食饵捕食模型

食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。

关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。

就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。

1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。

羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。

2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。

（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。

三类捕食—食饵模型分歧解的性质
捕食者与食饵之间的相互作用对复杂生态系统中物种的多样性在本质上起到了很大的作用,因此,在理论上对捕食-食饵关系进行定性和定量分析具有重要意义,进而成为种群生物学中的一块重要领域.本文共分四章,主要讨论了三种不同的捕食-食饵模型解的性质.第一章介绍了捕食-食饵模型的相关背景和研究成果.第二章在齐次Dirichlet边界条件下研究了一类受顶级捕食者影响的HollingⅡ型捕食-食饵模型首先,通过比较原理给出模型平衡态解的先验估计,运用Leray-Schauder度理论给出正解存在的条件；接着,以死亡率e为分歧参数,讨论了发自半平凡解(U*,0)处的平衡解分支,利用特征值线性扰动理论给出了局部分歧解稳定的充分条件；最后,将局部分歧解延拓为全局分歧解.第三章在齐次Neumann边界条件下研究了一类基于比率的带有线性收获率的捕食-食饵模型在空间齐次和非齐次情形下,分析了该模型产生Hopf分歧的条件,利用规范型理论和中心流形定理,得出在空间齐次情形下,从正常数平衡解处产生的Hopf分歧的方向是超临界的,Hopf分歧周期解渐近稳定.第四章研究了一类具有修正的Leslie-Gower项的捕食-食饵模型利用Lyapunov-Schmidt方法,研究了该模型对应的椭圆系统二重分歧解的存在性和渐近稳定性.。

楚雄师范学院数学系《数学建模》课程教学论文题目：具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食模型专业：信息与计算科学班级：08级3班学号：20081022152学生姓名：罗文枢完成日期：2011 年 6 月具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食模型摘要：在自然界中，更多的生物是杂居在一起的，各种生物根据其生理特点、食物来源分成了不同的层次，各层次之间及同一层次的生物种群之间有着各样的联系，尤其是相互之间影响非常大的生物种群，需要放在一起讨论，在这里，我们一两种群为例进行建模和讨论，具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型。

捕食—食饵模型是数学生态学研究的重要内容,影响种群波动的因素很多,自身阻滞作用就是其中重要的一种因素。

因为资源环境是有限的，相互竞争是不可避免的，所以自身阻滞也是影响平衡位置的不稳定性和周期波动现象的主要因素。

时滞可以对生态系统的性质产生相当大的影响,理论生态学家们普遍认为在种群的相互作用中,自身阻滞作用是不可避免的。

本文主要通过对两类具有自身阻滞作用的典型的捕食-食饵模型的研究,通过分析发现时滞对模型的稳定性有非常重要的作用。

事实上只要在Volterra模型加入考虑自身阻滞作用的Logsitic项就可以得到这种现象了。

关键字：自身阻滞，稳定性分析，相轨线分析，平衡点分析，Logistic模型；一.问题重述：讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵—捕食者模型，首先根据两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性。

二．问题分析：本论文主要是讨论具有自身阻滞作用的食饵—捕食者模型。

我们用Logistic模型来描述这个种群数量的演变过程，即食饵会受到自然界中的资源所限制，它不仅会无限的增大，而且捕食者也会受到食饵的数量的影响。

此种情况下会出现以下的3种现象：1.当捕食者灭绝时，食饵也不会无限的增长，即指数函数型增长，因为有自身的阻滞作用，它达到某个数量就不在会增长而趋于稳定了；2.当食饵受到自然资源的影响的灭绝时，捕食者也会因食物而灭绝；3.当两种群都不灭绝时，它们会趋于某个非零的有限值，从而达到稳定状态。

食饵——捕食者模型摘要：建立具有自身阻滞作用的两个种群食饵-捕食者模型，并结合模型的数值解和相轨线，对模型的稳定性进行了分析。

关键词：种群，数值解，平衡点，相轨线，Volterra 模型（一）模型准备自然界中不同种群之间还存在着这样一种制约的生存方式：种群甲靠有限的自然资源生存，而种群乙靠掠取甲为生。

就像生活在草原上的狼与羊，种群之间捕食与被捕食的关系普遍存在，这样两个肉弱强食的种群，它们的发展和演进又会遵循一些什么样的规律呢？（二）模型假设有羊和狼两个种群，记食饵（羊群）和捕食者（狼群）在时刻t 的数量分别为)(t x ，)(t y ，1r 为羊群的固有增长率，1N 为环境容许的最大羊群量，2N 为环境容许的最大狼群量。

1、假设羊群可以独立生存，而可被其直接利用的自然资源有限，设总量为“1”。

羊群数量的增长率可以分为两部分考虑：其一，因为草原上的资源有限，所以它的增长服从Logistic 规律，即)1(11.N xx r x -=， 其二，当两个种群在同一个自然环境中生存时，由于狼群以掠取羊群为生，所以它对羊群的增长产生了负面影响，可以合理地在因子)1(1N x-中再减去一项，该项与狼群的数量y （相对于2N 而言）成正比，于是得到羊群增长的方程为：)1()(2111.N y N x x r t x σ--= （1） 1σ的意思是：单位数量的狼（相对2N 而言）掠取1σ倍的羊（相对1N 而言）。

2、假设狼群没有羊群的存在会灭亡，设其死亡率为2r ，则狼群独自存在时，有：y r t y 2.)(-=，又因为羊群的存在为狼群提供了食物，所以它对狼群的增长产生了促进作用，而狼群的增长又受到自身的阻滞作用，于是得到狼群增长的方程为：)1()(1222.N x N y y r t y σ+--= （2） 2σ的意思是：单位数量的羊（相对1N 而言）供养2σ倍的狼（相对2N 而言）。

（三）模型建立根据模型假设中的方程（1）、（2），可得到如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=--=)1()()1()(1222.2111.N x N y y r t y N y N x x r t x σσ （四）模型求解利用数学软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察，猜测它的解析解的构造，然后从理论上研究其平衡点，验证前面的猜测。

生物模型:设生物群体的数量N 是时间t 连续函数. 物种捕食模型: 捕食者P 的存在依赖于被捕食者的存在, 增长率由于被捕食者N 的存在而增大, 没有被捕食者时将自然趋向死亡. 被捕食者N 的增长率由于捕食者P 的存在而减少, 模型为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=P N c r tN P c r t N p n )(d dP )(d d 21 (12) 其中 21,,,c c r r p n >0是常数. 相空间为N ≥0, P ≥0, 奇点有两个, (0, 0) 和 (N *, P *) = )/,/(12c r c r n p , 当N , P 不等于零时, 轨道方程可由方程的两式消去d t 而得变量分离方程;0d d d d 12=-+-PP r P c N N r N c n p (13) 从点(N *, P *)积分到点(N , P )得C P P P P r N N N N r P N H n p =--+--=]*ln )1*[(]*ln )1*[(:),( (14) 由不等式 0ln 1:)(≥--=x x x f , 对任意x >0恒成立, 且当x 1≠ 时, 0)(>x f , )(x f 在),1[∞上从零严格单调增加到无穷大. )(x f 在]1,0(上从无穷大严格单调减少到零. 因此, ),(P N H 关于(N *,P *)点是定正函数, 且在从(N *,P *)点出发的任一射线上随着与(N *,P *)点的距离增加而从零严格单调增加至无穷大. 因此对于任一 C > 0, 轨道方程(14)表示一条闭轨, 对应于方程的周期解. 设其周期为T =T (C ), 我们可以证明在闭轨上N , P 的平均值分别为N *, P *.证: ⎰⎰⎰==--=-0d 1)(d *)(d )*(220PP c P r N c P N N t N N p T, 同理可证另一个关系式.MATLAB 中解常微分方程(组)的程序ode45的用法:[T,Y] = ODE45(@Fun,TSPAN,Y0)% TSPAN = [T0 TFINAL] 解的定义区间(行向量)% Y0 初始条件Y(0)=Y0, Y0是行向量% Fun 是一个函数名, 其函数值是(列)向量场, 即微分方程dY/dt=F(t,Y) 的右边.% 输出T 是一个列向量, 其分量T(k)为自变量的值, Y是矩阵Y(:,k) 是解的第k个分量在T的值，% 若取TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL] . 则将得到解在指定的时刻T0, T1, ..., TFINAL 的值例: 要求解(12) ,可编程序如下:设方程中各常数都等于1, 初始条件为N(0)=1, P(0)=2; 解的定义区间为[0,8], 则微分方程函数子程序为function dydt=bushi(t,y) % 不显含t时，也要加上tdydt=zeros(2,1); dydt(1)=(1-y(2))*y(1); dydt(2)=(-1+y(1))*y(2);主程序为y0=[1 2]; tspan=[0 6.7];[T,y]=ode45(@bushi, tspan, y0);plot(y(:,1), y(:,2));上图是运行程序后的轨道图。

食饵- 捕食者模型1.模型建立食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量分别记作x ( t), y( t),因为大海中资源丰富,假设当食饵独立生存时以指数规律增长,(相对)增长率为r,即 x = rx,而捕食者的存在使食饵的增长率减小,设减小的程度与捕食者数量成正比,于是x( t)满足方程x( t) = x( r - ay) = rx - axy (1)比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力.捕食者离开食饵无法生存,设它独自存在时死亡率为d,即 y = - dy,而食饵的存在为捕食者提供了食物,相当于使捕食者的死亡率降低,且促使其增长.设这种作用与食饵数量成正比,于是y( t)满足y( t) = y( - d + bx) = - dy + bxy (2)比例系数b 反映食饵对捕食者的供养能力.2.模型分析方程(1),(2)没有解析解,我们分两步对这个模型所描述的现象进行分析.首先,利用数学软件求微分方程的数值解,通过对数值结果和图形的观察,猜测它的解析解的构造;然后,从理论上研究其平衡点及相轨线的形状,验证前面的猜测.3.模型求解1. 数值解记食饵和捕食者的初始数量分别为x(0) = x0 , y(0) = y0 (3)为求微分方程(1),(2)及初始条件(3)的数值解x( t), y( t) (并作图)及相轨线y( x),设r = 1, d = 0. 5, a = 0. 1, b = 0. 02, x0 = 25, y0 = 2,用M A T L A B 软件求解如下：M文件function xdot=sheir(t,x)r=1;d=;a=;b=;xdot=[(r-a*x(2)).*x(1);(-d+b*x(1)).*x(2)]; >> ts=0::15>> x0=[25,2]>> [t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x]>>plot (t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)'), >> pause>> plot(x(:,1),x(:,2)),grid,4.结果分析x( t), y( t)是周期函数,与此相应地, 相轨线y( x)是封闭曲线,从数值解近似地定出周期为10. 7, x 的最大、最小值分别为99. 3 和2. 0, y 的最大最小值分别为28. 4 和2. 0,并且用数值积分容易算出x( t), y( t)在一个周期的平均值为x = 25, y =10。

几类具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型的定性分析几类具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型的定性分析引言：生态学中的食饵-捕食者模型是研究食物链关系的重要工具。

这些模型可以帮助我们理解生态系统中的种群动态变化，而在这些模型中，流行病和饱和发生率是两个关键因素。

本文将展示几种具有流行病和饱和发生率的食饵-捕食者模型，并对其进行定性分析，以便更好地理解这些模型对于群落和生态系统的影响。

一、Lotka-Volterra模型：传统的Lotka-Volterra模型基于天敌所造成的损失是线性的假设。

在这个模型中，捕食者的数量与饵类的数量成比例，而饵类的数量则受到捕食压力的影响。

然而，这种线性假设没有考虑到生态系统中的流行病和饱和发生率。

二、Holling模型：为了更好地刻画食饵-捕食者之间的相互作用，Holling提出了一个更复杂的模型，该模型考虑了捕食者的饥饿程度和食饵的稀缺程度。

在这个模型中，当食饵数量较少时，捕食者的饥饿程度增加，于是它们会更加积极地捕食食饵，从而导致食饵数量的减少。

当食饵数量增加时，捕食者的饥饿程度减少，它们会减少捕食的频率。

三、Lotka-Volterra-Keeling模型：与传统的Lotka-Volterra模型相比，Lotka-Volterra-Keeling模型考虑了流行病对于食饵和捕食者的影响。

该模型认为，流行病可以减少食饵和捕食者的数量，并通过减少捕食者的机会和提高食饵的感染率来影响捕食者对于食饵的捕食活动。

当流行病流行较为严重时，食饵的数量会迅速下降，从而导致捕食者的饥饿程度增加。

四、捕食者-食饵-病原体模型：在这种模型中，病原体是另一个重要的因素。

捕食者与食饵的相互关系受病原体的传播和影响。

病原体可以通过感染捕食者和食饵来更改它们之间的关系。

例如，当病原体传播给食饵时，它们的数量可能会减少，从而减少了捕食者的食物来源。

同样地，当病原体传播给捕食者时，它们的数量可能会减少，从而减少了对食饵的捕食。

两类食饵—捕食者模型的稳定性分析两类食饵—捕食者模型的稳定性分析引言生态系统中食物链是一种基本的生态关系，其中包括食饵和捕食者之间的相互作用。

食饵-捕食者模型是用来描述食饵和捕食者之间相互作用关系的数学模型。

在自然界中存在不同类型的食饵-捕食者模型，其中一种常见的模型是“两类食饵—捕食者模型”。

本文将对该模型的稳定性进行分析。

一、模型描述这个模型中包括两类食饵和一个捕食者。

我们用 V1, V2 分别表示两类食饵的个体数量，用 P 表示捕食者的个体数量。

模型可以由以下方程组描述：（1）dV1/dt = r1V1(1 - V1/K1) - a1V1P（2）dV2/dt = r2V2(1 - V2/K2) - a2V2P（3）dP/dt = b1a1V1P - m1P + b2a2V2P - m2P其中，r1和r2分别表示两类食饵的增长率，K1和K2表示它们的环境容量；a1和a2是食饵和捕食者之间的捕食率；b1和b2分别是捕食者每次捕食时所消耗的食饵个体数量；m1和m2分别表示捕食者的自然死亡率。

二、平衡点的求解平衡点是指系统中各个物种个体数量不发生变化的状态。

我们令方程组（1）-（3）中各个方程等于零，解得平衡点：V1* = 0；V2* = 0；P* = 0这是一个零平衡点，表示所有个体数量均为零。

三、稳定性的分析我们需要分析模型中平衡点的稳定性，以了解该模型的动态行为。

1. 线性稳定性分析为了方便分析，我们将模型（1）-（3）化为线性形式：（4）dV1/dt = (r1 - a1P)V1（5）dV2/dt = (r2 - a2P)V2（6）dP/dt = (b1a1V1 + b2a2V2 - m1 - m2)P对于线性系统（4）-（6），可以利用特征值的方法进行分析。

计算特征值后得到系统的特征方程：λ^3 + (m1 + m2 - b1a1V1* - b2a2V2*)λ^2 + (a1a2P* - (r1 + r2 + m1 + m2))λ + a1a2P*(r1 + r2) = 0通过分析特征方程的根的实部和虚部，可以判断平衡点的稳定性。

具有恐惊效应的捕食者-食饵模型的稳定性和Hopf分支摘要：在生态学探究中，捕食者-食饵模型是一种常见的模型，用于探究捕食者和食饵之间的互相作用。

然而，有些状况下，食饵可能对捕食者具有恐惊效应，即食饵在觉察到捕食者的存在后会缩减其行动活动。

本文通过建立一个具有恐惊效应的捕食者-食饵模型，探讨了模型的稳定性和Hopf分支，以及恐惊效应对模型的影响。

关键词：恐惊效应，捕食者-食饵模型，稳定性，Hopf分支引言：在生态系统中，捕食者和食饵的互相作用对于维持生态平衡起着重要作用。

捕食者通过捕食食饵维持自身的生存，而食饵则通过防止或避开捕食者的攻击来提高自己的存活率。

然而，在一些状况下，食饵可能会遇到捕食者后丢失正常的行动活动，这种现象被称为恐惊效应。

恐惊效应的存在对于生态系统的稳定性以及捕食者-食饵模型的行为产生了重要的影响。

模型表述：我们思量一个简化的捕食者-食饵模型，其中食饵种群的动态由以下方程描述：$\frac{dF}{dt} = rF(1-\frac{F}{K}) - \alpha\frac{F}{P+PL}P$其中，$F$表示食饵种群的数量，$r$为食饵增长率，$K$为食饵种群的环境承载力，$P$表示捕食者种群的数量，$\alpha$是捕食者对食饵的捕食率，$L$代表食饵感知到捕食者的程度。

当$L$为0时，表示食饵没有感知到捕食者的存在；而当$L$较大时，食饵感知到捕食者的存在，会缩减其行动活动。

捕食者种群的动态由以下方程描述：$\frac{dP}{dt} = \beta \frac{F}{P_c + F}P - \gamma P$ 其中，$P$表示捕食者种群的数量，$\beta$是食饵对捕食者的增长率，$P_c$表示捕食者的投放数量，$\gamma$为捕食者的死亡率。

模型分析：为了探究模型的稳定性和Hopf分支，我们起首将模型的动态转化为无量纲形式。

假设$F = Kx$，$P = P_c y$，$t =\frac{1}{r} \tau$，将模型方程进行无量纲化后，可以得到： $\frac{dx}{d\tau} = x(1-x) - \mu \frac{x}{p +pL}y$$\frac{dy}{d\tau} = \frac{x}{p + x}y - y$其中，$\mu = \frac{\alpha K}{r}$，$p =\frac{P_c}{K}$。

⾷饵-捕⾷者模型数学模型课程设计论⽂⾷饵－捕⾷者模型系别专业学号姓名指导教师20**年06⽉22⽇⾷饵－捕⾷者模型摘要微分⽅程是研究函数变化规律的有⼒⼯具，在科技、⼯程、经济管理、⽣态、环境、⼈⼝、交通等各个领域中有着⼴泛的应⽤．在⽣产和科研中所处理的微分⽅程往往很复杂且⼤多得不出⼀般解．⽽实际上对于初值问题，⼀般是要求得到解在若⼲个点上满⾜规定精确度的近似值，或者得到⼀个满⾜精确度要求的便于计算的表达式．动态过程的变化规律⼀般要⽤微分⽅程建⽴的动态模型来描述，但是对于某些实际问题，建模的主要⽬的并不是要寻求动态过程每个瞬间的性态，⽽是研究某种意义下稳定状态的特性，特别是当时间充分长以后动态过程的变化趋势．本⽂以MATLAB为软件平台，对⼤⾃然中的⾷饵—捕⾷者模型进⾏研究．通过建模，借助常微分⽅程的稳定性理论对模型进⾏分析，得出该模型的平衡点和稳定性，得到⼆者长期共存的条件，并将其他因素添加到模型中加以考虑，对模型进⾏进⼀步改进．最后，将该模型应⽤到实际中，⽤以指导⽣产实践，使之更好地为⼈类服务．关键词：平衡点，相轨线，稳定性，封闭⽬录摘要....................................................................................................................... I 1 绪论 .. (1)1.1 模型背景 (1)1.2 Volterra⾷饵—捕⾷者模型 (2)2 模型的分析与求解 (3)2.1 模型求解 (3)2.1.1 数值解 (3)2.1.2 平衡点及相轨线 (5)2.1.3 周期及平均值 (7)2.2 模型解释 (7)3 模型的评价与改进 (9)3.1 模型的改进 (9)3.2 模型的应⽤ (10)3.3 模型的局限性 (11)总结 (12)参考⽂献 (13)1 绪论微分⽅程是研究函数变化规律的有⼒⼯具，在科技、⼯程、经济管理、⽣态、环境、⼈⼝、交通等各个领域中有着⼴泛的应⽤．在⽣产和科研中所处理的微分⽅程往往很复杂且⼤多得不出⼀般解．⽽在实际上对初值问题，⼀般是要求得到解在若⼲个点上满⾜规定精确度的近似值，或者得到⼀个满⾜精确度要求的便于计算的表达式．因此，研究常微分⽅程的数值解法是⼗分必要的．⾃然界中不同种群之间存在着⼀种⾮常有趣的既有依存、⼜有制约的⽣存⽅式：种群甲靠丰富的⾃然资源⽣长，⽽种群⼄靠捕⾷种群甲为⽣，⾷⽤鱼和鲨鱼、美洲兔和⼭猫、落叶松和蚜⾍等都是这种⽣存⽅式的典型．⽣态学上称种群甲为⾷饵，种群⼄为捕⾷者，⼆者共处组成⾷饵—捕⾷者系统．近百年来许多数学家和⽣态学家对这⼀系统进⾏了深⼊的研究，建⽴了⼀系列数学模型，本⽂介绍的就是该系统最初的、最简单的⼀个模型．1.1模型背景意⼤利⽣物学家D’Ancona曾致⼒于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第⼀次世界⼤战期间，地中海各港⼝捕获的⼏种鱼类捕获量百分⽐的资料中，发现鲨鱼等的⽐例有明显增加（见表1），⽽供其捕⾷的⾷⽤鱼的百分⽐却明显下降．显然战争使捕鱼量下降，⾷⽤鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的⽐例⼤幅增加呢？表1.1 鱼类捕获量百分⽐D ’Ancona ⽆法解释这个现象，于是求助于著名的意⼤利数学家V.Volterra ，希望建⽴⼀个⾷饵—捕⾷者系统的数学模型，定量地回答这个问题[1]．1.2 Volterra ⾷饵—捕⾷者模型⾷饵（⾷⽤鱼）和捕⾷者（鲨鱼）在时刻t 的数量分别记作()x t ，()y t ，因为⼤海中的资源丰富，假设当⾷饵独⽴⽣存时以指数规律增长，（相对）增长率为r ，即dx rx dt =，⽽捕⾷者的存在使⾷饵的增长率减⼩，设减⼩的程度与捕⾷者数量成正⽐，于是()x t 满⾜⽅程： ()dx x r ay rx axy dt=-=- (1.1) ⽐例系数a 反映捕⾷者掠取⾷饵的能⼒．捕⾷者离开⾷饵⽆法⽣存，设它独⾃存在时死亡率为d ，即dy dy dt=-，⽽⾷饵的存在为捕⾷者提供了⾷物，相当于使捕⾷者的死亡率降低，且促使其增长．设这种作⽤与⾷饵数量成正⽐，于是()y t 满⾜：()dy y d bx dy bxy dt=-+=-+ (1.2) ⽐例系数b 反映⾷饵对捕⾷者的供养能⼒．⽅程（1.1），（1.2）是在⾃然环境中⾷饵和捕⾷者之间依存和制约的关系，这⾥没有考虑种群⾃⾝的阻滞增长作⽤，是Volterra 提出的最简单的模型[2]．。

捕食模型（食饵捕食模型，生物数学重要模型）假设及建立模型：假设一个生态系统，其中含有两种生物 A 生物和B 生物，其中A 生物是捕食者，B 生物是被捕食者。

建立捕食数学模型1) 在观测数据（DATA1）无误差的情况下，确定模型中的参数，并分析误差。

2) 在观测资料有误差（时间变量不含有误差）的情况下，请分别利用观测数据DATA2和DATA3，确定参数在某种意义下的最优解，并与仿真结果比较，进而改进你们的数学模型。

3) 假设连观测资料的时间变量也含有误差，试利用数据DATA4，建立数学模型，确定参数在某种意义下的最优解。

通过对此生态系统的观测，可以得到相关的观测数据。

观测数据的格式依次为：观测时刻jt 、A 生物数目)(j t x 、B 生物数目)(j t y对于生态系统中的两种生物A 和B ，A 生物为捕食者，B 生物为被捕食者。

在某一段时期内，A 生物的数量与B 生物的数量之间存在一定的关系。

根据已知条件，可将（15）式改写为如下形式：12()dxx y dtαα=+ （1）34()dyy x dtαα=+ （2）0506()()x t y t αα=⎧⎨=⎩其中()16k k α≤≤为模型的待定参数。

进行变换可得：3412()()y x dy dx x y αααα+=+ （3）3412()()dx x dy y y xαααα++=即 （4）积分得：10203040ln ln )()(ln ln )()0y y y y x x x x αααα-+-+-+-=（可将上述表达式改写成n 元齐次线性方程组的形式，如下所示：m n A 0α⨯= （5）上述n 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<n 。

我们首先用DATA1中的3组数据确定，，，，4321a a a a 程序 clearA=zeros(3,4);A(1,1)=log(0.1374480266382216 /60); A(1,2)= 60-0.1374480266382216; A(1,3)=-log(11.750840650304518 /10); A(1,4)=10-11.750840650304518 ; A(2,1)=log(7.108705996120129/60);A(2,2)= 7.108705996120129-60; A(2,3)=-log(3.4133367257849176 /10); A(2,4)=10-3.4133367257849176; A(3,1)=log(0.4251595082899424/60); A(3,2)= 0.4251595082899424-60; A(3,3)=-log(20.80921881438798/10); A(3,4)=10-20.80921881438798 ;r=rank(A); % rank(A)=r<n 时,该方程有无穷多个解,求它的一个基本解 y=null(A, r )表1 )41(a '≤≤k k 的值'1a '2a'3a '4a-0.0478 -0.0042-0.99250.11253314140000222222(ln ln )ln ln y y y x x y x x αααααααααααα=+---++ （28）如设：31400000222(ln ln )y y x x αααβααα=+--，112αβα=-，422αβα=，332αβα=，1x =ln y ，2x =x ，3ln x x =，则（28）式可以写为如下形式；0112233y x x x ββββ=+++（29）对于（29）式中因变量y 是自变量{}123x x x x =的线性函数。

食饵捕食者阻滞模型差分方程
食饵捕食者阻滞模型是描述捕食者和食饵之间相互作用的一种数学模型。

其差分方程形式可以表示为：
N(t+1) = N(t) + r*N(t)[1 - N(t)/K] - c*N(t)*P(t)
P(t+1) = P(t) + e*c*N(t)*P(t) - d*P(t)
N(t)表示食饵的数量在时间t的时候，P(t)表示捕食者的数量在时间t的时候。

参数r表示食饵的自然增长率，K表示食饵的环境容纳量，c表示食饵与捕食者之间的捕食率，e表示捕食者将食饵转化为自身的效率，d表示捕食者的自然死亡率。

差分方程描述了食饵和捕食者之间的交互作用。

第一行的方程表示食饵的数量根据自然增长率和环境容纳量的限制而变化，同时受到捕食者的捕食率的影响。

第二行的方程表示捕食者的数量根据食饵的消耗和转化效率而变化，同时受到自然死亡率的影响。

通过解析这个差分方程，可以得到在不同参数条件下食饵和捕食者数量的变化规律，从而对生态系统中食饵和捕食者之间的相互作用进行定量分析和预测。

楚雄师范学院数学系《数学模型》课程教学论文自身阻滞作用下的食饵—捕食者模型题目：专业：数学与应用数学班级：数学系09级01班学号： 20091021135学生姓名：韩金伟完成日期： 2011 年 12 月楚雄师范学院数学系09级01班韩金伟学号：20091021135楚雄师范学院数学系09级01班 韩金伟 学号：20091021135自身阻滞作用下的食饵——捕食者模型V olterra （Logistic ）考虑自身阻滞作用的食饵——捕食者模型一、模型要求讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵——捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。

二、问题叙述针对两种群的生存关系食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）的V olterra 模型，我们在实际的生态系统中观察不到V olterra 模型显示的那种周期性震荡，而是趋向于某种平衡状态，即系统存在稳定平衡点。

在V olterra 模型中，我们看到他并没有考虑种群的自身阻滞作用对模型的影响。

为此，我们现在就在V olterra 模型中加入考虑种群自身阻滞作用Logistic 项重新建立模型对食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）的关系加以分析。

三、建立模型食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）在时刻t 的数量分别记作)(),(21t x t x ，因为大海中资源丰富，假设在它们生存的空间里容纳食饵和捕食者的最大容纳量分别为21N N ，，当食饵独立存在时以指数规律增长，（相对）增长率为1r ，即11x r x= ，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者的数量成正比，即22N x ，食饵数量的增长对自身也有一定的阻滞作用，阻滞率为11N x，于是)(1t x 满足方程)1(r )(2211111N xN x x t xσ--= （1） 1σ反映单位数量的乙（相对于甲）捕食单位数量甲（相对于乙）的能力。

§11 食饵—捕食者系统一个包含两个群体的系统，其中一个群体紧密地依赖于另一个群体。

例如：害虫与其天敌、肿瘤细胞与正常细胞等。

称为一个食饵—捕食者系统。

设()t x —t 时刻食饵数量 ()t y —t 时刻捕食者数量如果各自独立生活，则 ⎪⎩⎪⎨⎧-==y dtdy xdt dx μλ ()0,>μλ 现在两者生活在一起，则有 ()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--=-=)2()1(0,βαβμαλy x dt dy xy dt dx 称为Volterra —Lotka 方程，初始条件()00x x =，()00y y =，()()21÷得到 ()()xy y x dx dy αλμβ--= 得通解c x y x y ln ln ln =++--μλβα 或 c ex e y x y =⋅βμαλ 以初始条件代入，可得到特解，它是xoy 平面上的一条闭轨线，见下图。

当食饵较多时，捕食者增多因而食饵必定减少，使得捕食者也随之减少，从而食饵又会增多。

两者的数量如此起伏，周而复始，维持着生态平衡。

现在来考虑一个有趣的问题，例如食饵和捕食者由于别的因素（如狩猎或火灾）同时按比例消亡。

一旦这种因素作用停止，谁恢复得较快？我们用方程组（1）、（2）来回答这个问题。

当()t x 和()t y 都减小时，乘积项xy 也减小（例如，x 和y 减半,x λ和y μ都减半，xy α和xy β却减为1/4）。

乘积项对捕食者是生长项，而对食饵来说是消亡项，xy 的减小使捕食者受到较大的损失，所以这场悲剧过后，食饵恢复较快，称为Volterra 原理。

这个原理已在许多方面得到证实：如杀虫剂的使用、临床医学中用化疗抑制癌细胞生长等。

食饵捕食者模型Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】楚雄师范学院数学系《数学模型》课程食饵—捕食者模型3. 讨论具有自身阻滞作用的两种群食饵-捕食者模型，首先根据该两种群的相互关系建立模型，解释参数的意义，然后进行稳定性分析，解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab 软件画出图形。

自然界中不同种群之间还存在着一种非常有趣的既有相互依存、又有相互制约的生活方式：种群甲靠丰富的天然资源生长，而种群乙靠捕食甲为生，形成鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，落叶松和蚜虫等等都是这种生存方式的典型，生态学称种群甲为食饵，种群乙为捕食者。

二者共同组成食饵—捕食者系统。

一食饵—捕食者选用食饵(食用鱼)和捕食者(鲨鱼)为研究对象,设)(t x /)(1t x 为食饵(食用鱼)在时刻t 的数量，)(t y /)(2t x 为捕食者(鲨鱼)在时刻t 的数量，1r 为食饵(食用鱼)的相对增长率，2r 为捕食者(鲨鱼)的相对增长率；1N 为大海中能容纳的食饵(食用鱼)的最大容量，2N 为大海中能容纳的捕食者(鲨鱼)的最大容量，1σ为单位数量捕食者（相对于2N ）提供的供养食饵的实物量为单位数量捕食者(相对于1N )消耗的供养甲实物量的1σ倍；2σ为单位数量食饵（相对于1N ）提供的供养捕食者的实物量为单位数量捕食者(相对于2N )消耗的供养食饵实物量的2σ倍；d 为捕食者离开食饵独立生存时的死亡率二模型假设1.假设捕食者（鲨鱼）离开食饵无法生存；2.假设大海中资源丰富，食饵独立生存时以指数规律增长；三模型建立食饵(食用鱼)独立生存时以指数规律增长，且食饵(食用鱼)的相对增长率为1r ，即rx x ='，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小的程度与捕食者数量成正比，于是)(t x 满足方程axy rx ay r x t x -=-=')()( (1)比例系数a 反映捕食者掠取食饵的能力。