高中数学北师大版必修2 1.2 培优练习 《直观图》(数学北师大必修二)

高中数学 1.2 直观图课后训练北师大版必修2 1．有下列说法：①从投影的角度看，斜二测画法画的直观图是在平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线仍为直线，但平行线可能变成相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的命题有()．A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列说法正确的是()．A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是()．4．如图，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是()．A．AB＝BC＝ACB．AD⊥BCC．AC＞AD＞AB＞BCD．AC＞AD＞AB＝BC5．如图水平放置的正方形ABCO，在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为()．A．22B．1 C．2D．26．利用斜二测画法得到的①三角形的直观图是三角形；②菱形的直观图是菱形；③相等的角在直观图中仍相等；④相等的线段在直观图中仍然相等；⑤若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．以上结论，正确的是__________．(填序号)7．如图，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直观图，其中O′B′＝O′A′＝2 cm，则原△AOB 的面积为________cm2.8．如图所示的四边形OABC中，OA＝BC＝1 cm，AB＝OC＝3 cm，OB⊥BC，OB⊥OA，那么，用斜二测画法画出的直观图的形状是__________，其周长为__________．9．如图，四边形OABC是上底长为2，下底长为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，求在直观图中梯形的高．10．已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，试求原△ABC的面积．参考答案1答案：D 解析：利用平行投影与中心投影的概念逐一判断，以上四句话都正确． 2答案：D3答案：A 解析：直观图中正方形的对角线长(即在y ′轴上的部分)为2，因此在原图形中应在y 轴上且长为22.故选A.3答案：C 解析：画出△A 1B 1C 1的原图△ABC 即可得．5答案：A 解析：如图，由斜二测画法可知，在新坐标系x ′O ′y ′中，B ′C ′＝1，∠x ′C ′B ′＝45°，过B ′作x ′轴的垂线，垂足为D ，在Rt △B ′DC ′中，B ′D ＝B ′C ′sin 45°＝1×22＝22.6答案：①⑤7答案：4 解析：根据斜二测画法的规则可知，△AOB 为直角三角形，即∠AOB ＝90°，OA ＝O ′A ′＝2 cm ，OB ＝2O ′B ′＝4 cm ， ∴S △AOB ＝12×OA ×OB ＝12×2×4＝4(cm 2)． 8答案：正方形 4 cm 解析：原图形中，OB ＝222231=22AB OA -=- (cm)，且OA ⊥OB ，那么在直观图中，∠A ′O ′B ′＝45°，O ′B ′＝12OB ＝2 (cm)，又B ′C ′＝1 cm ，所以四边形O ′A ′B ′C ′必为正方形，边长为1 cm ，其周长为4 cm.9答案：解：按斜二测画法得梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，如下图所示，原图形中梯形的高CD ＝2，在直观图中C ′D ′＝1，且∠C ′D ′A ′＝45°，作C ′E ′垂直x ′轴于E ′，则C ′E ′即为直观图中梯形的高，那么C ′E ′＝C ′D ′sin 45°＝22.10答案：解：在△A ′B ′C ′所在的平面上建立坐标系x ′O ′y ′，使x ′轴，y ′轴成45°角，如图(甲)，建立直角坐标系xOy ，使x 轴，y 轴成90°角，如图(乙)．∵△A ′B ′C ′为正三角形，∴△A′B′C′的高|A′D′|＝32 a.∴|O′A′|＝2|A′D′|＝62a.∵在直观图中平行于y′轴的线段为原线段的一半，平行于x′轴的线段与原线段等长．∴在原图中，|OA|＝2|O′A′|＝6a，|BC|＝|B′C′|＝a，∴S△ABC＝12|BC|·|OA|26.。

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课时提升作业(二)直观图一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014·绍兴高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图中，底面ABCD的直观图一定是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形【解析】选D.底面ABCD是正方形，在直观图中角与边的长度会改变，但对边的平行性不变，一定是平行四边形.2.(2014·亳州高一检测)如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )【解析】选C.直观图中有一条边与y′轴平行，两条边与x′轴平行，所以该图形为直角梯形.3. (2014·锦州高一检测)如图，△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′，其中A′B′=2，则△ABC的面积为( )A.2B.4C.2D.4【解题指南】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是2，求出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果.【解析】选D.因为等腰Rt△C′A′B′是一平面图形的直观图，直角边长为A′B′=2，所以直角三角形的面积是×2×2=2，因为平面图形与直观图的面积的比为2∶1，所以原平面图形的面积是2×2=4.4.水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形【解析】选C.直观图是正三角形，三角形的底角为60°，大于45°，原图中有一个角大于90°，是钝角三角形.5.(2014·榆林高一检测)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )【解析】选A.直观图中正方形的边长为1，故对角线长为，所以在原图中一对角线的长为2.【举一反三】本例条件不变，则原图的周长为__________.【解析】原图中一条边长为1，另一条边长为=3，故周长为(1+3)×2=8.答案：86.(2014·银川高一检测)如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′=2，则△AOB的边OB上的高为( )A.2B.4C.2D.4【解析】选D.因为直观图与原图形中边OB长度不变，S原图形=2S直观图，所以有·OB·h=2××2·O′B′，所以h=4.7.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5m，10 m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为______________.【解析】根据斜二测画法规则求解.答案：4cm，0.5cm，2cm，1.6cm8.(2014·聊城高一检测)已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为______________.【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+3=5(cm).在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5cm.答案：5cm9.已知△ABC的水平放置的直观图是等腰的Rt△A′B′C′，且∠A′=90°，A′B′=(如图)，则△ABC的面积是________.【解析】根据斜二测画法的规则，画出△ABC，如图所示，其中BC=B′C′=2，AB=2A′B′=2，∠ABC=90°，所以S△ABC=×2×2=2.答案：210.(2014·济宁高一检测)用斜二测画法作出长为4，宽为3的矩形的直观图. 【解析】画法：(1)如图①在已知矩形ABCD中，取AB，AD所在边为x轴、y 轴，相交于O点(O与A重合)；画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′=45°，如图②.(2)在x′轴上取点A′(A′与O′重合)，B′使A′B′=AB，在y′轴上取D′，使A′D′=AD，过D′作D′C′平行于x′轴，且等于A′B′的长.(3)去掉辅助线，连接C′B′所得四边形A′B′C′D′就是矩形ABCD的直观图.11.(2014·丽水高一检测)有一棱柱，其底面为边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4cm，试画出此棱柱的直观图.【解析】(1)画轴.如图(1)所示，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy= 45°，∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上画MN=3cm，在y轴上画PQ=cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到棱柱的直观图，如图(2)所示.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·佛山高一检测)下列说法正确的是( )A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B.梯形的直观图可能是平行四边形C.矩形的直观图可能是梯形D.正方形的直观图是平行四边形【解析】选D.对于A.若两条直线中一条平行于x轴，一条平行于y轴，则直观图中两直线的夹角为45°，故A错，原图中平行的线段在直观图中也平行，故B，C错.2.(2014·北京高一检测)一个三角形在其直观图中对应一个边长为4的正三角形，则原三角形的面积为( )A.8B.8C.4D.4【解题指南】利用直观图面积与原图面积比为∶4解答.【解析】选A.S直观图=×4×4×=4.由=，得S原图=8.【变式训练】若一个正三角形的边长为4，则其直观图的面积为________. 【解析】S原图=×4×4×=4，由=，得S直观图=4×=.答案：3.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的图形ABCD的直观图，其中A′B′=6，A′D′=2，则图形ABCD为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【解析】选C.将直观图还原如图所示，AB=A′B′=6，AE=2A′E′=4，DE=D′E′=2，DC=6，则在Rt△ADE中，AD==6，所以四边形ABCD为菱形.【误区警示】本题学生易由于只看到AB CD，忘了判断AD与AB的关系得四边形ABCD为平行四边形而出错.4.(2014·宿州高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC=45°，AB=AD=1，OC⊥DC，原平面图形的面积为( )A.1+B.2+C.2+D.1+【解题指南】解答本题的关键是求原梯形的高，下底边长，故应过A作AE⊥BC 于E.【解析】选C.过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意知DC∥AE，AD∥EC，所以四边形ADCE为矩形.所以EC=AD=1，由∠ABC=45°，AB=AD=1知BE=，所以原平面图形是梯形且上下两底长分别为1和1+，高为2，所以原平面图形的面积为××2=2+.二、填空题(每小题4分，共12分)5.(2014·蚌埠高二检测)△ABC的面积为10，以它的一边所在直线为x轴画直观图后，其直观图的面积为__________.【解析】如图所示为△ABC的原图形和直观图.作A′D′⊥B′C′于D′，则A′D′为直观图B′C′边上的高，易求得A′D′=AO，所以S△A′B′C′=S△ABC=×10=.答案：6.如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是________.【解题指南】可大致画出其直观图进行判断，首先由三角形形状进行直观判断，形状确定后可求出相应角度、长度判断.【解析】根据斜二测画法知在(1)(2)(4)中，正三角形的顶点A，B都在x轴上，点C由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于(3)，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等.答案：(3)三、解答题 (每小题12分，共24分)7.如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图.【解析】画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°(如图(2)).(2)在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′=AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′=AE，B′C′=BC；在y′轴上截取O′D′=OD.(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴以及O′点，便得到平面图形水平放置的直观图(如图(3)).8.画出一个正四棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为6cm，8cm，高为4cm的正四棱台).【解题指南】先画出上、下底面(正方形)的直观图，然后画出整个正四棱台的直观图.【解析】(1)画下底面，画x轴，y轴，使∠xOy=45°，以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF=8cm.在y轴上取线段GH，使得GH=EF，GH的中点为O，再过G，H分别作AB∥EF，CD∥EF，AB=EF=CD=8cm，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面的直观图.(2)画z轴.三轴相交于点O，使z轴与x轴成90°.(3)画上底面，在z轴上截取线段OO1=4cm，过O1点作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，则∠x′O1y′=45°.建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中画出上底面的直观图A1B1C1D1.(4)再连接AA1，BB1，CC1，DD1，并擦去辅助线及相关点，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图②).关闭Word文档返回原板块。

§2 直观图建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1、水平放置的ABC ∆有一边在水平线上，的直观图是正111A B C ∆，则ABC ∆是 ）A 、锐角三角形B 、直角三角形C 、钝角三角形D 、任意三角形 2、已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（ ）A 、 16B 、 64C 、 16或64D 、 都不对 3、已知正方形ABCD 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）A 、6cmB 、8cm 、(232)cm + D 、(223)cm + 4、一个三角形斜二测画法画出来是一个正三角形，边长为2，则此三角形的面积是（ ） A 、 26 B 、 46C 、 3D 、 都不对 5、用斜二测画法做出一个三角形的直观图，其直观图的面积是原三角形面积的（ ）A 、12B 、2C 、22D 、246、已知ABC 的平面直观图///A B C ∆是的边长为a 的正三角形，那么原ABC 的面积为 ）A 、232aB 、234aC 、262a D 、26a 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）7、斜二测画法画圆，得到直观图的形状是-------------------。

8、根据斜二测画法的规则画直观图时，把ox ，oy ，oz 轴画成对应的o /x /，o /y /，o /z /，使∠x /o /y /=-----------------， ∠x /o /z /=-----------------。

9、用斜二测画法作直观图时，原图中平行且相等的线段，在直观图中对应的两条线段____________。

10、用斜二测画法画各边长为2cm 的正三角形的直观图的面积为___________. 11、如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为045，腰和底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 三、解答题（本大题共4小题，共40分） 12、（8分）画出一个正三棱台的直观图（尺寸为上、下底面边长为1cm 、2cm 、高2cm ）。

【优化课堂】2016秋高中数学 1.2 直观图练习 北师大版必修2[A 基础达标]1．给出以下几个说法：①水平放置的角的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍相等；③相等的线段在直观图中仍相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍平行．其中正确说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ．由斜二测画法的规则知，结论①与④是正确的，故选B ．2．如图所示的直观图的原平面图形ABCD 是( )A ．任意梯形B ．直角梯形C ．任意四边形D ．平行四边形解析：选B ．原图形ABCD 中，必有AB ⊥AD ，AD ∥BC ，且AD >BC ，故ABCD 是直角梯形．3．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )解析：选A.根据把模型放在水平视线的左下角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用知A 正确．4．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D ．圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm ，故选D ．5. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′∥O ′y ′，B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )A.732 B ．73C ．5D ．52解析：选A.把直观图还原成平面图形如图，得△ABC 为直角三角形，BC ＝8，AC ＝3，则AB 边上的中线为12 82＋32＝732.6．如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，则△ABC中，最长的边为________．解析：由B′C′∥O′y′，A′B′∥O′x′知，△ABC为直角三角形，∠B为直角，AC 为斜边，故最长边为AC.答案：AC7．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若以长、宽、高所在直线分别为x，y，z轴建立坐标系，按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．解析：由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.答案：4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm8. 如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.答案：109．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5)．试画出四边形ABCD的直观图．解：(1)先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°(如图1)．(2)在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0)．(3)在x′轴上截取O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′＝1.5.(4)同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′＝0.5，C′H′＝3，D′F′＝2.5.(5)连线成图(去掉辅助线)(如图2)．10．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm、1.5 cm，高为1.5 cm的正三棱台的直观图．解：(1)画轴．画x轴、y轴、z轴三轴相交于O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；(2)画下底面．在y 轴的正方向上截取线段OC ，使OC ＝34 cm ，在y 轴负半轴上截取OD ＝38cm ，过D 作线段AB ∥x 轴，使D 为AB 中点，AB ＝1.5 cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面A ′B ′C ′(取O ′D ′＝315 cm ，A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝2315cm)． (4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC -A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．[B 能力提升]1．如图所示水平放置的正方形ABCO ，在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )A.22 B ．1C. 2D ．2 解析：选A.如图，由斜二测画法可知，在新坐标系x ′O ′y ′中，B ′C ′＝1，∠x ′C ′B ′＝45°，过B ′作x ′轴的垂线，垂足为D ，在Rt △B ′DC ′中，B ′D ＝B ′C ′sin 45°＝1×22＝22. 2. 如图所示，四边形ABCD 是一平面图形水平放置的直观图．在直观图中，四边形ABCD 是一直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，且BC 与y ′轴平行．若AB ＝6，CD ＝4，则这个平面图形的实际面积是________．解析：由斜二测画法规则知，该图的平面图形A ′B ′C ′D ′也是一直角梯形，其中B ′C ′⊥C ′D ′，A ′B ′＝6，C ′D ′＝4，B ′C ′＝2BC ＝2·6－4sin 45°＝42，所以原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为S A ′B ′C ′D ′＝12(6＋4)×42＝20 2. 答案：20 23．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．4．(选做题)如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．解：画法步骤：(1)如图①所示，在梯形ABCD 中，以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点，建立平面直角坐标系xOy .如图②所示，画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图①中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图②中，在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，A ′E ′＝AE ＝323≈2.598 cm ； 过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×32＝0.75 cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．。

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课堂达标·效果检测
1.长方形的直观图可能为下图中的哪一组( )
A.①②
B.①②③
C.②⑤
D.③④⑤
【解析】选C.由直观图的画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确.
2.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，
其中A′B′=A′C′，那么△ABC是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
【解析】选B.原图中，AB⊥AC，且AC≠2AB.
3.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′=6，B′C′=4，则AB边的长度是__________.
【解析】原图为Rt△ABC且AC=6，BC=4×2=8，
所以AB==10.
答案：10
4.水平放置的矩形ABCD长AB=4，宽BC=2，以AB，AD为轴作出斜二测直观图
A′B′C′D′，求四边形A′B′C′D′的面积.
【解析】平行线在斜二测直观图中仍为平行线，
所以四边形A′B′C′D′为平行四边形，∠D′A′B′=45°，A′B′=4，
A′D′=×2=1，D′E=1×sin45°=.
所以四边形A′B′C′D′的面积为4×=2.
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课时提升作业(二)直观图一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2018·绍兴高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图中，底面ABCD的直观图一定是( )A.正方形B.菱形C.矩形D.平行四边形【解析】选D.底面ABCD是正方形，在直观图中角与边的长度会改变，但对边的平行性不变，一定是平行四边形.2.(2018·亳州高一检测)如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的( )【解析】选C.直观图中有一条边与y′轴平行，两条边与x′轴平行，所以该图形为直角梯形.3. (2018·锦州高一检测)如图，△ABC的斜二测直观图为等腰Rt△A′B′C′，其中A′B′=2，则△ABC的面积为( )A.2B.4C.2D.4【解题指南】根据所给的直观图是一个等腰直角三角形且直角边长是2，求出直观图的面积，根据平面图形的面积是直观图的2倍，得到结果.【解析】选D.因为等腰Rt△C′A′B′是一平面图形的直观图，直角边长为A′B′=2，所以直角三角形的面积是×2×2=2，因为平面图形与直观图的面积的比为2∶1，所以原平面图形的面积是2×2=4.4.水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形【解析】选C.直观图是正三角形，三角形的底角为60°，大于45°，原图中有一个角大于90°，是钝角三角形.5.(2018·榆林高一检测)如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( )【解析】选A.直观图中正方形的边长为1，故对角线长为，所以在原图中一对角线的长为2.【举一反三】本例条件不变，则原图的周长为__________.【解析】原图中一条边长为1，另一条边长为=3，故周长为(1+3)×2=8.答案：86.(2018·银川高一检测)如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′=2，则△AOB的边OB上的高为( )A.2B.4C.2D.4【解析】选D.因为直观图与原图形中边OB长度不变，S原图形=2S直观图，所以有·OB·h=2××2·O′B′，所以h=4.二、填空题(每小题4分，共12分)7.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5m，10 m，四棱锥的高为8m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为______________.【解析】根据斜二测画法规则求解.答案：4cm，0.5cm，2cm，1.6cm8.(2018·聊城高一检测)已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为______________.【解析】圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+3=5(cm).在直观图中与z轴平行的线段长度不变，仍为5cm.答案：5cm9.已知△ABC的水平放置的直观图是等腰的Rt△A′B′C′，且∠A′=90°，A′B′=(如图)，则△ABC的面积是________.【解析】根据斜二测画法的规则，画出△ABC，如图所示，其中BC=B′C′=2，AB=2A′B′=2，∠ABC=90°，所以S△ABC=×2×2=2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2018·济宁高一检测)用斜二测画法作出长为4，宽为3的矩形的直观图. 【解析】画法：(1)如图①在已知矩形ABCD中，取AB，AD所在边为x轴、y轴，相交于O点(O与A重合)；画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′=45°，如图②.(2)在x′轴上取点A′(A′与O′重合)，B′使A′B′=AB，在y′轴上取D′，使A′D′=AD，过D′作D′C′平行于x′轴，且等于A′B′的长.(3)去掉辅助线，连接C′B′所得四边形A′B′C′D′就是矩形ABCD的直观图.11.(2018·丽水高一检测)有一棱柱，其底面为边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4cm，试画出此棱柱的直观图.【解析】(1)画轴.如图(1)所示，画x轴，y轴，z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°.(2)画底面.以点O为中点，在x轴上画MN=3cm，在y轴上画PQ=cm，分别过点M，N作y轴的平行线，过点P，Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，则四边形ABCD就是该棱柱的底面.(3)画侧棱.过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，A′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到棱柱的直观图，如图(2)所示.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2018·佛山高一检测)下列说法正确的是( )A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B.梯形的直观图可能是平行四边形C.矩形的直观图可能是梯形D.正方形的直观图是平行四边形【解析】选D.对于A.若两条直线中一条平行于x轴，一条平行于y轴，则直观图中两直线的夹角为45°，故A 错，原图中平行的线段在直观图中也平行，故B，C错.2.(2018·北京高一检测)一个三角形在其直观图中对应一个边长为4的正三角形，则原三角形的面积为( )A.8B.8C.4D.4【解题指南】利用直观图面积与原图面积比为∶4解答.【解析】选A.S直观图=×4×4×=4.由=，得S原图=8.【变式训练】若一个正三角形的边长为4，则其直观图的面积为________.【解析】S原图=×4×4×=4，由=，得S直观图=4×=.答案：3.如图，矩形A′B′C′D′是水平放置的图形ABCD的直观图，其中A′B′=6，A′D′=2，则图形ABCD为( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【解析】选C.将直观图还原如图所示，AB=A′B′=6，AE=2A′E′=4，DE=D′E′=2，DC=6，则在Rt△ADE中，AD==6，所以四边形ABCD为菱形.【误区警示】本题学生易由于只看到AB CD，忘了判断AD与AB的关系得四边形ABCD为平行四边形而出错. 4.(2018·宿州高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC=45°，AB=AD=1，OC⊥DC，原平面图形的面积为( )A.1+B.2+C.2+D.1+【解题指南】解答本题的关键是求原梯形的高，下底边长，故应过A作AE⊥BC于E.【解析】选C.过A作AE⊥BC，垂足为E，由题意知DC∥AE，AD∥EC，所以四边形ADCE为矩形.所以EC=AD=1，由∠ABC=45°，AB=AD=1知BE=，所以原平面图形是梯形且上下两底长分别为1和1+，高为2，所以原平面图形的面积为××2=2+.二、填空题(每小题4分，共12分)5.(2018·蚌埠高二检测)△ABC的面积为10，以它的一边所在直线为x轴画直观图后，其直观图的面积为__________.【解析】如图所示为△ABC的原图形和直观图.作A′D′⊥B′C′于D′，则A′D′为直观图B′C′边上的高，易求得A′D′=AO，所以S△A′B′C′=S△ABC=×10=.答案：6.如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是________.【解题指南】可大致画出其直观图进行判断，首先由三角形形状进行直观判断，形状确定后可求出相应角度、长度判断.【解析】根据斜二测画法知在(1)(2)(4)中，正三角形的顶点A，B都在x轴上，点C由AB边上的高线确定，所得直观图是全等的；对于(3)，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等.答案：(3)三、解答题 (每小题12分，共24分)7.如图是水平放置的由正方形ABCE和正三角形CDE所构成的平面图形，请画出它的直观图.【解析】画法：(1)以AB边所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，两轴相交于点O(如图(1))，画相应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′=45°(如图(2)).(2)在图(2)中，以O′为中点，在x′轴上截取A′B′=AB；分别过A′，B′作y′轴的平行线，截取A′E′=AE，B′C′=BC；在y′轴上截取O′D′=OD.(3)连接E′D′，D′C′，C′E′，并擦去辅助线x′轴和y′轴以及O′点，便得到平面图形水平放置的直观图(如图(3)).8.画出一个正四棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为6cm，8cm，高为4cm的正四棱台).【解题指南】先画出上、下底面(正方形)的直观图，然后画出整个正四棱台的直观图.【解析】(1)画下底面，画x轴，y轴，使∠xOy=45°，以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF=8cm.在y轴上取线段GH，使得GH=EF，GH的中点为O，再过G，H分别作AB∥EF，CD∥EF，AB=EF=CD=8cm，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面的直观图.(2)画z轴.三轴相交于点O，使z轴与x轴成90°.(3)画上底面，在z轴上截取线段OO1=4cm，过O1点作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，则∠x′O1y′=45°.建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中画出上底面的直观图A1B1C1D1.(4)再连接AA1，BB1，CC1，DD1，并擦去辅助线及相关点，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(图②).关闭Word文档返回原板块。

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课堂达标·效果检测
1.长方形的直观图可能为下图中的哪一组( )
A.①②
B.①②③
C.②⑤
D.③④⑤
【解析】选C.由直观图的画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确.
2.如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，
其中A′B′=A′C′，那么△ABC是( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.钝角三角形
【解析】选B.原图中，AB⊥AC，且AC≠2AB.
3.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′=6，B′C′=4，则AB边的长度是__________.
【解析】原图为Rt△ABC且AC=6，BC=4×2=8，
所以AB==10.
答案：10
4.水平放置的矩形ABCD长AB=4，宽BC=2，以AB，AD为轴作出斜二测直观图A′B′C′D′，求四边形A′B′C′D′的面积.
【解析】平行线在斜二测直观图中仍为平行线，
所以四边形A′B′C′D′为平行四边形，∠D′A′B′=45°，A′B′=4，
A′D′=×2=1，D′E=1×sin45°=.
所以四边形A′B′C′D′的面积为4×=2.
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直观图时间：分钟满分：分班级姓名分数一、选择题(每小题分，共×＝分)．水平放置的梯形的直观图是( )．梯形．矩形．三角形．任意四边形答案：解析：斜二测画法的规则中平行性保持不变，故选.．利用斜二测画法可以得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形．以上结论正确的是( )．①②．①．③④．①②③④答案：解析：因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以①②正确；对于③④，只有平行于轴的线段长度不变，所以不正确．．用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )答案：解析：直观图中的多边形为正方形，对角线的长为，所以原图形为平行四边形，位于轴上的对角线的长为.．已知一条边在轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为，则原正方形的面积是( )．．．或．以上都不对答案：解析：根据直观图的画法，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为的边如果平行于′轴，则正方形的边长为，面积为；长为的边如果平行于′轴，则正方形的边长为，面积是.．若用斜二测画法把一个高为的圆柱的底面画在′′′平面上，则该圆柱的高应画成()．平行于′轴且长度为．平行于′轴且长度为．与′轴成°且长度为．与′轴成°且长度为答案：解析：平行于轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选.．若一个水平放置的图形的直观图是一个底角为°且腰和上底均为的等腰梯形如图所示，则原平面图形的面积是( )．＋．＋答案：解析：由题意，知直观图中等腰梯形的下底为＋，根据斜二测画法规则，可知原平面图形为直角梯形，上底为，下底为＋，高为，所以其面积为＋.二、填空题(每小题分，共×＝分)．一条边在轴上的正方形的面积是，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是．答案：解析：正方形的面积为，则边长为，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为，高为，故面积为.．一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形，如图所示，∠＝°，＝＝，⊥，则这个平面图形的面积为．答案：解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为，下底为＋，高为，故面积为××＝＋.．给出下列各命题：()利用斜二测画法得到的三角形的直观图还是三角形；()利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图还是平行四边形；()利用斜二测画法得到的正方形的直观图还是正方形；()利用斜二测画法得到的菱形的直观图还是菱形；()在画直观图时，由于选轴的不同所画的直观图可能不同；()水平放置的矩形的直观图可能是梯形．其中正确的命题序号为．答案：()()()三、解答题(共分，＋＋)．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．解：．用斜二测画法画出图中水平放置的△的直观图．解：()在已知图中，以为坐标原点，以所在的直线及垂直于的直线分别为轴与轴建立平面直角。

1．利用斜二测画法，下列叙述正确的是()A．正三角形的直观图是正三角形B．平行四边形的直观图是平行四边形C．相等的线段在直观图中仍然相等D．全等三角形的直观图一定全等解析：斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比，所以平行四边形的直观图仍是平行四边形．答案：B2．(2012·德州高一检测)如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是()解析：由图可知，直观图中梯形的一腰与y′轴平行，故此平面图形应为直角梯形．答案：C3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为a cm(a>0)，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形OABC的周长是()A．8a cm B．6a cmC．(2a＋22a) cm D．4a cm解析：如图，把直观图还原得平行四边形OABC其中OA＝a，OB＝22a，故AB＝a2＋(22a)2＝3a∴原图形OABC的周长为C＝6a＋2a＝8a.答案：A4．(2012·杭州高一检测)如图，Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，直角边O′B′＝1，则这个平面图形的面积是()A．2 2 B．1C. 2 D．4 2解析：由直观图可知，原平面图形是直角三角形为AOB，其中OB＝1，AO＝2 2.∴S△AOB＝12×1×2 2＝ 2.答案：C5．如图，①②③所示的三个图中，可能是正△ABC的直观图的是________．解析：根据斜二测画法规则，能够画出正△ABC的直观图为③.答案：③6．如图，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，在直观图中梯形的高为________．解析：由原图形可知OA＝6，BC＝2，∠COD＝45°，则CD＝2，则直观图中的高h′＝C′D′sin 45°＝1×22＝22.答案：2 27．如图所示，梯形A′B′C′D′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，试将其恢复成原图形．解：(1)在水平放置的直观图中延长D′A′，交轴O′x′于E′.(2)如图所示，画互相垂直的轴Ox，Oy，取OE＝O′E′，过E作EF∥Oy，在EF上截取AE＝2A′E′，AD＝2A′D′，再过D作DC∥x轴，过A作AB∥x轴，并且截取DC＝D′C′，AB＝A′B′.(3)连接BC，则梯形ABCD即为原来的图形．8．用斜二测画法画上、下底边长分别为1.2 cm、2 cm，高为2 cm的正四棱台的直观图．解：(1)画轴，如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝2 cm，在y轴上取线段EF，使EF＝1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点E和F作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D.则四边形ABCD就是正四棱台的下底面．(3)画上底面．在z轴上取线段O′O＝2 cm.以O′为中点，过O′作M′N′平行于x轴，且M′N′＝1.2 cm，作E′F′平行于y轴且E′F′＝0.6 cm.再过点M′、N′分别作y轴的平行线，过点E′、F′作x轴的平行线，设它们的交点为A′、B′、C′、D′.则四边形A′B′C′D′就是正四棱台的上底面．(4)成图．顺次连接AA′、BB′、CC′、DD′，并加以整理，就得到正四棱台的直观图．如图②.。

"【世纪金榜】高中数学 1.2直观图课时提能演练北师大版必修2 "（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.给出以下几个结论:①水平放置的角的直观图一定是角.②相等的角在直观图中仍相等.③相等的线段在直观图中仍相等.④若两线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍平行.其中叙述正确的个数是( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）42.（2012·延安高一检测)水平放置的△ABC有一边在水平线上,它的直观图是正三角形A′B′C′,则△ABC是( )（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）任意三角形3.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′=3，则△ABC中AB边上的中线的长度为( )524.（2012·肇庆高一检测)对于一个底边在x轴上的三角形,采用斜二测画法作出其直观图,其直观图的面积是原三角形面积的( )（A）2倍（B）4（C）2倍（D）12倍二、填空题（每小题4分，共8分）5.（易错题)以正方形一组邻边为x轴、y轴的正方形的直观图是一个平行四边形,其中直观图中有一边长为4,则此正方形的面积是________.6.如图为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′=B′D′=2A′D′,由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD从小到大的顺序是_________.三、解答题（每小题8分，共16分）7.画出正六棱柱的直观图.8.如图,△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其恢复成原图形.【挑战能力】（10分）用斜二测画法画出多边形A1A2…A n的直观图A1′A2′…A n′,试探索多边形A1A2…A n与A 1′A 2′…A n ′的面积之间有无确定的数量关系(提示:先从三角形入手).答案解析1.【解析】选B.由正方形的直观图是邻边不等的平行四边形,知②③错误.在直观图中平行性不变,故④正确.由斜二测画法的规则知①正确.2.【解析】选C.如图,原图中∠BAC>90°.3.【解题指南】先将直观图还原为原图形，然后再求解.【解析】选A.原平面图形如图所示.∴AB ==∴AB边上的中线的长度为.2 4.【解析】选B.对于一个底边在x 轴上的三角形,其直观图在x 轴上的底边长度不变,对应的高是原三角形高的12⨯=,由此知其直观图的面积是原三角形面积的4. 【一题多解】一般性结论,对于特殊情况一定成立.作出Rt △ABO 及其直观图(如图),求它们的面积比即可.设OA=a,OB=2b,则O ′A ′=a,O ′B ′=b,S △ABO =ab,S △A ′B ′O ′=1a b ,224⨯= A B O ABO S 4，S ab '''==故选B. 5.【解析】若直观图中与x ′轴平行的那条边的长为4,则此正方形的面积为16；若直观图中与y ′轴平行的那条边的长为4,则此正方形的面积为82=64.答案：16或64【误区警示】本题易出现漏解，只得到一种答案的错误.6.【解析】将直观图还原为原图形如图，由三角形的有关性质可知，BO>AB>BD>OD.答案：OD<BD<AB<BO7.【解析】（1）画轴.画x ′轴、y ′轴、z ′轴，使∠x ′O ′y ′=45°，∠x ′O ′z ′=90°.（2）画底面.根据平面图形的直观图的画法画出正六边形的直观图ABCDEF.(3)画侧棱.过A 、B 、C 、D 、E 、F 各点分别作z ′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA ′、BB ′、CC ′、DD ′、EE ′、FF ′都等于侧棱长.(4)成图.顺次连接A ′、B ′、C ′、D ′、E ′、F ′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正六棱柱的直观图.8.【解析】(1)画直角坐标系xOy,在x 轴上取OA=O ′A ′,即CA=C ′A ′.(2)在原图中,过B ′作B ′D ′∥y ′轴,交x ′轴于D ′,在x 轴上取OD=O ′D ′,过D 作DB ∥y 轴,并使DB=2D ′B ′.(3)连接AB 、BC,则△ABC 为△A ′B ′C ′的原图形,如图所示.【挑战能力】【解析】(1)设有△ABC,CD 为高,AB 边平行于x 轴,其直观图为△A ′B ′C ′,则有C ′D ′=12CD,△A ′B ′C ′的高为C ′M=2C ′D ′=4CD,所以S △A ′B ′C ′=12A ′B ′·C ′M=12AB ·4CD=4△ABC . (2)当△ABC 的三边都不与x 轴平行时,必可过其一个顶点作与x 轴平行的直线与对边相交,不妨设可过A 作直线交BC 于D,则AD 将△ABC 分成两个三角形△ABD 和△ACD,由(1)可知S △A ′B ′C ′=S △A ′B ′D ′+S △A ′C ′D ′=4S △ABD +4△ACD =4S △ABC .(3)对多边形A1A2…A n,可连接A1A3,A1A4,…,A1A n-1,得到(n-2)个三角形, 即△A1A2A3,△A1A3A4,…,A1A n-1A n,由(1)和(2)知(.--''⋯'∆'''∆'''∆'''∆∆∆⋯=++⋯+=++⋯+=12n1231341n1n1231341n1n12nA A A A A A A A A A A多边形AA A A A A A A A A多边形A A AS S S SS S S）4S4综上可知,一个多边形与其直观图的面积之间有确定的数量关系.。

课时分层作业(二) 直观图(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．任意三角形B[∵A′B′∥y′轴，∴由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形．]2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的( )C[正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3，平行于y轴的边长为1.5.] 3．如下所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )A B C DA[由几何体的直观图的画法及主体图形中虚线的使用，知A正确．]4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别应为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.5 cm,1 m,0.8 cmC[由比例可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别应为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图特征，图形的尺寸应为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.]5．如图所示是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为( )A. 2B.22C．2 2 D．2A[由斜二测画法画出直观图，如图所示，作B′E⊥x′轴于点E，在Rt△B′EC′中，B′C′＝2，∠B′C′E＝45°，B′E＝B′C′sin 45°＝2×22＝ 2.]二、填空题6．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．10 [由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR 的周长为2×(3＋2)＝10.]7．如图，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________．22[由原图形可知OA＝6，BC＝2，∠COD＝45°，则CD＝2，则直观图中的高h′＝C′D′sin 45°＝1×22＝22.]8．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO的形状为________，面积为________ cm2.矩形8[由斜二测画法的特点，可知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO是个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.]三、解答题9．画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图．[解] (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图①所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②所示．(2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝12OD；过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝12EC.(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图．10．用斜二测画法画底面半径为1 cm，高为3 cm的圆锥的直观图．[解] 画法如下：(1)画x′轴和y′轴，两轴交于点O′，使∠x′O′y′＝45°；(2)分别在x′轴、y′轴上以O′为中心，作A′B′＝2 cm，C′D′＝1 cm，用曲线将A′，C′，B′，D′连起来得到圆锥底面(圆)的直观图，如图①；(3)画z′轴，在z′轴方向上取O′S＝3 cm，S为圆锥的顶点，连接SA′，SB′；(4)擦去辅助线，得到圆锥的直观图，如图②.①②1．如图所示，△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图，B ′在x ′轴上，A ′O ′和x ′轴垂直，且A ′O ′＝2，则△AOB 的边OB 上的高为( )A ．2B ．4C ．2 2D ．4 2D [由直观图与原图形中边OB 长度不变，得S 原图形＝22S 直观图，得12·OB ·h ＝22×12×2·O ′B ′，∵OB ＝O ′B ′，∴h ＝4 2.]2．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．不是矩形或菱形的平行四边形 C [如图，在原图形OABC 中， 应有OD ＝2O ′D ′＝2×2 2 ＝4 2 cm ，CD ＝C ′D ′＝2 cm ，∴OC ＝OD 2＋CD 2＝422＋22＝6 cm ，∴OA ＝OC ，故四边形OABC 是菱形．]。

课时作业3 直观图时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．下面说法正确的是(D)A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形B．两条相交的直线的直观图可能是两条平行直线C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直D．水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形解析：正方形的直观图中对应边互相平行，不可能是梯形，A错；两条相交的直线的直观图仍然相交，不可能平行，B错；互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直，C错，只有D正确．2．如图，直观图△A′B′C′(其中A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′)所表示的平面图形是(D)A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形解析：由A′C′∥O′y′，B′C′∥O′x′知，在原图形中，AC⊥CB，所以对应的平面图形为直角三角形．3．关于直观图画法的说法中，不正确的是(B)A．原图中平行于x轴的线段，其对应线段平行于x′轴，其长度不变B．原图中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，其长度不变C．画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时，∠x′O′y′可等于45°D．作直观图时，由于选轴的不同，所画直观图可能不同解析：由直观图的画法知平行于y轴的线段其对应线段平行于y′轴，长度为原来的一半．4．如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(A)解析：由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直．5．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为(D)A．2 B．4C．22D．4 2解析：由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝22S直观图，得12×OB×h＝22S直观图，得12×OB×h＝22×12×2×O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4 2.6．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(D)A.24a2B.433a2C.34a2D．22a2解析：根据斜二测画法画平面图形直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝24S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于a224＝22a2.7．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为(B)A．6cm B．8cmC．(2＋32)cm D．(2＋23)cm解析：建立直角坐标系，在x轴上截取OA＝O′A′，在y轴正方向截取OB＝2O′B′，以B为端点作BC∥x轴且BC＝B′C′，连接CO，便可得此直观图对应的原图形(如图所示)，其周长为8 cm.8．如图所示，用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1，其中A1B1＝B1C1，A1D1是B1C1边上的中线，由图形可知在△ABC中，下列四个结论中正确的是(C)A．AB＝AC＝BC B．AD⊥BCC．AC>AD>AB>BC D．AC>AD>AB＝BC解析：由斜二测画法的规则可知选C.二、填空题9．如图所示为水平放置的△ABO的直观图，由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD 由小到大的顺序是OD<BD<AB<BO.解析：由题中图知，原图中OD＝2，BD＝4，AD＝1，则AB＝BD2＋DA2＝17.BO＝BD2＋OD2＝25；∴OD<BD<AB<BO.10．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为2.5.解析：由于在直观图中∠A′C′B′＝45°，则在原图形中∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，斜边AB＝5，故斜边AB上的中线为2.5.11．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是2＋ 2.解析：由斜二测直观图画法的规则画出原图形，如图是等腰梯形A′B′C′D′的原平面图形，且AB＝2，BC＝1＋2，AD＝1，所以S梯形ABCD＝2＋ 2.三、解答题12．画水平放置的圆锥的直观图．解：画法：(1)画轴：如图，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；(2)画圆锥的底面：画出底面⊙O；(3)画圆锥的顶点：在Oz上截取点P，使得PO等于圆锥的高；(4)成图：连接P A、PB，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得圆锥的直观图．13．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．解：在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，如图所示，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D ′的面积为12×(1＋2)×24＝328.——能力提升类——14．已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 是一个( A )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：根据斜二测画法的原则，得BC ＝B ′C ′＝2，OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3，AO ⊥BC ，∴AB ＝AC ＝BC ＝2，∴△ABC 是等边三角形．15．在水平放置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′，如图所示，其中对角线A′C′在水平位置．已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：正方形A′B′C′D′的真实图形如图所示．∵A′C′在水平位置，四边形A′B′C′D′为正方形，∴在四边形ABCD中，DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，同理BC⊥AC，BC＝2B′C′＝2，∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。

直观图1．如下图，该直观图表示的平面图形为()．A ．钝角三角形C．直角三角形分析因为 AB ∥ y′轴， BC ∥x′轴，所以B ．锐角三角形D ．正三角形AB ⊥ BC ，所以△ ABC为直角三角形．答案C2．以下对于斜二测画法的表达中，正确的个数为()．(1)两条订交直线的直观图可能是平行直线；(2)两条相互垂直的直线的直观图仍旧垂直；(3)正方形的直观图可能是梯形；(4)平行四边形的直观图是平行四边形；(5)相等线段的直观图仍旧相等．A ．1B．2C．3D．4分析因为斜二测画法的保共点性，所以(1) 错；本来垂直的两直线，在直观图中夹角可能为 45°，所以 (2) 错；保平行性，所以 (3) 错， (4)对；与 y 轴平行的线段长度变成本来的一半，所以 (5)错．答案 A3．在以下选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是 ()．分析 C 中前者画成斜二测直观图时，底AB 不变，本来高h 变成h，后者画成斜二测直观2图时，高不变，边 AB 变成本来的1 2 .答案C4．利用斜二测画法画直观图时：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的选项是________________ ．分析斜二测画法保持平行性和订交性不变，即平行直线的直观图仍是平行直线，订交直线的直观图仍是订交直线，故①②正确；可是斜二测画法中平行于y 轴的线段，在直观图中长度为本来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错．答案①②5．水平搁置的△ABC 的斜二测直观图如下图，已知A′ C＝′3， B′ C＝′2，则 AB 边上的中线的实质长度为________．分析由直观图可知实质图形为直角三角形，且∠C＝ 90°，BC＝ 4，AC ＝ 3，∴ AB ＝ 5，AB 5边上中线为.5答案26．画出水平搁置的等腰梯形的直观图．解画法： (1)如图 (1)，取 AB 所在直线为x 轴， AB 中点 O 为原点，成立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′，y′使∠ x′O′＝y′45°.1(2) 以 O′为中点在x′轴上取 A′ B＝′AB ，在 y′轴上取 O′ E＝′ OE，以 E′为中点画C′ D′∥ x′轴，2并使 C′D＝′CD.(3)连结 B′ C、′D′ A，′所得的四边形 A′ B′ C就′是D′水平搁置的等腰梯形 ABCD 的直观图，如图(2)．综合提升限时 25分钟7．如下图，为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是以下选项中的() ．分析很显然平面图形是梯形，在直观图中，右侧的线段与y′轴平行，所以平面图形的上底与右侧的腰应垂直．答案C8．已知△ ABC 的平面直观图△A′ B′是C边′长为 a 的正三角形，那么原△ ABC 的面积为 ()．3 2 3 2622A. 2 aB.4aC. 2 aD. 6a分析画△ ABC 直观图如图 (1)所示：图 (1)图 (2)则 A′D＝′36 2 a，又∠ x′ O′＝y45′°，∴ A′ O＝′2 a.画△ ABC 的实质图形，则如图(2)所示，AO ＝ 2A′ O＝′ 6a， BC ＝ B′ C＝′a，62∴S△ABC＝2BC·AO ＝2 a .1答案C9 ．在正方体ABCD-A′ B′ C′中D，′E、 F 分别是A′A、 C′C的中点，则以下判断正确的选项是________( 只填序号 )．①四边形BFD′E在底面 ABCD 内的正投影是正方形；②四边形BFD′E在面 A′D′DA内的正投影是菱形；③四边形BFD′E在面 A′D′DA内的正投影与在面ABB′A′内的正投影是全等的平行四边形．分析①四边形 BFD′E的四个极点在底面 ABCD 内的投影分别是 B 、C、 D、 A ，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为 2，则 AE ＝ 1，取 D′D的中点 G，则四边形 BFD′E在面 A′D′DA内的投影是四边形 AGD′E，由 AE ∥ D′G，且 AE ＝ D′G，∴四边形 AGD′E是平行四边形，但 AE ＝1，D′E＝ 5，故四边形 AGD′E不是菱形．对于③由②知是两个边长分别相等的平行四边形，进而③正确．答案①③10．对于一个底边在x 轴上的三角形，采纳斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的 ________倍．分析因为平行于y 轴的线段其平行性不变，长度变成本来的一半，又直观图中∠x′O′＝y′12245°，∴ S′＝2×2 S＝4 S.答案2 411．把如下图的水平搁置的直观图A′ B′ C还′原D′为真实的平面图形．解画法： (1) 在水平搁置的直观图中延伸D′A，′交 x′轴于 E′.(2)如下图，画相互垂直的轴Ox ， Oy ，取 OE＝ O′ E，′过 E 作 EF∥ Oy，在 EF 上截取 AE＝ 2A′E，′AD ＝2A′D′，再过 D 作 DC ∥ x 轴，过 A 作 AB ∥ x 轴，而且截取DC ＝ D′C，′AB ＝ A ′B′.(3)连结 BC ，得直观图 A′ B′ C的′还D′原图形．12． (创新拓展 )一个四边形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为 1 的等腰梯形，求原四边形的面积．解如图 (1)是四边形的直观图，取B′C所′在直线为x′轴．因为∠ A′B′＝C′45°，所以取 B′A所′在直线为y′轴，过 D′作 D′E∥′A′B，′D′E交′ B′C于′ E′，则B′ E＝′A′ D＝′1.又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′为C′等腰直角三角形．所以E′C＝′ 2.x 轴上截取线段BC ＝B′C＝′1＋2，在y 轴再成立一个直角坐标系 xBy ，如图 (2) 所示，在上截取线段 BA ＝ 2B′A＝′2.过 A 作 AD ∥ BC ，截取 AD ＝A′D＝′ 1.连结 CD，则四边形ABCD 就是四边形A′B′C′的D实′际图形．1AD＝ 1，下底 BC＝ 1＋ 2，高 AB＝ 2，所以 S 梯形ABCD＝ AB·(AD 2 1＋ BC)＝2×2×(1 ＋ 1＋2) ＝ 2＋ 2.。

《直观图》提高练习本课时编写：崇文门中学高巍巍一、选择题1．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的命题个数．．．．．．．的是（）（1）用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形；（2）几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同；（3）水平放置的矩形的直观图是平行四边形；（4）水平放置的圆的直观图是椭圆；A. 1B. 2C.3D. 42.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝4，O′C′＝2，则原图形是()A．正方形B．矩形C．菱形D．梯形3．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是( )A．16 B．64 C．16或64 D．无法确定4. 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20m,5m,10m，四棱锥的高为8m，若按的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为()A．4cm,1cm, 2cm,1.6cm B．4cm,0.5cm,2cm,0.8cmC．4cm,0.5cm,2cm,1.6cm D．2cm,0.5cm,1cm,0.8cm5．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于( )A ．122+B ．12+ C ．1 D ．2二、填空题6．如图，是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是________．(第6题) （第7题）7．如图正方形ABCD 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________．8．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为____________．三、简答题9．如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．10．（1）用斜二测画法作出边长为3 cm 、高4 cm 的矩形的直观图；（2）画出正四棱锥的三视图．。

§2直观图1.下列叙述中正确的个数是( )①相等的角,在直观图中仍相等;②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等; ③若两条线段平行,在直观图中对应的线段仍平行; ④若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也相互垂直.A.0B.1C.2D.3解析:从原图到直观图只能保证平行的仍旧平行,故只有③正确,正确命题的个数只有1个.答案:B2.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )解析:按斜二测画法的规章,平行于x 轴或x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变,在y 轴上或平行于y 轴的线段长度在新坐标系中变为原来的12,并留意到∠xOy=90°,∠x'O'y'=45°,将图形还原成原图形知选C . 答案:C3.如图所示的是水平放置的三角形的直观图,D 是BC 边的中点,AB ,BC 分别与y'轴,x'轴平行,则原图形中三条线段AB ,AD ,AC 中( ) A.最长的是AB ,最短的是AC B.最长的是AC ,最短的是AB C.最长的是AB ,最短的是AD D.最长的是AC ,最短的是AD解析:依据直观图还原后的三角形ABC 中,AB ⊥BC ,因此AB<AD<AC. 答案:B4,水平放置的正方形ABCO ,在直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为(2,2),则由斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B'到x'轴的距离为( ) A.√22B.1C.√2D.2解析:如图所示,由斜二测画法可知,在新坐标系x'O'y'中,B'C'=1,∠x'C'B'=45°,过B'作x'轴的垂线,垂足为D ,在Rt △B'DC'中,B'D=B'C'sin 45°=1×√22=√22. 答案:A5.如图所示,正方形O'A'B'C'的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长为( ) A.6 cmB.8 cmC.(2+3√2) cmD.(2+2√3) cm解析:如图所示,原图形为OABC ,且OA=O'A'=1 cm,OB=2O'B'=2√2 cm,于是OC=AB=√(2√2)2+12=3(cm),故OABC 的周长为2×(1+3)=8(cm). 答案:B6.利用斜二测画法得到:①三角形的直观图肯定是三角形;②正方形的直观图肯定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图肯定是菱形.以上结论正确的是 .(只填序号) 答案:①7.已知菱形ABCD 的边长是4,∠DAB=60°,则菱形ABCD 的斜二测直观图的面积是 . 解析:由已知得BD=4,AC=4√3,且AC ⊥BD ,所以其斜二测直观图的面积为S=12×4√3×4×12×sin 45°=2√6. 答案:2√68.有一块多边形菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC ⊥BC ,则这块菜地的面积为 .解析:在直观图中,过点A 作AE ⊥BC ,垂足为E,则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=√22,而四边形AECD 为矩形,AD=1,∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC=√22+1.由此可还原原图形如图所示.在原图形中,A'D'=1,A'B'=2,B'C'=√22+1,且A'D'∥B'C',A'B'⊥B'C',∴这块菜地的面积为S=12(A'D'+B'C')·A'B'=12×(2+√22)×2=2+√22. 答案:2+√229,四边形OABC 是上底长为2,下底长为6,底角为45°的等腰梯形,用斜二测画法,画出这个梯形的直观图O'A'B'C',求在直观图中梯形的高.解:按斜二测画法得梯形的直观图O'A'B'C',如下图所示,原图形中梯形的高CD=2,在直观图中C'D'=1,且∠C'D'A'=45°,作C'E'垂直x'轴于点E',则C'E'即为直观图中梯形的高,那么C'E'=C'D'sin 45°=√22.10.画一个正三棱台的直观图.(尺寸为上、下底面边长分别为1 cm,2 cm,高为2 cm) 解:直观图如图所示.11.已知水平放置的△ABC 是正三角形,其直观图的面积为√64a 2,求△ABC 的周长. 解:画出△ABC 的真实图与直观图如图所示,则△ABC 是△A'B'C'的真实图形.设△ABC 的边长为x ,由斜二测画法,知A'B'=AB=x ,O'C'=12OC=√34x. 作C'D'⊥A'B',垂足为点D'.∵∠C'O'D'=45°, ∴C'D'=√22O'C'=√22×√34x=√68x , ∴S △A'B'C'=12A'B'·C'D'=12x×√68x=√616x 2. ∴√616x2=√64a 2,∴x=2a , ∴△ABC 周长为3×2a=6a.。