食饵—捕食者模型稳定性

被捕食者—捕食者模型稳定性分析【摘要】自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫等。

本文是基于食饵—捕食者之间的有关规律，建立具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，分析平衡点的稳定性，进行相轨线分析，并用数值模拟方法验证理论分析的正确性。

【关键词】食饵—捕食者模型相轨线平衡点稳定性一、问题重述在自然界中，存在这种食饵—捕食者关系模型的物种很多。

下面讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。

二、问题分析本文选择渔场中的食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象，建立微分方程，并利用数学软件MATLAB 求出微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测出它的解析解构造。

然后，从理论上研究其平衡点及相轨线的形状，验证前面的猜测。

三、模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；四、符号说明)(t x /)(1t x ——食饵(食用鱼)在时刻t 的数量；)(t y /)(2t x ——捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量；1r ——食饵(食用鱼)的相对增长率；2r ——捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N ——大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量；2N ——大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的罪的容量；1σ——单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ——单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d ——捕食者离开食饵独立生存时的死亡率。

几类具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型的定性分析几类具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型的定性分析引言：生态学中的食饵-捕食者模型是研究食物链关系的重要工具。

这些模型可以帮助我们理解生态系统中的种群动态变化，而在这些模型中，流行病和饱和发生率是两个关键因素。

本文将展示几种具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型，并对其进行定性分析，以便更好地理解这些模型对于群落和生态系统的影响。

一、Lotka-Volterra模型：传统的Lotka-Volterra模型基于天敌所造成的损失是线性的假设。

在这个模型中，捕食者的数量与饵类的数量成比例，而饵类的数量则受到捕食压力的影响。

然而，这种线性假设没有考虑到生态系统中的流行病和饱和发生率。

二、Holling模型：为了更好地刻画食饵-捕食者之间的相互作用，Holling提出了一个更复杂的模型，该模型考虑了捕食者的饥饿程度和食饵的稀缺程度。

在这个模型中，当食饵数量较少时，捕食者的饥饿程度增加，于是它们会更加积极地捕食食饵，从而导致食饵数量的减少。

当食饵数量增加时，捕食者的饥饿程度减少，它们会减少捕食的频率。

三、Lotka-Volterra-Keeling模型：与传统的Lotka-Volterra模型相比，Lotka-Volterra-Keeling模型考虑了流行病对于食饵和捕食者的影响。

该模型认为，流行病可以减少食饵和捕食者的数量，并通过减少捕食者的机会和提高食饵的感染率来影响捕食者对于食饵的捕食活动。

当流行病流行较为严重时，食饵的数量会迅速下降，从而导致捕食者的饥饿程度增加。

四、捕食者-食饵-病原体模型：在这种模型中，病原体是另一个重要的因素。

捕食者与食饵的相互关系受病原体的传播和影响。

病原体可以通过感染捕食者和食饵来更改它们之间的关系。

例如，当病原体传播给食饵时，它们的数量可能会减少，从而减少了捕食者的食物来源。

同样地，当病原体传播给捕食者时，它们的数量可能会减少，从而减少了对食饵的捕食。

收稿日期：２００８－１１－１４作者简介：曹怀火（１９７５—），男，安徽东至人，池州学院数学系与计算机科学系讲师，西北师范大学在读硕士，主要研究方向为偏微分方程与生态数学。

２００８年６月第２２卷第３期Ｊｕｎ．２００８Ｖｏｌ．２２Ｎｏ．３ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｚｈｏｕＣｏｌｌｅｇｅ１引言下面先介绍一类三次捕食者－食饵常微分模型［１］ｄｘｄｔ＝ｂ１ｘ＋ｂ２ｘ２－ｂ３ｘ３－ｂ４ｘｙ，ｄｙｄｔ＝－ｃｙ＋（αｘ－βｙ）ｙ!#"#$，（１．１）其中ｘ，ｙ分别是食饵种群和捕食者种群的密度函数，系数ｂ３，ｂ４，ｃ，α，β都是正常数，ｂ１非负，ｂ２的符号不定，ｂ１表示食饵种群的内禀增长率，ｃ是捕食者的净死亡率，捕食者的生存依赖于食饵的生存状况，ｂ２ｘ－ｂ３ｘ２与βｙ分别为食饵与捕食者的密度制约项，ｂ４ｘ表示捕食者对食饵的捕食率，αｘ表示食饵转化为捕食者自身的增长率。

ｂ２＜０，ｂ３＝０时（１．１）就是熟知的Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ捕食者－食饵模型，因此文［２－４］等把（１．１）称为推广了的Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ捕食者－食饵模型。

文［１］讨论了该模型非负平衡点的稳定性和极限环的存在性及其个数问题。

事实上，任何种群都有一个成长发育的过程，例如从幼年种群到成年种群，从不成熟阶段到成熟阶段，从成年到老年等。

物种在其各个生命阶段的生理机能（出生率，死亡率，竞争能力，捕食能力等）上也存在着显著差别，成年种群和幼年种群之间还有相互作用的关系问题，这些都在不同程度上影响着生物种群的持续生存和灭存和灭绝。

因此，考虑种群的阶段差异性非常有实际意义［５，６］，Ａｉｅｌｌｏ等在文［５］中建立了具阶段结构的单种群时滞模型，给出了系统的持久和全局稳定性，Ｘｕ等对文［６］中的两种群捕食系统进行了充分的研究，探讨了阶段结构对解渐近性质的影响。

最近文［７］建立了两种群具有阶段结构的捕食者－食饵娄科学家模型。

ｄｘ１ｄｔ＝αｘ２－ｒ１ｘ１－βｘ１－ηｘ１２－β１ｘ１ｘ３，ｄｘ２ｄｔ＝βｘ１－ｒ２ｘ２，ｄｘ３ｄｔ＝ｘ３＋（－ｒ＋ｋβ１ｘ１－η１ｘ３）!###"###$，（１．２）其中ｘ１，ｘ２分别是食饵种群的幼年种群和成年种群的密度函数，ｘ３是捕食者种群的密度函数，捕食者仅对幼年种群进行捕食，捕食者的生存依赖于幼年种群的生存状况，α，ｒ１，ｒ２，β，β１，η，η１，ｒ，ｋ都是正常娄数，α表示幼年种群的出生率，ｒ１幼年种群的死亡率，ｒ２是成年种群的净死亡率，ｒ是捕食者的净死亡率，β表示幼年种群向成年种群的转化率，ηｘ１，η１ｘ３分别为幼年种群和捕食者的密度制约项，β１ｘ１表示捕食者对幼年种群的捕食率，ｋ是消化常数，ｋβ１ｘ１表示食饵幼年种群转化为捕食者自身的增长率，捕食者种群满足Ｌｏｇｉｓｔｉｃ捕食者－食饵模型。

一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：捕食者-食饵模型可用于研究生态系统中的捕食行为和食物链稳定性。

在现实生态系统中，许多因素会对捕食者与食饵之间的相互作用产生影响，其中一个重要因素就是时滞。

本文通过引入时滞因素，研究了一类具有时滞的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支。

通过数学模型的建立与分析，我们得到了该系统的平衡点存在以及Hopf分支发生的条件，并利用MATLAB软件进行了数值模拟。

结果表明，时滞对系统的稳定性和动态性质具有重要影响，适当的时滞引入可以使系统产生周期性振荡。

1. 引言生态系统中的捕食者-食饵关系是一个重要而复杂的生态现象，其研究可以揭示自然规律并帮助我们更好地了解生态系统的运行机制。

捕食者-食饵模型在生态学中被广泛应用，其中Lotka-Volterra模型是最经典的一种。

2. 模型的建立我们考虑一个具有时滞的捕食者-食饵模型，其中食饵种群用x表示，捕食者种群用y表示。

模型可以表示为以下方程组：dx/dt = ax(1 - bx) - cxy(t - τ)dy/dt = -fy + hxy(t - σ)其中a, b, c, f, h是正常数，τ和σ是时滞参数。

3. 平衡点的存在性首先，我们研究该模型的平衡点的存在性。

设平衡点为(x0, y0)，即dx/dt = 0，dy/dt = 0。

通过求解方程组，我们可以得到平衡点的表达式。

4. 稳定性分析接下来，我们研究平衡点的稳定性。

通过线性稳定性分析，我们可以判断平衡点的稳定性。

当α = β = 0时，模型简化为传统Lotka-Volterra模型，它的平衡点为(0, 0)和(1/b, 0)。

根据稳定性分析，我们得到当r < 1时，平衡点(0, 0)是稳定的；当r > 1时，平衡点(1/b, 0)是稳定的。

其中r = ah/(bf)。

5. Hopf分支的发生条件在本文的模型中，我们引入了时滞参数τ和σ。

一类食饵-捕食模型的稳定性和Hopf分岔引言：食物链是自然界中生物互相作用的重要方面之一，而食饵-捕食模型是描述这种互相作用的数学模型之一。

在这类模型中，食饵是指养分来源，捕食者则以食饵为食。

在这篇文章中，我们将探究现象。

一、模型的建立假设食饵种群的增长率与其种群大小成正比，而捕食者种群的增长率与食饵种群大小和捕食者种群大小成正比。

以t表示时间，x(t)和y(t)分别表示食饵种群和捕食者种群的大小，则该模型的数学表达式如下：dx/dt = ax - bxydy/dt = cxy - dy其中，a、b、c和d为常数，分别表示食饵种群的增长率、食饵种群遭到捕食者捕食的速率、食饵被捕食后被转化为捕食者的速率和捕食者种群的死亡率。

二、平衡点的分析平衡点是指在一段时间内，系统中各个种群的大小保持不变的状态。

在我们的模型中，稳定的平衡点应该满足以下条件： dx/dt = 0 => ax - bxy = 0dy/dt = 0 => cxy - dy = 0由以上两个方程可以解得平衡点为：(x*, y*) = (d/c,a/b)。

当系统处于平衡点时，食饵和捕食者种群的大小不再发生变化。

三、线性稳定性分析为了探究平衡点的稳定性，我们需要对系统进行线性稳定性分析。

假设系统在平衡点周边有微小的扰动，即令(x, y) = (x* + ε, y* + δ)，其中ε和δ为很小的变量。

将这个微小扰动代入模型的微分方程中，可以得到以下近似方程：dε/dt = (a - b(y* + δ))εdδ/dt = (c(x* + ε)y* - d)δ通过对近似方程进行线性化，可以得到雅可比矩阵：J = | a - by* -bx* || cy* cx* - d|其中，x*和y*为平衡点的坐标。

依据线性稳定性理论，平衡点(x*, y*)是稳定的当且仅当雅可比矩阵的全部特征值具有负实部。

四、Hopf分岔的分析除了探究系统的稳定性外，我们还关注系统是否存在Hopf分岔现象。

两类食饵—捕食者模型的稳定性分析两类食饵—捕食者模型的稳定性分析引言生态系统中食物链是一种基本的生态关系，其中包括食饵和捕食者之间的相互作用。

食饵-捕食者模型是用来描述食饵和捕食者之间相互作用关系的数学模型。

在自然界中存在不同类型的食饵-捕食者模型，其中一种常见的模型是“两类食饵—捕食者模型”。

本文将对该模型的稳定性进行分析。

一、模型描述这个模型中包括两类食饵和一个捕食者。

我们用 V1, V2 分别表示两类食饵的个体数量，用 P 表示捕食者的个体数量。

模型可以由以下方程组描述：（1）dV1/dt = r1V1(1 - V1/K1) - a1V1P（2）dV2/dt = r2V2(1 - V2/K2) - a2V2P（3）dP/dt = b1a1V1P - m1P + b2a2V2P - m2P其中，r1和r2分别表示两类食饵的增长率，K1和K2表示它们的环境容量；a1和a2是食饵和捕食者之间的捕食率；b1和b2分别是捕食者每次捕食时所消耗的食饵个体数量；m1和m2分别表示捕食者的自然死亡率。

二、平衡点的求解平衡点是指系统中各个物种个体数量不发生变化的状态。

我们令方程组（1）-（3）中各个方程等于零，解得平衡点：V1* = 0；V2* = 0；P* = 0这是一个零平衡点，表示所有个体数量均为零。

三、稳定性的分析我们需要分析模型中平衡点的稳定性，以了解该模型的动态行为。

1. 线性稳定性分析为了方便分析，我们将模型（1）-（3）化为线性形式：（4）dV1/dt = (r1 - a1P)V1（5）dV2/dt = (r2 - a2P)V2（6）dP/dt = (b1a1V1 + b2a2V2 - m1 - m2)P对于线性系统（4）-（6），可以利用特征值的方法进行分析。

计算特征值后得到系统的特征方程：λ^3 + (m1 + m2 - b1a1V1* - b2a2V2*)λ^2 + (a1a2P* - (r1 + r2 + m1 + m2))λ + a1a2P*(r1 + r2) = 0通过分析特征方程的根的实部和虚部，可以判断平衡点的稳定性。