当λ=μ=0时,0a b λμ==,此时,a 与b 可以是任意向量．8．下列关于向量的描述正确的是( )A ．若向量a ,b 都是单位向量,则a b =B ．若向量a ,b 都是单位向量,则1a b ⋅=C ．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D ．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【正确答案】D【详细解析】对于选项A:向量包括长度和方向,单位向量的长度相同均为1,方向不定,故向量a 和b 不一定相同,故选项A 错误;对于选项B:因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=,由[]cos 1,1θ∈-知,1a b ⋅=不一定成立,故选项B 错误; 对于选项C:任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量,故选项C 错误;对于选项D:因为所有单位向量的模为1,且共起点,所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上,故选项D 正确;9．（多选）有下列说法,其中错误的说法为（ ）．A ．若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cB ．若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ,b ,若a b a b -=+,则a 与b 共线且反向D ．若a ∥b ,则存在唯一实数λ使得a b λ= 【正确答案】AD【详细解析】对于选项A,当0b =时,a 与c 不一定共线,故A 错误;对于选项B,由PA PB PB PC ⋅=⋅,得0PB CA ⋅=,所以PB CA ⊥,PB CA ⊥,同理PA CB ⊥,PC BA ⊥,故P 是三角形ABC 的垂心,所以B 正确;对于选项C,两个非零向量a ,b ,若a b a b -=+,则a 与b 共线且反向,故C 正确;对于选项D,当0b =,0a ≠时,显然有a ∥b ,但此时λ不存在,故D 错误.10．（多选）在下列结论中,正确的有（ ）A ．若两个向量相等,则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等 【正确答案】BCD【详细解析】A. 若两个向量相等,它们的起点和终点不一定不重合,故错误;B. 平行向量又称为共线向量,根据平行向量定义知正确;C. 相等向量方向相同,模相等,正确;D. 相反向量方向相反,模相等,故正确;11．（多选）下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等 B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >,且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同【正确答案】AD【详细解析】单位向量的模均为1,故A 正确;向量共线包括同向和反向,故B 不正确;向量是矢量,不能比较大小,故C 不正确;根据相等向量的概念知,D 正确.12．（多选）给出下列命题,其中不正确的是（ ） A ．两个具有公共终点的向量一定是共线向量B ．两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小C ．若0a λ= ( λ为实数)．则λ必为零D ．已知,λμ为实数,若a b λμ=,则a 与b 共线【正确答案】ACD【详细解析】对于A,两个具有公共终点的向量一定是共线向量,方向不确定,故错误;对于B,两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小,故正确;对于C,若0a λ= ( λ为实数)．则λ必为零.可能λ不为零,若向量0a =,0a λ=;故错误对于D,已知,λμ为实数,若a b λμ=,则a 与b 共线,当其中一个b 为零向量时不成立,故错误;二、拓展提升13．老鼠由A 向东北方向以6/s m 的速度逃窜,猫由B 向东南方向以10/s m 的速度追.问题:猫能追上老鼠吗?为什么?【正确答案】不能,理由见详细解析【详细解析】猫追不上老鼠,因为猫和老鼠跑的方向是不同的,所以猫的速度再快也追不上老鼠.14．如图所示,某人从点A 出发,向西走了200m 后到达B 点,然后改变方向,沿北偏西一定角度的某方向行走了10013m 到达C 点,最后又改变方向,向东走了200m 到达D 点,发现D 点在B 点的正北方.（1）作出向量AB ,BC ,CD （图中1个单位长度表示100m ）;（2）求向量DA 的模.【正确答案】（1）作图见详细解析（2）10013m 【详细解析】解:（1）如图,,,AB BC CD 即为所求.（2）如图,作向量DA ,由题意可知,四边形ABCD 是平行四边形, ∴||10013m DA BC ==.15．判断下列命题是否正确,请说明理由:（1）若向量a 与b 同向,且a b >,则a b >;（2）若向a b =,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反;（3）对于任意向量a b =,若a 与b 的方向相同,则a =b ;（4）由于0 方向不确定,故0 不与任意向量平行;（5）向量a与b平行,则向量a与b方向相同或相反．【正确答案】（1）不正确,理由见详细解析（2）不正确,理由见详细解析（3）正确,理由见详细解析（4）不正确,理由见详细解析（5）不正确,理由见详细解析【详细解析】（1）不正确．因为向量由两个因素来确定,即大小和方向,所以两个向量不能比较大小．=只能判断两向量长度相等,不能确定它们的方向关系．（2）不正确．由|a b=,且a与b同向,由两向量相等的条件,可得a=b（3）正确．因为|a b（4）不正确．依据规定:0与任意向量平行．（5）不正确．因为向量a与b若有一个是零向量,则其方向不定．。

专题6.1 平面向量的概念知识储备一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.二 向量的几何表示1.有向线段具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长度记作|AB |.2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用c b a ,,).3.模、零向量、单位向量 向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？答案 错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.思考 (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？答案 (1)不一定；(2)不一定；(3)零向量；(4)平行(共线)向量.能力检测姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（ ）（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】由相等向量的定义知（1）正确；平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，（4）错， 所以正确答案只有一个．故选B ．2．下列命题正确的是（ ）A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b =【答案】A 【解析】模为零的向量是零向量，所以A 项正确；||||a b =时，只说明向,a b 的长度相等，无法确定方向，所以B ，C 均错；a b 时，只说明,a b 方向相同或相反，没有长度关系，不能确定相等，所以D 错.故选A.3．若非零向量a 和b 互为相反向量，则下列说法中错误是（ ）A ．//a bB ．a b ≠C ．a b ≠D ．a b =-【答案】C 【解析】由平行向量的定义可知A 项正确；因为a 和b 的方向相反，所以a b ≠，故B 项正确；由相反向量的定义可知a b =-，故选项D 正确；由相反向量的定义知a b =，故C 项错误.故选C.4．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则与BC 相等的向量为（ ）A ．BAB ．CDC ．AD D ．OD【答案】D 【解析】根据图形看出，四边形BCDO 是平行四边形//,BC OD BC OD ∴=BC OD ∴=故选：D 5．若向量a 与向量b 不相等，则a 与b 一定（ ）A ．不共线B ．长度不相等C ．不都是单位向量D ．不都是零向量 【答案】D 【解析】向量a 与向量b 不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D.6．下列说法错误的是（ ）A ．若非零向量a b c ，，有//a b ，//b c ，则//a cB ．零向量与任意向量平行C ．已知向量a b ，不共线，且//a c ，//b c ，则0c =D ．平行四边形ABCD 中，AB CD =【答案】D【解析】选项A ：因为a b c ，，都不是零向量，所以由//a b ，可知向量a 与向量b 具有相同或相反方向.又由//b c ，可得向量c 与向量b 具有相同或相反方向，所以向量a 与向量c 具有相同或相反方向，故//a c ，故本说法是正确的；选项B ：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；选项C ：由//a c ，//b c ，可知：c 与向量a 具有相同或相反方向，c 与向量b 具有相同或相反方向，但是向量a b ，不共线，所以0c ，故本说法是正确的；选项D ：平行四边形ABCD 中，应该有AB DC =，故本说法是错误的.故选：D7．a ，b 为非零向量，且a b a b +=+，则（ ）A ．a ，b 同向B ．a ，b 反向C ．a b =-D ．a ，b 无论什么关系均可【答案】A 【解析】当两个非零向量a 与b 不共线时,a b +的方向与a ,b 的方向都不相同,且a b a b +<+；当向量a 与b 同向时,a b +的方向与a ,b 的方向都相同,且a b a b +=+； 当向量a 与b 反向且a b <时,a b +的方向与b 的方向相同（与a 的方向相反）,且a b b a +=-, 故选:A8．如图是34⨯的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与AB的向量共有( )A．12个B．18个C．24个D．36个【答案】C⨯的格点图中【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与AB34包含12个小正方形，所以有12条对角线，与AB平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

6。

1 平面向量的概念本节课选自《普通高中课程标准数学教科书—必修第二册》（人教A 版）第六章《平面向量及其应用》,本节课是第1课时，本节课内容包括向量的实际背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。

本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念,并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。

在“向量的物理背景与概念"中介绍向量的定义；在“向量的几何表示"中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量;在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量,共线向量定义等1。

教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.2.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.多媒体意的,单位向量的方向具体而定.（2）注意:向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的。

例1。

在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、C两地的实际距离(精确到1km）（三）。

相等向量与共线向量思考1:向量由其模和方向所确定.对于两个向量b a,，就其模等与不等，方向同与不同而言，有哪几种可能情形？【答案】模相等，方向相同；模相等，方向不相同;模不相等，方向相同; 模不相等,方向不相同；1.平行向量定义：[来源：学科网ZXXK]通过例题进一步理解向量的概念，提高学生用向量解决问题的能力。

通过思考，引入平行向量，提高学生的理解问题的能力。

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行。

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ.2。

相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明:（1)向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；（2）零向量与零向量相等;（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线．．．．段的起点无关．．．．．．。

6.1平面向量的概念学习任务核心素养1．理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点) 2．理解共线向量、相等向量的概念．(难点)3．正确区分向量平行与直线平行．(易混点)1．从物理背景、几何背景入手，从矢量概念引入向量的概念，提升数学抽象的核心素养．2．类比实数在数轴上的表示，给出向量的几何意义，培养数学抽象和直观想象的核心素养．3．通过相等向量和平行向量的学习，提升逻辑推理的核心素养．高尔夫球是一项非常有趣的运动，这项运动需要全身器官的整体协调，而击球的关键在于两个“D”，即方向(Directio n)和距离(Distance)，初学者中有不少人只想把球打远，而忽视方向的重要性，其实，把球打直要比打远更重要！所以擅长打高尔夫的人都会谨记这样一个原则：“方向比距离更重要”．方向走对了，哪怕走得慢却能一步一步靠近成功；可倘若走错了方向，不仅白忙活一场，更可能离成功越来越远．问题：你能从数学的角度来解释高尔夫球运动中“方向比距离更重要”的原因吗？(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小没有方向的量称为数量．1．海平面以上的高度(海拔)用正数表示，海平面以下的高度用负数表示，那么海拔是向量吗？温度也有正负之分，那么它是向量吗？为什么？[提示]海拔不是向量，它只有大小没有方向．温度也是只有大小没有方向，不是向量．海拔的正负、温度的零上或零下都只是相对规定的标准来说的，不是指方向．1．给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨时间．其中是向量的有________．(填序号)②③④⑤[质量、路程、密度、功、时间只有大小，没有方向，所以是数量，不是向量．速度、位移、力、加速度既有大小，又有方向，所以是向量．]知识点2 向量的几何表示 (1)具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段AB →来表示．向量AB →的大小称为向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|．向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如：AB →，CD →．2．(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．2．如图，B 、C 是线段AD 的三等分点，分别以图中不同的点为起点和终点，可以写出________个向量．12[由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是AB →，AC →，AD →，BC →，BD →，CD →，BA →，CA →，DA →，CB →，DB →，DC →．]知识点3 向量的有关概念 零向量长度为0的向量，记做0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量．向量a ，b 平行，记作a ∥b ．规定：零向量与任意向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量．a与向量b相等，记作a＝b3．“向量平行”与“几何中的直线平行”一样吗？[提示]向量平行与几何中的直线平行不同，向量平行包括所在直线重合的情况，故也称向量共线．3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)长度为0的向量都是零向量．()(2)零向量的方向都是相同的．()(3)单位向量的长度都相等．()(4)单位向量都是同方向．()(5)任意向量与零向量都共线．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×(5)√4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________．(填序号)(1)AD→与BC→；(2)OB→与OD→；(3)AC→与BD→；(4)AO→与OC→．(1)(4)[由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：AD→＝BC→，OB→≠OD→，AC→≠BD→，AO→＝OC→．]类型1向量的有关概念【例1】判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，若a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．[解](1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b ．(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定．1．理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，不要忽略其方向．2．共线向量与平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．[跟进训练]1．给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若单位向量的起点相同，则终点相同；③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．③[①错误．若b ＝0，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的； ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．]类型2 向量的表示及应用【例2】 (对接教材P 5－T 1)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：(1)OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°；(2)AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东；(3)BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°．[解](1)由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．(2)由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．(3)由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．用有向线段表示向量的基本思路是什么？[提示]用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定有向线段的终点．必要时，需依据三角形的相关知识求出向量的方向或长度，选择合适的比例关系作出向量．[跟进训练]2．飞机从A 地按北偏西15°的方向飞行1 400 km 到达B 地，再从B 地按南偏东75°的方向飞行1 400 km 到达C 地，那么C 地在A 地的什么方向上？C 地距A 地多远？[解] 如图所示，AB →表示飞机从A 地按北偏西15°方向飞行到B 地的位移，则|AB →|＝1 400 km ．BC →表示飞机从B 地按南偏东75°方向飞行到C 地的位移，则|BC →|＝1 400 km ．所以AC →为飞机从A 地到C 地的位移．在△ABC 中，AB ＝BC ＝1 400 km ，且∠ABC ＝75°－15°＝60°，故△ABC 为等边三角形，所以∠BAC ＝60°，AC ＝1 400 km ．60°－15°＝45°， 所以C 地在A 地北偏东45°方向上，距离A 地1 400 km ．类型3 相等向量和共线向量【例3】 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ．(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？[提示] 不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．2．若AB →∥CD →，则从直线AB 与直线CD 的关系和AB →与CD →的方向关系两个方面考虑有哪些情况？[提示] 分四种情况→与CD→同向；(1)直线AB和直线CD重合，AB→与CD→反向；(2)直线AB和直线CD重合，AB→与CD→同向；(3)直线AB∥直线CD，AB→与CD→反向．(4)直线AB∥直线CD，AB→，BC→，AO→，FE→．[解](1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD→，BC→，OD→，FE→，CB→，DO→，AO→，DA→，AD→．(2)与a共线的向量有EF→，DO→，CB→；与b相等的向量有DC→，EO→，F A→；与c(3)与a相等的向量有EF相等的向量有FO→，ED→，AB→．(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．[跟进训练]3．如图所示，△ABC 的三边长均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →长度相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．[解] (1)∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴EF ∥BC ，∴与EF →共线的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →．(2)∵E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点，∴EF ＝12BC ，BD ＝DC ＝12BC ，∴EF ＝BD ＝DC ．∵AB ，BC ，AC 均不相等，∴与EF →长度相等的向量为FE →，BD →，DB →，DC →，CD →．(3)与EF →相等的向量为DB →，CD →．1．正n 边形有n 条边，它们对应的向量依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则这n 个向量( )A ．都相等B ．都共线C ．都不共线D ．模都相等D [因为多边形为正多边形，所以边长相等，所以各边对应向量的模都相等．]2．汽车以120 km/h 的速度向西走了2 h ，摩托车以45 km/h 的速度向东北方向走了2 h ，则下列命题中正确的是( )A ．汽车的速度大于摩托车的速度B ．汽车的位移大于摩托车的位移C ．汽车走的路程大于摩托车走的路程D ．以上都不对C [速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比较大小，路程可以比较大小．]3．(多选题)下列条件，能使a ∥b 成立的有( )A ．a ＝bB ．|a|＝|b|C ．a 与b 方向相反D ．|a|＝0或|b|＝0ACD [若a ＝b ，则a 与b 大小相等且方向相同，所以a ∥b ；若|a|＝|b|，则a 与b 的大小相等，方向不确定，因此不一定有a ∥b ；方向相同或相反的向量都是平行向量，若a 与b 方向相反，则有a ∥b ；零向量与任意向量都平行，所以若|a|＝0或|b |＝0，则a ∥b ．]4．如图，在圆O 中，向量OB →，OC →，AO →是( )A ．有相同起点的向量B ．共线向量C ．模相等的向量D ．相等的向量C [由题图可知，三向量方向不同，但长度相等，即这三个向量的模相等．]5．如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)与DA →平行的向量有________；(2)与DA →模相等的向量有________．[答案] (1)AD →，BC →，CB → (2)AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)向量的概念是什么？如何用有向线段表示一个向量？(2)如何区别零向量、单位向量、平行向量与相等向量的概念？。

人教版高中数学必修第二册6.3.1-6.3.3平面向量基本定理、正交分解及坐标表示、加、减运算的坐标表示同步精练【考点梳理】考点一：平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.考点二平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.考点三平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).，在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0).考点三平面向量加、减运算的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，数学公式文字语言表述向量加法a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.【题型归纳】题型一：基底的概念问题1．（2021·全国·高一课时练习）已知向量12,e e 不共线，则下列各对向量可以作为平面内的一组基底的是（）A ．12e e -与21e e -B ．1223e e -与1232-e e C ．122--e e 与1224+e e D ．122e e -与122e e -2．（2021·全国·高一课时练习）设12e e ，是不共线的两个向量，则下列四组向量不能构成基底的是（）A ．1e 与12e e +B ．12e 2e -与21e 2e -C ．12e 2e -与214e 2e -D ．12e e +与12e e -3．（2021·河北巨鹿中学高一阶段练习）设12{,}e e 是平面内所有向量的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）A ．122e e +和12e e -B ．1242e e +和2124e e -C ．122e e -和2142e e -D ．122e e +和122e e +题型二：基底表示向量问题4．（2021·全国·高一课时练习）我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =（）A ．1292525a b +B ．16122525a b +C ．4355a b+D ．3455a b+5．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，等腰梯形ABCD 中，3AB BC CD AD ===，点E 为线段CD 上靠近C 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE =（）A ．1151818AB AC -+B ．1111189AB AC -+C ．114189AB AC -+D ．1526AB AC -+6．（2021·广东高州·高一期末）如图，四边形ABCD 中，22BC AE ED ==，34BF BE =，则CF =（）A ．3548BA CB+B ．3143BA BC-C ．1548BA BC-+D ．3548BA BC+题型三：平面向量基本定理7．（2021·重庆·西南大学附中高一阶段练习）如图所示，已知点G 是ABC 的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点（点N 与点C 不重合），设xAB AM =，y AC AN =，则11x y+的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．68．（2021·湖南·长沙市湘郡长德实验学校高一阶段练习）在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，A N A B A C λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．19．（2021·江苏·盐城中学高一阶段练习）如图，在ABC 中，23AN NC =，P 是BN 上一点，若13AP AB AC λ=+，则实数λ的值为（）A ．13B ．16C ．23D ．14题型四：平面向量的坐标表示10．（2021·重庆实验外国语学校高一期中）设i 、j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若2OA i j =+，34OB i j =+，则32OA OB +的坐标是（）A ．()8,11B ．()9,14C ．()7,6D ．()5,2--11．（2020·四川省遂宁市第二中学校高一期中（理））已知点A (1,3)-，B ()2,2-，O 为坐标原点，则下列结论错误的是（）A ．AB 的坐标是()3,5-B ．35BA i j =-+，其中(1,0),(0,1)i j ==C ．若线段AB 的中点为M ，则OM =11,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．OA 在OB 上的投影是2212．（2021·云南·昆明八中高一期中）已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，P 为平面ABCD 内一点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（）.A ．1-B ．2-C ．4-D ．6-题型五：由向量线性运算结果求参数13．（2021·全国·高一课前预习）已知a =(-5，6)，b =(-3，2)，c =(x ，y )，若a -3b +2c =0，则c 等于（）A ．(-2，6)B ．(-4，0)C ．(7，6)D ．(-2，0)14．（2021·全国·高一课时练习）已知12(2,1),(1,3),(1,2)===-e e a ，若1122a e e λλ=+，则实数对1(λ，2)λ为（）A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)--D ．无数对15．（2021·全国·高一课时练习）已知在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，梯形所在平面内一点P 满足BA BC +=2BP ，则PC PD =（）A ．-2B ．-1C ．-2D ．-22题型六：由向量线性运算解决几何问题16．（2021·河南焦作·高一期中）如图，A ，B ，C 是圆О上的三个不同点，且120AOB ∠=︒，30AOC ∠=︒，则OC =（）．A ．232333OA OB +B ．232333OA OB -C ．3333OA OB +D ．3333OA OB -17．（2021·江苏南京·高一期末）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则（）A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ=18．（2021·天津·南开中学高一期末）如图，在矩形ABCD 中，3,4,AB BC E ==为AD 上一点，BE AC ⊥，若BA BE AC λμ=+，则λμ-的值为（）A ．15B ．725C ．1625D ．1题型七：由向量线性运算解决最值和范围问题19．（2021·浙江温州·高一期末）已知平面向量a ，b ，c （a 与b 不共线），满足2a b c -==，1c a c b -=-=，设(),c a b λμλμ=+∈R ，则λμ+的取值范围为（）A ．[)2,2,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦B ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)2,+∞D ．(],2-∞20．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）在扇形OAB 中，o 60AOB ∠=，1OA =，C 为弧AB 上的一个动点，且OC xOA yOB =+．则4x y +的取值范围为（）A ．[1,4)B ．[1,4]C ．[2,3)D ．[2,3]21．（2021·湖南·高一期中）已知ABC 的边BC 的中点为D ，点G 为AD 的中点，GBC 内一点P （P 点不在GBC 边界上）满足,AP AB AC λμλμ=+∈R ，，则λμ+的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2题型八：利用坐标求向量的模22．（2021·山东邹城·高一期中）已知向量()1,0a =，()2,4b =r，则a b +=（）A ．5B ．5C ．7D ．2523．（2021·全国·高一课前预习）已知向量1(2,0),(,1),2==-a b 则2a b +=（）A ．3B ．5C ．23D ．524．（2021·辽宁丹东·高一期末）在ABC 中，π3A =，4AB =，则4CB AB →→-的最小值是（）A ．42B ．43C ．62D ．63【双基达标】一、单选题25．（2021·全国·高一课时练习）若{}12e e ，是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）A ．12e e -，21e e -B ．12e e -，12e e +C ．212e e -，212e e -+D ．122e e +，124e 2e +26．（2021·全国·高一课时练习）在ABC 中，点D 在CB 的延长线上，且4CD BD ==r AB sAC +，则r s -等于（）A ．0B ．45C ．83D ．327．（2021·全国·高一课时练习）已知()3,1AB =uu u r，()4,3AC =--，则BC =（）A ．()7,4--B ．()7,4C ．()1,4-D ．()1,428．（2021·全国·高一课时练习）已知i ､j 分别是方向与x 轴正方向､y 轴正方向相同的单位向量，O 为坐标原点，设()()()2211OA x x i x x j x =++--+∈R ，则点A 位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限29．（2021·全国·高一课时练习）已知(1,3)a =-，且(1,3),(2,6)A B --，下列等式：①a OA =；②2OB a =-uu u r r ；③3AB a =-；④0OA OB a ++=．其中，正确的有（）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个30．（2021·全国·高一单元测试）设m R ∈，向量(1,2)a =-，(,1)b m n =-.若2a b a +=，则m ，n 的值分别是（）A ．1，-1B ．1，-3C ．1，-2D ．1，231．（2021·全国·高一单元测试）在ABC 中，(3,1)A ，AB 的中点为(2,4)D ，ABC 的重心(3,4)G ，则B ，C 的坐标分别为（）A ．(1,7)，(4,5)B ．(1,7)，(5,4)C ．(7,1)，(4,5)D ．(7,1)，(5,4)32．（2021·全国·高一课时练习）已知向量i =(1,0)，j =(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a =(x ,y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a =(x 1,y 1)≠(x 2,y 2)，则x 1≠x 2且y 1≠y 2；③若x ，y ∈R ，a =(x ,y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ；④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ,y )，则a =(x ,y )．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【高分突破】一：单选题33．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在ABC 中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，M 为AD 的中点，若AM AB BC λμ=+，则λμ+的值为（）A ．53B ．12-C ．12D ．2334．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，在ABC 中，2BD DC =．若AB a =，AC b =，则AD =（）A ．2133a b+r r B ．2133a b-C ．1233a b+D ．1233a b-35．（2021·江西赣州·高一期中）已知1,0OA OB OA OB ==⋅=，点C 满足(),OC OA OB R λμλμ+=+∈且AOC 30∠=，则λμ等于（）A ．13B ．1C ．33D ．336．（2021·湖南·高一期末）已知对任意的平面向量(),AB a b =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转φ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP a b a b φφφφ=-+，叫着把点B 绕点A 沿逆时针方向旋转φ角得到点P .已知()1,2A ，()12,222B -+，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转4π得到点P ，则P 的坐标为（）A ．()1,3B ．()0,1C ．()2,5D ．()1,3--37．（2021·浙江师范大学附属东阳花园外国语学校高一阶段练习）已知平行四边形ABCD 中，AD =(3,7)-，(4,3)AB =，对角线AC ，BD 交于点O ，则CO 的坐标为（）A ．1,52⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭38．（2021·安徽·宣城市励志中学高一阶段练习）“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD 中，ABC 满足“勾3股4弦5”，且3AB =，E 为AD 上一点，.BE AC ⊥若BE BA BC λμ=+，则1λμ+的值为（）A ．925-B ．725C ．1625D ．1二、多选题39．（2021·全国·高一课时练习）设a 是已知的平面向量，向量a ，b ，c 在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（）A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a b c =+；B ．给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a b c λμ=+；C ．给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a b c λμ=+；D ．若||2a =，存在单位向量b ，c 和正实数λ，μ，使a b c λμ=+，则336λμ+>．40．（2021·广东·江门市新会第二中学高一阶段练习）如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中正确的是（）A ．λ1e +μ2e (λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内任一向量a ，使a =λ1e +μ2e 的实数对(λ，μ)有无穷多个C ．若向量λ11e +μ12e 与λ21e +μ22e 共线，则λ1μ2-λ2μ1=0D ．若实数λ，μ使得12λμ+=0e e ，则λ=μ=041．（2021·全国·高一课时练习）设向量()2,0a =，()1,1b =r，则（）A ．a b=r r B ．()//a b b -C ．()a b b-⊥D ．a 与b 的夹角为4π42．（2021·湖南·长沙市第二十一中学高一期中）已知向量(),3a m =，()2,4b =-，若()a b a +⊥，则（）A ．1m =或3m =-B ．1m =-或3m =C ．2a b +=或10a b +=rr D ．2a b +=或26a b +=43．（2021·全国·高一课时练习）已知向量()1,0i =，()0,1j =，对平面内的任一向量a ，下列结论中错误的是（）A ．存在唯一的一对实数x ，y ，使得(),a x y =rB ．若1x ，2x ，1y ，2y ∈R ，()()1122,,a x y x y =≠，则12x x ≠，且12y y ≠C ．若x ，y R ∈，(,)a x y =，且0a ≠，则a 的起点是原点OD ．若x ，y R ∈，0a ≠，且a 的终点坐标是(),x y ，则(),a x y =r44．（2021·广东普宁·高一期中）设1234A A A A 、、、是平面直角坐标系中相异的四点，若1312()A A A A λλ=∈R ，1412()A A A A μμ=∈R ，且112λμ+=，则称34,A A 调和分割12,A A ，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是（）A ．A 、B 、C 、D 四点共线B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上三、填空题45．（2021·全国·高一单元测试）已知点()3,1A -，()4,2B --，点P 是直线AB 上一点，且满足2AP PB =，则点P 的坐标是___________.46．（2021·浙江·宁波市北仑中学高一期中）已知两点12(2,1),(1,3)P P --，点P 在直线12PP 上，且满足122||||3PP PP =，则点P 的坐标为___________.47．（2021·全国·高一课时练习）设点A （1，3），()3,B n -，()2,1C m +-．若2AB BC =-，则mn 的值为________．48．（2021·北京市西城区教委高一阶段练习）如图，在ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且,2BD DC AE EC ==，若DE x AB y AC =+，则x y +=___________.49．（2021·江西·景德镇一中高一期中）在ABC 中，,M N 分别是边,AB AC 的中点，点O 是线段MN 上，异于端点的一点，且()400OA OB OC λλ++=≠，则λ=____________.四、解答题50．（2021·全国·高一课时练习）（1）已知a ＝(－1，2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，且有c ＝p a ＋q b ，试求实数p ，q 的值；（2）已知a ＝(2，1)，b ＝(1，－3)，c ＝(3，5)，把a ，b 作为一组基底，试用a ，b 表示c .51．（2021·全国·高一课时练习）如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求AC 和BD 的坐标.52．（2021·全国·高一课时练习）.如图，在△OAB 中，11,42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于点M ，设,OA a OB b→==在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过M 点，设OE ＝p OA ，OF ＝q OB ，求证：17p ＋37q＝1.53．（2021·浙江省桐庐中学高一期中）如图，在平面四边形ABCD 中，2AC CD AD BC ====，BC CA ⊥.（1）求BA BD ⋅的值；（2）若P 是线段AD 上一点（含端点），求3PC PD +的取值范围.【答案详解】1．D 【分析】根据基底不共线原则判断即可.【详解】解：只要两向量不共线便可作为基底，故对于A 选项，()1221e e e e -=--，共线，不满足；对于B 选项，121232322⎛⎫-=- ⎪⎝⎭e e e e ，共线，不满足；对于C 选项，()12122422+=---e e e e 共线，不满足；对于D 选项，122e e -与122e e -不共线，故满足.故选：D.2．C 【分析】在同一平面内,只要两个向量不共线，就可以作为这个平面的一组基底，逐项判断即可.【详解】对于A 选项：设121e e e =λ+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=0λ⎧∴⎨⎩,无解,1e ∴与12e e +不共线，1e ∴与12e e +可以构成一组基底；对于B 选项：设()1221=e 2e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=22=λλ-⎧∴⎨-⎩,无解，12e 2e ∴-与21e 2e -不共线，12e 2e ∴-与21e 2e -可以构成一组基底；对于C 选项：设()1221=e 24e 2e e λ--，12e e ，是不共线的两个向量，1=21=2=42λλλ-⎧∴∴-⎨-⎩，，()21212e 2e 1=4e 2e ∴---，12e 2e ∴-与214e 2e -共线，12e 2e ∴-与214e 2e -不能构成一组基底；对于D 选项：设()1212=e e e e λ-+，12e e ，是不共线的两个向量，1=1=λλ⎧∴⎨-⎩,无解,12e e +∴与12e e -不共线，12e e +∴与12e e -可以构成一组基底；故选：C3．C 【分析】根据基底不共线的性质，判断各选项是否存在实数λ使基底有线性关系，若存在即共线，不可作为基底.【详解】作基底的两个向量一定不共线，A 、B 、D ：不存在实数λ，使11222()e e e e λ+=-、122142(24)e e e e λ+=-、12122(2)e e e e λ+=+，故可以作基底；C ：21122(4)22e e e e =---，即存在2λ=-，故它们共线，不能作为基底.故选：C 4．B 【分析】由题意结合平面向量基本定理可得33()44BF BC BF BA =+-+，从而可求得结果【详解】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =，所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++33()44BC BF BA =+-+93164BC BF BA =-+，解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+，故选：B 5．A 【分析】利用平面向量的加法和减法以及平面向量的基本定理求解.【详解】1123FE FC CE BC CD =+=+，112()233AC AB BA CB ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，1122122993AC AB AB AC AB =-+--，1151818AB AC =-+，故选：A.6．A 【分析】依据图形，结合向量的加法，减法，数乘运算的运算律利用BA ，BC 表示CF .【详解】3313344248BF BE BA BC BA BC ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，3348CF BF BC BA BC BC =-=+-=35354848BA BC BA CB -=+．故选：A.7．A 【分析】由G 为ABC 的重心，可得()13AG AB AC =+，结合AM x AB =，AN y AC =，根据M G N ，，三点共线，得到x y ，的关系式，即可得到答案【详解】延长AG 交BC 与点H ,H 为BC 中点,G 为ABC 的重心，()()2211133333111123AG AH AB AC AB AC AM AN A x yx y M AN ⎛⎫∴==⨯+=+=+=+ ⎪⎝⎭M G N 、、三点共线11133x y +=,113x y+=故选:A 8．A 【分析】设BM tBC =，可根据向量关系得出()1AM t AB t AC =-+，即可得出.【详解】由题可设BM tBC =，则()()1AM AB BM AB tBC AB t AC AB t AB t AC =+=+=+-=-+，N 为AM 中点，()1111222AN AM t AB t AC ∴==-+,又A N A B A C λμ=+u u u r u u u r u u u r，()11=1,22t t λμ∴-=，12λμ∴+=.故选：A.9．B 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到()215AP m AC m AB =+-，从而由向量分解的唯一性得出关于λ的方程，求出λ的值.【详解】由题意及图：()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-,又23AN NC =,所以25AN AC =,所以()215AP m AC m AB =+-,又13AP AB AC λ=+,所以12153m m λ-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得：51,66m λ==.故选：B.10．B 【分析】写出OA 、OB 的坐标，利用平面向量线性运算的坐标表示可求得结果.【详解】由已知条件可得()1,2OA =，()3,4OB =，因此，()()()3231,223,49,14OA OB +=+=.故选：B.11．D 【分析】利用向量的坐标运算逐一判断.【详解】解：对A ：()()2,2(1,3)3,5AB =---=-，故正确；对B ：当(1,0),(0,1)i j ==时，35(3,0)(0,5)(3,5)i j BA -+=-+=-=，故正确；对C ：由已知线段AB 的中点坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，则OM =11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故正确；对D ：OA 在OB 上的投影为22262222OB OBOA --==-+⋅，故错误．故选：D ．【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查向量的几何意义，是基础题．12．C 【分析】建立如图所示的直角坐标系，设(),P x y ，求出()()PA PB PC PD +⋅+224(1)4(1)4x y =-+--，即得解.【详解】建立如图所示的直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()2,2C ()0,2D .设(),P x y ，则(),PA x y =--，()2,PB x y =--，()2,2PC x y =--，(),2PD x y =--，所以()()()()()2222,222,422248PA PB PC PD x y x y x y y+⋅+=--⋅--=-+-224(1)4(1)4x y =-+--.所以当1x =，1y =时，()()PA PB PC PD +⋅+取得最小值4-.故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.13．D 【分析】根据平面向量加减、数乘运算的坐标表示列出方程组，解方程组即可.【详解】∵a -3b +2c =0，∴(-5，6)-(-9，6)+(2x ，2y )=(0，0)，即2-590-226-600x x y y +==⎧⎧∴⎨⎨+==⎩⎩，，，，即c =(-2，0).故选：D .14．B 【分析】由1122a e e λλ=+表示出坐标关系，利用向量相等建立关系即可求解.【详解】()11221212,23e e λλλλλλ+=++，1122a e e λλ=+，∴12121223λλλλ-=+⎧⎨=+⎩，解得1211λλ=-⎧⎨=⎩．∴实数对1(λ，2)(1λ=-，1)．故选：B ．15．B 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，根据BA BC +=2BP ，求得点P 的坐标，从而可求得,PC PD 的坐标，即可得出答案.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，因为AD ∥BC ，∠ABC=90°，AB=BC=2，AD=1，所以B (0，0)，A (0，2)，C (2，0)，D (1，2)，所以BA =(0，2)，BC =(2，0)，因为BA BC +=2BP ，所以2BP =(0，2)+(2，0)=(2，2)，故BP =(1，1)，故P (1，1)，PD =(0，1)，PC =(1，-1)，所以()01111·PC PD =⨯+⨯-=-.故选：B .16．D 【分析】如图，建立直角坐标系，设圆的半径为1，则可求出,,A B C 的坐标，即可得到向量,,OA OB OC 的坐标，由于,OA OB 不共线，所以利用平面向量基本定理进行求解即可【详解】解：如图，建立直角坐标系，设圆的半径为1，因为120AOB ∠=︒，30AOC ∠=︒，所以1331(1,0),,,,2222A B C ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以1331(1,0),,,,2222OA OB OC ⎛⎫⎛⎫=-==-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为,OA OB 不共线，所以由平面向量基本定理可知存在一对有序实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，所以3113,(1,0),2222λμ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以13223122λμμ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得3333λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以3333OC OA OB =-，故选：D17．B 【分析】根据Rt △ABC 构建平面直角坐标系，可知B 、C 的坐标分别为(1，0)、(0，2)，应用含参数的坐标表示向量AD ，由平面向量基本定理(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，坐标运算求得参数λ、μ的关系即可求判断选项.【详解】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ，m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ，∴2λμ=，即20λμ-=故选：B 18．D 【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】建立如图示坐标系，由3,4,AB BC ==则有：()()()()0,0,4,0,0,3,4,3,B C A D 因为E 为AD 上一点，可设(),3,E x 所以()()()=0,3,=,3,=4,3BA BE x AC -.因为BE AC ⊥，所以=0BE AC ，即490x -=，解得：94x =，所以9,34E ⎛⎫⎪⎝⎭.由BA BE AC λμ=+得：94=0433=3λμλμ⎧+⎪⎨⎪-⎩，解得：16=259=25λμ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，所以=1λμ-.故选：D 19．A 【分析】设,,a OA b OB c OC ===，由已知条件判断出222AC BC AB +=，即ABC 是等腰直角三角形，以C 为坐标原点，OA OB 、所在的边为x y 、轴的正半轴建立平面直角坐标系，则()()1,00,1A B 、，(),O x y ，得222x y +=，再由(),c a b λμλμ=+∈R 得111x y λμ++-+=，设2cos ,2sin x y θθ==，求出x y +范围可得答案【详解】设,,a OA b OB c OC ===，则2a b OA OB BA OC c -=-====，1,1c a OC OA AC c b OC OB BC -=-==-=-==，所以222AC BC AB +=，即ABC 是等腰直角三角形，以C 为坐标原点，OA OB 、所在的边为x y 、轴的正半轴建立平面直角坐标系，如图，则()()1,00,1A B 、，(),O x y ，因为2c =，所以222x y +=，因为(),c a b λμλμ=+∈R ，所以()()()1,1,,x x y x y y λμ--+--=--，所以x x x λλμ--=-，y y y μλμ--=-，两式相加得()()()x x y y λμλμλμ-+=+-++-，所以1111x yx y x y λμ+=++-+-+=，因为222x y +=，所以设2cos ,2sin x y θθ==，所以()[]2cos sin 2sin 2,24x y πθθθ⎛⎫+=+=+∈- ⎪⎝⎭，因为,a b 不共线，所以,,O A B 不共线，所以1x y +≠，所以[)(]2,11,2x y +∈-，[)(]13,00,1x y +-∈-，[)111,,13x y ⎛⎤∈+∞-∞- ⎥+-⎝⎦，所以[)2,2,3λμ⎛⎤+∈-∞+∞ ⎥⎝⎦，故选：A.20．A【分析】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，令COB θ∠=，则0,60θ⎡⎤∈⎣⎦，则234sin 4cos 3x y θθ+=-+，易知()234cos sin 3f θθθ=-为减函数，即可得出结果.【详解】以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，令COB θ∠=，则0,60θ⎡⎤∈⎣⎦，因为1OA =，则()10B ,，13,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()cos ,sin C θθ，又OC xOA yOB =+，则cos 23sin 2x y x θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则1cos sin 32sin 3y x θθθ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则233sin 4cos 3x y θθ+=-+，又0,60θ⎡⎤∈⎣⎦，易知()23sin 4cos 3f θθθ-+=为减函数，由单调性易得其值域为[]1,4.故选：A.21．A【分析】先以BC 为x 轴，D 为原点建立坐标系，得到对应坐标，再根据向量关系解得()222y n λμ=--，结合题意知0y n <<，即解得结果.【详解】以BC 为x 轴，D 为原点建立如图坐标系．设()()()(),,0,0,G m n B a C a P x y -，，，，则()2,2A m n ，()()()2,22,22,2AP x m y n AB a m n AC a m n =--=---=--，，，由AP AB AC λμ=+，有222222x m a m a m y n n n λλμμλμ-=--+-⎧⎨-=--⎩，故()222y n λμ=--，∵点P 在GBC 内，∴0y n <<即()0222n n λμ<--<，解得112λμ<+<.故选：A ．22．B【分析】根据向量的坐标运算求解模长即可.【详解】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =r ，则()3,4a b +=，故9165a b +=+=.故选：B ．23．B【分析】利用向量的坐标运算可得2(1,2)a b +=r r ，即得.【详解】∵向量1(2,0),(,1),2==-a b ∴12(2,0)2(,1)(1,2)2a b +=+⋅-=r r ，∴222125a b +=+=r r .故选：B.24．D【分析】建立平面直角坐标系，得到向量的坐标，转化为函数最值问题进而得出答案.【详解】如图建立平面直角坐标系，设()(),30C x x x >，∴()4,3CB x x →=--，()4,0AB →=，∴()4124,43CB AB x x →→-=--，∴22327444694444CB AB x x x ⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴34x =时，4CB AB →→-的最小值为：334632⋅=.故选：D.25．B【分析】不共线的向量能作为基底，逐一判断选项即可.【详解】不共线的向量能作为基底，因为()1221e e e e -=--，所以向量12e e -，21e e -共线，故排除A ；假设1212(e e e e λ-=+），解得=1=1λλ⎧⎨-⎩，无解，所以向量12e e -，12e e +不共线，故B 正确；因为()212122e e e e =-+--，所以212e e -，212e e +-共线，故排除C ；因为()121212422e e e e =++，所以122e e +，1224e e +共线，故排除D ，故选：B26．C【分析】根据4CD BD ==r AB sAC +，利用平面向量的基本定理求解.【详解】因为点D 在CB 的延长线上，且4CD BD =，所以444333CD CB AB AC ==-，又因为CD r AB sAC =+，所以44,33r s ==-，所以83r s -=，故选：C27．A【分析】由向量减法法则计算．【详解】(4,3)(3,1)(7,4)BC AC AB =-=---=--故选：A.28．D【分析】由向量的正交分解可得A 点坐标，由横纵坐标的符号可确定所在象限.【详解】由题意得：()221,1A x x x x ++-+-210x x ++>，210x x -+-<A ∴位于第四象限故选：D.29．D【分析】根据向量的坐标表示及运算，逐项判定，即可求解.【详解】因为向量(1,3)a =-，且(1,3),(2,6)A B --，由向量(1,3)OA =-，所以a OA =，所以①正确；由向量(2,6)OB =-，2(2,6)a -=-，所以2OB a =-uu u r r ，所以②正确；由向量(3,9)AB =-，3(3,9)a -=-，所以3AB a =-，所以③正确；由②知2OB a =-uu u r r 且a OA =，则20OA OB a OB a ++=+=，所以④正确.故选：D.30．A【分析】根据平面向量的坐标运算以及向量相等即可求出．【详解】因为()()1,3,22,4a b m n a +=+-=-，所以12,34m n +=-=-，解得,11m n ==-．故选：A ．31．B【分析】根据中点坐标公式以及重心的坐标公式即可解出．【详解】设()()1122,,,B x y C x y ，所以11322142x y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得111,7x y ==，1212333143x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得225,4x y ==，所以B ，C 的坐标分别为(1,7)，(5,4)．故选：B ．32．A【分析】根据平面向量的基本定理、向量的坐标表示，及向量始点、终点与向量坐标的关系，即可判断各项的正误.【详解】由平面向量基本定理，存在唯一的一对实数x ，y 使a xi y j =+，①正确；举反例，a =(1,0)≠(1,3)，但1=1，②错误；由向量可以平移，所以a =(x ,y )与a 的始点是不是原点无关，③错误；当a 的终点坐标是(x ,y )时，a =(x ,y )是以a 的始点是原点为前提的，④错误．故选：A33．D【分析】利用平面向量的加法、数乘运算以及平面向量的基本定理即可求解.【详解】因为在ABC 中，2AB =，3BC =,60ABC ∠=︒，AD 为BC 边上的高，所以在ABD △中，112BD AB ==，又13,3BC BD BC =∴=，AD AB BD ∴=+13AB BC =+，M 为AD 的中点，111226AM AD AB BC ∴==+，11,,26AM AB BC λμλμ=+∴==，23λμ∴+=，故选：D.34．C【分析】根据2BD DC =．且AB a =，AC b =，利用平面向量的加法,减法和数乘运算求解.【详解】因为2BD DC =．且AB a =，AC b =，所以AD AC CD =+，13AC CB =+()13AC AB AC =+-，1233AB AC =+，1233a b =+.故选：C35．D【分析】建立平面直角坐标系，求得λμ，由此确定正确选项.【详解】由于1,0OA OB OA OB ==⋅=，以O 为原点建立如图所示平面直角坐标系，所以(),C λμ，则3tan 30,33μλλμ︒===.故选：D36．C【分析】由已知可得(2,22)AB =-，然后根据所给的定义可得AP 的坐标，从而可求出点P 的坐标【详解】解：由()1,2A ，()12,222B -+，得(2,22)AB =-，则由题意可得2cos()22sin(),2sin()22cos()4444AP ππππ⎛⎫=------+- ⎪⎝⎭2222222,2222222⎛⎫=-⨯+⨯⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭(1,3)=所以点P 的坐标为()2,5，故选：C37．C【分析】根据题意可得AC AB AD =+，再由12CO AC =-求出.【详解】平行四边形ABCD 中，AD =(3,7)-，(4,3)AB =，()1,10AC AB AD ∴=+=，O 为AC 中点，11,522CO AC ⎛⎫∴=-=-- ⎪⎝⎭.故选：C.38．C【分析】由题意建立如图所示的直角坐标系，设(),3E a ，根据BE AC ⊥，得490AC BE a ⋅=-=，解得94a =，再根据BE BA BC λμ=+得到94,433μλ⎧=⎪⎨⎪=⎩解之即得解.【详解】由题意建立如图所示的直角坐标系，因为3AB =，4BC =，则()0,3A ，()0,0B ，()4,0C .设(),3E a ，则()4,3AC =-，(),3BE a =，因为BE AC ⊥，所以490AC BE a ⋅=-=，解得94a =，由BE BA BC λμ=+，得()()9,30,34,04λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以94,43 3.μλ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得1,916λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以11625λμ=+.故选：C .39．ABD【分析】利用平面向量基本定理依次判断，即得解【详解】对于选项A ，给定向量a 和b ，只需求得其向量差a b -即为所求的向量c ，故总存在向量c ，使a b c =+，故A 正确；对于选项B ，当向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线时，向量b ，c 可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故B 正确；对于选项C ，取(4,4),2,(1,0)a b μ===，无论λ取何值，向量b λ都平行于x 轴，而向量c μ的模恒等于2，要使a b c λμ=+成立，根据平行四边形法则，向量c μ的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c 使等式成立，故C 错误；对于选项D ，2222()2cos ,4a b c b c λμλμλμ=+=++<>=，又b ，c 不共线，2224λμλμ∴++>，即2()4λμ+>，即2λμ+>，3323323λμλμλμ++≥⋅=（当且仅当λμ=时等号成立），23236λμ+>⨯=，得336λμ+>，故D 正确故选：ABD ．40．ACD【分析】利用平面向量的基本定理可判断A 、B 、D ；利用向量共线定理可判断C ；从而得出答案.【详解】根据平面向量的基本定理可知A 正确、B 错误；根据向量共线定理，存在唯一的非零实数λ，使得()11122122e e e e λμλλμ+=+，即1212λλλμλμ=⎧⎨=⎩，消去λ可得12210λμλμ-=，故C 正确；若实数λ，μ有一个不为0，不妨设0λ≠，则12e e μλ=-，此时12,e e 共线，这与已知矛盾，所以λ=μ=0，故D 正确.故选：ACD41．CD【分析】根据给定条件对各选项逐一推理计算并判断作答.【详解】因向量()2,0a =，()1,1b =r ，则2a =，2b =，A 不正确；()1,1a b -=-，而1111-⨯≠⨯，即a b -与b 不共线，B 不正确；而()1,1a b -=-，则()11110⨯+-⨯=，()a b b -⊥，C 正确；222221012cos ,22011a b ⨯+⨯==+⋅+，又0,a b π≤〈〉≤，于是得,4a b π〈〉=，即a 与b 的夹角为4π，D 正确.故选：CD42．AC【分析】根据向量垂直的坐标表示，由题中条件求出m ，再由向量模的坐标表示，求出a b +，即可得出结果.【详解】因为向量(),3a m =，()2,4b =-，所以()2,1b m a +=+-r r ，若()a b a +⊥，则()()2130m m +⨯+-⨯=，即2230m m +-=，解得1m =或3m =-，故A 正确，B 错；当3m =-时，()()22212b m a +=++-=；当1m =时，()()222110a b m +=++-=；故C 正确，D 错.故选：AC.43．BCD【分析】根据平面向量的定义及坐标表示一一判断可得；【详解】解：对于A ：平面向量的横纵坐标是确定的，故A 正确；对于B ：如果两个向量不相等，则其横纵坐标不完全相等，即1(x ，12)(y x ≠，2)y ，则12x x ≠或12y y ≠；故B 错误；对于C ：平面向量是可以平移的，所以起点不一定是坐标原点，故C 错误；对于D ：平面向量是由起点和终点坐标决定的，应该等于终点坐标减起点坐标，故D 错误；故选：BCD ．44．AD【分析】根据题设条件可先判断出1A 、2A 、3A 、4A 四点共线，从而判断出选项A ，然后可设()0,0A 、()10B ,、(),0C c 、(),0D d ，结合题设条件可得112c d+=，然后对各选项一一判断即可.【详解】∵1312()A A A A λλ=∈R ，1412()A A A A μμ=∈R ∴1312//A A A A ，1412//A A A A ∴1A 、2A 、3A 、4A 四点共线∵平面上的点C ，D 调和分割点A ，B∴A 、B 、C 、D 四点共线，故A 正确；由题意可设()0,0A 、()10B ,、(),0C c 、(),0D d ，则()(),01,0c λ=，()(),01,0d μ=.∴c λ=，dμ=∵112λμ+=∴112c d+=对于B ，若D 是线段AB 的中点，则12d =，代入到112c d+=，c 不存在，故B 错误；对于C ，若C 、D 同时在线段AB 上，则01c ≤≤，01d ≤≤，代入到112c d+=，可得1c d ==，此时C 、D 重合，与题意不符，故C 错误；对于D ，若C 、D 同时在线段AB 的延长线上，则1c >，1d >，所以112c d +<，与112c d+=矛盾，故C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上，故D 正确.故选：AD.45．55,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】先求出AP 的坐标，再得点P 坐标．【详解】由已知(7,1)AB =--，由2AP PB =得2142(,)333AP AB ==--，所以P 点坐标为14255(,)(3,1)(,)3333--+-=--．故答案为：55,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭46．43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或【分析】分点P 在线段12PP 的反向延长线、点P 在线段12PP 上以及点P 在线段12PP 的延长线上三种情况，结合平面向量的线性坐标运算即可求出结果.【详解】若点P 在线段12PP 的反向延长线上，又因为122||||3PP PP =，则有1223PP PP =-，设(),P x y ，则()()122,1,1,3PP x y PP x y =-+=---，所以()()22132133x x y y ⎧-=---⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩，解得89x y =⎧⎨=-⎩，即()8,9P -；若点P 在线段12PP 上，又因为122||||3PP PP =，则有1223PP PP =设(),P x y ，则()()122,1,1,3PP x y PP x y =-+=---，所以()()22132133x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，解得4535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；若点P 在线段12PP 的延长线上，又因为122||||3PP PP =，则显然不成立；故答案为:43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或(8,9)-.47．15【分析】根据A ，B ，C 三点的坐标可求出(4,3),2(210,22)AB n BC m n =---=--+，根据2AB BC =-，即可得出2104223m n n --=-⎧⎨+=-⎩，从而可求出m ，n 的值，进而求出mn 的值．【详解】(4,3),(5,1)AB n BC m n =--=+--，2(210,22)BC m n -=--+；2AB BC =-；∴2104223m n n --=-⎧⎨+=-⎩；解得35m n =-⎧⎨=-⎩；15mn ∴=．故答案为：15．48．13-【分析】根据向量的加减运算化简可得.【详解】因为,2BD DC AE EC ==，则()111111232326DE DC CE BC AC AC AB AC AB AC =+=-=--=-+，所以11,26x y =-=，则13x y +=-.故答案为：13-.49．5【分析】利用向量线性运算可化简得到()5280OA OM ON λ-++=，设OM tON =，整理可得()()5280OA t ON λ-++=，由向量,OA ON 不共线可构造方程求得结果.【详解】M 是AB 中点，2OM OA OB ∴=+；同理可得：2ON OA OC =+；()()4242OA OB OC OA OM OA ON OA λλ∴++=+-+-()5280OA OM ON λ=-++=，,,M O N 三点共线，∴可设OM tON =，()()5280OA t ON λ∴-++=，,OA ON 不共线，50280t λ-=⎧∴⎨+=⎩，解得：54t λ=⎧⎨=-⎩，5λ∴=.故答案为：5.50．（1）p ，q 的值分别为1，4；（2）c ＝2a －b .【分析】（1）用坐标表示出p a ＋q b ，由向量相等可求得,p q ；（2）设c ＝m a ＋n b ，用坐标表示后，再由向量相等可得,m n ，从而得结论．【详解】解因为a ＝(－1，2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，所以p a ＋q b ＝p (－1，2)＋q (1，－1)＝(－p ＋q ，2p －q )．又因为c ＝p a ＋q b ，所以3,22,p q p q -+=⎧⎨-=-⎩解得1,4.p q =⎧⎨=⎩故所求p ，q 的值分别为1，4.（2）设c ＝m a ＋n b ，m ，n ∈R.因为m a ＋n b ＝m (2，1)＋n (1，－3)＝(2m ＋n ，m －3n )，且c ＝m a ＋n b ＝(3，5)，所以23,35,m n m n +=⎧⎨-=⎩解得2,1.m n =⎧⎨=-⎩故c ＝2a －b51．3131(,)22AC -+=，3131(,)22BD ---=【分析】依题意B ，D 分别是30°，120︒角的终边与单位圆的交点，设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义，求出B 、D 的坐标，再根据向量的坐标表示和向量的加减运算可得.【详解】解：由题知B ，D 分别是30°，120︒角的终边与单位圆的交点．设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义，得13cos302x ︒==，11sin 302y ︒==，∴31,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．21cos1202x ︒==-，23sin1202y ︒==，∴13,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．()0,0A ∴31,22AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13,22AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．∴3131(,)22AC AB AD -+=+=，3131(,)22BD AD AB ---=-=52．证明见解析【分析】由,,B M C 三点共线计算可得1(1)4OM ma m b →=+-，由,,A M D 三点共线，计算可得1(1)2OM na n b →=+-，即可求得1377OM a b →→=+，由,,E M F 三点共线，计算可得()1(1)OM OE OF b p a q λλλλ→→=+-=+-，消去λ,即可证得结果.【详解】因为,,B M C 三点共线，所以存在实数m ，使得11(1)(1)(1)44OM mOC m OB m OA m OB ma m b →=+-=⋅+-=+-，又,,A M D 三点共线，所以存在实数n ，使得1(1)(1)2OM nOA n OD na n b →=+-=+-,由于,a b →→不共线，所以1411(1)2m n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩,解得4717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故1377OM a b →→=+.因为,,E M F 三点共线，所以存在实数λ，使得()1(1)OM OE OF b p a q λλλλ→→=+-=+-,1,73(1),7p q λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去λ,得17p ＋37q ＝1.53．（1）236+（2）33,213PC PD ⎡⎤+∈⎣⎦【分析】（1）利用基底法求向量的数量积；（2）设PD AD λ=uu u r uuu r ，[]0,1λ∈，化简可得2136438PC PD λ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，从而确定3PC PD +的取值范围.（1）解：因为2AC CD AD BC ====，所以ACD △是边长为2等边三角形，因为BC CA ⊥，所以ACB △是直角边长为2等腰直角三角形，且22BA =，45BAC ∠=︒，60CAD ∠=︒，所以()BA BD BA BA AD BA BA BA AD⋅=⋅+=⋅+⋅()()()222cos 1806045842cos 4530BA AD =+⋅︒-︒-︒=+︒+︒23218422362222⎛⎫=+⨯-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）解：由P 是线段AD 上一点（含端点），设PD AD λ=uu u r uuu r ，[]0,1λ∈，222344168PC PD PD DC AD DC AD AD DC DC λλλ+=+=+=+⋅+，有222cos 23AD DC π⋅=⨯⨯=-，故2213641646438PC PD λλλ⎛⎫+=-+=-+ ⎪⎝⎭，当18λ=时，3PC PD +取最小值为3；当1λ=时，3PC PD +取最小值为213.。

高二数学相等向量与共线向量1.3相等向量与共线向量教学目标：掌握相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教学重点：理解并掌握相等向量、共线向量的概念，教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.教学思路：一、情景设置：复习数量与向量有何区别？如何表示向量？有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？如果把一组平行向量的起点全部移到一点o，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？新课学习有一组向量，它们的方向相同、大小相同，这组向量有什么关系？任一组平行向量都可以移到同一直线上吗？这组向量有什么关系？三、探究学习相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；零向量与零向量相等；任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上.说明：平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.四、理解和巩固：例1．如图，设o 是正六边形ABcDEF 的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？ 变式三：与向量共线的向量有哪些？例2判断：不相等的向量是否一定不平行？与零向量相等的向量必定是什么向量？两个非零向量相等的当且仅当什么？共线向量一定在同一直线上吗？例3A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与cB.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四c.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A 不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于c，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选c.课堂练习：．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、c、D四点必在一直线④四边形ABcD是平行四边形当且仅当＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.．书本77页练习4题三、小结：描述向量的两个指标：模和方向.平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.共线向量与平行向量关系、相等向量。

新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.1平面向量的概念含解析第六章平面向量及其应用6．1平面向量的概念[目标] 1。

记住向量、相等向量的概念，会向量的几何表示；2.记住共线向量的概念,并能找共线向量．[重点] 理解并掌握向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量的概念,会表示向量．[难点］向量的概念，平行向量．要点整合夯基础知识点一向量的概念和表示方法[填一填］1．向量：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量．2．向量的表示(1)表示工具—-有向线段．有向线段包含三个要素：起点，方向，长度．(2)表示方法:向量可以用有向线段错误!表示,向量错误!的大小称为向量错误!的长度（或称模），记作｜错误!|。

向量可以用字母a,b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示,如：错误!，错误!.［答一答]1．有向线段就是向量，向量就是有向线段吗？提示：有向线段只是一个几何图形，是向量的直观表示．因此，有向线段与向量是完全不同的两个概念．2．两个向量可以比较大小吗？提示：不能．因为向量既有大小，又有方向．知识点二向量的长度（或称模）与特殊向量[填一填］1．向量的长度定义：向量的大小．2．向量的长度表示:向量错误!的长度记作：|错误!｜;向量a的长度记作：|a｜.3．特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．［答一答］3．零向量的方向是什么？两个单位向量的方向相同吗?提示：零向量的方向是任意的．两个单位向量的方向不一定相同．知识点三相等向量与共线向量［填一填]1．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a＝b。

2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,如果向量a，b 平行，记作a∥b.任一组平行向量都可以平移到同一条直线上,因此，平行向量也叫做共线向量．3．规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a。