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卷积积分的运算

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卷积积分基础

卷积积分基础

f
(i 2
j
)
(t
)
f (t)
f1(1) (t)
f (1) 2
(t
)
d dt
f1(t)
t
f2 ()d
常数信号(直流信号) f (t) E ( t ) 经微分后为零,需特殊考虑, 不能用微分性质
15
三、与冲激函数或阶跃函数的卷积
f (t) (t) f (t)
f (t) (t) ( ) f (t )d f (t)
1 1
2
1
1 2
(t
)d
3t 3 4 16
7
r(t) e(t) h(t) e( )h(t )d
h(t )
e( )
t
(3) 1 t 3 2
e(t) h(t) 3 t 3 4 16
(4) 3 t 3
e( )
2
h(t )
t
e(t) h(t) 1 1 1 (t )d
t2
4
t 4
1 16
( 1 t 1) 2
r(t) e(t) h(t)
r(t)
43
t
3 16
(1 t 3) 2
t2
t
3
( 3 t 3)
4 2 4 2
0
其它
t
卷积结果所占的时宽等于两个函数各自时宽的总和
10
P842 14(1) f (t) u(t) u(t 1),求s(t) f (t) f (t)
(1) t 0时, s(t) 0
(2)
0 t 1时,
s(t)
t
d t
0
(3)
1 t 2时,
s(t)
1

圆周卷积的积分算法

圆周卷积的积分算法
由于yi（n）的长度为N，而xi（n）的长度为N2，因此相邻两yi（n）序列必然有N-N2=N1-1点发生重叠，这个重叠部分应该相加起来才能构成最后的输出序列。
计算步骤：
a.事先准备好滤波器参数H（k）=DFT[h（n）]，N点
b.用N点FFT计算Xi（k）=DFT[xi(n)]
c.Yi(k)=Xi(k)H(k)
程序：
function y = overlap_add(x1,x2,N)
%重叠相加法实现
%将高点数DFT转化为低点数DFT
M = length(x2);%获得x2(n)的长度
if N<M
N = M+1;
end
L = M+N-1;
Lx = length(x1);
T = ceil(Lx/N);%确定分段数
其次，我要感谢帮助过我的同学，同时也感谢学院为我提供良好的做课程设计的环境。
最后再一次感谢所有在设计中曾经帮助过我的良师益友和同学！
参考文献
[1]刘泉,阙大顺,郭志强.数字信号处理.北京：电子工业出版社，2009
[2]唐昌建.Matlab编程基础与应用.四川：四川大学网络教育学院，2003
[3]陈怀琛.数字信号处理教程-Matlab释疑与实现.北京：电子工业出版社，2004
2.2圆周卷积计算过程
具体步骤如下：
（1）在二元坐标上做出 与 ；
（2）把 沿着纵坐标翻转，得到 ；
（3）对 做圆周移位，得到 ;
（4） 与 对应相同的m的值进行相乘，并把结果相加，得到对应于自变量n的一个 ;
（5）换另一个n,重复以上两步，直到n取遍0到N-1所有的值，得到完整的 。
3重叠相加法原理
这次课程设计主要用到了matlab软件，这款软件在对数字信号处理的建模、编程、分析、实现等方面功能非常强大，由于之前在实验课中我们曾经接触过matlab，因此这次做起来相对轻松一些。我选做的题目是基于重叠相加法的圆周卷积，在开始进行程序设计之前，我先对理论知识进行了回顾，在熟悉了圆周卷积以及重叠相加法的原理以及matlab的应用环境后，我开始了软件的设计，虽说之前对matlab有所了解，但对软件里面的程序包并不了解，所以编程的过程中也遇到过很多问题，比如找不到需要用的函数，但通过查看软件自带的帮助信息我很快能够找到自己想要的东西，在熟悉了原理后，程序设计并不复杂，但程序的调试却花了很长时间，其中也遇到了一些莫名其妙的问题，调试成功后第二次再打开就不行了，经过了长时间的调试，并且在老师和Leabharlann 学的帮助下，我换了个软件终于解决了。

卷积的数学符号

卷积的数学符号

卷积的数学符号
卷积是一种数学运算，通常用符号“*”表示。

它是两个函数之间的一种操作，可以用于信号处理、图像处理、神经网络等领域。

假设有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的卷积函数h(x)可以表示为：
h(x) = (f * g)(x) = ∫f(t)g(x-t)dt
其中，“∫”表示积分符号，t为积分变量。

也就是说，卷积运算是将f(x)与g(x)在x轴方向滑动并相乘之后再求和的过程。

在数字信号处理中，卷积可以用来实现滤波器，例如低通滤波器、高通滤波器等。

在神经网络中，卷积可以用来提取图像特征，例如边缘、角等。

除了“*”符号，卷积还可以用“”符号表示，以及一些特殊的函数表示方式，例如fg、fg等。

在不同的领域和文献中，可能会使用不同的符号表示卷积运算。

- 1 -。

卷积的数学性质

卷积的数学性质

卷积的数学性质
卷积是一种数学操作，可以用来将两个函数的值连接在一起，以及在号处理和图像处理领域中实现息提取和特征提取的有效技术。

卷积可以被认为是离散滤波器和泛函分析的基础。

卷积运算可以被定义为两个函数f（x）和g（x）的积分运算，其中f（x）是输入函数，g（x）是卷积核。

卷积的计算过程
可以分为两步：第一步，把f（x）乘以g（x）；第二步，对
乘积结果进行积分计算。

卷积操作具有许多有用的性质，尤其是在处理号和图像时。

其中最重要的性质之一是卷积的平移不变性，即卷积结果不受输入函数的位移影响。

卷积运算也具有反卷积性质，即可以通过反卷积操作将输出函数变为输入函数。

此外，卷积运算也具有旋转不变性，即卷积结果不受输入函数的旋转影响。

此外，卷积操作还有一些其他性质，例如可以用于检测图像中的特定形状，可以用于提取图像中的特定特征，可以用于探测图像中的边缘等。

卷积操作在现代号处理和图像处理中起着重要作用，例如在计算机视觉领域，可以用卷积操作提取视觉特征，以实现更好的识别和分类效果；在语音处理领域，可以用卷积操作提取语音特征，以实现更好的识别效果；在机器研究领域，可以用卷积操作提取特征，以实现更好的研究效果。

因此，卷积操作在处理号和图像时起着重要作用，具有许多有用的数学性质，可以有效地提取息和特征，并在多个领域实现有效的应用。

积分变换第4讲卷积定理与相关函数

积分变换第4讲卷积定理与相关函数

解 ：F（si n w 0 t
• u(t )） F（e iw0t
e iw0t 2i
• u(t)）
1 {F（e iw0t • u(t )） F (e iw0t • u(t )）}
2i

1{1 2i iw
d（w）} |www0

1{1 2i iw
d（w）} |www0
例4 利用傅氏变换的性质, 求d(tt0),
ejw0t ,以及tu(t )的傅氏变换 解：因F (d (t)) 1,由位移性质得
F (d (t t0)) e jt0w F (d (t)) e jt0w 由 F (1) 2d (w),得
F (ejw0t ) 2d (w w0)
w0t
•
e t u(t )）
F
（ eiw0t
eiw0t 2
•
e t u(t )）
1 {F （eiw0t • e tu(t)） F (eiw0t • u(t)）}
2

1 2
{ iw
1

}
|w
w

w0

1 2
{ iw
1

}
|w
w

w0

1 2
{ i

w

1 w0
2n
t
Dt
n
则g(t)
f
(t
)
1
Dt
e
j
2n
t
Dt
n

G(w)
1
Dt

F (w nDw)
n
(Dw

2 Dt
)
33

卷积的几种计算方法以及程序实现FFT算法

卷积的几种计算方法以及程序实现FFT算法

e ( t 1) )u(t 2)
Made by 霏烟似雨
数字信号处理
ht 1
e

t 2
u (t ) u (t 2)
e t 1
e t u (t )
O
t
波形
O
2
t
2. 今有一输油管道，长 12 米，请用数字信号处理的方法探测管道内部的损伤，管道的损伤可能为焊 缝，腐蚀。叙述你的探测原理，方法与结果。 （不是很清楚） 探测原理：因为输油管道不是很长，可以考虑设计滤波器器通过信号测量来测试管道的损伤，当有 焊缝时，所接受的信号会有所损失，当管道式腐蚀时，由于管壁变得不再是平滑的时候，信号的频率 就会有所改变。
rk r ( k N / 2)
，则后半段的 DFT 值表达式：
X 1[
N N / 2 1 N / 2 1 r ( k ) N N rk k ] x1[r ]WN / 22 x1[r ]WN ， k ] X 2 [k ] （ k=0,1, … ,N/2-1 ） / 2 X 1[ k ] ，同样， X 2 [ 2 2 r 0 r 0
d it L Ri t et dt


t
t 2
u(t ) u(
i(t )
L 1H
2) 冲激响应为 h(t ) e u(t ) 3)
i(t ) e( ) h(t ) d

程序： function test x = rand(1 , 2 .^ 13) ; tic X1 = fft(x) ; toc tic X2 = dit2(x) ; toc tic X3 = dif2(x) ; toc tic X4 = real_fft(x) ; toc max(abs(X1 - X2)) max(abs(X1 - X3)) max(abs(X1 - X4)) return ; function X = dit2(x) N = length(x) ; if N == 1 X=x; else X1 = dit2(x(1:2:(N-1))) ; X2 = dit2(x(2:2:N)) ; W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:(N/2-1))) ; X = [X1 + W .* X2 , X1 - W .* X2] ; end return ;

《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算

《信号与系统教学课件》§2.6 卷积及其性质和计算

将卷积的微分性质和积分性质加以推广，可以得到
s
t
nm
f (n) 1
t
f (m) 2
t
f (m) 1
t
f (n) 2
t
X
二、卷积的性质
注意函数的积分和微分并不是一个严格的可逆关系， 因为函数加上任意常数后的微分与原函数的微分是相 同的。因此，对于等式
f1 t
f2 t
f1' t
k
d
k
f
3
t
d
令w k
f1
k
f2
w f3
t
k
w d w d k
令st f2t f3t
f1 k s t k d k
f1 t st
f1 t
f2 t
f3 t
f 1
t f2 t
f3 t
X
二、卷积的性质
一、代数性质 • 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
h2 t
r(t)
h1 t
图2.6.2 卷积交换律的系统意义
X
二、卷积的性质
一、代数性质
• 结合律
对于函数f1 t , f2 t , f3 t ,存在
f1 t f2 t f3 t f1 t f2 t f3 t
根据卷积的定义
f1 t
f2
t
f3
t
f1
k
f2
X
三、卷积的计算
根据卷积的定义，卷积计算是由若干基本的信号运算组成的， 对于
s
t
f1
f2
t
d
第一步 反褶：将 f1 t 反褶运算，得到 f1

1-3卷积(16)

1-3卷积(16)

§1. 如果进行相关运算的是同一个函数g(x,y)，则称为自 2 相关运算。 自相关函数的定义为
g(x,y)＝g(x,y)☆g(x,y)
g * ( x, y ) g ( , )dd

∞
相关运算应注意两个函数的顺序，以及哪个函数取复共轭。 *有书定义如 下，符号顺 序不同
卷积的两个效应
展宽: 卷积的宽度等于被卷积函数的宽度 之和. 平滑:被卷积函数本身的起伏变的平滑. 扫描:可以看成一个函数 h( x ) 对另一 个函数的扫描 f ( )

第三节
一、相关的定义
相
关
§1. 2
函数g(x,y)和h(x,y)的相关运算用符号g(x,y)☆h(x,y)表 示，记为γ gh(x,y),并定义为
§1. 2
分配律Distributive Property
c1 f ( x) c2 g( x) h( x) c1 f ( x) h( x) c2 g( x) h( x)
This property is also called the linearity property of convolution
for any a and b such that
a x0 b
Extend the limits of integration and use that fact that the delta function is an even function to write:


f ( )δ( x )d f ( x)
f ( x) δ( x) f ( x)
Properties of Convolution
Definition Commutative Distributive Associative Shift Invariance Scaling Identity Area

第二章第3讲 卷积

第二章第3讲 卷积



[ f () * f ()]d f (t) * f ()d f (t) * f ()d
1 2 1 2 2 1
t
t
t
证明：

[ f ( ) * f
1 t 1
t
2
( )]d [ f1 ( ) f 2 ( )d ]d
[ f1 (t )u(t t1 )] [ f 2 (t )u(t t2 )]
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
g (t ) f1 ( )u( t1 ) f 2 (t )u(t t2 )d


结合律应用于系统分析,相当于串联系统的冲激响 应,等于串联的各子系统冲激响应的卷积
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
卷积的微分与积分
df2 (t ) df1 (t ) d [ f1 (t ) * f 2 (t )] f1 (t ) * f 2 (t ) * dt dt dt

t t2
t1
f1 ( ) f 2 (t )d
t1 t t2
t
积分限是： 例：
f1(t ) 2e u(t )
g (t )

f 2 (t ) u(t ) u(t 2)
求
f1 ( ) f 2 (t )d
信号与系统 同济大学汽车学院 魏学哲 weixzh@
f1( ) 1 f2(1-) 2
f1( ) 1 f2(2-) 2
f1( )
f2(3-)
2
c
c
c
c
-1
0

f1() f2(-)

卷积

卷积
卷积应用(1张)介绍一个实际的概率学应用例子。假设需求到位时间的到达率为poisson(λ)分布，需求的 大小的分布函数为D(.)，则单位时间的需求量的分布函数为 F(x)：
其中 D(k)(x)为k阶卷积。
卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲 得很详细。
如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。
简介
简介
卷积（又名褶积）和反卷积（又名反褶积）是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用卷 积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果；而反卷积，直到最近，Schroeter、Hollaender和Gringarten 等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反卷积方法很快引起了数学界的广泛注意。有专家认为，反卷积的应 用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言，随着测试新工具和新技术的增加和应用，以及与其它 专业研究成果的更紧密结合，试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大 。
对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析 的Peter-Weyl定理。
应用
应用
卷积在工程和数学上都有很多应用：
统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概 率密度函数的卷积。光学中，反射光可以用光源与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。电子工程与信号处 理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。物理学中，任 何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。
卷积
数学算子
01 简介
目录

信号第二章3卷积

信号第二章3卷积


若将此信号作用到冲激信号为h(t)的线性时不 变系统，则系统的响应为
r (t ) H [e(t )] H [ e( ) (t )d ]


e( ) H [ (t )]d


e( )h(t )d

零状态响应：rzs (t ) e( )h(t )d h(t ) e(t )
def
2.算子符号基本规则
(1)算子多项式可以进行因式分解 ( p 2)( p 3) p 2 5 p 6 例如： (2)等式两端的算子符合因式不能相消 ( p 2) r (t ) ( p 1) e(t ) ( p 2)( p 3) r (t ) ( p 2 4 p 3) e(t ) 不能简化为： (3)算子的乘除顺序不能随意颠倒
（3）结合律： f1(t) f2 (t) f3 (t) f1(t) f2 (t) f3 (t)
e(t)
h1(t)
h2(t)
r(t)
串联系统 r (t ) e(t ) h1 (t ) h2 (t )
2.卷积的微分与积分
d f1 (t ) f 2 (t ) df 2 (t ) （4）微分性： f1 (t ) dt dt df1 (t ) (适于高阶微分） f 2 (t ) dt

r (t ) e( )h(t )d


1 (a) t 2
e(t ) * h(t ) 0
h(t )
e( )
1
1 2
t 2
(b)
0
1 t 1 2
相乘
t
1
1 t 1 2 t 1 e(t ) * h(t ) 1 1 (t )d 2 2 t2 t 1 4 4 16 (b)

c fft 卷积算法

c fft 卷积算法

卷积算法在信号处理、图像处理、语音处理等领域有着广泛的应用。

快速傅里叶变换（FFT）是一种高效计算卷积的方法，它基于傅里叶变换的性质，将卷积运算转化为乘积运算和加法运算，从而大大降低了计算的复杂度。

一、卷积运算卷积运算是一种线性运算，它将两个函数重叠的部分进行积分，得到的结果是一个新的函数。

具体来说，给定两个函数f和g，定义它们的卷积为：(f*g)(t) = ∫(-∞ to ∞) f(τ) g(t - τ) dτ其中，f和g的取值范围都是全体实数，t是卷积的变量。

卷积运算具有以下性质：交换律：fg = gf结合律：(fg)h = f(gh)恒等函数：f*δ(t) = f(t)，其中δ(t)是单位函数二、快速傅里叶变换（FFT）快速傅里叶变换是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换的方法。

在FFT中，卷积运算被转化为乘积运算和加法运算。

设f和g是长度为N的实数序列，它们的DFT分别为F和G，那么，根据卷积性质和傅里叶变换的性质，有：F(k) = FFT[f(n)] = ∑(0 to N-1) f(n) e^(-2πikn/N)G(k) = FFT[g(n)] = ∑(0 to N-1) g(n) e^(-2πikn/N)卷积运算的结果可以表示为：H(k) = F(k) * G(k) = ∑(0 to N-1) ∑(0 to N-1) f(n) g(m) e^(-2πik(n-m)/N)通过观察可以发现，H(k)可以通过两个路径计算得到：一条路径是直接计算F(k)和G(k)，然后将它们相乘得到H(k)；另一条路径是先计算出f(n)和g(m)的卷积，再对卷积结果进行DFT得到H(k)。

由于DFT的计算复杂度为O(NlogN)，而直接计算卷积的复杂度为O(N^2)，因此采用FFT计算卷积可以大大降低计算的复杂度。

三、基于FFT的卷积算法流程基于FFT的卷积算法主要包括以下几个步骤：输入两个长度为N的实数序列f和g。

卷积积分及其性质 ppt课件

卷积积分及其性质 ppt课件


d dx
(t)是奇函数 [ (x t)] f (x) d x [ f (t)] f (t)
第2-15页
PPT课件
15
■
©西安电子科技大学电路与系统教研中心
信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
3. f(t)*ε(t)

t
f ( ) (t ) d f ( ) d
¥
ò yzs (t) =f (t) * h(t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]e(t - t ) d t
-?
当t <τ，即τ> t时，ε(t -τ) = 0
蝌t
yzs (t) =
et [6 e- 2(t- t )- 1]d t =
-?
t
(6 e- e2t 3t - et ) d t
?
(t)
t0
)
f
(
t
)
d
t

f (t0)

'(t) f (t) d t f '(0)


PPT课件
(t
t0 )
f
(t) d t


f

(t0 )
16
第2-16页
■
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信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
三、卷积的微积分性质
1.
dn dtn
第2-11页
PPT课件
11
■
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信号与系统 电子教案
2.4 卷积积分的性质
下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。

卷积积分的运算

卷积积分的运算
§2.5 卷积积分的运算和图解
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
h( ) 翻转h( ) 平移th(( t)) h(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
例11：画出下列系统的模拟图
y(t) 5 y(t) 3 y(t) 3x(t) x(t)
例：引入辅助函数q(t)
q(t) 5q(t) 3q(t) x(t) 利用微分特性法 y(t) 3q(t) q(t)
q(t) x(t) 5q(t) 3q(t)
例12：根据系统的模拟图写出其微分方程模型
et
d
r t
d
et
rt
et
rt
et
T rt
rt de(t)
dt
t
r(t) e(t)dt
rt et rt et T
例10：试用系统模拟图来表示下列方程所描述的LTI系统
a2 y(t) a1 y(t) a0 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a2 y(t) b2 x(t) b1 x(t) b0 x(t) a1 y(t) a0 y(t)
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(t )
b0 x(t )
a1
y(t)
a0
y(t )]
y(t )
1 a2
[b2 x(t )
b1 x(1) (t )
b0 x(2) (t ) a1 y(1) (t ) a0 y(2) (t )]
根据该式，可直接画出系统模拟图
y(t)

拉普拉斯逆变换卷积积分

拉普拉斯逆变换卷积积分

拉普拉斯逆变换卷积积分
拉普拉斯逆变换卷积积分是一种常见的数学运算方法，用于求解
拉普拉斯变换后函数的逆变换。

它可以通过卷积积分的方式来实现。

具体来说，设函数F(s)的拉普拉斯变换为F(s)=L[f(t)]，其中
f(t)为原函数。

则拉普拉斯逆变换卷积积分的数学表达式为：
f(t) = (1/2πi)∫[c-i∞,c+i∞]e^(st)F(s)ds
其中，c为一个实数，需要满足所有F(s)的奇点都位于c的右半
平面内。

拉普拉斯逆变换卷积积分的求解过程较为复杂，需要利用留数定理、快速变换等方法。

首先，需要找到F(s)在右半平面内的奇点，并
计算其留数；然后，通过留数定理计算积分路径上的积分结果；最后，利用卷积公式将各个奇点的贡献加和得到最终的逆变换结果f(t)。

拉普拉斯逆变换卷积积分在信号处理、电路分析等领域有广泛的
应用。

通过该方法，可以将复杂的拉普拉斯变换后的函数转化为原始
的时域函数，使得问题求解更加方便和直观。

卷积积分介绍

卷积积分介绍

h(t)
(1) 1
O
(1) t
g(t)
1
O12 1
g(t)f(1)(t)h(1)(t)
t 3 2t
t 3
0t 1 1t 2 2t 3
3 t
注意
28
注意
当f1(t)
t df1(t)dt时, dt
f 1 ( t) f 2 ( t) f 1 ( t) f 2 ( 1 )( t)
例 sg t： n t
系统并联运算
3．结合律
f ( t ) f 1 ( t ) f 2 ( t ) f ( t ) [ f 1 ( t ) f 2 ( t )]
系统级联运算
22
系统并联
f 1 ( t ) [ f 2 ( t ) f 3 ( t ) f ] 1 ( t ) f 2 ( t ) f 1 ( t ) f 3 ( t ) 系统并联，框图表示：
一般数学表示： g(t) f1()f2(t)d 信号无起因时： g(t) f()h(t)d
(4)卷积是数学方法，也可运用于其他学科 。
(5)积分限由 f1(t),f2(t)存在的区间决定，即由
f1()f2(t)0的范围决定。
20
总结
求解响应的方法： 时域经典法： 完全解=齐次解 + 特解 双零法：
: 信号作用的时刻，积分变量
从因果关系看，必定有 t
(2)分析信号是手段，卷积中没有冲激形式，但有其内容；
f() 是h(t-)的加权，求和
即d f() 是h(t-)的加权，积分
(t-)的响应
19
(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应h(t)建 立了响应r(t)与激励e(t)之间的关系。
零输入响应：解齐次方程，用初（起）始条件求系数；

卷积和积分运算

卷积和积分运算

卷积和积分运算卷积和积分运算先看到卷积运算，知道了卷积就是把模版与图像对应点相乘再相加，把最后的结果代替模版中⼼点的值的⼀种运算。

但是，近来⼜看到了积分图像的定义，⽴马晕菜，于是整理⼀番，追根溯源⼀下吧。

1 卷积图像1.1 源头⾸先找到了⼀篇讲解特别好的博⽂，原⽂为：贴过正⽂来看：---------------------------------------------------------------------------------------------------------------信号处理中的⼀个重要运算是卷积.初学卷积的时候,往往是在连续的情形, 两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du 当然，证明卷积的⼀些性质并不困难，⽐如交换，结合等等，但是对于卷积运算的来处，初学者就不甚了了。

其实，从离散的情形看卷积，或许更加清楚， 对于两个序列f[n],g[n],⼀般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k] 卷积的⼀个典型例⼦,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算, ⽐如(x*x+3*x+2)(2*x+5) ⼀般计算顺序是这样, (x*x+3*x+2)(2*x+5) = (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5 = 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10 然后合并同类项的系数, 2 x*x*x 3*2+1*5 x*x 2*2+3*5 x 2*5 ---------- 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 实际上,从线性代数可以知道,多项式构成⼀个向量空间,其基底可选为 {1,x,x*x,x*x*x,...} 如此,则任何多项式均可与⽆穷维空间中的⼀个坐标向量相对应, 如,(x*x+3*x+2)对应于 (1 3 2), (2*x+5)对应于 (2,5). 线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,⽽只有加法,数乘两种运算,⽽实际上,多项式的乘法,就⽆法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了. 但如果按照我们上⾯对向量卷积的定义来处理坐标向量, (1 3 2)*(2 5) 则有 2 3 1 _ _ 2 5 -------- 2 2 3 1 _ 2 5 ----- 6+5=11 2 3 1 2 5 ----- 4+15 =19 _ 2 3 1 2 5 ------- 10 或者说, (1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10) 回到多项式的表⽰上来, (x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10 似乎很神奇,结果跟我们⽤传统办法得到的是完全⼀样的. 换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积. 其实,琢磨⼀下,道理也很简单, 卷积运算实际上是分别求 x*x*x ,x*x,x,1的系数，也就是说，他把加法和求和杂合在⼀起做了。

卷积的数学意义

卷积的数学意义

卷积的数学意义
卷积是一种在数学、信号处理和图像处理中广泛应用的操作，它可以描述两个函数之间的关系。

具体来说，卷积运算是将两个函数通过积分叠加得到一个新的函数。

在数学中，卷积可以表示为以下公式：(f*g)(t) = ∫f(τ)g(t-τ)dτ，其中f和g是两个函数，*表示卷积运算，t表示自变量，τ表示积分变量。

简单来说，卷积运算是将两个函数映射到一个新的函数上，这个新的函数描述了两个原始函数之间的关系。

在信号处理中，卷积可以用来处理信号的滤波、降噪、信号增强等问题。

例如，我们可以使用卷积来设计一个滤波器，以去除信号中的噪声或增强信号中特定频率的成分。

在图像处理中，卷积可以用来进行图像滤波、边缘检测、图像增强等操作。

例如，我们可以使用卷积来设计一个模糊滤镜，以模糊图像中的细节部分。

总之，卷积是一种非常有用的数学工具，它在许多领域都有广泛的应用。

通过卷积，我们可以更好地理解不同函数之间的关系，并开发出各种实用的算法和工具，以解决各种实际问题。

- 1 -。

连续卷积公式

连续卷积公式

连续卷积公式
连续卷积公式是一种数学运算，用于描述两个函数之间的卷积关系。

如果两个函数f(t)和g(t)都是连续函数，则它们的连续卷积表示为：
(f * g)(t) = ∫[a,b] f(t - τ)g(τ) dτ
其中，*表示卷积运算符，t表示自变量，[a, b]表示积分区间，a和b是合适的实数值。

在上述公式中，连续卷积的结果是一个新的函数，它描述的是函数f(t)与g(t)之间的卷积效果。

具体计算过程是：对于给定的t值，在积分区间内，将函数f(t - τ)与g(τ)的对应部分相乘，并在整个积分区间上进行积分求和。

连续卷积公式在信号处理、图像处理、物理学等领域中广泛应用，用于描述两个信号或函数之间的交互作用、滤波效果等问题。

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C、分配律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] x1(t) x2 (t) x1(t) x3(t)
对于并联系统：
h1(t)
x(t)
y(t)
h2 (t)
y(t) x(t) h1(t) x(t) h2 (t)
x(t) [h1(t) h2 (t)]
x(t) h(t)
(t
)
推广到一般：x(n) (t)
x(n) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x2(n) (t)
第2章 连续时间系统的时域分析
C、微积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(t)
x ( 1) 1
(t)
x (1) 2
(t)
x (1) 1
(t)
x ( 1) 2
(t)
推广到一般：x(t)
x(m) 1
第2章 连续时间系统的时域分析
结论:并联系统的单位冲激响应等于各子系统单 位冲激响应的和 2、卷积的微积分性质
对于任意函数x(t)，用 x(1) (t)表示其一阶导数，用x(n) (t) 表示其n阶导数，用x(1) (t)表示其一次积分，用x(m) (t)
表示其m次积分
A、微分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(1) (t)
x(1) 1
(t
)
x2 (t)
x1(t)
x(1) 2
(t
)
推广到一般：x(n) (t) x1(n) (t) x2 (t) x1(t) x2(n) (t)
B、积分性质：若 x(t) x1(t) x2 (t)
x(1) (t)
x1(1) (t)
x2 (t)
x1(t)
x ( 1) 2
第2章 连续时间系统的时域分析
*计算卷积的方法
1.用图解法计算卷积
2.利用性质计算卷积
分段时限
3.用函数式计算卷积
4.数值解法
卷积积分限
第2章 连续时间系统的时域分析
例8：已知 x1(t) 和 x2 (t) 的波形如图所示，试求 x1(t) x2 (t)
1.图解法：
x1 (t )
1
x2 (t )
(t)
x(m) 2
(t)
x(m) 1
(t)
x(m) 2
(t)
运用卷积的微积分性质，可以使卷积的运算大大简化 3、任意函数与冲激函数的卷积：
x(t) (t) x(t)
x(t) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t0 ) (t t1) x(t t0 t1)
4、经验公式：
x1(t t0 ) x2 (t t1) x1(t) x2 (t) ttt0 t1
第2章 连续时间系统的时域分析
例7 : 计算f1 f2 f1( ) f2 (t )d
a
f2(t)
f1(t)
b
t-2 0 t 1
a
*
01
t 0
t
2
t-2
a
01
f1(t) a 0 t 1
f2
(t)
b 2
t 0
t
2
t-2 0 1 t
1. t 0
重合面积为零: f1(t) f2 (t) 0
第2章 连续时间系统的时域分析
§2.5 卷积积分的运算和图解
y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d
1）将x(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自 变量； 2）把其中一个信号翻转、平移；
h( ) 翻转h( ) 平移th(( t)) h(t )
3）将x() 与h(t )相乘；对乘积后的图形积分。
第2章 连续时间系统的时域分析
例6 计算系统的零状态响应y(t) f (t) h(t)，
已知：f (t) u(t),h(t) etu(t)
f (t) f ( )
h(t) h( )
t
h( )
t
f ( )h(t )
t
f (t) * h(t) t e(t )d 1 et 0
t0
§2.6 卷积积分的性质
1、卷积的代数运算：
A、交换律：x1(t) x2 (t) x2 (t) x1(t) y(t) x(t) h(t) h(t) x(t)
B、结合律：
x1(t) [x2 (t) x3(t)] [x1(t) x2 (t)] x3 (t)
对于级联系统：
x(t) h1(t) h2 (t) y(t)
y(t) [x(t) h1(t)] h2 (t) x(t) [h1(t) h2 (t)] [x(t) h2 (t)] h1(t) x(t) h(t)
第2章 连续时间系统的时域分析
结论:(1）级联系统的单位冲激响应等于各子系统单位 冲激响应的卷积 （2）级联系统的单位冲激响应与子系统的联接顺序无关。
应用 f(t)
2
h(t)
1
h(t- )
1
45
13
-3 -1
2.将两函数的时限值两两相加,得出定义域
f()
4
f()
1+4=5; 1+5=6; 3+4=7;
3.确定积分限
t 1
5
0
4பைடு நூலகம்
4
3+5=8
1
5
t 3
4t 1
0
5
6
7
8
第2章 连续时间系统的时域分析
1
0
1
t
0
1 2t
x1 ( )
1
-1 0
第2章 连续时间系统的时域分析
x1(t) x2 (t)
1 x1(t )
t
d
0
1 2
t 2 0
t
1
0 t 1
0
1 2
1
d
t
(
2)d
t 2
3t
2
1
t
2
t1
1
3
2
(
2)d
1 t 2 3t 9 2 t 3
t1
2
2
0
1
x1(t )
1
x1 (t )
其
它
1 t 2 0 t 11 t 2
0
1t 2
1 t 12 t 3
第2章 连续时间系统的时域分析
总结：两有限长函数卷积的定义域（l1,ml) (l2,m2)
, (l1 l2), (l1 m2), (l2 m1), (m1 m2),
(t
)2
1 0
ab (2t 1) 4
4. if 2 t 3
t-2 0 1 t
f1 f 2
1 a b (t )d
t2 2
1 ab (t )2 1 ab (3 2t t 2 )
4
t2 4
5. if 3 t f1 f2 0
0 t-2 1
t
第2章 连续时间系统的时域分析
2. if 0 t 1
0 t-2 1
t
f1 f 2 f1 ( ) f 2 (t )d
第2章 连续时间系统的时域分析
t a b(t )d
02
ab (t )2
4
t 0
ab t 2 4
3. if 1 t 2
a t-2 0 t 1
f1 f2
1a b (t )d
02
ab 4