2．4 正态分布
1．问题导航
(1)什么是正态曲线和正态分布？
(2)正态曲线有什么特点？曲线所表示的意义是什么？ (3)怎样求随机变量在某一区间范围内的概率？ 2．例题导读
请试做教材P 74练习1题．
1．正态曲线
函数φμ，σ(x )＝1
2πσ
e －（x －μ）2
2σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，
φμ，σ(x )的图象为__________________正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．正态分布
一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛a
b φ
μ，σ
(x)d x ，
则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数________μ和________σ确定，因此正态分布常记作____________N(μ，σ2)，如果随机变量X 服从正态分布，则记为________X ～N (μ，σ2)．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ(x)＝1
2πσ
e －（x －μ）22σ2，x ∈R 有以下性质：
(1)曲线位于x 轴________上方，与x 轴________不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线________x ＝μ对称；
(3)曲线在________x ＝μ处达到峰值________1
σ2π
；
(4)曲线与x 轴之间的面积为________1；
(5)当________σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移，如图①；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ________越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ________越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.
4．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝________0.682_________6； P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝________0.954_________4； P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝________0.997_________4．
1．判断(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数φμ，σ(x )中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．( )
(2)正态曲线是单峰的，其与x 轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．( ) (3)正态曲线可以关于y 轴对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√
2．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ≤C )＝P (X ＞C )，则C ＝( ) A ．0 B ．σ C ．－μ D ．μ 答案：D
3．已知随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，则P (X ＜3)＝( ) A.15 B.14 C.13 D.12
答案：D
4．已知正态分布密度函数为f (x )＝12πe －x 2
4π，x ∈(－∞，＋∞)，则该正态分布的均值
为________，标准差为________．
答案：0
2π
正态分布的再认识
(1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．μ＝0，σ＝1的正态分布叫做标准正态分布．
(2)正态分布定义中的式子实际是指随机变量X 的取值区间在(a ，b ]上的概率等于总体密度函数在[a ，b ]上的定积分值．
(3)从正态曲线可以看出，对于固定的μ而言，随机变量在(μ－σ，μ＋σ)上取值的概率随着σ的减小而增大．这说明σ越小，X 取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率越大，即X 集中在μ周围的概率越大．对于固定的μ和σ，随机变量X 取值区间越大，所对应的概率就越大，即3σ原则．
正态分布密度曲线
如图是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，
求出总体随机变量的均值和方差．
[解] 从正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为1
2π
，
所以μ＝20，12πσ＝1
2π，
∴σ＝ 2.
于是φμ，σ(x )＝1
2π·e －（x －20）24，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，
方差是σ2
＝(2)2＝2.
利用图象求正态密度函数的解析式，应抓住图象的实质，主要有两点：一是对称轴x ＝
μ，另一是最值1
σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入便可求出相应的
1．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为1
42π .求该正
态分布的概率密度函数的解析式．
解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0.
由于12πσ＝1
2π·4
，得σ＝4，
故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φ
μ，σ(x )＝14
2πe －x 2
32
，x ∈(－∞，＋∞)．
求正态分布下的概率
设X ～N (1，22)，试求：
(1)P (－1＜X ≤3)；(2)P (3＜X ≤5)．
[解] 因为X ～N (1，22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.682 6.
(2)因为P (3＜X ≤5)＝P (－3≤X ＜－1)， 所以P (3＜X ≤5)
＝1
2[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝1
2[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝1
2[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝1
2
(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. [互动探究] 在本例条件下，试求P (X ≥5)． 解：因为P (X ≥5)＝P (X ≤－3)， 所以P (X ≥5)＝1
2[1－P (－3＜X ≤5)]
＝1
2[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝1
2[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝1
2
(1－0.954 4)＝0.022 8.
(1)求解本类问题的解题思路是充分利用正态曲线的对称性，把待求区间的概率转化到已知区间的概率．这一转化过程中体现了数形结合思想及转化化归思想的应用．
(2)常用结论有
①对任意的a ，有P (X ＜μ－a )＝P (X ＞μ＋a )； ②P (X ＜x 0)＝1－P (X ≥x 0)；
③P (a ＜X ＜b )＝P (X ＜b )－P (X ≤a )．
2．(1)(2015·高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为( )
(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)
A ．4.56%
B ．13.59%
C ．27.18%
D ．31.74%
解析：选B.由正态分布的概率公式知P (－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P (－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P (3＜ξ＜6)＝P （－6＜ξ＜6）－P （－3＜ξ＜3）2＝0.954 4－0.682 6
2＝0.135 9＝13.59%，
故选B.
(2)设随机变量X ～N (4，σ2)，且P (4＜X ＜8)＝0.3，则P (X ＜0)＝________．
