食饵—捕食者模型稳定性分析[1]

《数学建模》课程教学论文题目：具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型专业：班级：学号：学生姓名：完成日期：⇒,,,>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=d b a r bxy dy dtdy axy rx dt dx ()⎩⎨⎧+-=-=)()()(bx d y t y ay r x t x 研究具有自身阻滞作用的食饵-捕食者模型摘要：讨论具有作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定性的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论的正确性。

研究自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者，目的是延迟或阻止自身反应过程的发生和发展，运用Volterra 模型和Logsitic 规律的功能研究自身阻滞作用，由稳定性和相轨线来论证。

关键词： 食饵-捕食者系统 自身阻滞 平衡点稳定性 符号说明：;食饵的数量--x 捕食者的数量；--y;)(时刻的数量食饵在t t x --时刻的数量；捕食者在t t y --)(r --食饵独立生存时的增长率；a --捕食者掠取食饵的能力b --食饵对捕食者的供养能力；d --捕食者独自存在时的死亡率； 1r --食饵的固有增长率；2r --捕食者的固有增长率； 1N --食饵最大容量；2N --捕食者最大容量；1σ--食饵自身的竞争能力；2σ--捕食者自身的竞争能力基本假设：(1 )食饵由于捕食者的数量增长使得食饵数量减少，即r 与捕食者数量y 成正比，即;y r x =∙（2）捕食者没有食饵的存在就会死亡，死亡率为d ，即;dy y -=∙（3）对于食饵有)1(11N xx r x -=∙,其中11N x -是由于食饵对资源的消耗导致自身的增长阻滞作用。

建立模型：1.模型一 没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞该模型反映了在没有捕获时食饵--捕食者之间的制约关系，没有考虑食饵和捕食者自身的阻滞作用，是V olterra 提出的最简单的模型[]1。

一、模型假设1.假设捕食者离开食饵无法生存；2.假设大海中资源充足，食饵独立生存时以指数规律增长；3.成年鱼在鱼群中所占比例大致稳定4．无人为捕捞等外加环境干扰二、符号说明x(t) ——成年食饵在时刻t 的数量；y(t ) ——捕食者在时刻t的数量；k——成年鱼所占种群内的比例；N1——大海中能容纳的食饵的最大容量；N 2——大海中能容纳的捕食者的罪的容量;r1——食饵的相对增长率；r 2——捕食者的相对增长率；1——单位数量捕食者（相对于N 2）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者 (相对于 N1 )消耗的供养甲实物量的 1 倍；2——单位数量食饵（相对于N1）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者 (相对于 N 2 )消耗的供养食饵实物量的 2 倍；d——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。

三、模型建立食用鱼独立生存时按照指数形式增长，且食用鱼的相对增长率为r1，即x rx ，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是x(t) 满足方程x (t) x(r ay) rx axy (1)系数 a 反映捕食者掠取食饵的能力。

由于捕食者离开食饵无法生存，且它独立生存时死亡率为d，即y dy ，食饵的存在为捕食者提供了食物，相当于使捕食者的死亡率降低，且促使其增长。

设这种作用与食饵数量成正比，于是y(t ) 满足y (t) y( d bx)dy bxy(2)比例系数 b 反映食饵对捕食者的供养能力。

方程 (1) 、(2) 是在自然环境中食饵和捕食者之间依存和制约的关系，设这里有考虑种群自身的阻滞作用，是Volterra提出的最简单的模型。

考虑到种群自身的阻滞作用，在上两式中加入 Logistic 项，即建立以下数学模型：x1(t) r1x1 1 x11x2 N N2 1x2(t) r2x2 1 x1 x22 N N21(3)(4)下面对其平衡点进行稳定性分析：由微分方程 (3) 、 (4)f ( x 1 , x 2 )f ( x 1 , x 2 )r 1x 1 1 x 1 x 2N1 N21r 2 x 2 1 x 1 x 22 N N2 1得到如下平衡点 :P 1(N 1,0) , P 2 (N 1 (1 1) ,N 2(21) ) , P 3 (0,0)1 12 11 2因为仅当平衡点位于平面坐标系的第一象限时( x 1, x 2 0 ) 才有意义，所以，对 P 2 而言要求 2 >0。

几类具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型的定性分析几类具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型的定性分析引言：生态学中的食饵-捕食者模型是研究食物链关系的重要工具。

这些模型可以帮助我们理解生态系统中的种群动态变化，而在这些模型中，流行病和饱和发生率是两个关键因素。

本文将展示几种具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型，并对其进行定性分析，以便更好地理解这些模型对于群落和生态系统的影响。

一、Lotka-Volterra模型：传统的Lotka-Volterra模型基于天敌所造成的损失是线性的假设。

在这个模型中，捕食者的数量与饵类的数量成比例，而饵类的数量则受到捕食压力的影响。

然而，这种线性假设没有考虑到生态系统中的流行病和饱和发生率。

二、Holling模型：为了更好地刻画食饵-捕食者之间的相互作用，Holling提出了一个更复杂的模型，该模型考虑了捕食者的饥饿程度和食饵的稀缺程度。

在这个模型中，当食饵数量较少时，捕食者的饥饿程度增加，于是它们会更加积极地捕食食饵，从而导致食饵数量的减少。

当食饵数量增加时，捕食者的饥饿程度减少，它们会减少捕食的频率。

三、Lotka-Volterra-Keeling模型：与传统的Lotka-Volterra模型相比，Lotka-Volterra-Keeling模型考虑了流行病对于食饵和捕食者的影响。

该模型认为，流行病可以减少食饵和捕食者的数量，并通过减少捕食者的机会和提高食饵的感染率来影响捕食者对于食饵的捕食活动。

当流行病流行较为严重时，食饵的数量会迅速下降，从而导致捕食者的饥饿程度增加。

四、捕食者-食饵-病原体模型：在这种模型中，病原体是另一个重要的因素。

捕食者与食饵的相互关系受病原体的传播和影响。

病原体可以通过感染捕食者和食饵来更改它们之间的关系。

例如，当病原体传播给食饵时，它们的数量可能会减少，从而减少了捕食者的食物来源。

同样地，当病原体传播给捕食者时，它们的数量可能会减少，从而减少了对食饵的捕食。

一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：捕食者-食饵模型可用于研究生态系统中的捕食行为和食物链稳定性。

在现实生态系统中，许多因素会对捕食者与食饵之间的相互作用产生影响，其中一个重要因素就是时滞。

本文通过引入时滞因素，研究了一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支。

通过数学模型的建立与分析，我们得到了该系统的平衡点存在以及Hopf分支发生的条件，并利用MATLAB软件进行了数值模拟。

结果表明，时滞对系统的稳定性和动态性质具有重要影响，适当的时滞引入可以使系统产生周期性振荡。

1. 引言生态系统中的捕食者-食饵关系是一个重要而复杂的生态现象，其研究可以揭示自然规律并帮助我们更好地了解生态系统的运行机制。

捕食者-食饵模型在生态学中被广泛应用，其中Lotka-Volterra模型是最经典的一种。

2. 模型的建立我们考虑一个具有时滞的捕食者-食饵模型，其中食饵种群用x表示，捕食者种群用y表示。

模型可以表示为以下方程组：dx/dt = ax(1 - bx) - cxy(t - τ)dy/dt = -fy + hxy(t - σ)其中a, b, c, f, h是正常数，τ和σ是时滞参数。

3. 平衡点的存在性首先，我们研究该模型的平衡点的存在性。

设平衡点为(x0, y0)，即dx/dt = 0，dy/dt = 0。

通过求解方程组，我们可以得到平衡点的表达式。

4. 稳定性分析接下来，我们研究平衡点的稳定性。

通过线性稳定性分析，我们可以判断平衡点的稳定性。

当α = β = 0时，模型简化为传统Lotka-Volterra模型，它的平衡点为(0, 0)和(1/b, 0)。

根据稳定性分析，我们得到当r < 1时，平衡点(0, 0)是稳定的；当r > 1时，平衡点(1/b, 0)是稳定的。

其中r = ah/(bf)。

5. Hopf分支的发生条件在本文的模型中，我们引入了时滞参数τ和σ。

一类食饵-捕食模型的稳定性和Hopf分岔引言：食物链是自然界中生物互相作用的重要方面之一，而食饵-捕食模型是描述这种互相作用的数学模型之一。

在这类模型中，食饵是指养分来源，捕食者则以食饵为食。

在这篇文章中，我们将探究现象。

一、模型的建立假设食饵种群的增长率与其种群大小成正比，而捕食者种群的增长率与食饵种群大小和捕食者种群大小成正比。

以t表示时间，x(t)和y(t)分别表示食饵种群和捕食者种群的大小，则该模型的数学表达式如下：dx/dt = ax - bxydy/dt = cxy - dy其中，a、b、c和d为常数，分别表示食饵种群的增长率、食饵种群遭到捕食者捕食的速率、食饵被捕食后被转化为捕食者的速率和捕食者种群的死亡率。

二、平衡点的分析平衡点是指在一段时间内，系统中各个种群的大小保持不变的状态。

在我们的模型中，稳定的平衡点应该满足以下条件： dx/dt = 0 => ax - bxy = 0dy/dt = 0 => cxy - dy = 0由以上两个方程可以解得平衡点为：(x*, y*) = (d/c,a/b)。

当系统处于平衡点时，食饵和捕食者种群的大小不再发生变化。

三、线性稳定性分析为了探究平衡点的稳定性，我们需要对系统进行线性稳定性分析。

假设系统在平衡点周边有微小的扰动，即令(x, y) = (x* + ε, y* + δ)，其中ε和δ为很小的变量。

将这个微小扰动代入模型的微分方程中，可以得到以下近似方程：dε/dt = (a - b(y* + δ))εdδ/dt = (c(x* + ε)y* - d)δ通过对近似方程进行线性化，可以得到雅可比矩阵：J = | a - by* -bx* || cy* cx* - d|其中，x*和y*为平衡点的坐标。

依据线性稳定性理论，平衡点(x*, y*)是稳定的当且仅当雅可比矩阵的全部特征值具有负实部。

四、Hopf分岔的分析除了探究系统的稳定性外，我们还关注系统是否存在Hopf分岔现象。

两类食饵—捕食者模型的稳定性分析两类食饵—捕食者模型的稳定性分析引言生态系统中食物链是一种基本的生态关系，其中包括食饵和捕食者之间的相互作用。

食饵-捕食者模型是用来描述食饵和捕食者之间相互作用关系的数学模型。

在自然界中存在不同类型的食饵-捕食者模型，其中一种常见的模型是“两类食饵—捕食者模型”。

本文将对该模型的稳定性进行分析。

一、模型描述这个模型中包括两类食饵和一个捕食者。

我们用 V1, V2 分别表示两类食饵的个体数量，用 P 表示捕食者的个体数量。

模型可以由以下方程组描述：（1）dV1/dt = r1V1(1 - V1/K1) - a1V1P（2）dV2/dt = r2V2(1 - V2/K2) - a2V2P（3）dP/dt = b1a1V1P - m1P + b2a2V2P - m2P其中，r1和r2分别表示两类食饵的增长率，K1和K2表示它们的环境容量；a1和a2是食饵和捕食者之间的捕食率；b1和b2分别是捕食者每次捕食时所消耗的食饵个体数量；m1和m2分别表示捕食者的自然死亡率。

二、平衡点的求解平衡点是指系统中各个物种个体数量不发生变化的状态。

我们令方程组（1）-（3）中各个方程等于零，解得平衡点：V1* = 0；V2* = 0；P* = 0这是一个零平衡点，表示所有个体数量均为零。

三、稳定性的分析我们需要分析模型中平衡点的稳定性，以了解该模型的动态行为。

1. 线性稳定性分析为了方便分析，我们将模型（1）-（3）化为线性形式：（4）dV1/dt = (r1 - a1P)V1（5）dV2/dt = (r2 - a2P)V2（6）dP/dt = (b1a1V1 + b2a2V2 - m1 - m2)P对于线性系统（4）-（6），可以利用特征值的方法进行分析。

计算特征值后得到系统的特征方程：λ^3 + (m1 + m2 - b1a1V1* - b2a2V2*)λ^2 + (a1a2P* - (r1 + r2 + m1 + m2))λ + a1a2P*(r1 + r2) = 0通过分析特征方程的根的实部和虚部，可以判断平衡点的稳定性。

具有恐惊效应的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：在生态学探究中，捕食者-食饵模型是一种常见的模型，用于探究捕食者和食饵之间的互相作用。

然而，有些状况下，食饵可能对捕食者具有恐惊效应，即食饵在觉察到捕食者的存在后会缩减其行动活动。

本文通过建立一个具有恐惊效应的捕食者-食饵模型，探讨了模型的稳定性和Hopf分支，以及恐惊效应对模型的影响。

关键词：恐惊效应，捕食者-食饵模型，稳定性，Hopf分支引言：在生态系统中，捕食者和食饵的互相作用对于维持生态平衡起着重要作用。

捕食者通过捕食食饵维持自身的生存，而食饵则通过防止或避开捕食者的攻击来提高自己的存活率。

然而，在一些状况下，食饵可能会遇到捕食者后丢失正常的行动活动，这种现象被称为恐惊效应。

恐惊效应的存在对于生态系统的稳定性以及捕食者-食饵模型的行为产生了重要的影响。

模型表述：我们思量一个简化的捕食者-食饵模型，其中食饵种群的动态由以下方程描述：$\frac{dF}{dt} = rF(1-\frac{F}{K}) - \alpha\frac{F}{P+PL}P$其中，$F$表示食饵种群的数量，$r$为食饵增长率，$K$为食饵种群的环境承载力，$P$表示捕食者种群的数量，$\alpha$是捕食者对食饵的捕食率，$L$代表食饵感知到捕食者的程度。

当$L$为0时，表示食饵没有感知到捕食者的存在；而当$L$较大时，食饵感知到捕食者的存在，会缩减其行动活动。

捕食者种群的动态由以下方程描述：$\frac{dP}{dt} = \beta \frac{F}{P_c + F}P - \gamma P$ 其中，$P$表示捕食者种群的数量，$\beta$是食饵对捕食者的增长率，$P_c$表示捕食者的投放数量，$\gamma$为捕食者的死亡率。

模型分析：为了探究模型的稳定性和Hopf分支，我们起首将模型的动态转化为无量纲形式。

假设$F = Kx$，$P = P_c y$，$t =\frac{1}{r} \tau$，将模型方程进行无量纲化后，可以得到： $\frac{dx}{d\tau} = x(1-x) - \mu \frac{x}{p +pL}y$$\frac{dy}{d\tau} = \frac{x}{p + x}y - y$其中，$\mu = \frac{\alpha K}{r}$，$p =\frac{P_c}{K}$。