高中数学 第二章《函数的单调性》导学案 苏教版必修1

《函数的单调性》说课稿各位领导、老师你们好！我今天说课的内容是《函数的单调性》.以下我从五个方面来汇报我是如何研究教材、备课和设计教学过程的.一、教材分析教材：我选用的教材是苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学》（必修一）第二章2．1．3第一节《函数的单调性》.在备课中，我主要思考的问题是：教材的地位和作用是什么？学生在学习中可能会遇到什么困难？如何依据现代教育理论和新课程理念，设计教学过程？如何结合教学内容，发展学生能力？(一) 教学内容本节课内容教材共分两课时进行，这是第一课时，该课时主要学习函数的单调性的的概念，依据函数图象判断函数的单调性和依据定义证明函数的单调性.(二) 教材的地位和作用本节课是在学生学习了函数概念的基础上所研究的函数的一个重要性质，常伴随着函数的其它性质出现.它既是在学生学过函数概念图象、表示方法等知识后的延续和拓展，又是后面研究指数函数、对数函数、幂函数等各类函数的单调性的基础，在整个高中数学中起着承上启下的作用.研究函数单调性的过程体现了数学的“数形结合”和“从一般到特殊”的思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义.函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质．并且在比较几个数的大小、对函数作定性分析、以及与其他知识的综合应用上都有广泛的应用．（三）学情分析知识上已经掌握了一次函数、二次函数的图象和基本性质以及集合等内容，但对知识的理解和方法的掌握一些细节上不完备，反应在解题中就是思维不缜密，过程不完整；能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强；情感上多数学生有积极的学习态度，能主动参与研究，少数学生的学习主动性还需要通过营造一定的学习氛围来加以带动.根据上述教学内容的地位和作用，结合教学大纲和学生的实际，确定了以下教学重点和难点：（四）教材的重点﹑难点﹑关键及成因教学重点：函数单调性的概念与判断，单调区间的概念.教学难点：知识教学方面：简单函数单调性的判定.如何启发学生自己构思出函数单调性的判定方案.情感教育方面：如何营造课堂积极求解的氛围，以激发学生的创造力，增强学生知难而进的决心.关键：从学生的学习心理和认知结构出发，讲清楚概念的形成过程．二：目标分析新课程倡导课堂教学要实现多维目标：知识与能力，过程与方法，情感、态度与价值观.知识与能力，既是课堂教学的出发点，又是课堂教学的归宿.教与学，都是通过知识与能力来体现的.知识与能力是传统教学合理的内核，是我们应该从传统教学中继承的东西.在本节课中我确定如下知识目标：让学生理解增函数和减函数的定义，并能根据定义证明函数的单调性；让学生了解函数的单调区间的概念，并能根据函数图象说出函数的单调区间.能力目标：通过证明函数的单调性的学习，使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式，培养学生的观察能力，分析归纳能力，领会数学的归纳转化的思想方法，增加学生把学过的知识联系，增强学生对知识的主动构建的能力.通过题组的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力.过程与方法，既是课堂教学的目标之一，又是课堂教学的操作系统.新课程倡导对学与教的过程的体验、方法的选择，是在知识与能力目标基础上对教学目标的进一步开发.在本节课中我把“培养学生严密的逻辑思维能力以及用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，以提高学生的思维品质，通过函数的单调性的学习，掌握自变量和因变量的关系.通过多媒体手段激发学生学习兴趣，培养学生发现问题、分析问题和解题的逻辑推理能力.”作为本节课的过程与方法目标情感、态度与价值观，既是课堂教学的目标之一，又是课堂教学的动力系统.新倡导对学与教的情感体验、态度形成、价值观的体现，是在知识与能力、过程与方法目标基础上对教学目标深层次的开拓.情感目标：让学生积极参与观察、分析、探索等课堂教学的双边活动，在掌握知识的过程中体会成功的喜悦，以此激发求知欲.思想目标：在引导学生观察、发现、归纳的过程中，渗透“数形结合”、“从特殊到一般”等数学思想方法，在得出数学概念、推理、论证数学结论的过程中培养学生的逻辑推理能力和创新意识，使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析的良好思维习惯，引导学生形成学以致用的意识.同时，培养学生对数学美的艺术体验.确定教学目标的依据：确定以上教学目标，不仅仅是新课程标准的要求，同时也符合高一学生的认知特点.高一学生正处于以感性思维为主的年龄阶段，而且思维逐步地从感性思维过渡到理性思维，并由此向逻辑思维发展，但学生思维不成熟、不严密、意志力薄弱，故而整个教学环节总是创设恰当的问题情境，引导学生积极思考，培养他们的逻辑思维能力.以上教学目标是根据教学大纲、教学内容及学生的学习心理和认知结构来确定的三：教法分析新课程标准认为课堂教学不仅仅是教师的教，更是学生主动参与、对知识自主建构的过程.这里我从教法、学法和教学手段三个方面进行说明：（一）教学方法本节课采用问答式教学法、探究式教学法，教师在课堂中只起着带路人向导作用，让学生在教师的提问中自觉的发现新知，探究新知.并且加入激励性的语言提高学生的积极性，提高学生参与知识形成的全过程.在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握.按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数，学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强.根据以上分析，本节课教学方法以在多媒体辅问答式教学法、探究式教学法为主.其基调为：自主探索、合作交流、归纳总结、练习巩固，注重“引、思、探、练”的结合.（二）学习方法建构主义理论认为：知识不是被动接受的，而是认知主体积极主动建构的.现代教育心理学的研究认为：有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的.在本节课中，对学生来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质．学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味．因此，在设计教案时，加强了对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东西，其中甚至包含着辩证法的原理.因而：自我探索、自我思考总结、归纳，自我感悟，合作交流，成为本节课学生学习的主要方式.四：过程分析本节课的教学过程包括：问题情景、学生活动、建构数学、数学应用、回顾总结和课外作业六个板块.这里分别就其过程和设计意图一一分析.（一）问题情景：为了激发学生的学习兴趣，本节课设计了两个生活背景问题：“近三个月新浪NASDAQ股票走势（图表）”和“某一天温度的变化图象”，前者来源于网络，后者来源于教材.并就图表和图象所提高的信息，提出一系列问题和学生交流（详见教案和PPT），激发学生的学习兴趣和求知欲望，为学习函数的单调性做好铺垫.新课程理念认为：情境应贯穿课堂教学的始终.在引发主动学习的启动环节，其基本功能和作用表现在两个方面：一是通过特定的情境，激活学习的问题意识，形成基于问题的学习任务，从而展开提出问题、分析问题、解决问题的学习活动；二是通过特定的情境，使问题与学生原有认知结构中的经验发生联系，激活现有的经验去“同化”或“顺应”学习活动中的新知识，赋予新知识以个体意义，导致认知结构的改组或重建.本节课所创设的生活情境，让学生亲近数学，感受到数学就在他们的周围，强化学生的感性认识，从而达到学生对数学的理解.让学生在课堂的一开始就感受到数学就在我们身边，让学生学会用数学的眼光去关注生活.（二）学生活动在本节课中，要求学生作出函数y=x+1，y=-2x+1，1yx =，2y x=的图象，并就其图象进行比较，分析其变化趋势.并探讨、回答以下问题：问题1、观察下列函数图象，并指出图象的变化的趋势问题2：你能明确说出“图象呈上升趋势”的意思吗？问题3：你能明确说出“图象呈下降趋势”的意思吗？通过学生的交流、探讨、总结，得到单调性的“通俗定义”：结合学生自己的作图和多媒体演示，让学生继续讨论，为学生构建单调性的概念做好铺垫.【设计意图】①：通过学生熟悉的知识引入新课题，有利于激发学生的学习兴趣和学习热情，同时也可以培养学生观察、猜想、归纳的思维能力和创新意识，增强学生自主学习、独立思考，由学会向会学的转化，形成良好的思维品质.②：通过学生已学过的一次函数y=x+1，y=-2x+1，二次函数y=x2和反比例函数1yx的图象的动态形式形象地反映出x、y间的变化关系，使学生对函数单调性有感性认识. ③：从学生的原有认知结构入手，探讨单调性的概念，符合“最近发展区的理论”要求.④：从图形、直观认识入手，研究单调性的概念，其本身就是研究、学习数学的一种方法，符合新课程的理念；⑤：按排学生讨论与交流，既培养学生的自主性和能动性，同时也培养了学生的合作精神.而合作学习，也是新课程的一个要求.（三）建构数学在前面的基础上，让学生讨论归纳：如何使用数学语言来准确描述函数的单调性呢？在学生回答的基础上，给出概念.同时要求学生讨论概念中的关键词和注意点.同时，提出单调区间的概念.【设计意图】通过给出函数单调性的严格定义，目的是为了让学生更准确地把握概念，理解函数的单调性其实也叫做函数的增减性，它是对某个区间而言的，它是一个局部概念，同时明确判定函数在某个区间上的单调性的一般步骤.这样处理，同时也是让学生感悟、体验学习数学感念的方法，提高其个性品质.（四）应用数学在理解概念的基础上，让学生总结判别函数单调性的方法：图象法和定义法.并完成下列几个问题：例1．下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出函数y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝f（x）是增函数还是减函数.例2．猜想并证明函数1()1f xx=--在区间（0，＋∞）上的单调性.在本题的解决过程中，我首先要求学生对照定义进行分析，明确本题要解决什么？定义的要求是什么？这样去思考？通过自己的解决，总结证明单调性问题的一般方法.通过本题的解决，实现知识内化，即通过解决是什么（陈述性知识）和为什么（建立知识间的联系）的问题，把握知识规律，形成学科技能，即通过知识的应用，把握知识应用规律.同时，在解题的过程中，把学生常犯的错误，通过投影仪展示，让学生分析其原因.【设计意图】新课程要求：做到“用教材教，而不是教教材”，新课程标准允许教师根据教学目标，遵循拓展、开放、综合的原则，选择教学内容.在本节课中，例1是一道补充题，例1的解决强化学生应用数形结合的思想方法解题的意识，进一步加深对概念的理解，同时也是依托具体问题，对单调区间这一概念的再认识；例2是课本例题的改编，通过例2的解决，让学生归纳证明单调性的一般步骤，使学生初步掌握运用概念进行简单论证的基本方法，强化证题的规范性训练，从而提高学生的推理论证能力.通过解题，帮助学生初步构建解题模式.心理学认为：“课堂上只有经常性启发学生动手、动口、动脑，自己去发现问题，解决问题，才能使学生始终处于一种积极探索知识，寻求答案的最佳学习状态中.及时提出问题，让学生来找错误，这样就自然地延长了学生对这一学习材料的感知时间和强度.数学课堂上，要落实学生的主体地位，重点和关键是要让学生在课堂上独立思考，使学生敢想、敢说，不受约束地去探究、思考.练习：判断函数：y=x2-2x+1在区间(1，+ ∞)上是单调增函数还是单调减函数思考：二次函数的单调性有没有什么规律？【设计意图】通过课堂练习加深学生对概念的理解，进一步熟悉证明或判断函数单调性的方法和步骤，达到巩固，消化新知的目的.同时强化解题步骤，形成并提高解题能力.对练习的思考，让学生学会反思、学会总结.（五）回顾总结通过师生互动，回顾本节课的概念、方法.【设计意图】①：体现“教师为主导，学生为主体”的思想.②：通过小结使学生对本节课所学知识的结构有一个明晰的认识，能抓住重点进行课后复习.（六）课外作业(1)：P37 练习：1、2、5、6(2)：数学日记：谈谈你本节课中的收获或者困惑，整理你认为本节课中的最重要的知识和方法.【设计意图】通过作业（1）进一步巩固本节课所学的增、减函数的概念，强化基本技能训练和解题规范化的训练，并且以此作为学生对本结内容各项目标落实的评价.新课标要求：不同的学生学习不同的数学，在数学上获得不同的发展.作业（2）这种新型的作业形式是其很好的体现.一节数学课的学习，不同的学生的体验、感悟是不同的，通过数学日记，要求学生对所学内容进行总结，以形成一定的结论，并将其纳入到原有的知识体系中，最终将原有知识经验进行改造和重组，形成清晰准确的知识块，有利于学生将课堂上的短时记忆转化为长时记忆，使所学知识系统化.写数学日记的过程，就是学生反思数学学习的一次思维过程.数学日记要求学生在课后及时描述、追问自己在课堂上探索问题、发现问题的过程，学生能对数学思想方法的运用经常进行比较、反思，从而对数学思想方法的认识、把握、运用的水平就会不断的提高.数学日记为学生创设了一个用数学语言或自己的语言表达数学认知过程、思想方法和情感态度价值观的平静的港湾，利于学生放开思绪自主建构自己所理解的数学，利于不同学生学习不同的数学，不同的学生在数学上获得不同的发展.学生写数学日记，可以象和自己谈心一样写出他们自己的情感态度、困难之处或感兴趣之处.教师也可以从中全面了解学生认知过程中的迷惘困惑，顿悟觉醒，感触到学生心灵深处的自卑或自傲、痛楚或快乐.使教师深入了解每个学生对数学的不同了解，从中辨别学生是否在意义上建构数学知识.便于教师有的放失得进行个别辅导，及时帮助学生纠正不良建构，培养学生数学学习的兴趣和信心.（七）板书设计（见ppt）五：评价分析现代教育心理学的研究认为，有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的，因此我在教学设计过程中注意了：（1）在学生已有知识结构和新概念间寻找“最近发展区”．（2）设法走出“概念一带而过，演习铺天盖地”的误区，促使自己与学生一起走进“重视探究、重视交流、重视过程”的新天地.建构主义理论认为：知识不是被动接受的，而是认知主体积极主动建构的.本课的教学设计正是在这种教学理念的指导下，让学生经历“创设情境——探究概念——注重反思——拓展应用——归纳总结”的活动过程，体验参与数学知识的发生、发展过程，发展“用数学”的意识和能力，成为积极主动的建构者.在本节课中，根据学生能力的高低，学生是否具有问题意识，是否善于发现和提出问题. 在解决问题中，能否既独立思考又与他人交流与合作，能否对解决问题的方案进行质疑、调整和完善，在设计本教案时，增加了教案的弹性设计，设置不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程. 与此同时，教师应不失时机地鼓励、肯定和表扬学生，调动课堂学习氛围，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想，实践新的教育理念.总之：在本节课中，围绕着教学的重点，针对教学目标，利用多媒体技术，展现知识的发生过程，是学生始终处于问题探索研究状态之中，激情引趣.注重数学科学研究方法的掌握，是研究性教学的一次有益尝试.以上是我对本节课教学设计的一些肤浅的认识，不到之处，望多指正.。

高中数学《函数的单调性》说课稿教案模板一、教材分析1、本节内容在全书及章节的地位：《函数的单调性》是必修1第一章第3节。

是高考的重点考查内容之一，是函数的一个重要性质，在比较几个数的大小、求函数值域、对函数的定性分析以及与其他知识的综合上都有广泛的应用。

通过对这一节课的学习，可以让学生加深对函数的本质认识。

也为今后研究具体函数的性质作了充分准备，起到承上启下的作用。

2、教学目标：根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知水平我制定如下教学目标：基础知识目标：了解能用文字语言和符号语言正确表述增函数、减函数、单调性、单调区间的概念;明确掌握利用函数单调性定义证明函数单调性的方法与步骤;并能用定义证明某些简单函数的单调性;能力训练目标：培养学生严密的逻辑思维能力、用运动变化、数形结合、分类讨论的方法去分析和处理问题，情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。

重点：形成增(减)函数的形式化定义。

难点。

形成增减函数概念的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减数学符号语言表述;用定义证明函数的单调性。

为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈：二、教法在教学中我使用启发式教学，在教师的引导下，创设情景，通过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法。

三、学法倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。

数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。

我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳。

在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了①创设情境——引入概念②观察归纳——形成概念③讨论研究——深化概念④即时训练—巩固新知⑤总结反思——提高认识⑥任务后延——自主探究六个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。

《函数的单调性》教学设计一、教学内容解析1. 教材内容及地位本节课是人教版版《数学》(必修1)第二章第3节函数单调性的第一课时，主要学习用符号语言(不等式)刻画函数的变化趋势(上升或下降)及简单应用.它是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性质，为后继学习奠定了理性思维基础.如研究幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质，包括导函数内容等；在对函数定性分析、求最值和极值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及与其他知识的综合问题上都有重要的应用.因此，它是高中数学核心知识之一，是函数教学的战略要地.2. 教学重点函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性.3. 教学难点函数单调性概念的生成，证明单调性的代数推理论证.二、学生学情分析1. 教学有利因素学生在初中阶段，通过学习一次函数、二次函数和反比例函数，已经对函数的单调性有了“形”的直观认识，了解用“V随X的增大而增大(减小)”描述函数图象的上升(下降)的趋势.亳州一中实验班的学生基础较好，数学思维活跃，具备一定的观察、辨析、抽象概括和归纳类比等学习能力.2. 教学不利因素本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象，从直观到抽象、从有限到无限是个很大的跨度.而高一学生的思维正处在从经验型向理论型跨越的阶段，逻辑思维水平不高，抽象概括能力不强.另外，他们的代数推理论证能力非常薄弱.这些都容易产生思维障碍.三、课堂教学目标1.理解函数单调性的相关概念.掌握证明简单函数单调性的方法.2.通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法.3.通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量.4.引导学生参与课堂学习，进一步养成思辨和严谨的思维习惯，锻炼探究、概括和交流的学习能力.四、教学策略分析在学生认识函数单调性的过程中会存在两方面的困难：一是如何把“随x 的增大而增大(减小)”这一描述性语言“翻译”为严格的数学符号化语言，尤其抽象概括出用“任意”刻画“无限”现象；二是用定义证明单调性的代数推理论证.对高一学生而言，作差后的变形和因式符号的判断也有一定的难度.为达成课堂教学目标，突出重点，突破难点，我们主要采取以下形式组织学习材料：1. 指导思想.充分发挥多媒体形象、动态的优势，借助函数图象、表格和几何画板直观演示.在学生已有认知基础上，通过师生对话自然生成.2.在“创设情境”阶段.观察并分析沙漠某天气温变化的趋势，结合初中已学函数的图象，让学生直观感受函数单调性，明确相关概念.3.在“引导探索”阶段.首先创设认知冲突，让学生意识到继续学习的必要性；然后设置递进式“问题串”,借助多媒体引导学生对“随x 的增大而增大”进行探究、辨析、尝试、归纳和总结，并回顾已有知识经验，实现函数单调性从“直观性”到“描述性”再到“严谨性”的跨越.4. 在“学以致用”阶段.首先通过3个判断题帮助学生从正、反两方面辨析，逐步形成对概念正确、全面而深刻的认识.然后教师示范用定义证明函数单调性的方法，一起提炼基本步骤，强化变形的方向和符号判定方法.接着请学生板演实践.五、教学过程(一)通过问题，引入课题分别作出函数y=x+1,y=-x+1,y=x²的图像，并且观察自变量变化时，函数图像有什么变化趋势?y=-x+10 1X1y=x²1问题一问题二如何描述函数图像的上升或下降?图像上升，y 随着x的增大而增大图像上升，y随着x的增大而减小向题三如何用符号化的数学语言来描述y 随着x 的增大而增大呢?(二)引导探究，生成概念探究在函数y=f(x)的给定区间上任取x₁,x₂,当x₁<x₂时，有f(x)<f(x₂),这时我们就说函数y=f(x)在给定区间上是增函数.单调性的定义一般的，设函数f(x) 的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有_f(x)<f(x₂),那么就说函数f(x) 在区间D上是增函数；如果对于定义域I内某个区间D 上的任意两个自变量的值x₁,x₂,当x₁<x₂时，都有f(x)>f(x),那么就说函数f(x) 在区间D上是减函数；如果函数y=f(x) 在区间D上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性；区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间(三)学以致用，理解感悟概念理解( 1 ) 已知,因为f(-1)<f(2), 所以函数f(x)是增函数.(2)能不能说y= (x≠0)定义域(-∝,0)∪(0,+∝)上是单调减函数？(3)对于函数f(x),x∈D,若x,x₂∈D,(x₂-x) [f(x₂)-f(x₁)]>0 ,则函数f(x)在D上是增函数.(4)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且x₁<x₂,则f(x)>f(x₂).- 用于比较函数值的大小(5)y=f(x) 在区间D上是减函数，若x,x₂∈D,且f(x₁)>f(x₂),则x₁<x₂…用于比较自变量值的大小概念升华：(1)x,x₂具有任意性；(2)单调性是相对区间而言的，在一点处不具有单调性，单调区间之间用“,”隔开(不可用“U”符号连接)(3)定义的等价变形；(4)“知二推一”的应用典型例题—根据图像，指出函数的单调区间，并指明函数在这些区间上的增减性。

3.2.1 函数的单调性与最大（小）值1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性概念；2.掌握增（减）函数的证明与判断；3.能利用单调性求函数的最大（小）值；4.学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

1.教学重点：函数单调性的概念，函数的最值；2.教学难点：证明函数的单调性，求函数的最值。

1、增函数与减函数的定义：一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有 ，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数。

一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有 ，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数2.函数的单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是 ，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的 。

3.函数的最大（小）值一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x) M ，存在x 0∈I ，使得 ＝M 。

称M 是函数y ＝f(x)的最大值。

一般地，设函数y ＝f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有f(x) M ，存在x 0∈I ，使得 ＝M 。

称M 是函数y ＝f(x)的最小值。

一、探索新知探究一 单调性1、思考：如何利用函数解析式2)(x x f 描述“随着x 的增大，相应的f(x)随着增大？”2、你能类似地描述2)(x x f =在区间)0,(-∞上是减函数吗？3、思考：函数||)(x x f =，2)(x x f -=各有怎样的单调性 ？吗？该区间上一定是增函数在那么函数且满足在定义域的某区间上、思考：函数)(),()(,,存在)(4212121x f y x f x f x x x x x f y =<<=5、思考：函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗？你能举出在定义域内的某些区间单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗？牛刀小试：1、如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一个单调区间上,f(x)是增函数还是减函数。

《函数的单调性》教学设计宁陕中学谢贤会【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。

在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。

掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

【教学目标】知识与技能：1．通过生活中的例子帮助学生理解函数的单调性和单调函数的意义。

2．学会判断和证明简单函数的单调性。

过程与方法：1．通过探究与活动，使学生明白考虑问题要细致，说理要明确。

2．培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力。

情感与态度：1．通过本节课的教学，使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。

2．体会感悟数形结合的重要数学思想。

2．通过生活实例感受函数单调性的意义，培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。

【重点难点】重点：函数单调性的概念，判断和证明简单函数的单调性。

难点：函数单调性概念（数学符号语言）的认知，应用定义证明单调性的代数推理论证。

关键：增函数与减函数的概念的理解。

授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪【教法分析】为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。

3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。

【学法分析】在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。

然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。

整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。

高中必修一数学教案《函数的单调性》教材分析函数的单调性与最值指的是在初中基础上对函数的单调性的再认识，是利用集合与对应的思想理解函数的定理，从而加深对抽象函数单调性的定义理解，根据定义，证明函数的单调性，理解单调区间以及理解函数最大（小）值的定义并掌握其求法。

因为函数的单调性是初等数学与高等代数学衔接的枢纽，是函数的第一个也是最基本的性质，为研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及导函数的内容，对函数定性分析、求极值最值、比较大小、解不等式、判定零点都有重要的作用，所以具有重要的地位。

学情分析本节课的教学对象是高一理科的学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境以及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，不过由于年龄和思维原因，看问题容易片面。

在之前的学习中，学生已经掌握了函数的三要素，并且学生初中学过y随x的增大而增大（或减小），这些都有利于学生的理解。

但是本节课的单调性的定义更抽象，对学生而言是一个较大的考验。

教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；2、掌握增（减）函数的证明和判别，学会运用函数图象理解和研究函数的性质，能利用函数图象划分函数的单调区间。

教学重点形成增减函数的定义。

教学难点在形成增减函数概念的过程中，从函数升降的直观认识，过渡到增减函数的数学符号语言表述；用定义证明函数的单调性。

教学方法讲授法，演示法，讨论法，练习法教学过程一、情境导学我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题。

德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似图3-1-7所示的记忆规律。

如果我们以x表示时间间隔（单位：h），y表示记忆保持量，则不难看出，图3-1-7中，y是x的函数，记这个函数为y = f（x）这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？二、教学过程1、单调性的定义与证明情境中的函数y = f（x）反映出记忆的如下规律：随着时间间隔x的增大，记忆保持量y将减小。

．函数的单调性(一)
学习目标.理解函数单调区间、单调性等概念.会划分函数的单调区间，判断单调性.会用定义证明函数的单调性．
知识点一函数的单调性
思考画出函数()＝、()＝的图象，并指出()＝、()＝的图象的升降情况如何？
梳理一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为单调增函数，该区间称为单调增区间．反之则为单调减函数，相应区间称为单调减区间．因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：
设函数＝()的定义域为，区间⊆.
()如果对于区间内的任意两个值，，当<时，都有()<()，那么就说＝()在区间上是单调增函数，称为＝()的单调增区间．
()如果对于区间内的任意两个值，，当<时，都有()>()，那么就说＝()在区间上是单调减函数，称为＝()的单调减区间．
单调增区间和单调减区间统称为单调区间．
知识点二函数的单调区间
思考我们已经知道()＝的单调减区间为(－∞，]，()＝的单调减区间为(－∞，)，这两个单调减区间的书写形式能不能交换？
梳理一般地，有下列常识
()函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．
()单调区间⊆定义域.
()遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
类型一求单调区间并判断单调性
例
如图是定义在区间[－]上的函数＝()，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间。