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第二章 卷积和和卷积积分

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信号与系统课件：第二章 LTI系统

信号与系统课件：第二章 LTI系统
第2章 线性时不变系统
2.1 离散时间LTI系统: 卷积和
（1)用移位单位抽样信号表示离散时间信号 （2)卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 （3)卷积和的计算 （4) 离散时间信号LTI系统的性质
（1）用单位抽样信号表示离散时间信号
x[n] ... x[1] n 1 x[0] n x[1] n 1... x[n][0] x[n 1][1]
（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；
（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。
解：（１）设x(n) (n)，且 y(1) h(1) 0 ，必有
y(n) h(n) 0, n 0
依次迭代
y(0) h(0) (0) 1 y(1) 1 0 1
2
当系统的初始状态为零，单位抽样响应h(n)就 能完全代表系统，那么对于线性时不变系统，任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得。
差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代 的方法求系统的响应，当输入为δ（n）时，输出 （响应）就是单位抽样响应h(n)。
例：常系数差分方程
y(n) x(n) 1 y(n 1) 2
x[n]u[n] x[k]u[n k] x[k]
k
k
（ii）交换律:
yn xnhn hn xn
例子： 线性时不变系统中的阶跃响应 sn
sn unhn hnun
阶跃输入
输 单位抽样信号 入 响应的累加
n
sn hk
k
(iii)分配律:
xnh1n h2 n xnh1n xnh2 n
y(1) h(1) (1) 1 y(0) 0 1 1
2
22
y(2) h(2) (2) 1 y(1) 0 1 1 (1)2

包装测试第二章 线性时不变系统

包装测试第二章 线性时不变系统

三. 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、 解析法和数值解法。 解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中， 一个不动， 移动。 一个不动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一 的值， 对应相乘， 个 t 的值，将 x(τ ) 和 h(t − τ ) 对应相乘，再计算相 乘后曲线所包围的面积。 乘后曲线所包围的面积。 通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有 用的。 用的。
三. 卷积和的计算 计算方法： 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。 运算过程： 将一个信号 x( k ) 不动，另一个信号经反转后成 移位。 为h(− k ) ,再随参变量 n 移位。在每个n 值的情况 对应点相乘， 下，将 x( k ) 与 h(n − k ) 对应点相乘，再把乘积的 各点值累加，即得到 n 时刻的 y ( n) 。 例1： x(n) = α n u (n) 0 < α < 1 ：
α n − 4 − α n +1 = 1−α
④ 6 ≤ n ≤ 10 时， y (n) = ⑤ n > 10
k =n −6
∑
4
α n−k
α n−4 − α 7 = 1−α
时， y ( n ) = 0
通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示， 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对 于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是 很有用的。 很有用的。 例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点： 所有各点都要遍乘一次； ① x ( n) 与 h( n) 的所有各点都要遍乘一次； 在遍乘后，各点相加时， ② 在遍乘后，各点相加时，根据 的特点。 和为 n 的特点。 参与相加的各点都具有 x( k ) 与 h( n − k ) 的宗量之

第二章 (4)卷积积分的性质

第二章 (4)卷积积分的性质

f 1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
2
0 1
1
2 3
t
1
3
t
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
f (t ) = 0
2
0
1
2 3
τ
f 2 (t τ
t2
)
1
t 0
1
τ
解法一: 解法一:图示法
f 1 (τ
t <1 ,
)
t
f (t ) = 0
1< t < 2 ,
f (t ) = ∫ 2dτ = 2(t 1)
(2) e ε(t + 3) ε(t 5) 2t e ε (t + 3) ε (t 5) ∞ 2τ = ∫ e ε (τ + 3) ε (t τ 5)dτ ∞
2t
=∫t 53e2τ1 2(t 5) 6 e = e 2 6 1 2( t 2) = e 1 e 2
[
1 2τ dτ = e 2
' ∞ ∞
上式称为杜阿密尔积分. 上式称为杜阿密尔积分. 杜阿密尔积分 其物理含义为: 其物理含义为:LTI系统的零状态响应等于激励的 系统的零状态响应等于激励的
f ' (t )与系统的阶跃响应 g(t )的卷积积分. 的卷积积分. 导数
例2.4-4 求图示函数 f1(t ) 与 f2 (t ) 的卷积 f (t ) .
若f (t ) = f1(t ) f2(t ),则 f1(t t1 ) f2(t t2 ) = f1(t t2 ) f2 (t t1 ) = f (t t1 t2 )
推广4 推广

信号与系统卷积和及几类常见题目

信号与系统卷积和及几类常见题目

⏹卷积☐卷积的定义☐卷积的物理意义☐卷积的性质☐卷积的计算⏹信号的分解☐信号分解为基本信号之和☐…δ(t )是卷积的单位元δ(t-t 0)是卷积的延迟器u (t )是卷积的积分器δ’(t )是卷积的微分器温故知新，上讲回顾第二章信号的时域分析§2.1常用信号及其基本特性§2.2信号的时域运算Array§2.3信号的时域分解§2.4卷积积分§2.5卷积和信号分类；基本信号特性；信号分解与运算；卷积/卷积和周期/非周期判断；奇异函数运算；信号展缩平移；卷积/卷积和1. 掌握卷积和的定义/性质并进行计算（解析法、图解法、竖式法、性质求解）2. 习题课（信号时域分析几类常见题目）§2.5卷积和一、卷积和的定义及物理意义二、卷积和的性质三、卷积和的计算设x 1(n ) 和x 2(n )是两个序列，则1212()()()()k k k x n x n x x n ∞=−∞∗=−∑如果x 1(n ) 和x 2(n )都是因果序列，则11202()()()()nk x n x n x k x n k =∗=−∑1212()()()()d f t f t f f t τττ∞−∞∗=−⎰卷积和：卷积积分：1. 定义任意序列x (n ) 可以表示为单位样值信号δ(n ) 的移位加权和。

{}()=+(1)(1)+(0)()+(1)(1)+(2)(2)+()()()()k x n x n x n x n x n x k n k x k n k δδδδδδ∞=−∞−+−−+−+=− LTI 系统δ(n )h (n )x (n )?2. 物理意义输入δ(n-k )h (n-k )输出时不变x (k )δ(n-k )x (k )h (n-k )齐次性()=()()k x n x k n k δ∞=−∞−∑zs =()()()*(())k y n x k h n k h x n n ∞=−∞−∑ 可加性系统特性LTI 系统δ(n )h (n )卷积和卷积和的物理意义：揭示了LTI离散系统零状态响应与输入信号和系统单位样值响应之间的关系。

第二章第3讲 卷积

第二章第3讲 卷积



[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：

[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d


结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt

t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )

f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0

f1() f2(-)

信号第二章3卷积

信号第二章3卷积


若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不 变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]


e( ) H [ (t )]d


e( )h(t )d

零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt

r (t ) e( )h(t )d


1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)

线性时不变系统--习题

线性时不变系统--习题

dt
dt
dt
et t et t
t t t
t
方法二没有注意利用冲激函数的性质，求解过
程较繁。另外，对冲激偶信号的性质
f t t f 0 t f 0 t
往往被错误写成
f t t f 0 t
从而得出错误结论。
(2) f t t e3 δτ d τ
1 O t 3 1
t
t 3 1
t
3
1
即2 t 4
g(t) 1 1(t )d t 2 t 2
t3 2
42
T4
1 f1
f2 t
t
1 O
1 t3
t-31
即t 4
gt 0
卷积结果
f1t
1
1 O 1 t
f2 t
3
2
O
3t
t2 t 1
g(t
)
4 t
t
2
2
4
x(t t0 ) h(t) x(t) h(t t0 ) y(t t0 )
例1 粗略绘出下列各函数式的波形图
(1) f1t u t2 1
(2)
f2 t
d dt
et cos tut
描绘信号波形是本课程的一项基本训练，在绘 图时应注意信号的基本特征，对所绘出的波形，应标 出信号的初值、终值及一些关键的值，如极大值和极 小值等，同时应注意阶跃、冲激信号的特点。
设x3(t) ax1 t bx2 t x3 t y3 t x32 t ax1 t bx2 t 2 a2 x12 t b2 x22 t 2abx1 t x2 t
a2 y1 t b2 y2 t 2abx1 t x2 t ay1 t by2 t

卷积

卷积

1, 0 k N 1 RN (k ) , 计算y[k ] RN (k ) RN (k ) 0, otherwise
h[n] RN [n]
1
x[n] RN [n]
1
…
0
n

…
( N 1)
0
n
N 1
y[k ] x[k ] h[k ]
n
1
0
x( )h(t )d
1.d 2T t
t T
t
1
当 t 2T 时，
y(t ) 0
注意:卷积结果y(t)的时间
T
x( )

T 0 h(t )
1
0
起点等于原两个信号的起点
之和;卷积结果y(t)的时间 终点等于原两个信号的时间 终点之和.
t T
t
x(0) h(0) x[0]h[0] h(1) x[0]h[1]
h(2) x[0]h[2]
x(1) x[1]h[0]
x[1]h[1] x[1]h[2] x[1]h[3]
x(2) x(3) x[2]h[0] x[3]h[0]
x[2]h[1] x[2]h[2] x[2]h[3] x[3]h[1] x[3]h[2] x[3]h[3]

例3:计算 u(t ) u(t )
y1 (t ) u (t ) * u (t ) u ( )u (t )d
t 0 1d , t 0 r (t ) u (t ) ,t 0 0
Note : u(t ) u(t ) tu(t )

h( )
1
h(t )
1
T
0

信号与系统第二章(3)卷积积分ppt课件

信号与系统第二章(3)卷积积分ppt课件

f2t
2
f
t
t2
2
3 4
d
3 4
3 2
4
t
t-2 0 t
当 t 4 时， ft0
f2t
3
4
0 t-2 t .
f (t) f1(t) f2(t)
0,
3
(t
2 ),
2
3
,
3
(4
t ),
2
0 ,
t 2 -2 t 0 0 t 2 2 t 4 t4
.
例 2.3例32： 设 f1(t)3e2t(t)， f2(t)2(t)，
f3(t)2(t2).
求 求卷积卷 积1） 积 f1(t) 分 f2(t（ )；2） （ f1(t)f3(t)。
解法一：图示法（1）
当 t 0 时 f 1 t f ， 2 t 0
f1
3
当t 0时，f1t f2t
t 3e2 2d
0
6 t e2d 3e2 t
0
0
31e2t
f 1 t f 2 t 3 1 e 2 t t .
显然上式适用于 t 2 的区间。
f 1 t * f 3 t 3 1 e 2 t 2 t 2
.
练习：画出下列图形的卷积积分
f1t
f2t
2
1
2 -1 0 t
01 2
t
. 16
f1t
2
练习题答案：f1tf2t 2 -1 0 t
2
f2t
1
-1 0 1 t
01 2 t
思考：两个时限信号的卷积积分结果有何特点？ 从非零区间长度及形状考虑。
本节小结1卷积积分的解析法2卷积积分的图解法23卷积积分卷积方法在本书中占有重要地位这里要讨论的卷积积分是将输入信号分解为众多冲激函数之和积分利用冲激响应求解lti系统对任意激励的零状态响应

第二章线性时不变系统

第二章线性时不变系统

引 言
2.0
分析LTI系统时，问题的实质是什么？
1）研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意 信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来 构成任意信号； 引 言 2.0 3 2）研究如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。
基本单元的信号应满足以下要求是什么？
1）尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示尽可能 广泛的其他信号； 2）LTI系统对这种信号的响应易于求的。

h( )
2T
1 x(t )

0
2T
t T

0
t
① 当
t0
时，
y (t ) 0
② 当 0 t T 时，
③ 当 T t 2T时，
连 续 时 间 系 统 ： 卷 积 积 分 19 LTI
④ 当 2T t 3T时，
⑤ 当 t 3T 时，
1 2 y(t ) d t 0 2 t 1 2 y(t ) d Tt T t T 2 2T 1 2 y(t ) d 2T (t T ) 2 t T 2 y (t ) 0
对应点相乘，再把乘积的各点值累加，得到 n 时刻的 y n
x n nu n 例1 已知 h n u n
0 1 ，求LTI系统对输
入信号的响应 y n 。
解：采用图解法
y n
k
x k h n k
上式表明： LTI系统可以完全由它的单位脉冲响应 h(t )来表征。这种求得系统响 应的运算关系称为卷积积分（The convolution integral）。
三．卷积积分的计算（分5步移动法） 卷积积分与卷积和类似，求解的方法有图解法、解析法 和数值解法。

§2-3 卷积的性质--LTI系统的性质

§2-3 卷积的性质--LTI系统的性质

《信号与系统》 信号与系统》
∞
第二章
LTI系统的时域分析 LTI系统的时域分析
x (t ) ∗ δ (t − t 0 ) =
−∞ ∞
∫ x ( τ ) δ (t − τ − t ) d τ
0
0
x (t )
t=ຫໍສະໝຸດ −∞∫ x (t − τ ) δ ( τ − t ) d τ
0
0
δ(t − t0 )
(1)
−∞
∫[x(τ) ∗ h(τ)]dτ = [ ∫ x(τ)dτ]∗ h(t) = x(t) ∗ ∫ h(τ)dτ
−∞ −∞ ∞
3、信号与单位冲激和单位阶跃信号的卷积积分
x(t ) ∗ δ(t ) = ∫ x(τ)δ(t − τ)dτ
−∞ ∞
= ∫ δ(τ) x(t − τ)dτ = x(t )
−∞
《Signals & systems》 systems》 大连海事大学信息科学技术学院
t0
t
= x (t − t 0 )
∞
x (t − t 0 )
t
t
0
t0
x (t ) ∗ u (t ) =
=
《Signals & systems》 systems》
−∞ ∞
∫ x ( τ )u (t − τ ) d τ = ∫ x ( τ ) d τ
−∞ ∞ 0
−∞
∫ u ( τ ) x (t − τ ) d τ = ∫ x (t − τ ) d τ
∞
x(n) ∗ h(n) = h(n) ∗ x(n)
x(t) ∗ h(t) = ∫ x(τ)h(t − τ)dτ
−∞
∞
作变量代换：t-τ=λ，于是 τ=t-λ，dτ= -dλ。上式

第二章卷积图解计算

第二章卷积图解计算
卷积积分的图解计算
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
( ff1τt)) 1(
() ff22(τt)
1 1 2 2
步骤
∞
将f2 (τ )反 得f2 (− ) 折 τ
f2 (−τ)
1 2
1 1
0 0
1 1
t
f1(τ )
0 τ 0
1 1
2 2
1Байду номын сангаас
0
1 +t −3
−1+ t
τ
−1+ t
f2 (t −τ )
1 2
0
τ
平移
第二章第1讲
1
例
1
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
当 −1+ t < 0 即 t < 1 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 1 2 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0 t 0 1 2 3
1 1 1× dτ = (4 − t) −3+t 2 2
1
即为重叠部分的面积。 当 −3+t ≥1 即 t ≥ 4 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0
第二章第1讲 3
f 2 (t −τ ) f1(τ)
4
f (t)
∞
f 2 (t −τ ) f1(τ)
1
−3 + t −1+ t 0
1

卷积和

卷积和
■ 第 7页
图解法求卷积和例1
例1：f1(k)、 f2(k)如图所示，已 知f(k) = f1(k)* f2(k)，求f(2) =？
f1( ik ) 1.5 1 -1 0 1 -1 0 1 1 f2( ik ) 1.5
2
-2
2
3
k i
解： f (2) f1 (i ) f 2 (2 i ) i （1）换元 （2） f2(i)反转得f2(– i) （3） f2(–i)右移2得f2(2–i) （4） f1(i)乘f2(2–i) （5）求和，得f(2) = 4.5
举例:P102
■ 第 5页

注意2：因果序列的卷积和求和上下限
用定义求卷积和例
例：f (k) = a kε(k), h(k) = b kε(k) ，求yzs(k)。
解： yzs(k) = f (k) * h(k)

i


f (i )h(k i )
i
i k i a ( i ) b (k i )
■ 第 16 页
四、卷积和的性质
1. 满足乘法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律. 2. f(k)*δ(k) = f(k) ， f(k)*δ(k– k0) = f(k – k0) 3. f(k)*ε(k) =
i
f (i)
k
4. f1(k – k1)* f2(k – k2) = f1(k – k1 – k2)* f2(k)

f2(–i )
-2
f2(2–i)
2 3
ik
f1( i )f2( k- i )
2 1.5 1 -1 0 1 2
■
3
i

信号与系统第二章 总结

信号与系统第二章 总结

第二章 总结一﹑LTI 连续系统响应（一）微分方程经典解法=解开方式：全解y （t ）=通解）（特解）（t y t y p n + 1﹑通解（齐次解）：令右侧为零由特征方程n a +n λ1-n a +1-n λ…+0a a 01=+λ确定通解形式，再由n 个+0初始条件确定系数。

总结：齐次解模式由系统决定，系数由n 个初始条件决定，有时与f （t ）有关。

2﹑特解：函数形式与f （t ）有关，根据f （t ）形式选择特定形式后，代入原微分方程，球的系数。

3﹑全解：） y （t ）=）（）（t y t y p n + 响应。

）又称强迫响应或受迫（响应；）又称自由响应或固有（t y t y p n (二)初始条件与-00+（1）经典系统的响应应限于到正无穷范围。

+0（2）不能将{）（-n 0y }作为微分方程初始条件。

（3）{）（+0y n }由{）（-n 0y }导出，{）（+0y n }又称导出初始条件。

（三）零输入响应与零状态响应y （t ）=）（）（t y t y zs zi + 定义求解：（1）求解zi y ：微分方程→特征方程→特征根→zi y （t ）模式→数由{）（-n 0y }确定。

（2））（t y zs 求解：经典法﹑卷积积分法。

二﹑卷积积分卷积积分及其图解计算（1）定义： （2）图解计算：∑=n 1i i i t y a ）（）（∑=m 1j j j t f b ）（）（()()()τττd 21⎰∞∞--=t f f t f ττ ),()(.111积分变量改为f t f →)()()()(.22222τττ-−−→−-−−→−→t f f f t f 平移翻转τττd )(.)(.321-⎰∞∞-t f f 乘积的积分：总结：翻卷（翻转+平移）→乘积→积分三﹑卷积的性质：（一）卷积的代数性质：（1） 交换性：（2） 分配性：（3） 结合律： (二)延时特性：卷积的延迟量等于相卷积的两函数卷积之和（三）函数与冲激函数卷积)()()(t f t t f =*δ卷积奇偶性：同偶异奇（四）卷积的导数与积分：1﹑卷积导数：[）（）（t f t f 21*]´=）（）（t f t f 21*´=）（）（，t f t f 21* 推广：）（）（）（）（）（）（t f t f t f t f n 2n 121-*=* 2、卷积积分）（）（）（）（）（）（t f dx x f dx x f t f dx x f x f 2t 1t 212t 1*=*=*⎰⎰⎰∞-∞-∞- 若y （t ）=）（）（t f t f 21*，则）（）（）（）（）（）（t f t f t y j -i 2j 1i *= （五）相关函数dt t f t f dt t f t )()()(f R 212-112•+=-•=⎰⎰∞∞-∞∞τττ）（）（ dt t f t f dt t f t )()()(-f R 212-121τττ+•=•=⎰⎰∞∞-∞∞）（）（ )-(R 2112ττR =）（ ）（）（ττ-R R 1221=自相关函数：若）（）（）（t f t f t f 21==，则R （τ）称为自相关函数。

卷积和积分运算

卷积和积分运算

卷积和积分运算卷积和积分运算先看到卷积运算，知道了卷积就是把模版与图像对应点相乘再相加，把最后的结果代替模版中⼼点的值的⼀种运算。

但是，近来⼜看到了积分图像的定义，⽴马晕菜，于是整理⼀番，追根溯源⼀下吧。

1 卷积图像1.1 源头⾸先找到了⼀篇讲解特别好的博⽂，原⽂为：贴过正⽂来看：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------信号处理中的⼀个重要运算是卷积.初学卷积的时候,往往是在连续的情形, 两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du 当然，证明卷积的⼀些性质并不困难，⽐如交换，结合等等，但是对于卷积运算的来处，初学者就不甚了了。

其实，从离散的情形看卷积，或许更加清楚， 对于两个序列f[n],g[n],⼀般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k] 卷积的⼀个典型例⼦,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算, ⽐如(x*x+3*x+2)(2*x+5) ⼀般计算顺序是这样, (x*x+3*x+2)(2*x+5) = (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5 = 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10 然后合并同类项的系数, 2 x*x*x 3*2+1*5 x*x 2*2+3*5 x 2*5 ---------- 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 实际上,从线性代数可以知道,多项式构成⼀个向量空间,其基底可选为 {1,x,x*x,x*x*x,...} 如此,则任何多项式均可与⽆穷维空间中的⼀个坐标向量相对应, 如,(x*x+3*x+2)对应于 (1 3 2), (2*x+5)对应于 (2,5). 线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,⽽只有加法,数乘两种运算,⽽实际上,多项式的乘法,就⽆法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了. 但如果按照我们上⾯对向量卷积的定义来处理坐标向量, (1 3 2)*(2 5) 则有 2 3 1 _ _ 2 5 -------- 2 2 3 1 _ 2 5 ----- 6+5=11 2 3 1 2 5 ----- 4+15 =19 _ 2 3 1 2 5 ------- 10 或者说, (1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10) 回到多项式的表⽰上来, (x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 似乎很神奇,结果跟我们⽤传统办法得到的是完全⼀样的. 换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积. 其实,琢磨⼀下,道理也很简单, 卷积运算实际上是分别求 x*x*x ,x*x,x,1的系数，也就是说，他把加法和求和杂合在⼀起做了。

第二章-线性时不变系统(20170918)

第二章-线性时不变系统(20170918)

f ( n) * u ( n)
3、u(n)与anu(n) 卷积
k

n
f (k )
1 a n 1 a u ( n) * u ( n) u ( n) 1 a
n
2.图示法（图解法）

用作图法计算x1(n)*x2(n)的步骤为： 1. 将序列x1(n)、 x2(n)的自变量用k代替，然后将序 列x2(n)以纵坐标为轴反转，成为x2(-k) 2. 将(-k)沿正k轴平移n个单位，成为x2(n-k) 3. 求乘积x1(k) x2(n-k) 4. 按公式求各乘积之和
时， y (n) 0
常用信号的卷积和 1、f(n)与单位脉冲信号卷积
f ( n) ( n) f ( n)
f ( n) ( n N ) f ( n N )
f (n M ) (n N ) f (n M N )
2、f(n)与单位阶跃序列卷积
例1、（定义式法）求 y (t ) 解 y (t ) f1 ( ) f 2 (t )d


f1 (t ) f 2 (t ) e 1t u (t ) e 2t u (t )
e1 u( )e2 (t ) u(t- )d
0 e 1 e 2 ( t ) d



x ( ) (t- )d
二. 卷积积分（Convolution sum） LTI系统的单位脉冲响应
x(t) (t) x(τ) (t-τ) x(τ)(t-τ) y(t) h(t) y(τ) h(t-τ) x(τ)h(t-τ)
定义h(t)为δ(t)通过 LTI系统的输出
LTI系统
三. 卷积积分的计算
卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、
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矩形信号：
x(t) 1
x(t ) u(t t1 ) u(t tn )
0 t1 tn t
分为一系列宽度相等 的窄矩形脉冲之和
x(t ) u(t t1 ) u(t t2 ) u(t tn1 ) u(t tn )
x(t) 1
若：
0
0
t1
n 1 i 1
注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。
2.3 卷积积分
对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单 信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应， 那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系 统的响应。 一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲激 函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激 函数之和的情况。
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和：
y f (t )
当：
k

x(k ). .h(t k )
求和符号改为积分符号



d , k
x(t ) x( ) (t )d
y f (t ) x( )h(t )d
x(t ) (t ) x(t )
证明：
x(t ) (t ) x( ) (t )d


x( ) ( t )d

( (t ) (t ))
x(t ) ( t )d


x(t )
(2)
(3)
证明：
例：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t)
x(t) 1
h(t) 1

1 2
0
1
t
0
h ( )
2
t
反折：
1
时移
1
h (t )
-2
0

-2+t t 0
（1）
h (t )
1
x ( )
1 t 时， y (t ) 0 2
-2+t
t

1 2
0
1

h (t )
2、将h(-τ）沿τ轴时延t秒，得得h(t－τ）
3、将x(τ）与 h(t－τ）相乘 ，得x(τ） h(t－τ） 4、沿τ轴对x (τ） h(t－τ）积分
h(t) 1 1 t
x(t) 2 1 2 4 t
h(t-)
x()

t=0 t-1 t t<1

1<t<2

2<t<3

3<t<4

4<t<5


上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
y(t ) x(t ) * h(t ) x( )h(t )d


卷积积分的图解法 卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求 解步骤，以x(t)*h(t)为例：
1、将h(τ）反折，得h(-τ）
ai y (i ) (t ) 0
i 0
n
的解
若n个特征值各不相同： yh (t )
ci eit
i 0
n
若特征值中有λ 1是r重根，而其余的根都为单数，则
yh (t ) ci t e
r i 1t i 0
r
j r 1
c je
n
jt
ci、cj的值由初始条件确定。 特解 特解的函数形式与激励函数形式有关。
1
x ( )
（2）
-2+t
1 2
0
t 1

1 t 1时， 2 t 1 t2 t 1 y(t ) 1 (t )d 2 4 4 16 2
h (t ) 1
x ( )
（3）
-2+t 2 1
0 1 t
3 1 t 时 2 1 1 3 3 y (t ) 1 (t )d t 2 4 16 2
例
h(t)
1 已知： h(t ) 0
t 2 t 2
-2 2 t
x(t ) 3 (t ) (t 3)
解：将h(t)写成与阶跃函数乘积的形式：
h(t ) u(t 2) u(t 2)
y(t ) x(t ) h(t ) (3 (t ) (t 3)) [u (t 2) u (t 2)] 3 (t ) u (t 2) 3 (t ) u (t 2) (t 3) u (t 2) (t 3) u (t 2) 3u (t 2) 3u (t 2) u (t 1) u (t 5)
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient)
重点：
理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质；
掌握LTI系统的性质；
难点：
深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
2.1
线性时不变连续系统的时域解法
连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分 方程来描述系统。
微分方程的经典解。 微分方程
A0+A1t A0+A1t+A2t2+……APtp
系统的零输入响应与零状态响应
一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零 状态响应。即：
y(t ) y x (t ) y f (t )
零输入响应 零状态响应 而： y x (t ) c xi e
i 0 n
yx (t ) T[( y(t0 )， }] {0
（4）
h (t ) 1
x ( )
3 t3 2

t

1 -2+t 2 0
1
1 t2 t 3 y (t ) (t )d t 2 2 4 2 4
1
x ( )
h (t )
(5)
1 2
1
t 3时，y(t ) 0
0 1 -2+t
t
y(t)

(令 t t 2 ' )
x(t t1 t 2 )
(4)
若：x(t ) x1 (t ) * x2 (t ) 则 : x1 (t t1 ) x2 (t t2 ) x(t t1 t2 )
x(t ) ' (t ) x' (t )
(5)
微分方程的特解形式：
输入信号x(t) 常数C
eat
e
at
特解yp(t) 常数A
Aeat
j 0 L
a i
a i
Ck t k
k 0 L
i为 i重根
Aj t j e at
i
Aj t j
j 0
t tp
cos(t )
B1 cos(t ) B2 sin(t )
例：已知
x(t ) e u(t )
at
a0
h(t ) u (t )
求：
y(t ) x(t ) * h(t )
x（τ ）
1
h（τ ）
1
t
t
例：已知
x(t ) e u (t )
2t
h(t ) u (t 3)
y(t ) x(t ) * h(t )
2
求：
x( ) e u ( )
例：已知
x1 (t ) e u (t ) x2 (t ) u (t 3) u (t 5)
y(t ) x1 (t ) * x2 (t )
x(t ) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t1 ) (t t2 ) x(t t1 t2 )
x(t t1 ) (t t 2 ) x( t1 ) (t t 2 )d

x(t t1 t 2 ' ) ( ' )d '
分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。
2Ω ＋ 1.5δ (t) ＋ 0.25F －
解：建立系统的微分方程：
uc(t)
－
duc RC u c 1.5 (t ) dt duc 即： 2u c 3 (t ) dt
由于冲激函数是在t=0时给系统注入了一定的能量，而在t>0 时，系统的激励为0。相当于在0－到0＋时刻，使系统具有了一 定的初始能量。因此，系统的冲激响应与系统的零输入响应具 有相同的形式。这里，用h(t)表示系统的冲激响应。即：
时的输出y(t)。
解：
y1 (t ) (e
2t
e )u(t )
2t
t
y2 (t ) (3e
பைடு நூலகம்
5e )u(t )
t
2.2 单位冲激响应
单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信 号 (t ) 的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。 即：
h(t ) T [{0}, (t )]
（3）卷积的结合律：
( x(t ) h1 (t )) * h2 (t ) x(t ) (h1 (t ) h2 (t ))
x(t) h1(t) h2(t) y(t)
（4）卷积的微分： 两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数 与另一函数之卷积。即：
( x(t ) h(t ))' x' (t ) h(t ) x(t ) h' (t )
设x(t)为无时限的信号，将它分解为一系列宽度为 的 窄脉冲之和。
x(t ) x(k )
0
k